i
i
“kolofon” — 2017/9/21 — 7:44 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2017, letnik 64, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledala Janez Juvan in Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2041 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 81 — #1 i
i
i
i
i
i
TIPI V PROGRAMSKIH JEZIKIH IN IZREKI O
VARNOSTI PROGRAMOV
FILIP KOPRIVEC
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 68Q55, 68Q60, 68N18
Eno izmed pomembneǰsih orodij v programiranju so zagotovo tipi, saj nam omogočajo,
da že pred zagonom programa preprečimo določeno vrsto napak. V članku si na primeru
preprostega programskega jezika najprej ogledamo pravila sintakse in izvajanja, nato pa
zanj dokažemo izrek o varnosti, ki nam s pomočjo tipov zagotavlja, da bo med izvajanjem
programa njegovo stanje vedno smiselno. Na kratko predstavimo tudi lambda račun z
enostavnimi tipi in njemu pripadajoči izrek o varnosti.
TYPES IN PROGRAMMING LANGUAGES AND CORRESPONDING
SAFETY THEOREMS
One of the most important tools in programming is definitely the type system, which
allows us to eliminate a whole class of errors before the actual evaluation of the program
even takes place. This article presents a simple programming language which is used to
examine syntax and evaluation rules, and proceeds with proving a safety theorem which
uses types to ensure that the program state will stay sound during the execution. Simply
typed lambda calculus and the corresponding safety theorem are presented at the end.
Uvod
Najpomembneǰsa lastnost večine programov je zagotovo pravilnost. Da bi
zagotovili pravilnost programa, si pomagamo z mnogo različnimi pristopi in
orodji, ki imajo različne prednosti in slabosti. Eno izmed preprosteǰsih, a
vseeno zelo močnih orodij, so tipi. S pomočjo tipov lahko vnaprej preprečimo
nekatera stanja, ki bi utegnila privesti do napake v izvajanju.
Teoretično osnovo pri delu s tipi nam daje izrek o varnosti, ki zagotovi,
da med izvajanjem programa s tipi ne bo prǐslo do napake. Izrek o varnosti
si bomo ogledali na preprostem programskem jeziku, na koncu pa bomo na
kratko omenili, kako lahko to posplošimo tudi na funkcije.
Sintaksa
Običajno jezike podamo z različico Backus-Naurove (BNF) oblike zapisa.
Jezik oziroma množico izrazov, ki jih označujemo s sintaktično spremen-
ljivko t, definiramo tako, da naštejemo vse možne oblike izrazov, ki jih med
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 81
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 82 — #2 i
i
i
i
i
i
Filip Koprivec
seboj ločimo z »|«. Če v zapisu nastopa t (ali t1, t2, t3), to pomeni, da na-
mesto t lahko vstavimo poljuben veljaven izraz, kar nam omogoči, da nove
izraze dobimo s kombiniranjem že obstoječih. Sintaksa jezika je prikazana
v tabeli 1.
izraz t ::= true
∣∣ false ∣∣ n ∣∣ succ t ∣∣ pred t ∣∣ iszero t∣∣ if t1 then t2 else t3
Tabela 1. Osnovna sintaksa.
Po pravilih sintakse naš jezik vsebuje: logični konstanti za resnico in
neresnico ter konstanto za vsako celo število n. S črto pod številom ozna-
čimo, da gre za izraz, ki pomeni to število (0 je izraz, ki pomeni število 0).
Obstoječe izraze pa uporabimo pri gradnji novih izrazov. Jezik vsebuje še
funkciji, ki vrneta naslednika in predhodnika poljubnega drugega izraza t,
in predikat, ki pove, ali je izraz t enak izrazu, ki pomeni število 0. Vsebuje
pa tudi pogojni stavek, ki je sestavljen iz treh delov: pogoja, rezultata, če
je pogoj izpolnjen, in rezultata, če pogoj ni izpolnjen.
Primer 1. Intuitivno idejo jezika si je najlažje ogledati kar na primeru.
Definirani jezik je sicer zelo šibak, a vseeno lahko sestavimo izraz, ki preveri,
ali izraz t pomeni število 0 ali 1.
if (iszero t) then true else (iszero (pred t)) (1)
Definiramo preprost pogojni stavek, ki bo tedaj, ko je pogoj izpolnjen (če
izraz t pomeni število 0), vrnil logično konstanto za resnico, če pogoj ne bo
izpolnjen, pa vrednost funkcije iszero (pred t), torej logično konstanto, ki
pove, ali predhodnik izraza t pomeni število 0 ali ne.
Izvajanje
Pravila izvajanja za naš jezik so podana v tabeli 2. Njihova imena se začno
s črko E (za angl. »Execution«).
Pravila podamo z dvomestno relacijo med izrazi. Pǐsemo t  t′ in be-
remo: t se pretvori v t′. Rečemo, da je semantika malih korakov najmanǰsa
dvomestna relacija na izrazih, ki ustreza pravilom za izvajanje. Relacija za-
došča pravilu za izvajanje, če za vsak primer tega pravila velja, da je bodisi
izpolnjen zaključek tega pravila bodisi predpostavke niso izpolnjene. Pred-
stavljena pravila pa potrebujejo kraǰso razlago. Najprej si oglejmo prvo,
82 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 83 — #3 i
i
i
i
i
i
Tipi v programskih jezikih in izreki o varnosti programov
zelo preprosto pravilo:
E-IsZeroZero
iszero 0 true
.
Pravila za izvajanje so sestavljena iz dveh delov: iz dela nad vodoravno
črto (predpostavk) in dela pod črto (zaključka), ki pove, v kaj se izraz pre-
tvori. V našem primeru imamo preprosto pravilo, ki pravi, da lahko vedno
(brez dodatnih predpostavk) zaključimo, da se izraz oblike iszero 0 pre-
tvori v true. Ime pravila služi lažjemu sklicevanju na pravilo. Sestavljena
pravila, kot na primer E-Succ, razumemo tako: »Če se izraz t pretvori v
t′, potem lahko sklepamo, da se izraz oblike succ t pretvori v succ t′«.
Primer 2. V izraz (1) iz primera 1 vstavimo t = 0 in pogledamo potek
izvajanja. Pri izpeljavi izvajanja si pomagamo z drevesom izvajanja, saj
izraz razdelimo na manǰse koščke, dokler ne pridemo do pravil za izvajanje.
Za izraz (1) najprej uporabimo pravilo E-If, za katero moramo izvesti izraz
iszero 0, zanj pa velja pravilo E-IsZeroZero. Začetni izraz se pretvori v
if true then true else (iszero (pred 0)). Če bi zanj izvedli še en korak,
E-IsZeroZero
iszero 0 true
E-IsZeroNonZero
(n 6= 0)
iszero n false
E-IsZero
t t′
iszero t iszero t′
E-PredNum
pred n n− 1
E-Pred
t t′
pred t pred t′
E-SuccNum
succ n n+ 1
E-Succ
t t′
succ t succ t′
E-IfTrue
if true then t2 else t3  t2
E-IfFalse
if false then t2 else t3  t3
E-If
t1  t
′
1
if t1 then t2 else t3  if t
′
1 then t2 else t3
Tabela 2. Pravila za izvajanje.
81–90 83
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 84 — #4 i
i
i
i
i
i
Filip Koprivec
bi se po pravilu E-IfTrue izvedel v vrednost true. Izpeljavi ustreza drevo
spodaj:
E-If
E-IsZeroZero
iszero 0 true
if (iszero 0) then true else (iszero (pred 0)) 
 if true then true else (iszero (pred 0)) .
Če pa se lotimo izvajanja izraza if 0 then 0 else (iszero 0), naletimo
na težavo, saj za izvajanje izraza if 0 then t1 else t2 nimamo pravila.
Definicija 3 (normalna oblika). Izrazom, ki nimajo ustreznega pravila
za izvajanje, rečemo, da so v normalni obliki.
Očitno so v normalni obliki vse konstante oblike true, false, n.
Definicija 4 (vrednost). Konstantam true, false in n rečemo vrednosti
in jih označimo s sintaktično spremenljivko v:
vrednost v ::= true
∣∣ false ∣∣ n.
Preostali izrazi v normalni obliki so nezaželeni in jih razglasimo za na-
pačne.
Definicija 5 (zataknjen izraz). Za izraz, ki je v normalni obliki, a ni
vrednost, pravimo, da je zataknjen.
Primer 6. Zelo preprost zataknjen izraz je tudi iszero true.
Tipi
Kot smo videli, lahko zapǐsemo sintaktično pravilne izraze, ki se zataknejo.
Zanima nas, ali lahko že vnaprej ugotovimo, kateri izrazi se med izvajanjem
ne morejo zatakniti, pri tem pa si bomo pomagali s tipi.
Najprej v tabeli 3 definiramo dva osnovna tipa, celo število (Int) in Boo-
leovo vrednost (Bool), nato v tabeli 4 predstavimo pravila za dodeljevanje
tipov.
Rečemo, da ima izraz t tip T , če obstaja tak T , da je par (t, T ) v relaciji
ima tip; po pravilih sintakse pǐsemo t : T . Relacijo imeti tip formalno
predstavimo kot najmanǰso binarno relacijo med izrazi in tipi, ki zadošča
vsem pravilom za tipe.
Pravila za izpeljavo tipov beremo podobno kot pravila za izvajanje. Za
primer delovanja si oglejmo pravilo za T-IsZero. Če velja, da je t tipa Int,
potem je iszero t tipa Bool; z oznako: iszero t : Bool.
84 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 85 — #5 i
i
i
i
i
i
Tipi v programskih jezikih in izreki o varnosti programov
tip T ::= Int
∣∣ Bool
Tabela 3. Osnovni tipi.
T-True
true : Bool
T-False
false : Bool
T-Num
n : Int
T-Succ
t : Int
succ t : Int
T-Pred
t : Int
pred t : Int
T-IsZero
t : Int
iszero t : Bool
T-If
t1 : Bool t2 : T t3 : T
if t1 then t2 else t3 : T
.
Tabela 4. Pravila za tipe.
Oglejmo si še pogojni stavek. Za izpeljavo tipa pogojnega stavka potre-
bujemo tri predpostavke: pogoj mora imeti tip Bool, rezultata t2 in t3 pa
morata imeti isti tip T . Iz teh predpostavk lahko sklepamo, da ima izraz
tip T (enak tipu obeh rezultatov).
Primer 7. Oglejmo si še primer izpeljave tipa nekoliko večjega izraza. Če
želimo izpeljati, da ima celoten izraz pod črto tip Int, moramo najprej
ugotoviti, kakšne tipe imajo posamezni izrazi v pogojnem stavku. V pogoju
imamo izraz iszero 0, katerega tip lahko izpeljemo, če vemo, kakšen je tip
0. To je konstanta, po pravilu T-Num velja 0 : Int, iz česar po T-IsZero
velja iszero 0 : Bool, kar izpolni prvi pogoj za izpeljavo tipa po pravilu
T-If. Podobno izpeljemo tudi, da velja succ 0 : Int in 0 : Int, potem pa
uporabimo pravilo T-If in dobimo, da ima celoten izraz tip Int.
T-If
T-IsZero
T-Num
0 : Int
iszero 0 : Bool
T-Succ
T-Num
0 : Int
succ 0 : Int 0 : Int
T-Num
if (iszero 0) then (succ 0) else 0 : Int .
Izreki o varnosti
Ena izmed osnovnih lastnosti programov, ki jo zagotavljajo tipi, je varnost.
Za izraz, ki ima tip, lahko zagotovimo, da se med izvajanjem ne bo zataknil.
Formalno to predstavimo (in dokažemo) z dvema izrekoma: z izrekom o
napredku in izrekom o ohranitvi.
81–90 85
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 86 — #6 i
i
i
i
i
i
Filip Koprivec
Izrek 8 (izrek o napredku). Izraz t, ki ima tip, ni zataknjen. Torej je t
vrednost ali pa obstaja tak izraz t′, ki ima tip in zanj velja t t′.
Dokaz. Naj bo t izraz, ki ima tip T (t : T ). Glede na zadnje uporabljeno
pravilo za izpeljavo tipa izraza bomo obravnavali več možnosti. Uporabili
bomo strukturno indukcijo, ki deluje podobno kot matematična indukcija,
le da na vsakem koraku predpostavimo veljavnost indukcijske predpostavke
za vse prave podizraze izraza t. Pogledali bomo zgolj nekaj primerov, saj se
preostale dokaže podobno.
• Možnosti T-True, T-False, T-Num:
Dokaz lahko dokončamo takoj, saj so izrazi kar vrednosti.
• Možnost T-Pred:
Po predpostavki izreka imamo izraz oblike t = pred t1, za katerega
velja t1 : Int. Po indukcijski predpostavki je t1 ali vrednost ali pa se
lahko izvede v t′1.
Poglejmo najprej primer, ko je t1 vrednost. Ker velja t1 : Int, je torej
t1 numerična vrednost in je oblike n za neko celo število n (v primeru
t1 = true ali t1 = false bi bilo to v nasprotju z dejstvom, da velja
t1 : Int). Izraz t v tem primeru lahko opravi korak v izvajanju, saj se
po E-PredNum pretvori v n− 1.
Če pa t1 ni vrednost, po indukcijski predpostavki obstaja tak t
′
1, da
velja t1  t′1, v tem primeru pa za t velja pravilo E-Pred in dobimo:
pred t1  pred t
′
1
oziroma
t t′,
kjer je t′ = pred t′1.
• Možnosti T-Succ in T-IsZero:
Dokaz je zelo podoben dokazu za T-Pred in ga ne bomo ponavljali.
• Možnost T-If:
Po predpostavki izreka imamo izraz oblike
t = if t1 then t2 else t3, za katerega velja: t1 : Bool, t2 : T, t3 : T .
Po indukcijski predpostavki je torej t1 ali vrednost ali pa se lahko pre-
tvori v t′1. Če je t1 vrednost, in ker velja t1 : Bool, je t1 lahko zgolj
true ali false. Sledi, da za celoten izraz t obstaja pravilo za izvajanje
(v prvem primeru E-IfTrue, v drugem pa E-IfFalse). Če pa t1 ni
86 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 87 — #7 i
i
i
i
i
i
Tipi v programskih jezikih in izreki o varnosti programov
vrednost, po indukcijski predpostavki obstaja tak t′1, da velja t1  t
′
1,
v tem primeru pa se izraz t po pravilu E-If izvede v:
if t1 then t2 else t3  if t
′
1 then t2 else t3.
Izrek 9 (izrek o ohranitvi). Če izraz tipa T lahko opravi korak v izvaja-
nju, je tudi rezultat izvajanja tipa T . Torej iz t : T in t t′ sledi t′ : T .
Dokaz. Kot izrek o napredku bomo tudi izrek o ohranitvi dokazali induk-
tivno glede na izpeljavo tipov z upoštevanjem možnosti, ki nastopajo v
pravilih za tipe.
• Možnost T-True:
Po predpostavki izreka imamo izraz oblike true : Bool.
Ker se true ne more več izvesti, je pogoj izreka izpolnjen na prazno.
• Možnosti T-False in T-Num:
Dokaz je analogen dokazu za T-True.
• Možnost T-Pred:
Po predpostavki izreka imamo izraz oblike t = pred t1, za katerega
velja t1 : Int.
Izraz pred t1 se v izvajanju pojavi v natanko dveh primerih: E-PredNum
in E-Pred.
– Primer E-PredNum:
Velja t1 = n za neko celo število n. Izraz pred n se po E-PredNum
pretvori v vrednost n− 1, ki ima tip Int, torej izraz pri izvajanju
ohrani tip.
– Primer E-Pred:
Vemo, da velja t1  t′1, iz indukcijske predpostavke pa sledi, da
velja tudi t′1 : Int. Izraz t se pretvori v pred t
′
1, za kar pa po
pravilu T-Pred velja pred t′1 : Int, torej izraz ohrani tip.
• Možnosti T-Succ in T-IsZero:
Dokaz je zelo podoben dokazu za T-Pred in ga ne bomo ponavljali.
• Možnost T-If:
Po predpostavki izreka imamo izraz oblike if t1 then t2 else t3, za
katerega velja: t1 : Bool, t2 : T, t3 : T .
Pogledamo vse možnosti v izvajanju t  t′, kjer se pojavi pogojni
stavek. Temu zadoščajo tri pravila: E-IfTrue, E-IfFalse, E-If, ki
jih obravnavamo vsako posebej.
81–90 87
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 88 — #8 i
i
i
i
i
i
Filip Koprivec
– Primer E-IfTrue:
Vemo, da velja t1 = true in t
′ = t2.
Ker je t′ = t2 in ker po indukcijski predpostavki velja t2 : T ,
rezultat izvajanja ohrani tip.
– Primer E-IfFalse:
Dokažemo podobno kot E-IfTrue.
– Primer E-If:
Vemo, da velja t1  t′1 in t
′ = if t′1 then t2 else t3.
Ker tokrat vemo, da ima izraz t1 tip Bool, lahko uporabimo in-
dukcijsko predpostavko in iz t1  t′1 dobimo t
′
1 : Bool. Sku-
paj s predpostavkami, da velja t2 : T in t3 : T , lahko na izrazu
if t′1 then t2 else t3 uporabimo pravilo za tipe T-If. Sledi, da
velja t′ : T , torej med izvajanjem izraz ohrani tip.
