9 7,035, 065,00 9770351665166 9770351665166 MATEMATIČNI TRENUTKI KOLOFON 2 U gotavljanje skupnih lastnosti mest -> Ceprav se različna mesta po vsem svetu zelo razlikujejo, so znanstveniki našli skupne matematične lastnosti mest, ki veljajo neodvisno od geografskega položaja, števila prebivalcev in celo časovnega pasu. To, še sveže odkritje temelji na podatkih, ki so jih najprej zbrali v več tisoč mestih, nato pa njihove socialne in fizične lastnosti s pomočjo običajne in fraktalne geometrije analizirali. Izkazalo se je, da je vsaka od lastnosti primerna potenčna funk-čija števila prebivalčev. Tako je, rečimo, v primeru števila patentov ustrezna potenča večja kot ena (večje število stikov vodi k večjemu številu inovačij), v primeru na novo zgrajenih čest pa je ta potenča manjša kot ena (potreba po novih čestah se ne veča sorazmerno z rastjo populačije). Zakoni, ki povezujejo veliko število mestnih parametrov, temeljijo na človeških stikih. Natančneje, odvisni so od lastnosti sočialnih omrežij, ki narekujejo razvoj infrastrukture. Povečevanje mreže sičer povečuje ustvarjalnost, a ima hkrati tudi veliko neželenih učinkov, npr. hkratno zvečanje prometa in kriminala. Ker postaja naš planet čedalje bolj urban, znanstveniki upajo, da bo boljše razumevanje mest in matematičnih zakonitosti, ki veljajo v njih, pomagalo povečati pozitivne in zmanjšati negativne učinke rasti prebivalčev. Z matematiko žal ne moremo ustvariti utopije, pomaga pa nam pri razumevanju okolja, v katerem nas večina živi. Matematika pomaga tudi urbanistom pri analizi in načrtovanju prihodnje rasti mest. Več informačij boste našli v članku Luisa M. A. Bet-tenčourta The origins of scaling in cities, ki je bil objavljen v reviji Science, 21. junija 2013. _ XXX PRESEK 41 (2013/2014) 6 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 41, šolsko leto 2013/2014, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2013/2014 je za posamezne naročnike 18,00 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 15,75 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2014 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1936 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Slika na naslovnici: Vzvalovana vodna gladina lomi svetlobo kot naključna množica različnih leč in tako ustvari zanimiv vzorec na stenah bazena. Nekje se svetloba zbere in dobimo svetlejše proge, drugje pa temnejše. V letošnjem poletju vam želimo čim več takih vzorcev. Foto: Andrej Guštin M ATEMATI KA Postov problem in Turingov stroj1 nU vU NU Rok Grecoric, Vesna Iršic, Anja Petkovic, David Gajser (mentor) -> So problemi v matematiki, tako kot v življenju, ki jih preprosto (še) ne znamo rešiti. So pa problemi, ki jih z nobenim končnim postopkom (t. j. algoritmom) niti ne moremo rešiti. Kaj pomeni, da z algoritmom rešimo problem in kakšen bi bil primer problema, kjer to ni mogoče? Postov problem Na voljo imamo domine ki jih želimo zložiti v vrsto eno za drugo tako, da bomo zgoraj in spodaj dobili enak niz znakov. Pri tem lahko vsako domino uporabimo poljubno mnogokrat, vendar smemo uporabiti le končno mnogo domin. Ta problem ni preveč težak in ga rešimo, recimo, tako, da dane domine zložimo v vrsto2 00 1 010 1 010 01 00 1 010 1 01 01 01 0 0 1 0 1 0101 0 0 1 0 0101 0101 0101 Enak problem pri danih dominah 100 100 1 Clanek je nastal na poletnem taboru MaRS 2013 (Matematično Raziskovalno Srečanje za srednješolce). 2Obstaja tudi krajša rešitev, ki vsebuje le štiri domine. Jo najdeš? je mnogo težje rešiti, saj njegovo (najkrajšo) rešitev sestavlja 75 domin, pri čemer obstajata dve različni rešitvi te dolžine. Problem lahko zastavimo za poljubno število domin: Postov problem. Danih imamo končno mnogo domin, na zgornjem in spodnjem delu vsake domine pa je zapisan niz znakov. Ali lahko te domine zložimo v končno vrsto eno za drugo tako, da bomo zgoraj in spodaj dobili enak niz znakov? Pri tem lahko vsako domino uporabimo poljubno mnogokrat. Ta problem je prvi zastavil ameriški matematik Emil Post leta 1946 in je zanimiv med drugim tudi zato, ker se izkaže, da ga ni mogoče rešiti z računalnikom. Ni ga mogoče rešiti z računalnikom? www.dmfa.si SLIKA 1. Avtorji (iz leve): David, Anja, Vesna, Rok. Zavrnitveno stanje SLIKA 2. Grafični prikaz Turingovega stroja M. Iz vsakega stanja, ki ni sprejemno ali zavrnitveno, gredo natanko štiri puščice - za vsak znak iz r ena. Znaki — na puščicah nam nakazujejo, da se glava stroja zmeraj premika v desno. Ko stroj v stanju A prebere znak a, glava na trak napiše a, se premakne v desno, stroj pa preide v stanje, v katerega kaže puščica iz A z znakom a. Če bi imeli tak stroj, da glava znakov na traku ne bi ohranjala, bi morali na vsako puščico dodati še nov znak. Odločljivi in neodločljivi problemi Church-Turingova teza Problemom, na katere lahko odgovorimo samo z da ali ne, pravimo odločitveni problemi. Ker nas zanima predvsem Postov problem, ki je odločitveni, se bomo od tu naprej ukvarjali le s takšnimi problemi. Pravimo, daje odločitveni problem odločljiv, če ga lahko rešimo z algoritmom, t. j. če obstaja algoritem, ki nam pove, kdaj je pravilen odgovor da in kdaj ne. Poglejmo si preprost primer odločitvenega problema. Ime: Palindrom Vhod: Niz ničel in enic Vprašanje: Ali se niz iz leve proti desni prebere enako kot iz desne proti levi? Primeri vhodov, za katere je odgovor da, so npr. nizi 110011,100001,101010101 ... Problem Palindrom znamo rešiti z algoritmom; verjetno je vsak nadobuden braleč že ugotovil, kako. Začnemo lahko npr. s primerjavo skrajnega levega in skrajnega desnega znaka besede. Ce nista enaka, je odgovor ne. Ce pa sta, ju lahko izbrišemo in nadaljujemo na krajši besedi, vse dokler nam ne ostane le še en znak ali pa znakov zmanjka. V obeh primerih je odgovor da. Torej je Palindrom odločljiv problem. Zanimivo pa je, da obstajajo tudi problemi, ki niso odločljivi. Takšnim pravimo neodločljivi problemi. Ključno vlogo v definičiji odločljivosti problema ima algoritem. Problem je namreč odločljiv natanko tedaj, ko obstaja algoritem, ki ga reši. Neformalno algoritem razumemo kot končno zaporedje preprostih ukazov, ki jih moramo izvesti, da pridemo do rezultata, npr. računalniki probleme rešujejo z algoritmi. Ali lahko pomen besede algoritem tudi bolj formalno opredelimo? Matematiki so se na več načinov trudili odgovoriti na to vprašanje, na konču pa se je izkazalo, da je bilo veliko teh načinov povsem enako dobrih. Ena izmed opredelitev pojma algoritem je s pomočjo Tu-ringovega stroja,3 tj. naprave, ki jo bomo podrobneje opisali v naslednjem razdelku. Churčh-Turingova teza. Problem lahko rešimo z algoritmom natanko tedaj, ko obstaja Turingov stroj, ki reši ta problem. Churčh-Turingova teza je v rabi od leta 1936 in je v teoretičnem računalništvu splošno sprejeta. Pove nam, da je Turingov stroj enako dober kot katerikoli drug model za algoritem. Ce torej najdemo algoritem za reševanje nekega problema, lahko isti problem rešimo tudi s Turingovim strojem. Zaradi teze 3Preostali dobro poznani opredelitvi algoritma sta s pomočjo lambda računa in s pomočjo rekurzivnih funkčij. se torej ni potrebno spuščati v podrobnosti, ki jih zahteva delo s Turingovim strojem, ampak lahko delamo na višjem nivoju abstrakcije. Turingov stroj Leta 1936 je angleški matematik Alan Turing zasnoval Turingov stroj, ki je preprost teoretični model računalnika.4 Sestavljajo ga v eno smer neskončen trak, glava in »program«, ki pove pravila, kako naj se glava premika po traku levo in desno ter ga spreminja. Po vsakem premiku glava prebere znak, zapisan pod njo na traku in ga prepiše z drugim znakom, lahko tudi enakim. Pri tem stroj prehaja preko različnih stanj, dokler