M ATEMATI KA
MaRS 2013
nU vU NU
Vesna Iršič
-> Med 18. - 24. avgustom 2013 je v Bohinju že osmo leto zapored potekal matematični tabor za srednješolce MaRS (Matematično Raziskovalno Srečanje). Udeležilo se ga je osemnajst dijakov in dijakinj iz vse Slovenije, kot udeleženci so se jim pridružili še trije študentje, za uspešno odpravo pa je poskrbelo šest članov posadke: Maja Alif, David Gajser, Nejc Rosenstein, Matej Roškarič, Jana Vi-drih in Lara Kozarski, v oporo pa jim je bil tudi dr. Boštjan Kuzman.
Tako kot vsa leta doslej je bila osrednja marsovska dejavnost priprava projektov. MaRSovci smo se razdelili v skupine po tri in se pod okriljem svojega mentorja spopadli z izbranim matematičnim problemom. Preden smo ga rešili, smo morali spoznati nekaj novih matematičnih znanj, nato pa smo še napisali kratek Članek in pripravili predstavitev. Letos so se dijaki pri projektih ukvarjali s: Hilbertovim hote-
lom, taktikami in verjetnostjo pri namizni igri Risk, razdelitvijo ravnine s premicami, matematičnim modelom strjevanja gela, teorijo grafov in problemom najkrajše poti ter aksiomom izbire. Študentska skupina se je posvetila Turingovemu stroju in Posto-vemu problemu.
Nadebudneže vabimo, da se tudi sami spoprimejo s preprostejšimi problemi, ki so bili del katerega od projektov. Rešitve lahko najdete pod zavihkom »Projekti« na spletni strani mars. famni t.upr.si.
SLIKA 1.
Mentorji pred izplutjem na jezero
SLIKA 2.
Posadka na letošnjem MaRS-u: Matej, David (spodaj)
Maja, Lara, Jana (zgoraj); Nejc,
4
PRESEK 41 (2013/2014) 3
MATEMATIKA
Problem. MaRS je vedno bolj priljubljena turistična destinacija. Povpraševanje se izjemno hitro povečuje, zato so tam zgradili hotel Neskončno, hotel s števno neskončno sobami. Ta se je začel hitro polniti in se je nekega dne tudi napolnil. Poleg vseh običajnih postopkov na rečepčiji so bili vsi gostje pri-morani podpisati izjavo, da bodo ubogali ukaze, ki jih bodo dobili preko zvočnika, tudi če bodo zelo nenavadni.
(a)	Na MaRS je prispela petčlanska družina. Ker je pred hotelom vedno visel napis Proste sobe, so zahtevali vsak svojo sobo.
(b)	Prispela pa je tudi vesoljska ladja z neskončno potniki, izmed katerih je vsak zahteval svojo sobo.
Kako naj rečeptor hotela nastani potnike v posameznem primeru?
Problem. Lastniča Turistične agenčije MaRS se je odločila, da bo nagradila nekaj bivših strank in tako še povečala priljubljenost svoje agenčije. Kandidate za nagrado je zbrala v skupni sobi in jim povedala, da jih bodo kmalu postavili v vrsto ter vsakemu na glavo dali belo ali črno kapo. Pri tem bo vsak kandidat videl le barve kap vseh tistih kandidatov, ki bodo pred njim. Kdor ugane barvo svoje kape, dobi
nagrado. Kandidati bodo ugibali barvo kape od zadnjega proti prvemu, in sičer na glas, tako da bodo vsi slišali vsakega kandidata. Za kakšno strategijo naj se kandidati za nagrado dogovorijo, da jih bo kar največ nagrado dobilo, čeprav lahko vsak izmed njih reče le bela ali črna?
Problem. Na voljo imaš domine
Zloži jih v vrsto eno za drugo tako, da boš zgoraj in spodaj dobil enak niz znakov. Pri tem lahko vsako domino uporabiš poljubno mnogokrat (vendar končno mnogokrat).
Tipičen marsovski dan se je začel z zajtrkom, zaspani MaRSovči pa smo se dokončno prebudili šele pri jutranji telovadbi. Dopoldnevi prvih dni tabora so bili namenjeni različnim delavničam. Dr. Uroš Kuzman nas je popeljal v svet kompleksnih števil in nam predstavil njihovo povezavo z geometrijo. Mentorji so nam predstavili urejevalnik besedil LTEX, program GeoGebra in tudi nekaj osnov retorike, ki so nam pomagale pri predstavitvah projektov staršem, profesorjem in prijateljem.
MaRS so obiskali tudi štirje predavatelji - dr. Milan Hladnik, dr. Boštjan Kuzman, Sergio Hiroki Koike Quinatar in dr. Andrej Bauer, ki so nas popeljali v različne svetove matematike in nam popestrili večere. Izvedeli smo, da lahko z neoznačenim ravnilom
SLIKA 3.
Nejceva skupina pri pripravi svojega projekta
SLIKA 4.
Delavnica o kompleksnih številih

PRESEK 41 (2013/2014) 3
5
MATEMATIKA
->
SLIKA 5.
Večerno predavanje dr. Andreja Bauerja
in šestilom načrtamo natanko iste točke kot samo s šestilom, spoznali končna polja, politope in osnove lambda računa. Na predavanjih smo se srečali tudi z naslednjima problemoma:
Problem. Koliko različnih ogrlic s petimi kroglicami lahko naredimo, če imamo na voljo dovolj kroglič v dveh različnih barvah?