Funkcije
Za preprost programski jezik smo pokazali, kako lahko s tipi zagotovimo
varnost. Jezik pa bi radi razširili s funkcijami in si ogledali, kako lahko
sestavimo jezik, ki je sicer znan kot lambda račun z enostavnimi tipi :
izraz t ::= · · ·
∣∣ x ∣∣ λx. t ∣∣ t1 t2.
Sintakso jezika dopolnimo, da omogoča definicijo in uporabo funkcij.
Izraz je sedaj lahko poljuben že prej veljaven izraz, lahko pa je tudi spre-
menljivka. Še pomembneǰsi pa sta zadnji dve možnosti. S prvo definiramo
funkcijo (abstrakcijo), ki spremenljivki x priredi izraz t (tu pravimo, da je
x vezan v tej abstrakciji), z drugo pa uporabo prvega izraza (funkcije) na
drugem izrazu. Vzemimo npr. izraz
λx. iszero x. (2)
V izrazu (2) definiramo preprosto abstrakcijo, ki spremenljivki x priredi
izraz iszero x. Ideja je popolnoma enaka definiciji funkcije v matematiki,
le da uporabimo nekoliko drugačen zapis. Enako je z uporabo funkcije na
izrazu.
Primer 10.
(λx. iszero x) 0. (3)
V izrazu (3) abstrakcijo iz izraza (2) uporabimo na izrazu, ki pomeni šte-
vilo 0. V izvajanju bi, kot pri običajni funkciji, vse nastope x v prvotnem
izrazu zamenjali z 0 in dobili izraz iszero 0. Substitucijo spremenjivke x z
izrazom y v izrazu t zapǐsemo kot: [x 7→ y]t, pri substituciji pa pazimo, da
88 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 89 — #9 i
i
i
i
i
i
Tipi v programskih jezikih in izreki o varnosti programov
ne zamenjamo nastopov spremenljivke x, ki je vezana v kateri izmed bolj
notranjih abstrakcij izraza t.
Funkcije pa lahko vračajo tudi nove funkcije. Izraz (4) dani funkciji
priredi novo funkcijo, ki prvo funkcijo uporabi dvakrat:
λx1. (λx2. x1 (x1 x2)). (4)
Pravilom za izvajanje zato dodamo še tri pravila: prvo pove, kako se
pretvori prvi izraz, ki nastopa v uporabi funkcije; drugo, kako se pretvori
argument abstrakcije; tretje pa, kako uporabimo abstrakcijo. Ustrezno po-
sodobimo tudi vrednosti, ki jim dodamo še abstrakcijo:
vrednost v ::= · · ·
∣∣ λx. t.
E-App1
t1  t
′
1
t1 t2  t
′
1 t2
E-App2
t2  t
′
2
v t2  v t
′
2
E-AppAbs
(λx. t)(v) [x 7→ v]t
Tabela 5. Pravila za izvajanje lambda računa.
Kot pri preǰsnjem jeziku bi tudi tu radi s pomočjo tipov prǐsli do izreka
o varnosti. Da to storimo, moramo tipe funkcij najprej definirati. Tako
kot v matematiki funkcijo karakteriziramo z domeno (tipom argumenta) in
kodomeno (tipom rezultata).
Poglejmo abstrakcijo iz izraza (2): λx. (iszero x), ki bi, če bi jo po
uporabi na izrazu 0 izvedli do konca, vrnila rezultat true. Vidimo, da ima
rezultat izvajanja tip Bool. Ustaljenim tipom dodamo še tip funkcije, ki
vsebuje tip argumenta in tip rezultata:
tip T ::= · · ·
∣∣ T1 → T2.
Za splošno funkcijo λx. t torej ob predpostavki x : T1 velja t : T2.
Drugače od prej pa za tip izraza ni več odgovorna samo oblika izraza, ampak
tudi tipi spremenljivk (natančneje predpostavke o teh tipih), ki v njem
nastopajo. Zato definiramo kontekst, ki ima informacije o predpostavkah
glede tipov prostih (nevezanih) spremenljivk v izrazu t. Formalno relacijo
imeti tip razširimo na tri elemente: kontekst, izraz in tip: (Γ, t, T ) in pǐsemo
Γ ` t : T .
Z dodatnimi pravili za tipe, ki jih vidimo v tabeli 6, lambda račun po-
stane tipiziran, potreben je le kratek komentar. Tip spremenljivke (T-Var)
je po novih pravilih kar tip, ki smo ga za to spremenljivko predpostavili v
kontekstu Γ. Pri tipu funkcije (T-Abs) razširimo kontekst. Pravilo beremo
81–90 89
i
i
“Koprivec” — 2017/9/21 — 9:24 — page 90 — #10 i
i
i
i
i
i
Filip Koprivec
T-Var
x : T ∈ Γ
Γ ` x : T
T-Abs
Γ, x : T1 ` t2 : T2
Γ ` λx. t2 : T1 → T2
T-App
Γ ` t1 : T1 → T2 Γ ` t2 : T1
Γ ` t1 t2 : T2
Tabela 6. Pravila za tipe lambda računa z enostavnimi tipi.
takole: Če v kontekstu Γ, razširjenem s predpostavko x : T1, velja t2 : T2,
potem lahko sklenemo, da ima funkcija λx. t2 v kontekstu Γ tip T1 → T2.
Pravilo T-App pa podaja tip vrednosti uporabe funkcije ob predpostavki,
da ima glede na kontekst funkcija t1 tip T1 → T2 in izraz t2 tip T1.
Primer 11. S pomočjo izraza iz primera 1 sestavimo funkcijo, ki preveri,
ali je argument funkcije enak izrazu za 0 ali 1:
λx. if (iszero x) then true else (iszero (pred x)).
Poglejmo še izpeljavo tipa:
T-Abs
T-If
T-IsZero
T-Var
x : Int ∈ x : Int
x : Int ` x : Int
x : Int ` iszero x : Bool
...
x : Int ∈ x : Int
x : Int ` x : Int
T-Var
x : Int ` pred x : Int
T-Pred
x : Int ` iszero (pred x) : Bool
T-IsZero
x : Int ` if (iszero x) then true else (iszero (pred x)) : Bool
∅ ` λx. if (iszero x) then true else (iszero (pred x)) : Int → Bool .
Izrek o varnosti lahko posplošimo tudi na lambda račun z enostavnimi
tipi. Izrek enako kot prej zagotovi, da se izraz, ki ima tip, med izvajanjem ne
bo zataknil. Dokažemo ga s strukturno indukcijo, le da je treba obravnavati
več primerov zaradi dodanih pravil za izpeljavo tipov. Tipi nam tudi v
lambda računu zagotavljajo varnost. Pomembno dejstvo je, da nam izrek
o varnosti jamči zgolj to, da je izraz, ki ima tip, že končal z izvajanjem,
ali pa lahko naredi še (vsaj) en korak, nikakor pa nam ne zagotavlja, da se
bo izvajanje končalo. V lambda računu z enostavnimi tipi sicer vsi izrazi
s tipom končajo z izvajanjem, medtem ko to za druge programske jezike v
splošnem ne velja.
LITERATURA
[1] B. C. Pierce, Types and Programming Languages, The MIT Press, Cambridge Mas-
sachusetts, 2002.
[2] P. Wadler, Propositions as Types, dostopno na homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/
papers/propositions-as-types/propositions-as-types.pdf, ogled 5. 11. 2016.
90 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 91 — #1 i
i
i
i
i
i
DETEKCIJA GRAVITACIJSKIH VALOV
ALEŠ MOHORIČ1,2 IN ANDREJ ČADEŽ1
1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
2Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 04.30.-w
Zaznava gravitacijskih valov predstavlja pomemben mejnik v razvoju fizike, saj za-
znamuje potrditev vseh napovedi teorije gravitacije. Dosežek je še toliko večji, ker je bilo
od samega začetka jasno, da je odkritje zaradi šibkosti gravitacijske interakcije možno le
ob doseganju občutljivosti, ki je omejena samo s Heisenbergovim načelom nedoločenosti.
Trikratno odkritje zlitja dveh črnih lukenj na oddaljenosti milijarde svetlobnih let tako
predstavlja hkrati truimf fizike črnih lukenj in temeljnih načel kvantne mehanike.
DETECTION OF GRAVITATIONAL WAVES
Detection of gravitational waves is an important milestone in the progression of
physics, since it rounds up the list of all the predictions of theory of gravity. The achieve-
ment is all the greater because it was clear from the outset that the discovery, because of
the weakness of the gravitational interaction, is only possible at a sensitivity on the limit
of the Heisenberg principle of uncertainty. The three discoveries of a pair of merging black
holes at a distance of billions of light years also represent the triumph of both physics of
black holes and the fundamental principles of quantum mechanics.
Izvori gravitacijskih valov
Gravitacijski valovi so pojav spreminjanja lastnosti prostor-časa, ki ga opǐse
splošna teorija relativnosti. Spremljajo najbolj silovite vesoljske dogodke
in nekaterih med njimi niti ne moremo opazovati z očmi. Tak dogodek
je npr. združitev gravitacijsko vezanih črnih lukenj. Združitev dveh črnih
lukenj opazimo le po gravitacijskih valovih, ki pri tem nastanejo, čeprav
se ob tem sprosti ogromno energije. Zaznava pojava, ki ga omogoča le
neposredna meritev, je dobrodošla potrditev našega razumevanja delovanja
narave. Vendar pa je detekcija gravitacijskih valov zelo težavna. Vpliv
valov na prostor je izredno šibek. V [1] smo opisali gravitacijske valove
gravitacijsko vezanega sistema dveh teles.
Vse do Webrovih poskusov detekcije se je vprašanje gravitacijskih valov
videlo kot povsem akademsko, saj se je zdelo, da izraza za izsev in gostoto
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 91
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 92 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
energijskega toka valovanja iz preǰsnjega prispevka1:
Lgv =
32G
5c5
(µb2ω3)2 , (1)
jgv =
π
8
c5
Gλ2
(|a+|2 + |a×|2) (2)
praktično izključujeta verjetnost, da bi se v vesolju dogajalo nekaj, kar bi
lahko oddajalo gravitacijske valove z zadostno amplitudo, da bi jih vsaj
teoretično mogli zaznati.
Predstavo o pričakovani velikosti signala h dobimo, če obravnavamo dvo-
zvezdje, ki je od nas oddaljeno r. Dvozvezdje sestavljata zvezdi na medse-
bojni oddaljenosti b, ki krožita druga okrog druge s periodo, ki je za dani
par možna in jo opǐse tretji Keplerjev zakon. Npr. ko se dve zvezdi glavne
veje z maso Sonca med kroženjem približata do dotika, krožita s periodo 6
ur in oddajata gravitacijske valove s periodo 3 ure. Če sta zvezdi beli pritli-
kavki, se lahko stokrat bolj približata in krožita s periodo nekaj minut, za
dve nevtronski zvezdi pa je minimalna perioda kroženja celo milisekunda.
Iz enačb (1) in (2) dobimo naslednjo oceno za velikost amplitude gravitacij-
skega signala h ∼
√
|a+|2 + |a×|2:
h =
16√
5
Gµ
c2r
(
GM
c2
ω
c
)2/3
, (3)
pri čemer je M = m1 + m2 celotna masa dvozvezdja, µ =
m1m2
m1+m2
pa redu-
cirana masa.
Slika 1 kaže velikost amplitude h gravitacijskega valovanja v odvisnosti
od periode valovanja (π/ω) za dvozvezdja, v katerih sta obe masi enaki
masi Sonca in so oddaljena 10 kpc, 1 Mpc in 1 Gpc. Pogled nanjo razkriva
težavnost problema zaznavanja gravitacijskih valov. Zvezde glavne veje so
zaradi počasnega plesa zelo šibki izvori – velikostni red amplitude h za
dvozvezdje oddaljeno 10 kpc je 10−22, kar pomeni, da val spremeni razdaljo
med Soncem in Zemljo (1 a.e. = 150.000.000 km) za 0,015 nanometra!
Možnost meritve tako majhnih sprememb, ki se zgodijo na časovni skali
nekaj ur, je še danes ničelna. Slika 1 kaže na dvozvezdja nevtronskih zvezd
1V preǰsnjem prispevku je prǐslo do neljube tiskarske napake v izrazu za Lgv, ki je tu
popravljena.
92 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 93 — #3 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
10kpc
1 pM c
1Gpc
nevtr. zvezde
bele pritl.
glavna
veja
1ms 1s 1h 1dan
-2810
-2610
-2410
-2210
-2010
-1810
1ms 1s 1h 1dan
Perioda
h
Slika 1. Amplituda gravitacijskega valovanja s frekvenco 1/Perioda, ki jo povzroči dvo-
zvezdje dveh enakih zvezd z maso Sonca na oddaljenosti 10 kpc (jedro galaksije), 1 Mpc
(najbližja galaksija) in 1 Gpc (slaba desetina velikosti vidnega vesolja). Puščica ustreza
vrednostim za dvozvezdje zaznano v dogodku GW150914. Začetna točka puščice sega v
davno preteklost dvozvezdja, končna pa v trenutek povezan z združitvijo, ki je vodila v
detekcijo.
kot na edine potencialno zanimive izvore gravitacijskega valovanja, ker imajo
največjo amplitudo in kratko periodo.
V šestdesetih letih preǰsnjega stoletja do tega zaključka še ni bilo mo-
goče priti, saj nevtronske zvezde še niso bile odkrite. Njihovo odkritje in
identifikacija z vrtečimi se nevtronskimi zvezdami konec šestdesetih let je
vzbudilo zanimanje, da bi hitro se vrteče nevtronske zvezde utegnile biti
izvori gravitacijskega valovanja, če bi le bile dovolj hitre, da bi dobile obliko
Jacobijevih elipsoidov, npr. nevtronske zvezde ob nastanku – ob eksploziji
supernove.
Veliko zanimanje sta vzbudila Russell Hulse in Joseph Taylor z odkritjem
dvozvezdja PSR B1213+16 sestavljenega iz nevtronskih zvezd, ki krožita po
precej sploščenem tiru s periodo 7,75 ure. Iz izraza (1) sledi, da takšno dvo-
zvezdje gravitacijsko seva z močjo, ki je enaka približno dvema odstotkoma
izseva Sonca, zato se obhodna perioda dvozvezdja kraǰsa za 76,5 mikrose-
kunde na leto. Večletna opazovanja sistema so natančno potrdila napovedi
teorije, zato jih imamo za prvi dokaz o obstoju gravitacijskih valov.
Odkritje para pulzar-nevtronska zvezda pa je za Kipa Thorna predsta-
vljalo tudi močno vzpodbudo za gradnjo detektorjev gravitacijskih valov.
Izračunal je, da se bosta nevtronski zvezdi po 300 milijonih let približali
do dotika in krožili s frekvenco 1 kHz – premaknili se bosta na levo stran
91–103 93
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 94 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
v sliki 1. Po 300 milijonih let bo ta dvojica proizvedla gravitacijsko valo-
vanje s frekvenco vǐsjo od kilohertza in amplitudo h ∼ 10−17. Seveda pa
ne moremo čakati 300 milijonov let, zato je Thorne naredil drzno predpo-
stavko z naslednjim argumentom: iz podatka, da bo v naši Galaksiji čez
300 milijonov let prǐslo do zlitja nevtronskih zvezd2, ocenjujem verjetnost
za zlitje nevtronskih zvezd v povprečni galaksiji vsaj na 3 · 10−9/leto. Če
nam uspe narediti detektor, ki bi zmogel zaznati gravitacijske valove iz pro-
stornine vesolja, ki zajema milijardo galaksij, lahko po takem premisleku
pričakujemo 3 detekcije na leto. Ker je v vesolju približno ena galaksija v
kubičnem megaparseku, jih najdemo v prostornini s polmerom gigaparsek
približno 4 · 109. Ta razmislek je utemeljil spodnjo (1 Gpc) črto na sliki 1
in cilj, da je treba postaviti detektor, ki bo občutljiv za gravitacijske valove
z amplitudo 10−22 na frekvenčnem intervalu med nekaj sto in nekaj tisoč
hertzi. Dvakrat drzen predlog!
Kako meriti h ∼ 10−22?
Teorija gravitacije natančno opǐse, kako vpliva gravitacijsko valovanje na
snov. V preǰsnjem prispevku smo zapisali gravitacijski potencial za val, ki
se razširja v smeri osi z v obliki:
h =

0 0 0 0
0 a+ a× 0
0 a× −a+ 0
0 0 0 0
 sin(2πλ z − ωt
)
. (4)
Če rešimo enačbe gibanja za točkaste delce, kot smo jih napisali v prej-
šnjem prispevku, ugotovimo, da delci, ki v začetku mirujejo, ohranjajo svoje
koordinate tudi po prehodu vala. Seveda pa ta rešitev velja samo v tej po-
sebni umeritvi, v kateri je naš gravitacijski val zapisan. Dejstvo, da delci
ohranjajo koordinatni položaj, pa hkrati pomeni, da se razdalja med njimi
ob prehodu vala spreminja – razdalja vzdolž osi x se spreminja za val s pola-
rizacijo »+« kot (1+a+ sin(ωt))∆x, v smeri osi y pa kot (1−a+ sin(ωt))∆y –
kadar se razdalja v smeri x povečuje, se v smeri osi y zmanǰsuje in obratno.
