i i “1151-Grasselli-kdaj” — 2010/7/19 — 9:49 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 20 (1992/1993) Številka 6 Strani 376–380 Jože Grasselli: KDAJ JE ab = ba? Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1151-Grasselli.pdf c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. /i1" -'-/i1" -'1/ "'" ICI,' 1"", 1. Gremo mimo hiše. nad njenimi vežnimi vrati je pritrjena tablica s hišno številko 16. No, 16 = 24 =42 ! Vidimo. da števili a =2, b =4 izpolnjujeta enačbo (1) Postanemo pozorni: Ali je še kaj naravnih števil a, b, a f:. b, za katere velja (1)? Ko v (1) postavimo a = 1. dobimo b = 1; podobno iz b = 1 izhaja a = 1. 5tevili a = 1, b = 1 sicer ustrezata enačbi (1). ni pa a f:. b. To pomeni , da je enačbo (1) pri pogoju a f:. b mogoče izpolniti kvečjemu, ko je a > 1 in b > 1. Vemo, da se od 1 večje naravno število enolično izraža s produktom praštevil (na vrstni red faktorjev se ne oziramo). Na to dejstvo se bomo naslanjali . Vzemimo, da naravni števili a > 1, b > 1. a f:. b izpolnjujeta enačbo (1) . Mislimo si števili na levi in desni v (1) izraženi s produktom praštevil. Vsako praštevilo na levi je faktor v a, vsako praštevilo na desni faktor v b. Ker sta števili enaki. nastopajo po omenjenem dejstvu na levi in desni prav ista praštevila . Torej velja (2) pri različnih praštevilih PI • . . . , Pj in naravnih številih kI . . . .• kj . It . .... lj . Ko vnesemo a, b iz (2) v (1), dobimo Zaradi enolične izrazljivosti naravnega števila s produktom praštevil mora biti (3) Ker je a f:. b, smemo vzeti a < b. Potem iz (3) sledijo ocene kI < < h . .... k.i < lj. Ko te ocene upoštevamo v (2), vidimo. da a deli b. Zato je b = sa in s naravno število. Ker je a < b, je s ~ 2. (4) I 377 Zas=2jepo(4) b = 2a (5) in (1) se glasi a2a = (2a)a. Od tod izračunamo a = 2 , po (5) je b = 4. To rešitev enačbe (1) smo srečali že zgoraj. Naj bo v (4) sedaj 52:3 . Enačba (1) dobi obliko asa = (sa)a in dalje as-1 = s . Ker je a 2: 2, velja ocena 5= as-1 2: (1 + Ir-l . Razvijemo vsoto po binomskem obrazcu , pa imamo ( S - 1)(5 - 2) (s - 1)(5 - 2) 5 2: 1+(5-1)+ 2 + ... 2: 5 + 2 in torej 0 (5 - 1)(5 - 2) > .- 2 Ker je 5 2: 3, zaidemo v protislovje 2 ·1 0 >-=1.- 2 V (4) torej 52:3 ni mogoče . Tako smo našli : Edina rešitev enačbe (1) v naravnih številih a , b , a < b je a = 2, b = 4. 2. Ali dobimo več rešitev enačbe (l), če sta a, b različna pozitivna ulomka? Najprej dve ugotovitvi. Imejmo tuji naravni števili u, v in naj bo d največja skupna mera za u + v , u . Pri naravnih k , I je tedaj u = d k , u + v = dl . Ker je v = dl- - u = d(l- k), vidimo, da d deli v . Toda d deli tudi u in ker sta u , v tuja , je d = 1. Velja torej : 1. Le sta u, v tuj i naravni št evili, sta tudi u , u + v tuji naravni števili . Doženimo še: II. Le sta s, t od ena večji naravn i števili, u , v tuji naravni števi li in je SU = t'" , obstaja naravno število 9 tako , da je 5= s", t = q": Res! Ker je SU = t'", vsebujeta s, t prav iste praštevilske faktorje in velja (6) 378 pri različnih praštevilih PI . . . .. Pj in naravnih številih kI ..... kj. !