Univerza Edvarda Kardelja v Ljubljani Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo VTO Matematika in mehanika
Anton Cedilnik B...A NACHOVE       KVADRATNE ALGEBRE
Disertacija
Ljubljana 1981
- 2 -
VSEBINA
——------
Predgovor                                                 3
Specialne oznake                                   5
Izreki tipa Gelfand - Mazur            6
1. Osbornovi pari                                     10
2. Kvadratne algebre                               17
3. Banachove algebre                               26
4. Potence                                                   39
5. Eksponentne funkcije                         48
6. Banachove kvadratne algebre          63
7. Numeričrie zaloge vrednosti             70
8. Algebre z normirano enoto              79
9. Metakompleksne algebre                     89 10. Dodatek                                                 108
Nekatera odprta vprašanja     119 Literatura                                           120
Stvarno kazalo                                   123
Math, Subj. Class. (1980)   17 A 01
17 A 35 17 A 45
46 H 05
- 3 -
PREDGOVOR
To delo ima korenine v poskusu definirati in obravnavati neasociativne topološke algebre v moji magisterski nalogi pred tremi leti. Zaradi nejasnosti pri nekaterih osnovnih vprašanjih sem se pozneje ponovno spravil k definiciji Banachovih algeber, ki ne bi vsebovala asociativnosti. Takoj sem trčil ob vprašanje definicije spektra, saj ni jasno, kaj je inverzni element. Temu sem se hotel izogniti na dva načina. Prva možnost je bila, nadomestiti množico inverti-bilnih elementov z zalogo vrednosti eksponentne funkcije, druga pa je "bila v posplošitvi Gelfandovega izreka o Banachovih algebrah z deljenjem, ki v svojem dokazu vsebuje ravno najbolj bistvene lastnosti spektra. Medtem ko sem s prvo hipotezo bolj ali manj obtičal v slepi ulici, sem v zvezi z drugo zamislijo naletel na veliko število že znanih posplo-šitev, ki pa so v tej ali oni obliki še vedno vsebovale aso-ciativnost (z nekaj izjemami). Z metodami, ki. sem jih pri tem spoznal, ter z nekaterimi novimi idejami, ki so v teoriji Banachovih algeber vzniknile v zadnjih desetih letih, sem nekaj teh izrekov uspel posplošiti na poljubne neasociativne algebre, rezultat pa so bile vedno nekatere specialne Bana-chove kvadratne algebre ali njihove podalgebre. Te posploši-tve so [1,3] , [9,3], f9,10], [9,ll], [lO,<J, £l0,7] in [10,8]. Ti izreki in pa uspele definicije [l,ll, [3,^3, [3,^3, (S,i), [7,l] ter [9?l] so glavni rezultati tega dela in mislim, da kažejo možnost nastanka dovolj bogate teorije neasociativnih Banachovih algeber.
Precej izrekov v tem sestavku je vzetih iz tujega zelnika. To velja še posebno za drugi razdelek, v manjši meri za tretji, četrti in sedmi razdelek, nekaj tega pa je najti tudi drugje. Poleg tega je precej izrekov, pri katerih je metoda dokazovanja skoraj nespremenjena vzeta iz literature. No, moj namen ni bil kraja idej, pač pa kolikor mogoče celovit zapis neke teorije, kar je pc mojem mnenju bolj pomemben cilj kot pa izvirnost za vsako ceno. Nihče pač ne piše rad samo za enkratno uporabo, ampak si želi, da bi morebitnemu bralcu za-
deva služila še kako drugače, ne pa le kot seznam literature, skozi katero se Je treba pregristi.
Kjer sem omenjeni greh storil, sem po potrebi opozoril z opombo, razen če sem domneval, da bo kateremu koli specialistu jasno, za kaj gre. Vsekakor pa mislim, da so vsaj iz reki, ki sem jih naštel v prvem odstavku, res izvirni.
Profesor dr. Ivan Vidav je pokazal dobršno mero prijaznosti, ko je privolil, da bo moj mentor navkljub temu, da se on sam ne ukvarja z neasociativnimi algebrami. S svojim širokim znanjem mi je pomagal iz prenekatere zagate, skrbno se je poglobil v obravnavano snov, izločil nekaj večjih neumnosti iz teksta in potrpežljivo prenašal moj svojski slog študija in pisanja. Za vse to mu gre moja prisrčna zahvala.
Zahvaljujem se tudi drugim kolegom matematikom za občasne nasvete, matematični knjižnici za gradivo, Biotehniški fakulteti v Ljubljani, kjer sem zaposlen, pa zato, ker mi je časovno omogočila študij. Dalje se zahvaljujem profesorjem L. Ingelstamu, I. Kaplanskemu, H. D. Schaferju in E. Kleinfeldu za korespondenco.
Zahvalo dolgujem tudi Raziskovalni skupnosti Slovenije in Institutu za matematiko, fiziko in mehaniko v Ljubljani, ki sta to temo sprejela in financirala kot raziskovalno nalogo.
- 4- -
- 5 -
SPECIALNE OZNAKE
———^——   '   ——"—
Ifc  je obseg realnih K.   ali kompleksnih <C števil. Poleg teh znakov uporabljamo še ^\^ za naravna, ž£   za cela, TJL    za pozitivna realna števila, IH7  za algebro kvaternio-nov in ID   za Cayley - Dicksonovo algebro (algebro oktonio-nov).Z «L označujemo k <x konjugirano število.
Znak D pomeni konec dokaza ali .primera. Znak   pa označuje predpostavko, ki velja za več izrekov hkrati.
- 6 -
IZREKI TIPA GELFAND - MAZUH
1. Naj bo 2£ asociativna kompleksna normirana algebra z enoto, v kateri je vsak element, različen od 0, obrnijiv (skratka, normiran kompleksen obseg). Tedaj je  izometrično" izomorfno.
(Gelfand, r.azur; [38], 21-22)
2. Naj bo }i  normiran realen obseg. Tedaj jeali
€    ali H    .  ([38], 22-24)
3. Naj bo "PC asociativna kompleksna normirana algebra z enoto in naj velja:  za vsak par x,y iz neke okolice enote. Tedaj je    izometrično izomorfno. (Mazur; [38] , 40)
4. Naj bo ?C asociativna kompleksna Banachova algebra z enoto. Če je enotna sfera  gladka v neki okolici enote, pri čemer je norma algebrska in enota normirana, je 
([38], 40)
5- Naj bo *ŽL  asociativna Banachova algebra z enoto e,  , in naj eksistira  za vsak singula-
ren element x. Potem je   za kompleksno algebro ozi-
roma  ali C  ali (Ml    za realno algebro.
(Spatz; £6], 56)
6. Kompleksna asociativna Banachova algebra z enoto in brez (levih in desnih) topoloških deljiteljev niča razen 0 je izomorfna C .
([28], 39)
7. Če je 2t  kompleksna asociativna normirana algebra z enoto e, katere norma zadošča pogojema 
 , /3 konstanta, potem je  ([28], 39)
8. Naj bo 3t kompleksna asociativna normirana algebra z enoto e, || e/| = 1 , nad orodnilbertovim prostorom, tako da je norma algebrska in jo generira skalami produkt. Tedaj je
- 7 -

(Bohnenblust, Karlin; £5])
9- Naj bo «K/ realna asociativna normirana algebra z enoto e, II e// = 1 , nad predhilbertovim prostorom, tako da je norma algebrska in jo generira skalami produkt. Tedaj je   ali C     ali HI.
(Ingelstam; [19J, [33])
10. Naj bo 2C lokalno konveksna topološka asociativna algebra z deljenjem (torej obseg) z zveznim inverzom. Potem je
ali &     ali B~0     za realno algebro oziroma   za kompleksno algebro. (Arens; rf3])
11. Naj bo   lokalno konveksna, separabilna, metrična in polna asociativna algebra z deljenjem. Potem je  ali €     ali M   za realno algebro oziroma  za kompleksno algebro.
(Arens; [3])
12. Naj bo Ti.  kompleksna asociativna Banachova algebra, ki je obenem cel kolobar. Če je *$t  lokalno končna, je  (Brinivasan; f34-J)
1$. Naj bo 3C kompleksna asociativna Banachova algebra, ki je obenem noetherski ali celo glavni kolobar. Potem je 

(Srinivasan; [34-] )
14-• Komutativna asociativna algebra z divizijo nad realno zaprtim obsegom ima lahko le dimenziji 1 ali 2. (Hopf)
15. Edine končnodimenzionalne asociativne algebre z divizijo nad realno zaprtim obsegom so ta obseg, njegovo algebra-ično zaprtje in njegova algebra kvaternionov. (Frobenius)
16. Kompleksna asociativna normirana algebra  z absolutno vrednostjo je izonetrično izomorfna (L.
(Doran; £l6])
17. Naj bo <K. asociativna kompleksna Banachova algebra z eno-
- 8 -
to. Če Je   za vsak regularen element x,
potem je <?£ izometrično izomorfna <£ . (Edwards; f24])
18. Potenčnoasociativna kompleksna algebra z absolutno vrednostjo in enoto je izomorfna £ .
(Ingelstam; [20])
19. Alternativna realna algebra z enoto e in z normo, porojeno iz skalarnega produkta, za katero še velja: /le// = 1 ,
 , ,ie izomorfna K  ali €   ali ff-ffali /D . Prav taka kompleksna algebra je izomorfna £ . Izomorfizem je izometrični. (Ingelstam; [20J )
20. Vsaka metrično homogena končnodimenzionalna enostransko alternativna algebra nad K je izometrično izomorfna TR. ali (L   ali Ihu  ali JP  . Isti zaključek velja, če namesto metrične homogenosti in končnodimenzionalnosti zahtevamo algebraičnost, normiranost, enoto z normo 1 in gladkost enotne sfere v enoti.
(Strzelecki; f55])
21. Naj bo 3£ poljubna algebra z enoto nad Ifc = ln» ali (L . V 2t eksistira nedegenerirana kvadratna forma N z lastnostjo N(xy) = N(x)N(y) , Vx,y€3-£ , natanko tedaj, ko je 3Č kompozicijska algebra (to je polenostavna končnodimenzionalna kvadratna alternativna algebra: IKe   , tCe & Ke   ,
H p ).                                    .
22. Realna algebra <^ z enoto e in z absolutno vrednostjo je izomorfna R ali C ali M ali P . Isti zaključek velja, če namesto eksistence enote zahtevamo eksistenco takega
elementa a ^ O , da velja: ax = xa , a(ax) = a x ,
f     \                   2
(xa;a = xa  , 
(Urbanik, Vright; f37j)
23. Komutativna realna algebra z absolutno vrednostjo je izomorfna K ali (T ali <£*( (C* je množica komuleksnih števil z običajnim seštevanjem in z množenjem x o y = xy ). (Urbanik, Wright; [57])
24. Algebre brez deljiteljev niča razen O nad realno zaprtim
- 9 -
obsegom imajo lahko samo naslednje dimenzije: 1, 2, 4,

(Bott, Milnor)
25. Naj bo 3^ Banachova algebra nad <C   in naj bo levo (oz. desno) množenje  (oz. R ) za vsak obrnijiv operator. Tedaj je &t   topološko izomorfna £. (Kaplanskv; [23])
- 10 -
V prvem razdelku bomo poljubno algebro z enoto razstavili v dve strukturi: algebro na neki hiperravnini, nevse-bujoči enoto, in bilinearno formo, torej podobno kot algebro kvaternionov razdelimo na vektorski produkt in skalami produkt na tridimenzionalnem podprostoru, ortogonalnem na enoto. Če omenjeno formo simetriziramo, dobimo novo formo, ki v marsičem spominja na skalami produkt, iz te pa naredimo nelinearno formo, ki je podobna normi. Če se zgodi, da je jedro te forme trivialno, je to res norma, algebra pa je v kompleksnem primeru •kar enodimenzionalna.
Domenimo se, da je 2£ algebra, če je <?{, vektorski prostor poljubne dimenzije nad obsegom BC  in obstaja preslikava
 iz , imenovana multiplikacija, z
lastnostmi:

Komutativnosti, asociativnosti in drugih računskih zakonov ne bomo vnaprej zahtevali. Enota, če eksistira, pa naj bo vedno različna od 0.
C 1,1] TRDITEV. Naj bo 7tQ  algebra z multiplikacijo 
 , naj bo   bilinearna forma,
in e ^ 3-C . Tedaj je    spet algebra za
multiplikacijo
(1,1)
' u
e je enota algebre "3-C .
Vsako algebro z enoto lahko dobimo na tak način.
Dokaz. Zlahka preverimo, da je ta multiplikacija res dobro definirana; treba je le preizkusiti veljavnost obeh distribu-tivnosti in homogenosti novega produkta. Očitno je tudi, da ,ie e res enota v
Pa naj bo sedaj   poljubna algebra z enoto e in neka algebrska baza, ki vsebuje e. Podbaza   naj
1.   OSBORNOVI  PARI
- 11 -
razpenja podprostor ^CQ. V skladu z razcepom zapišemo:  
 (1,2)
Iz bilinearnosti multiplikacije . sledi tudi bilinearnost preslikav G" in X. Torej je J#  algebra za novo multiplika-cijo  (a,b) —> axb  in izrek je dokazan. D
. , V trditvi [l,l]   opisan par  (#£, *3t  ) imenujmo Osbor-nov par, simbole ■  pa uporabljajmo samo v tej
zvezi.
           Naj bo  Osbornov par. Funkcional                                                                                                                   (1,5)

je očitno linearen. Imenujmo ga sled elementa <*e -na in
ga označujmo vnaprej s t. S sledjo razširimo definicijo forme C5" na cel prostor cK-:
 (1,4)
Tako definirana forma G" je res razširitev prvotne. Se vedno je bilinearna in iz (1,1) sledi:
 . (1,5) V posebnem velja:
(1,6)
(1,7)   (1,8) Definirajmo konkuriranje v </v, zanj uporabljajmo simbol
(1,9) (1,10)
(1,11)
 (1,12)
Nadalje definirajmo kvadratno normo s simbolom N :
(1,13)
 (1,140
Izločimo konjugiranje iz definicije kvadratne norme:
 (1,15)
- 12 -
Če nekaj lastnosti:
(1,16)
 (1,17) v posebnem:
 (1,18) kar nam takoj pove:
 (1,19) Neposredno iz (1,13) sledi paralelograrasko pravilo:
 (1,20)
Definirajmo še eno formo, s stalno oznako <S" :
 (1,21)
Iz (1,20) sledi za £(x,y) analogna formula:
 (1,22)
Če (1,21) in (1,22) seštejemo in delimo z 2, dobimo:
 (1,23)
Zaradi simetrije v (1,21) velja:
 (1,24) Iz (1,23) sledi:
*(x,y) = I[T(x.yK) +-r(y.xK)J  , Vx,y e 7t   ,                     (1,25)
kar pa takoj pove, da je a bilinearna forma. Upoštevaje (1,4-) in (1,12) dobimo iz (1,25):
(1,26)
:i,27)
 . (1,28) Od tod sledi:
 (1,29)
Forma 6  v marsičem spominja na skalami produkt in N na kvadrat ustrezne norme. Zato definirajmo modul:
 (1,30)
Simbol |.| rezervirajmo le za modul v  in absolutno vrednost v 
- 13 -
(1.31)
 (1,32) Iz (1,16) sledi:
 (1,33) Splošneje:
 (1,3^) Iz (1,17) dobimo:
 (1,35) Iz (1,21) pa še dobimo:
 (1,36)
Še eno definicijo potrebujemo:

C 1,2] TRDITEV. Naj bo (^,3CQ) Osbornov par. Naslednje izjave so ekvivalentne:
(1,37)   (1,38)
Te izjave implicirajo še naslednje trditve:

- 14 -
 (1,59)
Dokaz. i 
 . Ker je 2L    podprostor, je tudi
, iz česar sledi:  N(2<*e) = 4* = 0 , kar da oC = U . (b) =;> (c). Recimo, da je 
 , kar pa ni mogoče zaradi 
Pa naj bo še 
 , kar pa je spet protislovje, in sledi:

Naj bo IK = TfC     in naj velja (c) ; 

Naj bo IK = C      in naj velja (c) 

Posledica (C) sledi od tod in iz (1,23) .
 Vzemimo najprej taka x,y € o^č , da je:


Denimo, da je £(x,x) = O . Za dovolj velik M in primerno izbran smerni kot števila oč je tedaj leva stran te neenačbe negativna (iz od = O namreč sledi: ), kar pa ni
res. Torej je  S"(x,y) = 0 .
Vzemimo v nasprotju s prejšnjo predpostavko: ,
in vstavimo v neenačbo (*):
 , oziroma:
 (kar sledi iz (*) za zelo velik <<■ 6 TF~ .
To pa velja tudi v primeru &(x,x) = 0 , torej velja nasploh. Če je IK=TR*    , je začetni pogoj vedno izpolnjen (zaradi (A)) in zato velja:

Pa vzemimo 

- 15 -
zaradi posledice (B). Enako:  
 zaradi posledice (C). To pa je obenem konec dokaza trditve (d) in posledice (D). (E) že sledi iz (d).
Pokaz sledi iz formule (1,36).
 Do linearnosti množice *2L    manjka le še zaprtost za seštevanje:

Posledica   (F) sledi od tod in iz že znanih lastnosti obeh funkcij.
Posledica   (G):
Posledica   (H): 

fl,?] TKDITEV. Naj bo (3C, <fc ) Osbornov par in 7C°  =   fo} . Tedaj je 3C unitaren prostor:
(a) Za , modul je kar enak absolutni vrednosti.
(b) Za evklidski prostor s skalarnim produktom S(.,.) in ustrezno normo /./.
(c) <5" je nedegenerirana bilinearna forma.
Dokaz, (a) Če je  , je po trditvi [l,2], posledica (C):
 in zato 
(b) Če je , sledi trditev iz trditve £l,2], posledi-
ca (F).
 . Naj bo še    , poljuben element.