Ta opis delovanja gravitacijskega vala na delce je posledica izbire koordi-
natnega sistema, umeritve, ki je izbrana tako, da so koordinate pripete na
mrežo delcev, ki prosto padajo v gravitacijskem valu. Če so delci v mreži
2Verjetno vseh parov v naši galaksiji nismo našli.
94 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 95 — #5 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
povezani z vzmetmi, se pojavijo med njimi sile, ki so sorazmerne s trenutnim
relativnim podalǰskom ali skrčkom. Torej gravitacijski val vzbudi elastično
snov v nihanje, ki ima frekvenco valovanja. S to predstavo so Weber in drugi
za njim gradili resonančne detektorje gravitacijskih valov, katerih osnovni
element je bil ohlajeno telo z osnovno resonančno frekvenco okrog 1000 Hz
in zelo visoko kvaliteto osnovnega nihajnega načina. V skladu z načinom
detekcije elektromagnetnih valov so pričakovali, da bi resonanca lahko po-
večala amplitudo nihanja do tolikšne mere, da bi jo lahko zaznali s katero
od mnogih tehnik, ki so jih razvijali. Ta metoda ni rodila uspeha, vendar
pomembno razsvetli, v čem je problem merjenja majhnih odmikov.
Vzemimo, da bi hoteli zaznati gravitacijski signal z dvema masama m na
razdalji L, ki sta povezani z vzmetjo k. Ti dve masi predstavljata harmonični
oscilator z lastno frekvenco ω0 =
√
k
m in z mehansko kvaliteto Q. Enačba
nihanja za tako nihalo je:
mẍ(t) + kx(t) = − 1
Q
√
kmẋ(t) +mL
∂2h
∂t2
. (5)
Ko se zvezdi v dvozvezdju približujeta zaradi sevanja gravitacijskih va-
lov, se gravitacijskemu signalu h(t) frekvenca s časom spreminja, zato si
predstavljajmo signal kot žvižg s frekvenco ωg, ki traja čas τ . Širina in vǐsina
»resonančne krivulje« za žvižge sta določeni s trajanjem žvižga, kvaliteta
nihala pa določa predvsem, kako dolgo po žvižgu nihalo ostane vzbujeno.
Žvižgi, ki jih lahko zaznamo, niso dolgotrajni in kljub veliki dobroti nihala
ne moremo pričakovati velikega resonančnega ojačenja. To pa pomeni, da je
vzbujanje s signalom h ∼ 10−22 v domeni kvantne mehanike – veliko nihalo
z maso ene tone je treba obravnavati kot kvantni harmonski oscilator.
Zapǐsimo Hamiltonovo funkcijo oscilatorja:
H =
1
2m
p̂2 +
1
2
mω20 q̂
2 +Hdus − Fgv q̂ . (6)
Prva dva člena predstavljata kinetično in potencialno energijo nihala, Hdus
sklopitev z okolico, ki povzroča dušenje, Fgv = mL
∂2h
∂t2
pa je sila, ki jo pov-
zroča gravitacijski val. Pri kvantnem harmonskem oscilatorju ne moremo
istočasno meriti lege in hitrosti, vemo pa, da ima nemoten kvantni har-
monski oscilator kvantizirana energijska stanja En = (n + 1/2)~ω0, ki jim
ustrezajo čista energijska stanja. Zaradi sklopitve z okolico, ki jo opǐse Hdus,
se v oscilatorju pojavi termično nihanje in oscilator je v koherentnem sta-
nju, ki je linearna kombinacija čistih stanj. Pričakovana vrednost energije
91–103 95
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 96 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
v koherentnem stanju je
〈H0〉 =
(
|α|2 + 1
2
)
~ω0 =
1
2
(kT + ~ω0) . (7)
S kvantno meritvijo lahko v danem trenutku izmerimo samo verjetnost za
to, da je sistem v nekem čistem stanju, to je P (n) = e−|α|
2 |α|2n
n! . To je
Poissonova porazdelitev s povprečno vrednostjo N = |α|2 in širino σN =
|α| =
√
N . Gravitacijski val zaznamo, če motnja Fgv q̂, ki jo predstavlja
gravitacijski val, preseže motnjo Hdus, ki predstavlja sklopitev oscilatorja z
okolico. Z drugimi besedami, prehod žvižga gravitacijskega vala je mogoče
zaznati le, če povzroči, da se prvotno izmerjena vrednost n po prehodu
spremeni za več kot
√
n.
Spremembo n ocenimo iz spremembe energije oscilatorja med začetno
vrednostjo in po prehodu žvižga τ kasneje. Upoštevamo, da je v Heisenber-
govi sliki operator energije H funkcija časa, valovna funkcija pa ne, ter da
je časovni odvod H0 sorazmeren s komutatorjem [H0, H]. Za dovolj majhno
motnjo lahko pričakovano spremembo energije oscilatorja ocenimo z:
∆E
~ω0
=
√
2π
mLω2√
2~mω0
h0τ |α|
(
e
1
2
τ2(ω−ω0)2 + e−
1
2
τ2(ω+ω0)2
)
sin δ. (8)
Amplitudo koherentnega stanja zapǐsemo kot α = |α|eiδ. Za žvižg smo
uporabili časovni potek h0e
− t
2
2τ2 cos(ωt). Sama oblika ni zelo pomembna,
važno je, da ima neko nosilno frekvenco, amplitudo in omejen čas trajanja.
Vidimo, da se pričakovana vrednost energije lahko poveča, če je žvižg v
fazi z nihanjem nihala (0 < δ < π), ali zmanǰsa, kadar pride žvižg v naspro-
tni fazi (−π < δ < 0), natanko tako, kot pri klasičnem nihalu. Po zgoraj
povedanem mora gravitacijski val povzročiti spremembo ∆E~ω0 , ki je večja od
|α|. Tako lahko vzamemo za kvantno enoto za detekcijo gravitacijskega
signala naslednji izraz:
hq =
√
~ω0
πmω20A
2
1
ωτ
A
L
ω0
ω
. (9)
Vpeljali smo amplitudo A, ki se sicer pokraǰsa, vendar omogoča, da spo-
znamo izraz mω2A2 za dvakratno energijo oscilatorja, ki niha z amplitudo
A.
Izberimo A tako, da je izraz pod korenom enak 1, in izračunajmo ustre-
zno amplitudo A za približno L = 1 m dolgo Webrovo aluminijasto palico z
96 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 97 — #7 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
maso m = 1000 kg pri osnovni lastni frekvenci ω0 = 2π1000 s
−1. Dobimo:
A = 2,3 · 10−21 m. Zahtevo ∆E~ω0 > |α| v tem primeru številsko izrazimo
takole:
h0 > 2,3 · 10−21
1
ωτ
ω0
ω
[(
e−
1
2
τ2|ω−ω0|2 + e−
1
2
τ2|ω+ω0|2
)
sin δ
]−1
. (10)
Pozoren bralec je morda že opazil, da smo kar nekako spregledali del Ha-
miltonove funkcije Hdus, ki predstavlja tisto sklopitev z okolico, ki makro-
skopsko predstavlja dušenje, mikroskopsko pa se zaradi sklopitve z okolico
naključno spreminja faza δ. Zato se prispevki ∆E ne seštevajo vedno z isto
fazo, ampak je faza koherentna približno Q nihajev. Enačbo (10) popravimo
tako, da ω0 v eksponentu nadomestimo z ω0(1 +
i
Q), sin δ pa z ustrezno va-
rianco. Enačba (10) kaže, da je tak detektor občutljiv samo za signale, ki
imajo frekvenco zelo blizu ω0 ob pogoju, da je čas trajanja žvižga čim dalǰsi.
Cilj zaznati gravitacijski val kolapsa dveh nevtronskih zvezd do oddalje-
nosti 1 Gpc se ne zdi niti teoretično dosegljiv s tako napravo. Treba je najti
drugačen detektor. To je interferometer, kot ga kaže slika 3, z dvema pra-
vokotnima krakoma, od katerih se zaradi vala eden trenutno razteza, drugi
pa krči in obratno v naslednji polperiodi.
Gostota energijskega toka v curku, ki zapušča interferometer v smeri
detekcijske diode, je 12ε0cE
2
0 [1 − cos(k(s1 − s2))]. E0 je amplituda jakosti
električnega polja v interferometru – enem ali drugem kraku. Razlika razdalj
v interferometru je nastavljena tako, da je k(s1−s2) enak lihemu večkratniku
π in izstopni svetlobni tok je zelo majhen. Občutljivost Michelsonovega
interferometra za zaznavanje razlike poti s1 − s2 je odvisna od najmanǰse
spremembe jakosti svetlobe, ki jo lahko zaznamo na izhodu interferometra.
Tudi interferometer moramo obravnavati kvantnomehansko. Energiji
svetlobnega snopa v kraku lahko pripǐsemo energijska stanja EN = (N +
1/2)~ω0, pri čemer je ω0 krožna frekvenca svetlobe in N število fotonov v
kraku. Tudi svetloba je zaradi sodelovanja z okolico v koherentnem stanju,
pri čemer predstavlja |α|2 pričakovano število fotonov v kraku, |α| pa va-
rianco tega števila. Zapisati moramo še del Hamiltonovega operatorja, s
katerim gravitacijski val deluje na svetlobo v kraku. Ker se ob prehodu vala
krak širi in krči, se s tem spreminja tudi krožna frekvenca: δω0ω0 = −
δL
L = h.
Če bi šlo za navaden mehanski oscilator, bi zapisali pripadajočo gravitacij-
sko motnjo v četrtem členu v enačbi (6) kot mω0δω0q̂
2 = −mω20hq̂2. Ko
izrazimo q̂ z operatorjema a+ in a−, dobimo:
Ĥgv = −
1
2
~ω0
(
a+2e2iω0 + a−2e−2iω0 + a+a− + a−a+
)
h . (11)
91–103 97
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 98 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
Masa se je pokraǰsala, zato smo dobili izraz za gravitacijsko motenje, ki velja
za svetlobo v resonatorju. Dalǰsa izpeljava, ki jo najdete npr. v [3], vodi do
izraza za minimalno amplitudo gravitacijskega vala, ki jo interferometer še
zazna
hmin =
λ
π3/2L
√
~ω0
P
1√
T
. (12)
λ je valovna dolžina laserske svetlobe, L dolžina kraka interferometra, P
moč laserja, ki napaja interferometer, ter T čas meritve signala. Interfe-
rometer s 4-kilometrskima rokama, ki ju napaja 200-vatni laser z valovno
dolžino 1 µm, je tako občutljiv za sekundo dolg val z amplitudo 1,3 · 10−21.
Še vedno nekaj velikostnih redov premalo. Kako torej povečati občutljivost
za faktor 1000? Na prvi pogled imamo na voljo dva parametra: dolžino
rok interferometra in moč laserja. Pri moči je problem v tem, da raste ob-
čutljivost s kvadratnim korenom, torej bi samo s povečanjem tega faktorja
zahtevali idealni laser z močjo 10 MW! Absurdna zahteva! Druga možnost
je podalǰsati roki interferometra, toda na 4000 km – tudi to je neizvedljivo!
Ena od možnosti je zakasnilni vod, kjer s parom zrcal in večkratnim odbo-
jem podalǰsamo pot žarka. Vendar vod ni primeren za povečanje dolžine
zelo dolgega, nekajkilometrskega kraka interferometra. Oviro predstavlja
sipani del svetlobe pri odboju na zrcalu. Verjetnost za sipanje na zelo na-
tančno izdelanem zrcalu je sicer res majhna, a ne povsem zanemarljiva pri
majhnih kotih. V zakasnilnem vodu interferometra za gravitacijske valove
so koti med vsemi žarki nujno zelo majhni, zato obstaja nezanemarljiva ver-
jetnost za to, da foton preskoči korak svoje poti do izhoda in s tem pokvari
koherenco izstopnega žarka. Problem reši Fabry-Perotov resonator, ki ga
vstavimo v vsak krak in deluje kot zakasnilni vod, če je natančno uglašen s
frekvenco laserske svetlobe, ki ga vzbuja. Gravitacijski val modulira dolžino
resonatorja in s tem njegovo lastno frekvenco, zato se pri nespremenjeni fre-
kvenci laserja spreminja faza vala, ki se odbije od resonatorja. Čimvečji je
faktor kvalitete resonatorja, tem hitreje se faza spreminja z razliko med fre-
kvenco laserja in lastno frekvenco resonatorja. Z dodanim Fabry-Perotovim
resonatorjem se občutljivosti sistema (en. (12)) poveča sorazmerno poveča-
nju jakosti električnega polja v resonatorju.
LIGO
LIGO je akronim za Observatorij gravitacijskih valov z laserskim interfero-
metrom (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory). Observa-
98 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 99 — #9 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
torij sestavljata dva interferometra, ki sta postavljena 3000 km narazen, en
v Hanfordu, ZDA, drug v Livingstonu, ZDA (slika 2). V svoji osnovi je vsak
interferometer Michelsonov interferometer z izredno dolgima, med seboj pra-
vokotnima krakoma, v katerih se nahajata para zrcal Fabry-Perotovega re-
sonatorja. Shemo interferometra kaže slika 3. Kraka sta dolga po 4 kilome-
tre, vendar ju zrcala Fabry-Perotovega interferometra efektivno podalǰsata
za 280-krat na več kot 1000 km. Kraka interferometra sta uglašena tako,
da delna curka pred detektorjem destruktivno interferirata. V tem načinu
je občutljivost sistema največja ob vpeljavi ustrezne modulacije (Pound-
Drever-Hall). Občutljivost je povečana tudi tako, da uporabijo zelo močan
laser. Vhodni laser ima moč 200 W. Z rekuperacijo odbite svetlobe moč
povečajo nad 700 kW. Dodatno se občutljivost izbolǰsa tako, da se zelo na-
tančno izbere laserski način, kar pomeni, da ima svetloba zelo natančno
določeno frekvenco. Uporabljajo infrardeči laser z valovno dolžino 1064 nm.
Tako dolga valovna dolžina svetlobe je bolj primerna, saj se izognejo teža-
vam s pregrevanjem stekel in zrcal. Interferometer je zgrajen za zaznavanje
gravitacijskih valov z valovno dolžino od 43 km do 10 000 km, kar ustreza
frekvencam od 30 Hz do 7000 Hz.
Občutljivost interferometričnih detektorjev je omejena pri visokih fre-
kvencah s Poissonovim šumom, ki je posledica naključnega toka fotonov
laserskega curka. Dodatno k šumu pri nizkih frekvencah prispeva tudi mo-
čan laserski curek, ki trese zrcala, od katerih se odbija. Dodatna omejitev
občutljivosti je posledica termičnega šuma. Občutljivost interferometra na
spremembo razdalje v kraku je reda 10−19 m. To je desettisočkrat manǰse
od velikosti protona. Pri taki občutljivosti je interferometer dovzeten za
kakršnekoli tresljaje zrcal. Ta vpliv je zmanǰsan tako, da so zrcala obešena
na nizu težkih uteži, kot nekakšno štiri stopenjsko nihalo, vpetǐsče pa je
še posebej termično izolirano z elektronsko povratno zanko. Poleg tega se
vpliv potresov upošteva tudi s primerjavo signalov obeh interferometrov. Če
enega od interferometrov strese potres, potem drugi tega tresenja ne zazna.
Kadar interferometer zazna gravitacijski val, ga zaznata oba. Po časovnem
zamiku sklepajo na smer, iz katere je prǐsel val. O smeri lahko sklepajo tudi
po tem, kateri od krakov in koliko se krči, ko val zajame interferometer.
Na interferometrih observatorija so septembra 2015 zaznali karakteristi-
čen signal (slika 4). Frekvenca in amplituda signala sta naraščali s časom,
potem pa je signal izginil. Take vrste signal imenujemo žvižg (chirp). Na-
stane, ko se združita dve masivni telesi, ki pred tem krožita okoli skupnega
težǐsča, kot smo opisali vǐsje. Iz frekvence sklepamo na maso teles, ki se
91–103 99
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 100 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
Slika 2. Eden od dveh interferometrov LIGA, postavljen v Livingstonu, ZDA. Vir:
Caltech/MIT/LIGO Lab.
združita, po amplitudi signala pa tudi na oddaljenost sistema teles. Ča-
sovni zamik med obema interferometroma – pomnimo, gravitacijsko valova-
nje potuje s svetlobno hitrostjo – nudi podatek o smeri, iz katere valovanje
prihaja.
Od kod značilen potek zaznanega signala? Spomnimo, sistem dveh teles,
ki krožita drugo okoli drugega v ravnini xy na medsebojni razdalji b, seva
gravitacijsko valovanje, ki se razširja s svetlobno hitrostjo. Gravitacijske
potenciale v ravnem gravitacijskem valu, ki potuje v smeri osi z, opǐsemo
z enačbo (4). Izsev Lgv (enačba (1)) je obratno sorazmeren b
5, saj krožno
frekvenco in razdaljo med telesoma povezuje Keplerjev zakon GM = b3ω2k.