} . .... Ij. Zara- di SU = tV je in tako kIU=!}V . .. .. kju=~v. (7) Ker sta u, v tuja. iz prve enačbe v (7) izhaja. da v deli kI in u deli !} . Zato je kI = rl v. h = r{ u pri naravnih številih rl. r{ . Enačbo kI u = IIv lahko sedaj pišemo rl vu = r{ uv in najdemo rl = r{. Ker velja podobno pri drugih enačbah v (7). dobimo kI = rlv, II = ri u . .. ., kj = rjv. &= rju pri naravnih številih rl . .. . , rj. Ko to upoštevamo v (6), imamo ( ~ ~)V t (~ ~)US = PI .. . Pj . = PI . . . Pj . Vzamemo za 9 število v oklepaju in trditev II je dognana. Vrnimo se k enačbi (1). Naj bosta a. b pozitivna ulomka, ustrezajoče (1) in a < b . Kvocient E= c je potem pozitiven ulomek, večji od 1. Ko I b = ca (8) vstavimo v (1). dobimo aca = (ca)a in dalje ac- l = c. Od tod izračunamo a = c C:'l in po (8) še b = c c~l . Ker je c > 1. je ulomek C~l pozitiven . Ko ga okrajšamo, je (9) 1 c-1 u v (10) pri tujih naravn ih številih u, V. Po (10) je c = 1 + ~ in iz (9) izhaja a=(u+V);7. b=(u+v)~. u u (11) (12) Pozitivna ulomka a < b, ustrezajoča (1). morata torej biti oblike (11) pri tujih naravnih številih u, V . te je v = 1. iz (11) sledi a=(l+!..)U , b=(l+!..)U+I . u u 379 Za vsako naravno število usta a, b iz (12) različna poz itivna ulomka . (Da ustrezata enačbi (1) , je mogoce preveriti z vstavitvijo .) Za u = 1 dobimo iz (12) že znano rešiteva = 2, b = 4. Za u = 2 je a = (32)/(22) , b = = (33)/(23), za u = 3 pa a = (4 3)/ (33), b = (4 4)/ (34). Ko se u spreminja po vseh naravnih številih , dajeta obrazca (12) neskončno razlicnih pozitivnih ulomkov a , b, ki izpolnjujejo (1). V obrazcih (11) naj bo zdaj v ~ 2. Ker je a ulomek , obstajata taki tuji naravni števili m, n, da je a = !ff , in po (11) lahko pišemo (u+v)~=m. u n Pri tem je n ~ 2, saj smo naravne rešitve našli že v razdelku 1. Ko odpravimo ulomke in potenciramo, je (13) Ker sta u, v tuja, sta po ugotovitvi I tudi u, u + v tuja; tudi u", (u + v)" sta potem tuja . Iz tujosti m, n sledi tujost za n'" , rn" . Po (13) mora torej u" deliti n" in n" deliti u" , Ker sta to naravni števili , je u" = n" : Zaradi n ~ 2, je u ~ 2; ker sta u , v tuja , po ugotovitvi II velja (14) pri naravnem številu 9 . Iz enakih razlogov je (15) pri naravnem številu h. Ker je v ~ 2, iz (14) in (15) izhaja in po korenjenju 9 e , ko velja (16) . Za 0 < a ::; 1 in a = e ni takega b , b # a , ki bi izpolnjeval enačbo (1) . Vse to vidimo iz slike. Oglejmo si še enkrat obrazca (9) . Le je c od 1 večje realno število, sta števili a , b dob ljeni po (9) , pozitivni realni. Da izpolnjujeta enačbo (1) , se prepričamo z vstavitvijo . Ko narašča c od 1 prek vsake meje , a vztrajno pada od e proti 1, b pa vztrajno raste od e prek vsake meje. To se da potrditi s kratkim računom. Vsakemu realnemu c , 1 < c < oo pripada torej po (9) en a , 1 < a < e in en b , e < b < oo . Povzemimo: Vsako realno rešiteva, b, a < b enačbe (l) dobimo ravno enkrat, ko v obrazcih (9) spreminjamo c po vseh realnih številih večjih od 1. Jože Grasselli