MATEMATIKA
Formula Strassnitzkega
Marko Razpet
-» Računanje približkov števila n, to je razmerja med obsegom in premerom kroga, je dolga stoletja, od Arhimeda, ki je živel v 3. stoletju pred našim štetjem, pa do Isaaca Newtona (1643-1727), temeljilo na metodi krogu včrtanih in očrtanih pravilnih večkotnikov. Računanje na nekaj deset decimalk je bilo dolgotrajno in naporno. Poleg osnovnih štirih računskih operačij je bilo treba izračunati tudi veliko kvadratnih korenov.
Newton je bil eden prvih, ki so za računanje približkov števila n uporabljali številske vrste. Z njimi so dosegli v razmeroma kratkem času mnogo več pravilnih dečimalk kot s staro arhimedsko metodo. Newton in še nekateri so našli take formule, v katerih je še en kvadratni koren, drugi pa so našli take, kjer ni nobenega korena, ampak računanje poteka samo v okviru osnovnih štirih računskih operacij. Take možnosti ponuja funkcija arkus tangens (arctg) in njen
D
G /		
/ 1 / 1 / 1 / 1	E	
/ 1 / 1 / 1 —--""""""^ / a / 1		
i	r	r
H
SLIKA 1.
K izpeljavi formule (4)
razvoj v potenčno vrsto
X3 X5 x7 arctg x = x - — + —---— +
(1)
ki konvergira za |x| < 1, in sicer tem hitreje, cim manjši je Vrsto (1) so v Evropi poimenovali po Jamesu Gregoryju (1638-1675), znana pa je bila v Indiji že v 14. stoletju. Ker je (1) alternirajoca (izmenična) vrsta, lahko ocenimo razliko med vsoto vrste in njeno n-to delno vsoto:
arctg x -
i	3 .y 5	.y2W 1
- X- T + T + ••• + '-^Ž^T
x
2n+1
2n + 1
(2)
Izraz na desni strani relacije (2) omogoča oceniti, koliko členov vrste je treba sešteti, da dobimo arctg x s predpisano natancnostjo. Videti je, da bi približke števila n najlaže izracunali z vrsto
n	111
4 = arctg1 = 1 - 3 + 5 - 7 +...,
(3)
ki pa zelo pocasi konvergira. Samo za 10 decimalk števila n/4 bi morali sešteti zelo veliko clenov. Koliko? Z oceno (2) nastavimo za x = 1 neenacbo 1/(2n + 1) < 10-10, iz katere dobimo, daje n okroglo pet milijard. Zato je vrsta (3) za racunanje števila n neuporabna.
Matematiki pa so našli formule, s katerimi so veliko decimalk števila n kar hitro izracunali, ce so bili le dovolj potrpežljivi in se niso motili v racu-nih. Take pripravne formule vsebujejo dve, tri ali vec vrednosti funkcije arctg racionalnih števil. Ena najpreprostejših formul, ki jo pripisujejo Leonhardu Eu-lerju (1707-1783) in Charlesu Huttonu (1737-1823), je
n	11
— = arctg — + arctg 3.
(4)
10
PRESEK 44 (2016/2017)4
MATEMATIKA
Formulo (4) bomo izpeljali po geometrijski poti (slika 1). Do nje je mogoce priti tudi z uporabo enakosti, ki veljajo za funkcijo arctg.
Najprej nacrtamo pravokotni trikotnik ABC, ki ima daljšo kateto AB dolgo tri enote, krajšo BC pa eno enoto. Nato nacrtamo enakokraki pravokotni trikotnik AFD, katerega kateta AF je dolga dve enoti, oglišce F pa leži na kateti AB prvega trikotnika, druga kateta F D pa je nanjo pravokotna. Trikotnik ACD je pravokotni s pravim kotom ob oglišcu D. Da se o tem prepričamo, konstruiramo daljico CG, ki je vzporedna kateti AB. Krajišce G razpolavlja hipote-nuzo AD drugega pravokotnega trikotnika, tako da je |AG| = |GD| = |CD|. Kot GDC je pravi, ker ga razpolavlja daljica DF, ki ocitno oklepa z daljicama DC in DG kot n/4. Kot CAD oznacimo z a, kot BAC pa z f. Ker je a + f = n/4, tg a = 1/2 in tgf = 1/3 oziroma a = arctg(1/2) in f = arctg(1/3), res velja formula (4).