Za sistem Zemlja-Sonce je izsev majhen, le 200 W. V Newtonovi mehaniki
je energija sistema sestavljena iz gravitacijske potencialne Wp =
GMµ
b in
kinetične energije Wk =
1
2µv
2: W = Wk + Wp = −GµM2b . Energija sistema
se manǰsa zaradi sevanja in zato se manǰsa razdalja med telesoma, frekvenca
kroženja pa se povečuje:
dW
dt
=
GMµ
2b2
db
dt
= −Lgv ⇒
db
dt
= −64G
3µM2
5c5b3
. (13)
Razdalja med telesoma se od začetne b0 zaradi izgubljanja energije s
časom manǰsa:
b =
4
√
b40 −
256G3µM2
5c5
t, (14)
100 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 101 — #11 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
laser
zrcalo za
recikliranje
moèi
polprepustno
zrcalo
zrcalo za
recikliranje
signala
zrcala
Fabry-Perotovega
resonatorja
ni premika
ni gravitacijskih 
valov
premik
gravitacijski
val
foto-
detektor
25 W
800 W
100 kW
4
 k
m
1064 nm
Slika 3. Shema interferometra LIGO (levo): laser oddaja infrardečo svetlobo z valovno
dolžino 1064 nm, ki jo s posebnimi zrcali ojačimo. Nato se curek na polprepustnem zrcalu
razdeli na dva delna curka, ki potujeta vsak po svojem 4 kilometre dolgem kraku. Kraka
sta med seboj pravokotna. Par zrcal Fabry-Perotovega resonatorja podalǰsa efektivno
dolžino krakov za 280-krat. Curka se po odboju na koncu kraka združita na polprepustnem
zrcalu in usmerita v fotodetektor. Izsek (desno) kaže osnovno načelo interferenčnega
merjenja – ko sta delni valovanji v nasprotni fazi (ko ni gravitacijskega vala), se med
seboj ošibita in signala ni. Ko gravitacijski val premakne katerega od zrcal, se spremeni
faza med delnima valovanjema, valovanji se med seboj ne ošibita popolnoma in detektor
zazna signal.
frekvenca pa narašča ustrezno Keplerjevemu zakonu. Izraza za b(t) in
ω(t) opǐseta, kako se s časom spreminja izsev in s tem amplituda h: h =
214/3G2µM√
5c4rb
. Tako lahko na sliki 1 spremljamo razvoj sistema, ki je za pri-
mer prvih detektiranih gravitacijskih valov predstavljen s puščico. Puščica
se konča v točki, ko pride do združitve teles. Amplituda h narašča, ko se
b manǰsa. Ker je amplituda h odvisna tudi od r, lahko po njej sklepamo
na oddaljenost dvozvezdja od nas. Časovni potek medsebojne razdalje, iz-
seva in amplitude gravitacijskega potenciala kaže za tipičen primer slika na
naslovnici. Kot primer, sistem Zemlja-Sonce seva gravitacijsko valovanje z
valovno dolžino enako polovici svetlobnega leta in amplitudo h na razdalji
enaki valovni dolžini ∼ 10−26, nekaj redov pod detekcijsko limito ∼ 10−22.
Torej so telesa, katerih valovanje lahko detektiramo, zares masivna.
Zapisani izrazi so bili izpeljani v okviru linearizirane teorije gravitacije.
Sklopitev gravitacijskega polja s sevanjem v limiti močnega polja je predsta-
vljala velik izziv za razvoj numerične relativnosti. Analiza opisana v [7, 8]
je nakazovala, da so rezultati linearizirane teorije uporabni daleč v režim
91–103 101
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 102 — #12 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
 d
e
fo
rm
a
ci
ja
 (
1
0
-2
1
)
 f
re
kv
e
n
ca
 (
H
z)
Hanford, Washington (H1) Livingston, Louisiana (L1)
èas (s) èas (s)
n
o
rm
ir
a
n
a
 a
m
p
lit
u
d
a
H1 meritev
L1 meritev
H1 meritev (premaknjena, invertirana)
512
256
128
64
32
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0,30 0,35 0,40 0,45 0,30 0,35 0,40 0,45
Slika 4. Signal gravitacijskih valov, ki so jih zaznali v LIGU ob dogodku, ki nosi oznako
GW150914. Levo zgoraj je signal izmerjen v Hanfordu, zgornji desni diagram pa kaže
signal izmerjen v Livingstonu in za sedem milisekund zamaknjen in invertiran signal iz
Hanforda. Jasno se vidi ujemanje obeh signalov. Signal je izmeničen, njegova amplituda
narašča in nihajni čas se kraǰsa. Ko sta črni luknji trčili, je signal izzvenel. Spodnji par
slik kaže časovni razvoj spektra obeh signalov. Vir: LIGO/Shane Larson.
močnega polja, ko nastane nova črna luknja in se sevanje konča. Obsežni
numerični računi, ki so bili potrebni za potrditev identifikaciije, se ujemajo
s tem predvidevanjem.
Signal, ki ga je detektiral LIGO ob dogodku GW150914, je ustrezal trku
dveh črnih lukenj z nepričakovano velikima masama, vsaka približno 30 Son-
čevih mas: m1 = (36 ± 5)mSonce in m2 = (29 ± 4)mSonce. Zadnji nihajni
čas pred trkom je znašal 6,2 ms. Oddaljenost črnih lukenj je ocenjena na
1,3 milijarde svetlobnih let, kar pomeni, da se je trk zgodil davnega leta
1.300.000.000 pr. n. št. Na koncu, tik pred trkom, sta črni luknji krožili
druga okoli druge 250-krat v sekundi in s polovico svetlobne hitrosti. V pe-
tini sekunde se je ta kataklizmični dogodek končal. V energijo gravitacijskih
valov se je pretvoril ekvivalent treh Sončevih mas. To je izjemna količina
energije. Več kot je izsev vseh zvezd v vesolju. Raziskovalci so imeli srečo,
da se je ta dogodek zgodil ravno v času obratovanja observatorija, saj je ta
signal zelo značilen, se dobro prilega modelu in ga je enostavno razbrati.
Decembra 2015 so v LIGU zaznali še žvižg, ki je ustrezal združenju dveh
črnih lukenj z masama 14,2 in 7,5 Sončeve mase [6]. Trk se je zgodil na
razdalji 1,4 milijarde svetlobnih let. Januarja 2017 pa so zaznali že tretji
102 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 103 — #13 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
žvižg zlitja para črnih lukenj z masama 31 in 19 Sončevih mas, oddaljenih
3 milijarde svetlobnih let.
Kako naprej? Občutljivost interferometrov bodo izbolǰsali tako, da bodo
povečali število interferometrov po svetu. Med drugim eden deluje v Ita-
liji. Na ta način bo korelacija signala določena bolj zanesljivo in lažje bo
določiti smer izvora valovanja. V tisto smer lahko nato usmerijo teleskope
in opazujejo, ali ta kataklizmični dogodek spremlja tudi aktivnost v elek-
tromagnetnem valovanju – infrardeči svetlobi, vidni svetlobi, rentgenskem
sevanju in sevanju gama. Hkrati lahko merijo tudi tok nevtrinov in ugota-
vljajo, kaj se je dogajalo pri trku. Gravitacijski valovi so tudi eno redkih
oken, skozi katera lahko zremo globoko v preteklost vesolja. Vidna svetloba
se namreč v zelo mladem vesolju ni širila, dokler ni postalo prozorno, ko so
se elektroni povezali z nukleoni v atome. Neprozornost vesolja ni ovira za
potovanje gravitacijskih valov. Opazovanja gravitacijskih valov bodo vse-
kakor poglobila naše znanje o vesolju. Nova spoznanja si obetamo tudi o
lastnostih zelo goste snovi, pojavih pri velikih tlakih ter mehanizmih trkov
nevtronskih zvezd in z njimi povezanimi izbruhi sevanja gama. Opazovanja
gravitacijskih valov nam bodo razkrivala očem nevidne črne luknje in po-
magala ugotoviti, koliko se jih pravzaprav skriva v vesolju, mogoče dobimo
celo odgovor o izvoru temne snovi. Med koristmi tovrstnih eksperimentov
pa ne smemo pozabiti tudi na tehnološke izbolǰsave, ki segajo na področja
vakuumske, optične, kriogenske in laserske tehnologije, vede o materialih,
geodeziji, geologiji kot tudi metodah hitre obdelave velike količine podatkov.
LITERATURA
[1] A. Mohorič in A. Čadež, Gravitacijski valovi, Obzornik mat. fiz. 64 (2016), 53–63.
[2] B. P. Abbott et al., Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole
Merger, Phys. Rev. Lett. 116 (2016), 061102–16.
[3] A. Čadež, Teorija gravitacije, Matematika – fizika 49, 1. natis. Ljubljana, DMFA –
založnǐstvo, 2011.
[4] A. Einstein, Die Feldgleichungen der Gravitation, Sitzungsberichte der Preussischen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847, 1915.
[5] LIGO, dostopno na www.ligo.caltech.edu/, ogled: avgust 2016.
[6] J. Chu, For second time, LIGO detects gravitational waves, MIT News, MIT, 2016.
[7] A. Čadež, Some remarks on the two-body problem in geometrodynamics, Annals of
physics, 91 (1975), 58–74.
[8] A. Čadež, Apparent horizons in two-black-hole problem, Annals of physics, 83 (1974),
449–457.
91–103 103
i
i
“Legisa” — 2017/9/22 — 11:53 — page 104 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
MATEMATIČNE NOVICE
Cédric Villani je poslanec francoske skupščine
Triinštiridesetletni matematik Cédric
Villani, dobitnik Fieldsove medalje, je v
drugem krogu francoskih volitev prepri-
čljivo zmagal v svojem volilnem okrožju
s skoraj 70 odstotki glasov. Tako je po-
stal eden od 15 univerzitetnih učiteljev v
novi francoski skupščini. Večina je bila,
kot Villani, izvoljena na listi nove Ma-
cronove stranke.
Villani je marca letos predaval na Fa-
kulteti za matematiko in fiziko in v Can-
karjevem domu v Ljubljani. Je sin fran-
coskih kolonistov, ki so se po osamosvoji-
tvi Alžirije morali vrniti v Francijo. Živi
v civilni zvezi z biologinjo in ima dva
otroka. Obljubil je, da bo v primeru
izvolitve odstopil kot direktor Inštituta
Henri Poincaré.
Njegova izvolitev je pritegnila precej medijske pozornosti; ki je bila sko-
raj vsa pozitivna. Sem in tja pa so bile tudi strupene bodice, denimo vpra-
šanje, ali bo morda delal reklamo za modo v stilu družine Addams. (Filmska
komedija Pri Addamsovih prikazuje ekscentrično družino.)
Nanj se je spravil tudi vodja stranke Neukročena Francija. Ta je na
televiziji izjavil, da so v novi stranki »ljudje, ki nimajo pojma o ničemer«.
Dejal je tudi:
»Videl sem matematkarja, tam. Razložil mu bom, kaj je pogodba o
delu. Padel bo po tleh, ker ne ve. Ne ve, da je bilo za osemurni delavnik
potrebnih sto let boja. Pob misli, da je bilo vedno tako.«
Villani mu je takoj odgovoril:
»Dragi JL Mélenchon, kot direktor inštituta sem videl kar nekaj delovnih
pogodb. Zmeraj pa se veselim dodatnega pouka.«
Tvit je v nekaj urah doživel pet tisoč delitev.
104 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 7:36 — page 105 — #2 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
Kako postati urednica revije
Pisali smo že o velikih zaslužkih založnikov znanstvene literature. To spod-
buja posnemovalce, ki skušajo pristaviti svoj lonček z ustanovitvijo novih
revij. Pri tem pomaga zdaj popularni model »odprtega dostopa«, pri ka-
terem avtor (ali njegova institucija) plača za objavo, članek pa je potem
prosto dostopen.
Dobil sem, mislim, da ne samo enkrat, ponudbo, da postanem urednik
matematične revije, o kateri še nikoli prej nisem slǐsal.
Družboslovci z Univerze v Wroclawu so v članku [1] ta divji trg osvetlili
še nekoliko bolj podrobno in sistematično. Ustvarili so izmǐsljeno razisko-
valko. Njeno poljsko ime bi, prevedeno v slovenščino, bilo Ana P. Revara.
Delovala naj bi na naslednjih področjih: teorija znanosti in športa, kogni-
tivne znanosti, metodološke osnove družbenih znanosti. Ta gospa je pisala
360 naključno izbranim družboslovnim revijam, ki bi nekako ustrezale gor-
njim trem področjem, in se ponudila za urednico, ker to potrebuje pri svoji
karieri. Navedla je akademske naslove, ki naj bi jih dosegla. Bila naj bi
avtorica nekaj poglavij v izmǐsljenih knjigah izmǐsljenih založb, drugih ob-
jav pa ni navedla. Dala je povezavo na lažno stran, ki je prikazovala, da je
zaposlena na Filozofskem inštitutu Univerze v Poznanu. V večini primerov
ni dobila odgovorov. Veliko je bilo zavrnitev, tudi vzvǐsenih ali zaničljivih.
Nekateri so jo prijazno poučili, da moraš najprej objaviti kar nekaj dobrih
znanstvenih člankov, se izkazati kot recenzent in šele nato te morda po-
vabijo med urednike. Ana ni bila uspešna pri nobeni od revij s faktorjem
vpliva (impact factor), kot ga najdemo na JCR (Journal Citation Reports).
Zgodbe pa še ni konec: bila je sprejeta v 48 urednǐskih odborov revij, ki so
bile sicer večinoma znane kot »roparske«. Dobila je celo tak dopis: »Z ve-
seljem sporočamo, da smo vas sprejeli kot glavno urednico brez kakršnihkoli
obveznosti.« Osem od teh 48 revij je bilo na seznamu DOAJ (Directory of
Open Access Journals), ki naj bi zagotavljal določeno kakovost. Dve od teh
sta bili pozneje črtani z DOAJ.
Več kot četrtina od teh 48 revij je sicer zahtevala ali predlagala razne
protiusluge, včasih kar neposredno denar. Vendar so se tudi ti založniki
večinoma izkazali kot prožni. Kot urednico so jo nastavili, čeprav ni plačala
ali naredila kaj drugega od zahtevanega.
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 105
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 7:36 — page 106 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Zlorabe sistema recenziranja
V postopku, znanem pod angleškim imenom »peer review« (ocenjevanje,
ki ga izvedejo strokovnjaki enake usmeritve in ranga), članek, poslan re-
viji, oceni znanstvenik (ali dva) s tega področja in ga predlaga za objavo
(pogosto s popravki) ali pa zavrne. Pri matematiki gre to nekako takole.
Vrhunski strokovnjak lahko hitro opazi morebitne napake: Glavni izrek je
denimo preveč lep, ekspert najde protiprimer in članek zavrne. Lahko pre-
sodi, da članek ni dovolj inovativen in ga prav tako zavrne. Lahko ga tudi
podrobno pregleda. Ali pa recimo po pol dneva pregledovanja oceni, da je
članek videti korektno napisan, rezultat je verjeten in zanimiv. Tako da
pozitivno mnenje. Običajni smrtniki lahko preverjamo vrstico za vrstico
in tako skoraj nezgrešljivo ločimo zrno od plev. To pomeni veliko (skoraj
zmeraj neplačanega) dela, pa tudi odkritje še tako majhnih napak. Vendar
veliko matematičnih recenzentov dejansko dela tako podrobno, kot vem iz
izkušenj z mojimi članki. Zato so v matematiki članki s huǰsimi napakami
zelo redki. Brž ko se pojavi preprint z res zanimivimi rezultati, dobi skoraj
gotovo kak podiplomski študent na bolǰsi univerzi nalogo, da članek preštu-
dira in ga na seminarju podrobno predstavi. To dodatno preverjanje ima
veliko vrednost in lahko prinese popravke, preden članek resnično izide.
Če ocenjevalec najde napako v članku bolj proti koncu, avtorju predlaga,
da članek poskusi popraviti. Včasih ni enostavno presoditi, ali so rezultati
dovolj novi in zanimivi za objavo.
V eksperimentalnih znanostih je nemogoče pričakovati, da bo recenzent
ponovil vse meritve, ki so zahtevale veliko ur dela skupine ljudi, drago
opremo itd. Strokovnjak lahko vseeno najde napake, neujemanje z dru-
gimi rezultati, slabo teoretično utemeljitev itd. Rezultate meritev lahko
požene skozi statistične programe, ki precej zanesljivo odkrijejo podatke, ki
so bili prirejeni, izmǐsljeni . . . (Poglejte si recimo članek [3], v katerem je lepo
opisano, kako so, sicer šele dolgo po objavi, razkrili veliko število sleparij
nekaj avtorjev na področju medicine.) Ocenjevalci lahko zavestno ali ne-
hote upoštevajo (tudi pri matematiki) ugled avtorjev in njihovih institucij.
Ovira objektivnosti so prijateljstva, zamere, predsodki, politika in ideologija
. . . Soustanovitelja spletne strani Retraction Watch, sicer urednika medi-
cinskih revij, sta zbrala v [2] nekaj primerov drzne, včasih pa tudi zabavne
zlorabe procesa selekcije znanstvenih člankov.
