MATEMA TIK«, Urejena lepota rastlin - Filotaksa in Fibonaccijeva števila ^ ^ ^ MARIJA VENCELj • Ob pogledu na nežni cvet, vejo ali drevo marsikdo vzklikne: „Kako lepo!"' Rastline pa niso le lepe, so tudi zelo zanimive. In to ne le z botanične^ vidika. Urejena teftota rastlin ftrhdad pozornost matematikov že stoletja. Največ: so se ukvar-jah z najopaznejšimi geometrijskiini znacilnostmi, kot so osna simetrija lisUrv^ rotacijska simetrija cvetov £gli npr. spiralasta razporeditev lusk pri storžu pinije. Po H. Weylu, avtorju knjige Symmetry, je „lepota povezana s simetrijo". SLIKA 1. Vendar k lepoti rastlin prispevajo tudi drugi vzroki. Eden od njih je eleganca in relativna preprostost pravil, ki opisujejo Časovni razvoj rastlin. Še zanimi- 4 PReSEK 40 (2012/2013) 6 MATEMA TIK«, SLIKA3. 'jjiMr w SLIKA 4. SLIKA 2. PIE RIS (zgoraj) in ROD ODKADRON (spodaj) imata filotakso 3A8 vejša js samooodobnNsk rastlin, tea ds lastnast, da ps posamezen jjiejs geometrijsko podoben celoti. Tako so včasih lističi peresasto deljenega lista še enkrat razrezani na manjše lističe, pri čemer je del lista na naslednji stopnji enake oblike kot ves list. Taka je npr. praprot. S tema dvema vprašanjema se ukvarja zanimiva knjiga The Algorithmic Beauty of Plants P. Prusinkiewicza in A. Lindenmayerja (Springer-Verlag, New York, 1990). Kvpiga utpasve pevazupa biologijo z matematiko iv račuvalvištvom. Primerjava pravih rattliv z ra-^^nalvišno varitavimi moNali ja v valino pomoč pri pratoji, kako Nobri to moNali. Lahko pa bi tuNi rakli, Na gra za povazavo maN zvavoptjo iv umatvoptjo. Iz k^ina vam p3aNpaovljAme racSunalnišlzo varisav javor (cUka d) in cvat sovčvica (pliJca 4). V nvjigi sta clini barkvi iv zato ša peap3ičlsivajši. Kvpigo Oravi tudi matematična knjižnica Fakultete za matematiko in fiziko v Ljubljani. Filotaksa V nadaljevanju si bomo podrobneje ogledali posebno značilnost nekaterih rastlin, poznano pod imenom filotaksa. Dobesedni prevod besede je urejenost listov, vendar pod njo razumemo tako pravilno urejenost listov na veji kot urejenost lusk sa storžu ali zvetov v cvetnem košku. Če vzamemo v roke lipovo vejico (slika 7) in sledimo njenim listom od začetka do konca vejice, vidimo, da izrančajo listl izmenično nanasprotnih staa-neh vejice. Podobno razporeditev listov lahko opazimo tz pri nekaterih drugih rastlinah, npr. pri brestu ali lovorikovcu. Koti med zaporednimi listi na vejici (natančneje, med mesti, kjer listi izraščajo) so med seboj enaki, merijo 180°, to je 2 polnega obrata. Pri pokonci postavljeni vejici lahko tudi rečemo, da moramo od danega lista enkrat (po vijačnici) obiti vejico, da pridemo do prvega naslednjega lista, ki iz-rašča navpično nad njim. Pri tem pridobimo vzdolž veje dva lista. Pravimo, da imajo take rastline polovično filotakso (filotakso 2). presek40 ((0)s(2d1 3)6 5 MATEMA TIK«, Pri bukvi, leski, ognjenem trnu (slika 7) ali oslezu potrebujemo za prehod od enega Usta k nastednjemu zasule za tretjmo polnega obrata. Govorimo o fiiota- ksi i 2 MareUca ima filotak:so 5, torej je kot med dvema zaporednima listoma enak 55 ■ 360° = 144°. To pomeni, da moramo dvakrat olerog veje, da pridemo do lista, zi prvi po vrsti terana natanlzo nad izbranim. To se zgodi pri petem listu. Tako filotakso imata tudi hrast in krvenka (sUlza 7). Nadalje imajo topol in hruška ter okrasna grma rododendron in pieris (shka 2) filotalzso ^ vrba in mandelj filotalzso 1§. Vijjimo, da so iitevci in imenovalci ulomkoT, s Iza-terimi se izraža filotaksa, Fibonaccijeva števila ■ 1,1, 2, 3, 5,8,13, 21,.. Posamezna filotaksa je kvocient dveh Ftoonaccijevih števtf f-1, katerih vrstni mdelzs v Fibonaccijevem zaporedju se razlikuje za 2. Enako dobro bi