_ 112433 z -J S /Dre Geometrische^ ä Formenlehre üs^oöns in univerriteins knjirnics v I.jnb!jsni Di tztsvilkA Gkllllietnsche FaMenlehrc in der Volksschule. (§ine Anleitung für Mehrer zur Krtkeitung des geometrischen Unterrichtes. öl', eran; Uittcr von Močnik. ArNorto Arrtierere. Preis geheftet 40 kr., gebunden 55 kr. Wien. F. Tempsky, Leipzig. G. Freytag. Prag. F. TempSky. Buchhändler der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. 18!>2. 112483 Druck r'on Rudolf M. Rohrer in Brünn. Einleitung. H. 1. Ziel ver geometrischen Formenlehre in Vcr Volksschule. Die geometrische Formenlehre hat in der Volksschule die Aus¬ gabe, den Schülern eine klare Kenntnis der wichtigsten Raumgebilde und ihrer Eigenschaften, und eine sicher bewusste Anwendung der letzteren auf die Ver¬ hältnisse des gewöhnlichen Lebens zu vermitteln. Ihr Zweck ist hier nicht, für eine spatere wissenschaftliche Behandlung der Geometrie die Vorbereitung zu gewähren, sondern dasjenige geometrische Wissen und Können, welches für einfache LebensverhÜltnisse genügt, als ein selbständiges Ganze zum Abschluss zu bringen. Aller Volksschulunterricht muss geistig bildend und praktisch verwendbar sein. Das gilt auch von der geometrischen Formenlehre. Mit der Erkenntnis der geometrischen Wahrheiten muss auch die praktische Gestaltung derselben Hand in Hand gehen; die Schüler müssen befähigt werden, die klar erkannten Naumformen auch durch die Zeichnung wiederzugeben und aus den Eigenschaften der betrachteten Figuren und Körper auch deren Größe zu bestimmen. Soll daher die geometrische Formenlehre als ein Bestandtheil des erziehenden Unterrichtes in der Volksschule ihren Zweck erfüllen, so müssen dabei folgende drei Hauptmomcnte ins Auge gefasst werden: I. Herbeischaffuug klarer Vorstellungen der Raumgebilde und Betrachtung ihrer wichtigsten Eigenschaften; Il. Zeichnen einfacher geometrischer Formen: 3. Vergleichung der Raumgebilde in Bezug auf ihre Große, d. i. Messen und Berechnen derselben. In welchem Ilmfange dieser dreifachen Anforderung Rechnung getragen werden soll, hängt von der Verschiedenheit der Verhältnisse der einzelnen Volks¬ schulen und von der für diesen Gegenstand zu Gebote stehenden Zeit ab. An Volksschulen, für welche der geometrischen Formenlehre ein zwei- oder dreijähriger Cursus zugemessen ist, werden insbesondere die Eigenschaften und Gesetze der Raumgebllde ausführlicher betrachtet und unter Anwendung derselben auch Moönik, Die geometr. Formeulehrt'. <1. Aufl. sl 2 ausgedehntere Übungen im Zeichnen vvrgeiwmincu werden können; an ein- nnd zweiclassigen Volksschulen wird hierin wie auch in den Rechenaufgaben zur Größenbestimmung der Flüchen uud Körper eine weise Beschränkung eintretcn müssen. Der Umfang des geometrischen Unterrichtes kann weiter oder enger bemessen werden; das Ziel bleibt überall dasselbe. Aus dein Angeführten ist nun auch die wichtige Stellung ersichtlich, welche die geometrische Formenlehre unter den Lehrgegenständen der Volksschule in formaler und materieller Beziehung einnimmt. Indem sie den Schüler an ein verständiges Anschauen der Dinge gewohnt, in ihm den Formensinn weckt, die Denkkraft schärft und dadurch die geistige Thätigkeit fördert, wirkt sie im Dienste der formalen Bildung. Sie hat aber auch ihren materialen Wert, da sie durch methodisch geordnete Übungen iin Zeichnen der durch Anschauung aufgefassten Gebilde, im Messen und Berechnen derselben für das praktische Leben grundlegend vorbereitet. iP 2. Anordnung nnd Behandlung des Lehrstoffes. Die geometrische Formenlehre hat vor allem einen genügenden Vorrath klarer Raumvorstellungen herbeizuschaffen. Dass dieses nur auf dem Wege der sinnlichen Anschauung geschehen kann, ist ein allgemein anerkannter Grund¬ satz; nicht so einig ist man über den dabei zn befolgenden Lehrgang. Mit Rücksicht auf den Eintheiluugsgrund des zu behandelnden Lehrstoffes lassen sich die verschiedenen für diesen Gegenstand in Anwendung stehenden Lehrgänge füglich auf die zwei folgenden znrnckfnhren. Dem einen liegt die Eintheilung der Geometrie in die Planimetrie und Stereometrie zugrunde. Nachdem aus der Betrachtung der geometrischen und der in der Wirklichkeit vorkommenden Körper die Grnndvorstellnngen des Körpers, der Fläche, der Linie und des Punktes entwickelt wurden, werden in naturgemäß fortschreitender Reihenfolge und in anschaulicher Weise zuerst die ebenen, dann die körperlichen Raumgebilde nach ihren verschiedenen Eigenschaften und gegenseitigen Beziehungen vorgeführt. Sachlich Zusammengehöriges wird auch beim Unterrichte zusammengehalten. Bei dem andern Lehrgänge gruppiert sich der ganze Unterricht nm die geometrischen Körper, welche in entsprechender Auswahl nach und nach zur Anschauung gebracht werden. An jedem Körper werden nach der Ordnung die Flüchen, Kantenlinicn, Eckpunkte, Winkel nnd Figuren nach ihrer Zahl, Lage und bezüglich nach ihrer Gestalt und Größe betrachtet. Dehnt man diese Betrachtung auch auf die Eigenschaften der einzelnen Gebilde aus, so sind es solche, die zu dem betrachteten Körper in der nächsten Beziehung stehen. Bei dem einen wie bei dem andern dieser Lehrgänge schließt sich an die Formenlehre das Zeichnen und die Größenbestimmung der Raumgebilde an. Mag auch jener erstere Lehrgang erfolgreicher zum Ziele führen, wenn die geometrische Formenlehre, wie an den unteren Classen der Mittelschule, als Vorbereitung auf den wissenschaftlichen Unterricht in der Geometrie dienen soll: in der Volksschule, wo es sich um einen selbständigen Abschluss dieses Gegen¬ standes handelt, muss dem zweiten Lehrgänge unbedingt der Vorzug eingeräumt werden, da er den geometrischen Lehrstoff, soweit ihn der Zweck der Volksschule verlangt, auf dem einfachsten und kürzesten Wege zuführt. . Auch wir wählen diesen zweiten Lehrgang, dessen vorzüglichste Vertreter Gasser, Zizmann, Lorey, Kaseliz, Schramm sind. Ihre wertvollen Schriften über den geometrischen Anschauungsunterricht sind auch bei der Ab¬ fassung des vorliegenden Leitfadens benützt worden. Was nun zunächst die Wahl der zu betrachtenden geometrischen Körper betrifft, so muss darauf gesehen werden, dass die gewühlten Körper möglichst viel Stoff in den möglichst vielen Beziehungen bieten. Wir betrachten von den eckigen Körpern den Würfel, das dreiseitige und sechsseitige Prisma, das Tetraeder, die vierseitige Pyramide und den dreiseitigen Pyramidenstnmpf, von den runden Körpern den Cylinder, Kegel, Kegelstumpf und die Kugel. Die Betrachtung der geometrischen Körper, so zahlreich und zweckmäßig sie auch gewählt sein mögen, vermittelt übrigens immer nur die Vorstellungen gewisser Arten von Raumgebilden, während dabei andere geometrische Formen, die an den Gegenständen der Wirklichkeit vorkommen und darum im Unter¬ richte gleichfalls ihre Berechtigung haben, gar nicht zur Anschauung gelangen. Auch gibt es mehrere Eigenschaften der Raumgebilde, die sich aus der Betrachtung der geometrischen Körper nicht unmittelbar ergeben, deren Kenntnis aber für die Übungen im Zeichnen und für die verständige Berechnung der Flächen und Körper unentbehrlich ist. Soll daher die geometrische Formenlehre auch den berechtigten Forderungen des praktischen Lebens genügen, so muss sich an die Nnterrichtsergebnisse der unmittelbaren Betrachtung der geometrischen Körper noch eine Erweiterung des dabei gewonnenen Lehrstoffes anschließen, welche geeignet ist, die eben augedeuteten Lücken auszufüllen. Dabei muss man jedoch Maß halten und sich auf das unbedingt Nothwendige beschränken. Einige nehmen diese Ergäuzungslehren erst dann vor, wenn bereits alle zur Betrachtung gewählten Körper behandelt worden sind. Zweckmäßiger erscheint es, dieselben an den geeigneten Orten, sofort auf die Betrachtung des jedesmaligen Körpers folgen zu lassen. Nicht nur erhalten bei dieser Anordnung die durch die unmittelbare Betrachtung eines Körpers erlangten Vorstellungen 4 einen höheren Grad von Klarheit, weil zu den ersten Anschauungen neue und genauere hinzutreten; es ivird dadurch auch in den Unterricht, welcher sich bei einer ununterbrochen fortgeführten einförmigen Betrachtung sämmtlicher Körper ermüdend gestalten würde, eine geistanregende Abwechslung gebracht. Übungen im Zeichnen begleiten die ganze Formenlehre. Den Schluss bildet die Berechnung der Flächen und Körper. 8. 3. Didaktische Bemerkungen nnd Hilfsmittel. Die Grundlage des Unterrichtes bildet die Betrachtung der Körper. Der zu betrachtende Körper wird gehörig aufgestellt. Dann muss der Lehrer durch geeignete Fragen den Schüler veranlassen, den Körper in einer bestimmten Ordnung genau anzuschanen und sich über das, was er angeschaut hat, klar und bündig auszusprechen. Die aus der Betrachtung des Körpers gewonnenen Vorstellungen werden sodann zusammengefasst und nach Bedürfnis in gleichfalls elementar-anschaulicher Weise erweitert. Die vorliegende Anleitung gibt die bezüglichen Unterrichtsergcbnisse in bündigen Sätzen nnd in naturgemäß sich abwickelnder Reihenfolge; besondere Bemerkungen werden nur dort beigefügt, wo der Lehrgang oder das Lehrverfahren eine nähere Erläuterung erheischt. Nachdem die Schüler aus der Betrachtung eines Körpers von gewissen Ranmformen klare Vorstellungen erlangt haben, werden sie angeleitet, diese Formen auch durch die Zeichnung darzustellen. Das Zeichnen in der Volks¬ schule ist Freihandzeichnen, welches selbstverständlich den Gebrauch des Zirkels und Lineals ausschließt. Die darzustellendeu Formen werden zuerst von dem Lehrer auf die Schultafel, und dann von den Schülern anfänglich mittelst des Griffels auf die Schiefertafel, spater mit Bleistift auf das Papier gezeichnet. Insbesondere sind die Schüler auch im Zeichnen des Netzes des betrachteten Körpers zu üben und zu veranlassen, die Zeichnung zu Hause auf Pappen¬ deckel auszuführen und durch gehöriges Ausschneiden und Zusammenkleben sich selbst ein Modell des Körpers anzufertigen. Der in dieser Anleitung am Schlüsse jedes kleineren Abschnittes ange¬ führte Übungsstoff enthält nebst Fragen und Aufgaben zur Befestigung und Erweiterung ves Lehrstoffes auch die Übungsaufgaben für das Zeichnen, die sich an jenen Abschnitt anzuschließen haben. Über das Lehrverfahren bei der Berechnung der Flächen und Körper enthält der zweite Theil dieser Anleitung ausführlichere Bemerkungen. An Lehrmitteln für den geometrischen Unterricht sollen in jeder Schule vorhanden sein: H) Zur Veranschaulichung der Ranmvorstellungen: Die Holzmodelle der zur Betrachtung gewählten Körper von einer Größe, dass sie bequem von jedem Schiller gesehen werden können. »Von diesen Modellen sollen das dreiseitige Prisma in drei Pyramiden, die Pyramide, der Cylinder, der Kegel und die Kugel aber uach deu daran zu versinulichenden Schnitten derart zerlegbar sein, dass die Theile durch hölzerne Stifte befestiget werden können. b) Zur Veranschaulichung der Maße: >. Ein Meterstab mit der Eintheilung in Decimeter und Centimeter. 2, Ein Decimeter-Maßstab mit der Eintheilung in Centimeter und Millimeter. 3. Bandmaße aus Mctallblech von 2, 5 oder 10 Meter Länge. l. Ein Quadratmeter auf Pappendeckel mit der Eintheilung in Quadrat- decimeter; ebenso ein Quadratdecimetcr mit der Eintheilung in Qua- dratcentimeter und ein Quadratccntime'ter mit der Eintheilung in Quadratmillimeter. 5. Ein zerlegbares Cubikdecimcter von Holz, bestehend aus 9 Platten von l <7m Länge, 1 oön Breite und 1 cm, Dicke, aus 9 quadratischen Säulen von 1 ckm Länge, 1 em Breite und 1 cm Dicke, endlich aus 10 Cubikcentimetern. 6. Ein hohles, oben offenes Cubikdecimcter von Blech. 7. Ein cylindrisches Litergesäß. Erster Th eil. üctrachtuilg der Lörper und der an ihnen vorkoininende» 1'unlingebiidt. I. Per Würfel. tzs. 4. Betrachtung des Würfels. Der Lehrer stellt einen hinlänglich großen Würfel ans Holz auf dem Tische oder einem Gestelle so ans. dass zwei Flächen eine wagrechte Lage haben und dass eine Fläche den Schülern zugewendet ist. Aus der Betrachtung des so gestellten Würfels werden mit den Schülern durch geeignete Fragen nacheinander die in folgenden Sätzen ausgesprochenen geometrischen Wahrheiten anschaulich entwickelt. 1. Der Würfel (Fig. 1) nimmt einen Raum ein. Dieser Raum ist von allen Seiten begrenzt. Ein von allen Seiten begrenzter Raum heißt ein Körper. Der Würfel ist ein Körper. Der Würfel ist nach drei Richtungen ausgedehnt: von rechts nach links, von vorn nach hinten, von unten nach oben; er ist lang, breit und hoch. Jeder Körper hat drei Ausdehnungen: Länge, Breite und Höhe ^Tiefe, Dicke). 2, Der Würfel wird von sechs Flächen begrenzt. Diese sind: die obere, untere, vordere, Hintere, rechte und linke Fläche. Weil der Würfel sechs Flächen hat, heißt er auch Sechsflächner oder Hexaeder. Alle Flächen des Würfels sind ebene Flächen. Eine ebene Flüche heißt auch bloß Ebene. Jede Fläche des Würfels ist nach zwei Richtungen ausgedehnt; die untere Fläche von rechts nach links und von vorn nach hinten, n. s. w. Eine Fläche hat nur zwei Ausdehnungen: Länge und Breite. Die untere Fläche, auf welcher der Würfel steht, sowie auch die obere Fläche heißen Grundflächen; die übrigen vier Flächen heißen Seiten¬ flächen. Fig. 1 Jede Seitenfläche des Würfels ist lothr-echt; jede Grundfläche ist wagrecht. Die beiden Grundflächen haben gleiche Lage, sie sind parallel; von den Seitenflächen sind die vordere nnd Hintere, ebenso die rechte und linke zn einander parallel!. Am Würfel gibt es also drei Paare paralleler Flächen. Am Würfel stehen je zwei Flächen, welche Zusammentreffen, senkrecht aufeinander; die vordere Flüche steht senkrecht auf der oberen, unteren, rechten und linken Fläche u. s. w. Alle Grenzflächen des Würfels zusammen bilden dessen Oberfläche. Man nennt sie eine gebrochene Fläche. 3. Jede Fläche am Würfel wird von vier Kanten oder Kantenlinien begrenzt. Eine Kantenlinie entsteht da, wo zwei Flüchen zusammentreffen. Am ganzen Würfel kommen 12 Kanten vor: die vordere obere, die vordere untere, die vordere rechte, n. s. w. Der Würfel hat also dreimal so viel Kanten als Seitenflächen. Alle Kanten des Würfels sind gerade Linien. Eine gerade Linie heißt auch bloß Gerade. Jede Kante des Würfels ist nur nach einer Richtung ausgedehnt; die vordere obere von rechts nach links, u. s. w. Eine Linie hat nur eine Ausdehnung: die Länge. Alle Kanten des Würfels haben gleiche Länge. Die 8 Kanten an den Grundflächen heißen Grundkanten, die übrigen 4 Kanten heißen Seitenkanten. Jede Scitcnkante des Würfels ist lothrecht; jede Grundkante ist wag¬ recht. Am Würfel gibt es also 4 lothrechte und 8 wagrechte Kanten. Die Seitenkanten haben alle gleiche Richtung, von oben nach unten oder von unten nach oben; sie sind parallel. Von den Grundkanten haben die vordere obere, die vordere untere, die Hintere obere und die Hintere untere die Richtung von rechts nach links oder von links nach rechts; sie sind also auch zn einander parallel. Die übrigen vier Grundkanten haben die Richtung von vorn nach hinten oder von hinten nach vorn; sie sind auch parallel. Am Würfel gibt es also drei Gruppen "von je vier Kanten, die zueinander parallel sind. Jede Kante des Würfels ist parallel zu der Fläche, die sie nicht trifft nnd in der sie nichi liegt; die vordere rechte Kante ist parallel zu der Hinteren und der linken Flüche, u. s. w. Am Würfel stehen je zwei Kanten, welche zusammentreffen, senkrecht aufeinander; die vordere rechte Kante steht senkrecht auf der vorderen oberen, der rechten oberen, der vorderen unteren und der rechten unteren Kante, u. s. w. 8 Jede Kante des Würfels steht auch senkrecht auf der Fläche, welche sie trifft; die vordere rechte Kante steht senkrecht auf der oberen und auf der unteren Fläche, u. s. w. Eine nach allen Seiten begrenzte Ebene heißt Figur. Die Grenzlinien einer Figur heißen Seiten derselben. Jede Flüche des Würfels ist eine vier¬ seitige Figur. Weil die Seiten gerade Linien sind, heißt die Figur gerad¬ linig; weil alle Seiten gleich sind, heißt sie gleichseitig. Alle Grenzlinien einer Figur zusammen bilden deren Umfang. Der Umfang einer Fläche des Würfels ist eine gebrochene Linie. 4. Jede Kantenlinie des Würfels wird von zwei Eckpunkten begrenzt. Ein Eckpunkt entsteht da, wo drei Flächen zusammentreffen. Der Würfel hat 8 Eckpunkte. Diese sind: Der vordere obere rechte, der vordere obere linke, der vordere untere rechte, u. s. w. Der Würfel ist ein eckiger Körper. Die Eckpunkte des Würfels sind nach keiner Richtung ausgedehnt; sie sind weder lang, noch breit, noch dick. Ein Punkt hat keine Aus¬ dehn ung. Eine Figur, welche vier Seiten hat, hat auch vier Eckpunkte; eine vier¬ seitige Figur heißt deshalb auch ein Viereck. Jede Flüche am Würfel ist ein gleichseitiges Viereck. 5. Zwei Kanten, welche sich treffen, bilden einen Winkel. Jede Flüche des Würfels hat 4 Winkel. Am ganzen Würfel sind 24 Winkel. Die Kanten, welche einen Winkel bilden, heißen die Schenkel, und der Eckpunkt, in dem sie zusammentreffen, der Scheitel des Winkels. Ein Winkel, dessen Schenkel aufeinander senkrecht stehen, heißt ein rechter. Am Würfel kommen lauter rechte Winkel vor. Ein Viereck, dessen Winkel rechte sind, heißt rechtwinklig. Ein Viereck, das gleichseitig und rechtwinklig ist, heißt ein regelmäßiges Viereck oder ein Quadrat. Am Würfel ist jede Fläche ein Quadrat. Man kann sich ein größeres und ein kleineres Quadrat vorstellen; beide haben dieselbe Gestalt, aber verschiedene Größe. Die Quadrate am Würfel haben nicht nur gleiche Gestalt, sondern auch gleiche Größe; legt man sie auf einander, so decken sie sich; sie sind oongruent. Ein Körper, welcher von lauter congruenten und regelmäßigen Figuren begrenzt wird, heißt regelmäßig. Der Würfel ist ein regelmäßiger Körper. 9 Weil die obere Grundfläche des Würfels mit der unteren cvngruent ist, nennt man den Würfel anch Säule; und zwar, weil er ein eckiger Körper ist, Ecksäule oder Prisma. Da die Seitenkanten des Würfels auf den Grundflächen senkrecht sind, sagt man: der Würfel ist ein senkrechtes Prisma. Fig. 2. tz. Werden die vier Seitenflächen des Würfels nebeneinander in eine Ebene ausgebreitet und dann über und unter einer Seitenfläche auch die Grundflächen in dieselbe Ebene ge¬ bracht, so erscheint die Oberfläche des Würfels als eine einzige zusammen¬ hängende ebene Fläche, welche das Netz des Würfels heißt (Fig. 2). Die Versinulichung geschieht mittels eines ans Pappe gefertigten Netzes, mit dem man den Würfel umschließt. Dreht man den Würfel um eine Grundkante so, dass diese allein in der wagrechten Fläche liegt, so bleiben diese Grundkante und die mit ihr parallelen Kanten noch immer wagrecht; die übrigen Kanten aber sind in der neuen Lage weder wagrecht noch auch lothrecht, sie sind schräge. Die Flächen sind sämmtlich schräge. In der Lage der Flächen, Kanten und Eckpunkte gegen einander wird nichts geändert. Stellt man einen Würfel so auf, dass nur ein Eckpunkt in der wag¬ rechten Flüche liegt, so gibt es weder lothrechte noch wagrechte Kanten und Flächen; alle Kanten und alle Flächen sind schräge. Bei der Betrachtung der Würfels muss längere Zeit verweilt werden, weil hier die geometrischen Formen zum erstenmale auftreten. Der Lehrer muss sich durch wiederholtes Durchfragen die Überzeugung verschafft haben, dass die vor¬ anstehenden Ünterrichtscrgebnisse volles geistiges Eigenthum der Schüler geworden sind. Dann erst wird er daran gehen, den aus der unmittelbaren Betrachtung des Würfels gewonnenen Lehrstoff gleichfalls in anschaulicher Weise theils nach Erfordernis zu erweitern, theils bezüglich einzelner Formelcmcnte genauer zu erläutern, und damit die grundlegenden Übungen im Zeichnen zu verbinden. tz. 5. Gerade Linien. 