Fizika Bill Moran in William G. Hoover, zaposlena v uglednem Lawrence
Livermore National Lab, sta pred kakimi tremi desetletji zaman poskušala
z objavo svojih člankov s precej revolucionarnimi idejami v dveh vodilnih
revijah. Tako sta članka malce spremenila in dodala izmǐsljenega soavtorja
106 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 7:36 — page 107 — #4 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
z Institute for Advanced Studies v Palermu. To zveni podobno znanemu
Institute for Advanced Study v Princetonu. In glej, stvar je delovala – ali
pa je časovni odlog pomagal, da so njune ideje postale bolj sprejemljive.
Članka sta bila objavljena v Journal of Statistical Physics in Journal of
Chemical Physics. Edini problem je, da je soavtorjevo ime bilo Stronzo
Bestiale. Tega raje ne bomo prevajali, da nas ne obtožijo vulgarnosti. Ho-
over je ta vzdevek slǐsal večkrat v pogovoru dveh Italijank v Parizu. Po
objavi je od urednika revije J. Chem. Phys. italijanski novinar hotel po-
datke o nenavadnem avtorju. Urednik se je pozneje opravičil bralcem, ker
je nasedel »neumnosti preostalih dveh avtorjev«. Takratni predsednik Itali-
janskega fizikalnega društva pa je bil mnenja, da šala žali celotno italijansko
znanstveno srenjo. Stronzo Bestiale še zmeraj nastopa v znanstvenih bazah
podatkov.
Nekatere revije omogočajo, da avtor predlaga recenzente. Korejski znan-
stvenik s področja botanike in medicine je to izkoristil. Uporabil je deloma
izmǐsljena imena, deloma znana imena. Naslovi pa so bili taki, da je članek
v recenziranje prǐsel k njemu samemu.
Veriga tajvanskih strokovnjakov je organizirala nekaj podobnega in re-
cenzije pripravila vnaprej. Vendar je urednik opazil, da je ocena prǐsla že
nekaj minut po tem, ko je članek poslal recenzentu.
Poudariti moramo, da so hude zlorabe, kot smo jih navedli v zadnjih
dveh primerih, zelo redke, posledice za storilce pa so lahko težke, tudi konec
kariere. Revije v primerih razkritja neznanstvenih praks, razumljivo, nerade
naknadno umikajo (preklicujejo) že objavljene članke. To spremlja prej
omenjena stran Retraction Watch. Tako je recimo ugledna medicinska revija
The Lancet umaknila članek, ki je sugeriral zvezo med cepivi in avtizmom;
avtor članka pa je izgubil zdravnǐsko licenco v Veliki Britaniji. Vseeno
take afere škodijo ugledu znanosti; za očrnitev znanosti pa jih s pridom
izkorǐsčajo vsi, ki jim rezultati raziskovalcev ovirajo donosne posle.
LITERATURA
[1] P. Sorokowski, E. Kulczycki, A. Sorokowska in K. Pisanski, Predatory journals
recruit fake editor, Nature 543, 481–483, dostopno na: www.nature.com/news/
predatory-journals-recruit-fake-editor-1.21662, ogled: 23. 3. 2017.
[2] A. Marcus in I. Oransky, Why Fake Data When You Can Fake a Sci-
entist? Making up names and CVs is one of the latest tricks to
game scientific metrics, Nautilus, dostopno na: nautil.us/issue/42/fakes/
why-fake-data-when-you-can-fake-a-scientist, ogled: 24. 11. 2016.
[3] A. Marcus in I. Oransky, How the Biggest Fabricator in Science
Got Caught, Nautilus, dostopno na: nautil.us/issue/24/error/
how-the-biggest-fabricator-in-science-got-caught, ogled: 21. 5. 2015.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 107
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 108 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Lucio Russo, The Forgotten Revolution, How Science Was Born
in 300 BC and Why It Had to Be Reborn, With the Collaboration
of the Translator, Silvio Levy, Springer-Verlag, Berlin 2004, 487
str.
Uvod
Na sredozemskih obalah je v obdobju od 323 do 144 pr. n. št. prǐslo do
izrednega razcveta znanosti in tehnologije. Klasična grška kultura se je
ob stiku z bogatimi, tehnično razvitimi velikimi orientalskimi civilizacijami
oplemenitila v tako imenovani helenizem. Jezik te nove civilizacije je bil
grški. Najvažneǰsi helenistični center je bila Aleksandrija v Egiptu, v ka-
teri je bila slavna knjižnica. Ta ustanova se je pravzaprav imenovala Muzej
(Museion), kar je prvotno pomenilo tempelj Muz, in je spominjala na sedanje
raziskovalne inštitute. Znanstveniki so imeli skupna kosila. Čeprav so neka-
teri misleci delovali tudi v drugih helenističnih mestih (denimo Arhimed na
Siciliji), je večina »študirala«, kot bi rekli danes, v Aleksandriji ali v Atenah,
med njimi pa je obstajala korespondenca. Arhimed, ki živel približno med
leti 287 in 212 pr. Kr., je imel pisne stike z ravnateljem Muzeja Eratóstenom.
Med znanstveniki je očitno obstajala tekmovalnost. Tako je Eratósten imel
vzdevek »beta«, kar je druga črka za »alfa«, ker naj bi bil na pomembnih
področjih šele drugi najbolǰsi. Vsekakor je tudi ta pozicija, kot bomo videli,
zadoščala za neminljivo slavo. V tem obdobju so nastale mnoge tehnične
inovacije, kot so mlinska kolesa, Arhimedov vijak za vzdigovanje vode, batne
črpalke za vodo. V matematiki, astronomiji, geografiji, anatomiji . . . je bilo
narejeno mnogo več kot v vseh tisočletjih pred tem.
Matematikov o izrednih dosežkih helenizma ni treba prepričevati. Med
družboslovci pa najdemo ljudi, ki zanikajo veličino helenističnih dosežkov in
dajejo prednost klasični grški dobi od šestega do četrtega stoletja, ko sta bili
znanost in filozofija tesno povezani. Nekateri tlačijo obe omenjeni obdobji
in morda še rimski čas v isto vrečo.
Razpravo je ponovno oživila knjiga italijanskega matematičnega fizika
in klasičnega filologa Lucia Russa z naslovom: Pozabljena revolucija:
Kako se je znanost rodila tristo let pr. Kr. in zakaj se je morala
ponovno roditi.
Knjigo je v angleščini izdala založba Springer leta 2004 in je dopolnjen
prevod knjige La rivoluzione dimenticata, ki je prvič izšla leta 1996 in je v
Italiji doživela velik uspeh in tri izdaje. Prevedena je tudi v nemščino. Avtor
je profesor Oddelka za matematiko na Universita di Roma »Tor Vergata«.
Helenistično dobo ta knjiga umešča med letnici 323 pred Kristusom in
415 po njem. Osnovna teza knjige je, da je to obdobje pomenilo, zlasti v
svojih prvih dvesto letih, izreden vzpon intelektualne dejavnosti in rojstvo
moderne znanosti. Temu lahko, s kakim manǰsim pridržkom, pritrdimo in
rečemo, da so bili v nedavni preteklosti helenistični dosežki premalo znani in
108 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 109 — #2 i
i
i
i
i
i
The Forgotten Revolution
cenjeni. Druga njena teza je, da je že v rimskem obdobju na znanstvenem
področju prǐslo do nazadovanja, ki se je kasneje še stopnjevalo. Mnoga
dela helenistične dobe so bila pozabljena, izgubljena ali pa jih kasneǰsi izo-
braženci niso bili več sposobni razumeti. Kot bomo videli, je to precej
resnično, čeprav avtor v dokazovanju nezainteresiranosti in intelektualne in-
feriornosti Rimljanov na par mestih pretirava. Tretja teza je, da je znanost
celo v sedemnajstem stoletju slonela na helenističnih dosežkih. Avtor celo
namiguje, da so nekateri renesančni znanstveniki šestnajstega stoletja kot
svoje predstavljali ideje iz helenističnih rokopisov, ki so jih skrbno skrivali
pred javnostjo. Zame je to naǰsibkeǰsi in najmanj zanimiv del knjige, saj
je to silno težko dokazati. Nedvomno so v sedemnajstem stoletju skrbno
študirali stare vire. Konec koncev je slavni matematik Fermat nekatere
svoje rezultate napisal na rob knjige Aritmetika helenističnega matematika
Diofanta. Vendar pa antične ideje večinoma niso bile izhodǐsče raziskav.
Zaradi ponovnega pregleda originalnih virov prinaša delo mnoga nova
spoznanja o tem obdobju in ga upravičeno rehabilitira kot eno najpomem-
bneǰsih v razvoju znanosti. Knjiga je napisana živahno, polemično in veči-
noma prepričljivo, včasih pa je nekoliko preveč sugestivna. V Italiji je bila
knjiga predlagana za literarno nagrado.
Velika odlika te knjige je slikovni material. Revolucionarna novost he-
lenistične umetnosti je prikazovanje ljudi v gibanju, v usodnih in nenavadnih
trenutkih. Morda najbolj znana je Laokoontova skupina, v kateri se družina
obupno bori z velikimi kačami. V knjigi je več krasnih primerov takratne
umetnosti: mozaik z zelo natančnimi podobami morskih živali, povsem re-
alistične freske, na katerih so že upoštevane osnove perspektive, bronast kip
otroka jahača, ki pričara občutek hitrosti in tekmovanja. Skratka, helenis-
tična umetnost je iskala in našla nove izrazne možnosti, ki so nadgrajevale
že tako visoko raven klasičnega grškega kiparstva. Imamo tudi slike in talne
vzorce, ki uporabljajo optične iluzije, da pričarajo trirazsežnost. Te helenis-
tične vzorce še danes srečujemo v sredozemskih palačah in cerkvah. Osnovni
občutek, ki človeka pri tem prevzame, je, da gre za »moderno« civilizacijo, s
katero se lahko v marsičem identificiramo. Tudi roman je izum helenistične
kulture.
Ob branju te knjige bo marsikdo, tako kot sem bil jaz, šokiran ob de-
jstvu, koliko je v zgodovini znanosti vprašljivih ali celo povsem napačnih
interpretacij in kako močno vlogo igra ideologija. Ta knjiga s ponovnim pre-
gledom virov izpostavlja mnoga taka neustrezna tolmačenja (in žal dodaja
nekatere vprašljive trditve). Pot do zgodovinske resnice je očitno vijugasta.
Zato sem tudi sam na spletu poiskal nekaj originalnih virov ali njihovih
prevodov in s tem obogatil tale zapis.
Družbene razmere
Helenistična doba se začenja s smrtjo Aleksandra Velikega 323 pr. n. št.
Aleksander je imel za učitelja slavnega filozofa in znanstvenika Aristotela.
Aleksandrov oče Filip Makedonski je bil eden najbolj izobraženih ljudi tis-
tega časa. Tako oče kot sin sta podpirala razvoj znanja in tehnologije, seveda
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 109
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 110 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
predvsem vojaške tehnologije. Malokdo ve, da je Aleksander Veliki na svojih
pohodih imel s sabo dva merilca razdalj (vemo celo njuni imeni), ki sta tudi
za naše pojme zelo dobro določila razdalje med kraji, celo v goratem Afgan-
istanu. Skratka, Aleksander je odlično izkoristil velike dosežke klasične grške
dobe. Pripravil pa je tudi razmere za še večji razcvet v obdobju helenizma.
Mesto Aleksandrija, srce helenističnega sveta, je Aleksander ustanovil
osem let pred svojo smrtjo. Aleksandrovo dedǐsčino so si razdelili njegovi
generali. Nastalo je več kraljevin, ki so segale od Sredozemlja do Črnega
morja, Afganistana, današnjega Samarkanda in Indije. Visoko razvite kul-
ture teh držav so imele mnogo sorodnih potez, saj so v njih večinoma vladale
grške elite.
Kot prepričljivo pravi na začetku navedena knjiga, je razlog za razcvet
helenistične družbe plodno sodelovanje grškega racionalnega mǐsljenja in
razvite tehnologije bogatih in velikih orientalskih gospodarstev. K temu
dodajmo državne podpore znanstvenemu in tehnološkemu razvoju ter kon-
centracijo šol in znanstvenikov v Aleksandriji in v Atenah. V Egiptu je
vladar Ptolemaj drugi (283–246 pr. Kr.) na vse načine spodbujal znanost.
Kupoval je knjige, plačeval prevajanje tujih del in izdajo novih. Morda je
malce pretirana zgodba, da je vsaka ladja, ki je takrat priplula v Aleksan-
drijo, morala prijaviti vse knjige na krovu. Če jih Kraljeva aleksandrijska
knjižnica ni imela, so jih zaplenili in lastnikom vrnili prepise. Vsekakor je ta
knjižnica bila za dolgo obdobje daleč največja. Aleksandrija pa je premogla
še dve drugi manǰsi knjižnici, ki sta bili bolj javni in sta hranili kopije besedil
velike knjižnice.
Helenistična družba ni bila tako odvisna od suženjskega dela kot rim-
sko cesarstvo. Poznali so zasebne tovarne s plačanimi delavci. Ohranjeno
je računovodstvo bogate hǐse v Aleksandriji, v kateri so delali svobodni
služabniki in sužnji; oboji so dobivali plačilo v denarju. V tem obdobju so,
kot smo že rekli, nastale mnoge tehnične inovacije, kot so mlinska kolesa,
Arhimedov vijak za vzdigovanje vode, batne pumpe za vodo. Tudi nekateri
drugi helenistični centri, kot npr. Pergamon v Mali Aziji in Sirakuze na Si-
ciliji so uspešno sodelovali in tekmovali z Aleksandrijo na področju znanosti,
tehnologije in umetnosti.
Zlata doba helenizma je trajala sorazmerno kratek čas in je vrhunec
doživela v tretjem stoletju pr. n. št. Nato so se začeli rimski vojaški pohodi
proti helenističnim državam. Leta 212 pr. n. št. so Rimljani osvojili Sirakuze
na Siciliji in pri tem ubili slavnega znanstvenika Arhimeda. Drug za drugim
so v rimske roke padali tudi drugi helenistični centri. Rimski generali so
pogosto zasužnjili grške izobražence, knjižnice pa razprodali ali odpeljali
domov. V sami Aleksandriji naj bi okrog leta 144–145 pr. n. št. vladar
Ptolemaj VII. pobil ali pregnal večino grške elite v mestu. To je bil tudi
konec zlate dobe helenizma. Osnovna znanost pač težko uspeva brez državne
podpore.
Velika aleksandrijska knjižnica pri tem menda ni bila prizadeta. Morda
so Cezarjeve čete ob zavzetju Aleksandrije leta 48 pr. Kr. po nesreči zažgale
del velike knjižnice. Takrat naj bi Aleksandrija štela pol milijona prebival-
cev. Zlata doba helenizma je tako trajala manj kot dvesto let. Julij Cezar je
110 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 111 — #4 i
i
i
i
i
i
The Forgotten Revolution
znanje aleksandrijskih astronomov izkoristil vsaj toliko, da so mu pomagali
reformirati koledar.
Znanstvena dejavnost je po koncu vojn v stabilnih razmerah rimske
države deloma oživela, nato pa s propadanjem imperija počasi zamrla. Zad-
nji pomembneǰsi znanstvenik je bil matematik Diofant, ki je živel v Alek-
sandriji po vsej verjetnosti v tretjem stoletju. Ukvarjal se je z enačbami.
Njegovi problemi so bili večkrat zelo originalni in vir navdiha za kasneǰse
matematike. Zdi se, da so v četrtem stoletju le še prirejali in komentirali
stara dela in da od velike kraljeve knjižnice po uporih proti Rimljanom in
ponovnih zavzetjih mesta ni ostalo veliko. Samo mesto se je sicer po vsaki
katastrofi pobralo. Latinsko pismo pobožnega kristjana iz četrtega stoletja
opisuje Aleksandrijo takole: »Prebivalci se združujejo v klike, so nesramni
in nasilni. Mesto je bogato, vlada obilje, nihče ne lenari. Eni pihajo steklo,
drugi delajo papir iz papirusa, tretji tkejo platno: zdi se, da se vsak ukvarja
z neko obrtjo. Ljudje s putiko, pohabljeni, slepi, vsi nekaj delajo. Celo
invalidi niso brez posla. Njihov edini bog je denar, ki ga častijo kristjani,
Židje in vsi drugi. Ko bi le to mesto imelo bolǰsa moralna načela . . . «
Konec ostankov helenistične znanosti pomeni linčanje aleksandrinske
matematičarke Hipatije okrog leta 415.
Po propadu zahodnorimskega cesarstva je nekakšno kontinuiteto vzdrže-
val Bizanc, ki je tudi ohranil več helenističnih del. Tako je v 6. stoletju
Izidor iz Mileta – eden od arhitektov znane cerkve Hagia Sophia – uredil
Arhimedova dela.
