Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 390 BIOPROCESNO INŽENIRSTVO 1 Uvod Biotehnologija je ena najpomembnejših znanstve- nih in inženirskih disciplin 21. stoletja. Kongresni urad ZDA za tehnologije (Office of Technology As- sessment of the United States Congress) je bioteh- nologijo definiral kot »postopke, pri katerih se upo- rabljajo živi organizmi ali snovi iz teh organizmov za izdelavo ali izboljšanje proizvodov, za izboljšanje ra- sti rastlin ali živali ali za razvoj mikroorganizmov za posebno uporabo« [1]. Pomembnost in prodornost biotehnologije je posebej vidna, če jo primerjamo z drugimi, danes tudi zelo pomembnimi gospodar- skimi panogami. Svetovni biotehnološki trg je bil za leto 2016 ocenjen na 369,62 milijard dolarjev in za leto 2017 na 414,50 milijard dolarjev [2]. To je pri- bližno štirikrat več, kot je ocenjena svetovna pro- izvodnja elektromotorjev (96,97 milijard dolarjev za leto 2017 [2]). Vzpon biotehnologije je izreden. Razvoj na področju raziskav je hiter in skokovit, in- dustrijske implementacije novih znanstvenih odkritij so skoraj trenutne. Obstajajo napovedi, da bo leta 2025 biotehnološki trg dosegel vrednost 727,1 mili- jardo dolarjev, kar še povečuje prednost v primerjavi z napovedano rastjo vrednosti trga elektromotorjev, za katerega ocenjujejo za isto leto vrednost 136,5 milijard dolarjev [3]. Dodatna pomembnost bio- tehnologije izhaja iz svetovne težnje po zmanjšanju ogljikovega odtisa. V mnogih primerih se odpadki iz kmetijstva ali obnovljive surovine uporabljajo kot izvorni material v biotehnoloških industrijskih apli- kacijah. To je razlog, da je biotehnologija zelo po- membna tudi za zmanjšanje odvisnosti od fosilnih goriv in za zmanjšanje emisij toplogrednih plinov. Predvideva se, da lahko uporaba biotehnologije za industrijske procese vodi do zmanjšanja emisij oglji- kovega dioksida kar za 50 %, porabe energije za 20 % in porabe vode za 75 % [4]. Bioprocesno inženirstvo je biotehnološka discipli- na, ki je odgovorna za prenos rezultatov znanstve- nega dela v izdelke, procese ali sisteme, ki služijo potrebam družbe [5]. Čeprav je danes najbolj vi- dna in prodorna uporaba biotehnologije v proizvo- dnji biofarmacevtskih izdelkov, ima bioprocesno inženirstvo pomembno vlogo tudi v obstoječih in- dustrijskih panogah, ki izkoriščajo industrijsko fer- mentacijo za proizvodnjo etanola (pijače, gorivo), mlečne kisline (mlečni izdelki), ogljikovega dioksi- da, vodikovega plina, butandiola (farmacevtske in kozmetične aplikacije), propanodiola (proizvodnja biopolimerov), jantarne kisline (kemična, farma- cevtska, živilska in kmetijska industrija), asparagin- ske kisline (proizvodnja polimerov), ... [6]. Industrijska fermentacija je temeljni biotehnološki proces. Definirana je kot »načrtovana uporaba mi- Izr. prof. dr. Jožef Ritonja, univ. dipl. inž., dr. Jernej Černelič, univ. dipl. inž., oba Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računal- ništvo in informatiko; prof. dr. Andreja Goršek, univ. dipl. inž., izr. prof. dr. Darja Pečar, univ. dipl. inž., obe Univerza v Mariboru, Fakulteta za kemi- jo in kemijsko tehnologijo Izvleček: Poznavanje matematičnih modelov fermentacijskih procesov je nepogrešljivo za načrtovanje bioreaktor- jev, simulacijo njihovega delovanja, optimiranje fermentacijskih procesov in načrtovanje in sintezo regu- lacijskih sistemov za njihovo vodenje. Prispevek se osredotoča na določitev dinamičnega matematičnega modela procesa fermentacije mleka, ki poteka v šaržnem bioreaktorju. V literaturi poznani modeli ne omo- gočajo analize vpliva temperaturnih sprememb na presnovo med fermentacijo. Članek prikazuje odkritja obsežne multidisciplinarne študije, v kateri smo razvili nov matematični model, ki upošteva vpliv tempe- rature na dinamiko sproščanja CO 2 med fermentacijo v šaržnem bioreaktorju. Na podlagi laboratorijskih poskusov in teoretične analize je bila najprej določena ustrezna struktura izpeljanega razširjenega modela. Nato smo z metodo optimizacije roja delcev identificirali modelne parametre preučevanega procesa. Na koncu smo meritve laboratorijskih poskusov primerjali s simulacijami z izpeljanim modelom. Izpeljani raz- širjeni model se je izkazal kot zelo primeren za simulacije, predvsem pa omogoča načrtovanje in sintezo krmilnih sistemov za šaržne bioreaktorje. Ključne besede: biotehnologija, bioprocesno inženirstvo, fermentacijski proces, šaržni bioreaktorji, modeliranje fermenta- cijskega procesa, identifikacija parametrov, optimizacija z rojem delcev m odeliranje šaržnih bioreaktorjev Jožef Ritonja, Jernej Černelič, Andreja Goršek, Darja Pečar Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 kroorganizmov (bakterije, kvasovke, plesni, alge) ali celic (živalske ali rastlinske celice) za izdelavo proizvodov, koristnih za ljudi« [7]. Industrijska fer- mentacija se uporablja v več biotehnoloških pano- gah: v »beli biotehnologiji« – to je biotehnološko področje, ki se ukvarja z industrijskimi procesi za proizvodnjo uporabnih kemikalij (imenovano tudi »industrijska biotehnologija«), v »rdeči biotehnolo- giji« – to je biotehnološko področje, namenjeno far- macevtski industriji, v »rumeni biotehnologiji« – to je uporaba biotehnologije pri proizvodnji hrane, in v »sivi biotehnologiji« – to je biotehnologija, name- njena okoljskim aplikacijam [7]. Bioreaktorji