Lehrbuch der Aeonretrie für die oberen Classen der Mittelschulen. Von l)r. Franz Ritter von Moenik. KMimltzMaMgfte, i« iveftntlichen unveränderte Auflage, bearbeitet von I)r. Kronz Mallentin, Director der k. k. Staats-Nealschule im I. Wiener Gemeindebezirke. Mit 227 Holzschnitten im Text. Laut b. Ministerial-Erlass von: 4. April 1894, Z. 6380, zum Lehrgebrauche alt Mittelschulen mit deutscher Unterrichtssprache allgemein zugelassen. Preis geheftet 1 jt. 65 kr.; in Deinwondlmn- 1 fl 80 kr. Wien. Druck und Verlag von Carl Gervld's Sohn. 1894. Übersetzungsrecht Vorbehalten. j, ^) () O O 'Mb. Inhalt. Seite Einleitung. 1 Erster Therl. Wkanimetrie. Erster Abschnitt. Gerade Linien und Winkel. I. Die gerade Linie und die ebene Fläche. 4 II Strahlen und Strecken. 5 I11. Winkel. 6 IV. Parallele Linien. 8 V. Ubungssäke.14 Zweiter Abschnitt. Begrenzte ebene Gebilde. 1 Das Dreieck.14 1. Erklärungen und allgemeine Eigenschaften der Dreiecke.14 2. Congrucnz der Dreiecke.17 8. Übungssätze.22 II. Aas Uirrrck.23 1. Erklärungen und Lehrsätze.23 2. Übungssätze.29 III. Das Vieleck.29 1. Erklärungen und Lehrsätze.29 2. Reguläre Polygone.31 IV. Der Kreis.32 1. Allgemeines über den Kreis.32 2. Die Geraden und die Winkel am Kreise.33 3. Dem Kreise ein- und umgeschriebene Vielecke.37 4. Lage zweier Kreise gegen einander.39 5. Übungssätze.41 V. Canstrnrtionsanfgakcn. 42 1. Fundamcntal-Aufgaben.43 2. Methode der geometrischen Örter.47 3. Methode der Hilfsfiguren.50 4. Übungsaufgaben . ..52 IV Dritter Abschnitt. S-«- Proportionalität der Strecken und Ähnlichkeit der ebenen Gebilde. I. Geometrische Verhältnisse und Proportionen.58 II. Proportionalität der Strecken.59 III. Harmonische Thrilung der Strecken.62 IV. Ähnlichkeit der rlienen Gebilde.63 V. Anwendungen der Ahnlichkritssähe ans den Kreis.68 VI. Construetionsaufgaben.74 Methode der ähnlichen Figuren.76 VII. Übnngssätze und Übungsaufgaben.81 Vierter Abschnitt. Flächeninhalt der geradlinigen ebenen Gebilde. I. Flächengleichheit.84 II. Ftächrnverhältnissr.86 III. Bestimmung des Flächeninhaltes.88 IV. Constrnetions- und Nech nnn gsonfgoben.89 V. Übnngssükr nnd Übungsaufgaben.92 Fünfter Abschnitt. Maßbestimmungen am Kreise. I. Berechnung der Sehnen- und Tangentrnnietrcke.96 II. Bestimmung der Peripherie und des Flächeninhaltes eines Kreises . 98 III Bestimmung der Kreisbogen und Kreissektoren.101 IV. Übungsaufgaben.103 Anhang Air Planimetrie. Lötung von Construetionsaufgaben nach der Methode der algebraischen Analysis.105 Zweiter Theil. Stereometrie. Erster Abschnitt. Gerade Linien und Ebenen im Raume. I. Lage der Geraden gegen eine Ebene.113 II. Lage der Ebenen gegen einander.118 III. Körperliche Ecken.121 IV. Aufgaben - -.127 V. Übungssübe und Übungsaufgaben.128 Zweiter Abschnitt. Bon den Körpern im allgemeinen. I. Ebenstächige Körper.129 1. Die Pyramide.129 2. Das Prisma nnd das Prismatoid.131 3. Polyeder überhaupt and die regulären insbesondere.133 v Seite II. Krummflächigc Körper.136 1. Der Kegel. 137 2. Der Cylinder.138 3. Die Kugel.HO III. Aufgaben.-.11? IV. Übungssützr und Übungsaufgaben.113 Dritter Abschnitt. Congruenz, Symmetrie und Ähnlichkeit der Körper. I. Congruen; und Symmetrie der Körper.H9 II. Ähnlichkeit der Körper. . 151 Werter Abschnitt. Größenbestimmung der Körper. I. Ausmessung rbenflächigrr Körper.l"l 1. Das Prisma.134 2. Die Pyramide und das Prismatoid.138 3. Regulare Polyeder.132 II Ausmessung krnmmflüchigcr Körper.132 1. Der Kegel.132 2. Der Cylinder.134 3. Rotationsflächen und Rotationskörper.133 4. Die Kugel.133 III Übungsaufgaben ..173 Dritter Theil. Krigonometrie. Erster Abschnitt. Goniometrie. I Erktürung und Darstellung der Minketfunrtionen.179 II. