MATEMATIKA
Po sledeh neke naloge
•J/ •i' Np
Jens Carstensen in Alija Muminacič
-> Ko se v drugem letniku srednje šole učimo o kvadratni funkciji, običajno srečamo tudi naslednjo nalogo.
Naloga 1. Med vsemi pravokotniki z danim obsegom poiščite tistega z največjo ploščino.
Rešitev. Višino pravokotnika označimo z x, njegovo širino z y, obseg pa z o. Veljati mora
■	2x + 2y = o,
pri tem pa morata biti x in y takšna, da je ploščina
■	P(x, y) = xy
največja možna.
Iz 2x + 2y = o sledi y = | (o - 2x) in ploščino lahko zapišemo kot xy = x (o - 2x).
Nalogo smo prevedli na določanje maksimuma kvadratne funkčije
■	p(x) = -x2 + 2 x.
Vodilni koefičient je negativen in funkčija ima maksimum pri
D
x
b
2a 2■(-1) 4'
SLIKA 1.
y

1- x	—
	---J x
	v/
A
y
v ločnih enotah kot razmerje dolžine loka in polmera krožniče v = x, zato je l = xty. Privzemimo, daje 0 < v < . Ta privzetek je potreben, da se krožni izsek in pravokotnik ne prekrivata. Obseg lika je enak o = 2x + 2y + xv in od tu sledi
y = 1 (o - 2x - x<y).
(1)
Tedaj je y = 2 (o - 2 ■ = 4. To pomeni, da ima
največjo mogočo ploščino kvadrat s straničo 4 in
2
ploščino 1g.
Oglejmo si zdaj lik na sliki 1 in rešimo naslednjo nalogo.
Naloga 2. Naj bo dan kot v Od vseh likov z danim obsegom o, ki so narisani na sliki 1, poiščite tistega z največjo ploščino.
Rešitev. Ploščina lika na sliki 1 je enaka vsoti ploščine pravokotnika ABC D, ki ima višino x in širino y, in ploščine krožnega izseka CBE s polmerom x in središčnim kotom v Središčni kot v lahko izrazimo
Ploščina krožnega izseka CBE je ■ nx2 = ^yx2, ploščina lika na sliki 1 pa
1 2
■	P = xy + ^ <px
1 1 2
= x^ (o - 2x - <px) + ^<px2
= 1 x (o - 2x - yx + vx)
2o
= -x + ^ x.
Zelo zanimivo! Primerjajte z nalogo 1 in komentirajte.
Spremenimo nalogo 2 tako: Od vseh likov z danim obsegom, kot na sliki 2, določite tistega z največjo ploščino.
Rešitev. Uporabimo oznake s slike 2 in naj bo 0 <
V < 3r. Obseg lika je
■	o = 2x + 2y + xv + yv
= 2(x + y) + v(x + y) = (2 + v)(x + y).

C
E
x
B
o
11	PRESEK 42 (2014/2015) 5

MATEMATIKA

SLIKA 2.
y
Od tu izrazimo o
■ x + y =
2 + v
y=
o
2 + v
- x
(2) (3)
Seveda morata biti števili x in y nenegativni, zato mora veljati še
o
■	0 < x,y < --.
2 + p
Ploščina lika je
■	P = xy + 1 p (x2 + y2)
= xy + 2p [(x + y)2 - 2xyj
1 ( ) 2 = xy + ^P \x + y) - pxy
1 2
= xy (1 - p) + ^p(x + y)
(2),(3)
X
2 + y
- x (1 - + -y
1	o2
2^ (2 + v)*
2
= {v - 1)x2 + o^-vl X +	2.
V + 2 2 (v + 2)
(4)
Graf ploščine v odvisnosti od kota p in x je prikazan na sliki 3.
Odvisno od kota p, obravnavamo primere:
1. Ce je 0 < p < 1, je vodilni koeficient parabole negativen in funkcija ima maksimum pri
o(1 - p) b _ p + 2 2a = 2(p - 1)
x = -
o(v - 1)
2(v - 1)(V + 2) 2(v + 2)'
(5)
SLIKA 3.
Takrat je
y
(3),(5) o
2 + v 2 (v + 2)
2o o	o
(5)
2(v + 2) 2(v + 2) Ponovno je pravokotnik kvadrat 2. Ce je v = 1, potem je
x.
(6)
P =
vo
1 o2
2(v + 2)2 2(1 + 2)2
o2 18
in ploščina ni odvisna od razmerja stranic pravo-kotnika.
Ce pa je p > 1, je vodilni koeficient parabole pozitiven in v temenu dobimo minimum plošcine. Zato je maksimum dosežen nekje na robu obmo-cja, torej ali pri x = 0 ali pri x = j+p■ V obeh primerih lik na sliki 2 degenerira v krožni izsek s plošcino
P
vo
2(v + 2)2'
Literatura
[1]	N. Lord, Two surprising maximization problems, The mathematical gazette, november 2013.
[2]	J. Carstensen in A. Muminagic, En optimering-sopgave, 3, sprejeto v objavo v LMFK-Bladet.
_ XXX
X
o
3
o
o
12
PRESEK 42 (2014/2015) 5