so posode, v katerih se izvaja industrij- ska fermentacija. Razvrščeni so glede na njihovo konstrukcijo in posledično način delovanja. Obsta- jajo tri vrste bioreaktorjev: šaržni, šaržni z napaja- njem in kontinuirni bioreaktorji. Za šaržne biore- aktorje je značilno, da med izvajanjem bioprocesa vsebina bioreaktorja nima stika z zunanjimi snovmi ali organizmi, ker je bioreaktor zaprt in dodajanje ali odvzemanje snovi v bioreaktor ali iz njega ni mogoče. Ta način delovanja dovoljuje enostavno konstrukcijo šaržnih bioreaktorjev, kar se odraža v nizkih proizvodnih stroških in preprostem vzdrže- vanju. Zato so šaržni bioreaktorji med vsemi najbolj razširjeni in uporabljani. Šaržni bioreaktorji z napa- janjem omogočajo, da med potekom bioprocesa dovajamo eno ali več hranilnih snovi v bioreaktor in s tem nadziramo hitrost reakcije. Vsi produkti osta- nejo v bioreaktorju do konca procesa fermentacije. Kontinuirni bioreaktorji (imenovani tudi pretočni bi- oreaktorji) omogočajo kontinuiran dotok in odtok snovi ali organizmov v reaktor ali iz njega med iz- vajanjem bioprocesa. Mikroorganizmi (biomasa) v bioreaktorju se neprekinjeno hranijo. Na področju raziskav in razvoja je nujno dopolnje- vanje znanj biologije tudi z znanji iz nebioloških disciplin. Procesno inženirstvo, kamor sodi biopro- cesno inženirstvo, je bilo vedno tesno povezano z avtomatskim vodenjem. Proizvodni procesi v farma- cevtski, živilski, kemični, naftni in drugih procesnih industrijah zahtevajo natančno vodenje veličin, ki opisujejo količino izdelka (masa, prostornina, pre- tok), in veličin, ki opisujejo pogoje med proizvodnim procesom (tlak, temperatura, kemične komponen- te). Natančno vodenje je potrebno za doseganje vi- soke kakovosti izdelkov in energetske učinkovitosti proizvodnje. Zahteve po natančnem vodenju v pro- cesni industriji so imele velik vpliv na razvoj merilno- -krmilne opreme (senzorji, aktuatorji, krmilniki) in na napredek v teoriji vodenja. Zanimivo je omeniti, da sta bila izum PID-regulacijskega algoritma in razvoj preprostih pravil za sintezo regulacijskih sistemov (Ziegler-Nicholsova metoda) neposredna posledica potreb v procesnih industriji [8]. Osnovo metode za vodenje fermentacijskega pro- cesa predstavlja dodajanje ali odstranjevanje mi- kroorganizmov in hranilnih snovi med fermentacijo [9]. To je najbolj naraven način za vodenje fermen- tacije. T akšno vodenje je možno pri šaržnih bioreak- torjih z napajanjem in pri kontinuirnih bioreaktorjih. Šaržni bioreaktorji zaradi svoje preproste konstruk- cije dodajanja ali odstranjevanja mikroorganizmov in hranilnih snovi (substrata) med delovanjem ne omogočajo. Zato pri teh bioreaktorjih izvedba vo- denja na osnovi dodajanja in odvzemanja mikroor- ganizmov in substrata med fermentacijo ni možna. To predstavlja veliko pomanjkljivost šaržnih bio- reaktorjev. Obstajajo še druge metode za nadzor procesa fermentacije, ki temeljijo na spreminjanju fizikalnih pogojev fermentacije. Te metode vodenja so možne za vse tri vrste bioreaktorjev. Njihova iz- vedba je odvisna od dodatne opreme. Na primer: z uporabo mešalnega sistema lahko spreminjamo količino raztopljenega kisika v mediju v bioreaktor- ju, z grelno-hladilnim sistemom lahko spreminjamo temperaturo v bioreaktorju. Prvi korak v razvoju regulacijskih sistemov za vode- nje procesov vedno predstavlja določitev primer- nega matematičnega modela reguliranega proce- sa. Zato je bil (in je še vedno) razvoj na področju modeliranja fermentacijskih procesov zelo inten- ziven. V literaturi zasledimo matematične modele različnih kompleksnosti in natančnosti, ki omogo- čajo predvsem načrtovanje vodenja šaržnih biore- aktorjev z napajanjem in kontinuirnih bioreaktorjev. Večina modelov je izpeljana na osnovi snovne bi- lance sistema in opisuje razmerja med količinami aktivnih snovi fermentacijskega procesa. Področje, ki obravnava dinamične matematične modele fer- mentacijskega procesa v primeru spreminjanja po- gojev med fermentacijo (spreminjanje temperature, spreminjanje hitrosti mešalnih sistemov), je bistve- no manj raziskano. Večina industrijskih bioreaktorjev, v katerih poteka- jo šaržni fermentacijski procesi, deluje avtonomno, to je brez avtomatskega vodenja, s katerim bi vpli- vali na potek procesa. Ta je odvisen samo od zače- tnih vrednosti uporabljenih sestavin. Med potekom fermentacije namreč pri šaržnih bioreaktorjih ne moremo dodajati sestavin, s katerimi bi vplivali na potek fermentacije. Takšen način delovanja pred- stavlja veliko pomanjkljivost pri uporabi šaržnih bi- oreaktorjev. V prispevku obravnavamo vodenje fermentacij- skega procesa v šaržnem bioreaktorju. Možno ga je realizirati le s spreminjanjem pogojev fermen- tacije. Kot najprimernejši se je izkazal način, da na potek fermentacije vplivamo s spreminjanjem temperature vsebine bioreaktorja. Za sistematično načrtovanje takšnega vodenja je potrebno poznati dinamični matematični model, ki opisuje vpliv tem- perature na potek fermentacijskega procesa. Čla- nek prikazuje strukturo takšnega matematičnega modela (poglavje 2), laboratorijski bioreaktorski sistem (poglavje 3), način določitve parametrov modela (poglavje 4), simulacijske rezultate, doblje- BIOPROCESNO INŽENIRSTVO 391 Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 392 BIOPROCESNO INŽENIRSTVO ne s takšnim modelom (poglavje 5), in verifikacijo modela z meritvami na laboratorijskem šaržnem bi- oreaktorju (poglavje 6). 