1. Durch jeden Eckpunkt des Würfels gehen 3 Kanten. Durch einen einzigen Punkt ist also eine Kante nicht bestimmt. Durch zwei Eckpunkte geht nur eine Kante. Durch zwei Punkte ist daher eine gerade Linie vollkommen bestimmt. 10 Eine Linie kann man sich durch die Bewegung eines Punktes ent¬ standen denken. Ein Feuerfunke, der durch die Lust fährt, zeigt unserem Blick eine Linie. Bewegt sich ein Punkt stets in derselben Richtung, so entsteht dadurch eine gerade Linie. Ein Stein, den man frei fallen lässt, beschreibt während des Falles eine gerade Linie. Eine durch zwei Punkte begrenzte Gerade heißt Strecke; die beiden Grenzpunkte heißen ihre Endpunkte. Eine Strecke hat nicht nur eine bestimmte Richtung, sondern auch eine bestimmte Länge. Die Strecke ist die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten. Ihre Länge heißt die Entfernung oder der Abstand der beiden Punkte. Eine Linie, welche aus mehreren Geraden von verschiedener Richtung besteht, heißt eine gebrochene Linie. Übungsstoff. 1. Eine Kante des Würfels geht durch den vorderen untereil rechten Eck¬ punkt; welche Kante kann es sein? 2. Eine Kante geht durch den Hinteren oberen rechten und den Hinteren unteren rechten Eckpunkt; welche Kante ist es? 3. Welche Eckpunkte haben eine Kante gemeinschaftlich? 4. Welche Eckpunkte haben keine Kante gemeinschaftlich? 5. Eine Kante beginnt am vorderen oberen linken Eckpunkte und hat die Richtung von vorn nach hinten; a) welche Kante ist es, b) wo endet sie? 6. Zeichne zwei Punkte und ziehe zwischen ihnen eine Gerade. 7. Zeichne drei Punkte, welche nicht in einer geraden Linie liegen, und verbinde je zwei durch eine Gerade. Wie viele Gerade erhältst du? 8. Wie viele Gerade sind überhaupt zwischen einer bestimmten Anzahl von Punkten, von denen je drei nicht in einer geraden Linie liegen, möglich? Um das Gesetz, auf welches die Beantwortung dieser Frage führt, anschau lich abzuleiten, kann der Lehrer so Verfahren: Zeichne 2 Punkte und verbinde sie durch eine Gerade. Zwischen 2 Punkten ist nur 1 Gerade möglich. Zeichne einen 3. Punkt. Zwischen den ersten 2 Punkten ist 1 Gerade, möglich; von jedem dieser Punkte kann zu dem 3. Punkte noch eine Gerade gezogen werden. Zwischen 3 Punkten sind also 1 -s- 2 — 3 Gerade möglich. , Zeichne noch einen 4. Punkt. Zuerst gibt es 1 Z- 2 — 3 Gerade zwischen den früheren 3 Punkten, und dann von jedem derselben noch eine Gerade an den 4. Punkt; zusammen 1 -s- 2 -s- 3 — 6 Gerade. Fügt man einen 5. Punkt dazu, so kann man von jedem der früheren 4 Punkte noch eine Gerade zu dem neu hinzugckommenen 5. Punkte ziehen. Zwischen 5 Punkten sind also 1 -j- 2 -j- 3 -4- 4 — 10 Gerade möglich. 11 Ebenso findet man, dass zwischen 6 Punkten 1-j-2-s-3-f-4-s-5 — 15 Gerade, „ / „ 1 Z— 2 3 fi— 4 Z— o Z— 6 — 21 Gerade, n. s. w. gezogen werden können. Gesetz: Um die Anzahl der Geraden zwischen einer bestimmten Anzahl von Punkten, von denen je drei nicht in einer geraden Linie liegen, zu finden, addiert man die Zahlenreihe von 1 bis zu der Zahl, welche nm 1 kleiner ist, als die Anzahl der Punkte. Lässt man die Schüler noch beachten, dass in einer solchen Zahlenreihe, z. B. 1-i-2-l-3-s-4-i-5Z-6-s-7Z-8-s-9-s-1Ofi-H die erste und letzte Zahl sl fi- 11), die zweite und vorletzte Zahl (2 -s- 10), die dritte und drittletzte Zahl (3 -s- 9), überhaupt je zwei vom Anfänge und Ende gleichweit abstehende Zahlen, dieselbe Summe 12 geben, so werden sie ein¬ sehen, dass man von jener Zahlenreihe die Addition kürzer verrichten kann, wenn man nur die erste und die letzte Zahl addiert und ihre Summe mit der halben Anzahl der Zahlen multiplieiert. Z. B. Zwischen 16 Punkten sind so viele Gerade möglich, als die Summe der Zahlenreihe von 1 bis 15 beträgt, oder 16 X — 120 Gerade. 2, Eine Gerade, welche die Richtung eines Bleilothes, d. i. eines frei¬ hängenden, durch eine Bleikugel gespannten Fadens hat, heißt lothrecht oder vertical. Wenn ein Körper frei fällt, so fällt er in lothrechter Richtung. Welche Kanten des Würfels sind lothrecht? Auf dem Papier oder der Tafel wird die lothrechte Linie durch eine von oben nach unten oder von unten nach oben gezogene Gerade dargestellt. Eine Gerade, welche die Richtung eines an beiden Seiten gleichbelasteten Wagebalkens oder eines am ruhigen Wasserspiegel schwimmenden Stäbchens hat, heißt wagrecht oder horizontal. Welche Kanten des Würfels sind wagrecht? Eine wagrechte Linie wird auf dem Papier oder der Tafel durch eine von links nach rechts oder von rechts nach links gezogene Gerade dargestellt. Eine Gerade, welche weder lothrecht noch wagrecht ist, heißt schräge. Bei welcher Stellung des Würfels sind feine Kanten schräge? Übnngsstoff. 1. Gib an Gegenständen im Lehrzimmer gerade Linien an, die a) loth¬ recht, ll) wagrecht, e) schräge sind. 2. Zeichne einen Punkt, gerade darunter einen zweiten Punkt, und ziehe dnrch beide Punkte eine Gerade. Welche Richtung stellt diese Gerade vor? Bringe die Schreibtafel in eine solche Lage, dass die gezeichnete Gerade wirklich lothrecht wird. 3. Zeichne einen Punkt, rechts daneben einen zweiten Punkt, und verbinde beide durch eine Gerade. Welche Richtung stellt diese Gerade vor? 12 4. Zeichne eine schräge Gerade a) van links nnten nach rechts oben, ist von links oben nach rechts unten. T Ziehe auf deiner Schreibtafel eine beliebige Gerade und bringe dann die Tafel in eine solche Lage, dass die Gerade a) eine lothrechte, b) eine wagrechte, 6) eine schräge Richtung hat. 6. Ziehe drei Gerade, welche a) lothrecht, b) wagrecht, ) Zwei Gerade liegen in derselben Ebene und haben ungleiche Richtung, wie und L6, oder l)Il und lM. (Fig. 4.) Fig. 4. Zwei solche Gerade entfernen 4'' sich auf der einen Seite und nähern sich auf der andern Seite; sie müssen <7 daher hinreichend verlängert in einem Punkte zusammentreffen. Man sagt: ^1 — -- - L i) -- L' die zwei Geraden schneiden sich, und nennt den Punkt, in welchem sie Zusammentreffen, ihren Durch- schuittspnukt. Haben zwei Gerade, welche sich schneiden, eine solche Lage gegen ein¬ ander, dass, wenn man die eine in die lothrechte Richtung bringt, die andere wagrecht ist, wie vlil und Illi', so sagt man: sie stehen senkrecht aufeinander, oder sie schneiden sich unter einem rechten Winkel. Welche Kanten des Würfels stehen senkrecht anfeinander? 13 o) Zwei Gerade liegen in verschiedenen Ebenen; dann können sie weder parallel sein, noch sich schneiden, die eine geht über oder neben der andern vorbei. Alan sagt in diesem Falle: die zwei Geraden kreuzen sich. Welche Kanten des Würfels kreuzen sich? Bersinnlichung der voraugeführten Lagen mittels zweier Stäbchen. Übungsstoff. 1. Eine Kante des Würfels ist parallel zu der vorderen oberen nnd beginnt am Hinteren unteren linken Eckpunkte; welche Kante ist es? 2. Welche Kauten haben einen Eckpunkt gemeinschaftlich? 3. Welche Kanten haben keinen Eckpunkt gemeinschaftlich? 4. In wie vielen Punkten können sich eine bestimmte Anzahl Gerader, von denen je zwei nicht parallel sind, schneiden? Z. B. 6 Gerade können sich in 1 -s- 2 -U 3 4 -j- 5 oder 6 X "/s — 13 Punkten schneiden. Der unterrichtliche.Vorgang znr anschaulichen Ableitung des Gesetzes stimmt mit dem Z. ö, Absatz 1, Übungsstoff 8 angegebenen Lehrverfahren überein. 2 Gerade schneiden sich in l Punkte. Kommt eine 3. Gerade dazu, so hat man den einen Dnrchschnittspnnkt der früheren zwei Geraden; durch die dritte kann jede der beiden früheren noch einmal geschnitten werden. Es gibt also 1 -l- 2 — 3 Dnrchschnittspunkte. Jede neu hiuzukommende Gerade kann jede der früheren Geraden einmal schneiden. Die 4. Gerade fügt also 3 Durchschnittspunkte dazu; u. s. w. 5. Gib an Gegenständen im Lehrzimmer gerade Linien an, welche a) parallel sind, b) sich schneiden, o) sich kreuzen. 6. Gib zwei parallele Gerade an, welche a) lothrecht, b) wagrecht, o) schräge sind. 7. Zeichne eine Gerade und bestimme auf einer Seite derselben zwei Punkte, welche von ihr gleichwcit entfernt sind. Ziehst du durch die beiden Punkte eine Gerade, so ist diese zu der ersten Geraden parallel. 8. Zeichne auf gleiche Weife drei parallele Gerade, die a) lothrecht, b) wag¬ recht, o) schräge sind. 9. Was für ein Unterschied ist zwischen lothrecht nnd senkrecht? 19. Welche Richtung haben das Zünglein einer Schalenwage und der Wage¬ balken, wenn die Schalen u) gleich, b) ungleich belastet sind? Welche Lage gegeneinander haben Zünglein und Balken in jedem Falle? 11. Welche Richtung haben die Kanten des Würfels, welche a) auf einer lothrechten, b) auf einer wagrechten Kante senkrecht stehen? 12. Die vordere linke Kante des Würfels steht auf einer Kante senkrecht; welche kann es sein? 13. Wie viele Kanten schneidet jede Kante unter einem rechten Winkel? 14 14. Falte eia Blatt Papier zweimal so zusammen, dass die Buglinien genau aufeinander fallen. Dann erhältst du einen rechten Winkel. 15. Ziehe eine lothrechte Gerade, und von dem unteren Endpunkte eine wagrechte. Was entsteht dadurch? i. In Beziehung auf die Lauge find zwei Strecken entweder gleich oder- ungleich. Fig. 5. Zivei Strecken sind gleich, wenn die Endpunkte 4. -— Z der einen ebenso weit voneinander entfernt sind, als die v Endpunkte der andern. Zivei gleiche Strecken, wie 441 und Ov (Fig. 5), können so aufeinander gelegt werden, dass sie sich decken, d. i. dass ihre Endpunkte zusammcnfallen. Am Würfel find alle Kanten ein¬ ander gleich. Fig. 6. Zwei Strecken, deren Endpunkte nicht gleiche 4. —L Entfernungen voneinander haben, heißen ungleich, 6- v und zwar ist diejenige, deren Endpunkte weiter von einander entfernt sind, die größere, die andere die kleinere. Zwei ungleiche Strecken, wie 4.1) und Ov (Fig. 6), können einander nicht decken. Übungsstoff: 1. Wie untersucht man, ob zwei gerade Linien gleich oder ungleich sind? 2. Ziehe a) zwei lothrechte, b) zwei wagrechte, a) zivei schräge und parallele Strecken, die einander gleich sind. 3. Ziehe in gleichen Entfernungen von einander fünf gleiche Strecken, die a) lothrecht, b) wagrecht, o) schräge und parallel sind. 4. Zeichne einen rechten Winkel, mache die Schenkel desselben gleich und ziehe auf dieselben durch die Endpunkte Senkrechte, welche sich schneiden. Welche Figur erhältst du dadurch? 5. Zeichne vier gleiche Quadrate so nebeneinander, dass je zwei eine gemeinschaftliche Seite haben, und überdies noch zwei Quadrate an den entgegengesetzten Seiten eines jener ersteren Quadrate. Die Zeichnung ist das Netz eines Würfels. 6. Fertige zu Hause dieselbe Zeichnung möglichst genau auf Pappendeckel an. Schneidest du dann diejenigen Seiten, welche zwei Quadraten ge¬ meinschaftlich sind, zur Hälfte, und die übrigen ganz durch, so erhältst du durch gehöriges Umklappen der Netzflächen und durch Verkleben nut Papierftreifen und aufgelöstem Gummi den Würfel. o. Die Länge einer Strecke bestimmen, heißt dieselbe messen. Um eine Strecke zn messen, nimmt man irgend eine bekannte Strecke als Einheit an und untersucht, wie oft sie in der zu messenden Strecke enthalten ist. Die Zahl, welche dieses angibt, heißt die Maßzahl der Strecke. Die Einheit des neuen Längenmaßes ist das Meter (m). DaS Meter wird in 10 Decimeter (Um), das Decimeter in 10 Centimeter (em) und das Centimeter in 10 Millimeter (mm) eingetheilt. 1000 Meter sind ein Kilometer (/em) und 10000 Meter ein Myriameter sium). Zum Messen der Strecken bedient man sich der Maßstäbe; dies sind Stäbe aus Holz oder Metall, auf welchen die Länge einer oder mehrerer Längeneinheiten nebst den Unterabtheilungen aufgetragen ist. Das Messen längerer Strecken geschieht mittelst der Bandmaße ans Metallblech oder der Messkette. Die metrischen Längenmaße werden hier an einem Meterstabe zur un¬ mittelbaren Anschauung gebracht und daun sofort zur wirklichen Messung au- geweudet. Es werden gemessen: die Länge einer Schulbank; die Länge und Breite der Schultafel, einer Tischplatte; die Breite und Höhe der Thür, eines Fensters, einer Fensterscheibe; die Länge, Breite und Höhe des Schulzimmers. Zur Übung des Augenmaßes lasse inan die Längen, bevor ihre Messung vorgcnommcn wird, jedesmal früher mit dem Auge abschätzeu. Ein sehr wichtiges Glied in der Stilfenleiter der Längenmaße ist das Decimeter, weil es die Grundlage des Hohl- und Gewichtsmaßcs bildet. Um sich die Länge desselben durch öfteres Anschauen besser einzuprägen und nm damit Messungen vorzunehmen, soll jeder Schüler mit einem Lineal versehen sein, auf welchen! ein Decimeter mit der Theiluug in Centimeter und der weiteren Untertheilnng eines Centimcters in Millimeter aufgctrageu ist. Der Lehrer leite die Schüler an, mittels dieses Maßstabes und eines Papierstreifens a) auf der Schreibtafel gezogene Strecken zu messen, b) Strecken von gegebener Länge auf¬ zutragen. Hier werden die Schüler auch geübt, gegebene Strecken nach dem Augen¬ maße in gleiche Theilc zu theileu. Übungsstoff. 1. Zeichne mehrere ungleiche Strecken, gib dnrch Abschätzung ihre Länge in Centimeteru und Millimetern an und prüfe sodann die Nichtigkeit durch wirkliche Messung. 2. Ziehe eine Gerade und trage darauf 3 am, 2 am 4 mm, 57 mm auf. 3. Zeichne eine Strecke von 2 am 0 mm und verlängere sie um 1 am 4 mm. 4. Zeichne fünf u) lothrechte, d) wagrechtc, e) schräge und parallele Strecken, deren jede 23 mm lang ist. 5. Zeichne eine Strecke von 5ein 4mm und halbiere sie, d. i. theile sie in zwei gleiche Theile. 16 6. Zeichne eine beliebige Strecke und halbiere sie. Bestimme in der Strecke einen Punkt so, dass er von den beiden End¬ punkten der Strecke gleichweit entfernt ist. 7. Theile eine Strecke in 2 gleiche Theile und jede Halste wieder in 2 gleiche Theile. Wie viel gleiche Theile erhältst du? 8. Theile eine Strecke nach dem Augenmaße in 3, 5 gleiche Theile. 9. Theile eine Strecke in 6, 8, 10 gleiche Theile. 10. Trage die Länge eines Decimeters möglichst genau auf einen starken Bindfaden lOmal auf, binde nach jeder Länge eines Decimeters einen Knoten ein und miss mittelst dieses Metermaßes verschiedene Strecken im Freien, nachdem du ihre Länge früher nach dem Augenmaße abge- fchätzt hast. 6. Ebene Flächen. 1. Durch jeden Eckpunkt des Würfels gehen drei Flächen. Durch zwei Eckpunkte oder die sie verbindende Kante gehen zwei Flächen. Durch einen einzigen oder durch zwei Punkte ist also eine Ebene nicht bestimmt. Durch drei Eckpunkte geht nur eine ebene Fläche. Durch drei nicht in einer geraden Linie liegende Punkte ist daher eine Ebene vollkommen bestimmt. Vcrsinnlichnng durch ein Blatt steifes Papier oder durch ein Brettchen, welches zuerst um einen Eckpunkt, dann um zwei Eckpunkte oder die sie verbindende Gerade gedreht wird, bis es endlich auch noch durch einen dritten, außerhalb dieser Geraden liegenden Punkt geht und hiedurch eine bestimmte Stellung erhält. Eine Ebene hat die Eigenschaft, dass jede Gerade, welche zwei Punkte mit ihr gemeinschaftlich hat, ganz in die Ebene hineinfällt. In einer- Ebene kann man nach allen Richtungen gerade Linien ziehen. Übungsstoff. 1. Welche Flächen des Würfels haben den vorderen oberen linken Eckpunkt gemeinschaftlich? 2. Welche Flächen haben den vorderen oberen linken und den vorderen unteren linken Eckpunkt gemeinschaftlich? 3. Durcll welche drei Eckpunkte geht die vordere Fläche? -l. Ist durch drei Punkte, welche in derselben Geraden liegen, eine Ebene bestimmt? 5. Gib an Gegenständen im Lehrzimmer ebene Flächen an und weise an ihnen die zwei Ausdehnungen nach. 2. Eine Ebene heißt lothrecht oder vertical, wenn sie durch eine loth- rechtc Gerade geht Welche Flüchen des Würfels sind lothrecht? 17 Eine Ebene heißt wagrecht oder horizontal, wenn jede in ihr liegende Gerade wagrecht ist. Welche Flüchen des Würfels sind wagrecht? Eine Ebene, welche weder lothrecht noch wagrecht ist, heisst schräge. Bei welcher Stellung des Würfels sind seine Flächen schräge? Übnngsstoff. 1. Wie viele lothrechte Ebenen sind durch einen Punkt möglich? 2. Wie viele wagrechte Ebenen sind durch einen Punkt möglich? 3. Wie viele lothrechte Ebenen sind a) durch eine lothrechte, d) durch eine wagrechte Gerade möglich? 4. Wie viele wagrechte Ebenen sind durch eine wagrechte Gerade möglich? 5. Kann man a) durch eine lothrechte, b) durch eine schräge Gerade eine wagrechte Ebene legen? 6. Kann man durch eine lothrechte Gerade eine schräge Ebene legen? 7. Gib an Gegenständen im Lehrzimmer a) lothrechte, b) wagrechte, o) schräge Ebenen an. 3. Eine Gerade, welche nicht in einer Ebene liegt, kann gegen diese Ebene eine zweifache Lage haben. a) Die Gerade ist von Per Ebene überall gleich weit entfernt, so dass sie noch so weit verlängert mit der beliebig erweiterten Ebene nie zusammentrifft. Dann sagt man: die Gerade ist mit der Ebene parallel. Welche Kanten und Flächen des Würfels sind zu einander parallel? d) Die Gerade hat von der Ebene nicht überall dieselbe Entfernung, sie entfernt sich von ihr auf der einen Seite und nähert sich ihr auf der andern Seite; sie muss daher hinreichend verlängert mit der Ebene in einem Punkte zusammentreffen. Man sagt: die Gerade schneidet die Ebene, nnd nennt den Punkt, in welchem sie zusammentreffen, den Fußpunkt der Geraden in der Ebene. Hat eine Gerade gegen die Ebene, welche sie schneidet, eine solche Lage, dass, wenn man die Gerade in die lothrechte Richtung bringt, die Ebene wag¬ recht ist, so heißt die Gerade auf'der Ebene senkrecht. 'Welche Kanten nnd Flächen des Würfels stehen senkrecht ans einander? Dreht man einen rechten Winkel um den einen Schenkel herum, so be¬ schreibt der zweite Schenkel während dieser Drehung eine Ebene, auf welcher der erste Schenkel senkrecht steht. Der zweite Schenkel stellt dabei nach und nach alle Geraden vor, welche in der Ebene durch den Fußpunkt des senk¬ rechten Schenkels gehen. Wenn daher eine Gerade ans einer Ebene senkrecht steht, so ist sie senkrecht auf allen Geraden, welche in der Ebene durch den Fußpnnkt der ersten Geraden gehen. . Ai 0 ü I! > r, Die oeometr. Formenlehre. 1. Anfl. 18 Übungsstoff. 1. Wie viele Kanten des Würfels sind zu jeder Fläche parallel? 2. Zu wie vielen Flächen ist jede Kante parallel? 8. Gib gerade Linien im Lehrzimmer an, welche a) zu einer Ebene parallel sind, d) eine Ebene schneiden. 4. Welche Richtung kann vder muss eine Gerade haben, die a) zu einer lvthrechten, b) zu einer wagrechten, o) zu einer schrägen Ebene parallel ist? 5. Wie viele Kanten des Würfels sind auf jeder Fläche, senkrecht? 6. Auf Ivie vielen Flächen steht jede Kante senkrecht? 7. Welche Lage gegen einander haben eine lothrechte Gerade und a) eine lothrechte, b) eine wagrechte, e) eine schräge Ebene? 8. Welche Lage gegen einander können oder müssen eine wagrechte Gerade und u) eine lothrechte, b) eine wagrechte, o) eine schräge Ebene haben? 9. Welche Lage gegen einander können oder müssen eine schräge Gerade und s) eine lothrechte, d) eine wagrechte, e) eine schräge Ebene haben? 