P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 6 Strani 342-344
Janko Bračič: ZAKON MALIH ŠTEVIL
Ključne besede: matematika, statistika, porazdelitve. Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1575-Bracic.pdf
© 2004 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ZAKON MALIH ŠTEVIL
Narišimo krožnico in na njej izberimo dve različni točki. Na koliko delov razdeli tetiva, ki povezuje ti dve točki, krog? Izberimo zdaj na krožnici tri različne točke, narišimo vse tri tetive in se ponovno vprašajmo, na koliko delov so te tetive razdelile krog. Nadaljujmo s štirimi točkami na krožnici. Na koliko delov šest tetiv, ki povezujejo štiri različne točke na krožnici, razdeli krog? Poglejmo še primer petih različnih točk na krožnici. Pet točk 11 a krožnici izberimo tako, da se nobene tri tetive, ki jih povezujejo, ne sekajo v isti točki - pravimo, da morajo biti izbrane točke v splošni legi. Tetiv, ki povezuje pet točk v splošni legi na krožnici, je 10. Na koliko delov razdelijo te tetive krog?
Slika 1. Na koliko delov so razdeljeni krogi?
Odgovore na zastavljena vprašanja najdemo na sliki 1. Prvi krog je razdeljen na 2 dela, drugi krog na 4 = 22 dele, tretji krog na 8 = = 23 delov in četrti krog na 16 = 24 delov. Pomislite na pravilo: Ce je na krožnici n točk v splošni legi, potem vse tetive, ki imajo kraj is č a v izbranih točkah, razdelijo krog na 2n_1 delov. Ali ta trditev res velja? Naj vam še povem, da v primeru desetih t.očk na krožnici, ki so v splošni legi, pripadajoče tetive razdelijo krog na 256 = 2S delov. Ce se še vedno ne morete odločiti glede veljavnosti trditve, narišite krožnico, izberite na njej šest točk v splošni legi, narišite vse tetive in preštejte, na koliko delov so tetive razdelile krog.
Naravno število p je praštevilo, če ima natanko dva delitelja: 1 in p. Prvih pet praštevil je 2,3,5,7,11. Ni se težko prepričati, daje tudi število 31 praštevilo. Nekoliko več truda je potrebno za ugotovitev, da so vsa števila v nizu
331, 3331, 33 331, 333331, 3333 331
praštevila. Ali na splošno velja, da so števila, ki imajo desetiški zapis 33... 31, praštevila? Bi vam bilo lažje odgovoriti, če vam povem, daje naslednje število v omenjenem zaporedju, to je 33 333 331, praštevilo? Da boste izvedeli pravilni odgovor na zastavljeno vprašanje, poiščite ostanek pri deljenju števila 333 333 331 s 17.
Matematiki pri svojem delu pogosto naletijo lia podobne primere: prvih nekaj členov kakšnega zaporedja se pokorava pravilu, ki za kasnejše člene zaporedja ne velja. Krivec, da takšni primeri obstajajo, je zakon malih števil. Matematik Richard K. Guy ga je formuliral takole:
Malih števil je prema/o, da bi lahko zadostila vsem potrebam.
Če že govorimo o malih številih, je umestno vprašanje, katera števila so liia/a. Lahko bi rekli, da vsa tista, ki jih je mogoče zapisati z vsemi števkaini (recimo v desetiškem sestavu) in jih torej lahko vidimo. Zgledi malih števil so: 1 000 000, 1 234 567 890 pa tudi 9 999 999 999 999 999 999. Za število ((((lO100)!)100)!)100 bi lahko rekli, da ni malo, saj ga praktično ne moremo zapisati z vsemi štev kann in ga torej t udi videti ne moremo.
Iz; zakona malih števil sledi zakon okroglih števil. V vsakdanjem življenju rečemo, da je število okroglo, če je deljivo z 10, 100, 1000 itd. (spomnite se okroglih obletnic). V matematiki okrogla števila definiramo malce drugače. Za natančno definicijo potrebujemo pojem desetiškega logaritma. Nekoliko poenostavljeno bi lahke; rekli, da je desetiški logaritem naravnega števila n približno za 1 manj, kot. je število števk v desetiškem zapisu števila n. Ustaljena oznaka za desetiški logaritem naravnega števila n je logn. V spodnji tabeli so dane vrednosti desetiškega logaritma za nekatera naravna števila.
n	log 71-
1	0,000...
2	0.301...
5	0,698...
10	1,000...
15	1,176...
100	2,000...
150	2,176...
1000	3,000...
Označimo z d(n) število deliteljev naravnega števila n. Očitno je d(l) = 1 in d (p) = 2, če je p praštevilo. Za majhna števila n vrednosti d(n) ni težko določiti: rf(10) = 4, ¿(100) = 9, d(1000) = 16 itd. V splošnem pa si pomagamo z naslednjim dejstvom. Naj bo
n = ...pekk ,
Tazcep števila n na produkt potenc različnih pr as te vil. potem je
d{n) = (ei + l)...(efe + l)
Okroglost naravnega števila n določimo tako, da pogledamo, kakšno je razmerje med številom deliteljev števila n in velikostjo desetiškega logaritma števila n. Bolj natančno, naravno število n je tem bolj okroglo, Čim večja je njegova mera okroglosti
d(n) logn
V naslednji tabeli je nekaj zgledov.
n	d(n)	o(n)
10	4	1
100	9	4,5
1 000	16	5,333...
5 316	12	5,220...
4 525	6	1,641...
2 112	28	8,421...
Število 2112 je zelo okroglo, celo bolj kot število 100000, saj je o{100 000) = 7,2. Še bolj okroglo je število 43200 z mero okroglosti
o(43 200) = 18,121____
Jasno, ker je malih števil premalo, tudi okroglih števil ni dovolj -velja zakon okroglih števil:
Okroglih števil je premalo, da bi iaMo zadostila vsem potrebam.
V vsakdanjem življenju nas zakona malih in okroglih števil lahko zavedeta, da vidimo skrite zakonitosti in povezave tam, kjer jih mogoče ni. Kot zgled navedimo Joseplia Campbella (1904-1987), priznanega angleškega profesorja literature, specialista za mite. V eni od svojih raziskav je ugotovil naslednje;
1.	V indijski mitologiji traja obdobje enega eona 4 320 000 let.
2.	Po prepričanju ljudstev v Mezopotamiji okrog leta 290 pred našim štetjem je od kronanja prvega zemeljskega kralja do vesoljnega potopa minilo 432 000 let.
3.	V islandski Eddi je zapisano, da je v dvorani bojevnikov boga Othina 540 vrat in skozi vsaka od njih na dan bitke pride 800 vojščakov (pripomnimo, da je 540 x 800 = 432 000).
Campbell je sklepal, da takšno sovpadanje ne more biti naklučje, No, mi smo lahko vsaj malce skeptični in se vprašamo, ali so stara ljudstva imela skrivno skupno znanje, katerega del je bilo število 432 000, ali pa je bil na delil zakon okroglih števil.
Janko Dračič