 .
Enako dokažemo še drugo nedegeneriranost, le da uporabimo še (1,12). D
Seveda se takoj vprašamo, če je algebra pod (b) iz trditve fl,3j kakšna posebna algebra. Nikalen odgovor nam
- 16 -
da naslednja trditev:
["1,4-1 TRDITEV. Vsak Osbornov par i nad ^, za katerega velja  lahko konstruiramo takole:
 naj bo poljubna realna algebra s produktom X,
 •
- &naj bo bilinearna forma z lastnostjo:  ,

- x naj bo algebra s produktom (1,1) . Dokaz je preprost.
Vse to kaže, da je struktura, ki smo jo uvedli v tem poglavju, precej "površinska" in ne sega v dejansko strukturo algebre. Multiplikacijsko strukturo v algebri 2£ Osborno-vega para  smo zgolj razčlenili v dve neodvisni struk-
turi: prva je algebra Pf, z multiplikacijo X*, drugo pa podaja bilinearna forma G".
To analizo je v [26] izvršil Osborn za poljubne kvadratne algebre (prav zato smo par imenovali po njem).
- 17 -
2. KVADRATNE ALGEBRE
V tem razdelku bomo nanizali osnovne lastnosti kvadratnih algeber. To je potrebno zato, ker te lastnosti verjetno nikjer v literaturi niso sistematično zbrane, mi pa jih bomo pozneje še kako potrebovali. Pokazalo se bo, da je analiza algebrske strukture, opisana v prvem razdelku, zelo primerna ravno za študij kvadratnih algeber.
Ponovimo definicijo kvadratnih algeber in nekaj osnovnih lastnosti, pa še nekaj novih izpeljimo.
f2,l] DEFINICIJA. Algebra 2C z enoto e nad K  je kvadratna algebra, če je linearno odvisna množica za
vsak 
Za vsak element x € c?C torej velja:

pri čemervsaj eden od koeficientov ni 0. Če je  , je   , in zato: . Toda tedaj je tudi:

zato smemo vzeti: • Delimo z njim in na novo označimo koeficiente, pa dobimo:
 (2,1)
Funkcionala *r in N sta dobro definirana v vsakem primeru razen za  . Tedaj pa postavimo:
 (2,2)
s čimer je enakost (2,1) izpolnjena za vsak 
I2,2] TRDITEV. Naj bo • kvadratna algebra in Ker 
Tedaj je   Osbornov par, pri čemer je f sled
in N kvadratna norma, pa antikomutativna algebra.
Dokaz. Najprej dokažimo, da je funkcional T  linearen!

Seštejmo obe enačbi, pa bomo dobili:

Posebej upoštevajmo , pa dobimo z upošte-
vanjem (2,2): 

Seštejmo obe zadnji enačbi:

Posebej upoštevajmo , pa dobimo:

Vzemimo sedaj, da so elementi  e,x, y linearno odvisni: 

Privzemimo še, da so e,x,y linearno neodvisni.
 2 Upoštevajmo:  in enako za y , pa je:
 •
Izrazi v oglatih oklepajih morajo biti O. Seštejmo prva dva, pa vidimo, da je t linearen.
Ker t   je torej hiperravnina in lahko sestavimo Os-bornov par  . X* je očitno sled v tem paru.
Pa naj bo . Po formuli (2,1) lahko
zapišemo:

iz česar sledi:  aXa = 0 in algebra ~d(    je antikomutativna, Ker pa je  i je:

Torej je , in N je res kvadratna
norma po (1,13)• D
Trditev in dokaz sta vzeta iz £26j. To velja tudi za obratno trditev:
-  18  -
- 19 -
[2,3l  TRDITEV. Algebra X v Osbornovem paru (3€,?C ), v katerem Je 3£ antikomutativna algebra, je kvadratna, pri čemer za sled in kvadratno normo velja (2,1).
Zanimivo pri tej trditvi je , da je funkcional <5" popolnoma poljuben.
Dokaz. Naj bo ,3£ antikomutativna algebra in (*(.,.) neka
bilinearna forma. 
 •
Elementi  in e so linearno odvisni in al-
gebra je res kvadratna. Ker pa je po (1,13) in (1,18) tudi

je trditev dokazana. D
(2,1) sedaj lahko zapišemo takole:
 (2,3)
Ker je antikomutativna algebra potenčnoasociativna, takoj sledi, da je tudi poljubna kvadratna algebra potenčnoasociativna! To trditev lahko dokažemo tudi neposredno z dokazovanjem veljavnosti obeh osnovnih identitet:
 • Odslej naj velja dogovor, da če je ^t  kvadratna al- J gebra v Osbornovem paru , je 3£ konstruiran v smislu trditve f2,2J: 3£  je jedro funkcionala T iz (2,1) in je antikomutativna.
[2,4] TRDITEV. Naj bo 3t kvadratna algebra v Osbornovem paru 
\                   '  (2,4)
Dokaz. 
 • □
[p^H   TRDITEV. Naj bo oi,  kvadratna algebra v Osbornovem pa-
 (2,5)
- 20 -
 (2,6) Preveritev trditve je preprosta.
Konjugiranje je torej (realna) involucija na X- , na 3t  pa je to natanko tedaj, ko je &  simetrična bilinearna forma, torej ko je:
 •
Zlahka preverimo še formuli:
I                            (2'8)
[2,6] TRDITEV. Naj bo (3£,Xq) poljuben Osbornov par nad K
in konjugiranje   involucija na algebri ot   :

Dokaz. Naj bo 
 . Zato:   in 
Za  je zato lahko le 

in ?C je antikomutativna algebra. D
C2,73 TRDITEV. Kompleksifikacija 3dc kvadratne algebre 2t
je spet kvadratna algebra. Funkcionali t,d ,0", N, /./ se z nespremenjenimi lastnostmi razširijo na 7CC.
Dokaz. Naj bo 

To je že dovolj za trditev, da je 3£c kvadratna algebra. Cd tod sledi tudi linearnost razširitve funkcionala T.
- 21 -
Predpostavimo veljavnost (1,25) v 

[2,8] PRIMERI. Kvadratne algebre najnižjih dimenzij.

- 22 -

[2,91 TRDITEV. Naj bo $t  kvadratna algebra nad K  v Osborno-vem paru ("3C2C  ). Tedaj velja za 
(2,9) (2,10)
(2,11)
I           (2,12)
Posledica:           (2,13)
Dokaz. Vzemimo najprej  
Če sedaj v (2,9) postavimo na obeh straneh absolutno vrednost in korenimo, dobimo še identiteto "(2,10).
Za preveritev (2,11) najprej dokažemo s popolno indukcijo: 
Potem pa še enkrat uporabimo popolno indukcijo:

(2,12) takoj sledi iz (2,11). D
[2,10] TKDITEV. Naj bo 3t   kvadratna algebra nad K  v Osbor-novem paru (3£,2Co). Tedaj velja za 


 imata v vseh izrazih fiksna smerna kota oziroma, v realnem primeru, fiksna predznaka.
Dokaz. Dokaz poteka v vseh treh primerih s popolno indukcijo, le v primeru (2,16) moramo najprej preveriti, če je za ffC = K   doblj eni izraz sploh realen, kar pa z upoštevanjem kompleksne izražave funkcij sin in cos ni prav nič težko. □
TRDITEV. Naj bo <K,   kvadratna algebra v Osbornovem paru (2£, <£ ) nad BC. Naslednje izjave so za x € ?£
ekvivalentne:
 •'
Dokaz, (a) =^ (b). Očitno!
(b) => (c). Uporabimo trditev £2,loJ. Zelo lahko je videti, da je samo potenca v (2,14) lahko enaka 0 in sicer za oc = 0. To pa že da izjavo (c).
(c) => (a). 
=^ x = 0 po enačbi (2,1). □
[2,12] TRDITEV. Naj bo 3£ kvadratna algebra v Osbornovem paru  nad OC  in 7* jč J£  nek ideal. Tedaj je

Dokaz.  , pa naj bo *P   levi ali
desni ideal. Po enačbi (2,7) je torej:  , kar pa
nam da: N(x) = 0 . O
j2,13J   TRDITEV. Naj bo 9C kvadratna algebra v Osbornovem paru (3£,^£ ) nad IK. Naslednji izjavi sta ekvivalentni: o
■
- 23 -
- 24 -
(a) Eksistira netrivialen idempotent;
(b) 
Ti dve trditvi implicirata še izjave:
(A) Vsi idempotenti so v 3£? (netrivialni seveda);
(B) če je q poljuben element v 2£  z lastnostjo N(q) = -1 , sta   in p  idempotent a;
' » (G) Vsi netrivialni idempotenti so takšnega tipa;
(D); (2,17)
(2,18)
 (2,19) Dokaz, (a) =^ (b). Naj bo , ne-
trivialen idempotent. 

Iz prvega dela dokaza sledijo še vse ostale trditve. D
[ 2,14-J TRDI TE V. Naj bo <K, kvadratna algebra v Osbornovem paru (cK*,c?č ) nad uC  in naj bo brez pravih deljiteljev niča.
(a) Za 
(b) Za UC = R ima 36 naslednji karakteristični lastnosti :
(A) je skalami produkt,
(B) za poljubna linearno neodvisna  je tudi trojica a,b,axb  linearno neodvisna.
3C je torej poseben primer algebre iz trditve f1,3J -
Dokaz, (a) Naj bo  a € 3C .

Zato:  a = O  in dim^C = 1 .
(b) Iz prvega dela dokaza takoj sledi: ,
 . Ker pa je   ,
- 25 -
Je po trditvah fl,2J in [1,3] forma skalami produkt. Recimo, da je:   za neka in
 Je:
 , kar je v nasprotju s predpostavko.
Če pa je   , je:
 , kar pa pomeni, da sta a in b v tem primeru kolinearna.
Sedaj pa vzemimo, da algebra 2C izpolnjuje pogoja (A) in (B) in naj eksistirajo  , da
je , pa je vseeno

To je možno le, če sta a in b linearno odvisna, na primer
 . smiselno je vzeti 

Iz prve enačbe izračunajmo /S, ga vstavimo v drugo enačbo in krajšajmo z  -X, pa dobimo protislovno zahtevo

To je delen odgovor na Osbornovo vprašanje (["26]), ali se da vsaka antikomutativna algebra z lastnostjo (B) vložiti v neko kvadratno algebro z deljenjem.
- 26 -
5. BANACHOVE ALGEBRE
Najprej bomo z leino f3»lj pokazali, da je definicija Banachove algebre lahko ravno taka kot v asociativnem primeru. Zatem bomo uvedli strukturo Banachove algebre še v Osbornov par, tako da zahtevamo zaprtost druge komponente tega para, pri čemer se izkaže, da sta obe algebri Banacho-vi. Odlikovali pa bomo tiste norme, ki so algebrske za obe algebri para in v kateri je sled para - kot bomo pozneje videli - neko stanje. Posebej velja opozoriti na trditev [3,8j, v kateri pokažemo metodo določitve norme, ki je hkrati al-gebrska in je norma enote 1, pri čemer ta metoda ni odvisna od asociativnosti (in celo ne od polnosti, kar ugotovimo pri pozornem branju dokaza), v nasprotju s klasičnim Gelfandovim načinom. V trditvi £3,10] tudi na preprost način določimo algebrsko normo, pri kateri je sfera, ki vsebuje enoto, v le--tej gladka. V nadaljnjih trditvah bomo še ocenili funkcio-nale, ki izvirajo iz Osbornovega para, in povedali nekaj dejstev o kompleksifikaciji.
V tem in v naslednjem poglavju se bomo držali dogovo- F ra, da bomo označevali produkt v poljubni algebri s krožcem o, znaka . in X pa bomo rezervirali za produkta v algebrah, ki lahko tvorita Osbornov par.
Naj bo <K, algebra nad ffC z multiplikacijo
o.'     •
Levi in desni kanonski operatorji: 
(3,D
(3,2) (3,3)
(3,4)
I   (3,5)
[3,ll LENA. Naj bo <&, algebra nad BC  z multiplikacijo o in obenem Banachov prostor z normo H.II. Naslednje izjave so ekvivalentne: (a) Multiplikacija © je zvezna. I        (b)  .   (3,6)
(c) Eksistira prvotni normi ekvivalentna norma H ./I-, , za katero velja:
■      ''   .                           (3,7)
(d) Multiplikacija o je ločeno zvezna:

(e) Vsi kanonski operatorji so omejeni.
Dokaz. Ekvivalenco  (a) <$=>  (b)  dobimo v [l5], 103,104.

Družina omejenih linearnih operatorjev , 
je zato enakomerno omejena in Banach - Steinhausov izrek
pravi: 
Sledi: 

od koder pa dobimo (b) po množenju z |yll .  D
Opomba. Implikacija  (d) =^ (b) , ki smo jo tukaj dokazali po Rickartu (£28]), se običajno pokaže s klasičnim Gelfandovim dokazom, katerega ideja je v tem, da uvedemo novo normo lllxlll  = IIL J . Pri asociativnih algebrah ima ta sicer precej daljši dokaz to prednost, da pokaže hkratno
- 27 -
- 28 -
veljavnost dveh formul: (ker
velja (3,5) in je za morebitno enoto). Mi bo-
mo morali konstruirati takšno normo drugače.
[3,g] DEFINICIJA. Vektorski prostor K,  nad tiC  je Banachova (oz. Hilbertova) algebra, če je:
(a) ^C  je Banachov (oz. Hilbertov) prostor,
(b) 3C je algebra,
(c) multiplikacija je zvezna v dani topologiji.
Iz prejšnje leme vemo, da za normo 11. II  Banachove algebre 2C velja (3»6) in da lahko uvedemo novo  normo 11x11-, = M||xl| , da velja (3*7) (če gre za Hilbertovo algebro, potem prvotni skalami produkt <., •> nadomestimo z novim:
 . Vsako normo, za katero velja (3,7)? imenujemo algebrska norma.
f3,3J LENA. Naj bo cK, Banachova algebra z normo R J/ , ki naj bo algebrska.
(a) Množicista
odprti. 
(3,8)
(3,9) (3,10)
(3,11)
(3,12) , (3,13)
(3,14-)
 (3,13)
_Dokaz. Dokažimo le trditev (a), ker so druge bolj ali manj trivialne. Naj eksistira L""x. V množici 3(<K-) omejenih ope-
-A.
ratorjev nad ?C eksistira odprta krogla s polmerom £ okoli
- 29 -
L , v kateri so vsi operatorji obrnijivi (ker je množica invertibilnih elementov v "S(30 odprta). Naj bo  z poljuben element s pogojem 

[3,4-] DEFINICIJA, (a) Banach - Osbornov par je Osbornov par
(<K-,3€ ), v katerem je 3C Banachova algebra in *2C zaprt podprostor. Normo 11.11 v 3C, ki je algebrska za algebri 4L  in dt    hkrati in za katero velja:
 za vsak a e &t     , bomo imenovali Banach - Osbornova norma tega para. (b) Hilbert - Osbornov par je Banach - Osbornov par (<R,2C ), v katerem je 2£ Hilbertova algebra. Banach -- Osbornovo normo v 2C, ki izhaja iz skalarnega produkta, bomo imenovali Hilbert - Osbornova norma tega para.
Uporabljali bomo naslednje okrajšave: BO-par, HO-par, BO--norma, HO-norma.
[3,33 TRDITEV. Naj bo %t   Banachova (oz.   Hilbertova) algebra
z enoto e. Tedaj eksistira omejen  linearen funkcional
*V   z lastnostjo  , da je   za Ker t = ?£ par
 BO-par (oz. HO-par).
Dokaz. Naj bo 3C Banachova algebra z enoto e. Definirajmo: tQke)   = X  . t>  je omejen linearen funkcional in po Hahn -- Banachovem izreku ga lahko razširimo na cel prostor <K . Ker T = 36 je zaprta hiperravnina. Po enačbah (1,1) in (1,2) konstruiramo Osbornov par, pa je trditev dokazana. □
T5»6 LEMA. Naj bo *3t  Banachov prostor z normo IJ.II nad UC in 3-C zaprta hiperravnina, tako da je  za nek  . Naj bo p(^,/s) norma v 
lastnostjo:

norma v 2C, ekvivalentna prvotni normi If./I.
Dokaz. Denimo, da eksistirajo štiri števila , za katere je: 
- 30 -

