P R E S E K List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 26 (1998/1999) Številka 5 Strani 258-263, XVII, XVIII Marko Razpet: DR. FRANC MOCNIK IN CAUCHYJEVA METODA Ključne besede: Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Franc Mocnik (1814-1892), matematika, numerična analiza, ničle polinomov, Cau-chyjeva metoda, slovenski matematiki. Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1381-Razpet.pdf © 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo Uli I ff Mit il Zgoraj: Skupna grobnica zadnjih Bourbonov v frančiškanskem samostanu na Kostanjevici v Novi Gorici. Desno: Zadnji bourbonski vladar Francije Karel X. Po bogu iz Francije je našel zatočišče v Gorici. Na njegovo povabilo je nekaj časa živel v naših krajih in v Močnikovi bližini veliki francoski matematik Augustin Cauchy. DR. FRANC MOČNIK IN CAUCHYJEVA METODA Na začetku 17, stoletja so na Kostanjevici pri Gorici zgradili majhno cerkev. ki so ji kasneje pridružili še samostan za karmeličane. Avstrijski cesar Jožef II, sin cesarice Marije Terezije, je proti koncu 18. stoletja dal samostan zapreti, tako kot se mnogo drugih. Leta 1811 so na Kostanjevico prišli frančiškani, ki v samostanu živijo še dandanes (slika na naslovnici). Ustanova premore mnogo zanimivih slik in knjižnico z nekaterimi zelo starimi knjigami. Pod samo cerkvijo pa je grobnica z marmornatimi sarkofagi, v katerih počivajo nekateri člani zadnje francoske kraljeve družine (dinastija Burbonov). Skica prikazuje razpored sarkofagov (glej tudi fotografijo na drugi strani ovitka). Henrik V (1820-1883) vnuk Karla X grof Oliaiiibordski vojvoda Bordojski Karel X Filip (1757-1836) francoski kralj od 1824 Marija Terezija Beal.rice Gaetana (1817-1886) soproga Henrika V nad vojvod i nj a A v-;l: ii-i Esl ti Marija Terezija Charlottc (1778 1851} vojvodi j ija Anguleniska soproga Karla X liti Ludvika XVI in Marije Antoinette Loui» Jean Casimir (1771 I S39) dvorni minister. Dne de Blacas marqnis d'Aulps Po bitki pri Waterlooju, kjer je doživel Napoleon dokončen poraz, je leta 1824, po smrti kralja Ludvika XVIII, zasedel francoski prestol kralj Karel X Filip (slika na drugi strani ovitka). Toda leta 1830 je prišlo v Franciji do revolucije in Karel X ter njegov sin Ludvik XIX sta se morala odpovedati prestolu v korist Henrika V, ki pa nikoli ni vladal. Kralj Karel X s spremstvom je moral zbežati iz Francije. Nekaj časa se je mudil na Škotskem in Češkem, nato pa je dobil zatočišče pri grofu Coromni v Gorici, kjer je kmalu po prihodu zbolel za kolero in umrl, Marija Terezija Beatrice Gaetana ima največ zaslug zato, da zadnji Burboni počivajo v skupni grobnici v frančiškanskem samostanu na Kostanjevici, kar je bila poslednja želja Henrika V. Med prvo svetovno vojno so bili sarkofagi zaradi soške fronte prepeljani na varen kraj blizu Dunaja, leta 1932 pa nazaj na Kostanjevico. Kaj imajo zadnji Burboni pravzaprav opraviti z matematiko? Tedaj živeči znani francoski matematik Augustin Louis Cauchy (1789-1857) je bil goreč privrženec francoskih kraljev. Kot matematik, podvržen strogemu načinu razmišljanja, je menil, da samo kralj s trdo roko lahko naredi zopet red v državi. Po revoluciji leta 1830 je zato odšel iz Francije in se nekaj časa, zadrževal v tujini, dokler ga ni kralj Karel X povabil k sebi v Gorico, da bi bil vnuku Henriku V vzgojitelj in učitelj. Caurhvja je pot res zanesla v Gorico, kjer pa je tiste čase (1832-1836) študiral bogoslovje Franc Močnik (1814-1892). Močnik ni postal duhovnik, ampak učitelj na goriški nor-malki (1836 184(1), hkrati pa je študiral na graški univerzi, kjer je leta 1840 doktoriral. Vsi ga najbolj poznamo po njegovih računicah. Kaže pa, da je Cauchy, kot eden glavnih matematikov prve polovice 19. stoletja, v Gorici naredil na Močnika izredno velik vtis. Morda se je Močnik ravno zato odločil za matematiko in šolske zadeve. Ni sicer popolnoma znano, kako dobro sta se pravzaprav moža osebno poznala. Edino dejstvo, ki sploh govori v prid poznanstva, je izdajateljeva opomba skoraj 100 strani dolge, v nemščini napisane razprave, ki jo je Močnik objavil na Dunaju leta 1839 in ima naslov Theorie der numerischen Glei-chuiigeu mit eiuer Uabekannten. kar pomeni Teorija, numeričnih enačb z Augustin Louis Caucliv eno neznanko. Naslovil sledi še daljši podnaslov Mit besonderer Rücksicht auf die neueste von C auchy erfundene allgemeine