4. Zwei Ebenen können eine zweifache Lage gegen einander haben. a) Tie zwei Ebenen sind überall gleichweit voneinander entfernt, so dass sie, wenn man sie auch beliebig erweitern würde, nie Zusammentreffen. Zwei solche Ebenen heißen parallel. Welche Flächen des Würfels sind zu einander parallel? b) Die zwei Ebenen haben nicht überall dieselbe Entfernung vonein¬ ander, sie entfernen sich auf der einen Seite und nähern sich auf der andern; sie müssen daher hinreichend erweitert Zusammentreffen, und zwar in einer geraden Linie. Man sagt: die zwei Ebenen schneiden sich, und nennt die Gerade, in welcher sie Zusammentreffen, ihre Durchschnittslinie. Haben zwei Ebenen, welche sich schneiden, eine solche Lage gegen ein¬ ander, dass, wenn man die eine in die lothrechte Stellung bringt, die andere wagrecht ist, so sagt man: die beiden Ebenen stehen senkrecht auf einander. Welche Flächen des Würfels stehen senkrecht ans einander? Übungsstoff. 1. Gib an den Gegenständen im Lehrzimmer parallele Ebenen an, die u) lothrecht, b) wagrecht, e) schräge sind. 2. Können s) zwei lothrechte, b) zwei wagrechte, a) zwei schräge Ebenen sich schneiden? Z. Können zwei sich schneidende Ebenen wagrecht sein? 4. Wie viele Flächen des Würfels stehen auf einer senkrecht? 5. Auf wie vielen Flüchen ist eine senkrecht? 19 6. Welche Lage gegen einander können oder müssen a) zwei lothrechte Ebenen, b) eine lothrechte nnd eine wagrechte Ebene, o) eine lothrechte und eine schräge Ebene, cl) zwei wagrechte Ebenen, 6) eine wagrechte und eine schräge Ebene, k) zwei schräge Ebenen haben? n. Das Urisma. 8. 7. Betrachtung eines senkrechten Prisma, -essen Grnnvflächc ein gleichseitiges Dreieck ist. (Eine Seitenkante ist doppelt so groß als eine Grundkante.) Das senkrechte dreiseitige Prisma wird so ausgestellt, dass die Grundflächen eine wagrechte Lage haben und dass eine Seitenfläche den Schülern zugewendet ist. 1. Der Körper (Fig. 7), der hier steht, wird von fünf Flächen begrenzt. Die untere nnd die obere Fläche sind die Grundflächen, die vordere, die Hintere rechte und die Hintere linke Fläche sind die Seitenflächen. Alle Flächen sind ebene Flächen. Fig. 7. Die Seitenflächen sind lothrecht, die Grundflächen sind wagrecht. Die Grundflächen sind parallel; die Seitenflächen sind nicht parallel, sie schneiden sich. Die Seitenflächen stehen senkrecht auf den Grundflächen; zu einander stehen die Seitenflächen nicht senkrecht. Wenn man näm¬ lich den Körper in eine solche Stellung bringt, dass von zwei Seitenflächen die eine lothrecht ist, so ist die andere schräge; man sagt: die Seitenflächen stehen zu einander schief. Die Grundflächen des Körpers haben gleiche Gestalt und gleiche Größe, sie sind congruent; die Seitenflächen sind auch congruent. Weil der Körper zwei congrnente Grundflächen hat und eckig ist, so ist er eine Ecksäule oder ein Prisma. Da das Prisma drei Seitenflächen hat, heißt es dreiseitig. 2 Das dreiseitige Prisma hat 6 Grundkanten und 3 Seitenkanten, zusammen 9 Kanten. Diese sind: die untere vordere, die untere rechte, die untere linke, die obere vordere, die obere rechte und die obere linke Grundkante; dann die rechte, linke und Hintere Seiteukante. Das Prisma hat also dreimal so viele Kanten als Seitenflächen. Alle Kanten sind gerade Linien. 20 Die Seltenkanten sind lothrecht, die Grundkanten sind wagrecht. Die drei Seitenkanten sind parallel. Von den Grundkanten sind immer eine untere und eine obere parallel; die untere vordere und die obere vordere Grundkante, u. s. w. Jede Seitenkante ist senkrecht auf zwei unteren und zwei oberen Grundkanten. Die Grundkanten sind nicht senkrecht auf einander. Wenn man nämlich das Prisma in eine solche Stellung bringt, dass von zwei Grundkanten die eine lothrecht ist, so ist die andere schräge; man sagt: die zwei Grundkanten sind zu einander schief. Die Seitenkanten stehen auch senkrecht auf den Grundflächen; das Prisma heißt deshalb ein senkrechtes Prisma. Alle Seitenkanten sind einander gleich: alle Grundkanten sind einander gleich. Die Seitenkanten sind jedoch den Grundkanten nicht gleich; eine Seiten- kante ist doppelt so groß als eine Grundkante. Der Umfang jeder Mache des Prisma ist eine gebrochene Linie. Das dreiseitige Prisma hat 6 Eckpunkte. Diese sind: der untere rechte, der untere linke, der untere Hintere, der obere rechte, u. s. w. Jede Grundfläche hat drei Eckpunkte, sie ist ein Dreieck. Jede Seiten¬ fläche hat vier Eckpunkte, sie ist ein Viereck. 4. Jede Grundfläche des senkrechten dreiseitigen Prisma hat drei Winkel, jede Seitenfläche hat vier Winkel. Am ganzen Prisma sind 18 Winkel. Die Winkel an den Seitenflächen sind rechte, weil ihre Schenkel auf einander senkrecht stehen; die Winkel an den Grundflächen heißen schief, weil ihre Schenkel zn einander schief stehen. Ein schiefer Winkel an der Grundfläche Fig. 8. ist kleiner als ein rechter; er ist ein spitzer /X Winkel. Am senkrechten dreiseitigen Prisma / X kommen also 12 rechte und 6 spitze Winkel vor. —---- Jede Grundfläche hat drei gleiche Seiten, sie ist ein gleichseitiges Dreieck. In jeder Seitenfläche sind je zwei gegenüberliegende Seiten gleich, je zwei znsammentreffende Seiten aber ungleich; sie ist ein ungleichseitiges Viereck. ___Ein Viereck, welches rechtwinklig, aber ungleich- X / seitig ist, heißt Rechteck. Am senkrechten drei- X / seitigen Prisma ist jede Seitenfläche ein Rechteck. Werden die Seitenflächen des dreiseitigen Prisma nebeneinander in eine Ebene ausgebreitet und dann über und unter einer Seitenfläche auch 21 die Grundflächen in dieselbe Ebene gebracht, so erhält inan das Netz des senkrechten dreiseitigen Prisma. (Fig. 8.) 6. Damit die gewonnenen Anschauungen noch höhere Klarheit erlangen, wird der Lehrer den Würfel und das senkrechte dreiseitige Prisma neben einander aufstellen und die beiden Körper mit Rücksicht auf ihre Flächen, Kanten, Eck¬ punkte nnd Winkel nach Zahl, Lage nnd Größe mit einander Vergleichei: lassen. 1. Der Würfel hat 6 Flächen, das senkrechte dreiseitige Prisma nur 5. Tie Flächen des Würfels sind ebene Flachen, die des Prisma auch. Die Flächen des Würfels sind Quadrate, die Flächen des senkrechten dreiseitigen Prisma theils gleichseitige Dreiecke theils Rechtecke. Am Würfel sind die Grundflächen wagrecht, die Seitenflächen lothrecht; am Prisma auch. Am Würfel sind mich die gegenüberliegenden Seitenflächen parallel; die Seiten¬ flächen des dreiseitigen Prisma sind nicht parallel. Am Würfel stehen dir Seitenflächen auf den Grundflächen senkrecht; am Prisma auch. Am Würfel stehen auch je zwei zusammentreffende Seitenflächen zu einander senkrecht; am Prisma sind sie zu einander schief. 2. Der Würfel hat 12 Kanten, das dreiseitige Prisma nur 9. Die Kanten des Würfels find gerade Linien, die des Prisma auch. Am Würfel sind die Grnndkanten wagrecht, die Seiteukanten lothrecht; an: Prisma auch. Am Würfel sind die Seitenkanten parallel; am Prisma auch. Am Würfel sind auch je zwei gegenüberliegende Kanten parallel; am Prisma sind nur je eine untere und eine obere Grnndkante parallel, dagegen die unteren Grund¬ kanten unter sich, und die oberen unter sich nicht parallel. Am Würfel sind je zwei sich treffende Kanten auf einander senkrecht; am Prisma sind nur die Seilenkanten ans den Grnndkanten senkrecht, die unteren, ebenso die oberen Grundkanten stehen auf einander schief. Die Kanten des Würfels sind alle gleich, die des Prisma nicht; an diesem find nur die Grundkanten unter sich, sowie die Seiteukanten unter sich gleich. 3. Der Würfel hat 8 Eckpunkte, das dreiseitige Prisma nur 6. Am Würfel sind die Eckpunkte jeder Kanke gleichweit voneinander entfernt; am Prisma sind auch die Eckpunkte jeder Grundkante gleich weit voneinander entfernt, ebenso die Eckpunkte jeder Seitenkante, aber die beiden Entfernungen sind ungleich. 4. Ter Würfel hat 24 Winkel, das dreiseitige Prisma nur 18. Am Würfel sind alle Winkel rechte; das Prisma hat nur an den Seitenflächen rechte, an den Grundflächen dagegen spitze Winkel. 22 8« 8. Betrachtung eines senkrechten Prisma, dessen (Grundfläche ein regclmäsziges Sechseck ist. (Eine Seitenkante ist dreimal so groß als eine Grnndkanle.) Das senkrechte sechsseitige Prisma wird so ausgestellt, dass die Grund¬ flächen eine wagrechte Lage haben und dass drei Seitenflächen sichtbar sind. Der Körper (Fig. 9) hat zwei Grundflächen und sechs Seitenflächen, zusammen 8 Flächen: die untere, obere, vordere, vordere rechte, vordere linke, Fig. 9. Hintere, Hintere rechte, Hintere linke Flüche. Alle Flächen sind ebene Flächen. Die Seitenflächen sind lothrecht, die Grundflächen wagrecht. Die Grundflächen sind parallel, die Seitenflächen schneiden sich und die Grundflächen. Die Seitenflächen sieben senkrecht auf den Grundflächen: zu einander stehen die Seitenflächen schief. Die Grundflächen find unter sich, die Seitenflächen eben¬ falls unter sich congruent. Da der Körper congrueute Grundflächen hat und eckig ist, ist er ein Prisma. Da der Körper sechs Seitenflächen hat, ist er ein sechsseitiges Prisma. Die Oberfläche des Körpers ist eine gebrochene Fläche. 2. Das sechsseitige Prisma hat 12 Grundkanten und 6 Seitenkanten, zu¬ sammen 18 Kanten; also dreimal so viele Kanten als Seitenflächen. Die Grundkanten heißen: die untere vordere, die untere vordere rechte, die untere vordere linke, die untere Hintere, die untere Hintere rechte und die untere Hintere linke Kante; ferner die obere Hintere, die obere Hintere rechte, u. s. w. Die Seitenkanten heißen: die vordere rechte, die vordere linke, die rechte, die linke, die Hintere rechte, die Hintere linke Seitenkante. Alle Kanten sind gerade Linien. Die Seitenkanten sind lothrecht, die Grnndkanten wagrecht. Die Seitenkanten sind alle parallel. Von den Grundkanten ist jede nur mit drei anderen parallel; die untere vordere mit der unteren Hinteren, der oberen vorderen und der oberen Hinteren; u. f. w. Die Seitenkanten stehen senkrecht auf deu Gruudkanteu: die Grundkanten stehen zu einander schief. 23 Weil die Seilenkanten auch auf den Grundflächen senkrecht stehen, heißt das Prisma senkrecht. Alle Seitenkanten sind einander gleich: alle Grundkanten sind einander gleich. Die Seitenkanten sind jedoch den Grundkanten nicht gleich; eine Seiten¬ kante ist dreimal so groß als eine Grundkante. Der Umfang jeder Fläche des Prisma ist eine gebrochene Linie. 3. Das sechsseitige Prisma hat l2 Eckpunkte. Sie heißen: der untere vordere rechte, der untere vordere linke, der untere rechte, der untere linke, der untere Hintere rechte, der untere Hintere linke, der obere vordere rechte, u. s. w. Jede Grundfläche hat sechs Eckpunkte, sie ist ein Sechseck. Jede Seiten¬ fläche hat vier Eckpunkte, sie ist ein Viereck. Ein Sechseck, das gleichseitig und gleichwinklig ist, heißt regelmäßig. Jede Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck. Werden die Seitenflächen des sechs¬ seitigen Prisma neben einander in eine Ebene ausgebreitet und dann über und unter einer Seitenfläche auch die Grund¬ flächen in dieselbe Ebene gebracht, so er¬ hält „man das Netz des senkrechten sechs¬ seitigen Prisma. (Fig. 10.) 6. Vergleichung des senkrechten sechsseitigen Prisma mit dem senkrechten dreiseitigen Prisma. Wird in ähnlicher Weise durchgeführt, wie oben die Vergleichung des senk¬ rechten dreiseitigen PriSma mit dem Würfel. Jede Grundfläche des senkrechten sechsseitigen Prisma hat sechs, jede Seitenfläche vier Winkel. Am ganzen Prisma sind 36 Winkel. Die Winkel an den Seitenflächen sind rechte, die Winkel an den Grund¬ flächen find schiefe Winkel. Ein schiefer Winkel an der Grundfläche ist größer als ein rechter; er ist ein stumpfer Winkel. Am senkrechten sechsseitigen Prisma sind also 24 rechte und 12 stumpfe Winkel. Jede Seitenfläche des senkrechten Prisma ist ein Rechteck. Jede Grund¬ fläche hat 6 gleiche Seiten und 6 gleiche Winkel, sie ist ein gleichseitiges und gleichwinkliges Sechseck. Fici- 10. 24 Nachdem dic Schüler aus der Betrachtung der bisherigen Körper die An¬ schauung des rechten, spitzen und stumpfen Winkels, ferner des Quadrates, Recht¬ eckes, Dreieckes und Sechseckes gewonnen haben, kann nur eine eingehendere an¬ schauliche Belehrung über die Winkel und die geradlinigen Figuren, ihre Arten und deren Eigenschaften folgen. 8. 9 Winkel Fig. It. 1 Zwei gerade Linien, welche sich in einem Punkte schneiden, bilden einen Winkel. Einen Winkel kann man sich dadurch entstanden L—-denken, dass sich eine Gerade ^.8 (Fig. 11) in- einer Ebene nm den Punkt dreht, und dadurch in eine zweite Lage ^.6 gelangt. Je größer die Drehung, desto größer ist auch der Winkel. Dic beiden Geraden ^8 nnd ä.0, welche den Winkel bilden, nennt man dic Schenkel, nnd ihren Durchschnittspunkt 4. den Scheitel des Winkels. Der Winkel heißt 8F6, wobei der Scheitel 4. in der Mitte genannt wird. Man kann ihn auch durch einen einzigen Buchstaben, z. B. in, be¬ zeichnen, den man nahe an den Scheitel zwischen die Schenkel fetzt. Dic Größe eines Winkels hängt nicht von der Länge der Schenkel, sondern bloß von der Größe der Drehung ab, welche erforderlich ist, um den einen Schenkel in die Lage des anderen zu bringen. Zwei Winkel find gleich, wenn zur Entstehung beider dieselbe Drehung erforderlich ist; sonst sind sie ungleich. Legt man zwei gleiche Winkel mit ihren Scheiteln und einem ihrer Schenkel aufeinander, so müssen auch die beiden anderen Schenkel aufeinander fallen. Zwei gleiche Winkel decken sich. Übungsstoff. 1. Nenne Scheitel und Schenkel eines jeden Winkels am senkrechten drei¬ seitigen Prisma. 2. Zeichne 5 Winkel und benenne jeden u) durch einen Buchstaben in der Winkelvffnung, b) durch drei Buchstaben. 3. Ziehe vom Punkte F. vier Gerade ä.8, ^.0, .48, .48 und nenne die Winkel, welche je zwei dieser Geraden bilden. 4. Zeichne zwei gleiche Winkel. '>. Zeichne zwei ungleiche Winkel und dann einen dritten, der so groß ist als a) ihre Summe, b) ihr Unterschied. 6. Zeichne einen Winkel und dann einen zweiten, welcher a) 2mal, b) 3mal, e) 4mal so groß ist. 7. Zeichne einen Winkel e408 (Fig. 12) und ziehe vom Scheitel eine Gerade, welche den Winkel halbiert. 25 Fig. 12. xF Mache OLl — OU, zeichne LlO parallel zu 08 und UO parallel zu 04. und ziehe 00, dann ist der Winkel 400 — 800 — '/-,40 t!. Wenn die Zeichnung richtig ist, müssen die Strecken OLl und OU sowohl unter sich als mit jeder der Strecken OLl und Oll s ?»/ -s gleich lang sein. 8. Zeichne einen rechten Winkel und halbiere ihn. 9. Theile einen Winkel in 4, 8 gleiche Theile. 10. Theile einen Winkel nach dem Augenmaße in 3, 5, 6 gleiche Theile. 2. Dreht sich eine Gerade um einen Punkt in einer Ebene, bis sie den vierten Th eil einer vollen Umdrehung gemacht hat, so entsteht ein rechter Winkel. ig Ein Winkel, zu dessen Entstehung weniger als eine Vierteldrehung erforderlich ist, heißt ein 0 spitzer, und ein Winkel, zu dessen Entstehung X / mehr als eine Viertel-, aber weniger als die halbe V-—./ Umdrehung erforderlich ist, ein stumpfer Winkel. Ein spitzer Winkel ist also kleiner, ein stumpfer " größer als ein rechter; beide heißen auch schiefe Winkel. .4.08 (Fig. 13) ist ein rechter, 400 ein spitzer, 400 ein stumpfer Winkel. Nach einer halben Umdrehung kommt die Gerade in eine Richtung, welche / ihrer anfänglichen Richtung gerade entgegen- gesetzt ist. Der Winkel, welcher durch diese //X/Vs Drehuug entsteht, heißt ein gestreckter Winkel. Seine Schenkel luden eine gerade ( Linie. Ein gestreckter Winkel ist gleich zwei ( rechten. Ein Winkel, der kleiner als ein ge- streckter ist, heißt ein hohler, und ein Winkel, der größer als ein gestreckter ist, ein erhabener Winkel. In Fig. 14 ist 408 ein gestreckter, 400 ein hohler, 400 ein erhabener Winkel. Nach einer ganzen Umdrehung gelangt die Gerade wieder in ihre ursprüngliche Lage. Der Winkel, der durch diese Drehung entsteht, heißt ein voller Winkel. Seine Schenkel fallen zusammen. Ein voller Winkel ist gleich zwei gestreckten Winkeln oder vier Rechten. Übungsstoff. 1. Was für Winkel kommen a) am Würfel, b) am senkrechten dreiseitigen Prisma, a) am senkrechten sechsseitigen Prisma vor? 26 2. Nenne Gegenstände im Lehrzimmer und außerhalb desselben, an denen a) rechte, b) spitze, o) stumpfe Winkel Vorkommen. 3. Was für einen Winkel beschreibt die Windfahne, wenn sie sich a) von Nord nach Süd, b) von Ost nach Siid, e) von Sud durch West und Nord nach Ost, ä) von Ost nach Südwest dreht? 4. Was für einen Winkel beschreibt der Minutenzeiger einer Uhr in 10, lä, 25, 30, 40 Minuten, in einer Stunde? 5. Was für einen Winkel bilden die beiden Zeiger einer Uhr n) nm 6, 3, 9 Uhr, b) um 2, 5, 10 Uhr? 6. Was für ein Winkel ist die Summe as eines rechten und eines spitzen, b) eines rechten und eines stumpfen, e) eines gestreckten und eines hohlen Winkels? 7. Was für ein Winkel ist das Doppelte u) eines rechten, b) eines stumpfen, o) eines gestreckten Winkels? 8. Was für ein Winket ist die Hälfte n) eines rechten, b) eines stumpfen, e) eines gestreckten, ä) eines erhabenen, o) eines vollen Winkels? 9. Ziehe eine wagrechte Gerade, und zeichne an dem einen Endpunkte einen rechten Winkel so, dass der Scheitel a) rechts unten, d) links unten, o) rechts oben, 6) links oben liegt. 10. Ziehe eine schräge Gerade, und zeichene a) an dem unteren, b) an dein oberen Endpunkte einem Winkel, dessen zweiter Schenkel o) nach auf¬ wärts, ä) nach abwärts liegt. 11. Zeichne drei hohle Winkel, von denen der erste ein rechter, der zweite ein spitzer, der dritte ein stumpfer Winkel ist. 12. Zeichne a) einen gestreckten, b) einen erhabenen, o) einen vollen Winkel. 3. n) Verlängert man einen Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus, so entsteht sein Nebenwinkel. Zwei Nebenwinkel haben also den Mg. 15. Scheitel und einen Schenkel gemeinschaftlich, 21 und ihre beiden anderen Schenkel liegen in einer Geraden. 4U)L (Fig. 15) ist ein X Nebenwinkel von LOO; ebenso sind ^01) und X LOO Nebenwinkel. _X! _ Die Summe zweier Nebenwinkel o r ist gleich zwei Rechten. Bildet eine Gerade mit einer anderen zwei gleiche Nebenwinkel, so stehen die beiden Geraden aufeinander senkrecht. Bildet eine Gerade mit einer anderen zwei ungleiche Nebenwinkel, so stehen die zwei Geraden schief aufeinander. 27 Fig. 16. d) Verlängert man beide Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus, sv entsteht sein Scheitelwinkel. Zwei Scheitelwinkel haben also den Scheitel gemeinschaftlich, und ihre Schenkel liegen in zwei sich schneidenden Geraden. In Fig. l6 sind n nnd 6, ebenso I) und 6 Scheitelwinkel. Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. Nq. i7, o) Werden zwei Gerade von einer dritten ge¬ schnitten, so entstehen an den beiden Durchschnitts- / punkten 8 Winkel. (Fig. 17.) «,/- Die Winkel a, l>, o, p sind äußere, die Winkel o, 6, in, n, siind innere Winkel. / Ein äußerer und innerer Winkel auf der- m/n selben Seite der schneidenden Geraden und an ver- schiedenen Scheiteln heißen Gegenwinkel; wie ü n und m, d und n, e nnd o, el und p. Zwei äußere oder zwei innere Winkel auf den entgegengesetzten Seiten der schneidenden Geraden und an verschiedenen Scheiteln heißen Wech se l w i n kc l; wie a und p, l) und o, 6 und n, ä und in. Bewegt sich die Gerade längs der UU so fort, daß sie stets zu ihrer ursprünglichen Lage parallel bleibt, so bildet sie, da sie dabei ihre Richtung gegen die nicht ändert, mit dieser in jeder Lage dieselben vier Winkel; es fallen daher, wenn F.U in die Lage 6U gelangt, je zwei Gegen¬ winkel aufeinander, sind also einander gleich; je zwei Wechselwinkel gehen in Scheitelwinkel über, sind also auch einander gleich. Werden zwei parallele Gerade von einer dritten Geraden ge¬ schnitten, so sind l. je zwei Gegenwinkel gleich, 2. je zwei Wechsel¬ winkel gleich. Umgekehrt: Zwei Gerade, die von einer dritten geschnitten werden, sind parallel, 1. wenn irgend zwei Gegenwinkel, 2. wenn irgend zwei Wechselwinkel gleich sind. Übungsstoff. 