To protislovje kaže, da iz lahko
sklepamo: 
Pokažimo sedaj, da je II. H  res norma I Naj bo 
 P                                            *
Vse norme v R, so ekvivalentne. Torej eksistirata pozitivni števili £ in o\ da je: 

Definirajmo še:  Q = I - P . Ker sta 9Ce  in ?C zaprta podprostora, sta P in Q omejena operatorja: 
[3,7] TRDITEV. Naj bo X.n  Banachova (oz. Hilbertova) algebra s produktom  , ni  ©(.,.) je
zvezna bilinearna forma na 7C{.   Tedaj je 
 Banachova algebra za katerokoli normo iz leme ("3,5] (oz. Hilbertova za normo  iz
leme [3,6]) in za produkt (1,1). Cdt,K.Q)   je potem
- 31 -
BO-par (oz. HO-par).
Dokaz. *X, je, kot je znano, res Banachov prostor. Zožitev norme iz leme [3,6] na 3£ je proporcionalna
prvotni normi:   , zato je tudi v novi
normi 3-C isti Banachov prostor in s tem zaprt v $t. Naj bo:

 pa je spet ena izmed norm iz leme [3*6] in je zato ekvivalentna ostalim:

Od tod pa sledi:

[3,8] TRDITEV. Naj bo 0R,%) BO-par nad BC.   Eksistira taka BO-norma /j./( tega para, da je II e I   = 1 .
Dokaz. Naj bo W-l/n neka norma Banachovega prostora 3£. Zanjo tedaj velja: ,
pri čemer je p > O . Postavimo: P = max{l,pj in uvedimo novo normo: 
Po lemi [3,6j je ta norma ekvivalentna prvotni; 3 m,M > O ,



Doka žimo, da je \\<e   + a/| = M    + Qffafl   iskana norma!
(a) Po lemi [3,6J je ta norma ekvivalentna prvotni.
(b) Naj bo 


in nova norma je v algebri 96 algebrska. (c) 
in nova norma je tudi v algebri 36^ algebrska. (d) 
[3,91 KOROLAR. Naj bo (96,2^) BO-par nad IC . Tedaj je tudi ^C Banachova algebra (v inducirani strukturi Banac-hovega prostora).
[3,10] TRDITEV. Naj bo (26,^) BO-par nad iC . Eksistira taka BO-norma J.II, da je za vsak  funkcija
 pri Jh  = O odvedljiva.
Dokaz. Naj bo J'-M0 neka norma Banachovega prostora 2t.   Uvedi mo novo normo:

Po lemi [3,6j je ta norma ekvivalentna prvotni. Zato zanjo velja: 
 (upoštevaje korolar f3»9j)«
Če je N = max£m,M3 , naj bo iskana norma 
(a) Tudi ta norma je očitno ekvivalentna s prvotno.
w
(c)
(d) 
Torej   je   11.11   res  BO-norma.
Pa  naj   bo in

- 33 -

r5,Hi TRDITEV. Za HO-par Ot,^) nad SC  veljajo naslednje i z j ave:
(a) Eksistira HO-norma.
(b) Za vsako HO-normo velja:
 (3,16)
Za ustrezen skalami produkt <., .> velja, da je J£ ortogonal enote e in je:
 (5,17)
(c)   Za vsako HO-normo   f/./l   je  za vsak    x e %C   funkcija
odvedljiva:
(3,18) i  (čL) 7C0  0e spet Hilbertova algebra.
Dokaz, (a) Naj bo f/. II    neka norma Hilbertovega prostora 2€, ki jo generira skalami produkt <•,.> • Ker Je <^0 tudi Hilbertov prostor, je forma <&e + a,fte t bX = <*/* + + <^a,b^  za spet skalami produkt,
njegova norma je ekviva-
lentna prvotni in, če jo pomnožimo z dovolj veliko konstanto N, dobimo novo normo //.//, ki je BO-norma, kot smo videli v dokazu trditve [$,10j. Je pa tudi HO-norma, ker jo generira skalami produkt -, •
(b) Naj bo sedaj H.// neka HO-norma HO-para (3t,9C0).


Recimo, da je , in vzemimo:
 , oziroma za  :
Ker pa sme biti IX/ poljubno majhen, je nujno  in *K,    je ortogonal elementa e.
(c) Naj bo sploh poljubna Hilbertova norma.

- 34- -

(d) Sledi neposredno iz (a). D
r 3 * 12] KOKOLAR. Naj bo 9v Banachova algebra z enoto e nad #£. Veljajo naslednje izjave:
(a) V 3v eksistira algebrska norma H.II,   za katero je   •
(b) V 21 eksistira algebrska norma A.K, za katero je za vsak  funkcija  pri /h  = O    odvedljiva.
(c) Ce je <R Hilbertova algebra, je sploh v vsaki normi, generirani s skalarnim produktom, ta funkcija
 odvedljiva pri JI  = 0 in velja:

Dokaz. Trditvi (a) in (b) sta posledici trditev [3,5j,f3,8J in [3,10j. Trditev (c) pa sledi iz dokaza trditve [3,ll]. D
Takoj se nam zastavi vprašanje, ali eksistira v Ba-nachovi algebri taka algebrska norma l/.ll , da je llell  = 1  in hkrati da za vsak  eksistira v  re-
alnem smislu; v posebnem, ali eksistira v Hilbertovi algebri taka algebrska norma ||.||, generirana s skalarnim produktom, da je l\el\  =  1 . Odgovor je nikalen! V tem delu bomo pokazali, da se to zgodi le v zelo specialnih algebrah,
f3,13D TRDITEV. Naj bo   BO-par in 11.// neka BO-norna
na njem. Tedaj velja:
(3,20) (3,21)
(3,22) \  (3,23)
(3,24) ;          V(3,25)
- 35 -
V (3,26)
 ' (3,27)
Dokaz. pri čemer
gre supremum po vseh elementih ,

upoštevaje izpeljavo enačbe (1,15)-

(3,24) dobimo iz (1,25).
Z upoštevanjem  izpeljemo: ,
\                                                 "(3,28)
•i — •• 
Ostale formule sledijo iz (3,24) in (3,25). D
Ocene (3,23) v splošnem ni mogoče izboljšati, kar kaže naslednji primer.
[5,14] PRIMER. Naj bo   oziroma

Da je to res norma, vidimo, če narišemo ustrezno enotno kroglo, ki je paralelogram in zato konveksna, uravnovešena, absorbirajoča in omejena množica:
- 36 -
Zaradi končne dimenzionalnosti prostora velja:
 algebrska norma v
Norma /!.// je torej res BO-norma.

l3,15l   TRDITEV. Naj bo (Jfc, 3£ ) HO-par in /l.ll neka HO-n0rma. Poleg formul iz trditve ^3,13] veljajo še naslednje:
(3,29)
(3,30)
(3,3D
 (3,32) Dokaz. (3,29) dobimo iz (3,16). Iz iste enačbe dobimo še:

(3,3D sledi iz (3,24). D
Iz izreka [3,13J sledi, da so funkcije in   zvezne.
13,16] TRDITEV. Naj bo  BO-par. Velja:
(a)  sta zvezni funkciji.
(b) je po Frechetu odvedljiva:
 (3,33)
(c) je zaprta množica.
Dokaz. 
 , pri čemer smo upoštevali (1,21) in  v neki normi II.H Banachovega pro-
stora *&t .   S tem je izjava (b) potrjena. Izjava (a) sledi od tod, iz slednje pa še izjava (c), saj je *H,    kot jedro funkcije N(x) zagotovo zaprta množica. □
Kompleksifikacijo *dt    realne Banachove algebre ^ z normo 11.// izvedemo natanko tako kot v asociativnem primeru ([38], 18 - 20): Za   je:

 (v smislu naravne vložitve x —>  x + iO ) . cK-c ima enoto natanko tedaj, ko jo ima #£, in obe enoti sovpadata.
V 7tc  eksistira taka norma //.11  (njena enotna kro-gla je najmanjša uravnovešena konveksna množica v 3C , ki vsebuje enotno kroglo v 3C), da velja: (a);
(b) 
(c) 2CC je za to normo Banachova algebra natanko tedaj, ko je 5^ za prvotno normo Banachova algebra;
(d) JCC   je v topologiji norme //.// Hilbertova algebra na-tanko tedaj, ko je   v topologiji norme //.// Hilbertova algebra;
(e) norma //.//  je algebrska natanko tedaj, ko je taka tudi /l.ll;
(f)   (za enoto e, če le eksistira). Če na omenjeni način kompleksificiramo algebro 2£
BO-para (oz. HO-para) (2t,9CQ), je par (3tC,2£C) spet BO-par (oz. HO-par); funkcionali  se pri tem
razširijo na algebro 2£  na običajen način (torej je :
- 37 -
- 38 -

 ). Norma ll.11   v dt  Je za par  BO-
-norma natanko tedaj, ko Je tudi II.II  BO-norma za par


Pripomba! Glede točke (d) velja pripomniti, da če Je 11.II v 3<. norma, porojena iz skalarnega nrodukta, če ni nuJno,'da Je taka tudi norma /1.// . $(.    Je pa vseeno Hil-
V/
bertova algebra, saj Jo lahko opremimo z drugačno normo:
 . Tudi za to normo, ki Jo generira skalami produkt, namreč veljata neenačbi (a), pa Je zato ekvivalentna normi II. II .
Tudi odvedljivost funkcije  pri
fl> = 0 (v realnem smislu!) se v kompleksifikaciJi v splošnem ne podeduje na normi fl.ff . Protiprimer Je hitro pri roki. Vzemimo kvaternionsko algebro frti   z absolutno vrednostjo |.| kot normo.      Hilbertova algebra za to normo, ki Je al-gebrska in za katero velja: |l| = 1 . Kompleksifikacija (ki Je še vedno asociativna algebra), Je Hilbertova algebra v topologiji nove norme, ki Je algebrska in za katero spet velja: |l|  = 1 . Če pa bi bila ta norma še generirana s skalarnim produktom ali vsaj funkcija  odvedljiva pri fi  = O , bi po Cpatzu ([6], 56) prišli do nepravilnega sklepa: 
Posledica: če Je //.// za par (3£,2£ ) HO-norma, potem l/.JL za par (čK , 3£_) to v splošnem ni.
- 39 -
4. POTENCE
Najprej "bomo definirali potence v Banachovi algebri kot konveksne kombinacije različno asociiranih produktov e-nakih elementov. Potem pa bomo definirali spektralni polmer v dveh variantah - z po normi največjimi ali najmanjšimi potencami - in pokazali nekaj njunih lastnosti. Sledili bosta še dve temi: o odvodih potenc in o levih in desnih inverzih v bližini enote.
V tem razdelku naj bo Ji, Banachova algebra nad BC z multiplikacijo o in z algebrsko normo II.(I •
Čista n-ta potenca p (x) elementa x € 3£  je produkt n faktorjev x v določenem zaporedju množenj. Posebej definirajmo:  p (x) = x .
n-ta potenca P (x) elementa je kon-
veksna kombinacija čistih n-tih potenc:
 >
Čiste potence so seveda posebni primeri potenc. Z s(n) smo označili število formalno različnih čistih n-tih potenc. Glede na to, da je vsaka čista potenca produkt dveh čistih potenc nižje stopnje, velja enačba:
 (4,1)
8 kvadriranjem vrste u in z upoštevanjem (4-,l) dobimo (idejo dolgujem T. Pisanskemu):

Nato razvijemo u v Tavlorjevo vrsto in s primerjavo členov dobimo:

- 40 -
 ima že 5 členov, itd. Ker je norma v X algebrska, je  , iz česar
sledi:
!     ,                                                                                            C*,3)
za vsak x € 2C in za vsako potenco P . Za vsako potenco P velja: 
(če je e morebitna enota v 3C) , za vsak 
pa še:, j     .                                                                            (4,4)
Če sta dve n-ti potenci, je za vsak  in za
I      ,                                             (4,5)
kjer je P spet n-ta potenca. Zato je tudi vsaka konveksna kombinacija n-tih potenc spet n-ta potenca.
Če je algebra $t  potenčnoasociativna, je Pn(x) = xn v običajnem smislu.
[4,l] LENA. Bodita Pm in Pn dve potenci v 91. Tedaj eksisti-rajo take potence (označili jih bomo z- indeksom 1), da za vsak x € Vi.   in vsak velja:
[(4,6)
I(4,7)
 (4,8)
(če je e morebitna enota v 9C).
Dokaz. Prvi dve enačbi sta očitni. Prav tako je ja^no, da zadostuje, če (4,8) dokažemo le za čisto potenco.

Dokažimo (4,8) s popolno indukcijo!
Za vsak n eksistirata za dano potenco p  taki potenci p  in
pn~x, da je:

- 41 -

Zato Je po upoštevanju (4,4-) in (4,5):

kar nam zaradi (*) že da (4,8). D
Z diamTft označimo premer množice Tfl   :

[4,2] TRDITEV. Naj bo x 6 ^L   in nfN  .
(a) Množica  je konveksna kompaktna množica.
(b) supl|Pn(x)[ = max!Ipn(x)l|                                              (4,9)
P                         P
(supremum gre po vseh n-tih potencah, maksimum pa
po vseh čistih n-tih potencah).
(c)            (4,10)
P
Dokaz, (a) {pn(x)} Je konveksna ogrinjača končno mnogo točk. (b) Naj bo maxllpn(x)|| = ||p*(x)|| .
D 
[4,3] DEFINICIJA. Spodnji spektralni polmer elementa 
 " " .(4,11)
Zgornji spektralni polmer elementa :
- 42 -
i       0,12)
Če je algebra <K. potenčnoasociativna, dobimo:
 (spektralni polmer v
običajnem pomenu).
[4,»] LEMA. 
j        (b)
(c)
I      (d)
(e) (f) 
Vse trditve v lemi so trivialne. [4,3] TRDITEV. 
 (4,15)
Dokaz. Dovolj bo,če pokažemo enakost


Ta račun je pravilen za   pa faktor
P  (x) kar spustimo in zaključek ostane isti. Torej je: 
Ker pa je bil o  poljubno pozitivno število, je:

[4,6] TRDITEV. Za vsak x € 'H   , vsak k e NI   in vsako k-to
k potenco P velja:
 0,16) Dokaz. Označimo:  , zato je:

[4,7] TRDITEV. . (4,17)
Dokaz. Vzemimo, da je x /  O in dokažimo samo prvo neenačbo, dokaz druge je analogen.