ne pride do sprejemnega ali zavr-nitvenega stanja - takrat se ustavi. Lahko pa se zgodi tudi, da stroj nikoli ne pride v eno od teh dveh stanj in se nikdar ne ustavi. Turingov stroj je natančno določen s: ■ končno množičo stanj Q, v kateri so tudi paroma različna stanja q0, qs in qz, ki jim pravimo začetno, sprejemno in zavrnitveno stanje, ■ končno množičo r, ki vsebuje znake, ki jih Turingov stroj lahko uporabi. Ta množiča vsebuje tudi znake, s katerimi stroju podamo vhod, ter poseben znak, ki nikoli ni del vhoda: prazen znak, ■ prehodno funkčijo (bistvo »programa«) 5 : Qxr — Q x r x {L, D}, kjer L pomeni premik v levo, D pa v desno. Razložimo pomen prehodne funkčije 5, ki je ključen del Turingovega stroja. Denimo, da je stroj v stanju q in je pod glavo na traku zapisan znak a. Ce je 5(q,a) = (r,b,L), bo stroj izbrisal znak a in na njegovo mesto zapisal b, pri tem bo prešel v stanje r ter se premaknil v levo. Ce bi bila zadnja komponenta D, bi se stroj premaknil v desno. Vhodne podatke, oz. vhod Turingovemu stroju podamo kot niz znakov, ki se nahaja na začetku traku, preostanek traku pa je prazen, t. j. zapolnjen s praznimi znaki. Glava se na začetku nahaja na najbolj levem delu traku, torej na prvem znaku vhoda. Stroj začne 4Izkaže se, da lahko Turingov stroj zaradi neskončnega traku (v teoriji) reši prečej več problemov kot katerikoli računalnik na svetu (ki je seveda končen). Ce pa bi računalnik imel na voljo neskončno trdega diska, bi Turingov stroj rešil natanko tiste probleme kot računalnik. v začetnem stanju in deluje tako, kot mu predpisuje prehodna funkčija 5. Takoj, ko preide v sprejemno ali zavrnitveno stanje, se ustavi. Za boljšo predstavo bomo opisali zelo preprost Turingov stroj M, ki preveri, ali je vhod sestavljen le iz znakov 0 in 1 ter se zaključi z znakom X. Naj bo r = {0,1,X, __} množiča znakov, ki jih M lahko uporabi (__ označuje prazen znak). Prehodna funkčija deluje na sledeč način (glej tudi sliko 2): Ce je stroj v začetnem stanju in glava prebere 0, potem glava zapiše 0, se premakne v desno in stroj ostane v začetnem stanju. Ce je stroj v začetnem stanju in glava prebere 1, potem glava zapiše 1, se premakne v desno in stroj ostane v začetnem stanju. Ce je stroj v začetnem stanju in glava prebere X, potem glava zapiše X, se premakne v desno in stroj preide v stanje q1. Ce je stroj v stanju q1 in glava prebere prazen znak, stroj sprejme vhod, torej preide v sprejemno stanje. Ce se zgodi karkoli razen zgornjega (npr. stroj je v začetnem stanju in glava prebere prazen znak), stroj zavrne vhod, torej preide v zavrnitveno stanje. Izkaže se, da kljub preprosti definičiji Turingo-vega stroja, ne moremo preprosto ugotoviti, na katerih vhodih se Turingov stroj ustavi. Zaustavitveni problem. Ali se dani Turingov stroj M ustavi na danem nizu iz ničel in enič? Ta problem je eden najpomembnejših in najbolj znanih neodločljivih problemov. Njegova neodločlji-vost je bila dokazana že v tridesetih letih prejšnjega stoletja, a bomo zaradi poljudnosti članka dokaz izpustili. Zakljucek Na začetku smo trdili, da Postovega problema ne moremo rešiti z računalnikom. Kako bi sploh lahko to utemeljili? Ker lahko s Turingovim strojem rešimo vse, kar lahko rešimo tudi z računalnikom, je dovolj pokazati, da Postovega problema ni moč rešiti s Turingovim strojem. Izkaže se, da bi v primeru, da bi nek Turingov stroj rešil Postov problem, lahko skonstruirali algoritem, ki bi rešili tudi zaustavitveni problem, kar pa ni mogoče. Dokaz lahko bralec najde v [1, pogl. 5.2]. Postov problem torej ni odločljiv in tako ni smiselno iskati algoritma, ki bi ga reševal. To pa še ne pomeni, da se s Postovim problemom ni vredno ukvarjati. Lahko se vprašamo, ali je odgovor Postovega problema pri konkretnih naborih domin da ali ne. Izmed problemov s tremi dominami, kjer je največja dolžina niza znakov na dominah tri, so razrešeni že skoraj vsi primeri. To pomeni, da je za vsak primer znana ustrezna postavitev domin v vrsto, ali pa je dokazano, da taka postavitev ne obstaja. Zadnji odprt primer tega tipa je podan z dominami Ko boste imeli trenutek prostega Časa, se lahko z njim pozabavate tudi vi. Literatura [1] M. Sipser, Introduction to the Theory of Computation, Second Edition. Course Tehnology, 2006. [2] L. Zhao, PCP: a Nice Problem, http: //webdocs. cs.ualberta.ca/~games/PCP/, citirano dne 21. 8. 2013. _ XXX Naloga nU vU NU Marko Razpet -> Izračunaj A10, A100 in A1000, ce veš, da je A1 = 4 in An+1 = An 1 + n3 An (n = 1, 2, 3,...). Bistroumi 2014 srečanje mladih matematikov, fizikov in astronomov vU SU NU Bočtjan Kuzman, foto: Jan Šuntajs -> V letošnjem letu se je tekmovanj iz matematike, fizike, astronomije, razvedrilne matematike in poslovne matematike za različne stopnje osnovne in srednje šole v organizaciji DMFA Slovenije udeležilo več kot 125.000 učencev in dijakov, podeljenih pa je bilo skupaj 819 zlatih priznanj (http:// www. dmfa. si/Aktual no/Statisti ka. html). Med prejemniki zlatih priznanj je bilo 171 nagrajencev skupaj z družinskimi clani, mentorji in predstavniki šol povabljenih na tradicionalno podelitev nagrad, ki je pod naslovom Bistroumi 2014 potekala v soboto, 24. maja, v Linhartovi dvorani Cankarjevega doma v Ljubljani. SLIKA 1. Glasbenik in fizik Janez Dovc igra na theremin. XXX TE KM O VANJ A SLIKA 2. Častni gost prireditve dr. Jernej Barbic Na odru so bila tako podeljena številna priznanja, med njimi tudi znamenita Vegova priznanja najboljšim mladim matematikom ter nagrada Diamantni kenguru trem devetošolcem, ki so v devetih letih osnovnega šolanja osvojili skupaj najvec tock na tekmovanju Kenguru. Dogajanje na odru so popestrile tudi zanimive glasbeno-fizikalne tocke Janeza DovCa, nastop matematika in komika dr. Uroša Kuz-mana, recitacija matematične poezije igralke Pie Žemljic, portret mladega pianista Urbana Stanica in domislice voditelja Tomaža Hudomalja. Vrhunec prireditve pa je bila predstavitev 23 dijakov, izbranih za udeležbo na letošnjih mednarodnih olimpijadah znanja: 55. mednarodne matematicne olimpijade v Južnoafriški republiki, 45. mednarodne fizikalne olimpijade v Kazahstanu ter 8. mednarodne olimpijade v znanju astronomije in astrofizike v Romuniji. Tekmovalce je v živo nagovoril tudi dr. Jernej Barbic, udeleženec matematicnih olimpijad leta 1994 in 1995. Dr. Barbic je v Sloveniji zakljucil študij matematike, doktoriral pa je na podrocju racunalniške grafike v ZDA in je mednarodno zaslovel z algoritmi za prikaz deformacij kompleksnih objektov, za katere je prejel vrsto medijsko odmevnih nagrad: nagrado fundacije Sloan (2014), ki ga je izbrala med 16 najboljših za podrocje racunalništva v ZDA in Kanadi, nagrado revije MIT Technology Review (2011), ki ga je izbrala med 35 najpomembnejših izumiteljev mlajših od 35 let na svetu, ter nagrado ameriške Nacionalne znanstvene fundacije (2011) v zne- SLIKA 3. Za Verižni eksperiment so ucenci in dijaki v 1 0 letih izdelali že vec kot 200 naprav. sku 500.000 dolarjev za nadaljnje raziskave. Dr. Barbic je obcinstvu predstavil svoje raziskovalno delo, ki med drugim zajema tudi sodelovanje s podjetjem Weta digital pri snemanju filma Hobit: Smaugova pu-šca (2013) in obudil spomine na svoja šolska leta, nagrajencem pa želel obilo uspeha na olimpijadi ter na nadaljnji študijski poti. Letošnja prireditev je potekala tudi v znamenju jubilejne, 10. izvedbe Verižnega eksperimenta. Naprave, ki predstavljajo zanimive fizikalne pojave, so pri verižnem eksperimentu razvršcene v vrsto tako, SLIKA 4. Najboljši mladi matematiki osnovnošolci TEKMOVANJA SLIKA 5. Razglasitev olimpijskih ekip da vsaka posamezna naprava ob izteku svojega delovanja kot padajoča domina sproži naslednjo napravo. Verižni eksperiment je bil v Sloveniji prvič izveden leta 2005 ob Svetovnem letu fizike, doslej pa odtlej pa ga vsako leto pripravijo učenci iz vse Slovenije, ki so letos izdelali 20 novih naprav. Eksperiment so tokrat pred ocmi obiskovalcev v preddverju sprožili štirikrat. Za najboljšo napravo po izboru gledalcev je bila izbrana naprava Vodni park ucencev Gimnazije Novo Mesto, nagrado strokovne žirije pa je prejela OŠ Rovte, katere ucenci so z mentorjem G. Udovcem izdelali kar 5 zelo izvirnih naprav. Olimpijske ekipe DMFA 2014 55. mednarodna matematicna olimpijada Cape Town, Južnoafriška republika, 3.