i i “Strnad-Aristarh” — 2010/6/3 — 12:06 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 15 (1987/1988) Številka 1 Strani 22–27 Janez Strnad: ZAČETKI MERJENJA V ASTRONOMIJI – ARISTARH IN ERATOSTEN Ključne besede: astronomija. Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Strnad-Aristarh.pdf c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. oc-On'''n,.il' lO, ,_, 1" _1 Ij_' IL" ZACETKI MERJENJA V ASTRONOMIJI - ARISTARH IN ERATOSTEN Kolikšna je oddaljenost Lune? Okoli 384 tisoč kilometrov. Kako so jo določili? Z laserjem so posvetili skozi velik daljnogled na mačje oko, ki so ga na Luni postavili vesoljci. Po času potovanja bliska tja in nazaj so izračunali razdaljo na dobrih deset centimetrov natančno. Kolikšna je oddaljenost Sonca? Okoli 150 milijonov kilometrov. Kako so jo določili? Zemlja je 1,38 -krat bolj oddaljena od Sonca (slika 5) kot Venera . Oddaljenost Venere so izmerimil tako, da so usmerili nanjo radarske valove in zaznali šibke odbite valove . Po času potovanja sunka radarskih valov so določili oddaljenost Venere od Zemlje, z njo oddalje- nost Venere od Sonca in naposled še oddaljenost Sonca od Zemlje na del kilo- metra natančno. Do teh podatkov so prišli v zadnjem času, potem, ko se je močno razvila merilna tehnika. Kako pa so določili oddaljenosti nekdaj? Vpra- šanje iz zgodovine astronomije je pomembno tudi za razumevanje razvoja astro- nomije in fizike. Prav ponavljajoči se pojavi na nebu so napeljali ljudi, da so začeli podro- bneje opazovati naravo in napovedovati pojave. Niso se več zadovoljili z mislijo, da naravo ureja volja bogov. Pomembno vlogo je imel tudi razvoj matematike, saj brez nje ni mogoče zanesljivo napovedovati pojavov. Le številske napovedi je namreč mogoče primerjati z opazovanji in merjenji in ugotoviti, katera na- poved se bolje prilega merjenjem in katera slabše. Tako je mogoče izločiti slabše napovedi, ki izhajajo iz slabših teorij, in obdržati boljše . Izbiranje te vrste je znač ilno za naravoslovje. Ni težko razumeti, da se je začelo naravoslovje z astronomijo in da so bila prva merjenja astronomska. Ljudje so nekdaj živeli v tesnem stiku z naravo in so vsako jasno noč lahko opazovali zvezdnato nebo . S pojavi na nebu so si po- magali pri merjenju časa in koledarju in - pri napovedovanju usode. Pri tem so vsaj na začetku shajali brez posebnih merilnih naprav. Dandanes, ko se nam zdi natančno merjenje nepogrešljiva sestavina fizike, radi pozabimo na njegove začetke v astronomiji in geometriji. Prehod od kvalitativnega gledanja, pri katerem opišemo pojave le z beseda- mi, do kvantitativnega gledanja, ko vztrajamo pri merjenju in podrobnem opisu s števili, zagotovo ni bil ne kratek ne lahek. V prehodnem obdobju, ko se niso več zadovoljili z besednim opisovanjem, a še niso obvladali merjenja, so posku- sili količine ocenjevati .Čeprav so bili dobljeni rezultati nenatančni,sovelikopo- 22 menili kot prvi korak. Pogosto so tudi približni izidi omogočili globlji vpogled. Kot zgled za ta prehod omenimo delo enega od najznamenitejših staro- grških astronomov Aristarha s Samosa (od leta 310 do okoli 230 pred našim štetjem) . Aristarh, ki je deloval v Aleksandriji, je določil oddaljenosti Lune in Sonca ter radija Lune in Sonca v razmerju do radija Zemlje. S tem je naredil velik korak naprej in se je dokopal do nove slike Osončje . Sledimo Aristarhu in določimo najprej razmerje med oddaljenostjo Sonca 'o in oddaljenostjo Lune 'L' Pri tem vzemimo, da Luna enakomerno kroži okoli Zemlje, kar ni č isto res. Luna potrebuje za en obhod okoli Zemlje 27 dni (na- tančneje 27,3 dneva). če ugotavljamo njeno lego glede na zvezde. Ob prvem in zadnjem krajcu, ko deli osvetljeni del Lune od neosvetljenega