Matematika
Poskusimo zdaj predstaviti dejansko fantastičen razvoj matematike v zlati
dobi helenizma. Grška inovacija, že pred helenizmom, je bila racionalno
preverjanje idej. Najbolj prepričljivo je bilo logično brezhibno dokazovanje
raznih geometrijskih trditev. Helenizem je delo svojih predhodnikov kronal
z Evklidovimi Elementi, morda najbolj slavnim matematičnim delom vseh
časov. Iz kratkega sistema geometrijskih aksiomov ali postulatov so v njih
elegantno izpeljani globoki in uporabni rezultati ravninske in prostorske
geometrije, pa tudi teorije števil. Evklidove elemente so uporabljali kot
učbenik geometrije naslednji dve tisočletji. Prostorsko geometrijo pogosto
še danes učimo praktično dobesedno po Evklidu. Deduktivna metoda, pro-
movirana v tem delu, je danes osnova matematike. Popolna abstrakcija ge-
ometrije je bila revolucionarna helenistična inovacija. Evklidska geometrija
je bila matematični model, ki pa je bil seveda v skladu s fizičnim svetom in
so ga ljudje lahko odlično uporabljali za obvladovanje tega sveta.
Pozneje so sicer našli nekaj pomanjkljivosti v Evklidovih izpeljavah, ki
pa ne zmanǰsujejo veličine dela. Današnjega matematika bolj motijo defini-
cije osnovnih geometrijskih pojmov, ki so po sedanjih merilih nepotrebne.
Povrh vsega pa so nekatere meglene in težko razumljive, v nasprotju z ve-
liko jasnostjo večine Evklidovega dela. Primeri: »Točka je tisto, kar je brez
delov. Daljica je dolžina brez širine. Ravna črta je črta, ki leži enako glede
na točke na njej.« V odkopanem rimskem mestu Herkulane pod Vezuvom
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 111
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 112 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
so, kot pravi knjiga, našli papirus z Evklidovo geometrijo brez teh prob-
lematičnih definicij. Krog naj bi bil v tem papirusu bolje definiran kot v do
sedaj znanih verzijah Evklida. Zanimivo je tudi, da je judovski filozof Filon
iz Aleksandrije, ki je živel neposredno pred Kristusom, trdil, da tovrstne
definicije sodijo v njegovo področje, se pravi v filozofijo in ne v geometrijo.
Obravnavana knjiga zato sklepa, da te definicije izvirajo iz nekega kasneje
narejenega priročnika in da so jih prilepili kasneǰsim prepisom Evklidovih
Elementov.
Kot pove naša knjiga, pa Rimljani in njihovi nasledniki Evklidove ge-
ometrije niso prevedli v latinščino vse do petega ali šestega stoletja naše
dobe. Prvi popolni latinski prevod je nastal šele v dvanajstem stoletju v
Angliji, in to iz arabščine.
Naslednji velik helenistični prispevek h geometriji je obravnava stožnic,
se pravi presekov stožca z ravnino. Apolonij iz Perge (približno 262–190 pr.
Kr.) je obdelal lastnosti elips, hiperbol in parabol osupljivo popolno. Prav
tako je bila razvita sferna geometrija, ki je bila uporabna tako v astronomiji
kot pri izdelavi zemljevidov. Zdi se, da Grki niso videli uporabe stožnic v
astronomiji; to je zaslutil šele indijski astronom Ariabhata okrog leta 500
naše dobe.
Znani zgodovinar Plutarh (ki je bil Grk in je živel nekako od 50. do 120.
leta naše dobe) v eni od svojih knjig pravi: »Hrizip je dejal, da je število
sestavljenih izjav, ki jih dobimo iz deset enostavnih izjav, več kot milijon.
Hiparh je pokazal, da se moti: takih izjav je 103049.« Hrizip, stoični filozof
in logik, ki je živel v tretjem stoletju pr. Kr. v Atenah, je danes skoraj
pozabljen, napisal pa je po poročilih drugih več kot sto (izgubljenih) del.
Eden kasneǰsih filozofov se je pritoževal, da težko razume Hrizipova dela.
Hiparh je živel stoletje pozneje na otoku Rodosu in je še danes slaven kot
astronom in matematik. Prej omenjeno število je bilo uganka zgodovinarjem
matematike do leta 1994, ko je podiplomski študent matematike ugotovil,
da je to deseto Schröderjevo število. Schröder je bil nemški matematični
logik in je ta števila neodvisno odkril okrog leta 1870. Dejansko so v zadnjih
letih matematiki ugotovili, da lahko n-to Schröderjevo število interpretiramo
kot število sestav n različnih izjav, povezanih z »in« ali »ali« in omejenih
z oklepaji. Še bolj konkretna je tale predstavitev. Denimo, da imamo
šahovsko desko in na njej samo kralja, in to v levem spodnjem vogalu.
Označimo diagonalo deske, ki se začne v tem vogalu. Omejimo gibanje
kralja, tako da se lahko giblje le desno, navzgor ali desno navzgor in ne
nad označeno diagonalo. Koliko je možnih poti kralja do desnega zgornjega
vogala deske? Izkaže se, da je to dvakratnik sedmega Schröderjevega števila.
Če bi deska imela 11×11 polj, pa bi bilo možnih poti natanko za dvakrat-
nik števila, ki ga navaja Plutarh. Vsekakor Hiparh tega ni mogel izraču-
nati brez preceǰsnjega znanja kombinatorike. Vidimo torej, da so izgubljeni
Hrizipovi in Hiparhovi spisi vsebovali zanimivo in netrivialno matematiko.
Eden največjih helenističnih matematikov je bil Arhimed, ki živel v Sir-
akuzah na Siciliji. Po vsej verjetnosti je študiral v Aleksandriji. Dopiso-
val si je z ravnateljem Aleksandrijske knjižnice Eratóstenom. Arhimed je
izračunal površino in prostornino krogle, ocenil navzgor in navzdol število
112 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 113 — #6 i
i
i
i
i
i
The Forgotten Revolution
π, določil ploščino med parabolo in premico. Zanimivo je ta zadnji Arhime-
dov prispevek primerjati s tem, kar počnemo danes. Ko Arhimed izračuna
ploščino med parabolo in premico, to naredi na povsem neoporečen način
tudi z današnjega gledǐsča. Žal pa je ta način zelo zahteven in ga ni mogoče
kar tako uporabiti pri računanju ploščin drugih krivočrtnih likov. Že za
samo razumevanje Arhimedove izpeljave ploščine med parabolo in premico
si moramo vzeti uro ali dve časa in intenzivno premǐsljevati. Šele pred kakimi
sto leti so našli rokopis z napol izbrisanim Arhimedovim besedilom o raču-
nanju prostornine krogle. Izkazalo se je, da je tudi veliki grški matematik
do formule za prostornino krogle prǐsel pravzaprav na bolj nazoren in hiter
način, z uravnovešenjem dveh teles na skupni prečki. Ker pa tak fizikalni
dokaz za takratne matematike ni bil neoporečen, je dobljeno formulo kasneje
dokazal na brezhiben, a mnogo bolj zapleten način. Spet vidimo, da je le
malo manjkalo, da bi tak zanimiv del zgodovine izginil za vselej.
Tehnologija
Priročnik De architectura rimskega pisca Vitruvija je bodoče graditelje sez-
nanjal z geometrijo – kolikor je bilo potrebno za merjenje in risanje načrtov
– in aritmetiko – za določanje stroškov gradnje. Enako pozornost pa je
učbenik posvečal pravu, katerega znanje je bilo potrebno za sestavljanje
pogodb in reševanje tožb, povezanih z gradnjo. Vitruvij je obravnaval tudi
astronomijo – za izdelavo sončnih ur. Iz astronomije so Rimljani vzeli tudi
recepte za določanje nebesnih strani.
Vitruvij opisuje, kako so v rimskih mestih porabo vode zaračunavali
glede na premer cevi, ki je dovajala vodo. Russo se zaradi tega norčuje iz
Vitruvija, češ da ni razumel, da je pretok odvisen tudi od tlaka. Ampak
Rimljani so stremeli k enostavnosti, verjetno tudi pri obračunu vode.
Vitruvij opǐse nivelirni instrument, ki so ga Rimljani naredili po grškem
vzoru. Šlo je za kakih šest metrov dolg lesen tram, v katerega je bil na
sredini izdolben meter in pol dolg kanalček. Na obeh koncih tramu sta bili
nabiti pravokotni navpični letvi in ob njih obešeni svinčnici. Bralci Vitruvija
so skušali iz kratkega opisa rekonstruirati napravo, saj so originalne slike
izginile. Šele pred nedavnim, leta 2004 [1, str. 25–32] je španski geograf in
zgodovinar Isaac Moreno Gallo pokazal, da je treba v sredino trama vgraditi
os in podpreti le to os. S svinčnicama uravnovesimo tram. Če je vetrovno
in svinčnice nihajo, po Vitruviju v kanal vlijemo vodo in lahko z dobljeno
vodno tehtnico zelo precizno določimo vodoravnico. Španska rekonstrukcija
se je v praktičnem preizkusu zelo dobro izkazala, kar za preǰsnje variante
ne bi mogli reči. Vitruvij je (resda čisto po nepotrebnem) zapisal, da je
po Arhimedu površina vode v kanalu sicer sferična in sredǐsče te sfere je v
sredǐsču zemeljske krogle, a v praksi to ni pomembno:
»Necesse est enim quacumque aqua sit infusa in medio inflationem cur-
vaturamque habere, sed capita dextra ac sinistra inter se librata esse.«
Russo je to Vitruvijevo opombo napačno in skoraj zlonamerno prevedel.
Naj citiram angleško verzijo Russa:
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 113
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 114 — #7 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
»It is necessary that the place where the water is poured in should have
a bulge or curvature in the middle, yet the heads of the left and right water
columns should be level against one another.«
In na podlagi te interpretacije se je spet norčeval iz rimskega arhitekta.
Pravi prevod bi bil nekako takle:
»Namreč: ne glede na to, kakšno izbočenost ali ukrivljenost ima nalita
voda v sredino (trama?, opomba P. Legǐsa), morata biti nivoja vode na levi
in desni uravnovešena.«
Gallo je tu pokazal bolǰse znanje in dal korekten prevod. Gallo tudi
pravi, da so rimski inženirji delali neprimerno dalǰse akvadukte z mnogo
manǰsimi nakloni kot njihovi učitelji Grki.
Aleksandrija je imela napreden vodovodni sistem. Voda iz Nila se je naj-
prej v velikih podzemnih bazenih očistila usedlin. Veliki svetilnik Fáros je bil
visok okrog 93 metrov, uporabljal je vbočena zrcala za usmerjanje svetlobe,
ki je po zgodovinarju Jožefu Flaviju bila vidna 300 stadijev, tj. okrog 50
kilometrov daleč. To se sklada z največjim možnim dosegom svetlobe zaradi
ukrivljenosti Zemlje in celo daje možnost za oceno polmera Zemlje. Glavno
stavbo svetilnika so uničili šele potresi v štirinajstem stoletju, tako da je
zdržala več kot tisočletje in pol. Arabski osvajalci so v sedmem stoletju
našli mesto, ki je po poročilih imelo štiristo gledalǐsč in podobnih zabavǐsč
in štiri tisoč javnih kopalǐsč.
Tudi druga helenistična mesta so se lahko pohvalila z vrhunsko tehnično
infrastrukturo. Akvedukt v Pergamonu v Mali Aziji je z zacementirani-
mi svinčenimi cevmi po principu vezne posode peljal vodo dvesto metrov
vǐsinske razlike navzdol in nato navzgor. Tlak na dnu akvedukta je znašal
20 barov! Pravi dosežek je bil, da je sistem to sploh vzdržal. Kot sem
sam videl v Pompejih, so bili namreč taki vodovodi sestavljeni iz kratkih
svinčenih cevi in so torej imeli množico spojev.
V začetku dvajsetega stoletja so zraven grškega otočka Antikitera, med
Peloponezom in Kreto, našli ostanke ladje iz helenističnega obdobja in v njej
nekakšen urni mehanizem. Pozneje je Jacques Cousteau odkril v razbitinah
kovance, izdelane v Pergamonu v Mali Aziji v letu 86 pr. Kr. Rekonstruk-
cija je pokazala, da gre za zelo zapleten mehanizem, sestavljen iz več kot
trideset zobatih koles. Grški napis s približno dva tisoč znaki je potrdil,
da gre za mehanični računalnik, s katerim je bilo mogoče prikazati gibanje
nebesnih teles. Iz skoraj v celoti prebranega napisa zdaj sklepajo, da je
bil mehanizem povezan z mestom Korint ali s Sirakuzami na Siciliji, ki so
bile korintska kolonija. Najdba je bila prvovrstno presenečenje. Znano je
bilo sicer, da je astronomija v tem času dosegla izredne rezultate. Obsta-
jala so poročila, da je veliki helenistični znanstvenik Arhimed iz Sirakuz
izdelal dva sorodna mehanizma, ki so ju rimski zavojevalci odnesli s seboj.
Nihče pa ni pričakoval take zapletenosti in miniaturizacije. Mehanizem je
bil primerljiv z evropskimi izdelki iz 18. stoletja. Helenistična tehnika je
nedvomno dosegla izredno visok nivo.
Na podlagi te najdbe so končno rekonstruirali tudi Arhimedov odometer,
to je pripravo, ki je štela obrate kolesa na vozu, tako kot današnji števci
kilometrov. To je neuspešno poskušal že Leonardo da Vinci.
Verjetno bo za marsikoga presenečenje, da je Heron iz Aleksandrije opisal
114 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 115 — #8 i
i
i
i
i
i
The Forgotten Revolution
prvi stroj, ki ga je poganjala para. Prav tako imamo iz tega obdobja številne
kovinske in lesene pumpe za črpanje vode. Izdelava takih črpalk in njihovih
ventilov zahteva veliko natančnost in mnogo tehničnega znanja. Našli so
tudi ostanke krogličnih in koničnih ležajev iz helenističnega obdobja.
Eden od vzrokov za podpiranje znanosti in tehnologije v helenističnih
državah je bil vojaške narave. Znanstvenike in inženirje so vladarji potre-
bovali za izdelavo vojaške mehanizacije. To se je začelo že pred helenistično
dobo. Grki so bili izumitelji najprej velikih samostrelov, nato metalcev kam-
nov. Ta razvoj se je začel okrog leta 400 pr. n. št. v Sirakuzah na Siciliji po
naročilu tamkaǰsnjega vladarja. Med največjimi podporniki konstruktorjev
teh strojev sta bila Filip Makedonski in njegov sin Aleksander Veliki. He-
lenistični inženirji so poskušali za katapulte uporabljati tudi bronaste vzmeti
ali stisnjen zrak, vendar se to ni obneslo.
Mlinska kolesa, ki naj bi jih prvi opisal helenistični matematik Apolonij
iz Perge, so Rimljani ponekod združili v cele tovarne. Prav tako so za vzdigo-
vanje vode in namakanje uporabljali Arhimedov vijak. Iz helenističnega
obdobja po vsej verjetnosti izvirajo tudi egiptovska in perzijska kolesa za
vzdigovanje vode, ki jih je preko zobnǐskega mehanizma poganjala živina.
Marsikaj o helenistični znanosti in tehnologiji vemo danes iz ohranjenih
del rimskih piscev Plinija in Seneke. Plinij je občudoval helenistične dosežke,
čeprav jih ni vselej razumel. To je razumljivo, saj je bila helenistična znanost
že močno specializirana. Bolj problematično je bilo dejstvo, da Rimljani tudi
sicer pogosto sami niso imeli ljudi, ki bi obvladali in razvijali posamezna
znanstvena področja. Deloma je to veljalo celo za tehniko. Rimski filozof
Seneka pravi po citatu v tej knjigi: »Dobro znano je, da so nekatere stvari
iznašli nedavno, npr. okna, ki prepuščajo svetlobo skozi prosojno steklo,
vzdignjene pipe za kopalnice ali cevi, skrite v zidu, ki enakomerno razdelju-
jejo toploto navzdol in navzgor. Vse to so izumi navadnih sužnjev. Modrost
ima svoj prestol vǐse in ne uči rok, ampak duha.«
Skratka, po Seneki so bili izredni tehnološki izumi, kot so steklena okna,
vodovodna napeljava in centralna kurjava, delo sužnjev. Seneka je gledal
zvǐska na tovrstno dejavnost, bolǰse mnenje pa je imel o znanosti. Zgodov-
inarji tudi sicer pravijo, da so Rimljani za intelektualna in inženirska dela
pogosto uporabljali »zunanje izvajalce«, ki so bili pogosto grško govoreči
sužnji. Vsekakor rimski odnos do znanosti potrjuje tezo ekonomistov, da
obilje poceni delovne sile ni stimulativno za inovacije.
Geografija
V helenističnem času so za opis lege vpeljali zemljepisno dolžino in širino.
Okrog leta 300 pr. n. št je geograf Dicearh, Aristotelov učenec, določil kraje
z enako zemljepisno širino, od Gibraltarja do Perzije. Grška beseda za
zemljepisno širino je »klima«, kar originalno pomeni »naklon«. Ker je zem-
ljepisna širina seveda povezana s podnebjem, smo to besedo privzeli kot
sinonim za podnebje. Zemljepisno širino je sorazmerno lahko določiti.
Eratósten, ravnatelj aleksandrijskega Muzeja, je okrog leta 240 pr. Kr.
določil tudi obseg Zemlje. Njegovo delo: »O merjenju Zemlje« je izgubljeno.
