Zwitterionska membrana v dotiku z raztopino soli in kalcijevega klorida
Luka Mesarec1, AljaZ Velikonja1'2, Aleš Iglic1
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija 2SMARTEH Raziskave in razvoj procesne opreme, d.o.o., Poljubinj 114, 5220 Tolmin E-pošta: luka.mesarec@fe.uni-lj.si
Povzetek. V študiji so s pomočjo spremenjenega Langevin-Poisson-Boltzmannovega matematičnega modela opisane razmere med zwitterionsko membrano ter nanodelcem, med katerima je raztopina natrijevega in kalcijevega klorida. Spremenjen Langevin-Poisson-Boltzmannov model vključuje nasičenje in močno orientacijo vodnih molekul v blizini zwitterionske membrane ter končne volumne pozitivnih glav zwitterionskih molekul. Vsi drugi delči v modelu so zaradi poenostavitve obravnavani kot točkasti elementi. Iz rezultatov vidimo, da prisotnost kalčijevega klorida oz. konkretno kalčija ne vpliva na razmere med zwiterionsko membrano in nanodelčem, če sta ta dva dovolj narazen. Primerljive rezultate smo dobili pri naših prejšnjih študijah, ko kalčijev klorid ni bil prisoten. Ko je nanodeleč dovolj blizu zwitterionske membrane, pa prisotnost kalčija zmanjsša vpliv nanodelča na povprečšni kot zwitterionskih glav.
Ključne besede: lipidi, zwitterionska membrana, dipolarne zwitterionske glave, orientačijski red, naelektreni nanodelči, lipidni dvosloj
Zwitterionic lipid membrane in contact with salt solution and calcium chloride
The paper investigates electrostatic interactions between the zwitterionic lipid membrane and nanoparticle in contact with the salt solution containing calcium chloride. The interactions are determinated by using the Modified Langevin-Poisson-Boltzmann theoretical model. The model takes into account the cavity field and strong orientation of the water dipoles near the zwitterionic membrane, the volume effect of positive parts of the zwitterionic lipid headgroups and the excluded volume effect of other particles. The results show a considerable correlation with our previous investigating of the zwitterionic membrane in contact with a pure salt solution with the nano-particle far away from the zwitterionic membrane. Therefore, the calcium chloride does not affect the interactions between the zwitterionic membrane and nanoparticle provided they are far enough from each other. on the contrary, if the nanoparticle is near the zwitterionic membrane, calcium chloride or calcium in particular slightly lowers the effect of the nanoparticle on the mean orientational angle of the zwitterionic lipid headgroups.
1 Uvod
Lipidni dvosloj je preprost model celične membrane [1], [2], [3], [4], zato ga uporabljamo kot osnovni gradnik pri proucevanju lastnosti celicnih membran, tako pri poskusih [5], [6] kot v teoreticnih modelih. Teoreticni modeli temeljijo na simulacijah molekularne dinamike [7], [8] in obravnavajo dinamicne razmere, obstajajo pa tudi posplošeni modeli [9], [10], [11], ki obravnavajo staticne razmere. Celicno membrano vecinoma sestavljajo fosfolipidne molekule, ki so sestavljene iz polarne
Prejet 20. april, 2014 Odobren 28. maj, 2014
glave in dveh nepolarnih repov. Predstavnik fosfolipidov je tudi zwitterionska lipidna molekula.
Zwitterionsko membrano sestavljajo zwitterionske li-pidne molekule, katerih glave tvorita dve nasprotno naelektreni atomski skupini. Blize repom se nahaja negativno naelektrena fosfatna skupina, bolj oddaljena pa je pozitivno naelektrena amino skupina. Ob dotiku zwitterionske lipidne molekule s polarno raztopino soli se zwitterionska lipidna molekula orientira tako, da se repi obrnejo stran od raztopine soli, negativno naelektreni deli glav so v stiku z raztopino, pozitivni deli glav pa prodrejo v njeno notranjost [4], [12]. S stališča elektrostatike lahko stik zwitterionske lipidne molekule z raztopino soli obravnavamo kot negativno naelektreno površino, pozitivno naelektrene dele glav pa kot pozitivno naelektreno površino [1], [12].