-13. julij 2014 ■ Lara Jerman, Gimnazija in SŠ R. Maistra, Kamnik ■ Juš Kosmač, Gimnazija Jesenice ■ Juan Gabriel Kostelec, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija ■ Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka ■ Amadej Kristjan Kocbek, II. gimnazija Maribor ■ Luka Lodrant, ŠC Ravne na Koroškem, Gimnazija Vodja ekipe dr. Gregor Dolinar Pomocnik Matej Aleksandrov Skrbnik IMO strežnika dr. Matjaž Željko. 8. srednjeevropska matematična olimpijada Dresden, Nemčija, 18.-24. september 2014 ■ Aleksej Jurca, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija ■ Amadej Kristjan Kocbek, II. gimnazija Maribor ■ Luka Lodrant, ŠC Ravne na Koroškem, Gimnazija ■ David Popovic, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija ■ Mihael Rajh, I. gimnazija v Celju ■ Jakob Jurij Snoj, Gimnazija Novo mesto Spremljevalec Veno Mramor. 3. evropska dekliška matematična olimpijada Antalya, Turčija, 10.-16. april 2014 ■ Nika Bedek, I. gimnazija v Celju ■ Lara Jerman, (BRONASTA MEDALJA!) Gimnazija in SŠ R. Maistra, Kamnik ■ Tjaša Košenina, I. gimnazija v Celju ■ Klara Nosan, I. gimnazija v Celju Spremljevalec Primož Pušnik. 8. mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike Suceava, Romunija, 1.-10. avgust 2014 ■ Žan Kokalj, II. gimnazija Maribor ■ Andrej Nabergoj, ŠC Srečka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola ■ Žiga Nosan, Gimnazija Ledina, Ljubljana ■ Jakob Robnik, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija ■ Krištof Skok, I. gimnazija v Celju Vodja ekipe Andrej Guštin Spremljevaleč Tadeja Veršič Mentorja ekipe dr. Dunja Fabjan, Andrej Guštin. 45. mednarodna fizikalna olimpijada Astana, Kazahstan, 13.-21. julij 2014 ■ Aljaž DraškoviC-Bracun, Dvojezična srednja šola Lendava ■ Jakob Jazbec, ŠC Srečka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola ■ Blaž Karner, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija ■ Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka ■ Žiga Nosan, Gimnazija Ledina, Ljubljana Vodja ekipe dr. Jurij Bajč Spremljevaleč dr. Barbara Rovšek. _ XXX Ledena sveca in žled sU sU vU Andrej Likar, Nada Razpet Ledeni dež, ki smo mu pred nedavnim bili priča, je uprizoril malokdaj videne pojave. Med njimi je tudi ukrivljena ledena sveca (slika 1), ki je zrasla na grmu v domaČem vrtu. Sveca je nenavadne oblike zato, ker se je veja, na kateri je sveca rasla, pod naraščajočo težo ledu počasi upogibala. Veja je bila sicer kriva, a jo na mestu, kjer je začela rasti sveča, lahko obravnavamo kot ravno. Ker raste sveča le na koniči navpično, veja pa se medtem obrača, se sveča krivi. Denimo, da je zasuk veje sorazmeren s količino dežja, ki je padla na vejo. Ce bi bil tudi prirastek sveče na koniči sorazmeren s količino dežja, torej z zasukom veje, bi imela sveča krožno obliko. Poglejmo zakaj. Zaporedne slike rasti sveče pri enakomerno naraščajočem kotu zasuka veje smo prikazali na sliki 2. Privzeli smo, da se veja zasuče za majhen kot Aqp (na nadaljnji kot Aqp in tako naprej. Zasuk smeri rasti sveče je glede na prejšnjo smer rasti prav tako Aqp, saj sveča na koniči raste navpično. Ker sveča med dvema zaporednima zasukoma zraste za enako dolžino, se njena oblika prilega pravilnemu večkotniku. Ker se veja krivi zvezno in ne sunkovito, kot smo to privzeli mi, moramo našo sliko temu prilagoditi tako, da si mislimo kot Aqp vedno manjši. Tako se res bližamo krožniči. Posneta sveča pa ni krožne oblike. Bolje se ji prilega elipsa (sliki 2 in 3). Rast sveče torej ni bila pri vseh kotih enaka. Na začetku, to je na najdebelejšem konču ali, kot pravimo, pri korenu, je rasla hitreje, potem pa vse počasneje. To lepo vidimo na sliki 4, kjer smo narisali zaporedne prirastke pri enakomernih zasukih veje za pet stopinj. Pri vsakem zasuku veje je sveča sičer rasla navpično, ta navpičniča pa se je za nekoga, ki bi sedel na veji (in bi imel zanemarljivo težo, kajpak), sukala. S pravokotničami na tangente smo ponazorili smeri vodoravniče, gledane s strani veje. Sosednji vodoravniči tvorita kot 5°. SLIKA 2. Obliki ukrivljene svece se bolje prilega elipsa (crno) kot kro-žnica (rdece). Na sliki je nekaj crt, ki so bile ob rasti svece vodoravnice, gledano s smeri vej. sliki je bilo to pet stopinj), potem pa miruje, medtem pa sveča raste. Potem se na hitro zasuče za SLIKA 1. Ukrivljena sveca SLIKA 3. Sveči prilegajoča se elipsa Približno na mestu, kjer se sosednji vodoravniči sekata, pa najdemo središče krivinskega kroga, to je kroga, ki se nabolje prilega na ustrezni del elipse. Vidimo, da se krivinski radiji vzdolž sveče zmanjšujejo (slika 5). Pojasnimo, kako smo prišli do teh vodoravnič. Določitev sveci prilegajoče se elipse Pomagali smo si z računalniškim programom GeoGe-bra. Program je prosto dostopen s slovenskimi ukazi SLIKA4. Neenakomerna rast sveče. Vse sosednje narisane vodoravnice se sekajo pod kotom 5C SLIKA 5. Dva krivinska kroga (označeno z rdečo oz. zeleno barvo). Krivinski polmeri se manjšajo, r1 > r2. Črtkano sta označeni po dve sosednji normali. in se še vedno dograjuje. Ima vgrajene ukaze za risanje daljič, večkotnikov, stožnič, tangent na stožniče, meri razdalje, kote. Z njim lahko rišemo tudi grafe nekaterih funkčij. V GeoGebro uvozimo sliko. Postavimo jo v drugi kvadrant (slika 3). Na osi % izberemo točko F in jo prezrčalimo čez os y, dobimo točko F' (uporabimo GeoGebrine ukaze). Na osi y izberemo točko D. Točki F in D lahko premikamo po oseh. Izberemo ukaz za risanje elipse z obema goriščema (F in F') in točko D. S premikanjem točk F in D dosežemo, da elipsa poteka približno po sredini ledene sveče, kot kaže slika 3. Premikamo lahko tudi lego slike, če kliknemo na sliko in ukinemo ukaz fiksiraj sliko. Ko smo našli pravo lego slike in elipse, sliko povežemo s koordinatnim sistemom (ukaz fiksiraj objekt). Enačba elipse, ki ima središče v koordinatnem izhodišču, se glasi x2 y2 --h — = 1 a2 + b2 1 pri čemer je a velika polos, razdalja d(OB), in b mala polos, razdalja d(OD) na sliki 3. Program nam lahko posreduje tudi enačbo tako narisane elipse. Velikost njenih polosi je seveda odvisna od velikosti slike. Očenimo, kolikšni sta. Sveča je bila v naravi visoka okoli 14 čm, na sliki pa je d = 6,7 čm. Pomeni, da smo sliko skrčili približno na polovičo. Osi elipse sta potem a = 16 čm in b = 14 čm. —^ Smerni koeficienti normal na elipso, ki se medsebojno sekajo pod kotom 5° Za določitev vodoravnic potrebujemo nekaj enačb. Najlaže jih najdemo, če primerjamo elipsi očrtano krožničo z elipso samo. Zapišimo enačbi elipsi očrtane krožniče s polmerom a in elipse s polosema a in b v središčni legi x2 y2 — +—- = 1 krožniča, a2 a2 x2 y2 —T + T^T" = 1 elipsa. a b2 Ker je v obeh primerih vsota kvadratov enaka 1, vsota kvadratov čosinusa in sinusa pa tudi 1, lahko pišemo za krožničo: ■ xc = a čos t, yc = a sin t, za elipso pa ■ xe = a čos t, ye = b sin t, pri čemer je t parameter (kot), ki teče od 0 do 2n. Opazimo, da sta absčisi točk Tc na krožniči in Te elipsi enaki (glej sliko 6), ordinati točk pa sta v razmerju a/b, torej lahko