ravna črta, sta zveznici Sonca in Lune ter Zemlje in Lune pravo kotni druga na drugo. Zaradi končne oddaljenosti Sonca od Zemlje pa Luna ob prvem in zadnjem krajcu ne leži na nasprotnih straneh Zemlje (slika 1). Med prvim in zadnjim krajcem po- teče zato malo daljši čas kot med zadnjim in prvim. Aristarh je ocenil razliko na 1 dan tako, da bi med prv im in zadnjim krajcem poteklo 14 dn i, med za- dnj im in prvim pa 13. Če ustreza obhodu Lune, to je 27 dnem , polni kot 360 0 , • Slika 1. Č as med prvim in zadnjim krajcem je za č r večji od č asa med zadnjim in prvim krajcem Lune. Kot med zveznico Zemlje in Lune ter zveznico Zemlje in Sonca meri 'p = (112).180 0 (1 - ot /to ), če je t o obhodni č as Lune. Aristarh je dob il za razmerje 7 0 /IL = l /co~ 'P 18 do 20 . V resnic l je razmerje tako veliko in kot 'P tako blizu 90 0 , d a j u ni mogoče izmeriti na opisani način. Ta risba in druge risbe niso narisane v pravem me- rilu. 23 ustreza času med zadnjim in prvim krajcem, to je 13 dnem, kot 3600.13/27 = = 1730 . Pravokotni trikotnik s polovico tega kota, to je 87 0 , ima hipotenuzo 19-krat daljšo od katete. Vse podatke smo zaokrožili , zato je rezultat samo pr i- bližen. Aristarh se je tega zavedal in je za razmerje 10 /1, navedel 18 do 20. Aristarhov rezultat lahko izrazimo še drugače . O prvem ali zadnjem krajcu tvori zveznica Zemlja-Luna z zveznico Zemlja-Sonce kot 87 0 . V resnic i meri ta kot 89,850 , torej samo 0,150 manj od pravega kota, in ga je celo s sodobni - mi napravami izredno težko naravnost izmer iti . Čas med zadnj im in prvim kraj cem je le za 0,046 dneva ali za dobro uro krajši od časa med prvim in za- dnjim kr ajcem. A ristarh ni mogel natančno določiti trenutka, ko je bila meja med osvetljenim in neosvetljen im delom Lune ravna č rta. Zato ne preseneča mnogo premajhno razmerje lo / 1L' ki ga je navedel. V drugem koraku upoštevajmo, da se zdita Sonce in Luna enako velika . Njun premer vidimo pod približno enakih kotom. Iz tega izhaja spoznanje, da sta rad ija Sonca ro in Lune rL v enakem razmerju kot njuni oddaljenosti. po · temtakem je po Aristarhovo radij Sonca dvajsetkrat večji od radija Lune: rO/rL = 20 (slika 2). PO tej poti lahko določimo razmerje ro / Lo = rL / IL , če izmerimo kot, pod katerim vidimo radij Sonca ali Lune . Aristarh je ocenil ta kot na 10 . Temu kotu ust reza v ločni mer i 21T. 1° / 3600 = 0,017, tako da je ro /lo = rL/IL = 0,017. Ni težko ugotoviti, da vidimo premer Lune ali Sonca pod kotom okoli 0,5 0 in radij Lune ali Sonca pod kotom 0,250 . Aristarh je kot kar štirikrat precenil. To kaže tudi na njegov odnos do merjenja. Zares pa je Arhimed poročal, da je menda Aristarh pozneje popravil podatek na 0 ,250 . V tretjem koraku določimo razmerje med radijem Zemlje in radijem Lune. Pri popolnem Luninem mrku je Aristarh meril čas potovanja Lune čez Zemlji- I I, I /0 -----1, Slika 2. Premer Sonca in premer Lu ne vidimo z Zemlje pod približno enakim kotom . Aristarh je navedel štirikrat prevelik kot 1° in je dobil rollo = rL IIL = 2rr.lo /3600 = = 0,017. 24 I no senco in čas , ki ga je prebila Luna v Zemljini senci. PO tem je ugotovil, da jeZemljina senca 8/3-krat tolikšna kot Luna . Iz tega izhaja, da je radij Zem lje pri- bližno 8/3-krat večji od radija Lune: rZ /rL = 813 (slika 3). Tako je Aristarh lahko narisal "zemljevid " Osončja z Zemljo, Soncem in Luno. Le merila ni mogel navesti, saj ni poznal nobene oddaljenosti ali radija . Aristarhova vrednost današnja vrednost rL /rZ IL /rZ = (lL /rL)(rL /rZ) lo /rz = (lo /IL)(IL /rZ) ro /rz = (ro /lo){/o /rz) 3/8 = 0,38 0,38/0,017 = 22 20.22 = 440 0,017.440 = 7 0,272 60,3 23480 109 Aristarh je več kot 15-krat podcenil velikost Sonca in več kot 