ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 1 Strani 34-43
Marko Razpet: ZLATI PRAVOKOTNIK
Ključne besede: matematika, geometrija, zlati pravokotniki, zlata spirala, zlate točke.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1389-Razpet.pdf
© 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ZLATI PRAVOKOTNIK
V vsakdanjem življenju imamo pogosto opravka s takim in drugačnim pisarniškim materialom. Nedvomno ste že slišali za papir formata A4, najbrž pa tudi za formate A3, A5 in druge.
Pisarniški papir formata A4 je pravokotne oblike in ima približne dimenzije 210 x 297 mm. Razmerje med daljšo in krajšo stranico je 297/210 = 1,4142857.... kar se dobro ujema s številom v2- Osnova formatov A je, da z delitvijo ali prepogibanjem pravokotnika vzdolž krajše sredujice dobimo dva pravokotnika, ki sta prejšnjemu podobna. Preprost račun to potrdi.
a	oi
Recimo, da ima pravokotnik daljšo stranico a in krajšo b. Po delitvi vzdolž krajše srednjice dobimo nova pravokotnika z daljšo stranico a,\ = b in krajšo stranico č>[ — a/2. Zahteva po podobnosti pravokotnikov da enačbo
a «i i/ 2 b b bj a/2 a '
iz katere dobimo
(— \ — 2 oziroma - — \/2 . \bi b
Vzemimo sedaj drugačen pravokotnik z daljšo stranico o. in krajšo stranico b, Ce mu odrežemo kvadrat s stranico b, kot prikazuje slika., naj bo preostali pravokotnik podoben prvotnemu. Kakšno mora biti v takem primeru razmerje stranic?
Naj bosta ai in bi daljša in krajša stranica dobljenega manjšega pra-vokotuika. Očitno je ai — b in 61 — a — b. Zahteva po podobnosti pravokotnikov da tokrat enačbo
a a\ b	1
b bi a — b a/b — 1
Iz nje sledi kvadratna enačba, ki ji mora zadoščati razmerje <f> = a/b:
<f? - <}> _ i = o .
Enačbo preoblikujemo:
402 - 40 + 1 = 5, tako da dobimo na levi strani popolni kvadrat
[2<t> -l)2 = 5.
Sledi
20 - 1 = V5 in 24>-\ = -Vb.
Druga možnost odpade, ker nudi negativno razmerje a/b, zato nam preostane edino le
0=1(1+V5).
Odslej h o iti o število 4> imenovali število zlatega reza, iskani pravokotnik pa zlati pravokotnik. Zapišimo število 4> še enkrat in uavedirno nekaj njegovih prvih decimalk:
4>= - + V5) = 1,618033,..
Očitno je <j> iracionalno število, kar pomeni, da ga ne moremo izraziti v obliki ulomka s celim števcem in imenovalcem. Zlati pravokotnik ima
torej eno stranico b, drugo pa <j> b, Že od antičnih časov velja v umetnosti pravilo, da je zlati pravokotnik v nekem smisla izmed vseh pravokotnikov najlepši.
Kako konstruiramo zlati pravokotnik, če poznamo njegovo krajšo stranico 6? Narišemo kvadrat. ABCD s stranico i) in njegovo srednjico EF. Po Pitagorovem izreku je diagonala EC pravokotnika EBCF enaka \EC\ = y/b2 + (b/2)2 = (6/2) \/5. To razdaljo nanesemo iz točke E vzdolž tistega v E začetega poltraka, ki vsebuje točko B. Dobimo točko M, za katero velja |v4M| = b/2+(b/2) = <f>b, S tem smo našli drugo stranico zlatega pravokotnika AMND.