-  43   -
- 44 -
Če je , naj bo </fc(x) najmanjša zaprta podal-gebra, ki vsebuje x. Seveda je tudi <A(x) sama zase Banacho-va algebra. Brez težav preverimo, da je A(x) zaprtje podal-gebre, ki jo generira x. Če je podalgebra, ki jo generira x€ € 2£, asociativna, je, kot je znano, cA(x) asociativna in komutativna.
f4,83 TRDITEV.' Naj bo x 6  3£. Naslednji izjavi sta ekvivalentni :
 za vsako potenco P (in za vsak n). Če je za tak x in za isto normo A(x)  enakomerno konveksen prostor, je algebra t4(x) asociativna in komutativna.
Dokaz, (a) 

(b) =» (a). 
Pa naj velja (b) in ^(x) naj bo enakomerno konveksen prostor; :

Toda ker zaključek implikacije ni pravilen, tudi ne velja predpostavka, zato:

To pa je že dovolj za enakost obeh potenc in za asociativ-nost algebre z generatorjem x. D
Za poznejšo rabo si oglejmo odvode potenc. Začnimo s primerom 

Sledi:  
Analogno naprej izračunamo:

Mislimo si sedaj potenco P (x) kot multilinearen operator 'z n (enakimi!) argumenti: P (x) = A(x,x,...,x) . Potem brez težav preverimo naslednje identitete:
 (4,18)
(v vsakem členu vsote je u na i-tem mestu);
 (^,19)
(v vsakem členu vsote je u na i-tem mestu, v pa na j-tem mestu), in tako dalje do
 (4,20)
(vsota gre po vseh permutacijah u-jev).
 (4,21)
Odvod [d Pn(x)](...)  ima v splošnem n!/(n-k)!  členov.
(k) Nekaj posebnih primerov! Označujmo: xv J   = (x,x,...,x)
(4,22) (4,23)   (4,24)
(to je kar Tavlorjeva vrsta za Pn(x) ). Če eksistira enota e v 3t, je:

kjer so P"?(u) neke določene potence S pomočjo (4,24) izračunamo  ter s primerjanjem potenc dobimo (za k ^ 0,n ):
 (4,25) To je pravzaprav druga oblika trditve (4,8).
- 45 -
- 46 -
Formule (4-,22) - (4,25) se delno posplošijo z dodatno definicijo D° = identiteta. Še elegantnejše postanejo trditve, če dodatno definiramo P (x) = e , Vx € %£,  , le da je ta enačba nekoliko sporna.
Domenimo se za dve oznaki, ki bosta ponekod precej skrajšali pisanje:

Do konca razdelka predpostavimo eksistenco enote e  ¥
v ae.                                                                                                       •
Levi inverz elementa x € 7£ je tak element xg   , da je

[4,9l TRDITEV. Naj bo ||x|| <  1  v K. I                     (4,26)
Element  e + x nima drugih levih in desnih inverzov.
(4,28)
1       (4,29)
Dokaz. Da sta to res inveza, dokažemo kar z množenjem. Preveriti je treba le konvergenco:

velja tudi neenačba (4,28). (4,29) sledi od tod. Vzemimo še, da sta dva leva inverza;

- 47 -

To pa je zaradi  /|xH <  1 mogoče le pri y - z = 0 . O
Vrsti (4,26) in (4,27) sicer konvergirata na širšem območju. Ker je:
 (4,30)
sta zadostna pogoja že  oziroma
Še en zadostni pogoj lahko dobimo: 

[4,10] TRDITEV. Naj bo It  Hilbertova algebra s skalarnim produktom <., .> in ustrezno normo II.II , ki na .i bo algebrska. Če je za ,
eksistirata 
Dokaz, (a) 
(b) 
£(*) doseže minimum, ko sta zadnja dva člena enaka 0, to je za  Torej je v splošnem:

5. EKSPONENTNE FUNKCIJE
Glede na to, da potenc nismo definirali enolično, je tudi eksponentnih funkcij zelo veliko; kljub temu pa se izkaže, da je njihovih slik pri istem argumentu le za kompaktno množico*. Prvih nekaj trditev v tem razdelku opiše lastnosti eksponentnih funkcij, ki seveda niso prida bogate, razen pri funkcijah, ki sta sestavljeni samo iz potenc tipa P-r in PR. Spodnja in zgornja ogrinjača norm eksponentnih funkcij sta dve skalami funkciji E in F, ki podedujeta skoraj vse prvotne lastnosti, celo zveznost. Na koncu razdelka definiramo še logaritem in v okolici enote zagotovimo njegovo eksistenco z aplikacijo izreka o implicitnih funkcijah.
V tem razdelku naj bo 2K- Banachova algebra z enoto e, f z multiplikacijo . in z algebrsko normo IJ   nad UC.                       *
Definirajmo eksponentno funkcijo nad   :
 (5,1)
kjer je P  ; n = 1,2,3«•••  poljubno zaporedje potenc. Razumljivo je tedaj, da ima algebra, ki ni potenčnoasociativna, lahko še zelo veliko različnih eksponentnih funkcij.
Posebej označimo:             (5*2)
in analogno še ExpR(x) .
[5,11 TRDITEV. Vsaka eksponentna vrsta 'Exp(x) konvergira za vsak x e &C   in njena vrednost je zvezna funkcija argumenta x. Preslikava 06 —*» Exp(otx)  iz K v ?C je za vsako eksponentno funkcijo in vsak x €• ?C cela analitična funkcija. Velja še:
(5,3)   (5,4) Če sta Exp-j in Exp~ poljubni eksponentni funkciji in
 eksistira natanko določena eksponentna funkcija Exp, da je:
 (5,5)
- 48  -
Dokaz. 
iz česar sledi konvergenca vrste in (5,3).

To pa že zadošča za zveznost.
Ostale trditve so bolj ali manj trivialne. Tako recimo sledi (5*5) neposredno iz (4,5)- C3
[5,2] TRDITEV. Naj bo Exp neka eksponentna funkcija in <* ž 0. Tedaj eksistira natanko določena eksponentna funkcija
(5,6)   (5,7)
Dokaz. (5,7) dobimo, če v (5*6) nadomestimo x z x - oce   .
Dokažimo zato le (5,6)! Uporabimo (4,8), pri čemer se zavejo dajmo, da tipi potenc P-, zaradi (4,24) niso v ničemer odvisni od x in oL .

Torej eksistira od <  in x neodvisno zaporedje eksponentnih funkcij Exp  , da je:
 (5,3)
- 49  -
- 50 -
Od tod pa takoj sledi (5,6) iz (5>5) oziroma iz (4,5). D
[5^5] TRDITEV, Bodita Exp-, in Exp? dve eksponentni funkciji in X » 0 . Tedaj eksistira točno določena eksponentna funkcija Exp7w , da je za vsak , za
katera je <</ft =X :
 (5,9)

tem oklepaju je konveksna kombinacija k-tih potenc (odvisna le od X) ter s tem tudi sam k-ta potenca ; zato:
 , in trditev je dokazana.  □
[5,4] KOROLAR. Naj bo Exp neka eksponentna funkcija in Pn
neka n-ta potenca. Tedaj eksistira natanko določena
eksponentna funkcija Exp  $ da je za vsak x €  cf6 :
n
 (5,10)
[5,5] TRDITEV. Naj bo  11x11 £ 0*824525 . Tedaj je za vsako eksponentno funkcijo Exp : 

Oe je k liho število, je:
- 51 -

To pa je tudi v najslabšem primeru, ko je  ||e|| = 1 , še vedno pozitivno,
[5,6] TRDITEV.                      (5,11)
 (5,12)
Dokaz« (5,11) in (5,12) je trivialno preveriti. Pa naj bo za nek x: 
Pomnožimo na levi strani z  Exp(-L ) !
 , protislovje. D
[5,73 TRDITEV. Bodi  a(x,n)  funkcija iz  za katero je za vsak 
Tedaj za vsak x € e& eksistirata limiti:
(5,15)
 (5,14)
Dokaz. Dokažimo le (5,15), dokaz (5,14) bi potekal dobesedno enako. Najprej z indukcijo dokažimo, da je za n £ IM :

(to je poseben primer enačbe (4,8)!).
Bodita n in k naravni števili, n > k . k-ta potenca
v izrazu se tedaj glasi takole:


nastajajoča vrsta zagotovo konvertira in sicer je po obeh limitah (#) sodeč ravno enaka ExpT(x). D
[3,8] TRDITEV. Za vsak  je:
(5,15) I            ,                                         (5,16)
Dokazi Dokažimo le (5,15), drugo enačbo bi dokazali po istem .postopku. 
Uporabimo trditev [5,7], pa je dokaz končan. O
Naj bo W c 3C neprazna množica. Če je Exp neka eksponentna funkcija, definirajmo:

cijah). Domenimo se za poenostavitev: EXP({x}) = EXP(x) . Očitno je:  Premer množice EXP(x) za x € <K* : I   •                               (5,17)
[5,9] TRDITEV. Če je Wl s potmi povezana množica, sta taki tudi Exp(7n) in EXP(W) .
Dokaz. Exp(7Kl) je z zvezno funkcijo preslikana množica Wl, torej je tudi sama s potmi povezana.
Pa bodita x,y € YYl   in s tem Exp-.(x) in Exp?(x) dva elementa iz EXPOYl). Ker je TKI s potmi povezana množica, ek-sistira (zvezna) pot  f: [0,l] —■*> Wl ,  f(O) = x ,  f(l) = y. Tedaj je

pot od Exp-.(x) do Exp2(y) v EXP(17l). Pri tem smo upoštevali pravilo (5,5). D
l5,10] TRDITEV. Za vsak x € 3t je EXP(x) konveksna kompaktna
-  52 -
množica.
Dokaz, Zaradi (5,5) je EXP(x) konveksna množica. Da pa Je tudi kompaktna, bomo dokazali tako, da bomo iz poljubnega zaporedja elementov iz te množice izbrali konvergentno podzaporedje z limito v EXP(x).
Naj bo  Exp1(x), Expp(x), Exp^(x), ... neko zaporedje. Ustrezno zaporedje tretjih potenc ima po trditvi [4-, 2], (a) konvergentno podzaporedje; naj bo Exp-, *(x), Exp? ^(x),
Exp^ 2,(x), ... odgovarjajoče podzaporedje eksponentnih funk-
cij in z njim sestavimo novo zaporedje: Exp-,(x), Expp v(x),
Exp^ x(x), ... Iz tega zaporedja spet izberemo tako podzaDO-
redje Exp-. ^(x), Exp~ z,(x), Exp^ /,(x), ... , da bodo v njem
konvergirale četrte potence, in znova tvorimo novo zaporedje Exp-,(x), Exp0 ?(x), Exp, n (x), Exp. j. (x), ... Tako nadaljujemo preko vseh meja in končno dobimo naslednje podzaporedje prvotnega zaporedja: Exp-,(x), Expp z(x), Exp^ z,(x), Exp. c(x),
Exp[- ^(x), •••, ki ga ponovno označimo takole:


V tem zaporedju konvergirajo n-te potence k n-ti potenci P (x). Vse te potence pa spet tvorijo novo eksponentno funkcijo

(po oceni ostanka Tavlorjeve vrste). Od nekega  n = N dalje je ta izraz manjši od t/2   . Izberimo sedaj tako velik M,

-53--
Definirajmo sedaj še dve funkciji:

Obe funkciji sta povsod definirani in zaradi (5*4-) velja za vsak x € 1K in za vsako eksponentno funkcijo Exp :
 (5,18) Poleg tega je seveda:
|:(5,19)
 (5,20)
E5»li3 TRDITEV, (a) F(x) > 0 , Vx € 7t   .
(b) Naj bo z € cK tak element, da je

Dokaz, (a) sledi iz trditve f5,č>l-
(b). Uporabimo trditev [5,5]- če je za nek <* ^ 0
||z - ©celi £  0*824525 , je za vsako eksponentno funkcijo Exp
0 < ||Exp(z - oce) .Exp(<»ce - z)|| , in zato ||Exp(z - <*e)||^ G .
To velja tudi za funkcijo Exp  iz (5,7)- Tedaj pa je:
KExp(z)H = exp(Heoc)||Exp-t(z -*e)|| >0 . D
[5,12] TRDITEV. Za vsak x € 3£ in vsak ^ŽO je:
(5,21) (5,22)
(5,23)   (5,24)
Dokaz. E(ece + x) = ||Exp(*e + x)I|  za neko določeno eksponentno funkcijo Exp (zaradi kompaktnosti množice EXP(x) ). Iz (5,6) sledi (5,21):  E(*e + x) = expoč t|Exp^(x)/| £
 , oziroma   , kar da (5,22) . (5,23) in (5,24) dokažemo analogno. D
[S, 13] TRDITEV, (a) Naj bo XšO . Tedaj je za vsak  x € 3C
 (5,2S)
-54-
-55-
 (5,26) Dokaz, (a) Uporabimo trditev £5,$]:

Funkciji Exp-. in Expp sta poljubni, torej smemo predpostaviti, da sta po normi minimalni. To pa nam že da (5,25). Točka (b) je neposredna posledica točke (a). D
b,14-l TRDITEV. Za vsak x 6 2t   velja:
 (5,28) Dokaz. Uporabimo (4,15) in (5,10):

Drugo neenačbo dokažemo še lažje. Q
[5,151 TRDITEV. Funkciji E in F sta zvezni.
Dokaz. Naj bo x     fiksen element. Zaradi kompaktnosti množice EXP(x) eksistira taka eksponentna funkcija Exp, da je  E(x) = ||Exp(x)// . Prav tako velja za vsak y € *}L :
 , po dokazu trditve [5,1]• Torej je za vsak par x,y € #€ :

Torej smemo zapisati:

kar že kaže na zveznost funkcije E.
Spet naj bo x fiksen element. Tedaj eksistira taka eksponentna funkcija Exp, da je: F(x) = /|Exp(x)/|  in

-  56 -

kar pa je že dovolj za zveznost. □
Naj bo  poljubna eksponent-
na funkcija. Oglejmo si vrsto 
Dokažimo, da vrsta  enakomerno konvergira v
B(a) , kjer je a poljuben element iz <K, in B(a) neka krogla s središčem v a.

Ta izraz pa je neodvisno od indeksa p poljubno majhen, če le vzamemo N dovolj velik, ne glede na to, kateri x iz B(a) vzamemo •
Velja še: 
To pa je že dovolj za zaključek (f15], 164), da tudi
 enakomerno konvergira v B(a) in da je na vsem 2C:
 . Sledi naslednja trditev:
[^,16] TRDITEV. Funkcija Exp je (ne glede na izbor njenih
potenc Pn(x)) povsod neskončnokrat odvedljiva, je sama svoja Tavlorjeva vrsta in jo lahko členoma odvajamo: 

Po [l5l, 273, teda.j za vsako točko x, za katero Je ||x|| < < ln2 , eksistira odprta okolica M.(x) , da je Exp : tl(x) —►" Exp(*H,(x))  homeomorfizem, vsled česar je tudi  Exp(tt(x))  odprta okolica točke Exp(x). Eksistira torej odprta okolica krogle {x t <& ; l|x|| < ln2} , ki se s preslikavo Exp upodobi na unijo odprtih množic  (med katerimi je tudi Exp(1X(0))  , ki je okolica enote e, in je zato ta unija spet odprta okolica enote) in je Exp lokalni homeomorfizem med tema dvema množicama.
Naj bo Log : Exp(U(0)) —> 1JL(0)     inverzna preslikava. Tedaj je: 
Poleg tega pa je tudi Log neskončnokrat odvedljiva funkcija na Exp( H(0)). Potem pa je ([l5l, 190), če leži daljica od e do x vsa v Exp(lC(0)) :

Ker pa je  Log(e) =0  in DLog(e) = DLog(Exp(0)) =

kjer so A, k-linearne preslikave, definirane in zvezne za
(k) vse k-terice x   , za katere leži daljica od e do x vsa v
Exp(U(0)) .

- 57 -
kjer so B, (x) realne linearne kombinacije k-tih potenc. Ta vrsta absolutno konvergira za vse x, za katere je

Vsekakor pa konvergira za vse elemente iz neke krogle B(O) s središčem v 0 in s pozitivnim polmerom, za katero velje:

Vsak B, (x) lahko zapišemo v naslednji obliki:

 pa dve k-ti potenci. To lahko naredimo celo na neskončno načinov. Če pa v tej razliki odštejemo vse popolnoma enake produkte,' dobimo razstavitev, v kateri je vsota \,    + xt, minimalna. Recimo, da je naša algebra asociativna. Potem je seveda Bv = x  . To pa pomeni, da je tudi v splošnem:
, dobimo:
 (5,53)

- 59 -
 (5,35)
V nasprotju s pričakovanjem torej ni 
Skušajmo oceniti konver^enčni polmer logaritemske vrste!

Izenačimo člene s potencami istih stopenj!

(vsi sumacijski indeksi so naravna števila, torej večji od 0). V tej vsoti se členi seštevajo in odštevajo. Če je

- 60 -

u(£) Je tedaj analitična funkcija, vrsta, s katero smo jo definirali, pa je Tavlorjeva vrsta, razvita okoli točke £, = 0 . Ta vrsta ima konvergenčni polmer, enak absolutni vrednosti točki 0 najbližje neodpravljive singularnosti. Singularnosti so tam, kjer je  <)f/3u = exp u - 2 = 0 oziroma u = ln2 + 2k*i , k € Z    . Ker je pri u = ln2 ustrezni % = 0*425690 zelo majhen, je to gotovo najbližja singularnost, saj zadnja dva člena v f(u,£)  ne doprine-seta skoraj ničesar. Torej smemo'trditi:

Brez dvoma je to zelo slaba ocena. Če vsebuje logaritemska vrsta samo pozitivne člene, je:
- 61 -

ker so B (x) tedaj kar potence, kar nam da kot pogoj za konvergenco logaritemske vrste bistveno boljšo oceno: 9  (x) <  1. Nekatera dejstva pri izpeljavi logaritma kažejo, da verjetno velja naslednja ekvivalenca: Logaritemska vrsta (5,32) ima samo pozitivne člene natanko tedaj, ko je sestavljena samo
!  iz simetričnih' potenc (to pa je zagotovo natanko tedaj, ko je tudi ustrezna eksponentna funkcija sestavljena samo iz simetričnih potenc). Pri tem smo imenovali potenco simetrično, če se ne spremeni, ko zamenjamo vrstni red vseh množenj v njej; taki sta naprimer:

Zberimo najpomembnejša dejstva v naslednji trditvi:
f5,17] TRDITEV. Naj bo Exp neka eksponentna funkcija. Eksis-tira odprta okolica %  krogle {x € 3t ; ||x|| < In?} , ki se z Exp lokalno homeomorfno preslika na neko odprto okolico V   enote . Eksistira množica MI, ki je spet odprta okolica enote e in na kateri je mogoče enolično definirati inverzno preslikavo Log(e - x) s (5,32).