zapišemo a yC = bye. Tk(xk,yk) SLIKA 6. Povezava med krožnicama s polmeroma a in b ter elipso V točki Tc na krožniči in v točki Te na elipsi nari-šimo tangenti (z ukazom iz GeoGebre). Enačba tangente na krožničo v točki Tc(xc,yc) je xc ■ y = kx + n =--x + n. yc Upoštevali smo, da je smerni koefičient enak tan-gensu naklonskega kota, izračunamo ga iz trikotnika KOTc. Enačbe tangente na elipso v točki Te dobimo iz enačbe tangente na krožničo v točki Tc tako, da vse y pomnožimo z a/b: a Xe by = -fyex+ni' b2 Xe ket = -"T- a2 ye Za razlago nastanka svece potrebujemo smerne koeficiente normal na elipso. Ker vemo, kako sta povezana smerna koeficienta tangente in normale, izračunamo smerni koeficient normale v točki Te kot k 1 a2 ye a2 b sin t a t en ket b2 xe b2 a cos t b tg (1) a =ki = b tg ti, a k 2 = b tg t2 , kjer smo s k1 in k2 označili smerna koefičienta sosednjih normal. Za naklonska kota sosednjih normal (slika 7) velja: ^2 = - a tg ^2 = tg(^i - a) = tg ^i - tg « i + tg ^i tg a == k2 = ki - tg a i + ki tg a Pri tem smo upoštevali, da so tangensi naklonskih kotov normal smerni koeficienti normal na elipso. Smerne koeficiente normal na elipso pa smo že izrazili v (1). Torej lahko zapišemo: tg 12 = b tg ti - tg a a + f| tg titg a' (2) Od tu dalje pa zopet delamo z GeoGebro. Polosi a in b izmerimo in izračunamo (ustrezne ukaze vpišemo v vnosno vrstičo), a m = —, b p = tg a = tg(5°) = tg(i|0) SLIKA 7. Dve sosednji normali z naklonskima kotoma in ip2 se sekata pod kotom a. Prva normala je vodoravna, zato je tg t1 = 0. Izračunamo tg t2. Računanje ponavljamo tako, da izračunani tg t2 vstavimo namesto tg t1 in izračunamo novi tg 12 in tako naprej. GeoGebra pozna ukaz Seznam-Ponavljanj, s katerim dosežemo, da program ponavlja računanje in zapisuje vse vmesne rezultate. V vnosno vrstico zapišemo enačba (2) v obliki ■ f(x) = (m ■ x - p)/(m + m2 ■ p ■ x), pri tem smo namesto tg t1 pisali x in namesto tg t2, ki je funkcija tg t1, ustrezno f(x). V vnosno vrstico zapišemo SeznamPonavljanj[f(x),0,14], kjer 0 pomeni vrednost prvega tg t1 in 14, da računanje ponovimo 14-krat (dobimo 15 normal). Izračunane vrednosti se pojavijo v algebrskem oknu pod seznami. Potrebujemo še točke na elipsi, za katere smo izračunali smerne koeficiente normal. V GeoGebri odpremo tabelo in v prvi stolpec prepišemo izračunane tangense tako, da v vnosno vrstico napišemo ukaz ZapolniStolpec[1,seznam1]. Izračunamo še koordinate točk, pri čemer kotni funkciji sinus in kosinus zapišemo s tangensi in pazimo na ustrezne predznake kotnih funkcij: xe = a cos t = -a 1 + tg21 ye = -b tg t 1 + tg21 SLIKA 8. Žled na vinski trti. Na žici, ki smo jo označili z rdečo črto, so vidne navpične sveče, saj se žica ni upogibala. SLIKA 9. Žled na šipku Predznak minus pri ordinatah točk sta zato, ker je na intervalu (n/2,n) tangens kota negativen, sinus kota pozitiven, čosinus kota pa negativen. V drugi stolpeč bomo pisali absiče točk, v tretjega pa ordinate iskanih točk. V tabeli kliknemo na prvo čeličo drugega stolpča, kliknemo na gumb fx in v vnosno vrstičo v tabeli vpišemo = -a/(1 + A12) 2x0.5 PRESEK 41 (2013/2014) 6 13 -> SLIKA 10. Žled na viticah vinske trte in svece z izboklinami Oznacimo prvo celico drugega stolpca in potegnemo desni spodnji vogal do konca seznama. Na ta nacin smo izracunali abscise tock, ordinate tock pa izra-cunamo na enak nacin, le da oznacimo prvo celico tretjega stolpca in v vnosno vrstico v tabeli vpišemo ■ = -b ■ A1/(1 + A12)0 5. Oznacimo oba stolpca (zajamemo le tiste vrstice, kjer so koordinate), pritisnemo desni klik na miški, izberemo Izdelaj in nato SeznamTočk. V algebrskem oknu se pojavi seznam tock seznam2, kijih program tudi oznaci na elipsi. Normale na elipso so simetrale kota )F1AF2, pri tem sta F1 in F2 gorišci elipse, A pa tocka na elipsi, v kateri rišemo normalo. Z GeoGebro narišemo normale skozi izracunane tocke. Na koncu še skrijemo nepotrebne oznake, krivulje in premice ter imamo koncno sliko 4. Svece, ki smo jih opazovali ob pojavu žleda, so bile razlicnih oblik. Nekaj jih je na slikah 8, 9 in 10. Njihova oblika je v veliki meri odvisna od prožnosti vej oz. žic, na katerih nastajajo. Ce se žica ali veja le malo upogneta, raste sveca navpicno. Ce je veja že upognjena in ni prožna, jo žled ovije. Ce je temperatura cez dan nekaj casa nad niclo in ponoci pade pod niclo, pa se lahko na svecah pojavijo »izbokline«. Opazovali smo naravni pojav, ga fotografirali in ga skušali tudi matematicno opisati. Pri tem smo si pomagali z lastnostmi elipse in krožnice, ki smo jih ilustrirali z racunalniškim programom GeoGebra. _ XXX Razmisli in poskusi nU NU NU Mitja Rosina 56. Bosi na vrocem pesku Zagotovo radi tekate bosi po peščeni plaži, kamnitih ploščadih ali celo po asfaltu. Na svetlem pesku je prijetno, na temni mivki pa zelo vroče. Še huje je na temnem asfaltu, ki se v vročini celo tali. Razmislek. Najvišjo temperaturo doseže idealna črna ploskev, na katero sije sonce pravokotno. Od zadaj naj bo dobro toplotno izolirana, od spredaj pa naj oddaja toploto samo s sevanjem (rečimo, da ni vetra in da je tanka plast zraka že enako topla). Od sonča dobi gostoto energijskega toka kvečjemu j = 1,4 kW/m2, ki jo seva po Štefanovem zakonu j = ar4. Pri tem je a = 5,67 ■ 10-8 Wm-2K-4 Štefanova konstanta. Temu ustreza temperatura T = 396 K = 123 0C. (Izracunaj jo še sam.). To je skrajna idea-lizacija, v resnici pobere precej energije ozracje, zlasti ce ni cisto, plošca ali pesek pa nista cisto crna in absorbirata le del svetlobe. Crna streha ali temen asfalt se maksimalni temperaturi lahko približata, na kakih 70 0C, svetla mivka pa je hladnejša. Naloga. Oceni temperaturo razlicnih tal ob razlicnih pogojih. Svojo oceno preveri s primernim termometrom. _ XXX www.dmfa-zaloznistvo.si www.dmfa.si Prvi zaznan sistem obrocev okrog asteroida1 •is ■i' ■i' Prevod in priredba: Tadeja Veršič Astronomi evropskega južnega observatorija ESO in observatorija La Silla so prišli do presenetljivega odkritja dveh gostih ozkih prstanov oz. kolobarjev okrog zelo oddaljenega asteroida Cha-riklo. Ta asteroid je daleč najmanjše znano telo s kolobarji v Osončju, saj smo jih do sedaj poznali le pri velikih planetih Jupitru, Saturnu, Uranu in Neptunu. Eden izmed možnih procesov nastanka kolobarjev okoli asteroida Chariklo so številni trki z drugimi asteroidi, ki bi lahko okoli asteroida ustvarili disk ostankov. Odkritje je bilo objavljeno 26. marca 2014 v spletnem častniku Nature. Saturnovi kolobarji so med najznamenitejšimi in najbolj osupljivimi tvorbami v Osončju. Ostale tri plinaste velikane tudi obkrožajo kolobarji, a so bistveno bolj skromni in manj slikoviti. Kolobarjev pa astronomi okoli kakega asteroida še niso odkrili. Toda nova opazovanja prehoda daljnega asteroida Chariklo pred oddaljeno zvezdo so razkrila obstoj dveh tankih kolobarjev. Felipe Braga-Ribas, ki je načrtoval opazovalno kampanjo, je ob odkritju dejal: »Kolobarjev nismo iskali, tudi pričakovali nismo, da bi jih tako majhno telo, kot je Chariklo lahko imelo. Še bolj presenetljivo pa je, da smo o sistemu lahko izvedeli veliko podrobnosti.« Kentavri so manjša telesa, ki se nahajajo na obrobju Osončja. Njihove orbite se križajo z večjimi 1Prevod in priredba novice ESO1410 evropskega južnega observatorija ESO, www.eso .org/publi c/news/eso1410/, 26. 3. 