2 Matematični model fermentacijske- ga procesa v šaržnem bioreaktorju Fermentacija je proces, pri katerem mikroorganiz- mi povzročijo razgradnjo substrata v fermentacij- ski produkt. Mikroorganizmi (biomasa), substrati in produkti fermentacije so prisotni pri vseh fermenta- cijah. Fermentacija je nelinearni kompleksni proces, katerega struktura in parametri so težko določljivi. V procesu fermentacije nastopa množica biokemič- nih reakcij. Dodatno kompleksnost predstavljajo mutacije, s katerimi se mikroorganizmi prilagajajo okolju. Zato ne obstajajo matematični modeli, ki bi upoštevali vse vplivne dejavnike rasti mikroorganiz- mov in izvedbo procesa fermentacije in bi bili hkrati strukturno primerni (dovolj enostavni) za načrtova- nje vodenja procesa. V literaturi najdemo matematične modele različnih kompleksnosti, ki opisujejo dinamiko fermentacij- skih procesov v šaržnih bioreaktorjih. Ti modeli ve- činoma temeljijo na masni bilanci snovi, ki nasto- pajo pri fermentaciji. V poglavju 2.1 predstavljamo izhodiščni matematični model fermentacijskega procesa, ki je največkrat uporabljen za opis dina- mike fermentacije. Na osnovi tega modela smo v okviru našega dela razvili razširjen model, ki doda- tno upošteva vpliv temperature na potek fermenta- cijskega procesa (poglavje 2.2). 2.1 Matematični model fermentacijske- ga procesa, ki ne upošteva vpliva spreminjanja temperature Osnovni kinetični model je zapisan s sistemom treh nelinearnih diferencialnih enačb prve stopnje (1–3) [9, 10]: 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (1) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (2) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (3) Spremenljivke stanja modela označujejo koncentra- cije sestavin v bioreaktorju: x 1 (t) – koncentracija biomase (g/L), x 2 (t) – koncentracija substrata (g/L), x 3 (t) – koncentracija fermentacijskega produkta (g/L), parametri modela so: µ m – maksimalna hitrost rasti biomase (h –1 ), P i – inhibicijska konstanta produkta (g/L), S m – konstanta nasičenosti substrata (g/L), S i – inhibicijska konstanta substrata (g/L), α – parameter, ki opisuje razmerje med donosom produkta in rastjo biomase, in β – rastno neodvisna konstanta (h –1 ). Takšen matematični model nima vhodne spremen- ljivke in je avtonomen. T o ustreza dejanski realizaciji fermentacije v šaržnih bioreaktorjih. Vse tri fermen- tacijske sestavine se na začetku fermentacije vne- sejo v bioreaktor. Med fermentacijo jih ni mogoče dodajati ali odstranjevati. Dinamika procesa je od- visna samo od količine in kakovosti uporabljenih se- stavin, tj. prehodni pojav modela je odvisen samo od začetnih vrednosti in od parametrov matema- tičnega modela. Med postopkom fermentacije se koncentracija bi- omase in fermentacijskega produkta povečuje, koncentracija substrata pa zmanjšuje. V primeru nespremenljivih zunanjih pogojev (temperatura v bioreaktorju, hitrost vrtenja mešala) so ves čas trajanja fermentacijskega procesa vsi parametri osnovnega kinetičnega matematičnega modela konstantni. Predstavljeni matematični model omo- goča preprosto in učinkovito simulacijo in analizo časovnih potekov koncentracij biomase, substrata in produkta v primeru različnih začetnih koncentra- cij. Glavna pomanjkljivost tega modela je nezmo- žnost upoštevanja vpliva spremembe temperature na proces fermentacije, kar je potrebno v primeru uporabe modela za načrtovanje regulacijskega sis- tema. Zato je potrebna takšna izpeljava matema- tičnega modela procesa fermentacije v šaržnem bioreaktorju, ki bo upoštevala vpliv spremembe temperature na potek procesa. 2.2 Matematični model fermentacijske- ga procesa, ki upošteva vpliv spre- minjanja temperature Na osnovi sistematičnih poskusov in temeljite ana- lize izmerjenih rezultatov smo ugotovili, da imajo temperaturne spremembe na potek fermentacije podoben vpliv kot spreminjanje parametrov µ m in α na odziv matematičnega modela [10–12]. Ekspe- rimentalno je bilo pokazano, da sprememba tem- perature pomembno vpliva na parametra µ m in α, medtem ko na druge parametre nima velikega vpli- va. Ugotovljeno je bilo, da je µ m povezan s hitrostjo fermentacije, vendar ne vpliva na končno vrednost fermentacijskega produkta. Nasprotno, parameter α vpliva na vrednost fermentacijskega produkta v stacionarnem stanju in ne vpliva bistveno na pre- hodni pojav. To pomeni, da v primeru spremenljive temperatu- re v bioreaktorju parametra µ m in α ne bosta več Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 konstantna, temveč se bosta njuni vrednosti spre- minjali. Zato smo osnovni matematični model fer- mentacijskega procesa razširili z dodatno diferen- cialno enačbo, s katero izračunavamo temperaturo v bioreaktorju, namesto konstantnih parametrov µ m in α smo vpeljali temperaturno odvisna parametra µ mϑ (t) in α ϑ (t). V [13] je bilo dokazano, da obstaja statično razmerje med temperaturo in parametri matematičnega modela. Ker se temperatura med fermentacijo giblje v relativno majhnem območju (previsoke ali prenizke temperature lahko poško- dujejo mikroorganizme), smo uporabili linearno odvisnost med temperaturnim odklonom in odsto- panjem parametrov modela. Tako izpeljan razširjen matematični model fermentacijskega procesa je prikazan z enačbami (4–7): 