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Lrsfetben Winkels - . 185 III Beziehungen zwischen den Funktionen von einander abhängiger Winket.186 IV. Funktionen zusammengesetzter Winket.188 V. Berechnung der Winkelfunktionen.191 VI. Coniomrtrische Gleichungen.192 VII. Übungsaufgaben.194 Iweiter Abschnitt. Ebene Trigonometrie. I. Auflösung der ebenen Dreiecke.196 1. Rechtwinklige Dreiecke.197 2. Gleichschenklige Dreiecke.198 3. Dreiecke überhaupt.198 4. Übungsaufgaben.204 II. Anwendung der ebenen Trigonometrie.206 VI Dritter Abschnitt. Sphärische Trigonometrie. Seite I. Auflösung der sphärischen Dreiecke..220 1. Rechtwinklige sphärische Dreiecke.220 2. Schiefwinklige sphärische Dreiecke.223 3. Bestimmung des Flächeninhaltes eines sphärischen Dreieckes.230 4. Übungsaufgaben.231 II. Anwendung der sphärischen Trigonometrie.232 Vierter Thert. Analytische Geometrie. I Per Punkt.239 Transformation der Coordinaten.243 Aufgaben.244 II Gleichungen Zwischen Zwei Variablen und ihre geometrischen Orter . 244 III Pie gerade Linie.248 Zwei Gerade. . 253 Aufgaben.257 IV. Pie Kreislinie.258 Aufgaben. 261 V. Die Ellipse.263 Aufgaben.266 VI. Iie Hyperbel.266 Aufgaben.269 VII Air Parabel.270 Aufgaben.272 VIII. Tangenten und Uormaten der krummen Linien.273 1. Ellipse und Kreis.275 2. Hyperbel.277 3. Parabel.278 Aufgaben.279 IX. Allgemeine Untersuchung der Linien Zweiten Grades.283 Aufgaben.289 Einkeilung Z. 1. ^Lin von allen Seiten begrenzter Raum wird ein Körper genannt. Die Grenze eines Körpers nennt inan dessen Oberfläche, und jeden Theil derselben eine Fläche. Die Grenze einer Fläche nennt man deren Umfang, und jeden Theil desselben eine Linie. Die Grenzen einer Linie nennt man Punkte. Punkte, Linien, Flächen und Körper heißen Raumgebilde. Die Raumgebilde können durch Bewegung erzeugt werden. Bewegt sich ein Punkt, so ist der von ihm zurückgelcgte Weg eine Linie. Bewegt sich eine Linie, so ist der von ihr zurückgelegte Weg eine Fläche oder wieder eine Linie. Durch die Bewegung einer Fläche wird ein Körper oder wieder eine Fläche, durch die Bewegung eines Körpers wieder ein Körper erzeugt. Ein Körper hat drei Ausdehnungen (Dimensionen): Länge, Breite und Höhe. Eine Fläche hat zwei Ausdehnungen: Länge und Breite. Eine Linie hat nur eine Ausdehnung: die Länge. Ein Punkt hat keine Aus¬ dehnung. Z. 2. Durch die Begrenzung der Ausdehnungen erhalten die Raum¬ gebilde die Eigenschaft der Größe. Körper, begrenzte Flächen und begrenzte Linien werden daher auch Raumgrößen genannt. Die Bestimmung der Größe (Quantität) eines begrenzten Raumgebildes geschieht durch das Messen. Ein Raumgebilde messen heißt, eine Zahl finden, welche angibt, wie viclmal ein als Einheit angenommenes Raumgebilde der¬ selben Art in dem gegebenen enthalten ist. Diese Zahl heißt die M aß z a hl des Raumgcbildes. Die Größe einer begrenzten Linie heißt deren Länge, die Größe einer begrenzten Fläche deren Flächeninhalt, die Größe eines Körpers dessen Cubikinhalt oder Volumen. Z. 3. Außer der Größe kommt an den begrenzten Raumgebilden auch die Gestalt, d. i. die Art der Vereinigung der einzelnen Theile zu einem Ganzen, in Betrachtung. Moinik, Geometrie. 