Soli natrijevega klorida in kalčijevega klorida v vodni raztopini disočirata na katione (Na+), anione (Cl~) in divalentne katione (Ca++). Gre za naelektrene prosto gibajoče se delče, katerih porazdelitev med nanodelčem in zwitterionsko membrano lahko izračunamo. Porazdelitev je odvisna od razdalje med nanodelčem in membrano Dnp (slika 1). Prisotnost kalčija v blizini zwitterionske membrane zmanjša njeno fluidnost in naj bi vplivala na fuzijo membrane [13], [14], prisotnost nanodelča pa naj bi vplivala na povečanje fluidnosti membrane. Povečanje fluidnosti membrane omogočša ionski transport, čeličšno rast in čelično komunikačijo [15], [16].
2 Teoretični model
Interakcijo med zwitterionsko membrano in nanodel-cem, med katerima je raztopina natrijevega klorida ter kalcijevega klorida, teoretično opišemo s pomočjo spremenjenega Langevin-Poisson-Boltzmannovega (MLPB) modela [9], [11], [17]. MLPB model upošteva nasičenje in polarizacijo dipolov vodnih molekul [1], [9], [10], [18] v bližini naelektrene površine in koncni volumen lipidnih glav [11]. Model ne upošteva koncnih volumnov preostalih delcev.
cr<0
POD- I ROČJE I GLAV I
o-> 0
RAZTOPINA SOLI
O
D ©kation ©
0 0 ' r>n
j°©a© Q©° r 10 © C> o
divalentni kation 0 anion
= 0
-D
x = D
np
d
dx
£q£t(x)
d0(x) dx
2e0n0 smh(eQ0(x) ft)
+2eomo [e'


^ ] _
epV (x) Dao
(1)
membrane ali nanodelca, bomo v nadaljevanju imenovali kemijska koncentracija (ang. bulk concentration).
Pri reševanju enačbe 1 uporabimo naslednje robne pogoje:
O"!
¥ (x =0) = _- (
dx	£q £t (x
0)
d0 (x = D -)-dx (x = Dnp) =
O2
£q £t (x = Dnp)
0 (x = D-) = 0 (x = D+) ,
t (x == D-) = t (x == D+) '
(2)
(3)
(4)
(5)
Slika 1: Shematska predstavitev modela za obravnavo razmer med zwitterionsko membrano in pozitivno naelektrenim na-nodelcem, med katerima je raztopina soli, ki vsebuje katione (Na+), anione (Cl_) in divalentne katione (Ca++). Negativni deli glav na razdalji x = 0 predstavljajo negativno naelektreno površino z negativno površinsko gostoto elektrine ai. D je razdalja med nasprotno naelektrenima deloma v glavi, a2 je površinska gostota elektrine nanodelca, u je orientacijski kot glave posamezne zwitterionske molekule, Dnp pa je razdalja med nanodelcem in negativno naelektreno povrsšino pri x = 0.
Poissonovo enacšbo zapisšemo kot:
Enacba 2 definira prvi robni pogoj, ki doloca, da je površinska gostota elektrine na razdalji x = 0 enaka o\ = -e0/a0. Enacba 3 definira drugi robni pogoj, ki dolocša, da je povrsšinska gostota elektrine na razdalji x = Dnp enaka a2, kar ustreza površinski gostoti elektrine nanodelca (slika 1). Enacbi 4 in 5 zagotavljata zveznost elektricšnega polja in potenciala na koncu zwitterionskih lipidnih glav v tocki x = D. Razdalji D+ in D_ ponazarjata razdaljo D z leve in desne strani, uporabimo ju le zato, ker pri numericnem reševanju obmocje med x = 0 in x = Dnp razdelimo na dva dela, 0 < x < D in D < x < Dnp.