2014 planeti ter pri tem pogosto spreminjajo orbite. Mednje sodi tudi 250 kilometrov velik Chariklo, ki kroži okrog Sonca med Saturnom in Uranom. Izračuni njegove navidezne poti po nebu so pokazali, da bo 3. junija 2013 prekril oddaljeno zvezdo. Takšna delna ali popolna prekritja (okultacije) so v astronomiji še posebej uporabna, saj se lahko iz potemnitve zvezde, ki je posledica prehoda, astronomi veliko naučijo o objektu, ki je šel pred zvezdo. Nekaj sekundna okul-tacija je bila vidna iz južnoameriških observatorijev in astronomi so jo spremljali z vec teleskopi, med drugim tudi z 1,54-metrskim danskim nacionalni teleskop in teleskop TRAPPIST na Esovem observatoriju La Silla v Cilu. Nekaj sekund pred in po prehodu asteroida so teleskopi zaznali še dve dodatni potemnitvi opazovane zvezde, ki ju niso pricakovali, kar je pomenilo, da je okoli Charikla še nekaj, kar zastira svetlobo. Ob primerjavi meritev na razlicnih observatorijih so astronomi lahko rekonstruirali ne samo obliko in velikost samega asteroida, marvec tudi širino, usmerjenost, obliko in nekatere druge lastnosti na novo odkritih kolobarjev. Skupina raziskovalcev je ugotovila, da gre za sistem dveh zelo ozkih kolobarjev, širokih zgolj sedem in tri kilometre, ki sta med seboj oddaljena devet kilometrov. Ob tem izjemnem odkritju je clan ekipe Uffe Grae Jorgensen (institut Niels Bohr, Univerza v Kobenhav-nu na Danskem) dejal: »Zame je izjemno to, da smo sistem kolobarjev zaznali in hkrati lahko tudi na-tancno izmerili njegove lastnosti. Poskušam si zamisliti, kako bi bilo stati na tem lednem telesu, ki je tako majhno, da bi najhitrejši zemeljski športni avtomobil lahko dosegel ubežno hitrost in se tako zapeljal v vesolje. Pri tem bi videl 20 kilometrov širok sistem kolobarjev, ki je 1000-krat bliže asteroidu, kot je Luna Zemlji.« Astronomi menijo, da so 18 ra__ > d .cd ra -o U1 ra ra PRESEK 41 (2013/2014) 6 15 ASTRONOMIJA 15 CD > TD -M ru ^ SLIKA 1. Na ilustraciji je prikazan asteroid Chariklo z novoodkritima kolobarjema. Foto: ESO/L. Calgada/M. Kornmesser/Nick Risinger (skysurvey.org) kolobarji najverjetneje nastali iz ostankov snovi, ki se je v okolico asteroida razletela po trku z drugimi telesi. Kolobarja sta zelo ozka, kar je verjetno posledica gravitacijskih vplivov še neodkrite Chariklove lune. Praktični šolski poskus Okultacija na šolski klopi. Okultacije zvezd s planeti in drugimi telesi Osončja so pomembna astronomska metoda pri odkrivanju lastnosti atmosfer planetov ali pri iskanju kolobarjev okoli njih. Tako so astronomi leta 1977 zvezdno okultacijo poskušali izkoristiti za meritve lastnosti Uranove atmosfere, po nakljucju pa odkrili so še Uranove kolobarje. Metoda je naceloma enostavna. Zvezde so za nas tockasta svetila. Ce gre za opazovalca na Zemlji pred zvezdo planet s kolobarji, potem se bo sij zvezde navidezno zmanjšal, ko jo bo zakril posamezni kolobar. Zmanjšanje sija pa lahko izmerimo s fotometrom na teleskopu (glej sliko 2). Iz casa zmanjšanja sija in oddaljenosti pla- neta je mogoče izračunati širino kolobarja, oddaljenost kolobarja od planeta. To metodo zvezdne okultacije je mogoče prikazati pri pouku fizike ali astronomije in opraviti tudi enostavne meritve. Zvezdo nadomestimo z laserjem, kak fotometer pa najdemo skoraj v vsakem fizikalnem kabinetu. Izdelamo še model planeta s kolobarji, ki ga postavimo med laser in fotometer. S premikanjem modelčka bodo kolobarji odkrivali oz. zakrivali curek laserske svetlobe in fotometer bo zaznal več ali manj svetlobe. Kako je to odvisno od oddaljenosti modelčka od fotometra, nagiba ranine kolobarjev, materiala, iz katerega so kolobarji? Lahko pa naredite model planeta z atmosfero in s podobno postavitvijo poskušate določiti debelino atmosfere, njeno gostoto. To je lep izziv za šolski fizikalni laboratorij. Postavite in izvedite poskus ter nam pošljite krajši prispevek s slikami in meritvami. Najboljše bomo objavili in nagradili. Andrej Guštin oddaljenost od Urana 14 10 8 6 2 9 13 5 5 - 11 8 6 5 10 3 7 9 11 5 3 1 12 9 2 1 11 9 2 Barvni sudoku vU sU nU V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. SLIKA 2. Še preden je planet Uran zakril zvezdo SAO 1 58687, so astronomi nepričakovano zaznali padce navideznega sija zvezde (krivulja sija zvezde, ki jo je zaznal fotometer teleskopa na Zemlji). Sklepali so, da so okoli planeta tanki kolobarji, ki so na sliki standardno označeni s številkami in grškimi črkami. Zgoraj je bližnji posnetek Uranovih kolobarjev s sondo Voyager 2. Foto: NASA, JPL, KAO,J. L. Elliot _ XXX Križne vsote Rešitev s strani 26 nU NU NU v O □ D en > £L < 00 > m 2 8 5 3 6 6 7 1 5 8 1 4 2 7 1 4 7 8 4 5 5 1 4 6 Z 8 £ £ 9 L S P 2 8 7 3 P Z S 8 7 6 3 1 L 9 £ L 5 17 8 m n 6 3 2 7 17 5 1 1 5 8 17 E L Z 9 8 7 6 2 1 3 17 5 3 17 1 5 8 2 6 7 XXX XXX Ta r s k i j e v svet ali zabavno V " I " I v " ucenje logike s pomočjo računalniškega programa Smiljana Gärtner -> Filozofija v Preseku!?! Kaj pa imajo skupnega analitična filozofija, matematika, slovenščina, angleščina, psihologija, kibernetika, umetna inteligenca in računalništvo? Tarskijev svet - računalniški program, ki na drugačen, zabaven in kratko-časen način razjasni logiko prvega reda. Ta program lahko na svoj način pomaga pri razumevanju in učenju logike prvega reda, pri izboljšanju razumevanja maternega in tujega jezika pa tudi pri razumevanju vseh ostalih znanosti. Ce ste se kdaj spraševali, kaj imajo skupnega analitična filozofija in matematika, je odgovor - logiko. Od antičnih Grkov pa vse do Gottloba Fregeja1 je bila logika vezni člen med analitičnimi filozofi in matematiki. Takrat so bili filozofi matematiki in matematiki analitični filozofi, če naštejemo zgolj nekatere: Pitagora, Zenon, Sokrat, Aristotel, G. W. Leibniz, I. Kant, I. Newton, B. Russell, C. S. Peirče, W. V. O. Quine, R. Desčartes, J. Lukasiewičz, B. Pasčal, H. Putnam, A. Tarski. Logika v splošnem pomenu je prav tako vezni člen ostalih znanosti, saj vse temeljijo na pravilnem sklepanju in argumentačiji, t. j. na določenih standardih račionalnosti. Cetudi se materija v različnih znanostih razlikuje, se metoda znanosti ne. 1Gottlob Frege (1848-1925): 1879 Pojmovni zapis; 1884 Die Grundlagen der Aritmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl; 1892 (3)/1903: Osnove aritmetike I in Osnove aritmetike II. Danes seveda lahko govorimo tudi o filozofski logiki in matematični logiki kot o dveh različnih vedah -prva je zavezana naravnemu jeziku in naravnemu jeziku misli, druga pa lahko preide v popolno abstrak-čijo. Sprejemanje osnovnih načel logike oz. logika v splošnem pa je skupni element, ne zgolj matematike in analitične filozofije, temveč vseh ostalih znanosti, ki jo priznavajo kot osnovno metodo dela. Kaj imata skupnega logika in računalništvo? Ena izmed skupnih točk so računalniški programi, ki pomagajo razumeti in razjasniti logična pravila izpe-ljevanja, presojo pravilnosti ali nepravilnosti sklepanja. Pomagajo razumeti, kakšna je povezava med jezikom, ki ga uporabljamo ljudje pri sporazumevanju (t. i. naravni jezik) in jezikom logike. Glede na pravkar prebrano in glede na to, da je spoznavanje uporabe računalniških programov za poučevanje in učenje logike eden izmed dveh operativnih čiljev v učnem načrtu izbirnega predmeta Logika (za 9. razred), bomo v tem članku predstavili računalniški program, ki nosi ime že prej omenjenega analitičnega filozofa in matematika Alfreda Tarskija.2 Računalniški program lahko razjasni iz-javni in predikatni račun oz. lahko pomaga pri razumevanju in učenju logike jezika prvega reda. Preden pa predstavimo program, še na kratko o tem, kaj je logika prvega reda. 2Tarskijev svet ni računalniški program, ki bi ga napisal A. Tarski (1902-1983), temveč je poimenovan po tem poljskem logiku, ki je med drugim tudi definiral (meta)logični in (meta)matematični pojem, pojem deduktivnega sistema. Tarskijev svet (izvorni program) sta napisala Rick Wong in Rolf van Wi-denfelt pod vodstvom Steva Lovinga. Kasneje je doživel veliko nadgradenj, prvo večjo sta pripravila J. Barwise in J. Etchemendy leta 1992. Logika prvega reda Vzemimo naslednje izjave in jih prevedimo iz naravnega jezika v jezik logike oziroma jih simbolizi-rajmo: (i) Sneži. (ii) Ce sneži, grem na Pohorje. (iii) Vsi ljudje so smrtni. Sokrat je človek. Torej, Sokrat je smrten. (iv) Nekateri sošolči niso športniki. (v) Obstaja vsaj ena lastnost, ki jo ima Anej in vsaj ena, ki je nima. (vi) Anej in Rok imata popolnoma enake lastnosti. 