Še nekaj besed o logaritmu! Ze pri kompleksnih številih ima logaritem danega argumenta neskončno vrednosti -- ali pa nobene. Torej smemo pričakovati, da bo tudi v splo-šnejših primerih enoličnost logaritma neizpolnjena želja. Zato je smiselno, da definiramo logaritem takole:
Naj bo Exp neka eksponentna funkcija. Logaritem funkcije Exp je preslikava Log : 3£, —*• P Cdt)     (iz prostora 3C v njegovo potenčno množico), določena s predpisom: Log(y) =                            (5,36)
Logaritem v (5,32) je tedaj le en element iz množice Log(e - x). Zadnji del trditve [5,17] potem lahko zapišemo takole:

- 62 -
Dokažirao še eno trditev, ki pa v nasprotju z dosedanjimi velja le za OC = C    .
[5,18] TRDITEV. Naj bo K = C    in Exp poljubna eksponentna funkcija. Za vsak x € 3£ velja naslednja ocena:
 (5,37)
Dokaz. Brez težav preverimo, da velja za vsak x € *$€ , za vsak-r > 0 in za vsako eksponentno funkcijo Exp :
 (5,38)
.1
- 63 -
6. BANACHOVE KVADRATNE ALGEBRE
V šestem razdelku združimo teorijo drugega razdelka z ugotovitvami naslednjih treh, pri čemer nam je v veliko pomoč potenčna asociativnost kvadratnih algeber. Pokazali bomo enostavno izražavo spektralnega polmera in preprostost pojma nilpotentnost. Podrobno in eksplicitno bomo še obdelali ekspontno funkcijo in logaritem.
V tem razdelku naj bo 2C Banachova kvadratna algebra w z multiplikacijo ., enoto e in algebrsko normo //.// nad 0C.   • Če bomo govorili o Osbornovem paru (^C,^C ), bomo vedno vzeli, da je 2t    antikomutativna algebra, kot je to v trditvah [2,2] in [2;3].
[6,11 TRDITEV. #o je zaprt podprostor v Vi; (K^TC■)   je
BO-par.
Dokaz. Najprej dokažimo, da je kvadriranje zvezna operacija.

Vzemimo sedaj, da 3£ ni zaprta hiperravnina:  = 3C • Če je y € 3t " "f°l » eksistira konvergentno zaporedje  , da je: 
Kvadrirajmo to enačbo in upoštevajmo zveznost kvadriranja:

To pa je protislovje in trditev je dokazana. □
Ker je kvadratna algebra potenčnoasociativna, je
 . Označimo spektralni radij zato kar
[6,27 TRDITEV. Naj bo 
 (6,1)
Dok^z. Za x = O je trditev očitno pravilna. Primer x / 0 pa razčlenimo na tri podprimere z uporabo (2,14-), (2,15) in
- 64 -
(2,16). Ker je za računanje spektralnega polmera vseeno, če uporabljamo prvotni normi ekvivalentno normo, vzemimo, kadar bo potreba, normo floce + a^ = /*/ + |/a|| , upoštevaje lemo [3,6].

 sta med 0 in 1 in nikoli nista
hkrati enaka O. Izraz v okroglem oklepaju za ch(n>0 je torej omejena količina, večja od neke konstante  Zato: 


Naštejmo nekaj preprostih posledic gornjega izreka.
(6,2)
(6,3) (6,4)
|                   (6,5)
Dokaz. (6,2) in (6,3) sta očitni trditvi. Dokažimo (6,4)! Naj bo 

(6,5) sledi iz (4,16). Trditev (6,6) pa je trivialna. D
Pojma šibka in krepka topološka nilpotentnost se ujemata, zato pridevnika šibka in krepka lahko spustimo. Dokažimo, da smemo spustiti celo pridevnik topološka!
r6,4-l TKDITEV. Naslednji izjavi sta za  x €  3t ekvivalentni:
(a) x je nilpotenten;
(b) x je topološko nilpotenten.
,   kar pa  je po  trditvi   [2,llj
V naslednji trditvi zberimo se nekaj preprostih j.a stnosti al^ebrske norme fl.ll .
(6,7) (6,8)
[6,3]   TRDITEV.
Dokaz,  Naj  bc
- 67 -
Povežimo trditvi [6,5] in [5,1$] in navedimo tiste ocene, ki se dajo izboljšati!
f6,6] KOROLAR. Naj bo 11.(1 BO-norma v BO-oaru (<JC, Vt  ).
(6,17) .  (6,18)
I(6,19)
 (6,20)
f6,73 TRDITEV. Naj bo K. Hilbertova algebra , (#, X )   je
tedaj HO-par. Če je /I ./{ algebrska norma, ki jo generira skalami produkt, je:
 (6,21)
Dokaz. (6,21) dokažemo prav tako kot (6,11), le da pri tem še upoštevamo paralelogramsko pravilo.
Uvedimo eksponentno funkcijo, ki je zaradi potenčne asociativnosti seveda ena sama. Zato tudi velja za vsako pod-
mnozico      prostora k : exp(/iyi) = Expon) . ••

r6,8] TRDITEV. Naj bo 
(6,22)
(6,2$)
(6,24)
j(6,2?)
(6,26) (6,27)
(6,28) (6,29) (6,50)
 (6,?1)
Dokaz. Trditve (6,24) - (6,27) so posledice dejstva, da je algebra, ki jo generirata e in x, asociativna.

Od tod naprej je izpeljava (6,22) in (6,23) trivialna. Trditve (6,28) - (6,30) so preproste posledice teh dveh formul.

[6,9^ TRDITEV, (a) 

Dokaz. Prva trditev sledi iz (6,29), drugi dve pa izhajata iz naslednjih formul, katerih preveritev je sicer precej dolga, načelno pa prav nič težka! O

-  68  -
-   69   -
- 70 -
7. NUTIERIČNK ZALOGE VREDNOSTI
Na začetku tega razdelka bomo nanizali nekaj dejstev o funkciji . To nam bo pomagalo pri definiciji in obravnavi numerične zaloge vrednosti elementov iz algebre. Numerična zaloga vrednosti je definirana kot množica vrednosti stanj; ker pa namenoma ne zahtevamo nor-miranosti enote, so za nas stanja tisti funkcionali, ki v enoti zavzamejo absolutno največjo vrednost, to je 1. Definicija je očitno uspešna, saj lahko izpeljemo vse (iz teo-rije asociativnih algeber že znane) lastnosti, ki niso neposredno povezane z multiplikacijo. Na koncu bomo dodali še definicijo hermitskih elementov.
Naj bo skozi cel razdelek 3€ Banachova algebra z multiplikaci jo ., z enoto e in z algebrsko normo Jl.ll nad tfC.
Najprej nekaj dejstev o funkciji 

(1) (f  («0 je povsod konveksna funkcija. Posledice:
(2)je absolutno zvezna na vsakem kompaktnem intervalu.
(3)zadošča Lipschitzovemu pogoju:
 (7,1)
(4) je zvezno odvedljiva funkcija (v realnem smislu) povsod razen v kvečjemu števno mnogo točkah, odvod pa je monotono naraščajoča funkcija.
(5) V vsaki točki oc   eksistirata levi in desni odvod
 , oba sta monotono naraščajoči funkciji, levi odvod je z leve, desni pa z desne zvezen.
(6)     (?,?-)
(7)  je monotono naraščajoča funkcija za
- 71 -
vsak  Trditev dokažemo tako, da v (7,2) vstavimo p>  = 0  za primer  , za primerpa uporabimo osnovno neenačbo: 
|(7,3)
J  (7,4)
Oporna premica v točki oC   = 0 na krivuljo je
premica  ; iz zahteve , 
 , zaradi konveksnosti, dobimo:
(9)  ,                                                          (7,5)
pri čemer je H-  poljubna vrednost v tem intervalu. Iz (7,3) in (7,4) še sledi:
, kar nam da:
 (7,6)       |
[7,l1 DEFINICIJA, (a) 
 , Elemente iz iD (P€.) imenujemo
(b)
(o) 
Če ne bo možnosti zmede, bomo pisali: u)   , t/(x) , v(x) .
Definicija množice %D   (in z njo tudi lT(x) in v(x) za vsak x) je odvisna od norme: za drugačno, pa čeprav ekvivalentno, normo dobimo v splošnem drugačno množico stan,;'. Vendar se da -prav hitro ugotoviti, da ostane *u   isti, če namesto prvotne norme uporabimo kak njen mnogokratnik.
- 72  -
[7,2] LENA. Naj bo  M £ 1 . Tedaj je 
spet algebrska norma, ustrezna množica stanj pa je ista kot pri prvotni normi.
Dokaz. Da je Ifl.lH spet algebrska norma, je očitno. Pa naj bo

C7s3J (TRDITEV. 2) je neprazna šibko # kompaktna konveksna množica v 3-C .
Dokaz. Hahn - Banachov izrek zagotavlja nepraznost. če je
 . Zato je S)  presek množice funkcionalov iz zaprte krogle s polmerom l///e// j*
v 2-C in množice funkcionalov z lastnostjo *r(e) = 1 . Prva množica je konveksna in šibko # kompaktna, druga pa je konveksna in šibko * zaprta. Presek je torej res tak, kot je rečeno v trditvi. D
Ta dokaz je vzet iz [8], 52.
[7,4] TRDITEV, (a) V(x) je za vsak x č 2e neprazna kompaktna konveksna množica v }C.
. (7,7) (7,8)
 (7,9)
Dokaz. (a) XT(x) je neprazna, ker je S)<neprazna množica. Preslikava  ^ -—>• [f(x)     iz S- v tT(x) je šibko * zvezna in preslika zato kompaktno množico @ spet v kompaktno množico V(x).
(b)
(c) (d) 
- 73 -

(e) Po Hahn - Banachovem izreku je preslikava  iz surjektivna. □
Dokaz trditve je vzet iz £8] , 52.
T7,5l TRDITEV. Za vsak x £ 1K   je:


Zaradi kompaktnosti množice 1/(x) in zaradi zveznosti funkcije X. —v Re X pa lahko namesto inf in sup pišemo min oziroma max.

Sedaj pa vzemimo, da sta e in x linearno neodvisna. Konstruirali bomo funkcional ^, za katerega bo //e//Re ^(x)  poljubno število 9C v intervalu 
Naj bo   neka oporna premica na V   (oc) pri oC =
=  0 . V podprostoru, ki ga razpenjata e in x, definirajmo linearni funkcional ^ s predpisom:

Če je IhC = 1P^   , je seveda Re  ; če pa je 

Oporna premica je zaradi konveksnosti funkcije       pod
i — 
- 74 -

Funkcional ^  po Hahn - Banachovem izreku razširimo na cel prostor z nespremenjeno normo in ga spet označimo s ^. Tedaj ve                                           pa tudi: 
Dokaz je delno vzet iz \^0], 37, 38.
[7,6T TRDITEV. Naslednji izjavi sta ekvivalentni:

Dokaz, (a) =^ (b). Iz trditve £7*5] sledi: množica
 vsebuje eno samo vrednost za vsak x. Za BC = 2^, je tedaj trditev že pravilna. Pa naj bo  in recimo, da sta  in da eksistira x: 
/  f2(x)   . Toda:   in 
 , kar pa je protislovje.
(b) •=$>  (a),  ima eno samo točko, torej
sta levi in desni odvod funkcije   pri <K =  O enaka in trditev velja. Formuli (7,12) in (7,13) sledita iz dokaza prejšnje trditve. D
- 75 -
[7,7] KOROLAR. Naj bo 2C še Hilbertova algebra s skalarniin produktom <. , .> , ki generira algebrsko normo II.II .
Tedaj je  Dokaz.
Zato je 
Iz prejšnje trditve in iz korolarja £3,12j,(c), pa sledi še card$ = 1 . D
[7,8] TRDITEV. Naj bo t €© neko stanje in Ker t = 2€  . Tedaj je (2t,2£n) s formulama (1,1) in (1,2) BO-par in
 je BO-norma tega para (oziroma HO-par in fjl.ifj tudi HO-norma, če je <K.   Hilbertova algebra in normo /I.(I generira skalami produkt). Če je (2C,cJ£ ) poljuben BO-par in f sled v njem, je t" £ <>3(2t ) v vsaki normi, ki je tudi BO-norma.
Dokaz. Za prvi del trditve je treba preveriti le, če je III.(II res BO-norma. Delno nam to kaže že lema [7?2]. Pa bodita 

€ *3£.    , oce + a / O . Supremum zagotovo ni dosežen pri oc = O ,
0                                                           1
zato smemo z ot  deliti. Označimo:  — a = b . Seveda je b se
lahko katerikoli element iz #C .

Drugi del trditve sledi iz (1,6) in (3,21) . □ [7,9] TRDITEV. 

Torej velja  C v (7,14).
Naj bo sedaj X, v preseku na desni strani (7,14).

Vzemimo sedaj, da sta e in x linearno neodvisna. Definiraj-no: je očitno linearen funkci-
onal nad je:

 , kar pa velja tudi za
(b =  0 in je zato:  . Po Hahn - Banachovem iz-
reku *jfQ  razširimo do nekega  Ker pa je 

Dokaz trditve je vzet iz [8j, 52,53-
[7,10] TRDITEV. Naj bo x € JK. poljuben element.

Dokaz. Naj bo f!y|| = 1 .  Uporabimo trditev [7,9].

Ker pa je  , je potrjena tudi druga inkluzija
v (7,15).
(7,16) dokažemo analogno. D
- 76 -
- 77  -
Dokaz je prirejen po £8], 54.
Sedaj pa se omejimo le na kompleksne algebre: [7.lil DEFINICIJA. Element  x £ 2t   je hermitski, če je 
c K.
Množico hermitskih elementov označimo s HerQ£) !
C7,12l TRDITEV, (a) Her(30 je zaprt realen podprostor v 36.
 
realno, zato je tudi limita lfXx)  realna in trditev je pravilna.
(b) Trivialno.
(c) Trditev je posledica trditve [7,5]» C3
Dokaz točke (a) je vzet iz f38j, 39*
Točka (c) zelo jasno kaže, kako močno je množica Her(30 odvisna od norme. Če naprimer vzamemo normo iz ko-rolarja [3,12],(b), je:  (realna di-
rektna vsota!), kjer je ;
Her(#0 je torej realna hiperravnina cele algebre.
[7.13] TRDITEV. Naslednji izjavi'sta za x € 2t  ekvivalentni: (a)  (b)   za absolutno majhne oceT^ ,
Izjavo (b) lanko zapišemo tudi takole: 
 , ali takole: 
Dokaz. 
= O . Upoštevaje trditev £7,5^ je gornja trditev dokazana. D
[7 «14-] TRDITEV. Naj bo  z €^ tak element, da sta f GO =
 pri
- 78 -
 odvedljivi funkciji. Potem sta za nek  elementa  oba hermitska. Če


 naj bo realno in absolutno zelo majhno število. Tedaj je:

- 79 -
8. ALGEBRE Z NORMIRANO ENOTO
■    II     I     I     II ■   ■                          -  —■■».—■—  —.I—«—.....!■■!     ■    ■     II     ■■!   II   ■■     I                           |
Nadaljujmo z izpeljavo lastnosti numerične zaloge vrednosti. Do konca razdelka se bo izkazalo, da je ta teorija skoraj popolnoma neodvisna od asociativnosti, saj ne bo v končnem seznamu trditev manjkal noben pomembnejši izrek o numerični zalogi vrednosti pri asociativnih algebrah, le način dokazovanja je nekoliko drugačen: ponekod moramo uporabiti kanonske operatorje namesto originalnih elementov algebre. Ravno ugotovitev, da je v sedmem in osmem razdelku pravzaprav ista teorija kot recimo v [6], je njun najbolj pomemben zaključek. To namreč pomeni, da predstavlja numerična zaloga vrednosti izredno pomembno orodje v obravnavi neasociativnih Banachovih algeber.
Če pozorno pregledamo trditve prejšnjega razdelka, opazimo, da v resnici ni nobene povezave med multiplikacijo in numeričnimi zalogami vrednosti. Edina trditev, ki sploh nakaže zvezo, je [7»lQj. Pa tudi ta trditev ni zadostna, saj se lahko zgodi, da sta množici, s katerima je V(x)   v (7,15) in (7,16) navzdol omejena, prazni; to pa bi nas, kot bomo pozneje videli, bistveno oviralo. Ravno to nas navede na i-dejo, da enoto normiramo. S tem močno omejimo izbor norme, ki je bila v prejšnjem razdelku do konstantnega faktorja poljubna, da je le generirala prvotno topologijo.
V tem razdelku naj bo torej 2L  Banachova algebra z  f multiplikacijo . in enoto e nad BC , norma pa naj bo algebr- • ska in lletl =  1 . Kot pove korolar f$,12],(a), ta omejitev še vedno ni bistvena.