Enacbo 1 smo reševali numericno s pomocjo standardne funkcije za reševanje diferencialne enacbe z vec robnimi pogoji (bvp4c) v programskem paketu Ma-tlab2012b. Vrednosti er (x) in P(x) smo izracunali v iteracijskem postopku zunaj funkcije bvp4c. V MLPB modelu je er(x) podana takole [9], [11]:
£r (x) = n2 +
Uqwpq f 2 + n2\ L(ypqE(x)ft)
£q
)
E (x)
(6)
kjer je n lomni kolicnik vode, n0w koncentracija vodnih molekul, p0 dipolni moment vode, L(u) = (coth(u) — 1/u) Langevinova funkcija, 7 = {3/2)((2 + n2)/3), E(x) = \0(x)'\ pa je velikost elektricnega polja. V modelu je upoštevan koncni volumen lipidnih glav, zato ima funkcija verjetnostne gostote naslednjo obliko [11]:
P (x) = A
kjer je 0(x) elektricni potencial, e0 dielektricna konstanta vakuuma, er (x) relativna dielektricnost raztopine soli in kalcijevega klorida, e0 osnovni naboj, n0 ravnovesna koncentracija natrijevega klorida, ko ni vpliva zwitterionske membrane ali nanodelca, m0 ravnovesna koncentracija kalcijevega klorida, ko ni vpliva zwitteri-onske membrane ali nanodelca, / = 1/kT, k je Bol-tzmannova konstanta, T temperatura, P (x) je funkcija gostote verjetnosti za kot w (slika 1), D je razdalja med naboji v lipidnih glavah, a0 pa je povrsšina, ki jo zavzema ena zwitterionska lipidna molekula. Ravnovesno koncentracijo posameznih ionov, ko ni vpliva zwitterionske
a exp(_eQ0(x)ft) a(exp(_eQ0(x)ft) + 1) '
(7)
kjer je a razmerje med pozitivno naelektrenimi deli glav in vsemi delci v območju glav (glej sliko 1). Vrednost A v iteracijah popravljamo tako dolgo, dokler ni zadošceno normalizacijskemu pogoju:
1 fD
— P (x)dx = 1. D J 0
(8)
Rešitev enacbe 1 je elektricni potencial 0(x), s pomocjo katerega izracunamo poteke koncentracij posameznih ionov. Koncnih volumnov ionov ter vodnih molekul ne upoštevamo, zato predpostavimo, da se kationi, anioni
in divalentni kationi, porazdelijo v skladu z Boltzman-novimi porazdelitvenimi funkcijami:
n+(x) = no exp(-
(9)
n-(x) = (n0 + 2m0) exp(e0^(x)ft) ,	(10)
m++(x) = mo exp(-2eo^(x)fi) .
(11)
V	našem primeru n+ (x) predstavlja potek koncentracije kationov (Na+), n-(x) potek koncentracije anionov (Cl-) in m++(x) potek koncentracije divalentnih kationov (Ca++).
3 Rezultati in diskusija
Pri numericnem reševanju enačbe 1 smo za nekatere parametre v vseh primerih izbrali enake vrednosti. Za T smo izbrali sobno temperaturo T = 298 K, koncentracijo vodnih molekul smo dolocili iz eksperimentalnih podatkov n0w/NA = 55 mol/l, prav tako razdaljo med nabojema v lipidnih glavah D = 0,42 nm. Vrednost p0 = 3,1 Debye dolocimo tako, da dobimo za vrednost er (enacba 6) dalec stran od membrane pri sobni temperaturi vrednost 78,5, kar se sklada z eksperimenti. Parameter a = 0,5 smo izbrali tako, da dobimo dobro ujemanje s simulacijami molekularne dinamike [11]. Površino na eno lipidno molekulo a0 = 0, 60 nm2 smo dolocšili iz eksperimentalnih podatkov, n = 1, 33 je lomni kolicnik vode, NA pa Avogadrovo število. Drugi parametri so za posamezne primere razlicšni, zato so podani pod slikami. Kemijsko koncentracijo soli spreminjamo okoli fiziološke vrednosti, drugi parametri pa so doloceni tako, da so cim blizje eksperimentalnim podatkom.
