i
i
“Kovic” — 2020/3/10 — 9:20 — page 221 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
James Stewart, Calculus, Early transcendentals, Eight Edition,
International Metric Version, Cengage Learning 2016, 1182 strani.
Zajetni učbenik, ki sijajno združuje te-
orijo in prakso (tj. matematične vsebine
in njihove aplikacije), je premǐsljeno za-
snovan tako, da študentu predstavi tako
uporabnost kot lepoto infinitezimalnega
računa. Sledi najnoveǰsim pedagoškim
usmeritvam, ki vključujejo tudi razno-
vrstno uporabo računalnikov, od vizu-
alizacije do numeričnega in grafičnega
eksperimentiranja. Ne posveča se zgolj
razvoju tehničnih kompetenc, osredotoča
se na konceptualno razumevanje, ki ga
razvija predvsem s skrbnim izborom problemov, v skladu z maksimo, da je
umetnost poučevanja umetnost pomagati študentom pri odkrivanju oziroma
raziskovanju določenega področja. Težavnost problemov se v vsakem poglav-
ju počasi stopnjuje, v razponu od takšnih, ki preverjajo zgolj razumevanje
osnovnih konceptov in usvajanje osnovnih računskih veščin, do zahtevneǰsih
problemov, ki vključujejo aplikacije in dokaze.
Po besedah avtorja je učbenik napisan v skladu s t. i. Četvernim pravilom
(angl. Rule of four), ki priporoča, da je snov predstavljena geometrijsko,
numerično, algebraično ter verbalno. Opremljen je s številnimi barvnimi
diagrami, slikami, fotografijami ter podprt z dodatnimi materiali, dostop-
nimi na spletni strani stewartcalculus.com. Poleg obilice standardnih,
računskih in dokazovalnih nalog, ki so večini tradicionalno šolanih študen-
tov najbolj domače, ponuja tudi nestandardne samostojne ali timske izzive
oziroma projekte: aplikativne projekte (ki naj bi posebej ugajali študen-
tovi domǐsljiji), laboratorijske projekte (ki vključujejo uporabo tehnologije),
raziskovalne projekte (pri katerih študent prepoznava vzorce ali raziskuje
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 221
i
i
“Kovic” — 2020/3/10 — 9:20 — page 222 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
določene vidike geometrije) in pisne projekte (pri katerih je treba napisati
kratek esej, npr. o tem, kako je prǐslo do nekega matematičnega odkritja
v zgodovini matematike). Tak pristop seveda omogoča razvoj neprimerno
več študentovih kompetenc kot tradiconalni pristop, ki poudarja predvsem
računske in dokazovalne veščine in nagrajuje zlasti zmožnost pridnega učenja
metod in postopkov, ne postavlja pa v ospredje konceptualnega razumevanja,
ne razvija veselja do samostojnega in timskega eksperimentiranja in razisko-
vanja (ne zgodovine matematike ne novih matematičnih področij) in ne
spodbuja razvijanja študentovih kompetenc ustne in pisne ubeseditve mate-
matičnih vsebin, ki na določeni stopnji, npr. ko je treba začeti pripravljati
seminarje ali pisati znanstvene članke, postanejo prav tako nepogrešljive.
Knjigo zaokrožajo številni dodatki, od diagnostičnih testov za preverjanje
predznanja študentov (potrebnega za razumevanje infinitezimalnega računa)
do seznamov formul in vprašanj za preverjanje konceptualnega razumevanja
za vsako od dvanajstih poglavij. Ta poglavja so: 1. Funkcije in modeli, 2.
Limite in odvodi, 3. Pravila odvajanja, 4. Uporabe odvodov, 5. Integrali, 6.
Uporabe integralov, 7. Integracijske tehnike, 8. Nadaljnje uporabe integralov,
9. Diferencialne enačbe, 10. Parametrične enačbe in polarne koordinate, 11.
Zaporedja in vrste, 12. Vektorji in prostorska geometrija.
Med številnimi odlikami knjige je vredno izpostaviti nekaj primerov,
kako zna avtor poudariti bistveno in pritegniti bralčevo pozornost. Tako
npr. v uvodnem poglavju Pregled infinitezimalnega računa (angl. A Preview
of Calculus) predstavi nekaj osnovnih problemov in konceptov (problem
računanja ploščin, problem iskanja tangent, pojem hitrosti, pojem limite
zaporedja in pojem vrste), ki so po eni strani vodili k razvoju infinitezi-
malnega računa, po drugi strani pa študentu omogočajo hitro osnovno ori-
entacijo po področju in razumevanje temeljnih idej, saj se da njihovo vsebino
dovolj jasno predstaviti še pred uvedbo natančnih definicij; te so se tudi v
zgodovini matematike tako ali tako pojavile šele z dolgoletnim zamikom,
potem ko so jih matematiki dolgo uporabljali nerigorozno, brez skrbi za
strogost definicij.
222 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Kovic” — 2020/3/10 — 9:20 — page 223 — #3 i
i
i
i
i
i
Calculus, Early transcendentals
Avtor v vsakem poglavju jasno poudari nekaj temeljnih resnic, ki lahko
študentu zelo olaǰsajo razumevanje sicer zahtevne in obsežne snovi. Tako
npr. eksplicitno pove, da so temeljni objekt, s katerim se ukvarja infinite-
zimalni račun, funkcije. Ker se da s funkcijami modelirati najrazličneǰse
pojave in procese v naravi in družbi, je potrebno, da jih znamo analizirati, na
različne načine računati z njimi, pa tudi proučevati, razvijati in interpretirati
matematične modele, v katerih nastopajo. Pri študiju funkcij je nepogrešljiv
pojem limite, na katerem temeljijo tudi pojmi zveznosti, odvoda in integrala.
Avtor meni, »da bi dejansko lahko definirali infinitezimalni račun kot tisti
del matematike, ki se ukvarja z limitami« (str. 8).
Za primerjavo omenimo, da je v knjigi Sterling K. Berberian: A First
Course in Real Analysis, Springer-Verlag, 1994, na strani 80 podan pre-
cej drugačen pogled: »V elementarnem kalkulusu sta koncepta zveznost in
odvodi naslikana z istim čopičem in ta čopič se imenuje ›limite‹; to je do-
bro, da se pokaže enotnost v procesih infinitezimalnega računa. Vendar, ko
pogledamo ta koncepta natančneje, vidimo, da sta precej različna: zveznost
ima opraviti z interakcijo med funkcijami in odprtimi množicami, medtem
ko diferenciabilnost vključuje še algebraično strukturo obsega realnih števil
(nenehno imamo opravka z ›diferenčnimi kvocienti‹)«.
Poglavje o diferencialnih enačbah uvaja misel, da matematični model
pogosto privzame obliko diferencialne enačbe. Čeprav pogosto ni mogoče
najti eksplicitne formule za rešitev diferencialne enačbe, pa lahko grafični in
numerični pristop omogočita vsaj kvalitativno razumevanje raziskovanega
procesa, ki ga modelira dana enačba.
Knjiga, ki je napisana zelo jasno in je tudi pregledno urejena, bo ugajala
vsem študentom in učiteljem matematike, ki si želijo infinitezimalni račun,
tudi če o njem že vedo zelo veliko, spoznati na drugačen, moderneǰsi način, z
veliko poudarka na konceptualnem razumevanju, nazornosti razlage, števil-
nih zanimivih zgledih ter praktičnih aplikacijah in privlačnih projektih.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 223