1 2 Zwei Ranmgebilde können dieselbe Größe haben, aber in der Gestalt verschieden sein; ebenso können zwei Raumgebilde dieselbe Gestalt und ver¬ schiedene Größe haben. Raumgebilde, welche dieselbe Größe haben, heißen gleich; Raumgebilde, welche dieselbe Gestalt haben, heißen ähnlich; Raum¬ gebilde, welche dieselbe Größe und dieselbe Gestalt haben, nennt man con- gruent. Eongruente Ranmgebilde unterscheiden sich nur durch den Ort, an dem sie sich befinden; sie können so ineinander gelegt werden, dass sie sich decken. Umgekehrt: Können zwei Ranmgebilde zur Deckung gebracht werden, so sind sie congruent. Die Gleichheit zweier Raumgcbilde wird durch das Zeichen —, die Ähn¬ lichkeit durch c-o, und die Congrnenz durch M ausgedrückt. Z. 4. Die Wissenschaft von den Raumgebilden heißt Geometrie. Die Geometrie behandelt ihre Lehren nach der mathematischen Methode auf dem Gruude von Erklärungen, Grundsätzen und Forderungssätzen in Lehrsätzen, die bewiesen, in Ausgaben, die gelöst, und in Zu- und Folge¬ sätzen, die jenen angeschlossen werden. ß. 5. Eine Erklärung oder Definition ist die Angabe der wesent¬ lichen Merkmale eines Begriffes. Grundsätze oder Axiome sind Sätze, die man unmittelbar als wahr erkennt, die daher nicht bewiesen zu werden brauchen, aber auch nicht bewiesen werden können. Solche Sätze sind für den Aufbau der mathematischen Wissen¬ schaften unentbehrlich. Die allgemeinen mathematischen Grundsätze: 1. jede Größe ist sich selbst gleich; 2. Größen, die einander gleich sind, können für einander gesetzt werden; 3. sind zwei Größen einer dritten gleich, so sind sie auch unter einander gleich; 4. jede Größe ist gleich der Summe ihrer Theilc und größer als nur einige derselben; bewerben mit gleichen Größen gleiche Veränderungen vorgenommen, so erhält man wieder gleiche Größen; haben auch in der Geometrie ihre Geltung. Ein Lehrsatz (Theorem) ist ein Satz, dessen Wahrheit erst aus anderen schon als wahr erkannten Sätzen durch Zergliederung und Zusammensetzung der Begriffe (logische Schlussfolgerung) abgeleitet werden muss. Eilt geometri¬ scher Lehrsatz ist gewöhnlich so gefasst, dass ein Bedingungssatz mit einem Hauptsatze verbuuden ist. Der Bediugungssatz enthält die Boraussetzung (Hypothesis), welche den Gegenstand angibt, von dem, und die Bedingungen, unter denen vom Gegenstände im Lehrsätze etwas ausgesagt wird. Der Haupt¬ satz enthält die Behauptung (Thesis) und spricht die zu beweisende Wahrheit aus. Häufig liegt die Voraussetzung auch in der vorangegangenen Erklärung eines im Lehrsätze gebrauchten Wortes. Jeder Lehrsatz bedarf eines Beweises, d. i. der Darlegung, dass die Wahrheit des Satzes eine nothwendige Folge der Axiome oder anderer bereits als richtig erkannter Sätze ist. Der Beweis ist entweder direct oder indirect. Bei dem directen Beweise wird die im 3 Lehrsätze aufgestellte Behauptung als Folgerung aus der Voraussetzung und aus schon anerkannten Sätzen durch eine Reihe von Schlüssen abgeleitet; bei dem indirecten Beweise aber wird auf die Wahrheit einer Behauptung ge¬ schlossen, indem man nachweist, dass die Annahme der entgegengesetzten Be¬ hauptung zu Folgerungen führen würde, welche mit schon als wahr erkannten Sätzen im Widerspruche stehen. Unter der Umkehrung eines Lehrsatzes versteht man einen Satz, welcher die Voraussetzung des ersten oder einen Theil derselben als Behauptung, und die Behauptung des ersten oder einen Theil derselben als Voraussetzung ent¬ hält. Die Umkehrung eines richtigen Satzes ist nicht nothwendig wieder richtig, sie bedarf daher eines besonderen Beweises. Folgesätze sind Sätze, welche aus einem vorhergehenden Satze un¬ mittelbar oder durch einfache Schlüsse abgeleitet werden können. Ein Zusatz ist ein Satz, durch welchen die Aussage eines vorhergehenden Satzes erweitert oder näher bestimmt wird. Z. 6. Eine Aufgabe ist die Forderung, etwas herzustellcn, das gegebenen Bedingungen genügt. Jede Aufgabe erfordert eine Auflösung. Die