Leopold Karol Schulz pl. Strassnitzki (1803-1852) je našel formulo
n	111
— = arctg ^ + arctg 5 + arctg 8,
(5)
ki jo imenujejo po njem. Tudi do nje lahko pridemo po geometrijski poti (slika 2).
Nacrtamo pravokotni trikotnik ABC, ki ima daljšo kateto AB dolgo 24 enot, krajšo BC pa tri enote. Nato nacrtamo pravokotni trikotnik ADE, katerega daljša kateta AE meri 15 enot in leži na kateti AB prvega trikotnika, krajša pa je dolga tri enote. Oglišci C
in D sta na nasprotnih bregovih premice nosilke ka-tete AB. Nazadnje nacrtamo še pravokotni trikotnik AFG, katerega daljša kateta AF je dolga 16 enot in leži na kateti AB, oglišce G pa na hipotenuzi AC.
Trdimo, da je trikotnik ADG pravokotni s pravim kotom ob oglišcu D. Najprej je zaradi podobnosti trikotnikov ABC in AFG kateta FG dolga dve enoti. Poišcemo presecišce H vzporednice kateti AB skozi D in pravokotnice na to kateto skozi F. Ocitno je daljica DH dolga eno enoto, tako kot daljica EF. Po Pitagorovem izreku dobimo:
■ |AD|2 = 152 + 32 = 234, |DG|2 = 52 + 12 = 26,
| AG |2 = 162 + 22 = 260.
Ker je |AD|2 + |DG|2 = |AG|2, je trikotnik ADG res pravokotni. Kateti v njem pa sta v lepem razmerju: |DG|/|AD| = 1/3. Oznacimo z y kot DAE, z 5 pa kot BAC. Potem je ocitno kot DAG enak vsoti y + 5. Ker je tg(y + 5) = 1/3, tgy = 3/15 = 1/5 in tg5 = 3/24 = 1/8, velja y + 5 = arctg(1/3) = arctg(1/5) + arctg(1/8). Če to upoštevamo v formuli (4), dobimo formulo (5). Kot zanimivost pripomnimo, da so števila 2, 5 in 8, ki nastopajo v (5), Fibonaccijeva števila, kar ni zgolj slucaj.
S formulo (5) je Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861) v dveh mesecih izracunal približek števila n na tocnih 200 decimalk, kar je bila velika izboljšava približka Jurija Vege (1754-1802) iz leta 1794, ki je bil tocen na 136 decimalk. Formula (5) je ugodna za racunanje, ker deljenje z 2 ni težko,
SLIKA 2.
Kako do arctg(1/3)?

10	PRESEK 44 (2016/2017)4

MATEMATIKA
—^ deljenje s 5 pa je enakovredno množenju z 2 in nato deljenju z 10, kar tudi ni težko, deljenje z 8 pa je isto kot trikratno zapovrstno deljenje z 2. Dasejev izračun s komentarjem Strassnitzkega je bil objavljen leta 1844 v ugledni nemški matematični reviji Crel-les Journal. Revija izhaja še danes, le da pod drugim imenom: Journal für die reine und angewandte Mathematik - Revija za čisto in uporabno matematiko. Dase, ki ni bil posebno dober matematik, je slovel kot izvrsten računar na pamet, s čimer se je preživljal. Sodeloval je tudi z matematikoma Gaussom (1777-1855) in Jačobijem (1804-1851).