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (4) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (5) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (6) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (1) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (2) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   𝜇𝜇 m ( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (3) 𝑥𝑥 ̇ 1 (𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (4) 𝑥𝑥 ̇ 2 (𝑡𝑡 ) = − 𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (5) 𝑥𝑥 ̇ 3 (𝑡𝑡 ) = ( 𝛼𝛼   (1+𝑘𝑘 𝛼𝛼 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))𝜇𝜇 m (1+𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )−𝜗𝜗 0 ))( 1− 1 𝑃𝑃 i 𝑥𝑥 3 (𝑡𝑡 )) 𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 m +𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )+ 1 𝑆𝑆 i (𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 )) 2 + 𝛽𝛽 ) 𝑥𝑥 1 (𝑡𝑡 ) (6) 𝑥𝑥 ̇ 4 (𝑡𝑡 ) = 1 𝑇𝑇 𝜗𝜗 cs (𝑢𝑢 (𝑡𝑡 ) − 𝑥𝑥 4 (𝑡𝑡 )) (7) (7) kjer dodatni simboli predstavljajo: x 4 (t) – dejanska temperatura v bioreaktorju (°C), u(t) – referenčna temperatura grelno-hladilnega sistema bioreaktorja (°C), T ϑcs – časovna konstanta člena 1. reda, ki predsta- vlja model grelno-hladilnega sistema bioreak- torja (h), ϑ 0 – temperatura v bioreaktorju na začetku fer- mentacijskega procesa, običajno je ta tempe- ratura enaka temperaturi okolice (°C), k µm – koeficient za ovrednotenje vpliva temperatu- re na maksimalno hitrost rasti biomase (°C) –1 , k α – koeficient za ovrednotenje vpliva tempera- ture na razmerje med donosom produkta in rastjo biomase (°C) –1 . Izpeljani razširjeni model ovrednoti vpliv tempera- ture v prehodnem pojavu in v stacionarnem stanju. Razširjeni model (4–7) je po strukturi delno po- doben osnovnemu temeljnemu modelu (1–3), po uporabnosti za namene načrtovanja regulacijskih sistemov je razširjeni popolnoma neprimerljiv s te- meljnim modelom. Temeljni model je avtonomen in omogoča le simulacije odzivov koncentracij na za- četne vrednosti fermentacijskih snovi. Nasprotno, razširjeni model predstavlja neavtonomni model nelinearnih diferencialnih enačb, ki dodatno omo- goča izračun dinamičnih profilov koncentracij kom- ponent v bioreaktorju v primeru sprememb tempe- rature. 3 Opis obravnavanega fermentacij- skega procesa in laboratorijskega šaržnega bioreaktorja V okviru raziskave smo se osredotočili na dinamič- no modeliranje procesa fermentacije v šaržnih bio- reaktorjih. Zato sta v naslednjih poglavjih podrob- neje opisana obravnavani proces fermentacije in šaržni bioreaktor s potrebno opremo za meritve. 3.1 Obravnavan fermentacijski proces Predstavljena študija obravnava fermentacijo mle- ka s kefirnimi zrni. Tradicionalno se kefir proizvaja z inokulacijo mleka s kefirnimi zrni, ki so mešanica beljakovin, polisaharidov, mezofilnih, homofermen- tativnih in heterofermentativnih mlečnokislinskih streptokokov, termofilnih in mezofilnih laktobacilov, ocetnokislinskih bakterij in kvasovk. Fermentacija mleka z inokulumom traja približno 24 ur, v tem času homofermentativni mlečnokislinski streptokoki hi- tro rastejo in sprva povzročijo padec pH. Nizek pH spodbuja rast laktobacilov, vendar povzroči zmanj- šanje števila streptokokov. Prisotnost kvasovk v mešanici skupaj s primerno temperaturo fermenta- cije (21–23 °C) spodbuja rast heterofermentativnih streptokokov, ki proizvajajo aromo. Ko fermentacija poteka, je rast mlečnokislinskih bakterij hitrejša od rasti kvasovk in ocetnokislinskih bakterij. Pred začetkom fermentacijskih poskusov smo akti- virali 40 g kefirnih zrn tako, da smo jih 5 zaporednih dni spirali s hladno vodo in dajali v sveže pasterizi- rano polnomastno mleko (500 mL) pri sobni tem- peraturi. Fermentacijo smo sprožili tako, da smo v fermentorju segreli 500 mL svežega pasterizirane- ga polnomastnega mleka na želeno temperaturo in nato inokulirali s 40 g aktivnih kefirnih zrn. Med fermentacijo nastajajo ogljikov dioksid, ocetna kislina, diacetil, acetaldehid, etil-alkohol in števil- ne druge komponente, ki dajejo izdelkom značilen svež okus in aromo. Fermentacija mleka z razmno- ževanjem kefirnih zrn je zaradi specifične narave mikrobnega metabolizma in nelinearnosti njegove kinetike zelo nelinearen in kompleksen proces, ki zahteva ustrezno vodenje. Za načrtovanje in sintezo vodenja fermentacijskih procesov je nujen matema- tični model primerne natančnosti in stopnje. 3.2 Laboratorijski bioreaktorski sistem Za analizo fermentacijskega procesa, določitev strukture modela, identifikacijo parametrov in ve- BIOPROCESNO INŽENIRSTVO 393 Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 394 BIOPROCESNO INŽENIRSTVO rifikacijo matematičnega modela smo uporabili laboratorijski sistem, ki je omogočal spreminjanje temperature v bioreaktorju in meritev časovnega poteka koncentracije v bioreaktorju. Laboratorijski sistem sestavljajo šaržni bioreaktor z reguliranim grelno-hladilnim sistemom in merilnim sistemom za merjenje raztopljenega ogljikovega dioksida v biorektorju ter sistem za zajemanje podatkov. Blo- kovni diagram laboratorijskega sistema je prikazan na sliki 1. Takšen laboratorijski sistem je omogočal izvajanje nadzorovanih temperaturnih sprememb v bioreak- torju in dinamično merjenje koncentracij reaktantov in produktov procesa za ugotavljanje vpliva tem- perature na potek fermentacije. V nadaljevanju so podrobneje opisane posamezne komponente labo- ratorijskega sistema. 