Aufgaben der Geometrie sind entweder C o n str u c t i o n s- oder Rechnungsaufgaben; erstere verlangen die Herstellung eines geometrischen Gebildes, letztere haben die Berechnung von Raumgrößen mit Hilfe der Zahl zum Gegenstände. i* Erster Theil. A L' a n i m e t r i e. Erster Abschnitt. Gerade Linien und Winkel. I. Ire gerade Lime und die ebene Akäche. Z. 7. Die einfachste Linie ist die gerade Linie, auch bloß Gerade. Die gerade Linie lässt sich nicht definieren, ihre Vorstellung muss als elementar vorausgesetzt werden. Eine Linie, welche nicht gerade, aber aus geraden Linien zusammengesetzt ist, wird eine gebrochene Linie genannt. Eine Linie, von der kein Theil gerade ist, heißt krumm. Grundsatz. Durch zwei Punkte kann nur eine Gerade ge¬ zogen werden. Folgesätze, a) Die Lage einer Geraden ist durch zwei Punkte bestimmt. d) Zwei von einander verschiedene Gerade können nur einen gemein¬ samen Punkt haben. Man sagt, sie schneiden sich in diesem Punkte und nennt diesen gemeinsamen Punkt ihren Schnittpunkt. tz. 8. Die einfachste Fläche ist die ebene Fläche, auch bloß Ebene. Sie ist, so wie die gerade Linie, eine Grnndvorstellung und daher keiner strengen Erklärung fähig. Eine Fläche, von der kein Theil eben ist, heißt krumm. Grundsatz. Jede Gerade, welche mit einer Ebene zwei Punkte gemeinsam hat, liegt ganz in derselben. Durch drei nicht in einer Geraden liegende Punkte kann nur eine Ebene gelegt werden. Denn zieht man durch zwei dieser Punkte eine Gerade und dreht eine Ebene, welche jene zwei Punkte, also auch die durch dieselben gezogene Gerade, in sich enthält, um diese Gerade (wie um eine feste Achse) so lange, bis sie auch durch den dritten Punkt geht, so kann die Ebene weiter keine andere Lage einnehmen, ohne diesen Punkt zu verlassen. Folgesatz. Die Lage einer Ebene im Raume ist bestimmt: a) durch drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen; l>) durch eine Gerade und einen Punkt außerhalb derselben; o) durch zwei sich schneidende Gerade. 5 Z. 9. Jener Theil der Geometrie, welcher von den Raumgebilden handelt, die in einer und derselben Ebene liegen, heißt Planimetrie. Raumgebilde, welche nicht als in einer einzigen Ebene liegend gedacht werden können, bilden den Gegenstand der Stereometrie. H. Strahlen und Strecken. K. 10. Eine unbegrenzte Gerade wird durch jeden ihrer Punkte in zwei halbbegrenzte Gerade getheilt, welche auf beiden Seiten des gemeinsamen Grenzpunktes liegen und von diesem aus entgegengesetzte Richtungen haben. Jede durch einen Punkt halbbegrenzte Gerade wird ein Strahl genannt. Bon den beiden Strahlen, in welche eine unbegrenzte Gerade durch einen Punkt getheilt wird, heißt jeder die Ergänzung des andern. Eine durch zwei Punkte begrenzte Gerade heißt eine Strecke; die beiden Grenzpunkte heißen ihre Endpunkte. Die Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt die Entfernung oder den Abstand derselben. Ein Strahl wird durch den Grenzpunkt und einen zweiten in ihm liegenden Punkt, eine Strecke durch ihre Endpunkte bezeichnet. Eine Strecke ^8 kann von einem sich bewegenden Punkte auf zwei Arten beschrieben werden, entweder in der Richtung von nach 8, oder in der entgegengesetzten Richtung von 8 nach Wird auf diesen Gegensatz der Richtungen Rücksicht genommen, so nennt man ^.8 die Strecke, welche der Punkt in seiner Bewegung von nach 8, und 8^ die Strecke, welche er in seiner Bewegung von 8 nach I. zurücklegt, und nimmt die eine dieser Strecken als positiv, die andere ihr entgegengesetzte als negativ an. Hiernach ist ^8 — — 8^. Gewöhnlich wird auf diesen Gegensatz der Richtungen