i
i
“580-Bezek-Zanimivosti” — 2010/6/3 — 9:36 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 10 (1982/1983)
Številka 1
Strani 12–15
Danijel Bezek:
ZANIMIVOSTI O FIGURATIVNIH ŠTEVILIH
Ključne besede: matematično razvedrilo, matematika, razvedrilo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/580-Bezek.pdf
c© 1982 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATiČNO
RAZVEDRILO
ZANI MIVOSTI OFIGURATIVN IHSTEV ILIH
Figurativ na . t e vi l a povezujejo ~ e o m e t r i j s k o obliko z o ri tm e t ič ­
no vsebino. Kako? Pogl e jmo s i na prime r u!
š t ev i l a v zaporedju : 1 ,3 ,6,10,15,21. . . imenujemo t r-i ko t na
. t ev i l a . Tako jih ime nuj em o zato, ke r šte jejo og l išča i n točke
v s tranica h homote tičnih t r i kot ni kov. Pri tem je, kot vidimo na
s l iki, vs a k tr ikot nik vs eb ova n v s vojem nas ledni ku .
o
S l i k a 1: T riko tn a štev i l a
Igro z zapo r edj em i n pri re j e nimi fig urativ ni mi li ki lahko t ud i
obrnemo . Na r išemo homoteti čne kvadr a t e , pre št ejemo t očk e t e r
ob l ik uj emo z a p o r e dj e k v adr a t nih š t e o i l : 1, 4, 9 ,16 ...
o o
u
Sl i ka 2: Kvad r at n a š tev i l a
12
Poleg trikotnih in kvadratnih števil poznamo petkotna , š es t k o t -
na in s plošno n -kotna š t e v i l a .
Včasi h nas za nima kak poseben predsta vnik i z zapor ed ja š tev i l
določene vrst e. Na primer : petko tno šte vi lo, ki je v za por edj u
petkotn i h š t ev il na četrte m mestu.
Figurativna podoba na sliki 3 nam pomaga na jti r eš ite v.
Slika 3 : Pe t ko t no število četr tega reda
s štetjem točk homotetičnih petkot nikov na sl ik i 3 ugo to vimo,
da je v zaporedju petkotnih štev i l na četrt em mestu š t evi lo 22 .
Ta k način je pr i n - kot ni h š tevili h, ki leži jo na bol j odda lje-
ni h mestih, zelo zamuden . Zato bi radi i me l i obrazec, po kate-
rem se da brez težav pois kati pol jubno n-k ot no §te vilo na po-
l j ubnem m-t em mestu v zaporedju n-ko tni h št evil.
V Preseku (glej Presek 1977/78, št. 3, s tr . 159) smo pre d l e t i
tak obrazec že i zp e l j ali . (Primer jaj še Pr e s e k 1979/80, š t . 4,
str. 214). Zdaj ga samo zapišimo:
( n - 2 )m(m- l )
2
+ m ( 1 )
Z obrazc em (1") iz polni ta be lo , kj er v vrsti ce piše š zaporedja
n- kot ni h štev il do m- t ega me s ta .
13
l. TABELA: Zaporedja n - kot ni h števil do m- t ega mesta
~ 1 2 3 4 5 6 7 m'"
3-kotna
4-kotna
5-kotna
6-kotna
7-kotna
n-kotna
Tabela ti bo pomagala, da boš na konkretnih primerih ali
pa splošno preizkusil veljavnost naslednjih trditev o fi-
gurativnih številih.
2. š e s tko tno š t ev i l o na m-tem mestu je enako t rikotnemu
š t e vil u na ( 2m - 1) me stu.
3. Pe t k o t no š tevilo na m-tem mestu j e ena k o vsoti triko t -
nega š t e v i l a na m-tem mestu in dva kratniku tri k o tnega .
š t e v ila na (m - 1) me s t u .
4. Če kos emk ratniku tri kotnega š t e v i l a prištejemo 1 , do b i -
mo kvadr atno š tevi l o .
Zadnjo nalogo je okoli leta 250 pr.n.št . postavil grški matema-
tik Di ofant. Njegovo najbolj znano delo s področja matematike
je Aritmetika. Več o njegovem življenju pa pove v verze prelita
naloga. ki ne bo pretrd oreh. če znaš nastavljati enačbe.
14
5.  W-odrec ob grobu postoj, poEasti pepal Ddofa~nta, 
l e k  njegova prei!tej, odmarjena z voljo bogav, 
Sastl del sojstnih let ozarja mu sreEa otro3tv8, 
Oe pol  Sasttne mine, ko l i s a  paraste mu puh. 
Let Le sedmtno nato  Izbere s f  vdanu dru24co. 
Pet l e t  Ze d ~ u f l  j u  vez, ks se rcdt j t m a  stn. 
Lt pol oCatavih dnf Is 1 jublgencu dano 2fuetf.  
radost oEetova vsa v prerani utrna se grob. 
Dvakrat  dve letf bridko pretoff nad t e f k o  izgubo. 
potlej utrujen Se $am xa vselad za t lsne  o t i .  
tl tsratura : 
PanSJat Bask: Flgutatlvna 9 t l rv t l a ,  Presrrk 1977/78, It. 3 
B t d o  Prvarrov&b: Z b l r k r  matsmatfEnfh sadataka V I I ,  TnhnIEita 
knJIga, Baograd 1967 
Bomaa Rojko: Prtkotne ttevf la, Presak 1979/80, gt .  4