i
i
“664-Bajc-naslov” — 2009/6/18 — 10:32 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 11 (1983/1984)
Številka 3
Strani 132–135
Drago Bajc:
ZA MALO STAREJŠE BRALCE
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/11/664-Bajc.pdf
c© 1984 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
ZA MALO STAREJŠE BRALCE
V 3. š t evil ki IX. l et ni ka Preseka je izše l zel o zanimiv član ek "Saj ni r e s
. . . pa j e " , v katerem je bil o govora o nasl ednjem probl emu: Okrog Zeml je ,
ki s i jo predstav ljamo kot ide aln o kroglo, napnemo za 2mm dalj šo vrv, kot
j e njen obseg. Vrv veni točki podpremo z n a vpi čno l et vi j o. V omenjenem čl~
nku smo spoznali , da je višina h podpore presenetlj ivo vel ika, namreč h =
= 1.93m , kar pomeni , da pod vrvico ta m l ahko prei de odrase l č lovek .
Vpel jimo še kot w, r.e r j en v l oč n i h s to -
pinjah al i radiani h, ki pripa da lok u s
(gl ej sl i ko 1)! Z nj egovo pomoč j o l ahko
Tokrat bomo i st i problem prikazali še v
drugi l u či, ki pa bo žal razumljiva le
nekol iko st arej š i m bral cem Preseka (od
t od nas l ov), ki že poznajo osnovne poj me
trigonometr ije. Od ko l ič in , ki so označ~
ne na sl ik i 1, poznamo pol mer Zemlj e
R ; 6370 km i n razl i ko
Sl ika
pišemo Rt gw - Rw = n al i
tg", - '" = niH
d - s = n 1 mm ( 1)
(2)
Ves problem j e izračunat i neznanko w iz t e enačbe . Ta pa ni ne algebrajska
ne trigonomet rična enačba , ampak oboje skupaj .
Ko bi se vsaj dal o narresto tg Wpisat i kak pol i nom, ki bi se pri manj ših ko-
132
t i h z nj im dovolj dobro uj emal . . . ! Za zel o maj hne kote je nekaj takega re s,
sa j je takrat t g~ ~ ~ , o ~emer se lahko prepri~ate s kal kulat orj em. To pa
nam ne more bit i v kor ist, saj bi uni~ i lo l evo stran ena~be (2) . O~ i tno po-
treb uj emo nekoli ko bolj na tan~en pr i bl i žek s pol i nomom .
Pol i nom, ki ga iš~emo, ni popolnoma neznan. Nekaj o nj em l e vemo : lahko vse
buj e samo li he potence . Razl og je preprost. tg~ menja predznak, ~e me nj amo
predznak kotu ~ (pravimo, da j e tangens li ha funkci ja), te usl uge pa poten-
ce s sodim eksponentom nis o pr ip ravlj ene st oriti . Zato namesto s pri bl iž kom
( 3)
poskusimo s prib ližkom, ki s led i t emu po težav nost i :
(4)
če pribl ižno vel j a (3), mora za zel o maj hne kote pri bl iž no veljati tudi (4),
saj je ~3 dost i manj š i od ~ (pr i me r : ~ e je ~ = 10- 2 , j e ~3 = lO- S) . Pravza-
prav bomo vi del i , da j e (4) cel o bol j ši pr i bli žek od (3) za pr imerno vred-
nost koef icien t a a . Kaj pomeni "pri merna"? Tu naj nam pris koči na pomoč maj
hna zvi ja~a! če vel j a (4) za vsak dovolj majhen kot ~ , mora vel j at i tud i za
~/ 2 . Zato je
Po drugi strani je
(5)
2( ~/2+a~3/ 8)
1- ( ~/2+a~3/ 8 ) 2
~ _~+a~3 / '!._
1 - ~2/4
(6 )
V imenoval cu smo izpustili vse potence od ~ e t rte dalje, ker i majo še manjšo
vrednost . Če ize na č i mo zvezi (4) i n (6 ) in odpravimo ulomek, dobimo
To zvezo imamo za ena~bo , v kate r i i z i s t ega razl oga kot zgoraj i zpustimo
~len s pet o potenc o. Nazadnj e dobimo a = 1/3 . Za t g~ imamo to rej pr i bl i žek
nakar e na ~ b a (2) dobi obl iko ~3 / 3 ~ nlR , od koder s le di
133
3. 10- 3 1 / 3 /
~~~ ) (3/ 6 ,37) ' 3.10-3
6, 37. 106
to je 7,78 . 10- 4 rad ian ov, kar j e pr i bl i žno 4 ,46.1 0- 2 stopin j al i 2,7 mi nut .
Sedaj dobimo
d ~ s ; R~ ~ 4, 96 km
i n
h ; Rlco s~ - R
Ker pa j e ~ zelo ma j hen, z ob ič aj n im i t abelami ali z žepnim ra čunaln ikom ne
moremo i zraču nat i izra za 1 / c o s ~ - 1. Tudi zanj l ahko hi t ro dobimo podoben
prib ližek kot za tg~ . Upoš t evajmo zvezo tg2~/ 2 = ( 1 -co s~)/( 1+cos ~) oziroma
c o s ~ = ( 1 - t g 2~/ 2 ) / ( 1 + t g 2~/ 2 ) , i z nj e s le di
1/cos~ - 1 + (~/2 + ~3 / 2 4 ) 2
- ( ~/2 + ~3 / 2 4 ) 2
kjer smo zopet višje pot ence argumenta ~ opust ili . V doblj eni zvezi pa l ah-
ko izp ust imo še člen ~2 / 4 v imenoval cu, kajti me d i zrazoma
A
je razl ika A - B = ~4/ 8, ki j o l ahko zanemar i mo. Torej dobimo pri bl ižek
1/ co s ~ - 1" ~2 / 2 i n h '" R . ~2/2 '" ,1:9} , rTl_
Nazadnje s i oglej mo, kako n a tančn a sta pr i bl i žka (3) i n ( 4) (kj er je
a = 1/3 ), za ma nj še in večje kote od dobljenega . Odgovor daj e razprede l ni -
ca .
stopi nj e ~ ~ + ~313 tg~
0 ,01 0 ,000 17 0, 00017 0 ,000 17
0, 1 0, 00174 0 ,00174 0 ,001 74.
1 0,0 1745 0 ,0 1745 0,01 745
10 0 , 17453 0 ,17630 0 , 17633
20 0 , 34907 0 ,36324 0 ,36397
30 0, 52360 0 , 57145 0,5 7735
40 0, 69813 0 ,81 155 0 ,83910
134
Opartm, da sta 8;91bli%i boljfb p r i  mnjHh koHh $n da fe p r f b l f Z I  (4) 
( Z  a = 1 J 5 )  v e h  hl#i  Re priblf2ak (31% 
tgu, nl  &in& Punkdja, kl ;re cba apKrk:"~imflk&ti 8 polifwma. PMV &~"ittxa ja 
slrrsl feko r e W  we obiEdme fwkalJe so tab. P D ~ V O P  pa &I n l t ~  privedel 
preclalet, zato pika.