Pri prvem primeru (slika 2) spreminjamo kemijsko koncentracijo natrijevega klorida, pri konstantni kemijski koncentraciji kalcijevega klorida. Na grafu opazimo, da se kationi naberejo v okolici nanodelca in v okolici negativno nabite povrsšine na razdalji x = 0. Podobno velja za divalentne katione. Ob nanodelcu se nabere vecš kationov kot ob negativno nabiti povrsšini. Razlog za to so lipidne glave, ki so v blizšini negativno nabite povrsšine in so pozitivno nabite. Te glave imajo dovolj velik vpliv, da iz svoje okolice izrinejo precejsšen delezš kationov.
V	okolici lipidnih glav pa se po pricakovanjih naberejo anioni, kar opazimo na srednjem grafu na sliki 2. Tik ob obeh negativno nabitih povrsšinah je koncentracija anionov miniminalna. Povecevanje n0 na sam potek koncentracij nima bistvenega vpliva. Opazimo, da se grafi potekov koncentracij kationiov (n+) in anionov (n_) pomaknejo k višjim vrednostim, saj s povecevanjem n0 povecšamo kemijski koncentraciji kationov in anionov. S povecevanjem n0 ne povecamo le kemijske koncentracije divalentnih kationov, zato so spremembe minimalne pri poteku koncentracije divalentnih kationov (m++). Na spodnjem grafu na sliki 2 opazimo le, da
1,6 1,2
)
10,8
+
c
0,4
0,0 0,20
0,15
¡0,10
0,05
0,00 3,0 2,5 n 2,0
I 1,5
+
E+1,0 0,5
nJN=0,01 mol/l
0 A
nn IN =0,02 mol/l
0 A
----n. IN, = 0,04 mol/l
0 A '
-nJN =0,07 mol/l
0 A '
----n„IN= 0,10 mol/l
0 A '
-n0INA = 0,20 mol/l
o,oi 0
x=D
12,0
6
x/nm
10
12
Slika 2: Na grafih so prikazani poteki koncentracij posameznih delcev med lipidnim slojem in nanodelcem, za primer: Dnp = 12 nm, a2 = 0,5 <7i. Kemijska koncentracija kalcijevega klorida je konstantna: m0/NA = 0, 01 mol/l, spreminjamo le kemijsko koncentracijo natrijevega klorida no - Z n+ oznacimo potek koncentracije kationov (Na+), z n- potek koncentracije anionov (Cl-) in z m++ potek koncentracije divalentnih kationov (Ca++).
se s povecevanjem n0 rahlo zmanjšuje koncentracija divalentnih kationov tik ob nanodelcu.
V drugem primeru (slika 3) spreminjamo kemijsko koncentracijo kalcijevega klorida pri konstantni kemijski koncentraciji natrijevega klorida. V tem primeru ostane konstantna le kemijska koncentracija kationov. S povecevanjem m0 povecamo kemijski koncentraciji anionov in divalentnih kationov. Na srednjem grafu na sliki 3 ponovno opazimo kopicenje anionov v obmocju lipidnih glav. Nanodelec je v tem primeru nevtralen, zato se v njegovi okolici ne dogaja nicš posebnega. Vecina pozitivnih ionov (n+, m++) se nakopici pri negativno naelektreni povrsšini na razdalji x = 0. Na zgornjem grafu na sliki 3 opazimo, da povecevanje m0 vpliva tudi na sam potek koncentracije kationov (n+). S povecevanjem m0 se koncentracija kationov na razdalji x = 0 zmanjšuje, hkrati pa se v blizini nanodelca
	0,6
3,0	0,4
<0 I 2,0	0,2
C' 1,0	ui
m0INA = 0,01 mol/l mJNe = 0,02 mol/l
0 A
----mg INa = 0,04 mol/l
-mnINA = 0,07 mol/l
0 A
----mJN= 0,10 mol/l
0 A '
-mJNA = 0,20 mol/l
0 A '
0,3 i 0,6 0,9 x= D x/nm
1,2
1,5
Slika 3: Na grafih so prikazani poteki koncentracij posameznih delcev med lipidnim slojem in nanodelcem, za primer: Dnp = 1, 5 nm, a2 = 0. Kemijska koncentracija natrijevega klorida je konstantna: uo/Na = 0,1 mol/l, spreminjamo le kemijsko koncentracijo kalcijevega klorida m0. Z n+ označimo potek koncentracije kationov (Na+), z n- potek koncentracije anionov (Cl-) in z m++ potek koncentracije divalentnih kationov (Ca++).