1. Prvi in drugi primer simboliziramo na naslednji način: (i) S (ii) (S ^ P) V obeh primerih govorimo o izjavnem računu oz. o sistemu propozičionalne ali stavčne logike. S stavčnim konstantam (S, P), z logičnimi konstantami (vezniki oz. izjavnimi povezavami (npr. in (a); če, potem negačija (-)) in z oklepaji tvorimo sistem izjavne logike, pri čemer upoštevamo sintaktična in semantična pravila, t. j. pripis resničnostne vrednosti. Slednje za primer (i) in (ii) pomeni: (i) S (ii) S P (S ^ P) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ali drugače, iz tabele (ii) je razvidno, da je izjava >Ce sneži, grem na Pohorje.< neresnična le v enem primeru (razvidno iz vrstiče dve), če je S resničen (1) in P neresničen (0). (iii) in (iv) primer lahko simboliziramo v sistemu propozičionalne logike, in sičer: (iii) (C ^ S), C ... S (iv) (S ^ - Š) Simbolizačija tretjega primera je pravilna, saj se simbolizačija (C S) v logiščini, kot jo imenuje Šuster (2000), prebere: »Ce si človek, potem si smrten.« ali »Vsi ljudje so smrtni.«. To je ekvivalentno našemo izvornemu primeru. Poglejmo si sedaj četrti primer. Le-tega bi v lo-giščini prebrali »Ce si sošoleč, potem nisi športnik.« ali »Vsi sošolči niso športniki.«, kar ni ekvivalentno našemu izvornemu primeru (»Nekateri sošolči niso športniki«). Iz tega izpeljemo, da je naša simbolizačija nepravilna in da je potrebna vpeljava dodatnih izraznih oblik, ki bi nam omogočale izražati notranjo strukturo izjav. To imenujemo predikatni račun ali predi-katna logika, saj vpeljemo oblike, ki nam omogočajo izražati predikate oz. odnose med n-reč-mi (sneži, grem na hrib, je športnik, je večji od) ter ločevanje med individualnimi predikati in subjekti. Slednje so lahko individualne konstante (imenske) (a, b, c) in individualne spremenljivke (x, y, z). Tako sta simbolizačiji za tretji in četrti primer, ko vpeljemo univerzalni kvantifikator (V) za >vsi< in eksistenčialni kvan-tifikator (3) za >nekateri< ter dodamo pravilom izjavnega računa pravila predikatnega računa spremeljivko: x; konstanto: 5; predikatne črke: C, S, Š, takšna: (iii) (Vx)(C(x) ^ S(x)), Cs ... Ss (iv) (3x)(S(x) a * Š(x)) V logiščini tako preberemo tretji primer: »Za vsak x velja, če je x človek, potem je x smrten. Sokrat je človek, torej je Sokrat smrten.« in četrti primer »Obstaja vsaj en takšen x, ki je sošoleč in ni športnik«, kar je ekvivalentno naši izvorni propozičiji v naravnem jeziku nareko-vajiNekateri sošolči niso športniki.. Ce bi še želeli s pomočjo pravil naravne dedukčije dokazati sklep, bi v obeh primerih (v izjavnem in predikatnem dokazu) to naredili na naslednji način: 1 0 -> (1) C ^ S predpostavka (2) C predpostavka (3) S 1, 2 MP (pravilo Modus ponens) (1) (Vx)(Č(x) ^ S(x)) predpostavka (2) Cs predpostavka (3) (Cs ^ Ss) 1, OUK (pravilo opustitve) (4) Ss 3, 2, MP (univ. kvan) Glede na to, da pravkar opisani sistem predika-tne logike vključuje zgolj tiste variable, ki se vežejo na individuume (a vsebuje predikate, spremenljivke, kvantifikatorja in konstante), imenujemo to vrsto logike logika prvega reda. Kadar pa se kvantifikatorja in spremenljivke ne nanašata zgolj na individuume, temveč tudi na same predikate, lastnosti, ali ko želimo izpostaviti določene (različne) lastnosti ali čelo lastnosti lastnosti oz. imajo predikati za objekt ponovno predikat, pa govorimo o logiki višjega reda, kar prikazujeta zadnja dva primera. 2. Ce primer pet in šest prevedemo iz naravnega jezika v jezik logike višjega reda, dobimo: (v) 3LLa A 3L ^La (vi) VL(La Lr) V logiščini bi šesti primer zvenel »Za vsako lastnost velja, če in samo če jo ima Anej, jo ima Rok.« Takšna simbolizačija pa sedaj ne vključuje zgolj individuume, temveč tudi lastnosti (L) in lastnosti lastnosti. Predstavili smo tri vrste logike, pri čemer nas bo v nadaljevanju zanimala predvsem logika prvega reda. Ta se kot temeljni umetni jezik pojavlja v filozofiji in računalništvu, hkrati pa pomeni osnovo za razumevanje strukture naravnega jezika ter (ne)logičnosti le-tega. V nadaljevanju predstavljen program Tarskijev svet je program, ki nam pomaga razumeti pomen iz-javnega in predikatnega računa oz. razumeti logiko prvega reda. Tarskijev svet3 Program Tarskijev svet omogoca, da se najprej spoznamo s samim delovanjem programa, tako da nam ponudi že izdelane svetove (File > Open > T > W > Exercise Files) z že ponujenimi stavki. Tako se lahko lotimo Aristotelovih stavkov (ang. Aristotle's Sentences), Bolzanovega sveta, Peanovih stavkov in sveta, Fregejevih in Carnapovih stavkov, Boole-ovih stavkov in sveta pa tudi Wittgensteinovega sveta in Wittgensteinovih stavkov. V nadaljevanju clanka si bomo najprej ogledali predikatni racun brez kvanti-fikatorjev, nato pa predikatni racun s kvantifikatorji. A. Predikatni racun (brez kvantifikatorjev) v Tarski-jevem svetu Ko odpremo datoteko Wittgensteinovi stavki in datoteko Wittgensteinov svet, se nam odpre naslednja slika: SLIKA 1. Wittgensteinov svet z Wittgensteinovimi stavki Geometrijska telesa na plošči so Wittgensteinov svet. Nad svetom je orodna vrstiča z gumbi za spreminjanje ali dodajanje geometrijskih teles (v nadaljevanju objektov): kočke, tetraedra in dodekaedra, 3D. Barker-Plummer, J. Barwise, J. Etchemendy, Tarski's World: Rewised and Expanded, Stanford: SCLI Publications (2008). spreminjanje njihove velikosti (majhen, srednji, velik: o, o, o) in označevanje z imenom (a, b, c itd.). Pod svetom so skrajno levo vezniki (a, v, — itd.), spremenljivke, konstante, kvantifikatorji in oklepaji. Na sredini imamo možnost izbirati med štirimi sklopi, in sicer med geometrijskimi telesi (ang. Bloks), ljubljenčki (ang. Pets), množičami (ang. Sets) in aritmetiko (ang. Arith). Skrajno desno so ukazi preveri (ang. Verify), dodaj, briši (ang. Add, Delete) idr. Pod vsem omenjenim sledijo stavki, ki so v tem primeru že zapisani. Tako imamo zapisano naslednje: SLIKA 2. Primeri Wittgensteinovih stavkov SLIKA 3. Primeri Wittgensteinovih stavkov V logiščini predstavljene stavke na sliki 2 preberemo kot: 12. >Objekt, imenovan b, je za objektom, imenovanim f .< 15. >Objekt, imenovan a, je levo od objekta b.< 17. >Objekt, imenovan a, je desno od objekta b.