1. Bilde mit zwei Stäbchen n) Nebenwinkel, b) Scheitelwinkel. 2. Welcher Winkel ist seinem Nebenwinkel gleich? 3. Was für einen Nebenwinkel hat a) ein rechter, b) ein spitzer, e) ein stumpfer Winkel? 4. Suche an Gegenständen Gerade auf, welche mit einer anderen Geraden n) gleiche, I>) ungleiche Nebenwinkel bilden. 28 5. Was für ein Unterschied ist zwischen schräge nnd schief? 6. Die Schalen einer Wage sind ungleich belastet. Das Zünglein hat eine schräge Lage; steht es auch schief ans dem Wagenbalken? Die Schere steht schief auf dem Wagebalken; ist sie auch schräge? 7. Zeichne einen Winkel und zu demselben a) den Nebenwinkel, b) den Scheitelwinkel. 8. Eine Gerade (Fig. l8) und ein Punkt 0 in derselben sind gegeben; errichte in 0 eine Senkrechte ans.L.I1. Bestimme in den Geraden zu beiden Seiten von 0 in gleicher Entfernung zwei Punkte LI und U, dann außerhalb der Geraden einen Punkt v, welcher von L-l nnd U glcichweit entfernt ist, und ziehe Ov. 9. Zeichne eine Gerade, nimm darin -7 Punkte an und errichte in jedem derselben aus die Gerade eine Senkrechte. Welche Lage gegen einander haben diese Senkrechten? Ng. 19. von jedem derselben 10. Eine Gerade (Fig. 19) und ein Punkt 0 außerhalb derselben sind gegeben; falle von 0 eine Senkrechte auf Suche tu den Geraden ^.9 zwei Punkte LI nnd U, welche von 6 gleichweit abstehen, bestimme dann außerhalb der einen Punkt I), welcher von Ll und Ll gleichwcit entfernt ist, nnd ziehe die Ov. I I. Zeichne zwei parallele Gerade, nimm in der einen 5 Punkte an nnd fälle auf die andere Gerade eine Senkrechte. Wie ver¬ halten sich diese Senkrechten in Bezng ans ihre Länge? 12. Ziehe zwei parallele Gerade und eine dritte sie schief schneidende Gerade. Bezeichne die dadurch entstehenden acht Winkel mit Buchstaben und gib zu jedem Winkel a) die beiden Nebenwinkel, b) den Scheitelwinkel, e) den Gegenwinkel, ä) den Wechselwinkel an. 13. Welche Richtungen haben die Schenkel a) zweier gleicher Gegenwinkel, b) zweier gleicher Wechselwinkel? -P 1«. Geradlinige Figuren. Eine von geraden Linien begrenzte Ebene heißt eine geradlinige Figur. Die Strecken, welche die Figur begrenzen, heißen Seiten. Jede geradlinige Figur hat so viele Winkel und so viele Eckpunkte, als sie Seiten hat. 2ö Nach der Zahl der Seiten oder der Eckpunkte wird die Figur ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, . . . Vieleck genannt. Unter Vieleck versteht man gewöhnlich eine Figur, welche mehr als vier Seiten hat. Ein Vieleck, dessen alle Seiten gleich sind, heißt gleichseitig; ein Vieleck, dessen alle Winkel gleich sind, heißt gleichwinklig; ein Vieleck, das gleich¬ seitig und gleichwinklig ist, heißt regelmäßig. Eine Strecke, welche zwei Eckpunkte verbindet, die nicht an einer Seite liegen, heißt Diagonale. Zwei Figuren heißen gleich, wenn sie dieselbe Größe haben; ähnlich, wenn sie dieselbe Gestalt haben; congruent, wenn sie dieselbe Größe und dieselbe Gestalt haben. Congruente Figuren müssen über einander gelegt sich vollständig decken. Üb un gs st off. 1. Zeichne u) ein Dreieck, b) ein Viereck, ch ein Fünfeck, ä) ein Sechseck, und ziehe von einem Eckpunkte aus alle möglichen Diagonalen. 2. Ist in einem Dreiecke eine Diagonale möglich? 3. Wie viele Diagonalen können in einem a) Vierecke, l>) Fünfecke, e) Sechs¬ ecke, ä) Zehnecke von einem Eckpunkte aus gezogen werden? 4. Wie viele Diagonale sind in einer geradlinigen Figur überhauptmöglich? Im Vierecke sind „ Fünfecke „ „ Sechsecke „ „ Siebenecke,, „ Achtecke „ möglich. 8 2' - 4 3 — 5, 2 4- 3 4- 4 — !>, 24-34-44-5 — 14, 2 -st 3 4- 4 -s- 5 4- 6 oder 3 X ''/2 — 20 Diagonalen Die anschauliche Entwicklung wie im tz. 5, Absatz 2, Übungsst. 3, 5. Zeichne eine Strecke FU, bestimme genau über der Mitte eineu Punkt 0 so, dass er von F und von U um die Strecke FU entfernt ist und ziehe F0 und UO. Was für ein Dreieck erhältst du? t>. Zeichne einen rechten Winkel, in welchem der eine Schenkel wagrecht und der andere lothrecht ist, mache den lothrechten Schenkel länger als den wag¬ rechten, und ziehe durch die Endpunkte Gerade, welche zu den Schenkeln parallel sind. Was für ein Viereck erhältst du? 7. Zeichne drei solche Rechtecke so neben einander, dass je zwei Rechtecke eine gemeinschaftliche Seite haben, und dann über und unter einem dieser Rechtecke je ein gleichseitiges Dreieck. Dadurch erhältst du das Netz eines senkrechten dreiseitigen Prisma. 30 Ns- 20. 8. Zeichne über einer Strecke ein regelmäßiges Sechseck. / X Zeichne eine Strecke .ä.6 (Fig. 20), ver- -XP längere sie nach beiden Seiten um ihre eigene / X Länge, zeichne dann über der ganzen Strecke ein X- gleichseitiges Dreieck, theile jede Seite in drei /X . /X gleiche Theile und verbinde je zwei nächst- X / X liegende Theilungspunkte durch eine Gerade. Die --L-' dadurch erhaltene Figur PLOVKI' ist ein regel¬ mäßiges Sechseck. 9. Zeichne sechs evngruente Rechtecke so neben einander, dass je zwei Recht¬ ecke eine gemeinschaftliche Seite haben und dann über und unter einem dieser Rechtecke je ein regelmäßiges Sechseck. (Netz eines senkrechten regel¬ mäßigen Prisma.) III. Das Tetraeder. tz. 11. Betrachtung des Tetraeders. Tas Tetraeder wird so aufgestellt, dass eine Fläche wagrecht und eine Fläche den Schülern zugewendet ist. 1. Der Körper (Fig. 21) hat vier Flächen. Er heißt darum Vier¬ flächner oder Tetraeder. Die Flächen sind: die untere, vordere, Hintere rechte, Hintere linke. Alle Flüchen sind ebene Flächen. Fiq. 21. Die untere ist die Grundfläche, die übrigen sind Seitenflächen. Die Grundfläche ist wagrecht, die Seitenflächen /X sind schräge. Keine der Flächen ist zu einer anderen parallel. / i X Jede Fläche steht zu jeder anderen schief. / .--"^-..X Die Oberfläche des Tetraeders ist eine gebrochene - Das Tetraeder hat sechs Kanten: die vordere, die Hintere rechte und Hintere linke Grundkante, die rechte, linke und Hintere Seitenkante. Alle Kanten sind gerade Linien und gleich lang. Die Grundkanten sind wagrecht, die Seitenkanten schräge. Keine Kante ist zu einer anderen parallel. Jede Kante steht zu den Kanten, die sie trifft, schief. Der Umfang jeder Fläche ist eine gebrochene Linie. 31 3. Tas Tetraeder hat vier Eckpunkte. Diese sind: der obere, der untere rechte, der untere linke und der untere Hintere. Jede Fläche hat drei Eckpunkte: sie ist ein Dreieck, und zwar, weil alle Kanten gleich sind, ein gleichseitiges Dreieck. 4. Jede Fläche des Tetraeders hat drei Winkel. Am ganzen Tetraeder kommen daher 12 Winkel vor. Alle Winkel sind spitze Winkel und unter¬ einander gleich. Die Dreiecke am Tetraeder sind gleichseitig und gleichwinklig; sie sind regelmäßig. Legt man sie auf einander, so decken sie sich; sie sind con- gruent. Das Tetraeder ist also von vier congruenten und regelmäßigen Figuren begrenzt; es ist ein regelmäßiger Körper. Die Seitenflächen des Tetraeders treffen in einem gemeinschaftlichen Punkte, den man Spitze nennt, zusammen. Das Tetraeder heißt darum Spitzsäule oder Pyramide. Da die Pyramide drei Seitenflächen hat, heißt sie dreiseitig; da sie gleiche Scitenkanten hat, heißt sie senkrecht. 5. Denkt man sich die drei Seitenflächen um ihre unteren Kantcu gedreht, bis sie mit der Grundfläche in dieselbe Ebene zu liegen kommen, so erhält man das Netz des Tetraeders. (Fig. 22.) 22. Da drei Winkel des Tetraeders zusammen einen gestreckten Winkel bilden, so ist der Um¬ fang des Netzes dieses Körpers ein gleichseitiges Dreieck, dessen jede Seite doppelt so groß ist als eine Seite des Tetraeders. 6. Vergleichung des Tetraeders mit dem Würfel. In ähnlicher Weise wie die Vergleichung des dreiseitigen Prisma mit dem Würfel. 8. 12. Das Dreieck. a) Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Jede Seite hat zwei anliegende und einen gegenüberliegenden Winkel. Feder Winkel wird von zwei Seiten eingeschlossen, und die dritte liegt ihm gegenüber. Z2 In jedem Dreiecke ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte Seite. Um zu erfahren, wie groß die Summe der Winkel n, b, o eines beliebigen Dreieckes ^86 (Fig. 23) sei, wird mau sie alle um den gemein¬ schaftlichen Scheitel 8 neben einander darstellen. Zn diesem Ende zieht man 2Z. durch 8 eine Gerade 88 parallel zu ^.6, wodurch mau die neuen Winkel in und u erhalt; der Winkel in ist dann als Wechselwiukel gleich n, und - / X. der Winkel u als Wechselwinkel gleich e. Die / Summe der drei Dreieckswinkel n, b, a ist daher / X^ so groß als die Summe der Winkel in, b, u. Die n letzteren drei Winkel aber bilden zusammen einen gestreckten, ihre Summe ist also gleich zwei Rechten; folglich muss auch die Summe der Winkel u, b, 6 zwei Rechte betragen. In jedem Dreieck ist also die Summe der drei Winkel gleich zwei Rechten. In einem Dreiecke kann nur ein rechter und nur ein stumpfer Winkel vorkommen; zwei Winkel müssen spitz sein. d) Nach der Länge der Seiten unterscheidet man ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. (Fig. 24.) Fig. 24. Ein Dreieck heißt ungleichseitig, wenn in demselben keine Seite einer andern gleich ist, wie ^80; gleichschenklig, wenn zwei Seiten einander gleich sind, wie 888; und gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich sind, wie 68.1. Im gleichschenkligen Dreiecke nennt man die gleichen Seiten die Schenkel, die dritte Seite die Grundlinie und den ihr gegenüberliegenden Eckpunkt den Scheitel des Dreieckes. In den anderen Dreiecken kann man jede Seite als Grundlinie annehmen. Die Senkrechte vom Scheitel ans die Grundlinie heißt die Höhe des Dreieckes. Das gleichschenklige Dreieck 888 in Fig. 24 hat folgende Eigen¬ schaften: 1. Die Winkel an der Grundlinie sind einander gleich. 2. Die Höhe halbiert die Grundlinie und den Winkel am Scheitel. 33 Das gleichseitige Dreieck (6l8.I in Fig. 24) hat folgende Eigenschaften: 1. Alle drei Winkel sind einander gleich, also ist jeder Winkel von zwei Rechten. 2. Die drei Höhen sind einander gleich. 3. Jede Höhe halbiert die entsprechende Grundlinie und den Winkel am entsprechenden Scheitel. a) Nach der Größe der Winkel unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. (Fig. 25.) Fig. 25, a L n LI s a L Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn es drei spitze Winkel hat, wie LI16; rechtwinklig, wenn es einen rechten Winkel hat, wie liebst und stumpfwinklig, wenn es einen stumpfen Winkel hat, wie 6l8ll. Im rechtwinkligen Dreiecke nennt man die Seite, welche dem rechten Winkel gegcnüberliegt, Hypotenuse, die beiden anderen Seiten Katheten. Übungsstoff. t. Zeichne ein ungleichseitiges Dreieck ^.60 und gib n) zu jeder Seite den gegenüberliegenden und die anliegenden Winkel, b) zu jedem Winkel die gegenüberliegende und die ihn einschließenden Seiten an. 2. Zeichne eine Strecke bestimme genau über der Mitte einen beliebigen Punkt 6 und ziehe und 110. Was für ein Dreieck erhältst du? Nenne die Schenkel, die Grundlinie, den Scheitel, die Winkel an der Grundlinie und den Winkel am Scheitel. 3. Zeichne eine Strecke Hk und über derselben ein gleichseitiges Dreieck. (Z. 10, Aufg. 5.) 4. Zeichne über der Strecke 2 cm 5 mm ein gleichseitiges Dreieck. 5. Trage auf einer Geraden eine Strecke zweimal nebeneinander auf, beschreibe über der doppelten Strecke ein gleichseitiges Dreieck und verbinde die Mitten der drei Seiten durch Gerade. (Netz des Tetraeders.) 6. Zeichne u) einen spitzen, b) einen rechten, e) einen stumpfen Winkel, schneide von den Schenkeln gleiche Strecken ab und verbinde die Eck¬ punkte durch eine Gerade. Was für ein Dreieck erhältst du? Moöni!, Die g-ometr. Formenlelne. 4. Aufl. 3 34 7. Zeichne n) eine spitzwinkliges, d) ein rechtwinkliges, e) ein stumpfwink¬ liges Dreieck, ziehe in jedem die drei Höhen und gib dann alle Fälle in Beziehung auf die Lage der Höhe an. 8. In wie vielen Punkten schneiden sich die drei Höhen eines Dreieckes? 9. Ziehe von jedem Eckpunkte eines Dreieckes eine Gerade, welche den Winkel an jenem Eckpunkte halbiert — eine Winkelhalbierungs¬ linie. In wie vielen Punkten schneiden sich die drei Winkelhalbierungs- linieu? 10. Halbiere jede Seite eines Dreieckes und ziehe von jeder Mitte eine Gerade zu dem gegenüberliegenden Eckpunkte — eine Mittellinie. In wie vielen Punkten schneiden sich die drei Mittellinien? 11. Halbiere jede Seite und errichte darauf in der Mitte eine Senkrechte — ein Mittelloth. In wie vielen Punkten schneiden sich die drei Mittellothe? 8 13. Congrnente Dreiecke. Zwei Dreiecke sind congruent, d. i. sie haben gleiche Größe und gleiche Gestalt, wenn sie aufeinander gelegt sich vollständig decken. Damit dieses möglich sei, müssen in den Dreiecken alle sechs Bestandstücke, nämlich alle drei Seiten und alle drei Winkel, paarweise gleich sein. Na- 26. Ist z. B. in den Dreiecken.4.80 und 1)88 -(Fig. 26) die Seite /! 4.8 — 88, ^0 — 08, 80 — 88, l und der Winkel i ^0 _ — 888, so sind die beiden Dreiecke congruent. In congruenten Dreiecken liegen gleichen Seiten gleiche Winkel, und gleichen Winkeln gleiche Seiten gegenüber. Übungsstoff. 1. Wie sind die zwei Dreiecke beschaffen, in welche a) ein gleichseitiges, b) ein gleichschenkliges Dreieck durch die Höhe getheilt wird? 2. Zeichne ein beliebiges Dreieck 4.80 (Fig. 26), und dann ein zweites Dreieck, welches mit dem ersten congruent ist. Ziehe durch 4., 8, 0 parallele Gerade, schneide von denselben gleiche Stücke 48, 88, 08 ab und verbinde die Endpunkte durch Gerade; dann ist das Dreieck 888 congruent mit 4.80. Ist die Zeichnung richtig, so müssen die Seiten 88, 88, 88 folgeweise mit 4.8, 4.0, 80 parallel sein. 3/ Zeichne ein Dreieck, verlängere eine Seite desselben und trage auf der Verlängerung die Länge dieser Seite auf; durch die Endpunkte ziehe Parallele urit den beiden andern Seiten des Dreieckes. Wie verhält sich das dadurch entstehende Dreieck zu dem ersteren? 4. Zeichne zwei eongruente rechtwinklinge Dreiecke. LV. Die Wyramide und der Jyramidenstumpf. 8 14. Betrachtung einer senkrechten Pyramide, deren Grund¬ fläche ein Quadrat ist. (Eine Seitenkante ist doppelt so groß als eine Grundkante.) Tie senkrechte vierseitige Pyramide wird so aufgestellt, dass die Grund¬ fläche wagrccht und dass eine Seitenfläche sichtbar ist. 1. Der Körper Die zwei Grundflächen haben verschiedene Größe, die / : t obere ist kleiner als die untere; sie haben aber dieselbe / / ' ( Gestalt. Die beiden Grundflächen sind nicht congruent, sie sind ähnlich. Weil der Pyramidenstumpf drei Seitenflächen hat, heißt er dreiseitig. 2. Der dreiseitige Pyramidenstumpf hat 9 Kanten, welche in drei Gruppen zerfallen. Zur ersten Gruppe gehören die drei unteren Grundkanten, zur zweiten die drei oberen Grundkanten, zur dritten die drei Seitenkanten. Der Pyramidenftumpf hat also dreimal so viele Kanten als Seitenflächen. Alle Kanten sind gerade Linien. Die Grundkanten sind wagrecht, nnd immer eine untere und eine obere parallel; die Seitenkanten sind schräge und nicht parallel. Je zwei Kanten, die sich treffen, stehen zu einander schief. Die Kanten jeder Gruppe sind "einander gleich. Es sind also die drei unteren Kanten gleich, die drei oberen gleich, und die Seitenkanten gleich; dagegen ist eine obere Kante nur halb so groß als eine untere. Weil alle Sntenkanten gleich sind, heißt der Pyramidenstumpf senkrecht. 3. Der dreiseitige Pyramidenstumpf hat sechs Eckpunkte: den unteren rechten, den unteren linken, den unteren vorderen, den oberen rechten u. s. w. 38 Jede Grundfläche hat drei Eckpunkte; sie ist ein Dreieck, und zwar, weil alle drei Seiten gleich sind, ein gleichseitiges Dreieck. Jede Seitenfläche hat vier Eckpunkte; sie ist ein Viereck, und zwar, weil in demselben zwei Seiten parallel, die anderen zwei Seiten aber nicht parallel sind, ein Trapez. Weil die zwei nicht parallelen Seiten gleich sind, heißt das Trapez gleich¬ schenklig. Der senkrechte dreiseitige Phramidenstumpf hat 18 Winkel, welche in drei Gruppen zerfallen. Zur ersten Gruppe gehören die sechs Winkel der beiden Grundflächen; sie sind spitz und einander gleich. Zur zweiten Gruppe gehören die sechs unteren Winkel der Seitenflächen; sie sind auch spitz und unter sich gleich. Zur dritten Gruppe gehören die sechs oberen Winkel der Seitenflächen; sie sind stumpf und einander gleich. Ng. 30. Werden die Seitenflächen des drei¬ seitigen Pyramidenstumpfes nebeneinander in einer Ebene ausgebreitet und dann über und unter einer Seitenfläche auch die Grundflächen in dieselbe Ebene gebracht, so erhält man das Netz des senkrechten dreiseitigen Pyrainidenstnmpfes. (Fig. 30.) 6. Vergleichung des dreiseitigen Pyra- midenstnmpfes mit dem dreiseitigen Prisma. 8. 16. Ähnliche Dreiecke. Zwei Dreiecks, welche dieselbe Gestalt haben und sich nur durch die Große unterscheiden, heißen ähnlich. Die Grundflächen eines dreiseitigen Pyramidenstumpfes sind ähnliche Dreiecke. Um die Merkmale zweier ähnlicher Dreiecke anschaulich darzustellen, lasse man eine Gerade LU (Fig. 31) auf einem Schenkel LU des Winkels ULU parallel zu ihrer ersten Lage so fortschreiten, dass sie auf jenem Schenkel gleiche Stücke LU, U6, 6V, DU, UU abschneidet; dann werden auch die Ab¬ schnitte des zweiten Schenkels Ld, dU, Uck, 3X, LU untereinander gleich, und es entstehen die Dreiecke LUd, LOU, LV.I, LUL, LUU, welche zwar verschiedene Größe haben, in der Gestalt aber übereinstimmen, somit ähnlich sind. 39 Betrachtet man nun irgend zwei dieser Dreiecke, z. B. ä.08 und LUU, und vergleicht zunächst ihre Winkel, so findet man, dass die zwei Dreiecke paarweise gleiche Winkel haben; denn der Winkel am Scheitel L ist beiden Dreiecken gemeinschaftlich, die anderen zwei Winkel aber sind als Gegenwinkel paarweise gleich. Vergleicht man ferner die Seiten der beiden Dreiecke, so sieht man, das LO 2 solche Theile enthält, als deren auf LU 5 kommen; die Seiten L8 und LU haben also das Verhältnis 2 : 5. Ebenso enthält L8 2 solche Theile, von denen LU 5 enthält; es haben also auch die Seiten L8 und LU das Verhältnis 2:5. Dasselbe Verhältnis haben auch die Seiten 08 und ID; denn zieht man durch jeden Theilungspunkt der Seite LU eine Parallele mit LU, so wird dadurch 08 in 2, und ID in 5 Theile getheilt, welche alle untereinander gleich sind, so dass sich auch die Seiten 08 und ID so verhalten wie 2 : 5. In ähnlichen Dreiecken sind also alle drei Winkel paarweise gleich nnd je zwei gleichliegende Seiten haben dasselbe Verhältnis zueinander. Übungsstoff. 1. Was für ein Unterschied besteht zwischen zwei ähnlichen und zwei con- gruenten Dreiecken? 