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 115
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 116 — #9 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Poznamo le kratek opis rezultatov, ki ga je napisal astronom Kleoméd, in
podoben opis rimskega zgodovinarja Plinija. Pravzaprav v modernih jezikih
najdemo večinoma površne povzetke teh povzetkov, manjkajoče pa je za-
činjeno z raznimi ugibanji. Navadno beremo v učbenikih nekaj takega:
Eratósten je izvedel, da na določen dan v letu Sonce opoldne obsije dno
vodnjakov v Sieni (današnjem Asuanu), ki leži približno južno od Aleksan-
drije. Na ta dan je Eratósten v Aleksandriji izmeril, da opoldne sončni žarki
oklepajo z navpičnico kot, ki je enak eni petdesetini polnega kota. (Ta kot
je razlika v zemljepisni širini obeh krajev.) Obseg Zemlje je torej razdalja
od Asuana do Aleksandrije, pomnožena s 50. Od tod je Eratósten za obseg
Zemlje dobil 252 tisoč stadijev. Točna dolžina stadija je predmet razprav,
tako da se Eratóstenov rezultat razlikuje za en odstotek do dvajset odstotkov
od prave vrednosti. Razdaljo od Asuana do Aleksandrije naj bi Eratósten
ocenil iz števila dni, ki jih ladje na Nilu ali karavane s kamelami potrebujejo
za to pot. Spet drugi mislijo, da so razdaljo med obema mestoma merili
s koraki. To je verjetno bliže resnici, saj je tovrstno merjenje bila takrat
uveljavljena praksa in se je dobro obneslo. Kakorkoli, po mnenju mnogih
naj bi bila omenjena natančnost srečno naključje. Najdemo celo trditev, ki
jo je bogat Američan objavil v recenzirani reviji za zgodovino znanosti, da
si je Eratósten vse to izmislil in je polmer Zemlje ocenil iz dosega svetlobe
svetilnika Farosa. Vsi pa priznavajo Eratóstenu genialno idejo.
Lucio Russo pravi, da je Eratóstenov popularizator Kleoméd dobesedno
napisal:
»Eratóstenova metoda je težka . . . Njegova metoda bo postala jasneǰsa,
če si dovolimo dve predpostavki: Prva je, da Aleksandrija in Siena ležita na
istem meridianu . . . «
V literaturi pa, kot smo rekli, skoraj brez izjeme najdemo takole inter-
pretacijo istega odstavka:
»Eratósten je predpostavil, da Aleksandrija in Siena ležita na istem pold-
nevniku.«
Ta knjiga navaja še naslednje: »Kleoméd pǐse, da so ob poletnem solsti-
ciju (enakonočju) ugotovili, da navpične palice ne mečejo sence v pasu 300
stadijev (se pravi kakih 50 kilometrov) okrog povratnika. (Siena namreč leži
nekoliko severno od povratnika.) Rimski zgodovinar Plinij stareǰsi pravi, da
so vodnjak, katerega dno je sonce osvetlilo ob enakonočju, izkopali prav v ta
namen. Marciján Kapéla, rimski pisec iz 5. stoletja, pove, da je Eratósten
uporabil podatke kraljevih merilcev.«
Že v faraonskih časih so namreč zaradi pobiranja davkov stalno merili
zemljǐsča, ki so jih poplave reke Nil spreminjale in brisale mejnike. Omenili
smo Arhimedov števec obratov kolesa, ki je tudi Rimljanom rabil za postav-
ljanje miljnikov na cestah. Kot smo že rekli, sta si Arhimed in Eratósten
dopisovala.
Iz vsega tega vidimo, da je Eratóstenov podatek o obsegu Zemlje narejen
na podlagi skrbno izvedenih meritev in računov – tako kot je značilno za
znanost.
Kako je mogoče, da namesto dejstev prevladajo površna ugibanja? Malo-
kdo se je pripravljen poglobiti v originalna besedila, v katerih je poleg
116 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 117 — #10 i
i
i
i
i
i
The Forgotten Revolution
znanstvenih biserov lahko tudi veliko zgrešenega, mitologije . . . Iz časov
učenja latinščine vem, da je prevajanje rimskih besedil večkrat frustrira-
joče. Tudi če poznaš pomen vseh besed in obvladaš slovnico, si pogosto
daleč od razumevanja besedila. Antični pisci so pogosto pisali zelo strnjeno.
Jasen in enostaven stil, kot ga najdemo recimo v knjigah Julija Cezarja,
je bolj izjema. Mimogrede, pri šolskih nalogah iz latinščine se je ne samo
enkrat zgodilo, da je profesor v zvezku popravil moj prevod, nato pa pri
skupni popravi na tabli napisal tako kot jaz. Prevodi žal niso enolično
določeni in pogosto obstaja več možnosti. Zato so izdaje starih besedil
večinoma opremljene s komentarji. Pri starogrških besedilih so problemi še
huǰsi, saj imajo mnoge grške besede več pomenov. Prav tako, kot prav-
ijo bolje poučeni, Grki za matematične in druge strokovne izraze v glavnem
niso izumljali novih terminov, ampak so zanje uporabljali besede običajnega
jezika, kar hitro privede do dvoumnosti. Tudi skrbni zgodovinarji znanosti
se pretežno naslanjajo na že narejene prevode v moderne jezike, ki so jih
večinoma delali humanisti.
Eratósten je napravil zemljevid celotnega takrat poznanega sveta – od
Kanarskih otokov do Šri Lanke. Čeprav ni ohranjen, so ga iz nekaterih
opisov rekonstruirali in kar dobro podaja Sredozemlje, medtem ko so bolj
obrobna območja, kot južni del Afrike, Britansko otočje, Azija . . . precej
deformirana.
Mimogrede, v šoli so nas včasih učili, da je srednjeveški krščanski svet
imel Zemljo za ploščo. Ta trditev je mit. Osnova zanj je potvorba, nastala v
začetku devetnajstega stoletja, v romanu amerǐskega pisatelja Washingtona
Irvinga Življenje in potovanje Krǐstofa Kolumba. Po protestantu Irvingu
naj bi bil Kolumbov namen, da reakcionarni katolǐski hierarhiji dokaže, da
je Zemlja okrogla. Pozneje so to zgodbo pograbili, jo do nespoznavnosti
napihnili in razširjali tisti, ki so imeli iz ideoloških razlogov interes pred-
staviti srednji vek kot mračno obdobje. V ZDA je ta izmǐsljotina menda še
danes v nekaterih učbenikih.
Sporen je bil tudi polmer Zemlje. Krǐstof Kolumb je vzel podatke alek-
sandrijskega astronoma Klavdija Ptolemaja, ki je štiri stoletja po Eratóstenu
precej zmanǰsal njegov obseg Zemlje. Kolumb je sam napačno interpretiral
dolžinsko enoto v zelo dobrih meritvah islamskih znanstvenikov in strahovito
podcenil razdaljo do Japonske, kamor je želel priti po zahodni poti. Geografi
na španskem in portugalskem dvoru so Kolumba opozarjali, da bo taka pot
do Japonske mnogo dalǰsa.
Nazadovanje, dekadenca in propad
Po manj kot dve stoletji trajajočem izrednem razcvetu je helenistična znano-
st doživela žalostno usodo. Rimski vojaški stroj je zmlel helenistične države.
Usahnile so državne podpore, nujne za razvoj osnovne znanosti; v Aleksan-
driji je prǐslo celo do preganjanja znanstvene in kulturne elite. Delnim oži-
vitvam raziskovalne dejavnosti so sledile katastrofe: vojne in spopadi, požari
v knjižnicah. Maloštevilne kopije pomembnih del so tako za vselej izginile,
prav tako redki strokovnjaki, ki bi lahko učili mlaǰse. Raven znanja je padla
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 117
i
i
“Legisa” — 2017/9/21 — 9:00 — page 118 — #11 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
in tudi izobraženci so imeli težave z razumevanjem nekaterih težkih teorij,
ki so zahtevale mnogo študija in predznanja. Zato so se spet obrnili nazaj
k Platonu in Aristotelu, čeprav je bil slednji ponekod že presežen. Neka-
tera bolj sofisticirana znanstvena dela iz zlate dobe helenizma so utonila v
pozabo in večinoma tudi fizično izginila, ostali so le bežni zapisi.
Škodo znanosti je naredila tudi takrat popularna skeptična filozofija,
ki je dvomila o tem, ali lahko najdemo resnico. Ta filozofija je znova postala
bolj radikalna ob dekadenci rimskega cesarstva. Filozof Sekst Empirik, ki je
deloval v drugem ali tretjem stoletju, pravi v bistvu tole: »Skeptik se ne bo
strinjal s trditvijo, pa čeprav v njej ne more najti napake.« Citirajmo:
»Če nam nekdo predlaga teorijo, ki je ne moremo zavrniti, mu rečemo:
Tako kot pred rojstvom ustanovitelja šole, ki ji pripadaš, teorija te šole še
ni bila videti kot trdna teorija . . . , je prav tako mogoče, da nova, tvoji
nasprotna teorija, nam še ni očitna, zato tvoji teoriji zdaj ne moremo
pritrditi, čeprav je ta hip videti dobra.«
Skeptiki so kot namen svoje filozofije predstavljali duševni mir posamez-
nika, ki se mu ni treba opredeljevati. Nekateri vidijo v antičnem skepti-
cizmu zametke modernega liberalizma. Citirana stalǐsča pa so cinična in
brezobzirna. Sekst Empirik je napisal knjige: Proti logikom, Proti fizikom,
Proti matematikom, Proti slovničarjem, Proti etikom itd. V spisu Proti
logikom pravi približno tole:
»Tisti, ki trdijo zase, da so sposobni razsojati o resnici, morajo imeti
kriterij za resnico. Ta kriterij je bodisi brez potrditve ali pa ga je nekdo
potrdil. Če je brez potrditve, od kod vemo, da je ta kriterij vreden zau-
panja? . . . In če je kriterij nekdo potrdil, smo spet pri istem vprašanju: ali
ima ta človek razlog za to ali pa ga nima? In tako naprej ad infinitum (v
neskončnost)!«
V filozofskih krogih najdemo še danes mnenje, da sta Platon in Aristotel
vǐsek antične znanosti in da je po teh dveh velikanih prǐslo do stagnacije. V
helenističnem obdobju se je znanost osamosvojila od filozofije, kar verjetno
nekaterim filozofom ni všeč. V srednjeveški Evropi in renesansi so šli še
dlje: Aristotela in Klavdija Ptolemaja so povzdignili v nekakšni nezmotljivi
božanstvi. To je v sedemnajstem in osemnajstem stoletju privedlo do ne-
sorazmernega nasprotnega udara: antične naravoslovne dosežke so bolj ali
manj pometli v staro šaro in z nekaj redkimi izjemami izbrisali spomin nanje.
Russo se upravičeno pritožuje, da je njegov rojak Leonardo da Vinci danes
univerzalno sprejet kot genij, ne omenjajo pa, da njegove skice ilustrirajo
tudi helenistične izume in ideje njegovih sodobnikov.
Ta zapis sloni na besedilih, ki sem jih pred nekaj leti pripravil za Radio Slovenija.
REFERENCES
[1] I. M. Gallo, Roman Surveying (prevod prispevka z evropskega kongresa o rimskih
javnih delih v Tarragoni, 2004), dostopno na: http://www.traianvs.net/pdfs/
surveying.pdf, ogled: 6. 4. 2017.
Peter Legǐsa
118 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Razpet” — 2017/9/21 — 7:46 — page 119 — #1 i
i
i
i
i
i
Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qust.ā ibn
Lūqā
Jacques Sesiano, Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in
the Arabic Translation Attributed to Qust.ā ibn Lūqā, Springer-
Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1982, 514 strani.
O Diofantu, antičnem matematiku iz Aleksan-
drije, ne vemo prav veliko. Niti tega ne, kdaj
točno je živel in katere narodnosti je bil. Posred-
no, iz omemb njegovega imena v delih drugih ma-
tematikov in imen v njegovih lastnih delih, skle-
pajo, da je živel v 3. stoletju našega štetja. Ohra-
nil se je epitaf, nagrobni napis v grških šestercih,
ki je preprosta matematična naloga, katere rešitev
nam da Diofantovo starost ob smrti, to je 84 let.
Diofant je najbolj znan po svojem delu Aritme-
tika, v kateri se sam sklicuje na svoje Porizme, ki
veljajo za izgubljeno delo. Na koncu Aritmetike
je dodana še razprava O večkotnǐskih številih, ki
ni v celoti ohranjena. Pisal je v grščini, kakršno
so v njegovem času uporabljali aleksandrijski učenjaki.
Zgodovina matematike govori o trinajstih knjigah Diofantove Aritme-
tike. Beseda knjiga pomeni zvitek, saj knjiga v današnji obliki v Diofanto-
vem času še ni obstajala. Če se zanesemo na samega Diofanta, je bilo knjig
zares trinajst, saj je tik pred prvo nalogo v prvi knjigi Aritmetike zapisal:
Tako bo postalo namreč začetniku vse lažje dostopno, postopki se mu
bodo vtisnili v spomin in zato bodo njihove obravnave opisane v trinajstih
knjigah.
Nato lahko preberemo deloma še danes aktualno besedilo:
Ker vem, moj zelo spoštovani Dionizij, da si zelo prizadevaš, da bi se
naučil reševati aritmetične naloge, sem Ti torej poskusil znanstveno pred-
staviti postopek. Pri tem začenjam z opazovanjem narave in lastnosti števil,
kajti na njih temelji vsa stvar.
Morda se bo snov zdela nekoliko težka, ker Ti je še popolnoma tuja in
ker imajo začetniki pač malo upanja na uspeh. Toda s Tvojo pridnostjo in
mojo predstavitvijo bo stvar postala lahko razumljiva, kajti hitro se učimo,
če se združita prizadevnost in poučevanje.
Ne ve se zagotovo, kdo je bil Dionizij, ki ga omenja Diofant, morda
kasneǰsi aleksandrijski škof. Ime Dionizij je v grški slovnični obliki pridevnik,
izpeljan iz imena Dioniz. Dioniz, sin Zevsa, je bil grški bog grozdja, vina,
veselja, plodnosti, blaznosti in ekstaze.
Ime Dionizij (Dionysius) je sicer precej pogosto v zgodovini. V Sirakuzah
sta vladala Dionizij I. (432–367 pne.) in Dionizij II. (397–343 pne.), oče in
sin, s katerima je imel opravka Platon (427–347 pne.). Znan je filozof in
matematik Dionizij iz Kirene (2. stoletje pne.). Iz Aleksandrije je prihajal
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 119
i
i
“Razpet” — 2017/9/21 — 7:46 — page 120 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
papež Dionizij, ki je vodil Cerkev od leta 259 do 264. Dionizij Mali (Exiguus)
(470–544) je bil skitski menih, ki je vpeljal štetje let, ki je še danes v veljavi.
Diofantova Aritmetika je za razvoj matematike pomembna, ker obrav-
nava številske probleme in se ne navezuje na geometrijo. Diofant je vpeljal
tudi simbol za neznanko, ki jo je imenoval ἀριθμός, in nekatere njene potence
s pozitivnimi in negativnimi eksponenti in jim dal imena, na primer δύναμις
za kvadrat, κύβος za kub, δυναμοδύναμις za bikvadrat. Uvedel je simbol za
odštevanje, pisavo ulomkov in enačb. V resnici je njegova Aritmetika za
današnje pojme sama algebra in teorija števil.
Diofant je probleme, ki vodijo do algebrskih enačb s celimi koeficienti,
reševal samo v naravnih ali kvečjemu v pozitivnih racionalnih številih. Ne-
gativni rezultati so mu bili nesmiselni. Njegovi postopki so pomanjkljivi,
ker dajo le eno rešitev, ne pa vseh. Po Diofantu, ki ga imajo nekateri
za očeta algebre, danes poimenujemo algebrske enačbe s celimi koeficienti,
diofantske enačbe. Zanje ǐsčemo samo celoštevilske rešitve. Navsezadnje pa
je Diofantova Aritmetika pomembna tudi zaradi Fermata, ki jo je prebiral
v latinskem prevodu in pisal na rob knjige komentarje in dokaze, zaradi
premajhnega roba pa ni mogel zapisati dokaza zadnjega Fermatovega izreka,
kar je dalo matematikom dovolj dela za naslednjih 350 let.
Avtor opisane knjige je Jacques Sesiano, predavatelj na École polyte-
chnique fédérale de Lausanne v Švici. Sesiano je leta 1975 doktoriral z
disertacijo The Arabic Text of Books IV to VII of Diophantus’ Ἀριθμη-
τικά in the translation of Qust.ā ibn Lūqā na Brown University, Providence,
Rhode Island v ZDA. Arabske besede bomo v tem besedilu prečrkovali tako
kot Sesiano, nekatere pa bomo zapisali še z arabskimi črkami. Na platnicah
knjige sicer pǐse Qustā namesto pravilno Qust.ā. V arabščini je razlika v
izgovarjavi črk H in   (tā’ in t.ā’).