3.2.1 Šaržni bioreaktor Proces fermentacije smo raziskovali v računalniško vodenem bioreaktorju RC1e podjetja Mettler Tole- do. Uporabljeni šaržni bioreaktor je prikazan na sliki 2 in podrobno opisan v [10, 12, 13]. 3.2.2. Grelno-hladilni sistem Za spreminjanje temperature reakcijske zmesi je bil uporabljen integriran grelno-hladilni sistem. Za prenos toplote služi silikonsko olje. Olje v zaprtem cirkulacijskem sistemu kroži skozi dvojni plašč bi- oreaktorja. Temperaturni regulacijski sistem ohra- nja temperaturo vsebine bioreaktorja na referenčni vrednosti [13]. V primerjavi z dinamiko procesa fer- mentacije je odziv grelno-hladilnega sistema zelo hiter. Identificirana časovna konstanta sistema je približno 6 min. 3.2.3. Sistem za merjenje raztopljenega ogljikovega dioksida Opazovani fermentacijski produkt je bil ogljikov di- oksid (CO 2 ), raztopljen v bioreaktorskem mediju. CO 2 je produkt celične presnove mikroorganizmov in je v našem primeru predstavljal izhodno veliči- no matematičnega modela ter služil kot pokazatelj fermentacije. Porazdelitev CO 2 v bioreaktorskem mediju je zelo homogena. Senzorji za merjenje kon- centracije CO 2 so zanesljivi in natančni. Kot central- na enota je bila uporabljena večparametrska meril- na naprava SevenMulti proizvajalca Mettler Toledo z možnostmi modularne razširitve. Za spremljanje koncentracije raztopljenega CO 2 v tekočem mediju smo aparat SevenMulti priključili na iono selektiv- no elektrodo ISE51B. Potencialni odziv elektrode na koncentracijo CO 2 je v semilogaritemskem merilu linearen v dveh dekadah koncentracije (5·10 –4 g/L do 2·10 –2 g/L). Slika 1 : Laboratorijski sistem za identifikacijo fermen- tacijskega procesa v šaržnem bioreaktorju Slika 2 : Šaržni bioreaktor Mettler Toledo RC1e Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 3.3 Eksperimentalni rezultati obravna- vanega bioreaktorja Na sliki 3 je prikazan časovni potek koncentracije CO 2 za obravnavani fermentacijski proces v labora- torijskem bioreaktorju v primeru konstantne tempe- rature mešanice v bioreaktorju (22 °C) in v prime- ru, ko se je referenčna temperatura v bioreaktorju v trenutku, t = 3 h, povišala od 22 °C na 27 °C. Iz dinamičnih profilov obeh koncentracij je viden vpliv povišane temperature: dvig temperature povzroči porast koncentracije CO 2 – povečata se strmina in končna vrednost časovnega CO 2 profila. 4 Identifikacija parametrov matema- tičnega modela Parametri matematičnega modela µ m , P i , S m , S i , α, β, k µm , k α , in T ϑcs (4–7) so odvisni od kakovosti in količi- ne snovi fermentacijskega procesa ter zunanjih de- javnikov (pogojev). V primeru nespremenjenih zu- nanjih pogojev ostanejo parametri med postopkom fermentacije večinoma nespremenjeni [14]. Para- metre matematičnih modelov za fermentacijske procese v laboratorijskih ali industrijskih bioreak- torjih je možno izračunati z različnimi identifikacij- skimi metodami iz izmerjenih trajektorij. V predsta- vljeni raziskavi smo za izračun parametrov uporabili optimizacijo z rojem delcev (Particle Swarm Opti- mization, kratica PSO). PSO je bil izvorno predstavljen v [15]. PSO je meta- hevristični postopek, ki lahko zagotovi dovolj dobro rešitev optimizacijskega problema v primeru malo, nepopolnih ali nobenih predpostavk o optimiranem problemu. Med optimizacijo se roj delcev spremi- nja po izbranem območju. Optimizacijski algoritem v vsakem koraku izračuna kriterijsko funkcijo, nakar premakne vsak delec na najbolj utemeljeno lokacijo. Za hitrejšo uporabo PSO za izračun parame- trov modela smo uporabili funkcije iz knjižnice MathWorks MATLAB/Optimization Toolbox. Ma- tlab funkcija particleswarm.m temelji na algoritmu, opisanem v [16], z uporabo modifikacij, predlaga- nih v [17]. Podrobnosti o algoritmu PSO v funkciji particleswarm.m so zapisane v [18]. Optimizacija je bila izvedena na osnovi izmerjenih časovnih potekov fermentacijskega produkta labo- ratorijskega bioreaktorja. Kriterijska funkcija je bila določena z integralom absolutnega odstopanja (In- tegral Absolute Error – IAE) med izmerjenim odzi- vom bioreaktorja in izračunanim odzivom modela. Na osnovi približne ocene obsega parametrov modela smo omejili področje, kjer je algoritem is- kal optimalne rešitve. Optimizacijski algoritem je spreminjal parametre matematičnega modela (4– 7) tako dolgo, da je dosegel minimum kriterijske funkcije. Optimizacija je bila končana, ko je relativ- na sprememba kriterijske funkcije dosegla nasta- vljeno mejo. Za določitev razširjenega matematičnega modela je bilo potrebno identificirati devet parametrov. PSO lahko uporabljamo za identifikacijo vseh parametrov hkrati, lahko pa parametre modela identificiramo v več fazah. S pomočjo sistematičnega poskušanja smo ugotovili, da je najprimerneje identificirati pa- rametre v dveh fazah. V prvi fazi smo identificirali parametre µ m , P i , S m , S i , α, in β, v drugi fazi smo izra- čunali preostale parametre k µm , k α , in T ϑcs . 