2. Zeichne ein beliebiges Dreieck, und dann über einer bestimmten Strecke ein zweites Dreieck, das dem ersten ähnlich ist. 8- 17. Das Viereck. Ein Viereck hat vier Seiten und vier Winkel. Zieht man im Vierecke eine Diagonale, so zerfällt dasselbe in zwei Drei¬ ecke, deren sechs Winkel zusammen die vier Winkel des Viereckes geben. Da nun die Winkelsumme in jedem Dreiecke zwei Rechte, also in beiden Dreiecken vier Rechte beträgt, so folgt: In jedem Vierecke ist die Summe der vier Winkel gleich vier Rechten. Nach der Lage der Seiten unterscheidet man die Vierecke in Trapezoide, Trapeze nnd Parallelogramme. (Fig. 32.) Fig. Z2. Ein Viereck heißt ein Trapezoid, wenn kein Paar von Seiten parallel ist, wie in I; ein Trapez, wenn ein Paar von Seiten parallel ist, wie in 8; ein Parallelogramm, wenn beide Paare von Seiten parallel find, wie in 81. 40 Ein Trapez, in welchem die nichtparallelen Seiten einander gleich sind, heißt gleichschenklig. In einem Parallelogramme kann man irgend eine Seite als Grundlinie annehmen; die Senkrechte, welche auf die Grundlinie von der gegenüberliegenden Seite gezogen wird, ist dann die Höhe. Unter der Höhe eines Trapezes versteht man die Senkrechte von der einen parallelen Seite ans die andere. Ein Parallelogramm kann man sich dadurch entstanden denken, dass sich eine gerade Linie in einer Ebene mit ihrer ursprünglichen Lage parallel in unveränderter Länge so fortbewegt, dass ihre Endpunkte gerade und mit¬ einander parallele Linien beschreiben. In einem Parallelogramme sind je zwei gegenüberliegende Seiten gleich, und ebenso je zwei gegenüberliegende Winkel gleich. Sind in einem Parallelogramme zwei znsammentreffeude Seiten einander gleich, so sind alle Seiten gleich und das Parallelogramm heißt gleichseitig. Jedes andere Parallelogramm heißt ungleichseitig. Ist in einem Parallelogramme ein Winkel ein rechter, so sind alle Winkel rechte und das Parallelogramm heißt rechtwinklig. Jedes andere Parallelogramm heißt schiefwinklig. Ein schiefwinkliges Parallelogramm hat zwei gleiche spitze und zwei gleiche stumpfe Winkel. Mit Rücksicht auf die Größe der Seiten und der Winkel ergeben sich daher vier Arten von Parallelogrammen. (Fig. 33.) Fig. 33. Das ungleichseitige schiefwinklige Parallelogramm (I) heißt Rhomboid, das gleichseitige schiefwinklige (II) Rhombus, das ungleichseitige rechtwinklige (III) Rechteck, und das gleichseitige rechtwinklige (IV) Quadrat. Entstehung dieser vier Arten von Parallelogrammen aus der parallelen Bewegung einer geraden Linie. Übnngsstvff. 1. Vergleiche die verschiedenen Arten der Vierecke miteinander. 2. Nenne Gegenstände, an denen Vierecke Vorkommen. 3. Zeichne zwei Parallele VL nnd Ov von ungleicher Länge und ziehe VO und LI). Was für ein Viereck erhältst du? 4. Zeichne zwei Parallele, dann ebenso zwei andere Parallele, welche die früheren schneiden. Was für ein Viereck erhältst du? 41 5. Zeichne einen spitzen oder stumpfen Winkel u) mit ungleichen, d) mit gleichen Schenkeln und ziehe durch die Endpunkte Gerade, welche zu deu Schenkeln parallel sind. Was für ein Viereck entsteht dadurch? 6. Zeichne eine rechten Winkel u) mit ungleichen, b) mit gleichen Schenkeln und ziehe in den Endpunkten auf die Schenkel Senkrechte, welche sich schneiden. Was für ein Viereck entsteht dadurch? 7. Ziehe in einem Parallelogramme eine Diagonale. In was für zwei Dreiecke theilt diese das Parallelogramm? 8. Ziehe in einem Parallelogramme zwei Diagonalen. Wie verhalten sich die Theile jeder Diagonale in Bezug auf ihre Länge? 9. Ziehe in einem u) Rhombvide, b) Rhombus, o) Rechtecke, ä) Quadrate zwei Diagonalem Wie verhalten sich dieselben na) in Bezug auf ihre Länge, n) in Bezug auf ihre gegenseitige Lage? l O. Zeichne vier gleichschenklige Dreiecke so, dass alle denselben Scheitel und je zwei einen gemeinschaftlichen Schenkel haben, und dann unter der Grundlinie eines dieser Dreiecke ein Quadrat. Dadurch erhältst du das Netz einer senkrechten vierseitigen Pyramide. II. Zeichne drei gleichschenklige Dreiecke so, dass alle denselben Scheitel und je zwei einen gemeinschaftlichen Schenkel haben, schneide vom Scheitel aus auf allen Schenkeln gleiche Stücke ab und verbinde je zwei dieser Endpunkte durch eine Gerade; dadurch erhältst du drei gleichschenklige Trapeze. Zeichne dann noch an den gegenüberliegenden parallelen Seiten eines dieser Trapeze zwei gleichseitige Dreiecke. (Netz des senkrechten drei¬ seitigen Phramidenstumpfes.) 8. 18. Das Vieleck. Ein Vieleck hat gleich viele Seiten und Winkel. Die Winkel in einem Vielecke können spitz, recht, stumpf und auch erhaben sein. Fig. 34. Zieht man (Fig. 34) von einem Punkte 0 L innerhalb eines Vieleckes zn allen Eckpunkten Gerade, erhält mau so. viele Dreiecke, als das Vieleck Seiten / hat. Die Winkelsumme jedes Dreieckes beträgt zwei Xz / / Rechte, daher die Winkelsumme aller Dreiecke so vielmal « / zwei Rechte, als das Vieleck Seiten hat. Die Winkel aller Dreiecke zusammen geben aber nicht nur alle Vieleckswinkel, sondern auch noch die Winkel um den Punkt 0 herum, die nicht Vieleckswinkcl sind und die zusammen vier Rechte betragen. In jedem Vielecke ist also die Summe aller Winkel gleich so vielmal zwei Rechten, als das Vieleck Seiten hat, weniger vier Rechte. 42 Ein Vieleck, in welchem alle Seiten und alle Winkel gleich sind, heißt regelmäßig. Fig. 35. Wenn man in einem regelmäßigen Vielecke (Fig. 35) zwei unmittelbar aufeinander /X /X folgende Winkel halbiert, so hat der Durchschnittspnnkt /i- / X/ X c 0 der Halbierungslinien die Eigenschaft, dass er von X /X, / allen Eckpunkten, wie auch von allen Seiten gleich X / x/ weit entfernt ist. Ter Punkt 0 heißt darum der >t L Mittelpunkt des regelmäßigen Vieleckes. Zieht man vom Mittelpunkte eines regelmäßigen Vieleckes zu allen Eck¬ punkten Gerade, so zerfällt das Vieleck in so viele gleichschenklige und eongruente Dreiecke, als es Seiten hat. Übungsstosf. 1. Wie viel Rechte betragen die Winkel eines a) Fünfeckes, b) Sechseckes, e) Siebeneckes, ä) Achteckes, s) Zehneckes? 2. Ein regelmäßiges Achteck ist gegeben; bestimme den Mittelpunkt desselben. Der Kl-kinder. tz. 1i- Betrachtung des senkrechten ILYlindcrs. Die Grundfläche des betrachteten Cylinders erhält eine wagrechte Lage. 1. Fig. 36. Der Körper (Fig. 36) wird von drei Flächen begrenzt. "x In jeder der beiden Grundflächen kann man nach allen ""-Richtungen gerade Linien ziehen; die Grundflächen sind ebene Flächen. Iw der Seitenfläche kann man nur nach einer Richtung, von oben nach unten oder umgekehrt, gerade Linien ziehen; die Seitenfläche ist eine krumme Fläche: sie ist einseitig gekrümmt -und heißt auch Mantelfläche. Weil der Körper eine krumme Seitenfläche hat, heißt er ein runder Körper. Versinnlichung durch das Anlegen eines Lineals. In jeder der beiden Grundflächen gibt es einen Punkt, welcher von allen Punkten des Umfanges gleich weit entfernt ist. Eine solche Fläche heißt Kreisfläche. Die Grundflächen sind wagrecht, also parallel. Legt man sie aufeinander, so findet man, dass sie sich decken; sie sind congruent. Die Seitenfläche ist lothrecht und steht senkrecht auf den Grundflächen. Weil der Körper zwei eongruente Grundflächen hat, ist er eine Säule; weil er rund ist, heißt er Rundsäule oder Cy lind er. 43 Die beiden Kreisflächen und die Mantelfläche zusammen bilden die Oberfläche des Cylinders. 2 Der Cylinder hat nur zwei Kanten; diese sind in keinem Theile gerade, sie sind krumme Linien. Jede dieser krummen Linien ist die Grenze einer Kreisfläche; sie heisst darum Kreislinie. Die beiden Kreislinien sind parallel und gleich lang. Stellt man den Cylinder mit der Mantelfläche ans eine ebene Flüche (die Tischsläche), so berührt er diese in einer geraden Linie. Eine solche Gerade nennt man eine Seite des Cylinders. An dem betrachteten Cylinder steht jede Seite senkrecht auf deu Grund¬ flächen. Der Cylinder heißt deshalb ein senkrechter Cylinder. 3. Eckpunkte und Winkel kommen am Cylinder nicht vor. 4. Wird die Mantelfläche des senkrechten Cylinders durch eine Ebene ge¬ schnitten, welche zu der Grundfläche parallel ist, so ist der Schnitt eine Kreislinie. Wird dagegen die Mantelfläche des senkrechten Cylinders durch eine Ebene geschnitten, welche zu der Grundfläche nicht parallel ist, so ist der Schnitt keine Kreislinie, sondern eine länglich krnmme Linie, welche Ellipse heißt. Versinnlichung entweder an einem zerlegbaren Cylinder, dessen Theile durch hölzerne Stifte zusammengefügt sind, oder mittels eines zur Hälfte mit Wasser gefüllten eylindrischen Glafes. Steht das Glas senkrecht auf einer horizontalen Fläche, so erscheint der Schnitt der horizontalen Wasserfläche mit der Mantel¬ fläche des Glases als Kreislinie; wird aber das Glas geneigt, so erscheint der Schnitt als Ellipse. 5. Denkt man sich den Mantel des senk¬ rechten Cylinders nach der Richtung einer Seite aufgeschnitten und auf eine Ebene aus¬ gebreitet, so erscheint derselbe als ein Rechteck; wird dann noch die untere Grundfläche nach unten und die obere Grundfläche nach oben gedreht, bis sie mit dem Rechtecke in derselben Ebene liegen, so hat man das Netz des Cylinders. (Fig. 37.) Versinnlichung durch ein aus Pappe gefertigtes Netz, mit dem man den Cylinder umschließt. 44 6. Vergleichung des Cylinders mit den Prismen. 1. Jedes Prisma hat zwei ebene, parallele und congruente Grundflächen; der Cylinder auch. Die Grundflächen der betrachteten Prismen sind gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke; die Grund¬ flächen des Cylinders sind Kreisflächen. Ein Prisma hat so viele Seiten¬ flächen, als eine Grundfläche Seiten hat; der Cylinder hat eine einzige Seitenfläche. Die Seitenflächen des Prisma sind ebene Flüchen; die Seitenfläche des Cylinders ist krumm. Die Seitenflächen des senkrechten Prisma sind Rechtecke; die Seitenfläche des senkrechten Cylinders bildet, auf eine Ebene ausgebreitet, auch ein Rechteck. Die Seitenflächen des senkrechten Prisma stehen auf deu Grundflächen senkrecht; am senkrechten Cylinder steht auch die Mantelfläche auf den Grundflächen senkrecht. Denkt man sich an einem Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Vielecke sind, in den letzteren die Zahl der Seiten ohne Ende vermehrt, so nähert sich jedes dieser Vielecke immer mehr einer Kreisfläche, und das Prisma selbst einem Cylinder. Man sagt darum auch: der Cylinder ist ein Prisma, dessen Grundflächen Kreisflächen sind. < 2. Ein Prisma hat dreimal so viele Kanten als Seitenflächen; der Cylinder hat nur zwei Kanten. Die Kanten des Prisma sind gerade Linien, die des Cylinders Kreislinien. Am Prisma sind je zwei Kanten der unteren und der oberen Grundfläche parallel nnd gleich; am Cylinder sind auch beide Kanten parallel und gleich. 3. Das Prisma hat Eckpunkte und Winkel; am Cylinder kommen weder Eckpunkte noch Winkel vor. Das Prisma ist ein eckiger, der Cylinder ein runder Körper. 8« 2V. Krumme Linien und von ihnen begrenzte Figuren. Eine Linie, deren kein Theil gerade ist, heißt krumm. Eine krumme Linie entsteht, wenn sich ein Punkt so bewegt, dass er die Richtung der Bewegung fortwährend ändert. Ein Stein, welcher seitwärts geworfen wird, beschreibt eine krumme Linie. Eine ebene Fläche, welche von einer krummen Linie begrenzt wird, heißt eine krummlinige Figur. Eine Ebene, deren Grenzen ans geraden und krummen Linien bestehen, heißt eine gemischtlinige Figur. 1. Der Kreis. Dreht sich in einer Ebene eine Strecke 0.^ (Fig. 38) nm den einen Endpunkt 0 nach derselben Richtung so lange, bis sie wieder in ihre Ursprung- 45 liche Lage kommt, so beschreibt der andere Endpunkt X eine krumme Linie, welche Kreislinie heißt, und die Strecke OX selbst eine krummlinige Figur, welche Kreisfläche heißt. Die Kreislinie sowohl als auch die Kreisfläche nennt man anch bloß Kreis. Aus der Entstehung der Kreislinie geht hervor, dass alle ihre Punkte von dem innerhalb liegenden /stX X Punkte 0 gleich weit euifernt sind. Dieser Punkt heißt '// X X darum der Mittelpunkt oder das Ceutrum des -U Kreises. st / Die ganze Kreislinie wird auch der Umfang X X oder die Peripherie des Kreises genannt. Jeder -Theil des Umfanges, wie XNli, heißt ein Kreis¬ bogen, auch bloß Bogen. Eine Gerade, welche vom Mittelpunkte zu irgend einem Punkte des Um¬ sanges gezogen wird, heißt ein Halbmesser des Kreises, wie OX, 06, 00. Da alle Punkte des Umfanges vom Mittelpunkte gleich weit abstehen, so sind alle Halbmesser eines Kreises einander gleich. Eine Gerade XU, welche die Endpunkte eines Kreisbogens verbindet, heißt Sehne. Geht die Sehne durch den Mittelpunkt, wie XO, so heißt sie Durchmesser. Jeder Durchmesser eines Kreises ist doppelt so groß, als der Halbmesser; daher sind auch alle Durchmesser eines Kreises ein¬ ander gleich. Ein Theil der Kreisfläche, welcher von zwei Halbmefseru und dem dazwischen liegenden Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisausschnitt, wie XolkAX. Der Kreisausschnitt ist eine gemischtlinige Figur. Ein Theil der Kreisfläche, welcher von einer Sehne und dem zugehörigen Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisabschnitt, wie XUNX. Der Kreis¬ abschnitt ist auch eine gemischtlinige Figur. Um einen Kreisbogen zu messen, nimmt man einen Bvgcngrad, d. i. den 36Vsten Theil des Kreisumfanges, als Einheit des Bogenmaßes an und untersucht, wie oft diese Einheit in dem zu messenden Bogen enthalten ist. Um auch kleinere Bogen messen zu können, wird ein Bogengrad in 60 Bogen¬ minuten st), und eine Bogeuminute in 60 Bogensecnnden (") eingetheilt. Übungsstoff. 1. Nenne Gegenstände, au denen Kreise Vorkommen. 2. Ziehe von einem Punkte aus sehr viele Gerade, schneide an ihnen gleiche Strecken ab und verbinde die Endpunkte durch eine stetige Linie. Was für eine Linie erhältst du? 46 3. Zeichne s,) aus einem gegebenen Mittelpunkte einen Kreis von beliebiger Größe, d) mit dem Halbmesser 2 em einen Kreis in beliebiger Lage, e) aus einem gegebenen Mittelpunkte einen Kreis mit dem Halbmesser 2am 6mm. Wodurch ist die Lage und die Größe eines Kreises vollkommen bestimmt? 4. Ein Kreis und die Lange seines Halbmessers sind gegeben; wie findet man den Mittelpunkt? 5. Zeichne über der Strecke 3 am 4 mm als Durchmesser einen Halbkreis. 6. Ziehe in einem Kreise zwei Halbmesser; was für Theile der Kreis¬ fläche entstehen dadurch? 7. Ziehe in einem Kreise einen Durchmesser und auf jeder Seite zwei zu ihm parallele Sehnen. 8. Zeichne einen Kreis mit dem Halbmesser lam 7 mm und trage in dem¬ selben eine Sehne von 2 em ein. 9. Ziehe in einem Kreise zwei ans einander senkrechte Durchmesser; in wie viele gleiche Theile zerfällt dadurch der Kreis? 10. Wie viele Bogengrade kommen ans den Halbkreis, wie viel auf den 3ten, 4ten, 5ten, 6ten, lOten Theil des Kreises? 11. Zeichne ein Rechteck und an zwei gegenüberliegenden Seiten je einen Kreis mit einem Halbmesser, welcher nahe den 6ten Theil einer dieser Seiten beträgt. (Netz eines senkrechten Cylinders.) 2. Die Ellipse. Befestiget man in den Punkten und L (Fig. 39) die Enden einer Schnur, spannt sodann die Schnur mittels eines Stiftes LI und fährt mit diesem um die beiden Punkte so herum, dass die Schnur immer gespannt bleibt, so beschreibt der Stift eine krumme Linie, welche Ellipse heißt. Ng- 39. Die Punkte nnd ö nennt man die Brenn¬ punkte der Ellipse. Die Entfernungen eines Punktes A von den beiden Brennpunkten, d. i. die Geraden .4N und LN, heißen die Leitstrahlen dieses Punktes. Die Strecke 6V, welche durch die Brenn¬ punkte geht, heißt die große Achse; die Endpunkte 0 und I) derselben heißen die Scheitel, und der Halbierungspnnkt 0 der Mittelpunkt der Ellipse. Die Strecke M, welche im Mittelpunkte auf der großen Achse senkrecht steht, heißt die kleine Achse. Aus der Entstehung der Ellipse geht hervor, daß sich die Längen der beiden Leitstrahlen LN und IM von Punkt zu Punkt verändern, dass aber 47 ihre Summe stets dieselbe bleibt. Diese Summe stellt die große Achse dar. Ju der Ellipse ist also die Summe der Leitstrahlen eines jeden Punktes der großen Achse gleich. Auch folgt daraus: die Entfernung eines Endpunktes der kleinen Achse von einem Brennpunkte ist der halben großen Achse gleich. Eine Strecke, welche zwei Punkte der Ellipse verbindet, heißt eine Sehne derselben. Geht die Sehne durch deu Mittelpunkt, so heißt sie Durch¬ messer. Die beiden Achsen sind Durchmesser der Ellipse. Alle Durchmesser werden durch den Mittelpunkt halbiert. Je kleiner die Entfernung der Brennpunkte vom Mittelpunkte, oder je kleiner der Unterschied zwischen der großen und der kleinen Achse ist, desto mehr nähert sich die Ellipse einem Kreise. Übungsstoff. 1. Nenne Gegenstände, an denen die Form der Ellipse vorkommt. Manche Gartenbeete, die Böden von Badewannen, manche Gewölbe. Ein schräge vor die Augen gehaltener Kreis erscheint als Ellipse. Die Bahnen, in denen sich unsere Erde und die übrigen Planeten um die Sonne bewegen, sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkte sich die Sonne befindet. 2. In ein gegebenes Rechteck soll eine Ellipse eingezeichnet werden. Wie findet man die große Achse, die kleine Achse und die beiden Brennpunkte? 3. Vergleiche die Ellipse mit dem Kreise. ß. 21. Winkelmessuna. Die Schüler haben bisher die Winkel nur mit dem rechten Winkel ver¬ glichen, nachdem sie aber durch die Betrachtung des Cylinders die Kreislinie kennen gelernt haben, können sie nun auch mit der genaueren Messung der Winkel bekannt gemacht werden. I. Theilt mau den Umfang eines Kreises in 360 gleiche Theile, so dass jeder Theil ein Bogengrad ist, und zieht von dem Mittelpunkte zu jedem Theilungspunktc einen Halbmesser, so entsteh?.» um den Mittelpunkt herum 360 Winkel, welche zusammen einen vollen Winkel betragen. Diese Winkel sind unter einander gleich, da bei je zweien, wenn man sie gehörig auf einander legt, die Schenkel znsammensallen. Jeder solche Winkel, der zu einem Bogengrade gehört, wird auch ein Grad, und zwar ein Winkelgrad genannt. Ein Winkelgrad, d. i. der 360ste Theil eines vollen Winkels, bildet nun die Einheit des Winkelmaßes; er wird in 60 Winkel¬ minuten, und jede Winkelminute in 60 Winkelsecuuden eiugetheilt. Um 48 einen Winkel zu messen, sollte man eigentlich untersuchen, wie oft ein Winkel grad in dem zn messenden Winkel enthalten ist. In der That aber geschieht diese Untersuchung nicht unmittelbar, sondern es werden die Winkel mittelbar durch die zugehörigen Kreisbogen gemessen, indem man dabei schließt: Jeder Winkel hat eben so viele Winkelgrade, Winkelminuten und Winkelsecnnden, als der aus seinem Scheitel beschriebene Kreis¬ bogen Bogengrade, Bogeuminuten und Bogensecundcn enthält. Die Grade, Minuten und Secunden der Winkel werden so wie die der Bogen durch °, ', " bezeichnet. Hieraus folgt: a) Ein voller Winkel hat 360", ein gestreckter Winkel 180°, ein hohler weniger als 180°, ein erhabener mehr als 180", ferner ein rechter Winkel 90°, ein spitzer weniger als 90°, ein stumpfer mehr als 90° aber weniger als 180°. b) Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°. e) Die Winkelsumme eines Dreieckes beträgt 180°. Übungsstvff. 1. Wie viel Grade hat der Winkel, den der Stundenzeiger einer Uhr in 1, 3, 5, 8, 10 Stunden beschreibt? 2. Wie groß ist der Winkel, den der Minutenzeiger in I, 4, 15, 34, 48 Zeitminuten beschreibt? 3. Wie groß ist der Winkel, welchen die beiden Zeiger einer Uhr um 1, 2, 4,'7, 9, 11 Uhr bilden? 4. Wie groß ist der Nebenwinkel von 54", 71", 27°, 45', 18° 20' 58"? 