50-krat nje- govo oddaljenost. Kljub temu sta ga najbrž prav njegova rezultata za velikost in oddaljenost Sonca napeljala na misel, da kroži Zemlja okrog precej večjega Sonca in ne Sonce okrog Zemlje, kakor so mislili dotlej . Aristarh je bil prvi od znanih astronomov, ki je poskušal utemeljiti heliocentrično sliko z mirujočim Soncem in gibajočo se Zemljo. Slika se je zdela za tiste čase tako nenavadna, da je niso resno upoštevali več kot osemnajst stoletij, dokler je ni povzel Nikolaj Kopernik . Aristarh se najbrž ne bi dokopal do nje, če si ne bi prizadeval dobiti približnih številskih podatkov. (V knjigah najdemo različne vrednosti za Ari- starhove rezultate . Navsezadnje je tudi to povezano z njegovim odnosom do številskih rezultatov.) Aristarhovo delo je dopolnil Eratosten (od leta 276 do 194 pred našim šte- tjem), ki je prav tako delal v Aleksandriji. Določil je radij Zemlje in s tem uve- del merilo v Aristarhov "zemljevid" . Opišimo na kratko Eratostenovo skle- 5 .'""" ".,. ,. ,.,. .. ... ... ' 'o I __\ ' 'L \\ \ \ Slika 3. Pri popolnem Luninem mrku je po času, k i ga Luna prebije v Zemljini senci, Aristarh sklepal, da je Zemljina senca na kraju Lune približno 8 /3-krat tolikšna kot Luna. Iz zveze (2rZllo)(/0 + IL) = 2rL .8/3 sledi pribl ižno "Z." 8 rL 13. 25 panje. Kot upravnik aleksandrijske knjižnice je zasledil podatek, da v Sieni, današnjem Asuanu v Egiptu, na najdaljši dan leta Sonce opoldne posveti v glo- bok vodnjak. Ugotovil je, da v Aleksandriji na ta dan sončni žarki tvorijo z navpičnico kot, ki meri 1/50 polnega kota. Ker leži Siena približno na istem poldnevniku kot Aleksandrija, je bilo treba le še poznati njeno oddaljenost od Siene. Potniki, ki so prehodili to pot, so navedli zanjo dolžino 5000 stadijev . To so ugotovili po času potovanja, ker so vedeli , kolikšno razdaljo so prehodili na uro . Ker je Sonce zelo daleč od Zemlje, smemo vzeti, da so njegovi žarki v Sieni in Aleksandriji vzporedni . Tako meri središčni kot med Sieno in Aleksan- drijo prav tako 1/50 polnega kota. Ker ustreza temu kotu razdalja 5000 stadi- jev, ustreza obsegu poldnevnika 50.5000 = 250000 stadijev (slika 4) . Eratostenov sodobnik Arhimed je določil število tt , to je razmerje med ob - segom in premerom kroga. Tako je bilo mogoče po Eratostenovem rezultatu izračunati radij Zemlje: 250000 stadijev /2rr = 40 000 stadijev in izraziti Ari- starhove podatke s stadij i. Del poldnevnika so pozneje večkrat premerili. Skrbno so to storili potem, ko so se dogovoril i, da naj meri poldnevnik 40000000 metrov, in s tem vpelja - li meter . Radij Zemlje meri to rej 40000 km /2rr = 6370 km. Žal ne moremo povedat i, kako natančen je bil Eratostenov rezultat, ker je bilo v rabi več vrst stadijev . Če je Eratosten uporabil običajni olimpijski stadij, je bil rezultat za kakih 20% prevelik. Če pa je imel v mislih krajši stadij, je zadel pravi rezultat na 1%. Toda to bi bilo treba pripisati srečnemu naključju, ker Aleksandrija in Siena pač ne ležita na istem poldnevniku . Dosežki Aristarha in tudi Eratostena zbu jajo spoštovanje še dandanes, ko 26 Slika 4 . Eratosten je vedel, d a sije Sonce navpično v Sieni (Asuanu). ko sije v Aleksandriji za 1/50 polnega kota odma- knjena od navpič nice. Z znano razdaljo med obema kraj ema je določil obseg Zemlje in z njim radij Zemlje. Wika 8. V uvodu mmjrnegs mmsrja odddienosti Zanlje od Sonca I, in Vtmn ad Soma IV ni Wko doMlti. Venem, kt je blib Wnca kot Zanf)r. r odddl1 od cmeri Sonca nejueE zrr kot a- 4 6 , 3 O , taka cta jo Io/ly = 1 /eina = 1.38. rmo se naweli kvantitativnega gtedanja. Zdetnikom tak- gledanja v astrono- miji rade volje qmgledmo to, da so n d l i neb- & b j nenaanEne rezul- tate. L- - _- - -- J-s- ---