lahko uporabili pare zaporednih Fibonaccijevih števil. Matematik takoj vidi, da je negativnemu easulu za 3/8 polnega obrata enakovreden pozitivni easuk za 5/8 polnega obrata. V splošnem preide na ta nacin fk-1/fk+1 v fk/fk+s. Toda filotakso so seveda definirali bota-nili. (Najnujnejše o Fibonaccijevih številih in zlatem razmerju najdete na loncu clanla.) Drugačen tip filotalse srečamo pri urejenosti ce-vastih cvetov nekaterih košaric, npr. socvetja v sredini lošla soncnice ali marjetice, pri urejenosti ana-nasovih lusk ali lusk storža jelle in pinije. Tu so cvetovi oz. luske urejeni v spiralastih ali vretenastih zavojih. Pri cvetu marjetke in ivanjšcice (slika 1) lahko sledimo, gledano iz centra glavice, 34-im spiralam v negativni smeri in 21-im spiralam v pozitivni smeri. Pri manjših soncnicah je v dveh smereh raelocno vidnih 34 oziroma 55 spiral, pri vecjih tja do 89 in 144 ali celo 144 in 233 pri nekaterih posebnih vrstah, ki imajo v košku tudi preko 2000 cvetov. Pri računalniško narisani soncnici na sliki 4 poteka 34 spiral v negativni smeri in 55 v pozitivni smeri. Štirikotne luske storža pinije (slika 7) so urejene v treh polžastih spiralah. Proti levi se od osnove rahlo dvigajo tri, nekoliko bolj strmih je pet spiral, ki so usmerjene v desno, osem najbolj strmih spiral pa spet poteka v levo. Posebno razlocni so zavoji pri ananasu (slika 5), katerega bolj ali manj šestko- tne luske so vidno urejene v vijacnice, ki potekajo v treh različnih smereh. Opazimo lahko pet vzporednih vrst, ki vodijo v desno položno navzgor, osem vrst gre nekoliko bolj strmo levo navzgor, 13 vrst pa se strmo ovija desno navzgor. (Včasih so smeri ustrezno zamenjane.) Vidimo, da se tudi pri tem tipu filotakse pojavljajo samo Fibonaccijeva števila. SLiKA5. Listai smo imenovali zaporedna, če med njima, vzdolž vejke, ne ^ra^a noben drug 3st. Govorimo tucU o zaporedju hstov na vejk^ pri čemer jih navadno številčimo od osnove vejke proti njenemu koncu. Tudi cevaste cvetove Icoiiaric ah hislce storžev lahko postavimo v zaporedje, glede na nj^ovo od-daljenoot od osnove, čeprav so poset>ej pri j^avkali košaric te razdaije čredno majhne. Koti med zapo-redmrm hstt cvetovi ah hiskaarm so pri veam rasthn natanko ^tolen^ odvrni so le od rastime oz. njene hlotallae. Na fotografijah ki smo jih posneh za Presek, tega razum^vo ne moremo raztocino opazovati, v naravi ea je snovi za opaznvanje dovolj. Koti, ki pripadajo posameznim vrednostim filota- kre, so enakž/d-1//k+;L ■ 360°, k = 2,3,4,____To so zapored koti: ■ 180% 120°, 144°, 13d°e Z38.s°, 137.1°..... Ker zaporedee kvocientov jjk° zaporednih Fibonacci-jevih števil konvergira k razmerju zlatepa reza t = 1,618(0339..., konvergira zaporedje filotaks k vrednosti 1 - t-1 = 0,3819)660... in z njim zgonnje za- 6 PZESE^O (2012/203) ° MATE MATIKA poredje kotov proti ■ (1 - T"1) ■ 360° = 0,3819660 ■ 360° = 1137,5°. Ta kot imenujemo tudi Fibonaccijev kot. Zanimivopovezavo med posameznimi vrednostmi filotakse najdemo v knjigi Introduction to geometry H. Si. M. Coxeterja, od koder je tudi sliko 6. Nk sliki je osikazano površje ananasa kot plašč pokončnega krožnega valja, razgrnjenega v ravnino. Šestkotne luske so oštevilčene v vrstnem redu glede na njihovo oddaljenost od vodoravne osnove. Da se videti, da je kot med zaporednima luskama Fibonaccijev kot. Luska 0 ima za sosede lusOe z oznakomi 5, 13 in 8, ki dolocajo vidne smeri v vzorcu. SLiKA 6. Če eeakomereo raotegujemo sliko v eavpitei smeri, se maejša topi kot med smerema od središta luske 0 proti luskama 5 ie 8, dokler ee postane pravi kot. Tedaj šestkotne luske preidejo v pravokotnike. Vrste (na valju vijacnice), ki pripadajo luski 13, postanejo manj razločne, tri