nicht Rücksicht ge¬ nommen und nur die absolute Länge der Strecken in Betracht gezogen. Z. 11. Legt man zwei Strecken so auf einander, dass ein Paar Endpunkte und die Richtungen zusammenfallen, so sind die Strecken gleich, wenn auch die anderen zwei Endpunkte zusammenfallen, und ungleich, wenn die anderen End¬ punkte nicht zusammenfallcn. Im zweiten Falle ist jene Strecke die kleinere, deren zweiter Endpunkt zwischen den Endpunkten der andern Strecke liegt. Verlängert man eine Strecke ^8 (Fig. 1) über 8 hinaus bis 0, so heißt die erhaltene Strecke ^.0 die Summe der <-, Strecken ^8 und 80, und umgekehrt die Strecke -^6 ^8 die Differenz der Strecken ^.0 und 80. 8- 12. Um eine gegebene Strecke zu messeu, untersucht man, wie viel- mnl eine andere als Einheit angenommene Strecke in derselben enthalten ist. Als Einheit des Längenmaßes nimmt man das Meter an. Ein Meter (m) wird in 10 Decimeter (tim) ä 10 Centimeter (cm) ä 10 Millimeter (mm) ein- getheilt. 1000 Meter sind ein Kilometer (km), 10.000 Meter sind ein Myriameter (M?). 6 III. Winkel. A. 13. Gehen in einer Ebene von einem Punkte zwei Strahlen aus, so heißt die Größe der Drehung, welche der eine Strahl in dieser Ebene um den genieinsamen Punkt machen muss, um in die Richtung des zweiten Strahles zu gelangen, der Winkel der beiden Strahlen. Die zwei Strahlen, welche den Winkel bilden, heißen die Schenkel; der gemeinsame Punkt heißt der Scheitel des Winkels. Die zwischen den Schenkeln liegende ebene Fläche, in welcher die Drehung als vollbracht betrachtet wird, heißt die Winkelfläche. Einen Winkel bezeichnet man entweder durch drei Buchstaben, von denen einer am Scheitel und zwei an den Schenkeln stehen und der am Scheitel stehende immer in die Mitte gesetzt wird, oder durch einen zwischen die Schenkel in der Nähe des Scheitels gesetzten Buchstaben, oder auch durch den Buchstaben am Scheitel allein, wenn dieser Scheitel nur einem einzigen Winkel angchört. 2. Ein Winkel ^08 (Fig. 2) kann von einem Strahle, Z welcher sich um 0 dreht, auf zwei Arten beschrieben werden, entweder durch die Drehung aus der Richtung 0L. in die Richtung 08, oder durch die entgegengesetzte Drehung von V' -—OB nach 0^.. Wird auf diesen Gegensatz der Drehungs¬ richtungen Rücksicht genommen, so nennt man ^08 den Winkel, welchen der Strahl in seiner Drehung von O^. nach 08, und 80^ den Winkel, welchen er in seiner Drehung von 08 nach 0^. beschreibt, und nimmt den einen dieser Winkel als positiv, den andern als negativ an. Hiernach ist ^.08 — — 80L. Meistens nimmt man auf diesen Gegensatz der Drehungsrichtungen keine Rücksicht und betrachtet den Winkel nur als die absolute Größe der zu dessen Entstehung erforderlichen Drehung. ß. 14. Legt man zwei Winkel so auf einander, dass die Scheitel, ein Paar Schenkel und die Drehungsrichtungen zusammenfalleu, so sind die Winkel gleich, wenn auch die anderen zwei Schenkel zusammenfallen, und ungleich, wenn die anderen Schenkel nicht zusammenfallen. Im zweiten Falle ist jener Winkel der kleinere, dessen zweiter Schenkel zwischen die Schenkel des andern Winkels fällt. Fig- 3. ein Strahl 0^ (Fig. 3) in einer Ebene um den Punkt 0 so gedreht, dass er zuerst in die Richtung 08 und / von da durch weitere Drehung in die Richtung 00 gelangt, so heißt der durch die ganze Drehung entstandene Winkel -^00 die Summe der Winkel L.08 und 800, und umgekehrt der Winkel L08 die Differenz der Winkel L.00 und 800. Z. 15. Dreht sich ein Strahl um seinen Grenzpunkt in einer Ebene herum, so bildet er nach und nach mit seiner anfänglichen Richtung alle um jenen Punkt möglichen Winkel. 