Slika 4: Na grafih so prikazani poteki koncentracij posameznih delcev med lipidnim slojem in nanodelcem, za primer: Dnp = 1,5 nm, a2 = —0,5 cti. Kemijska koncentracija natrijevega klorida je konstantna: n0/NA =0,1 mol/l, spreminjamo le kemijsko koncentracijo kalcijevega klorida m0. Z n+ oznacimo potek koncentracije kationov (Na+), z n- potek koncentracije anionov (Cl-) in z m++ potek koncentracije divalentnih kationov (Ca++).
povecuje. Spreminjanje m0 pri konstantni n0 torej vpliva tudi na poteke koncentracij posameznih ionov, cesar v prejšnjem primeru nismo opazili.
Primer na sliki 4 je podoben tistemu na sliki 3, le da imamo sedaj pozitivno nabit nanodelec. Na srednjem grafu na sliki 4 opazimo, da maksimum koncentracije anionov (n_) v okolici lipidnih glav ni vec tako izrazit, saj se le-ti naberejo v blizšini pozitivno naelektrenega nanodelca. Razlog, da se vecšina anionov nabere v okolici nanodelca in ne v obmocšju lipidnih glav, je v tem, da je v blizšini lipidnih glav tudi negativno naelektrena povrsšina, ki anione odbija. Na spodnjem grafu na sliki 4 opazimo, da se vecina divalentnih kationov (m++) nabere v okolici negativno nabite površine na razdalji x = 0. Podobno velja za katione (n+), vendar je tam potek koncentracije precej odvisen tudi od m0, kar opazimo na zgornjem grafu na sliki 4. S povecevanjem m0 se v
obmocšju med lipidnimi glavami in nanodelcem pojavi lokalni maksimum koncentracije kationov. Kationi se v tem obmocju zacnejo nabirati zato, ker s povecevanjem m0, povecamo kemijsko koncentracijo divalentnih kationov, ki se naberejo tik ob negativni povrsšini in od tam izrinejo monovalentne katione.
Povprecšni kot lipidnih glav je odvisen od naelektrenosti nanodelca. Kot je manjši, tedaj ko ima naboj nanodelca nasproten predznak kot naboj lipidnih glav. V tem primeru nanodelec privlacši lipidne glave, zato se bolj odprejo. Mejni primer je popolnoma poravnana lipidna glava (w = 0), kar je prikazano na sliki 1. Na sliki 5 opazimo, da je povprecšni kot lipidnih glav pri konstantni koncentraciji n0 odvisen od koncentracije m0. Na grafu (slika 5) vidimo, da je povprecni kot lipidnih glav pri pozitivno naelektrenem nanodelcu (a2 = -0,5 o\) vecji kot pri negativno naelektrenem
0,010 0,048
0,086 0,124 m0INAl(mol/l)
0,162 0,200
Slika 5: Graf prikazuje povprečni kot lipidnih glav v odvisnosti od kemijske koncentracije kalcijevega klorida m0 za primera dveh različno nabitih nanodelcev. Parametri so: n0/NA = 0,1 mol/l, Dnp = 0, 6 nm.
nanodelcu (a2 =0, 5 a1). Pri pozitivnem nanodelcu je kot vecji, saj so tudi lipidne glave pozitivno naelektrene in se zaradi odbojne sile bolj zaprejo. Negativni nanode-lec lipidne glave privlaci, zato je kot v povprečju manjši. Povecevanje m0 na kot vpliva tako, da zmanjša razliko med povprecšnima kotoma za razlicšno nabita nanodelca (slika 5).