Aufiösuugsmethode. kar pomeni S posebnim ozirom im najuovejšo splošno metodo reševanja, ki jo je iznašel Gau-ehy. S to edino znanstveno razpravo se je Močnik, star 25 let, uveljavil v matematičnem svetu kot avtoriteta, kar mu je še kako koristilo kasneje, recimo pri šolskih reformah. In izdajateljeva opomba? Pravi, da je Močnik v svoji skromnosti zamolčal, da je imel v Gorici veliko priložnost in srečo delati v neposredni bližini Cau-chyja, ki je tam več let vzgajal in učil vojvodo Bordojskega. In da taka povezanost obeh matematikov daje objavljeni razpravi še posebno vrednost. Zakaj v razpravi pravzaprav gre? Močnik obravnava postopek za nu-merični izračun pozitivnih ničel polinomov z realnimi koeficienti. Nemško govorečim bralcem je podal Cauchyjevo metodo v dostopnejši in razumlji-vejši obliki. Cauchy je bil eden od prvih, v današnjem smislu strogih in doslednih matematikov, ki je trajneje vplival na Močnika in njegova dela. Kaj lahko na kratko povemo o sami Cauchvjevi metodi? Metoda v omenjeni razpravi je precej splošna, zato si oglejmo najenostavnejšo, linearno metodo. Naj bo f{x) - fnxn + fn-ixn~l + .. ■ + Ax + /o, kjer je /„ ž 0 in n > 1, polinom z realnimi koeficienti. Odvod polinoma f(x) je polinom f'(x) = nfT1xn~1 + (n — l)fn_ixn~2 + ... + /i- Geometrijsko pomeni f'(xo) naklon tangente na graf polinoma f(x) v točki Tq(^q, f{xo)). Ce ima f(x) pozitivne koeficiente, ima f'(x) tudi pozitivne koeficiente. Polinom f(x) z realnimi koeficienti naj ima na intervalu (o, 6). kjer je 0 < ti < č>, natanko eno ničlo xq. To pomeni, da je /(Xq) = 0. To ničlo bi radi približno izračunali, ker natančne ne znamo najti. Zapišimo f(x) — p(x) — q(x), kjer imata polinoma p{x), q(x) pozitivne koeficiente. Potem pri pogoju a < x < b očitno veljata relaciji p'(a.) < p'(x) < p'(b) in q'(a) < q'(x) < q'(b). Zato velja na intervalu (a, i?) relacija: p'(a) — q'[b) < < r(x)(t)(0-*i Uporabimo sedaj to trditev na intervalu [a, xj, kjer jen < x < b. Torej lahko najdemo med a in x, tako točko , za katero velja f(x) — f(a) = — f'i^i)(x — o)- Prav tako lahko najdemo med x in b tako točko £2, za katero velja /{6) — f(x) — f'{&)(b — x). Iz zadnjih dveh relacij in iz mej za odvod polinoma f[x) na intervalu («, b) dobimo relaciji f(a) + (x- a)(p'(a) - q'(b)) < f(x) < f(a) + (x - a)(p'(b) - q'(a)) v. B f( 0) A X, Y OL Z P x m /((,) + {x - b)(p'(b) - q'(a)) < f(x) < f(b) + (* - b)(p'(a) - q'(b)) , ki veljata na intervalu [a, 6]. Tam torej velja h(x) < f(x) < H{x), kjer sta H{x) in h(x) linearna polinoma H(x) = f(a) + (x~a)(p'(b)-q'(a)), h(x) = f(b) + (x-b)(p'(b)-q'(a)). Očitno je H {a) = f(a) in h(b) = f(b). Vzemimo najprej, da je /(«) < 0 in f(b) > 0. Ničli funkcij H(x) in h(x) sta po vrsti „ = n /(°) h h m ° P'(b)-q'(a) - 1 ?/(&)-g'(a)' Število a je spodnji, b pa zgornji začetni približek za ničlo :ro polinoma f(x): števili m 6] pa sta boljša približka za Xu in zato velja: a < Oi < f(ai) in O = h(b%) < f(bi), lahko opisani račun ponovimo na intervalu (01,61), dobimo nov interval (03,bo) itd. Ce postopek dovolj dolgo nadaljujemo, dobimo ničlo polinoma f(x) tako natančno, kot želimo. V primeru f(a) > 0. f(b) < 0 obravnavamo polinom —f(x), ki ima iste ničle kot f(x), polinoma p(x) in q(x) pa zamenjata vlogi. Primer: Polinom /(z) = X4, — Sx:i + 5:r2 — 6.r — 1 ima pozitivno ničlo na intervalu (2,3), saj je /(2) < 0 in /(3) > 0, Ker je f(x) = — + f>x?) — (3z3 + 6j* + 1), lahko uporabimo opisani postopek za p(x) = x'1 + 5x2, q(x) = 3a;3 + 6x + 1, p'(x) = 4a;3 + Kte, q'(x) = 9x2 + 6, a = 2, b = 3. Približke an in bn za n >lv tabeli računamo po formulah: _ /K) . /(M "+1 ~ 71 71+1 ~ " Pri tem vzamemo: «o = 2, = 3 . n an bn 0 2.000000 3.000000 1 2.010417 2.729167 2 2.023925 2.512316 3 2,040438 2.342643 4 2.058834 2.217320 5 2.076058 2.1.36587 6 2.087190 2.099115 7 2.090406 2.090964 8 2.090593 2.090594 9 2,090593 2.090593 Pozitivna ničla polinoma je torej ar0 — 2.090593. Polinom f(x) ima še eno realno ničlo na intervalu (—1,0), saj je /(—1) > 0 in /(0) < 0. Najprej zamenjamo x z —x, tako da iščemo ničlo polinoma f(x) = x4 + 3x3+5a:2 + + 6x — 1 na intervalu {0,1), Ker je /(0) < 0 in /(1) > 0, lahko uberemo zgornji postopek, z drugačnima polinomoma a:) in in dobimo ničlo xo — 0.146994, ki pa se za predznak razlikuje od ničle prvotnega polinoma. Prvotni polinom ima dve realni ničli: x\ = —0.146994 in — 2.090593. Marko Razpet