5. Zwei Winkel eines Dreieckes betragen a) 49° und 62°, b) 102° und 29°, o) 17° 28' und 65° 41', 6) 72° 35' 50" und 53° 18' 44"; wie groß ist der dritte Winkel? 6. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist ein spitzer Winkel a) 59°, b) 38° 38', o) 15° 27' 5l"; wie groß ist der andere spitze Winkel? 7. Wie groß ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? 8. Wie groß ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn ein Winkel an der Grundlinie 37° 12' ist? 9. Wie groß ist ein Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Drei¬ eckes, wenn der Winkel am Scheitel 59" 19' 42" beträgt? 10. Wie groß ist jeder spitze Winkel in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecke? 11. In einem Parallelogramme beträgt ein Winkel a) 37°, b) 95° 15' o) 66° 19' 8"; wie groß sind die übrigen drei Winkel? 12. Wie viel Grade beträgt die Summe aller Winkel in einem a) Fünfecke, b) Sechsecke, o) Achtecke, 4) Neunecke, s) Zehnecke? 49 13. Wie groß ist jeder Winkel eines regelmäßigen a) Fünfeckes, b) Sechs¬ eckes, e) Achteckes, ä) Zehneckes? 14. Gegeben ist ein regelmäßiges Fünfeck; suche den Mittelpunkt, verbinde ihn mit allen Eckpunkten und bestimme die drei Winkel in einem der dadurch entstehenden congruenten Dreiecke. Zum Messen und Aufträgen der Winkel bedient man sich des Winkel¬ messers oder Transporteurs (Fig. 40). Dieser ist ein in 180 Grade ein- getheilter Halbkreis aus Holz, Messing oder Pappe, bei welchem dre Kante ^.8 den Durchmesser und der Punkt 0 am Zahl Grade gibt die Größe des Winkels Einschnitte den Mittelpunkt vorstellt. Will man einen Winkel messen, so legt man den Mittelpunkt des Transporteurs so auf den Scheitel des Winkels, dass der Halbmesser über den einen Schenkel zu liegen kommt; dann zählt man von diesem Halbmesser aus die Grade bis zu dem Theilstriche, durch welchen der zweite Schenkel geht; die dort stehende an. Zur Messung von Winkeln an der Wandtafel dient ein Transporteur aus Holz oder Pappe von etwa 3 Decimeter Durchmesser. Die Schüler sind mit kleineren Transporteuren aus Messing oder steifem Papier versehen; die letzteren können sie sich unter Beihilfe des Lehrers selbst anfertigen. Übuugsstoff. 1. An der Wandtafel stehen mehrere Winkel. Schätze sie mit freiem Ange nach Graden ab und prüfe dann die Richtigkeit der Angaben durch Messung mit dem Transporteur. 2. Wie misst man mit dem Transporteur einen erhabenen Winkel? 3. Zeichne auf deine Schreibtafel verschiedene spitze, stumpfe und erhabene Winkel, gib ihre Größe durch Abschätzung an und miss sie sodann mit dem Transporteur. 4. Ziehe von einen: Punkte einer Geraden auf einer Seite derselben mehrere Gerade, miss die dadurch entstehenden neben einander liegenden Winkel und addiere sie. Wie groß ist die Summe? Wie groß muss die richtige Summe sein? 5. Ziehe von einem Punkte aus mehrere Gerade, miss alle rings um den Punkt gelegenen Winkel und bestimme ihre Summe. M o L n Lk, Die geomelr. Formenlehre. 4. Aufl. 4 50 6. Zeichne zwei parallele und eine dritte sie schneidende Gerade und miss die dadurch entstehenden acht Winkel. 7. Zeichne an der Wandtafel nach dem Augenmaße mit sreier Hand einen Winkel von 90°, 45°, 30", 60«, 10«. 8. Wie trägt man mit dem Transportenr einen erhabenen Winkel auf? 9. Zeichne auf die Schreibtafel n) nach dem Augenmaße, d) mit dem Transporteur eineu Winkel von 19°, 37°, 88°, 92°, 137«, 206°, 300°. 10. Ein Winkel ist gezeichnet; miss denselben lind zeichne einen zweiten Winkel von gleicher Größe. 11. Zeichne ein Trapezoid, miss die vier Winkel und trage sie alle um den¬ selben Scheitel herum auf. 12. Zeichne über einer gegebenen Strecke ein regelmäßiges Fünfeck. Der Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes ist ° — 108°. Trage daher in den Endpunkten der Strecke zwei Winkel von 108° auf, schneide von den neuen Schenkeln Stücke ab, welche der gegebenen Strecke gleich sind, und trage in den Endpunkten wieder zwei Winkel von 108° auf. Wie geschieht die Prüfung der Richtigkeit? VI. Der Kegel und der KegeMumps. is. 22. Betrachtung des senkrechten Hegels. 1. Der Kegel (Fig. 41) hat zwei Flächen; eine Grundfläche und eine Seitenfläche. Die Grundfläche ist eine ebene Fläche, und zwar ein F>g- il- Kreis. Die Seitenfläche ist eine krumme Fläche; sie heißt /V auch der Mantel des Kegels. Die Mantelfläche läuft in einen / V Punkt aus, welcher die Spitze des Kegels heißt. Durch jeden / Punkt der Mantelfläche lässt sich nur in einer Richtung, /.. V nämlich in derjenigen, welche durch die Spitze geht, eine gerade Linie ziehen; der Mantel des Kegels ist daher einseitig gekrümmt. Weil der Kegel eine krumme Seitenfläche hat, heißt er ein runder Körper. Die Kreisfläche und die Mantelfläche zusammen bilden die Oberfläche des Kegels. Der Kegel hat nur eine Kante; sie ist eine Kreislinie. Stellt inan den Kegel niit der Mantelfläche auf die ebene Tisch¬ fläche, so berührt er diese in einer geraden Linie, welche man eine Seite des Kegels nennt. 51 An dem betrachteten Kegel sind alle Seiten gleich lang; er heißt deshalb ein senkrechter Kegel. 3. Der Kegel hat nur einen Eckpunkt: die Spitze. Winkel kommen am Kegel nicht vor. 4. Wird die Mantelfläche eines senkrechten Kegels durch eine Ebene ge¬ schnitten, welche zu der Grundfläche parallel ist, so ist der Schnitt eine Kreislinie. Wird die Mantelfläche eines senkrechten Kegels durch eine Ebene ge¬ schnitten, welche zu der Grundfläche schief ist, welche jedoch alle Seiten des Mantels trifft, so ist der Schnitt eine Ellipse. Wird die Mantelfläche eines senkrechten Kegels durch eine Ebene ge¬ schnitten, welche zu einer Seite desselben parallel ist, so ist der Schnitt eine krumme Linie, welche Parabel heißt. Wird endlich die Mantelfläche eines senke-echten Kegels durch eine Ebene geschnitten, welche zu zwei Seiten des Kegels parallel ist, so ist der Schnitt eine krumme Linie, welche Hyperbel heißt. Der Kreis, die Ellipse, Parabel und Hyperbel heißen deshalb auch Kegelschnittslinien. Die Parabel und die Hyperbel sind für das gewöhn¬ liche Leben von geringer Bedeutung. Die Versinnlichung geschieht mittels eines zerlegbaren Kegels. Auch kann dazu ein kegelförmig zugespitztes Trinkglas, das etwa bis zur Mitte mit Wasser- gefüllt wird, benützt werden. Steht das Glas senkrecht auf einer horizontalen Fläche, so schneidet die horizontale Wasserfläche den Mantel des Kegels in einem Kreise. Wird das Glas oben geschlossen, damit das Wasser nicht heransflicßen kann, und dann so weit geneigt, bis die Wasserfläche zu einer Seite des Kegels parallel wird, so ist der Schnitt eine Parabel; neigt man das Glas weniger, so ist der Schnitt eine Ellipse; neigt man es mehr, so ist der Schnitt eine Hyperbel. Fig- 42. 5, Denkt man sich den Mantel des senk- rechten Kegels nach der Richtung einer Seite X / ausgeschnitten und ans eine Ebene ausgebreitet, // so erscheint er als ein Kreisausschnitt; wird dann noch die Grundfläche nach unten gedreht, bis sie mit dem Kreisausschnitte in derselben s > Ebene liegt, so hat man das Netz des senk- rechten Kegels. (Fig. 42.) Versinnlichung durch Umschließen des Kegels mit einem aus Pappe gefertigten Netze. 4* 52 6. Vergleichung des Kegels mit den Pyramiden. In ähnlicher Weise wie die Vergleichung des Cylinders mit den Prismen. Dabei ist insbesondere der Sinn der Ausdruckweise: Der Kegel ist eine Py¬ ramide, deren Grundfläche ein Kreis ist, klar zu legen. tz. 23. Betrachtung des senkrechten Äegelstumpses. Schneidet man einen Kegel durch eine Ebene, welche zu der Grund¬ fläche parallel ist, so wird derselbe in zwei Körper getheilt; der Körper zwischen der Schnittfläche und der Spitze ist wieder ein Kegel; der Körper aber zwischen der Grundfläche und der Schnittfläche heißt ein abgekürzter Kegel oder ein Kegelstumpf. 1. Der Kegelstumpf (Fig. 43) hat drei Flächen: die untere und die obere Grundfläche und die Seitenfläche. Fig. 48. Die beiden Grundflächen sind ebene Flächen, und zwar Kreisflächen. Die Seitenfläche ist krumm, und zwar einseitig gekrümmt; sie heißt auch die Mantelfläche des Kegel- / i stumpfes. - f Weil die Seitenfläche eines Kegelstumpfes krumm ist, st- st heißt dieser ein runder Körper. -' Die beiden Grundflächen sind parallel. Die obere Grund¬ fläche ist kleiner als die untere. Zwei Kreise haben immer dieselbe Gestalt; sind sie daher nicht congruent, d. i. haben sie nicht auch dieselbe Größe, so sind sie ähnlich. Die Grundflächen des Kegelstumpfes sind also ähnliche Kreise. Die beiden Grundflächen und der Mantel zusammen bilden die Ober¬ fläche des Kegelstumpfes. 2. Der Kegelstumpf hat zwei Kauten; sie sind Kreislinien und ein¬ ander parallel. Stellt man den Kegelstumpf mit der Mantelfläche auf eine Ebene, so berührt er diese in einer geraden Linie, welche man eine Seite des Kegel¬ stumpfes nennt. An dem betrachteten Kegelstumpfe sind alle Seiten gleich lang; er heißt deshalb ein senkrechter Kegelstumpf. 3. Eckpunkte und Winkel kommen am Kegelstumpf nicht vor. 53 Fig. 44. Denkt man sich der: Mantel des senkrechten Kegelstumpfes nach der Richtung einer Seite ausgeschnitten und auf eine Ebene ausgebreitet, so erscheint er als eine gemischtliuige Figur, welche von zwei parallelen Kreisbogen und zwei Geraden begrenzt wird; wird dann noch die untere Grundfläche nach unten und die obere Grundfläche nach oben gedreht, bis sie mit der früheren Figur in derselben Ebene liegen, so hat man das Netz des Kegelstumpfes. (Fig. 44.) 8 24. Beziehungen des Kreises zu den einzelnen Gebilden irr der Ebene. l. Der Kreis und der Punkt. Ein Punkt liegt innerhalb des Kreises, oder in dem Umfange des¬ selben, oder außerhalb des Kreises, je nachdem die Entfernung des Punktes vom Mittelpunkte des Kreises kleiner, eben so groß, oder großer ist als der Halbmesser. 2. Der Kreis und die Gerade. Eine Gerade hat mit der Kreislinie zwei Punkte, oder nur einen Punkt, oder gar keinen Punkt gemeinschaftlich, je nachdem ihre Entfernung vvm Mittelpunkte des Kreises kleiner, eben so groß, oder größer ist als der Halbmesser. Eine Gerade, welche mit der Kreislinie zwei Punkte gemeinschaftlich hat, heißt Sehne, wenn sie ganz innerhalb des Kreises liegt, und Secante, wenn sie aus dem Kreise heraustritt. L.L (Fig. 45) ist eine,.Sehne, 6V eine Secante. Eine Gerade UU, welche mit der Kreis¬ linie nur einen Punkt gemeinschaftlich har, während alle anderen Punkte derselben außerhalb des Kreises liegen, heißt Tangente. Errichtet man in dem Endpunkte eines Halbmessers auf ihn eine Senkrechte, so ist diese eine Tangente des Kreises. 54 Übungsstoff. 1. Drei Punkte L und 6, welche nicht in einer Geraden liegen, sind gegeben; zeichne einen Kreis, der durch diese drei Punkte geht. Ziehe die Geraden ^2 und 26, welche Sehnen des Kreises sein sollen; halbiere die L2 und errichte in ihrer Mitte eine Senkrechte, diese muss durch den Mittelpunkt des Kreises gehen; halbiere auch die 20 nnd errichte in ihrer Mitte eine Senkrechte, diese muß auch durch den Mittel¬ punkt des Kreises gehen. Der Mittelpunkt liegt also in dem Durchschnitte 0 der beiden Senkrechten. Beschreibst du daher aus 0 mit dem Halbmesser OL. einen Kreis, so geht er auch durch die Punkte 2 und 0. Durch drei Punkte, welche nicht in einer Geraden liegen, ist ein Kreis voll¬ kommen bestimmt. 2. Ein Kreisbogen ist gegeben; suche den Mittelpunkt desselben. 3. Zeichne über einer Strecke als Durchmesser eineu Kreis. 4. Zeichne in einen Kreis mehrere parallele Sehnen; in welcher Beziehung steht ihre Länge zu ihrer Entfernung vom Mittelpunkte? 5. Bestimme in einem Kreise zwei gleiche Bogen und zeichne ihre Sehnen; wie müssen auch diese bezüglich ihrer Länge beschaffen sein? 6. Nimm in dem Umfange eines Kreises einen Punkt an und ziehe durch denselben eine Tangente an den Kreis. 3. Der Kreis und der Winkel. Ein Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkte eines Kreises liegt, dessen Schenkel daher Halbmesser des Kreises sind, heißt ein Mittelpunktswinkel. Ein Winkel, dessen Scheitel in dem Umfange eines Kreises liegt und dessen Schenkel Sehnen find, heißt ein Umfangswinkel des Kreises. Fig. 46. ^.OU (Fig. 46) ist ein Mittelpunktswinkel, ä.6L ein Umsangswinkel. Gehen die Schenkel eines Umfangswinkels durch die Endpunkte eines Durchmessers, so heißt derselbe ein Winkel im Halbkreise. ist ein Winkel im Halbkreise. Der Winkel im Halbkreise ist ein rechter. Es sei (Fig. 47) 0 der Mittelpunkt eines Kreises und der Sehne L.U — ^.0. Fig. 47. Das Dreieck ä.UO ist gleichseitig, daher jeder Winkel desselben gleich 60". Der Mittelpunkts¬ winkel ^.OU beträgt also 60°, und der dazu ge¬ hörige Bogen L.L ist der sechste Theil des Kreis¬ umfanges. Trägt man also in einen Kreis den Halbmesser als Sehne ein, so ist der dazu gehörige Bogen der sechste Theil des Kreisumfanges. 55 Übungsstoff. 1. Zeichne einen Kreisbogen und halbiere ihn. Bestimme in dem Kreisbogen einen Punkt so, dass er von den Endpunkten des Bogens gleich weit absteht, und verbinde ihn mit dem Mittelpunkte des Kreises durch eine Gerade. 2. Theile den Umfang eines Kreises in 2 gleiche Theile. 3. Theile den Kreisumfang in 4, 8 gleiche Theile. 4. Theile den Kreisumfang in 6, 12 gleiche Theile. 5. Theile den Kreisumfang in 3 gleiche Theile. Nimm von 6 gleichen Theilen immer 2 zusammen für einen Theil. 000000 n?, 1 Qnadratmyriameter (ft»?) — goo Die Einheit des Bodenflächenmaßes ist das Ar — 100 m'Z 100 Ar sind 1 Hektar. Die Flächenmaße sind den Schülern zur unmittelbaren Anschauung zu bringen. Das Quadratmeter wird an die Schultafel gezeichnet, das Quadrat¬ decimeter sowie das Quadratcentimeter aus starker Pappe ausgeschnitten und an allen drei Maßen die Uutertheilung veranschaulicht. Auch werden die Schüler nngelcitet, sich ein Quadratdecimeter und ein Quadratcentimeter sammt Eintheiluug aus steifem Papier selbst auzufcrtigeu. Um den Schülern die Vorstellung eines Ar beizubriugen, misst der Lehrer im Freien mit dem Bandmaße ein Quadrat ab, das 10 Meter lang und 10 Meter breit ist, lässt in den vier Eckpunkten Pflöcke einschlagen und um dieselben eine Schnur spannen. Die so begrenzte Qnadratfläche ist ein Ar. In den meisten Füllen ist es wegen der Form der zu messenden Fläche unmöglich, immer aber unbequem, durch unmittelbares Aufträgen der 69 Flächenmaße zu bestimmen, wie oft die Flächeneinheit in der Figur enthalten ist. Man pflegt daher den Flächeninhalt der Figuren mittelbar zu bestimmen, indem man diejenigen Linien misst, von denen die Große der Fläche abhängt, und aus diesen Längenmaßzahlen durch einfache Schlüsse den Flächeninhalt berechnet. 2. Das Quadrat. Der Umfang ' eines Quadrates ist gleich der vierfachen Maßzahl einer Seite. Um den Schülern die Bestimmung des Flächen¬ inhaltes anschaulich zu erläutern, zeichnet man auf die Schultafel ein Quadrat (Fig. 55), dessen Seite z. B. 3 Decimeter betrügt. Die Fläche dieses Quadrates wird ge¬ messen, indem man untersucht, wie oft 1 Quadratdecimeter in derselben enthalten ist. Der Lehrer legt daher das Quadratdeci- meter (das aus steifem Papier ausgeschnitten wird) genau an zwei zusammenstoßende Seiten des Quadrates an und macht durch feine Linien ersichtlich, wie weit es die Quadratfläche deckt, dann trägt er das Quadrat¬ decimeter ebenso auf die weiteren Theile des Quadrates derart auf, dass jedesmal eine andere Stelle bedeckt wird. Die Schüler sehen, dass sich t Quadrat decimeter auf der ganzen Flüche 9mal austragen lässt, dass also die Quadrat¬ fläche 9 Quadratdecimeter enthält. Nun bemerke der Lehrer, dass ein solches unmittelbares Auflegen des Flächenmaßes unbequem und bei manchen Figuren auch unausführbar, dafs es übrigens auch nicht nothwendig sei, da sich ein ganz einfacher Satz anf- stellen lässt, nach welchem man den Flächeninhalt des Quadrates sofort durch die Rechnung findet. Um diesen Satz abzuleiten, theile man jede Seite in ü gleiche Theile, so dass jeder Theil 1 Decimeter ist. Zieht man durch die Theilungspunkte gerade Linien, welche nut der unteren Seite parallel sind, so wird die Quadratflüche in 3 gleiche Parallelstreifen zerlegt: zieht man ferner durch die Theilungspunkte gerade Linien, welche auf die untere Seite senkrecht stehen, so zerfällt jeder dieser Parallelstreifen in 3 Quadrate, deren jedes l Decimeter zur Seite hat, somit 1 Quadratdecimeter ist. Das Quadrat enthält, also 3 Parallelstreifen und in jedem 3 cim?; folglich ist der Flächen¬ inhalt des Quadrates gleich 3X3 Um? — 9 ckn?. L" Den Flächeninhalt eines Quadrates findet man, indem man die Maßzahl einer Seite mit sich selbst mnltipliciert (zum Quadrat erhebt). Wie groß ist a) der Umfang, k) der Flächeninhalt eines Quadrates dessen Seite 2 m 6ckm beträgt? Fiq. 55. 70 Umfang — 4 X 2 m 6 cim — 10 ur 4ck--r. Flächeninhalt — 2'6 X 2'6 — 6'76 — 6 n? 76 ! ! ! der Grundlinie parallel ist, so zerfällt das Rechteck in 3 gleiche Parallelstreifen. Zieht man ferner durch jeden Theilungspunkt der Grundlinie eine Gerade, welche mit der Höhe parallel ist, so wird dadurch jeder Parallel streifen in 5 Quadrate getheilt, deren jedes l m zur Seite hat, somit 1 u? ist. Das Rechteck hat also 3 Parallelstreifen und in jedem 5 u?, daher zusammen 5 X 3 — 15 Den Flächeninhalt eines Rechteckes findet man, indem mau die Maßzahl der Grundlinie (Länge) mit der Maßzahl der Höhe (Breite) multipliciert. Man Pflegt den Satz kürzer so auszudrücken: Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Producte aus der Grundlinie und der Höhe. Wenn man das Product zweier Factoren durch den einen Factor dividiert, so erhält man den andern. Daraus folgt: Die «Grundlinie! Rechteckes findet man, indem man «Hohe 1 den Flächeninhalt durch die A^dlinie/ dividiert. 71 Z. B. Der Inhalt eines Rechteckes ist 17-28 die Höhe 3'6 »?; wie groß ist die Grundlinie? 17-28 : 3'6 — 4'8 ur Höhe. Übungsaufgaben im V. Rechenbnche S. 156—158. 4. Das schiefwinklinge Parallelogramm. n) Wenn man (Fig. 57) in einem schief¬ winkligen Parallelogramm die Höhe zieht und das dadurch auf der einen Seite abgeschnittene Dreieck auf der andern Seite hinzufügt, so bleibt die Fläche ungeändert, und ihre Form geht von einem schiefwinklingen Parallelogramm in ein Rechteck von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe über. Der Flächeninhalt eines schiefwinkligen Parallelogramms ist daher gleich dem Flächeninhalte eines Rechteckes, das mit ihm gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat. Daraus folgt: Den Flächeninhalt eines schiefwinklingen Parallelogramms findet man, indem man die Mahzahl der Grundlinie mit der Ma߬ zahl der Höhe multipliciert. Ist z. B. die Grundlinie 6 m, die Höhe 3 m, so ist der Flächen¬ inhalt — 6 X 3 — 18 m?. b) Der Flächeninhalt eines Rhombus kann sowie der Inhalt eines schiefwinkligen Parallelogramms überhaupt bestimmt, er kann aber auch ans den beiden Diagonalen, welche im Rhombus aufeinander senkrecht stehen, be¬ rechnet werden. Fig. 58. Zieht man nämlich (Fig. 58) in einem Rhom¬ bus die beiden Diagonalen und sodann durch die Eck¬ punkte gerade Linien, welche mit den Diagonalen parallel sind, so erhält man ein Rechteck, dessen Grundlinie und Höhe den Diagonalen des Rhombus gleich sind. Der Rhombus besteht nun aus 4 solchen Dreiecken, wie deren auf das Rechteck 8 kommen, er ist also genau die Hälfte von der Fläche des Rechteckes. Den Flächeninhalt eines Rhombus findet man daher auch, indem man die Maßzahlen der beiden Diagonalen desselben multi¬ pliciert und das Product durch 2 dividiert. Z. B. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rhombus, dessen Diago¬ nalen 6'5 ckm und 4'4ck-u lang sind? 6'5 X 4'4 - 2 — 14'3^. 72 Ebenso folgt auch: Der Flächeninhalt eines Quadrates ist gleich, dem halben Producte aus deu Maßzahlen der beiden Diagonalen. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 158 und 159. 5. Das Dreieck. Jedes Dreieck (Fig. 59) ist die Hälfte eines Rechteckes, welches mit ihm gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat. gg Den Flächeninhalt eines Dreieckes findet - ... , man also, indem man die Maßzahl der Gruud- : linie mit der Maßzahl der Höhe multipliciert > X und das Product durch 2 dividiert, oder, indem ! - V man die Maßzahl der Grundlinie mit der halben " Maßzahl der Höhe multipliciert. In einem rechtwinkligen Dreiecke kann man die eine Kathete äls Grund¬ linie, die andere als Höhe betrachten. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes ist daher gleich dem .halben Producte aus den Maßzahlen der beiden Katheten. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 159 uud 160. Au gebobenen Volksschulen werden die Schüler hier auch nut dem Pythagoräischen Lehrsätze bekannt gemacht. Zeichnet man (Fig. 60) ein rechtwinkliges Dreieck ^80, in welchem eine Kathete ^8 — 4 em, die andere 80 — 3 em enthält, so hat die Hypo¬ tenuse L.0 genau 5 em. Beschreibt man dann über den drei Seiten Quadrate und theilt sie durch Parallele in kleinere Quadrate, welche 1 em zur Seite haben, so enthält das Quadrat über der Kathete ^8 16 em?, das Quadrat über der Kathete 80 9 em?, beide zusammen enthalten also 25 cm?; das Quadrat über der Hypotenuse L.0 enthält ebenfalls 25 em?. Es ist daher für das obige Dreieck das Quadrat der Hypotenuse so groß, als die beiden Quadrate der Katheten zusammen gen o mmen. Dieser Satz gilt auch für jedes andere rechtwinklige Dreieck ^80 (Fig. 61). 73 Fig. 61. Beschreibt man über der Hypotenuse ^.0 das Quadrat L.088, zieht von 8 und K auf die verlängerte Kathete 80 die Senkrechten 88 und NO, dann von und 8 ans die 86 die Senkrechten ^8 und 8.3, so entstehen vier congruente Dreiecke u, d, 6 und ä, und es stellt ^868 das Quadrat über die Kathete ^8, und 6883 das Quadrat über der Kathete 86 vor. Das Quadrat ^.088 über der Hypotenuse besteht nun aus der Figur ^.0838 und den Dreiecken a und b; die zwei Quadrate ^.868 und 8883 über den Katheten bestehen aus derselben Figur il.0838 und den gleichen Dreiecken 6 und ä; das erste Quadrat hat also denselben Flächeninhalt, wie die zwei letzteren Quadrate zusammengenommeu. Daraus folgt: In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat der Hypo¬ tenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten. Dieser Satz heißt nach dem Entdecker Pythagoras der Pythagoräische Lehrsatz. Mit Hilfe dieses Lehrsatzes kann man aus zwei gegebenen Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes durch Rechnung die drstte finden. 1. Sind die beiden Katheten gegeben, so erhebt man sie zum Quadrat und addiert die Quadrate, die Summe gibt das Quadrat der Hypotenuse; um die Hypotenuse selbst zu erhalten, braucht man nur aus jener Summe die Quadratwurzel auszuzieheu. Z. B. Die Katheten sind 84 am und 13cm; wie groß ist die Hypotenuse? 84- — 7056 13'— 169 ! 7225 — 85 cm Hypothenuse. 2. Sind die Hypotenuse uud eine Kathete gegeben, so erhebt man beide zum Quadrat und subtrahiert von dem Quadrate der Hypotenuse das Quadrat der gegebenen Kathete, die Differenz ist das Quadrat der zweiten Kathete; um diese selbst zu erhalten, braucht man nur aus jener Differenz die Quadrat¬ wurzel auszuziehen. Es sei z. B. die Hypotenuse 864 m, die eine Kathete 86 m; wie groß ist die andere Kathete? 864' — 2-6896 86' —256 1 0'1296 —0 36 m die zweite Kathete. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 160 und 161. 74 6. Das Trapez. Zieht man (Fig. 62) in einem Trapeze ^.80v Ag- 02. von der Mitte 8 einer der nicht parallelen Seiten /sXff—80 zn einem gegenüberliegenden Eckpunkte O eine / i gerade Linie, so wird durch entsprechendes Über- / i tragen des dadurch abgeschnittenen Dreieckes 80V s das gegebene Trapez in ein flächengleiches Dreieck L.VV verwandelt, dessen Grundlinie gleich ist der Summe der beiden Parallelseiten des Trapezes, und welches mit dem Trapeze gleiche Höhe VH hat. Den Flächeninhalt eines Trapezes findet man also, indem man die Summe der Maßzahlen der beiden Parallelseiten mit der halben Maßzahl der Höhe multipliciert. Sind z. B. die parallelen Seiten des Trapezes 12 m und 6 m und die Höhe 8m, so ist der Flächeninhalt — (12 -t- 6) X — 72 Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 161 nnd 162. 7. Das Trapezoid. Um den Flächeninhalt eines Trapezoids zu finden, zerlege man dasselbe durch eine Diagonale in zwei Dreiecke, suche die Flächen dieser Dreiecke und addiere dieselben. Z. B. Es sei (Fig. 63) in dem Trapezoid L.8OV die Diagonale ^.0 — 16 m, die darauf Senkrechte Kb — 4 m, und die ebenfalls darauf Senk- Nn. 63. rechte vä — 6 m; so hat man ' L z ID _ 16x4 _ o tD 8 Dreieck ^.80 — — 32 u? /V0V — , — 48 Trapezoid /V80V — 80 Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 162. 8. Das Vieleck. a) Regelmäßige Vielecke. Der Umfang eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich der Maßzahl einer Seite multipliciert init der Anzahl der Seiten. 75 FiI 64. Zieht man (Fig. 64) in einem regelmäßigen Vielecke von dem Mittelpunkte gerade Linien zn allen Eckpunkten, so zerfällt dasselbe in lauter gleiche Dreiecke, deren Grundlinien die Vielecksseiten sind, und deren Hohe der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite ist Nm daher die Flüche des Vieleckes zu er¬ halten, berechnet man alle Dreiecksflächen und fasst diese in eine Summe zusammen; man multipliciert zu diesem-Ende jede Seite des Vieleckes mit der halben Hohe und addiert die Prvducte, oder was einerlei ist, man addiert sogleich alle Vielecksseiten und multipliciert ihre Summe, d. i. den Umfang des Vieleckes mit der halben Höhe der Dreiecke, d. i. mit dem halben Abstande des Mittelpunktes von einer Seite. Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes findet man also, indem man die Maßzahl des Umfanges mit der halben Ma߬ zahl des Abstandes des Mittelpunktes von einer Seite multipliciert. Ist z. B. die Seite eines regelmäßigen Sechseckes 5 m und der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite 4'33 m, so hat man Umfang — 6mal 5m — 30 m, 4-33 Flächeninhalt — 30 X — — — 64'95 u?. Der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite kann nicht willkürlich angenommen werden, er hängt auf eine ganz bestimmte Weise von der Länge der Seite ab. Um nämlich den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite zu finden, muss man die gegebene Seite Um den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes zu er¬ halten, zerlege man das Vieleck durch Diagonalen in lauter Dreiecke, berechne den Inhalt jedes dieser Dreiecke und addiere alle Dreiecksflüchen. Z. B. Das unregelmäßige Sechseck LUOUUb' (Fig. 65) wird durch Diagonale in 4 Dreiecke zerlegt, in denen man durch Messung für die Grund¬ linien und Höhen folgende Längen findet: — 12'2 m, H> — 14'5 m, tLL — 10'6 m, UI> — 4 m, Oe — 5'6 m, Ue — 5'8 m, Ul — 3'9 m ; wie groß ist der Flächeninhalt dieses Sechseckes? 76 Dreieck ^86 — — 244 Sechseck ^801)88 — 127'72 »?. Ein zweites Verfahren, den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes zu bestimmen, besteht darin, dass man durch die zwei entferntesten Eckpunkte eine Gerade und auf diese von allen übrigen Eckpunkten Senkrechte fällt; dadurch zerfällt das Vieleck in rechtwinklige Dreiecke und Trapeze, welche einzeln berechnet und dann addiert werden. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 162 und 16Z. 8. ritt. Berechnung der krniumlinigen Figuren. 1. Der Kreis. n) Umfang des Kreises. Die genauere Ableitung der Verhültniszahl zwischen dem Umfange und dem Durchmesser eines Kreises überschreitet die Grenzen des Vvlksschulunter- richtes. Hier genügt es, den Schülern die Wahrheit auf anschaulichem Wege nahe zu legen. Der Lehrer bedient sich zu diesem Ende eines aus Holz oder Pappe gefertigten Kreises, welcher Vs Decimeter im Halbmesser, also 1 Decimeter im Durchmesser hat, und bemerkt: Der Umfang dieses Kreises ist eine krumme Linie, wir können sie nicht, wie eine gerade Linie, mit dem Maßstabe messen; wir können aber an den Umfang ringsherum einen Faden anlegen und dann die Länge dieses Fadens messen. Der Lehrer umspannt nun den Umfang möglichst genan mit einem Faden und lässt dann die Länge desselben von den Schülern mit dem Maßstabe messen; sie finden, dass er 3 Decimeter und beiläufig 14 Millimeter, oder 3-14 Decimeter lang ist, und schließen, dass der Umfang des Kreises nahe 3'14mal so groß ist als der Durchmesser. Statt 3'14 kann man auch 3V? gesetzt werden. Diese Zahl, oder genauer 3'14159, nennt man die Ludolfische Zahl. Den Umfang eines Kreises findet man also, indem man die Maßzahl des Durchmessers mit der Ludolfischen Zahl multipliciert. i t Die Multiplication mit 3V? ist bequemer und auch genauer als die Multiplication mit 3'14; sie genügt auch für die meisten Rechnungen des praktischen Lebens. Für sehr genaue Rechnungen, insbesondere dann, wenn die Maßzahl des Durch¬ messers 4 oder mehrere Ziffern hat, ist die Zahl 3'14159 als die Ludolfische Zahl anzuwenden. Aus dem Producte zweier Faetvren erhält man den einen Factor, indem man das Prodnct durch den andern Factor dividiert. Der Durchmesser eines Kreises ist also gleich dem Umfange dividiert durch die Ludolfischc Zahl. Z. B. Der Umfang eines Kreises ist 44 m; wie groß ist der Durch¬ messer? 44 : 3U? — 44 X Vse — 14 m Durchmesser. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 163—165. st) Länge eines Kreisbogens. Die Länge eines Kreisbogens hängt von der Anzahl der Bogengrade und von der Länge des Halbmessers ab. Sie wird ans dem Umfange des Kreises durch die Schlussrechnung gefunden. Z. B. Ein Kreis hat 5'8 m im Durchmesser; wie lang ist in diesem Kreise ein Bogen von 65 °? Umfang — 5'8 X 3^ 47'4 0'829 18'229 m 360° haben eine Länge von 18'229 m . 18'229 m 1 hat „ „ „ Igo- 65° haben „ „ „ ' X 65 — 3'291 m. Übungsaufgaben im V. Rechcubuche S. 165. ch Flächeninhalt des Kreises. Der Kreis kann als regelmäßiges Vieleck von unendlich vielen und lich kleinen Seiten angesehen werden. 78 Den Flächeninhalt eines Kreises findet man daher, indem man die Maßzahl des Umfanges mit der halben Maßzahl des Halb¬ messers multipliciert. Ist z. B. der Halbmesser des Kreises 6 m, so hat man Umfang — 2 X 6 X 3V?m, Flächeninhalt — 2 X 6 X X °/z — 6 X 6 X ZV? — N3'/7 m». Man kann daher auch sagen: Der Flächeninhalt eines Kreises wird gefunden, indem man das Quadrat des Halbmessers mit der Lndolfischen Zahl multi¬ pliciert. Ist umgekehrt der Flächeninhalt eines Kreises gegeben und der Halbmesser zu suchen, so dividiert man den Flächeninhalt durch die Ludolfische Zahl, der Quotient ist das Quadrat des Halbmessers; zieht man aus diesem Quotienten die Quadratwurzel, so erhält man den Halbmesser selbst. Z. B. Der Flächeninhalt eines Kreises sei 48 ist 48 : 3'14 — 15'28; 15'28 — 3'9 <7»r Halbmesser. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 165 und 166. ä) Flächeninhalt eines Kreisausschnittes. Fig. 66. Ist (Fig. 66) der Bogen des Kreisausschnittes -im Längenmaße gegeben, so denkt man sich zu dem Bogen Xxx X unzählig viele Halbmesser gezogen, durch welche der Kreis- s ausschnitt in unzählig viele kleine Ausschnitte zerfällt; diese s / kann man als Dreiecke ansehen, deren Grundlinien zusammen V die ganze Bogenlänge geben, und deren gemeinschaftliche Höhe der Halbmesser des Kreises ist. Den Flächeninhalt eines Kreisausschnittes findet man also, indem man die Maßzahl der Bogenlänge mit der halben Maßzahl des Halbmessers multipliciert. Z. B. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes von Im Bogenlänge, wenn der Halbmesser des Kreises 3»» beträgt? 1 X Vs — 1'b msi Ist dagegen der Bogen im Gradmaße gegeben, so wird der Flächen¬ inhalt des Kreisausschnittes aus dem Flächeninhalte des Kreises durch die Schlussrechnung gefunden. Z. B. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes von 54", wenn der Halbmesser des Kreises 2 »r ist? 79 Inhalt des Kreises — 2 X 2 X lUZ — 12^Z »?. Zu 360° gehört eine Kreisfläche von 12'571 12'571 " " " " 360 ' , ,o 12'571^X54 " " " " ' 360 — 1'886 Übungsaufgaben im V. Rcchenbnche S. 166 und 167. s) Flächeninhalt eines Kreisringes. Den Flächeninhalt eines Kreisringes findet man, indem man die Flüchen der beiden Kreise, deren Unterschied der Ring ist, berechnet und von einander subtrahiert. — Alan kann übrigens den Kreisring auch in sehr viele Vierecke zerlegt denken, die man als Trapeze berechnet und addiert, woraus dann folgt: Der Flächeninhalt eines Kreisringes ist gleich der Summe der beiden Peripherien multiplieiert mit ihrem halben Abstande d. i. mit dem halben Unterschiede der beiden Halbmesser. Sind z. B. 5 Äm und 3üm die Halbmesser der beiden concentrischen Kreise, so hat man größerer Kreis — 5^ X 3^ — 25 X 3V? kleinerer „ — 3^ X 3V? — 9 X 3'Z „ Kreisring — 16 X lÜZ ckn? — 50 ?/? c/m?. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 167. 2. Die Ellipse. Man hat gefunden, dass eine Ellipse eben so viel Flächeninhalt hat als ein Kreis, dessen Halbmesser mit sich selbst mnltipliciert dem Products der beiden halben Achsen der Ellipse gleich ist. Den Flächeninhalt einer Ellipse findet man daher, indem man das Product aus den beiden halben Achsen mit der Ludolfischen Zahl mnltipliciert. Z. B. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, deren Achsen 20 und 12'6 iw sind? 10 X 6'3 X 31/7 — 198 m?. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 167 und 168. Wiederholungsanfgaben S. 168—r7O. 80 II. Körperverechnungen. F. 31. Berechnung der Prismen und Cylinder. 1. Oberfläche und Kubikinhalt. Bei der Größcnbestimmung der Körper handelt es sich um die Be¬ rechnung der Oberfläche und des Kubikinhaltes. Unter der Oberfläche eines Körpers versteht man die Summe aller feiner Grenzflächen; sie wird durch das Flächenmaß bestimmt. Unter dem Kubikinhalte (Volumen) eines Körpers versteht man die Größe des von seinen Grenzflächen eingeschlosseneu Raumes. Um einen Körper zu messen, nimmt man einen andern bekannten Körper als Ma߬ einheit an nnd untersucht, wie oft diese Einheit in dem ersten Körper ent¬ halten ist. Die Zahl, welche angibt, wie oft die Körpereinheit in einem Körper enthalten ist, heißt die Maßzahl seines Kubikinhaltes. Als Einheit des Körpermaßes nimmt man einen Würfel oder Kubus an, dessen Kaute die Längeneinheit ist. Die Einheit des österreichischen Körpermaßes ist das Kubikmeter d. i. Würfel, dessen Kante ein Meter ist. 1 Kubikmeter (m^) hat 1000 Cnbikdecimeter ä, i000 Cubikcentimeter (co^) u 1000 Kubikmillimeter (m»?). Zum Cubikmaße gehört auch das Hohlmaß zur Messung trockener und flüssiger Gegenstände. Die Einheit des Hohlmaßes ist das Liter — 1 Cnbikdecimeter; ein Liter hat 10 Deciliter u 10 Centiliter; 100 Liter sind 1 Hektoliter. Zur Versinnlichung der Körpermaße ist erforderlich: ein Cubikcentimeter und ein Cubikdecimeter, beide aus Holz oder Pappe, und ein allenfalls aus 12 meterlangen Holzstäben gefertigtes Cubikmeter. Diese Blaße werden den Schülern vorgezeigt. Hier ist ein Würfel; jede Seite ist 1 Centimeter laug. Wie groß ist jede Seitenfläche? Dieser Würfel heißt ein Cubikcentimeter. — Hier sehet ihr einen größeren Würfel; jede Seite ist 1 Decimeter lang. Wie groß ist jede Seitenfläche? Ein solcher Würsel heißt ein Cubikdecimeter. - Was ist dann ein Cubikmeter? — Alle diese Maße heißen Körpermaße. Um die Eiutheilung der Körpermaße zu veranschaulichen, nehme der Lehrer ein Cubikdecimeter, dessen untere Fläche in 10 X 10 — 100 Quadratcentimeter und dessen Höhe in 10 Centimeter eingetheilt ist. Auf der unteren Fläche lassen sich 100 Cubikcentimeter auflegen. Diese Schichte reicht aber nur 1 Centimeter hoch. Um das ganze Cubikdecimeter auszufüllen, muss man 10 solche Schichten übereinander legen; ein Cubikdecimeter enthält also lOmal 100 Cubikcentimeter — 1000 Cubikcentimeter. Die Veranschaulichung kann auch so geschehen. Man theilt an einem Cnbik- decimetcr, das aus Holz gefertigct wird, jede Seite in 10 Centimeter nnd verbindet die gegenüberliegenden Theilungspunkte durch eingeritzte Linien; 8l jede der sechs Würfelflächen erscheint dadurch in 100 Quadratccntimetcr gctheilt. Dieser Würfel wird parallel mit der Grundfläche in 10 gleiche Platten durchschnitten; eine dieser Platten wird wieder in 10 gleiche Säulen, und eine dieser Säulen in 10 gleiche Würfel, deren jeder 1 Cubikcentimcter ist, durchschnitten. Stellt man nun diese 10 Würfel nebeneinander, so bilden sie eine Säule, welche 10 Cubikcentimeter enthält; legt man daran die übrigen Säulen, so stellen alle 10 Säulen eine Platte vor, welche 10 X 10 — 100 Cubikcentimeter enthält; trügt man darüber auch die übrigen unzerlegten Platten auf, so hat man das ganze Cubikdecimeter, welches daher 10 X 100 — 1000 Cubikcentimcter enthält. Durch diese Veranschaulichung und durch Anwendung ähnlicher Schlüsse wird den Schülern auch klar gemacht, dass ein Cubikmeter — 1000 Cubik- decimeter, und 1 Cubikcentimeter — 1000 Cnbikmillimeter ist. Hier soll auch der Zusammenhang zwischen dem allgemeinen Körpermaße und dem Hohlmaße anschaulich dargestcllt werden. Der Lehrer füllt zu diesem Zwecke einen hohlen Würfel von Blech, der inwendig 1 Decimeter lang, 1 Decimeter breit nnd 1 Decimeter tief ist, also 1 Cubikdecimeter, mit Wasser und gießt dieses in ein Litergefäß über; die Schüler ersehen daraus, dass ein Liter denselben Rauminhalt wie ein Cubikdecimeter hat, dass also . die Einheit des Hohlmaßes das Cubikdecimeter unter dem Namen Liter ist, welches jedoch wegen des bequemeren Gebrauches eine runde Form erhält. Sollte dem Lehrer nur ein hohler Würfel von Pappe zu Gebote stehen, so würde er denselben mit Sand füllen nnd durch Umschütten in das Litergefäß Nachweisen, dass Liter nnd Cubikdecimeter denselben Inhalt haben. In den meisten Fällen ist es wegen der Gestalt des zu messenden Körpers nicht möglich, unmittelbar zu untersuchen, wie oft die Cubikcinheit in ihm enthalten ist; man nimmt daher auch hier, wie bei der Flächen- bestimmung zu einem mittelbaren Verfahren Zuflucht, indem man durch Schlüsse Sätze ableitet, nach denen der Cubikinhalt ans den Maßzahlcn der Linien und Flüchen, welche die Größe eines Körpers unzweideutig bestimmen, durch Rechnung gefunden wird. 2. Der Würfel. Die Oberfläche eines Würfels -findet man, indem man den Flächen¬ inhalt einer Grenzfläche — eines Quadrates — mit 6 multipliciert. Betragt z. B. die Kante eines Würfels 2'5 m, so ist der Flächeninhalt einer Grenzfläche — 2'5 X 2'5 — 6'25 daher die Oberfläche des Würfels — 6mal 6'25 — 37'5 m?. Es sei ferner der Cubikinhalt eines Würfels zu bestimmen. Ist z. B. 2 m die Länge einer Kante, so lässt sich (Fig. 67) die Grundfläche M o önik, Die qcornetr. Formenlehre. -1. Aufl. 6 82 in 2 X 2 — 4 Quadratmeter eintheilen und auf jedem m? der Grundfläche 1 Cnbikmeter auflegen: mau erhalt also über der Grundlinie eine Schichte von 4 und zwar bis Im Höhe; da nun der Würfel 2m hoch ist, so enthält er zwei solche Schichten von je 4 mch der Cubikinhalt ist also gleich 2 mal 4 n? oder, 2 X 2 X 2 — 8 m». Den Cubikinhalt eines Würfels findet man also, indem man di.' Maßzahl seiner Kante dreimal als Faetor setzt (zum Cubus erhebt). Ist umgekehrt der Cubikinhalt eines Würfels gegeben und die Länge einer Kante zu suchen, so zieht mau aus der Maßzahl des Cubikinhaltes die Cubik- wurzel aus. Z. B. der Cubikinhalt eines Würfels ist 21'952 Cubikdecimeter; wie groß ist eine Kante? -fl 21'952 — 2'8 tim eine Kante. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 171. 3. Das Prisma. Die Oberfläche eines Prisma ist gleich der Summe ans der doppelten Grundfläche und der Seitenoberfläche. Für das senkrechte Prisma bildet dis Seitenoberflüche, wenn sie in einer Ebene ausgebreitet wird, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfläche des Prisma, und dessen Höhe der Höhe des Prisma gleich ist. In jedem senkrechten Prisma ist also die Seitenvberfläche gleich dem Umfange der Grundfläche multipliciert mit der Höhe des Prisma. Ist z. B. (Fig. 68) ein rechtwinkliges Prisma 3 m lang, 2 m breit und 4 m hoch, so hat man: Fig 68. Grundfläche — 3 X 2 — 6 m- doppelte Grundfläche — 12 m? Seitenoberflüche — 10 X 4 — 40 m? ganze Oberfläche — 52 m?. Es sei nun der Cubikinhalt desselben Prisma zu bestimmen. Man theile die Länge in 3, die Breite in 2 und die Höhe in 4 gleiche Theile, deren jeder 1 m ist. Legt man nun durch die Theiluugspunkte der Höhe Ebenen, welche mit der Grundfläche parallel sind, so zerfällt das Prisma in 4 gleiche Parallelschichten. Legt man dann auch durch die Theiluugspunkte der Länge und der Breite Ebenen, welche 83 mit den Seitenflächen parallel sind, so wird jede dieser Parallelschichten in so viele Cubikmeter zerlegt, als die Grundfläche Quadratmeter enthält, also in 3x2 — 6 Cubikmeter. Das Prisma enthält demnach 4 Parallelschichten, und in jeder 6 Cubikmeter, also zusammen 4mal 6 Cubikmeter, oder 3 X 2 X 4 — 24 Cubikmeter. Den Cnbikinhalt eines rechtwinkligen Prisma findet man daher, indem man die Maßzahl der Grundfläche mit der Maßzahl der Höhe multipliciert, oder, was gleichviel ist, indem man die Ma߬ zahlen der Länge, Breite und Höhe mit einander multipliciert. Auch in jedem andern Prisma gibt die Maßzahl der Grundfläche an, wie viel Cubikeinheiten auf derselben stehen können; diese Cubikeinheiten bilden eine Parallelschichte. Die Maßzahl der Höhe aber gibt an, in wie viele solche Schichten das Prisma zerlegt werden kann. Daraus folgt: Den Cnbikinhalt eines jeden Prisma findet man, indem man die Maßzahl der Grundfläche mit der Maßzahl der Höhe multi¬ pliciert. Wird der Cubikinhalt eines Prisma durch die Grundfläche dividiert, so erhält inan die Höhe; wird der Cubikinhalt durch die Höhe dividiert, so erhält inan die Grundfläche. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 172—174. 4. Der Cylinder. Die Oberfläche eines Cylinders ist gleich der Summe aus der doppelten Grundfläche und der Mantelfläche. Für den senkrechten Cylinder bildet die Mantelfläche, wenn sie auf eine Ebene abgewickelt wird, ein Rechteck, welches den Umfang der Grundfläche zur Grundlinie, und die Höhe des Cylinders zur Höhe hat. Die Mantelfläche eines senkrechten Cylinders findet man also, indem man die Maßzahl des Umfanges der Grundfläche mit der Maßzahl der Hohe multipliciert. Da man sich den Kreis als ein regelmäßiges Vieleck von unendlich vielen Seiten vorstellt, so kann auch der Cylinder als ein Prisma, dessen Grundflächen Kreise sind, angesehen werden. Den Cubikinhalt eines Cylinders findet man daher, indem man die Maßzahl der Grundfläche mit der Maßzahl der Höhe multipliciert. Z. B. die Höhe eines senkrechten Cylinders ist 12 üm, der Durchmesser der Grundfläche 8ckm; wie groß ist a) die Oberfläche, d) der Cnbikinhalt des Cylinders? 6* 84 Umfang der Grundfläche — 8 X lÜ/? — 25'14 ck/u Flächeninhalt der Grundfläche — 25'14 X 2 — 50'28 Doppelte Grundfläche — 100'56 ck»? Mantelfläche des Cylinders — 25'14 X 12 — 301'68 „ Oberfläche des Cylinders — 402'24 cim- Cubikiuhalt des Cylinders — 50'28 X 12 — 603'36 Nm den Cubikinhalt einer eylindrischen Röhre oder hohlen Walze zu bestimmen, sucht man die Kubikinhalte der beiden Cylinder, von denen der kleinere aus dem größeren ausgeschnitten ist, und subtrahiert den Cubikinhalt des kleineren Cylinders von dem des größeren. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 1 73 — 1 77. Ein Fass (Fig. 69) unterscheidet sich von einem Cylinder dadurch, dass sein Durchmesser am Spunde größer ist als jener der beiden Bodenflächen. Der Inhalt eines Fasses wird übrigens der Wahrheit sehr angenähert gefunden, indem man das Fass als einen Cylinder berechnet, j !..! / / ! dessen Höhe gleich ist der Länge des Fasses s ! / i ! / j!/ und dessen Durchmesser der dritte Theil aus der Summe des Boden- und des doppelten Spunddurchmessers ist. Bei dieser Berechnung sind selbstverständlich die inneren Maßlängen des Fasses zu nehmen. Z. B- Wie groß ist der Inhalt eines Weinfasses von 9 ckm Länge, wenn der Durchmesser seiner Bodenfläche 4'8 ckm und die Spundtiefe 5'7 beträgt? Bodendurchmesser — 4'8 ckm Doppelte Spundtiefe — 11'4 ckm 16-2 : 3 Durchmesser des Cylinders — 5'4 Grundfläche — 2'7 X 2'7 X 3^/? — 22'91 Inhalt — 22'91 X 9 — 206'19 cku? — 206'19 Liter. Übungsaufgaben im V. Rcchenbuche S. 177. 32. Berechnung der Pyramiden und Ziegel. 1. Die Pyramide. Die Oberfläche einer Pyramide ist gleich der Summe aus der Grundfläche und der Seiten oberfläche. 85 In der senkrechten Pyramide besteht die Seitenoberfläche ans lauter gleichen Dreiecken, deren Grundlinien den Umfang der Grundfläche der Pyra¬ mide bilden, und deren gemeinschaftliche Höhe die Seitenhöhe der Pyramide ist. Die Seitenoberflüche einer senkrechten Pyramide findet man also, indem man die Maßzahl des Umfanges der Grundfläche mit der halben Maßzahl der Seitenhöhe multipliciert. Z. B. In einer senkrechten Pyramide ist die Grundfläche ein Quadrat von 6<7m Seitenlünge, die Seitenhöhe betrügt 12'37 wie groß ist die Oberfläche? Umfang der Grundfläche — 24 Flächeninhalt der Grundfläche — 36 ckmst 12-37 Seitenoberflache — 24 X —-— — 148'44 „ ganze Oberfläche — 184'44 Um den Satz, nach welchem der Cubikinhalt einer Pyramide berechnet wird, zu begründen, müssen zwei andere Sätze vorausgesetzt werden. 1. Zwei Pyramiden von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben gleichen Cubikinhalt. Dies folgt unmittelbar aus der Entstehnngsweise einer Pyramide durch die parallele Bewegung eines sich stelig verkleinernden Vieleckes. Haben nämlich Zwei Pyramiden gleiche Grundlinien und gleiche Höhen, so sind auch je zwei zur Grundfläche parallele Durchschnitte, welche von der Spitze gleichweit ab¬ stehen, einander gleich; daher müssen auch die Räume, welche die sich bewegenden gleichen Vielecke beschreiben, gleich sein. 2. Jedes dreiseitige Prisma lässt sich in drei gleiche dreiseitige Pyramiden zerlegen. Es sei ^.UOVUU (Fig. 70) ein dreiseitiges Prisma. Durchschneidet man dasselbe durch die Ebene ä.UO, so zerfällt es in die dreiseitige Pyramide IUI IUI Fig. 70. und in die vierseitige UL.OUU. Durch die Ebene wird die letztere wieder in zwei dreiseitige Pyramiden KtlOI? und zerlegt, so dass das dreiseitige Prisma aus drei / ,/ dreiseitigen Pyramiden,, zusammengesetzt erscheint. Es lässt , sich nun zeigen, dass diese drei Pyramiden einander gleich I' sind, da je zwei derselben gleiche Grundfläche und gleiche -- Höhe haben. Diese Zerlegung des Prisma ist den Schülern an einem zerlegbaren Modelle anschaulich zu machen. Jede dreiseitige Pyramide ist mithin der dritte Theil eines Prisma von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Jede inehrseitige Pyramide lässt 86 sich in dreiseitige zerlegen; es ist daher jede Pyramide der dritte Theil eines Prisma von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Da nun der Kubikinhalt eines Prisma gleich ist dem Products aus der Grundfläche uud der Hohe, so folgt: Den Kubikinhalt einer Pyramide findet man, indem man die Maßzahl der Grundfläche mit dem dritten Theile der Maßzahl der Höhe multipliciert. Ist z. B. die Grundfläche einer 12ckm hohen Pyramide ein Quadrat von 6<7m Seitenlünge, so hat man Grundfläche — 36 eil»?, Kubikinhalt — 36 X ^/s — 144 almS. Die Oberfläche eines Pyramidenstumpfes ist gleich her Summe aus den beiden Grundflächen und der Seitenoberflüche. In dem senkrechten Pyramidenstnmpfe besteht die Seitenoberfläche aus lauter gleichen Trapezen, deren Parallelseiten zusammen die Umfänge der beiden Grundflächen des Pyramidenstumpfes bilden und deren gemeinschaftliche Höhe die Seitenhöhe des Stumpfes ist. Die Seitenoberflüche eines senkrechten Pyramidenstumpfes findet man also, indem man die Summe aus den Maßzahlen der Umfänge der beiden Grundflächen mit der halben Maßzahl der Seitenhöhe multipliciert. Fig. 71. Es seien (Fig. 71) 9<7/» und 6c7m zwei parallele Kanten der beiden Grundflächen und 7'16 ckm die Seitenhöhe eines senkrechten vierseitigen Pyramidenstumpfes; wie groß ist die Oberfläche? Die Grundflächen des Stumpfes sind Quadrate. Umfang der unteren Grundfl. — 36ckm, „ „ oberen „ — 24 „ Flch. Inh. „ unteren „ — 81 ckm'st „ „ „ oberen „ — 36 „ beide Grundflächen — 117 c/m-. Seitenoberflüche — 60 X — 214'8 „ ganze Oberfläche — 331'8 <7m?. Den Kubikinhalt eines Pyramidenstumpfes findet man, indem man von dem Inhalte der vollständigen Pyramide den Inhalt der Ergänzungspyramide subtrahiert. 87 Es seien z. B. 9-Z-» und 6rZm zwei parallele Kanten der quadratischen Grundflächen eines 7 cZ--r hohen Pyramidenstumpfes; wie groß ist der Cnbik- inhalt desselben? Zuerst muss die Höhe der ganzen Pyramide gesucht werden. Die Kanten und Ild haben sich bei einer Höhe von 7 ckm um 9 cZm — 6 cZm — 3 An¬ genähert; damit sie zusammentreffen, d. i. sich um 9-Zur nähern, muss die Höhe so oftmal 7 ckm betragen, als 3-Zm in 9-Zm enthalten sind, also 3mal 7 -Zur — 21 -Zur. Die Höhe der vollständigen Pyramide ist demnach 21 -Zm, die Höhe der Ergänzungspyramide 21-Zur — 7-Zur — 14-im. Inhalt der vollständigen Pyramide — 81 X — 567 -Zur^ „ „ Ergänzungspyramide — 36 X "/s — 168 „ „ „ abgekürzte Pyramide — 399 -Z,u^ Annäherungsweise findet man den Cubikinhalt einer abge¬ kürzten Pyramide, indem man diese als ein Prisma berechnet, dessen Grundfläche gleich ist der halben Summe ans den beiden Grundflächen des Pyramidenstumpfes, und dessen Höhe die Hohe des Stumpfes ist. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 178—180. 2. Der Kegel. Die Oberfläche eines Kegels ist gleich der Summe aus der Grund¬ fläche und der Mautelflüche. Jeder Kegel kann als eine Pyramide, deren Grundfläche ein Kreis ist, betrachtet werden; die Seitenhöhe der senkrechten Pyramide stellt in dem senk¬ rechten Kegel die Seite vor. Daraus folgt: Die Mantelfläche eines senkrechten Kegels findet man, indem man die Maßzahl des Umfanges der Grundfläche mit der halben Maßzahl der Seite mnltiplieiert. Den Cubikinhalt eines Kegels findet man, indem man die Maßzahl der Grundfläche mit dem dritten Theile der Maßzahl der Höhe multipliciert. In einem senkrechten Kegel beträgt der Durchmesser der Grundfläche 7 -Zur, die Höhe 12 -Zur und eine Seite 12'5 -Zm; wie groß ist a) die Ober¬ fläche, d) der Cubikinhalt des Kegels? Umfang der Grundfläche — 7 X -U/? — 22 -Zur Flächeninhalt der Grundfläche — 22 X V4 — 38'5 -Zur- 12'5 Mantelfläche — 22 X — 137-5 „ ganze Oberfläche — 176 -Zu? Cubikinhalt — 38'5 X "/s — 154 -Zu? 8 S Die Oberfläche eines abgekürzten Kegels ist gleich der Summe aus den beiden Grundflächen und der Mantelfläche. - Da ein abgekürzter Kegel als eine abgekürzte Pyramide, deren Grund¬ flächen Kreise sind, angesehen werden kann, so folgt: Die Mantelfläche eines senkrechten Kegelstumpfes findet man, indem man die Summe aus den Maßzahlen der Umfänge beider Grundflächen mit der halben Maßzahl der Seite multipliciert. Fig. 72. In einem abgekürzten senkrechten Kegel betragen (Fig. 72) die Durchmesser der Grundflächen 7 Um und 3 Um, und die Seite 6'76 Um; wie groß ist die Oberfläche? Umf. der mit. Grundfl. — 7 X Z'/? — 22 Um „ „ ob. „ — 3 < 3V7 — 9'43 Um Inh. „ unt. „ — 22 X V4 — 38'5 Um^ „ „ ob. „ — 9'43 X 'V4 — 7-07 U-/,- beide Grundflächen — 45'57 U-/^ Mantelfläche — 31'43 X — 106-23 Um? ganze Oberfläche —151'8 Uo? Den Cubikinhalt eines Kegelstumpfes findet man, indem man von dem Inhalte des vollständigen Kegels den Inhalt des Er¬ gänzung skegels subtrahiert. Z. B. Wie groß ist der Cubikinhalt eines 6'4 Um hohen Kegelstumpfes, dessen Grundflächen 7 Um und 3 Um zu Durchmessern haben? Vor allem muss die Höhe des Vollständegen Kegels gesucht werden. Die Seiten und Ld haben sich bei einer Hohe von 6'4 Um um 7 Um — 3 Um — 4 Um genähert; damit sie zusammentreffen, d. i. sich um 7 Um nähern, muss die Höhe so oftmal 6'4 Um betragen, als 4 Um in 7 Um enthalten sind, » also l '75mal 6'4 Um — 11'2 Um. Die Höhe des ganzen Kegels ist demnach 11'2 Um, die Höhe des Ergänzungskegels 11'2 Um — 6'4 Um — 4'8 Um. 11'2 - . Inhalt des vollständigen Kegels — 38'5 X —— — 113'73 Um? 4-8 „ „ Erganzungskegels — 7 07 X — 11'31 „ Inhalt des Kegelstumpfes — 132'42 U«?. In der Praxis begnügt man sich gewönlich mit einer angenäherten Bestimmung des Cubikinhaltes eines Kegelstumpfes, indem man diesen als einen Cylinder berechnet, welcher die halbe Summe aus den beiden Grundflächen des Stumpfes zur Grundfläche, und die Höhe des Stumpfes zur Höhe hat. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 180 — 184. 89 8« 33. Berechnung der Äugel. Man hat gefunden, dass die Oberfläche einer Kugel 4mal so groß ist als eine größte Kreisfläche derselben, dass sie also gleich ist dem 4fachen Quadrate des Halbmessers multipliciert mit der Ludol- fischen Zahl. Z. B. Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel, deren Durchmesser 8 ckm ist? Größte Kreisfläche — 4 X 4 X 3^ — 50-285 ck»-, Oberfläche der Kugel — 50'285 X 4 — 201-14 „ Will man umgekehrt aus der Oberfläche der Kugel den Halbmesser finden, so darf man nur die Oberfläche durch die 4 fache Lndolfische Zahl dividieren, der Quotient stellt das Quadrat des Halbmessers dar; zieht man daraus die Quadratwurzel, so hat man den Halbmesser selbst. Z. B. Die Oberfläche einer Kugel beträgt 373-2526 em?; wie groß ist der Halbmesser? 373-2526 : 3'1416 — 118-81 z/ 118-81 — 10'9 em Halbmesser. Die Bestimmung des Cubikinhaltes einer Kugel wird auf die Jnhalts- berechnnng der Pyramide zurückgeführt. - Wenn man nämlich durch den Mittelpunkt der Kugel sehr viele Ebenen legt, so zerfällt dadurch die Kugel in sehr viele kleine Pyramiden, die ihre Spitze im Mittelpunkte und daher zur gemeinschaftlichen Höhe den Halbmesser der Kugel haben und deren Grundflächen zusammen die Oberfläche der Kugel bilden. Den Cubikinhalt einer Kugel findet man also, indem man die Maßznhl der Oberfläche mit dem dritten Theile der Maßzahl des Halbmessers multipliciert. So findet man für die oben betrachtete Kugel Cubikinhalt — 201'14 X V,, — 268'19 ein?. Der Cubikinhalt einer Kugel lässt sich auch unmittelbar ans dem Halb¬ messer berechnen. Die Oberfläche ist nämlich gleich dem 4 fachen Quadrate des Halbmessers multipliciert mit 3-1416. Multipliciert man diese mit dem dritten Theile des Halbmessers, so erhält man des Productes aus dem Cubus des Halbmessers und 3'1416, d. i. das Product aus dem Cubus des Halb¬ messers und 4-1888. Der Cubikinhalt einer Kugel wird daher auch gefunden, indem man den Cubus des Halbmessers mit 4'1888 multipliciert. Z. B. Wie groß ist der Cubikinhalt einer Kugel, deren Halbmesser 1'25 m beträgt? 1'25 X 1'25 X 1'25 X 4'1888 — 8'18125 M oönik, Die geometr. Formenlehre. 4. Aust. 7 so Wenn man umgekehrt aus dem gegebenen Kubikinhalte einer Kugel den Halbmesser finden soll/darf man nur den Cubikinhalt durch 4-1888 dividieren; der Quotient ist der Cubus des gesuchten Halbmessers; zieht man daraus die Kubikwurzel, so erhält man den Halbmesser selbst. Z. B. Wie groß ist der Halbmesser einer Kugel, deren Cubikinhalt 6-370641 Cub. e7m beträgt? 6-370641 : 4-1888 — 1-520875 3 z/ 1-520875 — 1'15 c7m Halbmesser. Die Zusammenfassung der Jnhaltsberechmmg der runden Körper enthält folgende Aufgabe: In einen Cylinder (Fig. 73) von 12 am Durchmesser und 12 am Höbe beschreibt man eine Kugel und einen senk¬ rechten Kegel; u) wie groß ist der Cubikinhalt jedes dieser drei Körper, d) wie verhalten sich die Inhalte des Kegels, der Kugel und des Cylinders zu einander? Cylinder: Grundfl. — 6 x 6 x 3V? — 113^/? Inh. — 113Vr X 12 — 1357ö/, c7m». Kugel: Qberfl. — 6 X 6 X 3*/? X 4 — 452^ üm'st Inh. — 452^7. X Vs — 905V7 Kegel: Grundfl. — 6 X 6 X 3^ — 113^ Inhalt — 113^7 X 12/3 — 452^7 ckunfi Kegel: Kugel: Cylinder — 452^7 : 9O0V7 : 1357^ — 1:2:3. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 184—186. 8 34. Bestimmung des Cubikinhaltes eines Körpers ans Vesten Gewichte. Der Cubikinhalt (das Volumen) und das Gewicht eines Körpers stehen im innigen Zusammenhänge. Die Größe des Druckes, den ein Körper auf seine Unterlage ausübt, heißt das Gewicht des Körpers. Das Gewicht, das einem Körper ohne Rück¬ sicht auf seine Größe (auf seinen Cubikinhalt) zukommt, ist das absolute Gewicht desselben. Das Gewicht, welches eine Cubikeinheit, z. B. ein Cubik- deeimeter, des Körpers hat, nennt man dessen specifisches Gewicht. 1 ck»? Gold wiegt 19'36 Kilogramm; diese sind das specifische Gewicht des Goldes für 1 ämb als Raumeinheit. Da 1 cim" reines Wasser 1 Kilogramm wiegt, so enthält das specifische Gewicht eines Körpers für 1 üm^ auch die Angabe, wie vielmal so groß als das Gewicht eines bestimmten Raumtheiles reinen Wassers das Geivicht eines so großen Raumtheiles des betreffenden Körpers ist. 91 Specifische Gewichte einiger Körper: I Cubikdecimeter Welchen Cnbikinhalt nehmen 1800 Kilogramm Steinkohlen ein? Da 1 Steinkohle 1'3 Kilogr. wiegt, so nehmen 1800 Kilogr. Steinkohlen so viel ci»? Raun: ein, als wie oft 1'3 Kilogr. in 1800 Kilogr. enthalten sind; 1800 : 1'3 — 1384'6 Den Cnbikinhalt eines Körpers in Cubikdecimeter findet man also, indem man das absolute Gewicht desselben in Kilogramm durch das speeifische Gewicht dividiert. Ein Schlauch fasst 18 ckm-si wie viel wiegt das darin enthaltene Quecksilber? 1 Quecksilber wiegt 13'6 Kilogr.; 18 wiegen daher 13'6 X 18 — 244'8 Kilogramm. Das absolute Gewicht eines Körpers in Kilogramm findet inan also, indem man dessen specifisches Gewicht mit der Maßzahl des in c?»? ansgedrückten Kubikinhaltes multipliciert. Übungsaufgaben im V. Rechenbuche S. 209 und 210. x^oir^iica 88888492884 Inhalt. Einleitung. Seite I—5. Er st er Theil. krtrachtung der Körper und der an ihnen norllommendrn Naumgröilde. I. Der Würfel. Seite 6—18. - II. Das Prisma. Seite 19—30. III. Das Tetraeder. Seite 30—34. IV. Die Pyramide und der Pyramidenstumpf. Seite 35—42. V. Der Cylinder. Seite 42—50. VI. Der Kegel und der Kegelstumpf. Seite 50—57. VII. Die Kugel. Seite 58—64. VIII. Wiederholende Zusammenstellung des gewonnenen Lehrstoffes. Seite 64—66. Zweiter Theil. -Berechnung der Flachen und Körper. Allgemeine Bemerkungen. Seite 67. I. Flächenberechnungen. Seite 68 — 79. II. Körperberechnnngen. Seite 80 — 91.