2, 1, 1,
"i0 I0'
-1, -1, -2,
-n0INA = 0,1 mol/l, m0INfi = 0,01 mol/l, <j2= -0,5 o,
- - n0 INa = 0,1 mol/l, m0 INA = 0,01 mol/l, a = 0,5 o,
- n0 INa = 0,1 mol/l, m0 INA = 0,1 mol/l, a = -0,5 n,
„ - - n0!NA = 0,1 mol/l, m„INA = 0,1 mol/l, a = 0,5 a,
/ "0,5r -1,0 -1,5.

0,60 0,75 0,90
°i45 0,i
60 0,75 0,90
Negativen nanodelec (a2 =0, 5 a1)v celotnem obmocju cuti privlacno silo, ki se povecuje, ko se nanodelec bliza lipidnim glavam. Sprememba m0 pri konstantni koncentraciji n0 nima velikega vpliva na osmotski tlak. Osmotski tlak torej ni mocno odvisen od razmerja kemijskih koncentracij kalcijevega in natrijevega klorida.
4 Sklep
V študiji smo s pomocjo MLPB modela prikazali razmere med zwitterionsko membrano in nanodelcem, med katerima je raztopina soli in kalcijevega klorida. Iz rezultatov razberemo, da prisotnost kalcija na razmere med zwitterionsko membrano in nanodelcem ne vpliva, ce sta ta dva dovolj narazen ali pa ce nanodelec sploh ni prisoten. Primerljive rezultate smo dobili tudi v naših prejšnjih študijah, v katerih MLPB modeli niso vsebovali kalcijevega klorida [11], [19]. Ko je nanodelec dovolj blizu zwitterionske membrane, pa prisotnost kalcija zmanjša vpliv nanodelca na povprecni kot zwitterionskih glav. Vpliv se s povecevanjem koncentracije kalcijevega klorida povecuje ne glede na naelektrenost nanodelca.
Zahvala
Raziskavo je omogočila Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije (ARRS) v okviru programa mladih raziskovalcev. A.V. se za finančno pomoč zahvaljuje tudi podjetju SMARTEH, d.o.o., in Evropskemu socialnemu skladu.
Dodatek
Osmotski tlak
0,45 1,10 1,75 2,40 3,05 3,70 4,35 5,00 D /nm
np
Slika 6: Osmotski tlak v odvisnosti od razdalje Dnp za dva primera kemijskih koncentracij in dva razlicno nabita nanodelca.
Lokalna vrednost tlaka Pioc je s pomocjo integriranja (glej tudi [19]) izpeljana iz enacbe MLPB modela (enacba 1). Ce nato od lokalne vrednosti tlaka odštejemo vrednost tlaka, ko ni vpliva Zwitterionske membrane ali nanodelca Pbulk, dobimo izraz za osmotski tlak: n = Ploc — Pbulk. Enacbo 1 lahko zapišemo tudi v naslednji obliki :
Osmotski tlak nam pove, kaksšna je sila med nano-delcem in zwitterionsko membrano. Pozitiven osmotski tlak ponazarja odbojno silo, negativen pa privlacšno. Na grafu (slika 6) prikazemo, kako je osmotski tlak odvisen od razdalje med nanodelcem in membrano. Pri pozitivno naelektrenem nanodelcu (a2 = —0,5 a1) je osmotski tlak pozitiven in se povecuje, ce nanodelec priblizšujemo lipidnim glavam. Pozitiven nanodelec cšuti odbojno silo zaradi pozitivno naelektrenih lipidnih glav.