< Zanima nas, kateri od omenjenih stavkov je resničen (T) in kateri neresničen (F). Imamo dve možnosti, kako to naredimo. Ce želimo preveriti posamični stavek, se postavimo na le-tega in kliknemo Verify (preveri). Ce pa želimo preveriti vse stavke hkrati, kliknemo Verify All (preveri vse). Mi smo preverili vse hkrati in dobili naslednjo sliko: S slike 3 lahko razberemo, da sta 13. in 15. stavek resnična, ostali neresnični, kar se ujema s sliko 1. V naslednjem koraku bomo že ponujeni Wittgen-steinov svet (WW1) spremenili. S kazalnikom gremo na objekt in ga poljubno premikamo. Zamenjali smo položaj objekta a in b, odstranili e in premaknili naprej objekt, imenovan f, ter tako dobili Wittgenstei-nov svet 2 (WW2). Glede na to, da so stavki ostali nespremenjeni, jih lahko ponovno preverimo. Ker smo prej preverili vse hkrati, bomo sedaj preverili zgolj stavke, ki smo jih izbrali, in sičer stavke številka 12,15 in 17, ki smo jih že zgoraj zapisali v logiščini. Rezultat je naslednji: S slike 5 lahko razberemo, da sta 12. in 17. stavek, glede na WW2, resnična (T), 15. pa neresničen (F). Tarskijev svet omogoča uporabo najrazličnejših kombinačij ponujenih datotek. Navedimo nekatere: ■ Odpremo datoteko nekega sveta in stavke z enakim imenom (to smo zgoraj že predstavili: WW1 in Wittgensteinove stavke) ■ Lahko spremenimo izbrani svet (WW2) in obdržimo stavke. ■ Lahko izberemo določen svet in datoteko stavkov z drugačnim imenom (nor. WW1 in Boolove stavke) ter jih preverjamo. ■ Lahko odpremo poljubne stavke, npr. Boolove stavke, in gradimo svet tako, da bodo vsi stavki resnični. Lahko odpremo svet in zapisujemo stavke ter jih nato preverimo. SLIKA 4. WW2 RAČ UN ALN IŠ TVO -> SLIKA 5. Preverjeni izbrani Wittgensteinovi stavki Lahko pa tudi preverjamo, Ce razumemo prevajanje stavkovnaravnegajezikavjeziklogike. Postopek je naslednji: (i) Najprej odpremo novi svet, ki je brez kakršnegakoli objekta ali stavka. (ii) Izberemo si stavke naravnega jezika. (iii) Zapišemo jih v jeziku logike v zavihku za stavke (na sliki 6, >Untitled Sentences<). (iv) Postavimo objekte, tako da ustrezajo zapisanim stavkom. (v) Sedaj lahko preverimo posamične stavke (izberi Verify), vse stavke hkrati (izberi Verify All) ali pa preverjamo stavke preko igre (izberi Game). V nadaljevanju bomo prikazali pravkar opisani postopek na konkretnem primeru. (i) Ustvarimo novi svet (File > New > New World) Svet, ki smo ga odprli, lahko shranimo. Prav tako stavke, ki jih bomo zapisali. Mi smo oboje shranili kot Gajin svet in kot Gajini stavki. (ii) Stavki naravnega jezika, ki jih želimo prevesti, so: 1. Objekt f je desno od objekta a in levo od objekta b. 2. Objekt b je ali med objektoma d in e ali pa je od obeh manjši. 3. Vsaj en izmed objektov a, c in e je kocka. 4. Ce je a tetraeder, potem je pred d-jem. 5. Ce je c majhen in je d dodekaeder, potem ni objekt d niti velik niti majhen. (iii) Spodnja slika prikazuje prevedene stavke naravnega jezika v jezik logike. (iv) Sedaj postavimo objekte tako, da ustrezajo simbolizaciji na sliki 7: Na koncu še preverimo, ali zapis ustreza prikazanemu svetu oz., ali so Gajini stavki ekvivalentni Gajinemu svetu. (v) S slike 9 je razvidno, da so vsi stavki resnicni (T). Ce zapisanih stavkov ne želimo takoj preveriti, se lahko tudi igramo. To pomeni, da kliknemo gumb Game (slo. igra), ki nam ponudi igro v obliki kviza. Na vprašanje, ali je stavek št. 1,1.1. >Objekt f je desno od a in levo od b.<, ki smo ga v program zapisali kot >RightOf(f, a)AleftOf(f, b)<, resnicen ali napacen, smo odgovorili z »napacen«. Posledica tega je, da imamo na desni strani slike 10 zapisan odgovor na naš odgovor, in sicer: »False« (slo. nepravilno). Hkrati nas vpraša, ce menimo, da je katerikoli del konjunkcije napacen. Ce pritrdimo ter nato izberemo tisti clen konjunkcije, za katerega trdimo, da je napacen, je naš odgovor ponovno nepravilen, zato igro izgubimo. Sedaj smo si pogledali primere izrazov brez kvan-tifikatorjev, v nadaljevanju bomo predstavili še uporabo predikatnih izrazov s kvantifikatorji v programu Tarskijev svet. SLIKA 6. Novi, še neimenovani svet RAC UNALNIS TVO SLIKA 7. Simbolizacija SLIKA 8. Gajin svet SLIKA 9. Preverjanje Gajinih stavkov v Gajinem svetu. SLIKA 10. Igra, s katero preverjamo resničnost Gajinih stavkov v Gajinem svetu B. Predikatni račun (s kvantifikatorji) v Tarskijevem svetu Postopek uporabe predikatnega izraza s kvantifika-torji v programu Tarskijev svet je enak kot postopek uporabe predikatnega izraza brez kvantifikatorjev. Sedaj vpeljemo vse elemente logike prvega reda, t. j. dodamo kvantifikatorje. (i) Najprej smo naredili poljuben svet in ga poimenovali (Gajin svet 2). (ii) V jeziku logike prvega reda smo zapisali stavke, ki ustrezajo naslednjim navodilom: 1. Prvi stavek naj opiše velikost vseh tetrae-drov. 2. Izrazi, da nekateri dodekaedri niso majhni, kot lahko razbereš iz predstavljenega sveta. 3. Izrazi, da so nekatere velike kočke levo od objekta b in za objektom c. 4. Izrazi, da ima vsaka kočka na desni strani tetraeder. 5. Izrazi, da, če je a dodekaeder, so potem nekateri objekti pred njim. (iii) V tretjem koraku smo stavke zapisali v jeziku logike prvega reda in shranili (Gajini stavki 2). V logiščini bi zapisane stavke prebrali kot: 1. Za vsak x velja, če je x tetraeder, potem je x majhen. 2. Obstaja vsaj en takšen x, da je x dodekaeder in ni majhen. 3. Obstaja vsaj en takšen x, da je ta x kočka in je x velik in je ta x levo od objekta b in je ta x za objektom c. 4. Obstaja vsaj en x, da je ta x tetraeder in za vsak y velja, če je y kočka, potem je x desno od y. —^ 5. Če je a dodekaeder, potem obstaja vsaj en takšen x, ki je pred a-jem. (iv) Preverili smo vrednost Gajinih stavkov 2 v Ga-jinem svetu 2 in ugotovili, da so vsi resnični. Celoten postopek uporabe logike prvega reda oz. predikatnih računov v programu Tarskijev svet, ki smo ga predstavili, je prikazan na sliki 11. SLIKA 11. Predikatni racun v programu Tarskijev svet Zaključek Tarskijev svet je pomemben predvsem za učenje logike prvega reda, saj je velik poudarek najprej na poznavanju izjavnega računa, nato pa sledi prehod na predikatni račun, ki je največkrat za učeče težje razumljiv. Prednost programa je vsekakor v zanimivem, zabavnem, predvsem pa v drugačnem, učenju, pa tudi, kar je morda še pomembneje, v razumevanju in urjenju. Seveda ima program tudi pomanjkljivosti; program je v angleškem jeziku, kar zahteva znanje in dobro razumevanje angleščine. To posledično pomeni prevajanje, najprej iz slovenščine v angleščino, nato v jezik logike prvega reda in logišČčino. Tako lahko prihaja do napak, ki so predvsem poslediča »izgubljenega s prevodom«. Kot vemo, je sprejemanje osnovnih načel logike skupni element ne zgolj matematike in analitične filozofije, temvec tudi vseh ostalih znanosti. Prav tako vemo, da so računalniški programi, kot je Tarskijev svet. tisti, ki pomagajo razumeti in razjasniti logična pravila izpeljevanja, presojo pravilnosti ali nepravilnosti sklepanja, pomagajo tudi razumeti, kakšna je povezava med jezikom, ki ga uporabljamo ljudje pri sporazumevanju (t. i. naravni jezik), in jezikom logike. Zato smo prepričani, da je Tarksijev svet pomembno orodje vsakega učenca in učitelja. Literatura [1] D. Barker-Plummer, J. Barwise in J. Etčhemendy, Tarski's World: Rewised and Expanded, Stanford: SCLI Publičations (2008). [2] D. Šuster, Simbolna logika, Knjižna zbirka Učbeniki, 2, Maribor, Pedagoška fakulteta (2000). _ XXX Križne vsote nU vU NU -> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne. 14 10 8 9 6 13 16 11 8 10 9 11 12 11 XXX Vabilo na MARS KAJ JE MARS IN KOMU JE NAMENJEN? MARS (ali Matematično Raziskovalno Srečanje) je raziskovalni tabor s področja matematike za sred-nješolče. Namenjen je dijakom, ki imajo veselje do raziskovanja in želijo preživeti teden dni v družbi vrstnikov iz vse Slovenije. Program je zastavljen poljudno, zato uspešnost na tekmovanjih iz znanj ni predpogoj. DATUM IN LOKACIJA MARS 2014 bo potekal v Fari ob Kolpi (občina Ko-stel), in sičer od nedelje, 17. avgusta, do sobote, 23. avgusta 2014. Udeleženči bodo bivali v Centru šolskih in obšolskih dejavnosti (CŠOD Fara, Fara 3, 1336 Kostel), ki nudi ustrezen prostor za delo in prijetno okoličo za rekreačijo in sprostitev. PRIJAVE IN CENA Dijaki za udeležbo prispevajo 170 EUR, kar vključuje bivanje in prehrano. Za prijavo pošljite svoje podatke (ime, naslov, telefon, šola in letnik v šolskem letu 2013/14) ter kratko motivačijsko pismo (največ 10 vrstič), zakaj si želite na MARS, na elektronski naslov mars@dmfa. si. »Na MARSu sem bila že trikrat in mi nikoli ni bilo žal. Mentorji in udeleženči so super, moj tip ljudi, najbolj zabavni ljudje, kar jih poznam. Vsako leto izvem ogromno novega in širim svoja obzorja. In to ne le v povezavi z matematiko.