4.1 Identifikacija parametrov µ m , P i , S m , S i , α in β (parametri osnovnega mo- dela) V prvi fazi identifikacije so bili identificirani parametri µ m , P i , S m , S i , α in β. To so parametri osnovnega mate- matičnega modela, ki opisuje fermentacijski proces v primeru konstantne temperature v bioreaktorju. BIOPROCESNO INŽENIRSTVO 395 Slika 3 : Časovni potek koncentracije CO 2 v primeru konstantne temperature v bioreaktorju (modra kri- vulja) in v primeru dviga referenčne temperature od 22 °C na 27 °C (rdeča krivulja) v času t = 3 h. Tabela 1 : Začetne vrednosti veličin fermentacijskega procesa v šaržnem bioreaktorju Veličina Vrednost začetna vrednost koncentracije biomase x 1 (0) = 2,6 mg/L začetna vrednost koncentracije substrata x 2 (0) = 9,0 mg/L začetna vrednost koncentracije produkta x 3 (0) = 0,1 mg/L začetna temperatura vsebine bioreaktorja x 4 (0) = 22 °C Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 396 BIOPROCESNO INŽENIRSTVO Za identifikacijo parametrov smo najprej izmerili začetne vrednosti koncentracij biomase, substrata in fermentacijskega produkta v bioreaktorju. Izmer- jene vrednosti so zapisane v tabeli 1. Sledila je fermentacija. Med potekom fermentacije so bili vsi zunanji pogoji (temperatura, hitrost meša- la) konstantni. Ker je izhodno spremenljivko modela predstavljala koncentracija raztopljenega CO 2 , smo merili samo to veličino. Koncentracija raztopljenega CO 2 predstavlja enega izmed produktov fermenta- cije, ki daje probiotični pijači značilen okus. Izmer- jeni časovni potek koncentracije raztopljenega CO 2 pri konstantni temperaturi 22 °C je prikazan na sliki 3 (modra krivulja). Kriterijska funkcija optimizacij- skega algoritma je bila izračunana kot integral ab- solutnega odstopanja med izmerjenim potekom koncentracije raztopljenega CO 2 (slika 3) in izraču- nano spremenljivko prostora stanj x 3 (t) nelinearne- ga matematičnega modela (1–3). Algoritem PSO je spreminjal vrednosti identificiranega modela µ m , P i , S m , S i , α in β tako dolgo, da je kriterijska funkcija do- segla minimalno vrednost. Časovni potek kriterijske funkcije je prikazan na sliki 4. Kot je razvidno s slike 4, je bilo za izračun para- metrov µ m , P i , S m , S i , α in β potrebnih manj kot 60 ponovitev. Identificirani parametri modela so pred- stavljeni v tabeli 2. 4.2 Identifikacija dodatnih parametrov razširjenega modela (parametri k µm , k α in T ϑcs ) V drugi fazi identifikacije smo določili parametre k µm , k α in T ϑcs . Ti parametri so pomembni za razširje- ni del matematičnega modela, ki opisuje vpliv spre- menljive temperature na dinamično in statično ob- našanje fermentacijskega procesa. Parametra k µm in k α opisujeta vpliv spremenljive temperature na rast biomase in pridobivanje produkta, parameter T ϑcs predstavlja časovno konstanto grelno-hladilnega sistema v bioreaktorju. Tabela 2 : Parametri osnovnega modela fermentacij- skega procesa v šaržnem bioreaktorju Parameter Vrednost maksimalna hitrost rasti biomase µ m = 2,1 h–1 inhibicijska konstanta produkta P i = 0,75 g/L konstanta nasičenosti substrata S m = 0,03 g/L inhibicijska konstanta substrata S i = 1,0 g/L parameter, ki opisuje razmerje med donosom produkta in rastjo biomase α = 0,38 g/L g/L rastno neodvisna konstanta (h –1 ) β = 0,002 h –1 temperatura v bioreaktorju med potekom fermentacijskega procesa ϑ 0 = 22 °C Tabela 3 : Parametri dodatnega dela razširjenega mo- dela fermentacijskega procesa v šaržnem bioreaktorju Parameter Vrednost koeficient za ovrednotenje vpliva temperature na maksimalno hi- trost rasti biomase k µm = 0,14 (°C) –1 koeficient za ovrednotenje vpliva temperature na razmerje med do- nosom produkta in rastjo biomase k α = 0,03 (°C) –1 časovna konstanta člena 1. reda, ki predstavlja model grelno-hladilne- ga sistema bioreaktorja T ϑcs = 0,1 h temperatura v bioreaktorju na začetku fermentacijskega proce- sa, običajno enaka temperaturi okolice ϑ 0 = 22 °C Slika 4 : Časovni potek IAE kriterijske funkcije med PSO parametrov µ m , P i , S m , S i , α in β Slika 5 : Časovni potek IAE kriterijske funkcije med PSO parametrov k µm , k α , in T ϑcs Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 Za identifikacijo teh parametrov smo fermentacijski postopek ponovili pri enakih začetnih pogojih. To- krat smo med postopkom fermentacije spremenili referenčno temperaturo grelno-hladilnega sistema. Referenčno temperaturo smo stopnično spremeni- li v času, t = 3 h, od vrednosti 22 °C na 27 °C. Ča- sovni potek raztopljenega CO 2 v primeru takšnega fermentacijskega procesa je prikazan na sliki 3 (rde- ča krivulja). Ponovno je bila za identifikacijo para- metrov modela uporabljena PSO z IAE kriterijsko funkcijo. Kriterijska funkcija je bila izračunana kot integral absolutnega odstopanja med izmerjenim potekom koncentracije raztopljenega CO 2 (slika 3) in izračunano spremenljivko prostora stanj x 3 (t) ne- linearnega matematičnega modela (4–7). Algoritem PSO je spreminjal parametre identificiranega mode- la k µm , k α , in T ϑcs tako dolgo, da je kriterijska funkcija dosegla minimum. Pri optimizaciji smo za parame- tre µ m , P i , S m , S i , α in β modela v kriterijski funkciji nastavili vrednosti, ki smo jih identificirali v prvi fazi identifikacije. Časovni potek kriterijske funkcije med postopkom identifikacije je prikazan na sliki 5. 