Sesiano je avtor več knjig, ki obravnavajo zgodovino matematike in
rekreacijsko matematiko. Leta 1982 je na podlagi svoje doktorske diser-
tacije napisal in objavil obravnavano knjigo. V njej so zbrane naloge iz vseh
desetih doslej znanih Diofantovih knjig: šestih, ki so se ohranile v grščini
in bile nato prevedene v latinščino, in štirih, ki so bile napisane v grščini
in nato prevedene v arabščino, vendar grškega originalnega besedila ne po-
znamo. Sledita še seznam literature in indeks.
Sesiano ugotavlja, da so prve tri Diofantove knjige pri Heathu in Tanne-
ryju oštevilčene originalno, zadnje tri pa naj bi bile osma, deveta in deseta
Diofantova knjiga. Te poznamo v grščini. Vmesne štiri, kopije iz leta 1198
v arabskem prevodu, je našel turški orientalist Fuat Sezgin (rojen 1924) leta
1968 v knjižnici Astan Quds Razavi v Mashhadu na severovzhodu Irana. Te
so opisane v obravnavani Sesianovi knjigi in so pravilno oštevilčene. Knjig
toliko časa niso našli, ker so bile v katalogu zapisane pod Qust.ā ibn Lūqā, ne
pa pod Diofanta. Potemtakem je znanih deset Diofantovih knjig Aritmetike.
Sesiano jih označuje z I, II, III, IV, V, VI, VII,
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, pr ostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je tor j praviloma razprš .
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijsk m trike in opravimo nverzno tr nsformacijo k DCT. D bimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
IV
i
i
“Legisa-vest ” — 2017/6/30 — 9: 1 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na origi lni sliki (več noma nezanimivi del), se
zadovoljili s prib žki nekaterih drugi podatkov in originala ne moremo več
natančno reko struirati. Na pični sliki ima vantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko sti ne za fakt r približno 7. Matriki, v kateri je večina el mentov
ničelnih, preostali pa nimajo pos bne strukture, rečemo azpršen atrika.
Kvantizirana m trika je or j raviloma razpršen .
V fotoapara u z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev n fino (an-
gleško fin ) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za f tor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
element recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajn nimaj zelo d bre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istoležn mi lementi kvan-
tizacijske matrike in opravim in erzno transf rm cij k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike naˇega kv dr ta. N slikah z me kimi prehodi med
svetlimi in te nimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahtev n, iter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromn p drobnostmi, ko so trava, krzno. Bolǰse kamere t ko
sliko prepoznajo in bistve o manj stisnejo, se pravi u orabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko ko sicer. (Slika z ogromn šu a je tudi t žava, vend r
pa tu nismo za nteresirani za podrobno reprodukcij .) Pr poceni kam rah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljive a
stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcij grafičnih podrobnosti. Z manǰse risbe in grafike p ofesionalci
raje uporabljaj format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentira i
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dob r za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digi lizacij
Nekateri štud nti na izpitih rǐsejo graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnes . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ e aka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
,
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9: 1 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zan mivosti
vrgli smo del informacije na originalni slik (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih p datk v in originala n mor mo več
natančno rekons ruirati. Na tipični sl k im kvantizirana matrika mnogo
ničel, pred sem v d nem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri j v čina elementov
nič lnih, preostal p imajo pos bn st ukt re, rečemo razpršena matrika.
Kvantiziran mat ika je torej raviloma razprš na.
V fotoaparatu z v likim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z b stv o manǰsi elem nti, velikosti
recim d 1 d 6. T p eni nižjo kompresijo, nekako za fakto 2. Pri malih
tipal h z diagonalo pod 8 mm bo kvantiz cijsk matrika v načinu fine imela
el m nte recimo od 1 do 15, saj ustrezne opt ke običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju po n žimo matriko nazaj z istoležni i elementi kvan-
izac jske matrike in opravimo inve z o t a sformacijo k CT. Dobimo pri-
bliže prvotne slike našega kvadrata. N slikah z eh imi preh i med
svetlimi i temnimi deli slik to deluje sijajno. Algoritem z JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robuste . Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot s trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoz ajo in bistveno ma j stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan-
izacijsko matriko kot sice . (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa u nismo zainteresirani za p robn rep odukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacij nekakovostn ga zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrob osti. Za manǰs risbe in grafik profes onalci
raje p r bljajo format PNG.
Za zvok je n stal na podlagi JPEG priljublj ni, za zd j še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zv ka je tudi p ostok dni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in d gitalizacija
Nekateri s udenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru-
irat iz jihovih vred osti na diskretni množic toč . V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, k ga ni tež o dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvez a in na bo njena F urie ova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Pot m je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del inf rmac je na or gina i sl ki (večinoma ezan mivi del), se
zadovoljili s pribl ž nekate h drugih podatkov n origi ala ne oremo več
atančno rekonstrui ati. Na tipičn sl ki im kvantiziran m trik nogo
ničel, pr dvsem v e n m spodnjem delu. Zg raj omenj a trik Q ob -
čajno sliko stisne za faktor p ibližno 7. Matri i, v kater je v čina lem tov
č lnih, preost li pa nimajo p sebn strukt re, čemo razpršen m trik .
Kv ntiziran m trika j to ej praviloma zp ˇena.
V foto paratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev a fino (an-
gleško fine) da kv ntiz cijsko m triko z bistveno manǰsimi lem nt , v l kosti
recimo od 1 do 6. To p meni nižjo k mpresij , nekako za fakt r 2. Pri malih
tipalih z di gonalo p d 8 mm bo kv ntizacijska m tri a v nač u fi imela
lem nt recimo od 1 do 15, aj ustrezn optike običajno im zelo d bre
ločlj vosti.
Pri ek di anju p m žim matrik nazaj z istoležnimi m nti kvan-
tizacijske m ike in opravimo inverzn tr nsformacijo k DCT. D bimo pri-
bližek prvot e slike šeg kv dr ta. Na slikah z mehkimi prehod med
svetlimi in temnim deli s ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hi r i robusten. Manǰsi probl m se pojavi pri
slikah z ogr mno podr bnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko pre oznajo in bistveno manj stisnejo, e pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matri t s cer. (Slika z ogr mno šuma je t di težava, vendar
pa tu nismo zainteresir i za podr bno rep odukcijo.) Pri p ceni kamerah
pa l hko mbinacija nek kovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanj ravnik sprem ni v zele o plundr . JPEG tudi ni ajbolǰsi z re-
produkcijo grafiˇnih podr bnosti. Za ma ǰ e risbe in grafike pr fesionalci
raje upor bljajo form t PNG.
Za zvok je ast l na pod agi JPEG priljubljeni, z daj še pate irani
format MP3. Omogoča stiskanje v r zličn h kakovostih. Zelo dober za
kompresij zvoka e tudi pros kodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje n digital zacija
Nekateri študent a zp h rǐsejo grafe funkcij »po t čkah«. Večinoma se to
ne obnese. Ve dar pa je mogoče v lik raz ed funkcij popoln ma rekonstru-
irati z nji ov h vrednosti na diskret i množi i točk. V knjigi [3] ajdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko d ka ati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zve na in naj bo je a Fourie ova t ansformi-
ranka f̂ enak 0 zu aj intervala [−L, ] kjer je L > 0. Pot m je f določ na
70 Obzornik mat. fiz 64 (2017) 2
,
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9: 1 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgl smo del informac je na origina ni sliki (v čino a ezan mivi del), se
adovoljil s približ i nekate ih drugih podatkov n origi ala ne oremo več
at nčno rekons ruirati. Na tipični sl k im kvantizirana m trika mnogo
ničel, pr dvs v d sn spodnjem d lu. Zg aj omenjena m trika Q obi-
čajno sliko stisne za fakt približno 7. Mat i i, kateri j v čina lementov
čelnih, pre st li pa imajo pos bne stru ture, rečemo razpršena m trika.
Kvantizi ana m t ika j t ej ravilom azprš na.
V foto paratu z v liki senzorjem (APS-C ipd.) n stavitev a fino (an-
gleško fi e) d kv ntizacijsko matrik z b stv o manǰsimi lement , vel kosti
recim od 1 do 6. T p eni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
ti alih z di g nalo pod 8 mm bo kv ntizacijsk m trika v nači u fin imela
le ente recimo od 1 d 15, aj ustr zne optike običajno nimaj zelo dobre
ločlj vosti.
Pri ek diranju p n žimo m trik nazaj z is olež imi lementi kvan-
tizac jske matrike i opravimo inve zno transformacijo k DCT. D bimo pri-
bliže prvotne slike n šeg kv drata. Na slikah z hkimi prehodi med
sv tlimi n temnim deli slike to deluje sij jno. Algoritem z JPEG stiska-
je j računsko nezahtev , hiter in robusten. Manǰsi pr bl m se pojavi pri
slikah z gr m podrobno tmi, kot s trava, krzno. Bolǰse amere tako
sliko prepozn jo in bistveno m nj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
izac jsko matriko k t sice . (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar
pa u smo za nteresi ni za p robn rep odukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombi acija nekakov s n ga zoom objektiv in nepril godljivega
stiskanja travnik s remeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrob osti. Za manǰ e risb in grafike pr fesionalci
ra e up abljajo format PNG.
Z zvok je n st l na pod agi JPEG priljublj ni, z z j še pate tirani
format MP3. Omogoča stis anje v različnih kakov stih. Zelo dober za
kompresij zv ka je tudi p ostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje n d gital zacija
Neka eri študenti na zpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. V ndar pa je mogoče velik razred fun cij p pol oma rekonstru-
irat z ji vih vre nosti a dis ret i množi točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in j bo nje a Fourierova transformi-
ranka f̂ en ka 0 zu j intervala [− , ], kjer je L > 0. Pot m je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
I
i
i
“Legisa-vest ” — 2017/6/30 — 9: 1 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zan mivosti
vrgl smo del informac je na origi l i sl k (v č no a nezanimivi del), se
zadovoljil s prib žk nekaterih drugi p datk v in originala n mor mo več
natančno reko s ui ati. Na p čn sl ki ima vantizir na matrika mnogo
ničel, pred s v de n spodnjem delu. Zgoraj om j a matrika Q obi-
čajno sliko sti ne z fakt p ibližno 7. Mat iki, kateri j v čina el m ntov
ničelnih, preost l p imajo p sebne st ukt re, čemo azpršen matrika.
Kv ntizir na matrika je rej pravilom r zpršen .
V foto para u z veliki s nzorjem (APS-C ipd.) n st vitev n fino (an-
gleško fi ) da kvantizacijsko matrik z bistve o manǰsi i l m nti, velikosti
recimo d 1 d 6. T p me i nižj k mpresijo, nekako z f to 2. Pri malih
tipal h z diagonalo p d 8 mm bo kv ntiz cijska matrika v načinu fine imela
l nt recimo od 1 do 15, saj ustr zn opt ke običaj imaj zel d bre
očljivosti.
Pri dek di nju po n žim m triko nazaj z istoležn i l m nti kvan-
tizacijske matr ke in opravimo in e z o t ansf rm cij k CT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike naˇega kvadr ta. N slikah z e kimi preho i med
sv tlimi te nimi deli s k to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
je je računsko nezahtev n, iter in robuste . Manǰsi pr blem se pojavi pri
slikah z ogr m podr bno tmi, ko so trava, krzno. Bolǰse amere t ko
sliko re oz ajo in bistve o ma j stisnejo, se pravi u rabijo drugo kvan-
tizac jsko matri sicer. (Slika z ogr mn šu a je tudi t žava, vend r
pa tu nismo za nteresirani za podrobn rep odukcij .) Pr poceni kam rah
p l hko mbinacija nekakov stnega zoom objektiv in nepril godljive a
stisk nj trav ik spr m ni v zeleno plundro. JPEG tud i ajbolǰsi za re-
produkcij grafič ih podr bnosti. Za manǰs risb in grafik p ofes onalci
ra e up abljaj format PNG.
Za zvok je n st l na podlagi JPEG priljubljeni, a daj še paten irani
format MP3. Omogoča stiskanje v razl čn h kakov stih. Zelo dob r za
kompresijo zvoka je tudi pr st k dni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje n d git lizacij
Neka eri š ud nti a zp tih rǐsejo graf funkcij »p t čkah«. Večinoma se to
obnes . V ndar pa je mogoč v lik az ed funkcij p l ma rekonstru-
irat iz njih vih vre osti a diskretni množici toč . V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izre , k ga ni tež o d kazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) ve a in bo je a F u ie ova transformi-
ranka f̂ e aka 0 zun j intervala [− , ] kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat fiz 64 (2017) 2
120 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Razpet” — 2017/9/21 — 7:46 — page 121 — #3 i
i
i
i
i
i
Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qust.ā ibn
Lūqā
Prve in zadnje tri knjige so se ohranile v grščini in prevodih v latinščino,
vmesne štiri pa v arabskem prevodu. Do različnih oštevilčenj knjig je prǐslo
v Bizantinskem cesarstvu v srednjem veku. Ni pa znano, kaj se je zgodilo z
zadnjimi tremi knjigami od trinajstih, ki jih omenja Diofant. Vse kaže, da
so prepisovalci kakšno nalogo tudi premestili, morda celo dodali ali izpustili,
morda rešili drugače kot Diofant
Okoli leta 400 so nastali tudi grški komentarji prvih sedmih knjig Dio-
fantove Aritmetike. Verjetno je njihova avtorica Hipatija iz Aleksandrije.
Zaznati jih je v omenjenih arabskih prevodih. Morda so obstajali ali še
obstajajo tudi arabski prevodi prvih treh Diofantovih knjig.
Qust.ā ibn Lūqā (820–912) (Costa ben Luca, Constabulus) je bil sirijski
kristjan, filozof, matematik, astronom, zdravnik, dober poznavalec antične
znanosti in prevajalec. Rojen je bil v starodavnem Baalbeku v današnjem
Libanonu. Zato ga navajajo tudi kot Qust.ā ibn Lūqā al-Ba’alabakk̄ı, v
arabščini ú


¾J. ʪJ. Ë @ A

¯ñË 	áK. A¢‚

¯ . Potoval je po Bizantinskem cesarstvu in
si nabral precej grških besedil, ki jih je prevedel v arabščino, očitno tudi
nekatere Diofantove knjige. V arabščini je Diofant Diyufantus, €ñJ 	KA
	
¯ñK
X .
Zanimivo je še, da arabski prevod uporablja tudi potence x8 in x9, ne pa
x7. Posebnih simbolov za to ne uporablja. Pomaga si z običajnimi arabskimi
besedami in črkami. V prvih treh in zadnjih treh grških knjigah Diofantove
Aritmetike potenc x7, x8, x9 ni. V preostalih štirih, ki jih obravnava Sesi-
ano, so v grških originalih verjetno bile tudi te potence in njihove obratne
vrednosti.
Sesianova knjiga predstavi vse naloge, postopke njihovega reševanja iz
knjig IV, V, VI, VII (po Sesianovem številčenju), njihovo celotno besedilo
v arabščini, pa tudi strnjen seznam vseh nalog iz vseh desetih Diofantovih
knjig, ki so nam sedaj znane.
V arabski prevod so se vtihotapile tudi nekatere napake. Sesiano jih je
nekaj našel, ko je preverjal rešitve. Ugotavljal je tudi logičnost vključitve
nalog v posamezne knjige glede na težavnost. Analiziral je tudi kakovost
prevoda, jezik in slog. Sesiano navaja celo vrsto arabskih in drugih, pred-
vsem bizantinskih matematikov, ki so se tako ali drugače v srednjem veku
ukvarjali z Diofantovo Aritmetiko.
Za konec si za ilustracijo oglejmo kar prvo nalogo iz knjige IV. Poiskati
je treba števili, katerih vsota kubov je kvadrat.
Iščemo naravni števili, denimo a in b, za kateri je a3 + b3 kvadrat nekega
naravnega števila c. Diofant postavi a = x za neznanko, b = mx in c = nx
za neki naravni števili m in n. Iz x3 + m3x3 = n2x2 dobi po kraǰsanju
z x2 enačbo (1 + m3)x = n2 in nazadnje rešitev: x = n2/(1 + m3). Za
m = 2 in n = 6 dobi x = 4. Iskani števili sta a = 4, b = 8. Res je
43 + 83 = 64 + 512 = 576 = 242.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2017/9/21 — 7:44 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAJ 2017
Letnik 64, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Tipi v programskih jezikih in izreki o varnosti programov
(Filip Koprivec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–90
Detekcija gravitacijskih valov (Aleš Mohorič in Andrej Čadež) . . . . . . . . . 91–103
Vesti
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104–107
Nove knjige
Lucio Russo, The Forgotten Revolution (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . 108–118
Jacques Sesiano, Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the
Arabic Translation Attributed to Qust.ā ibn Lūqā (Marko Razpet) . . . 119–XI
CONTENTS
Articles Pages
Types in Programming Languages and Corresponding Safety
Theorems (Filip Koprivec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–90
Detection of gravitational waves (Aleš Mohorič and Andrej Čadež) . . . . 91–103
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104–107
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108–XI
Na naslovnici: Grafi kažejo razdaljo, izsev in gravitacijski val dveh gravitacijsko
vezanih teles med njunim približevanjem. Izrazi so opisani v prispevku o detekciji
gravitacijskih valov (glej članek na straneh 97–103).