nekaterih algebrskih lastnostih tega števila.
Osnovna lastnost števila (¡> je, da ustreza enačbi (p2 = 1 + iz katere sledijo še ft* = <p + <f>2,04 = 4>2 + </>3 in tako naprej. Očitno pa velja tudi — (j)~l + 1,1 = 4>~2 + (p'1 in tako dalje. Cisto splošno velja:
<j>n = <f>n~2 + 0""1 za n = 0, ±1,±2,...
Zaporedje potenc xn = p" je torej neke vrste dvostransko Fibonaccijevo zaporedje za - 1 in Xi = z rekurzivno formulo i„ = xn-2 + ■
Člene xn lega zaporedja pa lahko izrazimo na en sam način s številom 4> v obliki
xn = an+0n4>,	(1)
kjer so koeficienti an in fin cela števila za vsak celoštevilski indeks ti. Kako vemo, da je zapis (1) s celimi koeficienti en sam*.'1 Vzemimo, daje vsemu navkljub možno zapisati še
z™ = 7« + ¿n <A )
tudi s celimi koeficienti. Potem bi imeli
+ Pn 0 = In + ^71 0 ,
iz česar bi takoj dobili
Oin-ln— ~ Pn) <f> ■
Če bi bil rin različen od pn. bi dobili
0 —
K - Pn
Na desni strani v gornji enačbi bi imeli racionalno število, kar pa ni mogoče, ker je 0 iracionalno število.
Ker je x\ = <fr, je ai = 0 in /?i = 1. Ker ]e X2 = <t>2 = 1 + <p, je seveda Q2 — 1 m 82 = 1. Naprej izrazimo: = 03 — 0 + 4'2 = 4> + 1 + 0 = = 1 + 20. Torej je o3 = 1 in — 2. Izberimo še «o = J in Po — 0. Iz — 0— =0—1 preberemo: a_i — —1 in fi^i — 1. Sedaj trdimo, da sta zaporedji («■„.) in (l3n) Fibonaecijevi /a ao = = l,ai = 0 in Po — 0,pi = 1. Če predpostavimo, da za vsak celoštevilski indeks n velja (1), dobimo iz rekurzivne formule xn = xn-2 + :
"7! + 0n 0 = «n-2 + fin-2 $+ f>n-l + fin-l 4> =
= (a„_a + ctn_i) + + 0n-i) Zaradi enoličnosti zapisa (1) velja:
«n = ®»-2 +an-i in 0n = Pn-2 + Pn-l ■
Pri tem je, kot smo že prej ugotovili, uq = 1,0O — 0 in ai = 0,/3] = 1. Torej lahko obe zaporedji nadaljujemo v nedogled na obe strani: za cele indekse, večje od 1, uporabimo rekurzivno formulo £„ — £n. 2 + v» 1 ■ za preostale cele indekse pa rekurzivno formulo = £n ~ i- Pri tem za £ izberemo bodisi a ali p. Tako dobimo:
a2 = l,p2 = l; m= 1, = 2 ; m=%M= —
Se nekaj členov z negativnimi indeksi: o-i = —l,/3_i — 1; £r-2 = 2,j3_2 = -l; a_3 = - 3,/3_3 = 2;...
Z drugimi oznakami imamo na primer 04 = 2 + 30, <f>~2 = 2 — 0. 0-3 = = -3 + 20.
38
Matematika
Vzemimo zlati pravokotnik ABCD s krajšo stranico 6 in daljšo stranico 4> b in ga razdelimo na kvadrat AEFD in pravokotnik FEBC.
Označimo Ai = F, Bi = E,Cj = B.Dy= C. Pravokotnik B^C]Dl je podoben prvemu iri je tudi zlati pravokot nik, ki ima krajšo stranico b\ = = <pb — b = (<fi — 1)& = <j>~ b in daljšo aj = 6. Razmerje je res tt.\/h\ = (¡>. Mimogrede preverimo še. da točka E deli stranico AB v razmerju zlatega Teza. To pomeni: krajši odsek \EB\ proti daljšemu odseku \AE\ je v enakem razmerju kot daljši odsek \AE proti celotni stranici \AB\. Res:
|EB\ _ {4>-\)b \AE\ " b