5 Simulacijski rezultati razširjenega modela fermentacijskega procesa Rezultati simulacije identificiranega razširjenega mo- dela fermentacije v laboratorijskem bioreaktorju so prikazani na sliki 6. Prikazani so časovni odzivi kon- centracij biomase, substrata in produkta v primeru konstantne temperature (polne črte), T = 22 °C, ena- ke spremenljivke so v primeru stopnične spremem- be referenčne temperature bioreaktorja od 22 °C na 27 °C v t = 3 h narisane s črtkanimi črtami. Očitno je, da temperaturne spremembe povzročajo znatne razlike v dinamiki vseh količin procesa fermentacije. Dejanska temperatura mešanice v bioreaktorju sledi spremembi referenčne temperature. Zakasnitev je majhna in ustreza kratki časovni konstanti regulira- nega grelno-hladilnega sistema, T ϑcs = 0,1 h. 6 Primerjava simulacij in eksperimen- talnih rezultatov Ujemanje numeričnih izračunov identificiranega modela z rezultati meritev v laboratorijskem biore- aktorju je prikazano na slikah 7 do 9. Na sliki 7 je prikazan koncentracijski profil CO 2 pri konstantni temperaturi 22 °C. Odziv identificirane- ga matematičnega modela se zelo dobro ujema z odzivom, izmerjenim v laboratorijskem bioreaktor- ju. Usklajevanje je vidno v vseh fazah fermentacij- skega procesa: v začetni indukcijski fazi, v sledeči eksponentni fazi rasti ter v končni stacionarni fazi. Na sliki 8 je prikazan rezultat fermentacije, kjer smo med procesom spremenili referenčno temperaturo grelno-hladilnega sistema. Referenčno temperatu- ro smo stopnično zvišali od 22 °C za 5 °C v času, t = 3 h. Posledica stopnične spremembe referenčne temperature je vidna v povečanju rasti produkta BIOPROCESNO INŽENIRSTVO 397 Slika 6 : Časovni potek spremenljivk stanja modela fer- mentacijskega procesa (koncentracije biomase, sub- strata in fermentacijskega produkta) v primeru kon- stantne temperature (neprekinjene črte) in v primeru stopnične spremembe temperature v bioreaktorju Slika 7 : Merjeni in simulirani časovni potek koncentra- cije raztopljenega CO 2 med fermentacijo pri konstan- tni temperaturi 22 °C Slika 8 : Merjeni in simulirani časovni potek koncentra- cije raztopljenega CO2 med fermentacijo s spremen- ljivo temperaturo bioreaktorja (stopnična sprememba temperature od 22 °C na 27 °C v času, t = 3 h Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 398 BIOPROCESNO INŽENIRSTVO po spremembi temperature. Tudi v tem primeru je ujemanje odzivov identificiranega modela in labo- ratorijskih meritev zelo dobro. Na sliki 8 je prikazana primerjava koncentracijskih profilov CO 2 , pridobljenih s simulacijo in eksperi- mentom v primeru vhodnega signala, ki je bil pred- hodno uporabljen za identifikacijo parametrov modela. Smiselno je preizkusiti natančnost identi- ficiranega matematičnega modela za spremenjen potek vhodne veličine (ko identificiramo z enim vhodnim signalom, verifikacijo modela pa opravi- mo z drugim vhodnim signalom). Slika 9 prikazuje rezultate fermentacije, kjer je prišlo do stopnične- ga povečanja referenčne temperature od 22 °C za 5 °C pri t = 6 h. Podobno kot v prejšnjih primerih se oba odziva zelo dobro ujemata. Nekontinuiteta v odzivu, sicer manjša kot v prejšnjem primeru, je vidna pri t = 6 h. Sliki 8 in 9 potrjujeta empirične ugotovitve, da je učinek spremembe temperature na proizvodnjo CO 2 večji na začetku fermentacije (visoka stopnja rasti) in manjši v drugem delu pro- cesa fermentacije (nizka stopnja rasti). Rezultati simulacije kažejo, da se izpeljani model lahko upravičeno uporablja za analizo bioproce- sov, simulacije in razvoj krmilnega sistema. Iden- tifikacija parametrov izpeljanega razširjenega modela ni zapletena, je pa časovno zamudna. Za namene identifikacije je potrebno najprej izvesti fermentacijski poskus pri konstantni temperaturi. Zatem moramo postopek fermentacije ponovno izvesti tako, da med procesom spremenimo tem- peraturo reakcijske zmesi. 7 Zaključki Šaržni bioreaktorji so ceneni in enostavni za upo- rabo in vzdrževanje. Njihovo slabost predstavlja šaržni princip obratovanja, ki ne predvideva za- prtozančnega vodenja fermentacijskega procesa. Možno rešitev za realizacijo vodenja predstavlja uporaba grelno-hladilnega sistema, s katerim lah- ko s spreminjanjem temperature v bioreaktorju vplivamo na potek fermentacije. Za načrtovanje takšnega regulacijskega sistema je potrebna izpe- ljava matematičnega modela, ki bi opisoval vpliv spreminjanja temperature na potek fermentacije. Osnovni model fermentacijskega procesa ne obravnava vpliva temperature na potek fermenta- cije. V članku je prikazana izpeljava razširjenega modela, ki omogoča kvantitativno ovrednotenje vpliva temperature na časovne poteke vseh veličin fermentacijskega procesa. Najpomembnejše značilnosti predstavljenega raz- širjenega modela so:  izpeljani model je opisan s sistemom štirih ne- linearnih enačb 1. stopnje;  vhod modela je referenčna spremenljivka grel- no-hladilnega sistema, spremenljivke v pro- storu stanja modela so koncentracije biomase, substrata in produkta ter temperatura v biore- aktorju;  izpeljani model je kompakten in primeren za analizo procesov fermentacije, za simulacije in za implementacijo nadzornega sistema;  izpeljani model ima 9 parametrov, ki so odvisni od sestave fermentacijskega medija. Določanje parametrov za določen bioreaktor je možno z identifikacijo. Za njihovo identifikacijo je po- trebno postopek fermentacije izvesti vsaj dva- krat: enkrat s konstantno temperaturo in enkrat s spremembo temperature med fermentacijo. Za identifikacijo matematičnega modela je bila uporabljena optimizacija rojev delcev.  