i
i
“672-Rojko-Zmajeva” — 2010/5/4 — 14:12 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 11 (1983/1984)
Številka 4
Strani 161–163
Roman Rojko:
ZMAJEVA KRIVULJA
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/11/672-Rojko.pdf
c© 1984 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ZMAJEVA KRIVULJA
Vzemi mo v roke ozek papirnat trak i n ga začn i mo pregi bat i. Počnimo t o t ako-
l e : t rak prep ognimo čez pol ovi co, nat o še enkra t , pa še enkrat , nazadnje še
n - t i č. Potem pa te pregi be po vrs t i odpr imo , ta ko da bo trak t voril v vsa-
kem pregibu pravi kot . Trak (pr avzaprav njeg ov t lori s) je t ako dob il obliko
odpr t ega (nesk le nj enega) pravokotnega mn ogokotnika, ki nos i eks oti čno i me
zmajevo krivu~ja (n- t ega reda) . Traku seveda ne more mo v nedogled preg i bat i ,
cpi sana papirna metoda zato hi t ro odpove.
30ljša je geometrijska metoda. Na papi r narišimo dal j i co. Ta predstav lja
zmajevo kr ivulj o reda O (ničkrat prega nj en trak) . Nad njo nar i šemo enkrat
prelomljeno č rto - zmajevo krivuljo prvega reda .
51. 1
6 ~
/ -,
/ -, I 1
/ ,-, I I/ -, I I
/ -, I I/
O. 1. 2. 3.
Nad krivu ljo 1. reda narišemo nato kr iv luj o 2. reda , i n to takole: nad vsa-
ko dalj ico (stran i co mnogokotnik a) narišemo pre lomljeno črto (kate ti tri -
kotnika) , enkrat zgora j, d ru g i č spodaj. Na sploh l ahko narišemo nad vsako
zmajevo kr iv uljo njeno nas l edni co ta ko, da po vrs t i l omimo stranice , izme-
ni čno na eno in na dr ugo s tran.
Ogl ej mo si sedaj dvoj i ško met odo izdel ovanj a zmajevih kr iv ulj. Vzemimo kako
zmaj evo kri vul j o, j i s to pimo na gla vo in potu j mo po nj ej prot i repu . Sprot i
s i zapi sujemo pravokotne ovin ke, 1 naj predst avl j a levi, O pa desni ovi nek.
Tako l ahko vsako zma j evo kr iv uljo zapišemo v obli ki dvoji škega š t evi l a. Nas
seveda zani ma nasprotna smer: kako sestav i t i zapore dj e dvoj i ški h števi l, s
pomočjo katerega bomo lah ko pote m ri sali krivulje. To naredimo takole:
- prvo št evilo je 1 (kriv ul ja 1. re da),
- vsako nasledn je štev i lo dobimo i z prej šnjega tak ol e:
prejšnjemu št evi l u najprej dopi šemo 1,
nato pa mu dopi šemo še prejšnje št evi lo samo
s spremenjenim srednj i m bitom .
161
Prvi h nekaj zmaj evi h kriv ulj lahko zdaj zapišemo ta kol e :
1
110
1101100
1101 10011 100100
~a s je že , da opazimo nekatere la stnost i zaporedj a zmaj evi h kr ivul j . Vsaka
zmaj eva krivul ja na tan č no pokriv a svojo predhodni co (pr i vze l i smo seveda ,
da imajo vse krivulj e enako dol ge strani ce ) . š t evi l o kotov in dolžina kri -
vul j e pa z ras točim re dom zelo hi tro n a ra š č a t a . Zmajeva krivulja n- t ega re -
da i ma namreč
k
n
2 k + 1 ozi roma k
n- 1 n
kot ov, štev ilo s t ranic pa j e oč itno za eno v e č j e od štev i la kot ov:
s ~ k + 1
n n
(Pr i sklenjen ih mnogokot ni ki h je število strani c enako š t evi l u kotov.) Za r~
di omej enos t i člove ške pot rpežl j iv ost i bomo ri sanje zma jevih kr i vul j zaupa-
li računalni ku .
Program bo uporabljal tako imenovano "turtle" graf i ko (ž e l vj o graf i ko) , kar
bi verje tno najustre zneje prevedli z i zrazom polama gra f ika . Ra čunalnik i
nam reč poznajo dva način a uporabe grafičnega orodja. V pravokotni gra fiki
rišemo dalj ice tako, da v ukazu navedemo pravokotn i koordinat i obeh kra -
jišč, rec imo:
line(x1 ,y1 ,x2, y2)
Še bolj ob ičajna pa sta ukaza
move(.T ,y )
za premik (dvignjenega) peresa na točko (x ,y ) in
draw(x, y )
za r isanje dal jice od pre jšnje ga me sta pe resa do točke (x ,y). Na g ra f i č n em
zasl onu imamo namesto peresa "žarek" .
Polama grafika pa uporablja nami šl j en ris aln i s t roj (želv o) , ki potuje po
papi rj u, se obrača i n riše . Kr mt l trno ga tako, da mu posredujemo polarne ko-
162
51. 2
51. 3
r
51. 4
ordi nat e (kot i n r azdaljo) . Zna ~ i l na
ukaza sta
t urn(a) ,
kar pomeni: obrni se za kot a , in
draw( d) ,
kar pa pomeni: nari š i dal ji co z dol -
ži no d enot v smeri, kamor s i trenu -
tno obrnjen .
Zdaj pa že l ahko zapi šemo podprogram
za risanje zmajevih kr i vulj:
PROCEDURE zmaj ( r e d : INTEGER) ;
DEGIN
IF red O THEN dra w(d) ELSE
IF r ed> O
THEN
BEGIN
zma j (re d - 1) ;
turn(90) ;
zmaj i -red + 1)
END
ELSE
BEGIN
z ,"",j ( - red - 1 I s
turn ( -90 ) ;
zmaj (red + 1 )
END
Na za~ e tk u mo ramo iz brat i za~etek
kr iv ulje , dol ži no njene st ranice d
i n sam red kr ivulje . Na s l ikah 2., 3
i n 4 s i l ahko ogleda mo nekaj ra~ una l
nikovih i zdel kov.
Roman Roj ko
163