111

Nadaljujmo: pravokotnik AiB\C\Di razdelimo na kvadrat A]E}F] Dt in pravokotnik F\EiB\Ci ter označimo — F\, B2 = Et, C? — B\, D2 = C\. Pravokotnik A2B2C2B2 je seveda tudi zlati, njegova krajša stranica je b2 = <j> = (<j> — l)2b = tf>~2b, daljša pa «2 = bi = (4> ~ l)b =
B2
Ei
A2
c2 f2 d2
Ponovno ga na isti način razdelimo na kvadrat in zlati pravokotnik s krajšo stranico 63 = d>~3b in daljšo stranico <14 = (f>~2b, tega pa zopet razdelimo na kvadrat in pravokotnik, tako kot doslej. Prispemo do zlatega pravokot.nika A4B4C4D4, ki je podoben onemu, s katerim smo začeli, pa tudi zasukan je prav tako. Njegova krajša stranica je ?>,j = <p~4b, daljša pa 0,4 = (f>~3b.
D4	ci	
		
ai		B-1
		
Opisani postopek lahko nadaljujemo na pravokotniku A4B4C4D4, po štirih korakih dospemo do še manjšega, pravokotnika .4 g Bg C s D^, in tako naprej. Zgodba se nikdar ne konča.
a	e	b
Zaradi enotnejšega indeksiranja točk označimo /1q = .4, Bq == B. Co = C, Do = D, E(] = E in Pq = F. Obstaja posebna točka, recimo ji zlatu točka pravokotnika Ao B^ Ga Dq in označimo jo z B. ki je skupna vsem zlatim pravokotni kom v zaporedju
A0B0C0D0 d AaBiCaD4 d ASB8CSD8 d ... 3 B .
Točka B je seveda zlata za vse zlate pravokotnike A^BkC^D^. Točka B je v presečišču diagonal DqBq in D\B\ v pravo kotnikih številka 0 in 1, prav tako je B v presečišču diagonal Dj Bi in D2B2 v pravokotnikih številka 1 in 2 in tako naprej. Vselej pa se diagonali sekata pravokotno. Znamo pa tudi izračunati, kje točka B je. Morda se je najenostavneje prepričati o obojem, če vpeljemo pravokotni kartezični koordinatni sistem z izhodiščem v točki j4, os x usmerimo vzdolž stranice AB, os y pa vzdolž stranice AD. Koordinate točk so potemtakem:
0), b, 0)tC = Di{<(,b, b),D[0,b),E= Bi (6,0). Enačbi premic skozi točki D ¡11 B ter D\ in B\ se glasita
V = x + b in y = -r^— (x-b) = <f>(x - b), 4>	<j>-1
kar preverimo s kratkim računom. Produkt smernih koeficientov teh dveh premic je —1. kar pomeni, da se diagonali res sekata pravokotno.
Presečišče premic pa pove, kje je zlata točka B, Njena abscisa x je rešitev enačbe
Kratek račun nam izda koordinati zlate točke
3-4
1 + 30 , x — -—-—- o
y =
b.
Konstruirajmo še zaporedje krožnih lokov, katerih vsak naj ima središče
v točki Ek, poteka pa naj od točke Ak do F^, za k pa vzemimo 0,1,2,____
Dobimo spiralo, kakršna je na sliki, kjer sta prikazana dva njena zavoja.
Ai
		
	v	
-42
Ao
Zapišimo še koordinate točk B. .4q. Ai, Ai in A3:
^(0,0), A^b), A2{4>b,4>-2b), ^((i+r3):%0).
Ni se težko prepričati, da se daljici AqA2 in A\Az sekata ravno v točki B, in to pravokotno. Enačbi premic nosilk teh daljic sta:
y = <p~3x in y = ~4>z(x - 1) + 1 .
Označimo z df. razdaljo od točke B do točke A^. Ce izračunamo razdaljo d0 točke B od točke Aq in razdaljo di točke B od točke A% = C, dobimo:
Iz tega sledi: d2 </>2 = dfy Torej sta do in d\ v razmerju <j>. Zaradi podobnosti zlatih pravo kotni kov, konstruiranih na opisani način iz začetnega
zlatega pravokotnika AqBqCoDq, velja:
Zaporedje razdalj dn je geometrijsko. Preprost sklep nam da enostavno formulo: dn — do <p~n■ Uvedimo polarni koordinatni sistem s polom v točki B in polarno osjo skozi točko Dq. Polarni kot, računan vselej v radianih, označimo z ip. Spirala, ki obide točke /lfc, ima v polarnih koordinatah enačbo
e = d0 ^.
To je zlata spirala. Njen približek smo malo prej narisali s četrtinskimi krožnimi loki.
Zlate pravokotnike smo iz osnovnega pridobivali z delitvami in s tem prehajali na vedno manjše in manjše. Lahko pa jih tudi povečujemo, tako da osnovnemu pririšemo kvadrat s stranico <j>b in postopek nadaljujemo z vedno večjimi zlatimi pravokotniki. Vsi se lepo prilegajo zlati spirali.
D	F	C
	T>		C
	■■■■ \		/
A		/	B\,(
A	E	B
Osnovni zlati pravokotnik ima seveda 4 zlate točke, kajti razdeliti se ga da na kvadrat in nov zlati pravokotnik tudi tako, da leži kvadrat ob stranici BC, Zlate točke označimo z A 5, C in V, tako da je A najbliže A. najbliže B in tako dalje. Ni težko preveriti, da je štirikotnik ABCV zlati pravokotnik in da premice skozi AB, VC, BC in delijo osnovni zlati pravokotnik na pravokotnike, od katerih je tudi še nekaj zlatih.
Zadnja slika prikazuje vse štiri zlate spirale, ki se vijejo okoli zlatih
točk.
Marko Razpet