« (Živa, MARS 2013) NEKAJ O PROGRAMU Naše strokovne aktivnosti poudarjajo ustvarjalno raziskovanje matematičnih problemov in njihovega ozadja in ne reševanja tekmovalnih nalog. V Mali šoli matematično računalniške umetnosti se bomo spoznali z zanimivimi postopki za ustvarjanje likovnih umetnin, ki temeljijo na matematičnih in računalniških algoritmih. Niz delavnič bo vodil dr. Andrej Bauer, sičer izredni profesor na Fakulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani. Večerna MARSovska predavanja bodo pripravili matematiki z različnih slovenskih fakultet in raziskovalnih ustanov, ki bodo na poljuden način predstavili vlogo matematike v sodobnem svetu. Natan- -> »MARS je eden najboljših taborov, ki sem se jih udeležil do sedaj. Družba je bila super, voditelji izvrstni!« (Rafi, MARS 2013) cen seznam predavateljev bo objavljen naknadno. Dijaki vsako leto pripravijo tudi svoje MARSovske projekte. Delo poteka v manjših skupinah ob po-moci mentorjev, rezultate pa se predstavi na prireditvi ob zakljucku tabora. Teme projektov so prilagojene interesom in predznanju udeležencev. V ostalih MARSovskih delavnicah se bodo dijaki seznanili z razlicnimi matematicnimi zanimivostmi in racunalniškimi orodji, ki jih bodo lahko uporabili pri svojih projektih. Vodenim strokovnim aktivnostim namenimo 6-8 ur dnevno. Nekaj preostalega casa dijaki porabijo za samostojno delo na projektih, dovolj casa pa ostane tudi za sprostitev in razvedrilo v prijetni družbi MARSovcev. Organizirani družabni program bo tudi letos zabaven in izvirno MARSovski. Olimpijski vecer, športne in družabne igre (od Mafije do Katancev), Velika MARSovska pustolovšcina in razlicna presenecenja so že v pripravi. »MARS je enkratno doživetje. Teden pocitnic preživiš v družbi izjemnih ljudi in matematike. Na koncu se je vedno težko posloviti.« (Tjaša, MARS 2013) ORGANIZATOR PROGRAMA d MFA Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Jadranska 19, 1000 Ljubljana, www.dmfa. si. Spletna stran: mars . dmfa. si E-pošta: mars@dmfa.si Kdaj: 17.-23. avgust 2014. Kje: CŠOD Fara, Kostel. Kaj: Matematične delavniče, poljudna predavanja, dijaški projekti in družabni program. Kdo: Dijaki iz vse Slovenije. Prijave: Do 15. junija 2014 oziroma do zasedbe prostih mest. »Obstajajo torej tudi načini, ko je matematika lahko zabavna, čeprav si večina najbrž misli, da smo ubrisani, ker se prostovoljno udeležimo česa takega ...« (Urša, MARS 2008) »MARS je bil izjemno zanimivo popotovanje po različnih področjih matematike na način, ki znova prebudi veselje do matematičnega raziskovanja, ki ga v šolskih klopeh kar preveč zatirajo.« (Miha, MARS 2009 in 2010) »MARS je zakon. Tu sem preživela enega najlepših tednov počitnič! Marsovči so povsem običajni, a hkrati tudi zelo posebni primerki tega planeta, ki podnevi nabirajo novo znanje, ob večerih in ponoči pa se zabavajo s strateškimi igrami.« (Mateja, MARS 2013) XXX www.dmfa-zaloznistvo.si www.dmfa.si www.presek.si PRESEK 41 (2013/2014) 6 29 Astronomska literatura Ob mednarodnem letu astronomije 2009 smo na enem mestu zbrali vse publikačije s področja astronomije, ki so na voljo pri DMFA-založništvu. Dintinjana, Fabjan, Kostic, Mikuž, Zwitter, Žerjal NAŠE NEBO 2014 Astronomske efemeride 84 strani format 16 x 23 cm mehka vezava 10,00 EUR Poleg omenjenih dveh ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroČite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ast ro/ Individualni naročniki revije Presek, Člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroČilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. Pavla Ranzinger: PRESEKOVA ZVEZDNA KARTA 2000,0 format 54 x 58 cm plastificirana, zložena 4,00 EUR NAŠE NEB vU sU vU RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE PRESEK 41/5 Pravilna rešitev nagradne križanke iz pete številke 41. letnika Preseka je Krožna konstanta. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Matija Žerdin iz Maribora, Miha Ciglar iz Pe-trovč in Danica Gobec iz Celja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX Infrardeča sveteca dioda nU NU NU Aleš Mohoriš -> Na prvi pogled je videti tokratna naravoslovna fotografija povsem nezanimiva. Na fotografiji je daljinec, slikan s sprednje strani, ki jo obrnemo proti televizorju. Na fotografiji jasno vidimo lucko. Cesar na fotografiji ne opazimo pa je, da ta lucka utripa, ko pritisnemo enega od gumbov. Za vsak gumb je vzorec utripanja drugačen. Vendar tega ne moremo enostavno preveriti. Vzemimo v roke domaci daljinec, pritisnimo gumb in si oglejmo sprednjo stran. Ali vidimo prižgano lucko kot na fotografiji? Ne. V daljincih za upravljanje elektronskih naprav na daljavo uporabimo infrardeco sveteco diodo. Ta oddaja svetlobo v obmocju valovnih dolžin, ki jih z ocmi ne zaznamo. 400 600 800 1000 valovna dolžina [nm] SLIKA 2. S črno sta označeni spektralni občutljivosti očesa in tipala digitalnega fotoaparata, z rdečo pa spektralna gostota svetlobe, ki jo oddaja infrardeča dioda. SLIKA 1. Fotografija sprednje strani daljinca (foto: Aleš Mohoric) Slika 2 kaže spekter svetlobe infrardeče svetilke. Obsega območje od 900 nm do 1000 nm. Clove-ško oko je občutljivo le na območju od 400 nm do 700 nm in zato te svetlobe ne opazimo. Digitalni fotoaparati zaznavajo svetlobo s tipali, v katerih so polprevodniški detektorji svetlobe, fotodiode, ki so ob čutljivi v območju od 400 nm do 1100 nm. Zato s fotoaparatom lahko opazimo svetlobo infrardeče svetilke. Pred tipalo digitalnih fotoaparatov pogosto postavimo filter infrardeče svetlobe, zato da s fotografije odstranimo neželeno svetlobo. _ XXX www.dmfa.si www.presek.si Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru z vec kot 6 milijoni tekmovalcev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv. EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU 2002-2004 MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU ^-/V-TI -- 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižnici izšle že 4 knjige Matematicnega kenguruja. • Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo), • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. ■is ■i' ■i' Nagradna križanka DEL ŽITNE BILKE Z ZRNI NAŠ POKOJNI IGRALEC (LOJZE) REKA V SEVERNI ITALIJI FIZIK SAHAROV TRAVNIŠKA ZELIKA ENICA, DESETICA, » TISOČlCA GRAFIČNO OBLIKOVANJE MATEVŽ BOKAUč STANOVANJSKI PROSTOR PRIPOVEDNIK GOST, RAZKOHAN KOMPOT BRAZILSKI DRIKAČ (AYRTON) 12 STANJE UGODJA, OMAMA VAS NAD BAŠKO GRAPO KROGLICA ZA NAKIT, KISE NAREDI V ŠKOLJKI PODOBA GOLEGA TELESA URANOVA LUNA SKUPINA ČEBEL, KI Z MATICO ZAPUSTI PANJ AMERIŠKI IGRALEC (SYLVESTER) 0MFA MOČNO POŽELENJE NAŠ TELOVADEC (ALJAŽ) POLITIK SLOVENSKE POMLADI JAPONSKA ZNAMKA MOTORJEV SREDOZEM. RASTLINA Z BODIČASTIMI LISTI KALCU SLOVNIČNO ŠTEVILO HITER MELODIČNI OKRASEK TOK ALI ŠKATUCA ZA OČALA NAISVET-LEJŠA ZVEZDA OZVEZDJA DEVICA LEVIČAR ŽILA DOVODNICA PEVKA FALK NAME-NILNIK OZNAKA LITVE BRITANSKI ADMIRAL KERAMIČ. POSODA NEPRAVILNOST KAR JE POTREBNO UREDITI RAZLIČICA MORFEMA, ZAMENJAVA GLASU OZNAKA MAROKA BORIS KOBAL HINKQ NUČIČ KLADA ZA SEKANJE IGRALKA NEWTON JOHN 14 ANDREJ JEMEC PENTAN, HEPTAN, OKTAN ŽLAHTNA KAPLJICA RIMSKI BOG VINA IN VESELJA 18 15 SPOJ LESENIH DELOV LUNIN ALI SONČEV? KOLEKTIVNI UPRAVNI ORGAN MESTO V NOTRANJOSTI DALMACIJE SLANA STOJEČA VODA AVANS, NAPLAČILO ORODJE ZA ČIŠČENJE PLUGA ŠPACAPAN IZTOKA MLAKAMA RADUKA BAS RDEČI KRIZ ANGLEŠKI PLEMIČ KOSITER STANE UREK SLOVNIČNI ČAS, PREZENT 10 VOJNI ROMAN TONETA SVETINE V TREH KNJIGAH MALI FORDOV MODEL NAGRADNI RAZPIS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. avgusta 2014, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ XXX