- 80 -

Ponovimo ta postopek še s formulo (7,16), pa je trditev dokazana. O
Dokaz je izdelan po vzorcu iz [&] , 54-.
[8,2] TRDITEV. Naj bo 
 , ter Exp poljubna eksponentna funkcija. Tedaj veljajo naslednje štiri trditve:

Pri tem smo s simbolom ExpL R menili eno od funkcij ExpT in ExpR .
Dokaz. Če je  , sta trditvi (8,3) in (8,4-)
očitno pravilni. Zato vzemimo: . Naj bo
 . Zaradi (7,9) je: 

- 81 -
Po trditvi [8,l] je:  ,
oziroma: 
Vzemimo:  (v smislu trditve [4,9]).

Naj bo <K>0   . Za dovolj velike n € IM   je torej:
 (*)
Uporabimo formuli (4,27) in (5,13).

S tem je (8',3) že potrjeno. Nadomestimo sedaj x z -x !

Ce v (#) namesto vstavimo , dobimo iskane ocene še za ExpR .
Po drugi strani pa je: ,
za vsako eksponentno funkcijo Exp ter za absolutno majhne   . Uporabimo neenačbo:

(logaritem smemo uporabiti, ker Exp(<*xj za absolutno majhne <* ni C po trditvi [5,5]).
 (po trditvi [7,5]). Cd tod in iz prvih dveh formul pa že sledita drugi dve. D Dokaz je pretežno vzet iz [lO], 55-[8,3] KOROLAH. Za vsak x e  ?C in za vsak je:
(8,7)
 (8,8)
- 82 -
Dokaz. (8,7) dobimo iz (8,3), če vstavimo oc = 1 . Potem pa še x nadomestimo z ocx   , ter ocenimo:

[8,4] TRDITEV. Naj bo . Naslednje izjave
so ekvivalentne:

Dokaz. Shema dokaza ekvivalentnosti izjav (a) - (i) :

- 83 -

 za absolutno majhne 
(i) =£> (a).  /je + ooc//     Je pri oC = 0    v realnem smislu
odvedljiva funkcija in odvod Je 0. Trditev £7,5] nam potem
da (a).
Dokažimo še posledice!
(A) sledi iz (i) zaradi konveksnosti funkcije 
(B). Naj "bo- . Velja: 
oziroma  . Upoštevajmo izjavo (b).

(C). Naj bo x = 0 . Uporabimo (8,2) in prej-šnjo trditev.

To pa Je v protislovju z izjavo (A), razen če Je = 1 , kar pa Je mogoče le za x = 0 . D 
Označimo s  coOH) konveksno lupino množice 9TI .
- 84 -
fs,53 TRDITEV. Za vsak je:
(8,10)
 (8,11)
Dokaz. Naj bo :) . Po trditvi £7,9j eksistira tak
 , da je: 
Ker iz tega sTedi:  , je:
 , iz česar dobimo:

Konveksno lupino smemo dodati v (8,10) zaradi kon-veksnosti množice V(x).
Analogno dokažemo tudi (8,11). D
r8,6l TRDITEV. Naj bo tak element, da je  !T(x) =
 . Ali pa naj bo    in x € <K   tak
element, da je  tT(x) = {0} . Tedaj je x = O .
Dokaz. Naj bo najprej  . Tedaj je:

iz česar sledi:

Iz Liouvilleovega izreka pa izvemo, da je takrat x = O .
S tem smo kompleksni primer odpravili v celoti. Naj bo zato vnaprej 'H,  realna algebra in x tak element, da je  naj bo kompleksifikacija al-
gebre 5C, kot smo jo opisali na strani 37 :  f/e//  = 1 ,   za vsak 
V 3C velja: 3  lim  ^[//e + *x// - lj = 0  (po trditvi [7,5]).
Potem pa to velja tudi v <K,C in

Analogno dokažemo tudi: 
Uporabimo (8,9): 
Torej je: , kar pa nam spet da:  x = 0 . D
- 85 -
[Q,7l   TRDITEV, Za vsak x € dt  je:
 (8,12)
Dokaz. Uporabimo (3,15) in trditev £7?5j in dokazujmo le za L , ker je za R dokaz ravno tak.

Odvedljivost funkcij 
torej nastopa istočasno in zato velja:

Za ffC = K, je s tem trditev že dokazana. Poglejmo še primer
K = C i

Ker sta množici ) in konveksni, to že
zadošča za njuno enakost; zadnja enačba namreč pove, da imata obe množici iste oporne premice. D
[8,8] KOROLAR. Naj bo 

£8,9J PX>ROLAR. Za  so naslednje izjave ekvivalentne:

(d) Katerakoli od izjav (b), (e), (h), (i) iz trditve
L8,4J, če namesto x pišemo   ali   , namesto e pa I.  
Bo  konca razdelka se spet omejimo na kompleksne algebre:  
[8,10] KOROLAR. Naj bo . Naslednje izjave so ekvivalentne :%
. (a)
'(b)
(c) 
(d) Katerakoli od izjav (b) - (h) trditve [8,4] in katerakoli od izjav (b) - (d) korolarja £8,9], če namesto < pišemo K.
[8,ll] KOROLAR. Naj bo . Tedaj je:
 (8,16)
[8,12] KOROLAR. Naj bo . Tedaj je:
(a).                                                  (8,17)
(b)                             (8,18)
(c)  implicira za vsak : I                       (8,19)
Vse tri izjave veljajo tudi, če L nadomestimo z R .
x                                x
Dokaz. Iz [8], 57, sledi: 


[8,13] TRDITEV. Če sta elementa x in ix v 3C oba hkrati
hermitska, je  x = 0 . Če je z tak element v ^€, da sta  obe hkrati odvedlji-
vi funkciji prie , kjer je
 J                     v

- 86  -
- 87 -
Dokaz. 

Torej je   in po trditvi £8,6j je x = O .
Ostali del trditve potem sledi iz trditve [7,1^]. □
[8,14-] TRDITEV. Preslikava  je nor-
ma, ekvivalentna prvotni normi:
 (8,20)
Dokaz'. * Na,j bodo . Veljajo naslednje ugo-
tovitve:

v je torej polnorma, navzgor omejena z dano normo. Trditev bo dokazana tisti hip, ko bomo pokazali levo neena-čbo v (8,20). V ta namen uporabimo (5,38) z r = 1 in eksponentno funkcijo ExpT ter (8,8):

Zamenjajmo 

Dokaz je vzet iz [.8J, 56.
V £7J, 111 - 114, najdemo dokaz, da ocene (8,20) v splošnem ni mogoče izboljšati.
L8,15J TRD 1TEV. Linearna lupina množice <su   je cel prostor
- 88 -
 torej loči točke v 
Dokaz prvega stavka, ki ga najdemo v [7J, 101, ni odvisen od asociativnosti in je zato popolnoma nespremenjen uporaben tudi tukaj. Drugi stavek pa sledi od tod ali pa kar iz trditve [8,14-J .
- 89 -
9. METAKOMPLEKSNE ALGEBRE
V tem razdelku bomo storili tisto, čemur smo se ves čas izogibali, pač v težnji k splošnosti: zahtevali bomo, da ima dana algebrska norma obe specialni lastnosti iz tretjega razdelka, namreč norma enote je 1 in enotna sfera je je v enoti gladka. Pri tem pa se bomo kolikor mogoče izogibali polnosti, ki pri ključnih izrekih ne bo potrebna.
Algebram s tako normo bomo rekli metakompleksne. Ime morda ni najbolj posrečeno, opiše pa dejstvo, dokazano v prvi polovici razdelka, da je vsaka podalgebra z enim generatorjem,, ki ni mnogokratnik enote, izomorfna kompleksnim številom. Metakompleksna algebra je torej poseben primer kvadratne algebre, in sicer je v kompleksnem primeru kar enodimenzionalna.
Izrek L9,10J da izredno široko ekvivalentno definicijo - metakompleksne algebre so namreč kar Hilbertove algebre z normirano enoto - , izrek £9*llJ pa takoj nato pokaže, da so metakompleksne algebre kljub vsemu zelo specialne.
Vse nadaljevanje poglavja je posvečeno naštevanju lastnosti metakompleksnih algeber; prav na koncu navedemo še nekaj šibkih strukturnih izrekov.
[9^1] DEFINICIJA. Naj bo vektorski prostor nad 1 z lastnostmi :
(a) je algebra za multiplikacijo . in z enoto e ;
(b) je normiran prostor za neko normo , za katero velja:
(A) (B) (C) 
Tedaj bomo imenovali metakompleksna algebra.
[9,2]  TRDITEV. Napolnitev metakompleksne algebra  kot normiranega prostora je Banachova algebra (za zvezno razširjen produkt) in je spet metakompleksna algebra, card 
- 90 -
Dokaz. Da se lahko produkt zvezno razširi na , pri čemer ostane (A) v veljavi, zvemo iz £38], 9, 10 (dokaz v navedeni literaturi, narejen za asociativne algebre, ni prav nič odvisen od asociativnosti). je torej res Banachova algebra, pri čemer je e še naprej enota in velja tudi (B). Pa naj bo 
Hahn - Banachov izrek zagotavlja nepraznost te množice. Naj bo še: 

Torej je .V splošnem je zato:
card 
Če je l   , to že pomeni:  card „ 
Če pa je  , recimo, da eksistirata ,
 . Obstaja tak x potemtakem, da je sicer Re 
= , toda: . Po drugi strani pa
je: 
Torej je čisto splošno: card Q =  1 . Ker pa je 
 , je  množica stanj v  . Uporabimo trditev £7*6}
in vidimo, da velja tudi (c), zato je res metakompleksna
algebra.
[9i3J IZREK. Naj bo in  metakompleksna algebra z enoto e. Tedaj je 2C izometrično izomorfna obsegu ([ (z absolutno vrednostjo kot normo).
Dokaz. Najprej $C  napolnimo v . Po trditvi [8,157 edino stanje loči točke, zato je dim <?C = 1 , oziroma 
 . Preslikava je očitno res izome-
trični izomorfizem. D
Ohlapno rečeno: obstaja samo ena kompleksna metakompleksna algebra, namreč C.
Naj bo Vt  metakompleksna algebra z enoto e in normo
j*
H.ll   nad OC , t" (edini) funkcional v 2C z lastnostima t(e) =
- 91 -
 I. Tedaj je  Osbornov
par, v katerem je T7 sled, kar preprosto preverimo, če v (1,1) uporabimo (1,4-). ^e je X. poln prostor, je  BO-par. Odslej uporabljajmo simbole samo m
glede na omenjeni par .                                                              •
[9*^] TRDITEV. Naj bo 2£ polna metakompleksna algebra z enoto e in normo /1.J/. Tedaj je  je ne-izrojena forma,  &(.,.) je skalami produkt in modul j. I norma,_ekvivalentna prvotni. Velja še:
(9,1)
;                                                (9,2)
 (9,3)
Dokaz. Naj bo  . Sledi:  in 
—~~~~~"^~                                       \j
 . Potem pa velja (8,9):  Toda iz    sledi   in po trditvi [8,6]
.ie tedaj  a = O , kar pa ni res. Torej je:
  "po (1,13). Trditev [1,2] nam pove, da je zato  . Ker pa je

Potem pa trditev [l,3] pove, da je £(.,.) skalami produkt, modul /./ ustrezna norma na vsem prostoru 3€ ter c(.,.) ne-degenerirana forma. Iz izpeljave tudi dobimo (9,2) in od tod
(9,1).
Po trditvi [7,8] je   BO-norma. Iz (3,23)
potem dobimo:  za vsak 
 (*)
Naj bo sedaj dt,    kompleksifikacija algebre Č?C. Za vsak x e
 eksistira  , zato iz trdi-
tve [7,5] sledi:

- 92 -

Za vsak  eksistira tak  ,  , da je:
Če je  , je očitno 

Torej.je 
Če je poljubno stanje, je:

Za  je tedaj: ,   in iz (8,9) sledi:
 i . Ker pa je tudi  »je: »in zato:
 • Torej je:  Po drugi strani pa je za  a £ 2£Q :
 , zato: ia - , in po (8,19) je:
 •
Za vsak z 6 &C     eksistira tak funkcional  , da
je: . Torej je tudi:

Be ocena v nasprotno smer:

To pa nam že da (9»3) . 
£9,53  TRDITEV. Naj bo 3t   algebra iz trditve £9,4-].
 (9,5)
Dokaz. Bodita  a,b € 2£  . Element b razstavimo na komponento, vzporedno za, in na komponento, pravokotno na a:

Naj bo:  (upoštevaje (9,2)) ,
- 93 -

Če je  a = O , je tudi X. = O . Vzemimo pa, da 

(zaradi trditve [8,4-] , (A))  za  , kar pa je
res za.dovolj velike \oi\ . Tako smo dobili: Neenačbo kvadrirajmo: 

Recimo, da je b poljuben, <* pa tak, da je  sgn«. = - sgnX in \<>C\   zelo velik. Potem je neenačba nepravilna, razen če domnevamo, da je X = O . Če sedaj spet vzamemo, da je oc   (in z njim b) popolnoma poljuben, sledi:

r9,6] TRDITEV. Naj bo 2t  algebra iz trditve [9,4-]. 
 (9,6)

Za absolutno majhne <>C  je tretji člen dominanten, utegnil pa bi biti negativen za določen predznak oc , razen če je £(a.b,b) = O .
Napravimo isti račun s produktom b.x , pa bomo dobili še 
- 94 -
f9,7J TKDITEV. Naj bo *t  algebra iz trditve £9,<1 in a,b,c paroma ortogonalni elementi v 3CQ.
(9,7) (9,8)   (9,9)
Dokaz. Naj bodo  e,a,b,c paroma ortogonalni. Če je dim (K. < < 4- , je pač kateri izmed njih enak 0. Za ©c € K, definiraj-

Pri tem smo upoštevali trditev £9,5]•
Za majhne J<*| sta prva dva člena zanemarljiva v primerjavi s tretjim, ki pa je pri določenem predznaku <* lahko negativen, razen če je:   .                       (•*) Enak račun s produktom y.x nam da še:

S preureditvijo dobimo (9,7) in (9,8)-
V (#) naredimo ciklične permutacije!