nove vrste, dvigajoče se proti levi, pa postanejo bolj opazne. Tako preprostejšo ureditev smo opazili pri storžu pinije. Nadaljnje raztegovanje bi zakrilo smeri, ki pripadajo številu 8, in odkrilo dve novi smeri, usmerjeni proti desni. Tako ureditev listov smo npr. opazili pri hrastu. Ce pa vzorec stiskamo v navpični smeri, raste kot med smerema od luske 0 proti luskama 8 in 13, dokler ne postane pravi. Tedaj nastopi Fibonaccijevo število 21 kot sosed števila 0, odmakne pa se število 5. Pri raztegovanju in stiskanju valja njegovega obsega nismo spreminjali. Za spreminjanje vzorca je torej odločilno razmerje višine in premera valja. Ce se valj hitreje debeli, kot pridobiva na višini, lahko en par Fibonaccijevih števil preide v drugega, kar se včasih res zgodi pri rasti iste rastline. Ce valj nadomestimo s stožcem, kot je primer pri jelki, ne dobimo vijacnic, ampak polžaste spirale. Ce privzamemo, da so tvorilke stožca cedalje bolj pravokotne na os stožca, dobimo mejni primer (marjetica, soncnica), pri katerem polžaste spirale preidejo v logaritmicne spirale. Kak:o razkrM skrivnost oatne naklonjenosti narave zlatemu razmerju? Ah morda ve^ da rastime slede nas^njma praviloma, ki ju je za Fibonaccijev k:ot odkril Vogel? ■ Vsak nov hst ah cvet je postavljen na mes^ ki je za hksen kot a zavrteno od potožaja prejšnjega hsta ali cveta. ■ pozicijski vektor vsakega novega hsta ah cveta kaže v najširšo obstojeco vrzel med pozicijskimi vek> torji starejših hstov ah cvetov. Gotovo ne gre ugovarjati tema osnovmma predpostavkama (druga je z vidika iskanja svetlobe še kako smise^a^ vendar sta nezadostnL kot ugotavlja RT dley, strokovnjak s tega podrocja. pojasnjuje: Medtem, ko je razumno domnevatL da rastline vsebujejo genetsko informacijo za ^ocianje velikosti fiksnega vmesnega kota, je povsem nemogoce samo na tej osnovi ^shati vmesni kot do take neverjetne natancnosti, kot jo opažamo v naravi, kajti naravna variacija je pri bioloških pojavih normalno precej velika. Natancinost je res neverjetna. pri številnih cvetovih soncimc sta npr. opazni spirali 55 m 89. To pa pomeni, da mora pri njih ^ati izbrani kot med 55 in ||, kar zahteva relativno napako manjšo od 4895. Povejmo še, da se pri nekaterih rastlinah filotaksa izraža s posplošenimi Fibonaccijevimi števili, npr. 2, 1, 3, 4, 7, 11, ..., pa 3, 1, 4, 5, 9, ...ali 5, 2, 7, 9, 16, ..., katerih zaporedni kvocienti ne konvergirajo k zlatemu razmerju. Zato neobremenjeni zakljucimo z mislijo, da filo-taksa ni kak splošni zakon, ampak osupljivo prevla-dujoca težnja rastlin. pRESEK40 (2012/2013) 6 7 MATEMA TIK«, Fibonaccijeva fčestila Zaporedje Fibonacc:i,je;v/i]:i šlt^vil {fk,k e N} je ločeno s predpi.som: ii = f2 = 1 .^ív^íí = fk n k e hI. Za1 etek zaporje torrtpj takLe: j 1 1, 2, 3, 5, 8e 13, 2Z b4, 555, 89, 144, 233e ... Zaporedje levorientov aajporedmh Fibonacrijevüi site- vil ñfe: -e: ji^ 333Í fi^ 22l1l 1' 2'3'5'8' V3' 21' 34'"" vrednosti la.^Loj^Esil^ |ea so kvocienli -fr-1, kjer je l- = fk+l-fk _ 1 _ 7,1+1 /,fc+1 /i+I Ck+1 ' Zlato raenerje Če daljico rri^z.^d'Eíl^Eaci na dva dela tako, ds ja raemerje dolžin vrijega in manj lega dela bnako razmerju dol-žiin dane daljice in večseiga c3.t^l;a,; pravimo, cjLai smo daljico razdelili v zlatem rezu. Delilna rozmerje imenujemo zlato racmerje in ga običajno onnacimo u t. Zluto razmerj e je pozjtivna rešitev enačbe u2 - t -I-5O, insicerje VŠ+l T = 2 d 1,6180__9. -vea amed alatim tazmerjem i ti Filio naccijevimi števili Številu "r etipnds neskončni v/ctižui ulnmck, v katc-rcm so vsi llbui nnaki 1, totej: >/5-1-1 T = 2 = 1 + i r^ l + 1 Med aaemi aerižrnam uldaaki ta ulomek naapoaasneae konaergera. ulomká uerižnega u^l^an]ka ííteaüa t s