Problem. S katerimi pravilnimi mnogokotniki lahko tlakujemo ravnino (t. j. pokrijemo vso ravnino brez prekrivanja)?
Vsak dan je Lara pripravila uganko dneva, s katero smo se lahko spopadali v prostem času. Tudi vi lahko poskusite razrešiti katero izmed njih:
Problem. Premakni eno vžigaličo, da bo enačba na sliki 6 veljala (pri tem ne smeš spreminjati znaka =).
Problem. Že Egipčani so račionalna števila zapisovali v obliki ulomkov, le da so imeli vsi njihovi ulom-ki v števču število 1. Število gg zapiši kot vsoto
(a)	dveh različnih egipčanskih ulomkov,
(b)	treh različnih egipčanskih ulomkov.
Zgled: 22 = 11 + 18 = 8 + 12 + 72.
Clani posadke so poskrbeli, da naporno delo MaR-Sovčev ne bi preveč izčrpalo. Zato smo se v sredo podali na pohod ob koritih Mostniče, kjer smo uživali v čudoviti naravi, namaknju nog v mrzlo vodo in odličnem štrudlju v koči na konču poti. Tudi druge dni smo imeli nekaj prostega časa, ki smo ga izkoristili za kopanje v jezeru in učenje hoje po vrvi (>slačkli-ning<). Poleg tega je bil vsak dan po večernem predavanju družabni večer, ki se je ponavadi zavlekel pozno v noč. MaRSovči smo se pomerili v namiznem tenisu, osvajanju otoka Catan, že tradičionalni mafiji, igri s kartami Hanabi, taroku, napadanju Tokia, sajenju fižolčkov in osvajanju sveta pri Risku.
Zadnji popoldan je potekala Velika MaRSovska avantura, orientačijski pohod z matematičnimi nalogami na kontrolnih točkah. Na avanturi se nam je pridružilo tudi prečej nekdanjih MaRSovčev, tako da je na njej skupaj sodelovalo kar 11 skupin. Za vtis, kakšno je bilo vzdušje na kontrolnih točkah, se lahko tudi sami spoprimete z enim problemom:
Problem. Izračunaj ploščino območja med tremi dotikajočimi se krogi z radijem 1 (glej sliko 8).
SLIKA 6.
Uganka dneva - naloga z vžigalicami
SLIKA 7.
Na pohodu ob koritih Mostnice
6
PRESEK 41 (2013/2014) 3
MATEMATIKA
SLIKA 8.
Naloga z avanture - ploščina območja
Zvečer je sledila razglasitev rezultatov z avanture. Zmago sta si delili dve skupini, ki sta za nagrado prejeli veliko MaRSovsko čokolado, ostali MaRSovci pa smo njim na čast izvedli MaRSovski pozdrav, s katerim smo tudi med tednom pozdravili vsakega obiskovalca. Nato je sledil še piknik ob tabornem ognju, glasbeni spremljavi dveh kitar, harmonike in mnogih navdušenih pevcev. Okoli polnoči nas je dež sicer pregnal izpod milega neba, druženje pa se je nadaljevalo v jedilnici in se za nekatere ni koncalo vse do zajtrka. Naslednje jutro je po poskusnih predstavitvah sledil pristanek, ki se je zakljucil s prijetnim druženjem, slovesom in željo, da se še kdaj srecamo - ce ne na MaRS-u pa vsaj na Zemlji.
Rešitev naloge iz prejšnje številke
sU vU nU
Marko Razpet
Ce je polinom P(x) = 6x4 - 5x3 + ax2 + 7x +12 deljiv s trinomom Q(x) = 3x2 -x + ß, potem očitno obstajata taki števili A in j, za kateri velja P(x)/Q(x) = R(x) = 2x2 + Ax + j. Ker mora potem veljati enakost P(x) = Q(x)R(x), dobimo:
■	6x4 - 5x3 + ax2 + 7x + 12 =
= (3x2 - x + ß)(2x2 + Ax + j).
Po množenju trinomov na desni strani in po urejanju imamo enakost
■	6x4 - 5x3 + ax2 + 7x + 12 = 6x4 + (3A - 2)x3 +
+ (2ß - A + 3j)x2 + (ßA - j)x + ßj,
ki pa velja le, če se polinoma na levi in desni strani ujemata v istoležnih koeficientih, zato morajo števila a, ß,A in j zadoščati sistemu enačb:
■	3A - 2 = -5 2ß - A + 3 j = a
ßA - j = 7 ßj = 12
Iz prve enačbe takoj dobimo A = -1, tretja in četrta enačba pa se potem glasita:
ß + j = -7, ßj = 12.
Očitno imamo dve rešitvi:
ß1 = -3, j1 = -4; ß2 = -4, j2 = -3.
Iz druge enačbe v sistemu pa sledi še:
SLIKA 9.
Skupina Packi na kontrolni točki na veliki MaRSovski avanturi
XXX
■ ai = 201 + - A = -17, a = + 3^2 - A = -16.
Naloga ima dve rešitvi. Polinom 6x4 - 5x3 - 17x2 + 7x + 12 je deljiv s trinomom 3x2 - x - 3, ko dobimo kvocient 2x2 -x -4, polinom 6x4 - 5x3 - 16x2 + 7x + 12 pa s trinomom 3x2 - x - 4, ko dobimo kvocient
2x2 - x - 3.
XXX
PRESEK 41 (2013/2014) 3
7