Potem pa je element  b.c + c.b  ortogonalen na cel 3£ in je
- 95 -
zato enak 0 . D
[9,8] TKDITEV. Naj bo W-  algebra iz trditve [9,^]. K je
kvadratna algebra in  2£ je antikomutativna algebra.
Dokaz. Vzemimo najprej, da je  dim'   in bodita a in b dva ortogonalna elementa iz 2C , 
 , zato iz (9,9) sledi:

oziroma 

To pa pove, da so kvadrati vseh normiranih elementov iz 5£ enaki. Ta trditev seveda velja tudi za algebre z dimenzijo 1 ali 2, torej velja splošno.
Pa recimo, da je  ,
kjer je  neodvisen od a . Pri tem smo upoštevali
(9,2). Denimo, da je . Iz (9,3) sledi:
 , zato:
 . Poleg tega je: 
Zato:     in z upoštevanjem (9,^-):
 .
Uvedimo nov vektor: 
Zlahka preverimo: 
Podalgebra  je očitno asociativna, zato eksistira
ena sama eksponentna funkcija:

=  e.cosX +  z.sinX. Uporabimo  trditev  1*5,87 '•
Vzemimo:  , in uporabimo normo na obeh
straneh te enačbe.
96

Desna stran te enačbe Je za dovolj velik n poljubno velika. Toda  , oziroma   , zato Je
 , po trditvi [8,4-]. To protislovje kaže, da Je   r = 0 in da Je:
 , iz česar sledi:   , kar pa že dokazuje antikomutativnost algebre 3CQ- Kvadratnost algebre 3C sledi po izreku E2,3J.D
T9,9J TRDITEV. Naj bo 2C algebra iz trditve £9,4-].
 (9,10)
Dokaz. (6,7) nam da: 
Pa naj bo  ,  . Ker Je kvadratna algebra p.o-
tenčnoasociativna, obstaja  ena sama eksponentna funkcija in sicer (6,23). Zaradi  Je:

(zaradi trditve [8,4]). Recimo, da Je za 

Ker vsak element    lahko zapišemo kot  za  
nek   ,  , Je torej 
[9»103 IZREK. Naj bo X algebra z multiplikacijo . in enoto e nad K. , obenem pa normiran prostor z normo 11.11, za katero velja:  = 1 .
Naslednji izjavi sta ekvivalentni:
(a) norma II. (I Je generirana s skalarnim produktom;
(b) d^  Je metakompleksna algebra.
Dokaz. (a) ==^ (b). Ce Je norma generirana s skalarnim produktom, Je enotna sfera povsod gladka in po definiciji [9,l] Je , metakompleksna algebra.
(b) => (a). Če Je  J  , sledi trditev iz izreka f9»3j« Naj bo torej  in 2-C napolnitev normiranega prostora £C. 2C Je spet metakompleksna algebra, zato Je razširitev norme //./) na 3£- po trditvi £9,9j generirana s skalarnim produktom. Potem pa Je tako tudi z normo //.// v cJ£.  D
- 97 -
C9 <> lil IZREK. Naj bo Ti  vektorski prostor nad R in e €<X. neničelni element. Veljata naj še naslednji zahtevi:
(a) 2C>  poseduje skalami produkt &(.,.) z ustrezno normo J.l , tako da je:  Jej = 1 .
(b) Ce s 3( označimo ortogonal elementa e: 
, naj bo    antikomuta-   o
tivha algebra z multiplikacijo x , za katero veljata zahtevi:

V prostoru 2t  definirajmo multiplikacijo . takole:

Tedaj je ?C metakompleksna algebra.
Dokaz. Če primerjamo izrek £9»ll] z izrekom f9*10j, je jasno, da moramo dokazati le še algebraičnost norme /.I. Poljubna elementa x,y € eK, lahko zapišemo takole:

Glede na prejšnje trditve tega razdelka je očitno, da sta zahtevi (a) in (b) celo karakterističnima metakompleksne algebre.
Zberimo nekaj lastnosti metakompleksnih algeber. Ves  f čas naj bo   algebra iz definicije [9*l]- Naj    §
bo še:
 •
[9,12] TRDITEV, (a) dt  je kvadratna algebra.
(b)  je Osbornov par za sled T(x) =
 je v tem paru antikorautativ-na algebra. 
- 98 -
(c)(9,11)
(9,12)
(9,13) (1,27)   (9,14)
(d) Konjugiranje je zvezna involucija: za vsak par
(9,15) (9,16)
 (9,17)
Hermitski elementi za to involuci.io so     , VSI elementi so normalni, edina projektorja sta e in 0, unitarni elementi pa so vsi elementi na enotni sferi.
(e)       t                     (9,18) Če je BC  polna algebra, je \l.H   HO-norma para ( 
(f)
(g) 
Algebra 9C nima netrivialnih topološko nilpoten-tnih (in nilpotentnih) elementov. Prav tako nima
- 99 -
netrivialnih idempotentov. (h) Algebra ^C nima netrivialnih idealov in je zato
enostavna v vsakem pomenu, (i) Vsaka neničelna podalgebra algebre 2£ je invari-
antna za konjugiranje in vsebuje enoto e. (j) Podalgebre algebre eK, in podalgebre algebre 9£ so
v bijektivni korespondenci.
Dokaz. Točka (a) sledi iz trditve [9,83.
(b) Iz dokaza trditve [9,2] sledi, da je 
edini funkcional z lastnostjo  . Potem pa
ga lahko vzamemo za sled v Osbornovem paru  V napolnitvi velja po trditvi [9,8]:  Kerf je anti-komutativna algebra. Potem pa to velja tudi v <&.
(c) (9,11) sledi iz (9,10),  (9,1?) iz (9,1), (9,13) pa iz (9,5). ^ je skalami produkt po trditvi [9,V]. (9,14) je v 3C posledica (9,10) in (6,14), s tem pa velja tudi v *&t.
(d) (9,15) dobimo iz (2,5) in (9,5), (9,16) iz (9,11) in (1,32), (9,17) pa iz (6,9).
Ostale trditve so trivialne, (e) 
(f) (9,19) je aplikacija trditve [2,10]. (6,22) in (6,23) nam dasta (9,20), iz česar preprosto sledi (9,21). Zadnjo trditev točke (f) pa nam da (6,33).
(g) (9,22) je res zaradi (2,13). Ostali trditvi sledita iz trditev [2,ll] in [2,13].
Točka (h) je posledica trditve [2,12]. (i) Naj bo *P podalgebra algebre 

(j) To je izrek A-6 iz £ll]f. Bijekcija je podana s projecira-njem iz  . Q
£q,133 TKDITEV. Za poljubne velja:
(a) < i .                                               (9,23)
- 100 -
(9,24) (9,25)   (9,26)
•.   vsi kanonski operatorji so normalni.
 (9,28)
Dokaz, (a) Enačbe (9,6) - (9,9) veljajo za paroma ortogonal-ne elemente iz 3£ , ker so čisto algebrske in niso odvisne od polnosti prostora 2£. Zapišimo vektorje x,y,z v naslednji obliki:

 ,  kjer naj bodo a,b,a.b,c paroma ortogo-
nalni elementi iz J£ , grške črke pa naj označujejo realna števila.

z uporabo (9,5). Uporabimo še (9,7)-
(b) 
(c,d) (9,25) sledi iz (9,24), (9,26) pa je trivialna posledica.
(e) 
Enako postopamo z R
Normalnost kanonskih operatorjev dobimo s preveritvijo enačb 
za poljubna  (f) Naj bo 
-   101   -

Zaradi ne i zro j eno s t i forme G" in zaradi (9,23) so metakompleksne algebre poseben primer algeber, obravnavanih v [11].
[9,14-] TRDITEV, (a) 7t je anizotropna algebra:

(b) Jt  je fleksibilna algebra:
 (9,29)
oziroma
 (9,30)
(c) <K je (nekomutativna) Jordanova algebra:
 (9,3D
(d) Naj bo 2t    algebra nad prostorom 2£ s produktom
 . Tedaj je  ■•(komutativna)
Jordanova algebra.
Dokaz, (a) in (d) sta trivialni izjavi.
(b) Naj bo  S(a,b) = O ,    x in y sta seveda lahko še čisto poljubna elementa iz 3C . Uporabimo (9,9) in (9,2): (x.y).x - x.(y.x) = a.(a.b) + (a.b).a .
Zaradi (9,6) sta a in a.b ortogonalha, zaradi (9,5) je   , potem pa velja (9,9) in tako je fleksibilnost dokazana.
(c) preverimo na podoben način. □
Jedro   algebre 9€ je množica elementov iz 1K., ki asociirajo z vsemi elementi iz cK, :  (x.y).z = x.(y.z) , če je vsaj en element iz <Ar.
Center £ algebre <?£ je podmnožica jedra, v kateri so elementi, ki komutirajo z vsemi elementi iz ^C. <Af in ^ sta podprostora. 
[9,1^] TRDITEV, (a)  (b) 
- 102 -
(c) ; v zadnjem primeru je 2£ =
Dokaz. (a),^= ! Hecimo, da sta 

Torej je bodisi a = 0 ali b = 0 , kar pa pomeni:
 •
(a), =^ ! Sledi iz primerov £2,8j. (b),  (upoštevaje primere
[2,8]). (b),  . Zato naj bo

Zato je  oziroma a = O .
(c) Za   je trditev očitna. Naj bo torej  dimcK. >
>2    in    (po točki (b)) in 

Očitno je podalgebra, generirana z elementi  e,a,b-.,c-, izometrično izomorfna M. Po predpostavki torej ta algebra še ni cela algebra 2C . Zato eksistira na e,a,b-,,c, ortogonalen element b0 , |bp| = 1 . Po istem računu kot poprej, če b-. nadomestimo z bp, dobimo še en vektor c0 = = a.b0  s  Icpl = 1 , da je podalgebra, generirana z e,a,bp,Cp, spet kvaternionska. Iled drugim je:  b0.Cp = a in  Cp.a = bp .

- 103 -
Enako je  . Zato je
ortonormiran sistem. 
Produkt  je pravokoten na
 • 
 v je torej vektor, pravokoten na *S>.

Vektor b-^ je bil pravokoten na prostor  ^Re & ^a , sicer pa poljuben normiran vektor.

Zato:  . D
-L.
Točka (c) te trditve nam torej pove, da je  vedno razen ko je   ali pa je  , pri
čemer je 9č algebra naslednjega tipa:
Če je  ,  , ,  in S
končna (lahko tudi prazna) množica normiranih vektorjev £b, }, izbranih tako, da je vsak b, ortogonalen na  in
i , sicer pa poljubnih, potem je multiplika-
cijska tabela za podalgebro, generirano z 5J , taka:

- 104 -
f9,16] TRDITEV, (a) Ce je 2t  asociativna algebra, je 3t  &

(b) Če je #C leva ali desna alternativna algebra, je

Dokaz, (a) je pravzaprav posledica (b), dokažeino pa jo z neposredno aplikacijo trditve t9,15l,(c).
Če je algebra leva ali desna alternativna, je zaradi fleksibilnosti kar alternativna in izjavo (b) lahko dokažemo podobno kot trditev £9,153»(c), le dokaz bi bil nekoliko daljši. Tega ne bomo storili, ker tako ali tako dobimo obe trditvi že v literaturi ( [19] , [20] ) . D
[9,17] TRDITEV. Naslednje izjave so ekvivalentne:
'  (a) 
(b)je Jordanova algebra.
(c)je komutativna algebra.
(d)  je trivialna algebra.
Dokaz. Upoštevajmo trditvi [9,14-J,(c) in (d). D
Označimo z an(Wl) anihilator neprazne množice 171 C
 (9,32)
Anihilator je očitno zaprt podprostor. anCM) = an(1U)
(z TKI smo označili zaprtje množice Wl v JC oziroma v 3C).
an(3€ ) je zaprt ideal algebre Jf£ .
[9,18] DEFINICIJA. Algebra JK., za katero velja: an( 2t  ) =
= VC , je votla metakompleksna algebra. Algebra ?£, za katero je: an( $£ ) = {6 J , je prava metakompleksna algebra.
Votle algebre so algebre iz trditve [9,17J in seveda niso zanimive. Vredno je opozoriti le na to, da iz vsakega prostora s skalarnim produktom lahko naredimo votlo algebro.
£9,19] TRDITEV. Naj bo dim3t > 2 in dim dC > 1 (jedro je torej dvo- ali štiridimenzionalno). Potem je 3£ prava metakompleksna algebra, 5£ pa enostavna algebra.
Dokaz. Če kvaternionski primer izpustimo, lahko vzamemo: dim 2€ > 4- . Naj bo   neničelni ideal algebre #€ , p 6 *\P  , q 6 ^-0* Elementa p in q lahko zapišemo takole:
- 105 -
 (v skladu s tabelo na strani 103). (a)
(b) 
V obeh primerih Je   in zato q 6 r    ,
kar pa pomeni: ^P  = <ft    . Vsi ideali, vključno z an(3C ), so trivialni in trditev Je dokazana. □
£9,20] TRDITEV. Naj bo 9€ polna algebra in *P C 3£  ne-
prazna podmnožica. Potem Je 3€. ortogonalna direktna vsota:
(9,33)
:                               (9,34)
Dokaz. 

T9,2l1 TRDITEV. Naj bo spolna algebra, *>P ideal algebre 3€ in "R. njegov ortogonalni komplement:  2C = *P & 1L  . Tedaj Je "R, spet ideal algebre "ŽC    in 'Icanf?) . Ideal ideala algebre "9t    Je spet ideal algebre 2C     .

Naslednji korolar in še trditev za nJim kažeta - če govorimo v Jeziku Liejevih algeber -, da Je 2C reduktivna
- 106 -
algebra, torej direktna vsota trivialne (= komutativne) in polenostavne algebre.
£9,22] KOROLAH. Naj bo X polna algebra.
 (9,35)
Oba ortogonalna direktna sumanda sta zaprta ideala v 3Co. Algebra #C ima s tem dve podalgebri:

ki sta obe spet polni metakompleksni algebri, prva Je votla in druga je prava.
Dokaz. Netrivialno v korolarju je le to, da je 
res prava algebra. Pa naj bo a  tak element, da
je:  . Toda potem je  in zato
a = 0 . D
[9,231 TRDITEV. Naj bo 2t polna prava algebra. Če je T  poljuben ideal v algebri 3C , je  Ne eksistira noben neničelni ideal 3^ z lastnostjo
 .
Dokaz. Naj bo  (ortogonalno) in recimo, da
 , oziroma   (spet ortogonal-
no), kjer je G? netrivialen zaprt podprostor.

kar pa je v nasprotju s predpostavko, da je algebra 3£ prava. Zato je ^ = {0} .
 D
T9,24-] KOROLAR. Naj bo 2C polna prava algebra in *P poljuben ideal v 3C . Tedaj je 2t    ortogonalna direktna vsota
 (9,36) pri čemer je
 (9,37)   je spet prava polna metakompleksna algebra. Zaradi (9,36) in (9,37) bi lahko rekli, po analogiji z aso-
ciativnimi algebrami, da je algebra <K, anihilatorska oziroma dualna.
[9,23] KOROLAR. Naj bo 'K taka metakompleksna algebra, da je  . Potem je &C    ortogonalna di-
rektna vsota:
 (9,38)
'^P^. so ideali, sami zase končnodimenzionalne enostavne algebre, 

Dokaz, <fcnapolnimo v 
Potem je   in
  , iz česar sledi:
Ostalo potem sledi iz (9,36). D
- 107 -
- 108 -
10. DODATEK
Na naslednjih straneh bomo pokazali, kako z v tem delu zbranim materialom zlahka izpeljemo znani izrek o algebrah z absolutno vrednostjo (Urbanik, Wright). Zatem pa bomo prikazali in delno tudi analizirali dve posplošitvi takšnih algeber, eno lokalno (v okolici enote) in eno globalno. Glavna rezultata sta poleg že znanih izrekov trditvi [10,7] in [10,8].
Absolutna vrednost je norma lf.II na algebri z multi-plikacijo .,.. če velja identično:
 (10,1) Absolutna vrednost morebitne enote je vedno 1.
LEMA. Naj bo <K algebra z multiplikacijo . in enoto e nad obsegom flC  in še normiran prostor za normo // ./I , za katero eksistira taka okolica W,(e) enote e, da je:
 . ,                    (10,2)
Tedaj eksistira 

[l0,2j IZREK. Naj bo čK- algebra z multiplikacijo . in enoto e nad ud  in normiran prostor za normo /I.//:
 i
za vsaka x,y iz neke okolice lt(e) enote e pa velja
- 109 -
celo: 
Tedaj je za  algebra c?£ izometrično izomor-
fna (D  , za  pa je izometrično izomorfna

Dokaz, Očitno je llell   = 1  in iz leme £l0,lj takoj zvemo, da je 2C metakomp^eksna algebra. Iz izreka [913] potem že sledi gornji izrek za BC = C .Pa naj bo OC   = TR,    l   Bodita a in b poljubna elementa iz 2C in <<.  ter yi dovolj absolutno majhni števili. Tedaj je:

Na enak način izračunajmo za poljubna  še izraza
 , upoštevajmo
(•*), pa bomo videli, da sta ta izraza enaka. Torej velja identično: 
Toda v metakompleksni algebri je norma porojena iz skalarnega produkta. To pa je po Hurwitzovem izreku že dovolj za naš zaključek. D
Preden gremo na obljubljeno posplošitev, si poglejmo konstrukcijo neke normirane algebre.
[lO,53 PRIMER. Naj bo 2tQ  neka algebra za produkt x nad K in normiran prostor za normo H JI , za katero je:

Dodajmo k 2Co še enodimenzionalni prostor:
^C naj bo spet algebra za produkt. :
 (10,3)
in normiran prostor:
 (10,4)
Isti znak za obe normi smemo uporabiti, ker je nova norma le razširitev prvotne.
- 110 -
I 
(2"C,#£ ) je Osbornov par, pri čemer je  za vse


Norma" lf.0 je torej v primeru polnosti prostora #£ celo BG--norma BO-para («fc,?C_).
Za nas je pomembno, da velja preprosto preverljiva implikacija: 
 (10,5) kakršnakoli sta sicer x in y iz 3{. D
0.0,4-] TRDITEV. Naj bo 3t Banachova algebra z multiplikaci-jo • in enoto e nad DC  v topologiji norme M«//0i za katero eksistira taka okolica W(e) enote e, da je:

K  = €    .ie to algebra iz primera (10,3] (polna in z ekvivalentno normo). f>icer pa pri kakršnemkoli BC  eksistira taka ekvivalentna algebrska norma II.H in tak t >  0 , da je: (a) 
• (e + y)ll 1 kakršnakoli sta sicer x in y iz <K,.
(b) card 2=1  (oziroma 3>   =  £t} , pri čemer je 2 množica stanj za normo tf.tf).
(c) Za -BO-par in !/.// B0--norma.
(d)                      (10,6) za e  smemo nee-načaja zamenjati kar z enačajema).
(e) Za Osbornov par  veljajo izjave iz trditve [l,2].
(f) 
(g) Za    in vsako čisto potenco p  je
 11                       (10,7)
(za  velja kar enačaj), (h) Za   je
 (10,8) (i) Za vsak   je
 (10,9) (j)                   (10,10)
za vsak x s ^C ter za taka * in A, da imata nenegativno realno razmerje in je

Dokaz. Za normo H. II velja: 
Naj bo kar 
Okolica lZ.Ce)  vsebuje neko kroglo s polmerom £-, in s središčem v e, tako da za vsak   velja (a). Po lemi £l0,lj in trditvi f7,6j sklepamo v pravilnost točke (b). Trditev [7,?1  nam potrdi še točko (c).
Postavimo sedaj:  . Zagotovo je
 . Naj bo   poljuben element in
fi € ffC    tako število, da je  l/M./(x//< S   .