Strassnitzki, po rodu iz Krakova, je od leta 1827 do leta 1834 poučeval matematiko na ljubljanskem ličeju. Pot ga je zanesla v Ljubljano, ker bliže doma in Dunaja ni našel službe. Napisal je več matematičnih učbenikov, v Ljubljani je prirejal javna predavanja iz matematike in astronomije, ukvarjal pa se je tudi s kristalografijo. Odlično se je razumel z Matijo Copom (1797-1835), ki je takrat služboval na isti ustanovi. Strassnitzki je navdušil za študij matematike tudi Franča Močnika (1814-1892), matematičnega pedagoga, šolskega nadzornika in pisča številnih učbenikov za matematiko. Študent Strassnitzkega je bil tudi Mihael Peternel (1808-1884), duhovnik, profesor, naravosloveč, polihistor, politehnik in samouk, ki je na Močnikov predlog postal leta 1852 ravnatelj prve trirazredne ljubljanske realke. Do razpada Avstro-Ogrske monarhije je bil edini Sloveneč, ki je na tej šoli opravljal tako pomembno funkčijo.
Znane so podrobnosti, kako je Jurij Vega računal število n. Združeval je po dva in dva člena v vrsti (1), da je lahko računal samo s pozitivnimi členi. Ni pa znano, kako je računal Dase. Zagotovo je člene računal na malo več kot 200 dečimalk zaradi nujnega zapisa le končnega števila dečimalk, pri čemer nastane napaka na zadnjih dečimalkah v končnem rezultatu.
■ Preverite formuli (4) in (5) z uporabo enakosti
tg(u + v) =
tg u + tg v 1 - tg u tg v '
Z oceno (2) nastavite za vsak sumand v (5) neenakost za potrebnih 200 točnih decimalk. Ocenite, najmanj koliko členov je moral Dase v ta namen sešteti.
_ XXX
Kovinska razmerja
Marko Razpet
-> Obravnavali bomo kovinska razmerja, ki so po-splošitev dobro znanega zlatega razmerja. Pot, ki jo bomo ubrali, bo najprej vodila preko verižnih ulomkov, nato pa bomo podali še geometrijsko razlago. Da pa bomo za to imeli motiv, začnimo pri pisarniških listih, s katerimi imamo opravka skoraj vsak dan.
Pisarniški list papirja formata A4 je pravokotne oblike in ima to lastnost, da po prerezu po njegovi krajši srednjici dobimo dva lista, ki sta podobna začetnemu. Nova lista sta formata A5. Delitev lahko na ta način nadaljujemo in dobimo formate A6, A7 itd. Lahko pa gremo tudi v obratni smeri. Lahko rečemo, da je list formata A4 je nastal z opisano delitvijo lista formata A3, ta z delitvijo lista formata A2, ta z delitvijo lista formata A1. Ker se moramo nekje ustaviti, je začetni format A0 tisti, ki z opisano delitvijo da format A1. Pola papirja formata A0 pa je tako opredeljena, da meri ploščina izbrane strani 1 m2. Listi formata A so pripravni ravno zato, ker z razpo-lavljanjem dobimo spet liste formata A. Pri tem ne nastajajo nepotrebni odpadki. Pa tudi pakete, v katerih je po nekaj sto takih listov, lahko lepo zlagamo enega na drugega, ne da bi nastale med paketi velike špranje.
Kolikšne so straniče lista formata A0? Vsi listi formata A so pravokotne oblike. Ce ima A0 krajšo straničo dolžine a in daljšo straničo dolžine b, potem ima A1 krajšo straničo dolgo b/2, daljšo pa a. Ker si morata biti ustrezna pravokotnika podobna, velja: b/a = a/(b/2). Iz te relačije dobimo enačbo b2 = 2a2, kar pomeni b = aV2. Pri vseh formatih A je torej daljša straniča lista V2-krat daljša od krajše straniče. Pri formatu A0 pa je po opredelitvi ploščina p = ab = b2/V2 = 1 m2. Torej ima format A0
10
PRESEK 44 (2016/2017)4