d
dx
2
e0n — dx

/2 + n2\ d nowpo I —3— 1 dXL (YPoE(x)ß)
+2eono sinh e0$ß
+2eomo ^
ee0<p{x)ß _ e—2e0^{x)ß

eoP (x) Dao
0.
(12)
Enacbo 12 najprej pomnožimo z = d^/dx, nato pa jo integriramo, da dobimo:
1 £0 n2E (x)2
( 2 + n2 \
-E(x) ( —3— ) now Po L (ypoE(x)P) _l_	ln ^5inh(YPoE(x),3)
3
Y fi \ YPoE(x)fi 2 no kT (cosh(-eo^(x)fi))
+■
m	+	= konst , (13)
kjer je konst lokalna vrednost osmotskega tlaka. Zadnji člen v enačbi 12 smo zanemarili, saj je definiran le v območju zwitterionskih lipidnih glav na intervalu 0 < x < D, tlak pa smo vedno računali zunaj območja zwitterionskih lipidnih glav. Pri izpeljavi enačbe 13 smo uporabili naslednje relacije:
f t"*' dx =	=	,
f "d- $' dx = — $' — j — d$ ,
= d2$/dx2 , = $ dx . (14)
Osmotski tlak n = Ploc — Pbulk lahko tako zapišemo kot [19]:
n = 2 ec n2E (x)2
( 2 + n2 \
—E(x) ( —3— j ncw pc - (YPcE(x)@)
+ f 2 + n2 \ ncw isinh(7pcE(x)^) \ + V 3	YPcE(x)p )
+ 2 nc kT (cosh(—ec$(x)fi) — 1)
+ '	+ e-2e^(x)f — ^ . (15)
Povprečni kot zwitterionskih lipidnih glav
Povprečni kot zwitterionskih lipidnih glav (< w >) lahko zapišemo kot normalizirano funkčijo gostote verjetnosti P(x) [11]:
< u >
f uP(x)dx o_
D
J P(x)dx
o
(16)
kjer je orientacijski kot posamezne zwitterionske molekule (glej sliko 1):
(§)
[3]	M. Luckey, Membrane structural biology. Cambridge University Press, 2008.
[4]	G. Cevc, Phospholipids handbook. CRC Press, 1993.
[5]	P. Kramar, D. Miklavcic, and A. M. Lebar, "Determination of the lipid bilayer breakdown voltage by means of linear rising signal," Bioelectrochemistry, vol. 70, no. 1, pp. 23-27, 2007.
[6]	I. Sabotin, A. M. Lebar, D. Miklavcic, and P. Kramar, "Measurement protocol for planar lipid bilayer viscoelastic properties," Dielectrics and Electrical Insulation, IEEE Transactions on, vol. 16, no. 5, pp. 1236-1242, 2009.
[7]	M. Tarek, "Membrane electroporation: a molecular dynamics simulation," Biophysical journal, vol. 88, no. 6, pp. 4045-4053, 2005.
[8]	A. Polak, D. Bonhenry, F. Dehez, P. Kramar, D. Miklavcic, and M. Tarek, "On the electroporation thresholds of lipid bilayers: Molecular dynamics simulation investigations," J. Membrane Biol., pp. 843-850, 2013.
[9]	E. Gongadze, U. van Rienen, V. Kralj-Iglic, and A. Iglic, "Langevin poisson-boltzmann equation: point-like ions and water dipoles near charged membrane surface," Gen. Physiol. Biophys., vol. 30, pp. 130-137, 2011.
[10]	E. Gongadze, U. van Rienen, and A. Iglic, "Generalized stern models of an electric double layer considering the spatial variation of permittivity and finite size of ions in saturation regime," Cell. Mol. Biol. Lett., vol. 16, pp. 576-549, 2011.
[11]	A. Velikonja, S. Perutkova, E. Gongadze, P. Kramar, A. Polak, A. Macek-Lebar, and A. Iglic, "Monovalent ions and water dipoles in contact with dipolar zwitterionic lipid headgroups-theory and md simulations," International journal of molecular sciences, vol. 14, no. 2, pp. 2846-2861, 2013.