Dobljeni rezultati številnih poskusov in izra- čunov so potrdili ujemanje modela z realnim objektom. Literatura [1] K. N. Watabe and E. Pehu, Biotechnology in- teligence unit: Plant biotechnology and plant genetic resources for sustainability and pro- ductivity. R. G. Landes Company and Aca- demic Press, Inc, Austin, San Diego, London, 1997. [2] Grand View Research, Biotechnology Market Size, Share & Trends Analysis Report By Ap- plication (Health, Food & Agriculture, Natu- ral Resources & Environment, Industrial Pro- cessing Bioinformatics), By Technology, And Segment Forecasts, 2018–2025. Grand View Research, San Francisco, 2017. [3] V. Banik, A. Chinchane and O. Sumant, Elec- Slika 9 : Merjeni in simulirani časovni potek koncentra- cije raztopljenega CO 2 med fermentacijo s spremen- ljivo temperaturo bioreaktorja (stopnična sprememba temperature od 22 °C na 27 °C v času, t = 6 h) Ventil 6 / 2021 • Letnik 27 Modelling of batch bioreactors Abstract: Mathematical models of fermentation processes are indispensable for designing bioreactors, simulation of their operation, optimization of fermentation processes, and design and synthesis of control systems for their control. The paper focuses on the determination of a dynamic mathematical model of the milk fermentation process taking place in a batch bioreactor. Models known in the literature do not allow the analysis of the influence of temperature changes on metabolism during fermentation. The paper presents the findings of an extensive multidisciplinary study. We developed a new mathematical model that con- siders the impact of temperature on the dynamics of CO 2 release during fermentation in a batch bioreac- tor. Based on laboratory tests and theoretical analysis, the appropriate structure of the derived extended model was first determined. This was followed by the identification of the model parameters of the fer- mentation process in the laboratory bioreactor by particle swarm optimization. In the end, we compared the measurements of laboratory tests with simulations with a derived model. The derived augmented model proved to be very suitable for simulations, and above all, it enables the design and synthesis of a control system for batch bioreactors. Keywords: biotechnology; bioprocess engineering; fermentation process; batch bioreactors; modeling of the fermen- tation process; identification of parameters; particle swarm optimization tric Motor Market by Type, Output Power, Voltage Range, Application & Speed: Global Opportunity Analysis and Industry Forecast, 2018–2025. Allied Market Research,Pune, Sin- gapure, Portland, London, 2019. [4] J. Villadsen,”Innovative technology to meet the demands of the white biotechnology revolution of chemical production”. Chem- ical Engineering Science, 2007. https://doi. org/10.1016/j.ces.2007.08.017 [5] National Research Council, Putting Biotech- nology to Work: Bioprocess Engineering. The National Academies Press, Washington, DC, 1992. https:/ /doi.org/10.17226/2052. [6] C. S. M. Barcelos, F. B. Lupki, G. A. Campolina, D. L. Nelson and G. Molina, “The colors of bi- otechnology: general overview and develop- ments of white, green and blue areas”. FEMS Microbiology Letters, 2018. doi: 10.1093/ femsle/fny239 [7] E. J. DaSilva, “Editorial – The Colours of Bi- otechnology: Science, Development and Humankind”. Electronic Journal of Bio- technology, 2005. doi: 10.4067/S0717- 34582004000300001 [8] K. J. Åström and P. R. Kumar, “Automatic Control – a Perspective,” Proceedings of the 36th Chinese Control Conference, 2017. [9] A. Cinar, S. J. Parulekar, C. Undey, G. Birol, Batch Fermentation – Modelling, Monitoring and Control, Marcel Dekker Inc., New York, 2003. [10] Ritonja, J.; Goršek, A.; Pečar, D. Use of a Heat- ing System to Control the Probiotic Bever- age Production in Batch Bioreactor. Appl. Sci. 2021, 11(1), 84. https://doi.org/10.3390/ app11010084 [11] Goršek, A.; Ritonja, J.; Pečar, D. Mathemati- cal model of CO2 release during milk fer- mentation using natural kefir grains. J Sci Food Agric 2018, 98, 4680–4684. https:/ /doi. org/10.1002/jsfa.9001 [12] Ritonja, J.; Gorsek, A.; Pecar, D. Control of Milk Fermentation in Batch Bioreactor. Ele- ktronika Ir Elektrotechnika 2020, 26(1), 4–9. https:/ /doi.org/10.5755/j01.eie.26.1.23377 [13] Ritonja, J.; Goršek, A.; Pečar, D.; Petek, T.; Po- lajžer, B. Dynamic Modeling of the Impact of Temperature Changes on CO2 Produc- tion during Milk Fermentation in Batch Bi- oreactors. Foods 2021, 10, 1809. https://doi. org/10.3390/foods10081809 [14] Thatipamala, R. On-line Monitoring, State and Parameter Estimation, Adaptive Computer Control and Dynamic Optimization of a Con- tinuous Bioreactor, PhD Thesis, University of Saskatchewan, Saskatoon, 1993. [15] Kennedy, J.; Eberhart, R. C. Particle swarm optimization. Proc. IEEE Int. Conf. Neural Netw., Nov. 1995, pp. 1942–1948. [16] Mezura-Montes, E.; Coello, C. A. Con- straint-handling in nature-inspired numer- ical optimization: Past, present and future. Swarm and Evolutionary Computation 2011, pp. 173–194. [17] Pedersen, M. E. H. Good Parameters for Par- ticle Swarm Optimization, Technical Report no. HL1001. Luxembourg: Hvass Laboratories, 2010. [18] Particle Swarm Optimization Algorithm. Available online: https://mathworks.com/ help/gads/particle-swarm-optimization-al- gorithm.html (accessed 12 May 2021). BIOPROCESNO INŽENIRSTVO 399