Ce izpustimo srednji del neenakosti, skrajna dva člena pa razvijemo v vrsti, dobimo:

- 111 -
- 112 -

V splošnem je torej , iz
česar sledi točka (e). Naj bo spet 

Skupaj z dejstvom, da je II.H   BO-norma, nam to da oceno (10,6). Pa recimo spet, da je  poljuben element,
/!> pa tako število, da je 
S tem je točka (d) v celoti potrjena.
Za absolutno dovolj majhne  je tedaj

Ker pa sta smerna kota števil oc   in yS poljubna, od tod že sledi:  ) . To pa je dokaz, da je za naša 
algebra res kar algebra iz primera [10,3], ki je sicer popolnoma poljubna, le C5~ je na (kartezični produkt!) ničelni funkcional.
Treditev (f) je za IrC   =(£>    trivialna, za        pa sledi iz (*), ki se za   in  (kar je
isto kot  a € <K,   ) glasi:

Nadaljujmo dokaz pri točki (g). Po formuli (4,8) je:

- 113 -
Dokažiino (g) s popolno indukcijo.
Za n = 1  je vse v redu. Naj trditev velja za vse 

Iz trditve £5,7] že sledi točka (h). Dokažiino še zadnji dve točki!

za vsako eksponentno funkcijo Exp. Trditev £5,3J nam za poljuben x in °C,/b iz točke (j) da za poljubni, funkciji Exp-, in Expp :

Torej velja tudi (10,10).
Od tod pa sledi za 
Če je x poljuben element, je za dovolj velik n € [NI   :

iz česar dobimo po logaritmiranju:

Če n raste preko vseh meja, postaja neenačba veljavna za vse po normi še tako velike x .

(upoštevaje trditev £7,6]). Torej je za vsak x:
 ; to pa je že (10,9). □
Lokalna posplošitev absolutne vrednosti nas očitno ni pripeljala do kakšnih specialnih struktur. Zato poskusimo
- 114 -
sedaj z globalno posplošitvijo, torej z normo, ki zadošča dvojni neenačbi na celi algebri:
 (10,11) Najprej pa navedimo pomemben izrek!
El0,5] IZREK.  Naj bo <K. Banachova algebra nad £ in L naj bo za vsak x / 0 bijektiven operator. Tedaj je dt . /topološko izomorfna (C .
Izredna pomembnost izreka je v tem, da ne zahteva niti aso-ciativnosti niti eksistence enote! Kolikor mi je znano, je avtor I. Kaplanskv, vendar je možno, da je bil izrek dokazan že zelo zgodaj, saj je dokaz presenetljivo kratek in eleganten, pa ga zato tu tudi navajam.
Dokaz. Bodita x in y linearno neodvisna. Za vsak X. € <C    je
 omejen bijektiven operator, prav tako tudi
 . Toda tedaj je spekter operatorja
prazen, kar pa ni mogoče. □ 
Analogen izrek velja, če je R  za vsak x / O' bijektiven ope-rator.
TlQ,6] TRDITEV. Naj bo 3C Banachova algebra nad K  z algebr-sko normo /I .1/, naj bo

in naj eksistira  , da je  za
vsak x € JC . Tedaj za vsak 
Dokaz. Za  .  je trditev
trivialna. Zato naj bo odslej  dim c?C> 1 .
Naj bo 
Za vsak tak r je 
2)     je povezana množica! Vzemimo, da sta x,y č 2) Če je y nekolinearen z x, potem ta dva elementa povezuje pot

ki vsa leži v 2r- Če pa je y = <xx za oC€ 0C , vzemimo nek drug od x linearno neodvisen element z iz 2) in nato sestavimo pot od x do z in od z do y po receptu (*).
Dalje je Xf)2)   v relativni topologiji topoloske-ga prostora °0  odprta množica, ker je ^ odprta množica po
- 115 -
lemi f3,3l,(a).
Toda  je v tej topologiji tudi zaprta mno-
žica! Naj "bo  Cauchvjevo zaporedje. Eksisti-
ra tak x £ S)      , da je: 
Ker je , je:

Zato eksistira povsod definiran omejen linearen operator U,

Ta in pa analogen račun za \\ UL - I \\  nam povesta, da je
-A.
 je res zaprta množica.
Potem pa je zaradi povezanosti množice od   :
 Toda:   in s tem so vsi
L obrnljivi za x / 0 . D
Trditev in njen dokaz sta narejena po vzorcu podobnega Edwardsovega izreka za asociativne algebre ([24]). Analogen izrek velja seveda za operatorje R .
[lQ,73 KOROLAR. Naj bo 2C kompleksna Banachova algebra z algebrsko normo /l.ll , naj bo  ^ 0 in naj eksistira tak A € ^+ , da je:
 Tedaj je #C topološko izo-morfna C •
Korolar je očitna posledica trditve fl0,6j in izreka [l0,5j. Analogen korolar dobimo z zamenjavo L z R.
fl0,8l IZ REK. Naj bo ■H.  kompleksna algebra z multiplikacijo . in enoto e in obenem normiran prostor za normo /(./i, za katero eksistirata konstanti  m,M € TRj*'   , da je za
- 116 -
vsaka  x,y e 3€ veljavna dvojna ocena (10,11). Tedaj .ie 9t topološko izomorfna & .
Dokaz. Napolnimo 2"C v 3C. Pri tem norma obdrži vse omenjene lastnosti. Uvedimo še novo normo:  , za katero
velja povsod:

Množica' jL iz trditve [lO,^] ni prazna, ker eksistira enota, naj "bo  . Za vsak  je:
 , oziroma

Torej je tudi 
Pogoji iz korolarja [l0,7j so izpolnjeni in dC  je topološko izomorfna (L • Potem pa je zaradi končne dimenzionalnosti taka tudi algebra
Žal realna verzija izrekov £l0,5] in [lO,8J , ki je ob predpostavki, da eksistira enota (protiprimer v f37j•), v tem, da trdimo: , in ki je skoraj
zagotovo pravilna, ni tako preprosto dokazljiva. V naslednji trditvi nanizajmo le nekaj lastnosti take realne algebre, kakršna sicer kompleksna nastopa v izreku fl0,8].
HDITKV. Naj bo 2£ realna Banachova algebra z enoto
e in algebrsko normo 11.11, za katero eksistira tak
 •
tedaj je:
(a)
(b)
(o)
(d)
(e) 
- 117 -
za vsak , in vsaka »  z nenegativ-nim razmerjem; za vsak ' je:
 1  ;                                                (10,18)
(f) 
Dokaz. (a) I .
(b) HnQŽica  \    zaradi eksistence enote ni prazna. Če torej eksistira  za nek x, je:

S tem so izpolnjeni pogoji v trditvi [l0,6j. Enako dokažemo tudi varianto z 
(c) Dokaz s popolno indukcijo! Za n = 1  je neenačba trivialna. Pa recimo, da velja neenačba za vse n do vključno k.
(d) 
Začetku in koncu ocene izračunajmo , pa dobimo
še (10,16). (e) Uporabimo oznake iz trditve f5»3J«

 , kjer sta Exp-, in Exp^ poljubni eksponentni funkciji. Vzemimo taki, da je
- 118 -

Z indukcijo dokažemo še drugo neenačbo! Za n = 1  je celo kar identiteta. Pa naj bo neenačba pravilna za

(f) dobimo iz Bott - Milnorjevega izreka o končnodimenzional-nih algebrah z deljenjem. D
- 119 -
NEKATERA ODPRTA VPHaŠANJA
ki so vzniknila ob nastajanju tega dela, pa jim avtor ni bil kos.
(1) Naj bo 3C Banachova algebra. Ali je za vsak x € Vt

(2) Naj bo 2t  Banachova algebra. Ali je   za vsak   in za vsako eksponentno funkcijo Exp ? Ali je celo
 > za vsak   ?
(3) Ali je množica EXP(20 v Banachovi algebri 3-C odprta? V katerih algebrah je i ?
(4-) Kaj je najboljša ocena za konvergenčno območje logaritma (5,32) v Banachovi algebri?
(5) Ali je tudi za »  algebra frt    iz koro-larja (9,25) direktna vsota an(3C )  in enostavnih idealov (v kakršnemkoli že smislu)?
(6) Klasifikacija metakompleksnih algeber, v katerih je jedro enodimenzionalno in antikouiutativna algebra enostavna?
(7) Kakšna je metakompleksna algebra, pri kateri je antikomu-tativna algebra Liejeva?
(8) Ali je metakompleksna algebra brez pravih deljiteljev niča končnodimenzionalna? Ali je morda taka celo realna Banachova kvadratna algebra brez pravih deljiteljev niča?
(9) Kakšna je realna verzija izreka l^^»3? Ali vsaj realna verzija izreka flO,7J?
-  120
LITERATURA
V seznam literature sen uvrstil le tista dela, ki sem jih neposredno ali posredno uporabil. Izčrpen seznam literature iz naše teme bi bil seveda mnogo preobširen, najti pa ga je v referencah del iz tega seznama.
• , Z znakom • so zaznamovane knjige za razliko od člankov.
[ ij A. A. Albert; Absolute-valued algebraic algebras. Buli. Amer. Math. Soc. ££ (194-9), 763 - 768.
F 2J --- : On nonassociative division algebras. Trans. Amer.
Math. Soc. 21  (1952), 296 - 309.
3] H. Arens: L inear topological division algebras. Buli. Amer. Mat h. Soc. *£  (1947), 623 - 630.
4-] H. Behncke: Hermitean Jordan Banach algebras. J. London Math. Soc. (2) 20 (1979), 327 - 333.
5] H. P. Bohnenblust, S. Karlin: Geometrical properties of the unit sphere of Banach algebras. Ann. of Math. (2) 62 (1955), 217 - 229.
6 J • F. F. Bonsall, J. Duncan: Numerical Ranges of Opera-tors on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras. Cambridge Universitv Press 1971-
[" 7] •---: Numerical Ranges II. Cambridge Universitv Press
1973.
8 J • --- : Complete Normed Algebras. Springer - Verlag,
Berlin - Heidelberg - New York 1973« '
9] R. H. Bruck, E. Kleinfeld: The structure of alternative
division rings. Proč. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 878 -- 890.
LLOJ J. A. Van Gasteren: On algebras with a smooth norm. Buli. Soc. Math. Belg. 26 (197Z0, no. ^, 3^7 - 350 ; M.R., dec. 1978, ^ 16378.
|11J • A. Cedilnik: Algebre z neizrojeno invariantno biline-arno formo. Magistersko delo, Ljubljana 1978.
- 121 -
[12] V. Chojnacki: On Banach algebras which are Hilbert spa-cec. Commentationes math., V/arszawa, 20 (1978), 279 -- 281 ; Z.B.M. ^91 (1979), 46040.
fl3j R. A. Gzerwinski: Bonded quadratic division algebras. Pacific J. Math. 64 (1976), no. 2 , 341 - 351.
[14J C. V. Devapakkiam: Jordan algebras v/ith continuous in-• verse. Mathematicae Japonicae 16 (1971), 115 - 125.
fl5j • J. Dieudonne: Poundations of Modern Analvsis. Academic press, New York and London 1969.
[l6j R. S. Doran: An application of idempotents in the clssi-fication of complex algebras. Elem. Math. j$j3 (1980), 16 - 17 ; Z.B.M. 422 (1980), 245 - 246.
fl7J • E. Hille: Functional. Analvsis and Semi-Groups. Amer. Math. 8ociety, New York 1948.
[l8J M. Hladnik, M. Omladič: On complex rotunditv and smooth-ness. Glas. Mat. J52 (1977), no. 12, 73 - 79.
[l9J L. Ingelstam: Hilbert algebras with identi.tv. Buli. Amer. Math. Goc. 69 (1963), no. 6, 79z+- - 796.
[20J --- : Non-associative normed algebras and Hurwitz' problem. Ark. Mat. £ (1964), 231 - 238.
[2lJ---: Real Banach algebras. Ark. Mat. £ (1964), 239 -
- 270.
[22] I. Kaplanskv: Infinite-dimensional'quadratic forma ad-
mitting composition. Proč. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 956 - 960.
[23j • --- : Algebraic and Analvtic Aspects of Operator Algebras. Providenee, Amer. Math. &ociety 1970.
[24] • R. Larsen: Banach Algebras, an Introduction. Marcel Dekker, Inc., New York 1973-
[25] K. McCrimmon: Genericallv algebraic algebras. Trans. Amer. Math. Goc. 127 (1967), 527 - 551.
[26] J. M. Osborn: Ouadratic division algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 10£ (1962), 202 - 221.
[27]---: Varieties of algebras. Advances in Math. 8 (1972),
163 - 369.
[28] • C. E. Rickart: General Theorv of Banach Algebras. R. E. Krieger Publishing Co., Iluntington, New York 196C
J29J • R« D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras^. Academic Press, New York and London 1966.
[30] -^— : Generalized standard algebras. J. Algebra 12 (1969), 386 - 417.
[31] --- : Forms permitting composition. Advances in Math. 4
(1970), 127 - 1^-8.
[32] M. F. Smilev: Real Hilbert algebras with identitv. Proč. Ainer. Math. Soc. 16 (1963), ^0 - 441.
[331 A. M. Sinclair: The norm of a Hermitean element in a Banach algebra. Proč. Amer. Math. Soc. _28 (1971), 4.46 - 430.
[34] V. K. Srinivasan: On some Gelfand - Mazur like theorems in Banach algebras. Buli. Austral. Math. Soc. 20 (1979), 211 - 213.
[33J E. Strzelecki: Metric properties of normed algebras. Studia Math. 23 (1963), 41-31.
r$6j --- : Power-associative regular real normed algebras.
J. Austral. Math. Soc. 6 (1966), 193 - 209 ; M.R. 33,, #6433.
[37J K. Urbanik, F. B. V/right: Absolute-valued algebras. Proč. Amer. Math. Soc. 11 (1960), 861 - 866.
[38j • I. Vidav: Banachove algebre. IMFM, Ljubljana 1978.
f39j M. A. Youngson: A Vidav theorem for Banach algebras. Math. Proč. Oamb. Phil. Soc. 84 (1978), 263 - 272.
[40] • K. A. Zelvakov, A. M. Slinjko, I. P. Sestakov, a. I. Siršov: Koljca, blizkie k associativnim. Nauka, Moskva 1978.
-  122  -
STVARNO KAZALO
absolutna vrednost               108      konjugiranje                                 11
algebra,alternativna             26      ločena zveznost                           27
- anizotropna                         101       logaritem              57,61
- Banachova  •                        28      modul                                               12
- fleksibilna                           26      norma, algebrska                         28
- Hilbertova                             28      - Banach - Osbornova                 29
- Jordanova                             101      - Hilbert - Osbornova               29
- kvadratna                               17      - kvadratna                                   11
- metakompleksna                     89      numerična zaloga vrednosti  71
- - prava, votla                   104      par, Banach - Osbornov            29
- potenčnoasociativna           19      - Hilbert - Osbornov                29 anihilator                               104      - Osbornov                                     11 BO-norma                                     29      polmer, numerični                       71 BO-par                                         29      - spektralni                                 42 center                                       101      - - spodnji, zgornji                41 eksponentna funkcija            48      potenca                                           39 hermitski element                   77      - čista                                           39 HO-norma                                     29      sled                                                 11 HO-par                                         29      stanje                                             71 inverz, desni, levi              46      topološko nilpotenten,
jedro                                         101 krepko, šibko                      42 kanonski operator, desni,
levi                                     26
kompleksifikacija             20,37
- 123 -