[12]	P. C. Hiemenz and R. Rajagopalan, Principles of Colloid and Surface Chemistry, revised and expanded, vol. 14. CRC Press, 1997.
[13]	Y.-H. Wang, A. Collins, L. Guo, K. B. Smith-Dupont, F. Gai, T. Svitkina, and P. A. Janmey, "Divalent cation-induced cluster formation by polyphosphoinositides in model membranes," Journal of the American Chemical Society, vol. 134, no. 7, pp. 33873395, 2012.
[14]	P. B. Santhosh, A. Velikonja, E. Gongadze, A. Iglic, V. Kralj-Iglic, and N. P. Ulrih, "Interactions of divalent calcium ions with head groups of zwitterionic phosphatidylcholine liposomal membranes.," Acta chimica Slovenica, vol. 61, no. 2, pp. 215222, 2014.
[15]	T. Hianik and V. I. Passechnik, Bilayer lipid membranes. Structure and mechanical properties. Springer, 1995.
[16]	Y. Roiter, M. Ornatska, A. Rammohan, J. Balakrishnan, D. Heine, and S. Minko, "Interaction of nps with lipid membrane," Nano Lett., vol. 8, pp. 941-944, 2008.
[17]	E. Gongadze, A. Velikonja, S. Perutkova, P. Kramar, A. Macek-Lebar, V. Kralj-Iglic, and A. Iglic, "Ions and water molecules in an electrolyte solution in contact with charged and dipolar surfaces," Electrochimica Acta, 2013.
[18]	E. Gongadze and A. Iglic, "Decrease of permittivity of an electrolyte solution near a charged surface due to saturation and excluded volume effects," Bioelectrochemistry, vol. 87, pp. 199203, 2012.
[19]	A. Velikonja, P. B. Santhosh, E. Gongadze, M. Kulkarni, K. Elersic, S. Perutkova, V. Kralj-Iglic, N. P. Ulrih, and A. Iglic, "Interaction between dipolar lipid headgroups and charged na-noparticles mediated by water dipoles and ions," International journal of molecular sciences, vol. 14, no. 8, pp. 15312-15329, 2013.
u = arccos ) .
(17)
Literatura
[1]	H. Frohlich, Theory of dielectrics. Clarendon Press, Oxford, UK, 1964.
[2]	R. Lipowsky, E. Sackmann, et al., "Handbook of biological physics," Structure and Dynamics of Membranes, vol. 1, 1995.
Luka Mesarec je mladi raziskovalec v Laboratoriju za Biofiziko na Fakulteti za Elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Ukvarja se s študijem teoretičnih modelov lipidnih membran v dotiku s prevodno raztopino. Pri tem uporablja pristop s Poissonovo enačbo. Poleg tega se ukvarja sše s proucševanjem vpliva nanodelcev na konfiguracije topolosških defektov v nematičnih lupinah.
AljaZ Velikonja je mladi raziskovaleč iz gospodarstva podjetja SMARTEH, d.o.o. V sodelovanju z Laboratorijem za biokibernetiko in Laboratorijem za biofiziko na Fakulteti za Elektrotehniko Univerze v Ljubljani proučuje električne lastnosti lipidnih dvoslojev kot preprostih bioloških modelov čeličnih membran ter s pomočjo teoretičnih modelov proučuje elektrostatične razmere lipidnih dvoslojev v dotiku s prevodno raztopino.
Aleš Iglič je doktoriral s področja fizike na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo ter s področšja elektrotehnike na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. V letu 2007 je bil izvoljen v naziv redni profesor. Njegovo znanstveno področšje obsega fiziko in elektrostatiko biolosških membran in nanostrukur. Na Fakulteti za elektrotehniko predava na dodiplomskem sštudiju Fiziko 1 in Fiziko 2, na podiplomskem sštudiju pa Elektrostatiko povrsšin in nanostruktur.