7 Dreht sich der bewegliche Strahl so weit, bis er wieder in seine ursprüng¬ liche Richtung zurückgekehrt ist, so hat er eine Umdrehung gemacht. Der Winkel, welcher durch eine ganze Umdrehung entsteht, heißt ein voller Winkel; seine beiden Schenkel fallen zusammen. Alle vollen Winkel sind einander gleich. Kommt der bewegliche Strahl OL (Fig. 4) in die Richtung OK, welche seiner anfänglichen Richtung entgegengesetzt ist, so hat er eine halbe Umdrehung gemacht. Denn die Größe der Drehung, durch die OL in die entgegengesetzte Richtung OK hinübergeführt wird, ist offenbar gleich der Größe der Drehung durch welche OK bei weiterer Fortsetzung jener Drehung wieder in die ursprüng¬ liche Lage OL zurückgeführt wird. Fig- 4. Ein Winkel LOL, welcher durch die halbe Um- 0 drehung des beweglichen Strahles entsteht, heißt ein gestreckter Winkel; seine Schenkel liegen aufentgegen- gesetzten Seiten des Scheitels in einer Geraden. Ein F-gestreckter Winkel ist die Hälfte eines vollen Winkels. V/" Alle gestreckten Winkel sind einander gleich. Ein Winkel LOO, der kleiner als ein gestreckter - ist, heißt ein hohler; ein Winkel LOO, der größer als ein gestreckter ist, ein erhabener Winkel. Jedem hohlen Winkel zweier Strahlen entspricht immer auch ein erhabener Winkel derselben; wenn jedoch nicht ausdrücklich anders bestimmt wird, ist stets der hohle Winkel zn verstehen. Z. 16. Ein Winkel LOK (Fig. 5), welcher die Hälfte eines gestreckten Winkels ist, heißt ein rechter Winkel; zu seiner Entstehung wird der vierte Thcil einer Umdrehung erfordert. Alle rechten Winkel sind einander gleich. Der rechte Winkel wird mit dem Buchstaben k bezeichnet. Fig. 5. Ein gestreckter Winkel ist gleich zwei Rechten; ein Z „ voller Winkel ist gleich vier Rechten. / Ein Winkel LOO, welcher kleiner als ein rechter —/ ist, heißt ein spitzer; ein Winkel LOO, welcher größer als ein rechter, aber kleiner als ein gestreckter ist, ein 0 stumpfer Winkel. Spitze und stumpfe Winkel heißen mit einem gemeinsamen Namen schiefe Winkel. Zwei Winkel, deren Summe einen Rechten beträgt, heißen Complement- winkel; zwei Winkel, deren Summe zwei Rechte beträgt, heißen Supplement¬ winkel. Ansatz. Wird der bewegliche Strahl nach einer vollen Umdrehung noch weiter gedreht, so kommt er nach und nach wiederholt in die Richtungen, die er schon während der ersten Umdrehung hatte. Die Winkel, die dadurch erzeugt werden, sind gleich-so viclmal vier Rechten, als volle Umdrehungen 8 stattsanden, vermehrt um die Winkel, welche der Strahl mit seiner anfäng¬ lichen Richtung bei der ersten Umdrehung gebildet hat. Z. 17. Zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinsamen Schenkel haben und in derselben Ebene auf entgegengesetzten Seiten dieses Schenkels liegen, heißen anstoßende Winkel. Zwei anstoßende Winkel, bereit nicht gemeinsame Schenkel nach entgegen- gegesetzten Richtungen in einer Geraden liegen, heißen Nebenwinkel. Lehrsatz. Die Summe zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Rechten. Denn sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel — ä ist. Folgesatz. Ist von den Winkeln, welche zwei sich schneidende Gerade mit einander bilden, einer ein rechter, so sind es auch die anderen; ist einer von jenen Winkeln ein schiefer, so sind es auch die anderen. 8. 19. Zwei sich schneidende Gerade heißen zu einander normal (senk¬ recht), wenn sie mit einander rechte Winkel, und schief, wenn sie mit ein¬ ander schiefe Winkel bilden. Dass Ov zu normal ist, wird angezeigt: Z. 20. Um die Winkel zu messen, untersucht man, wie vielmal ein als Einheit angenommener Winkel in dem gegebenen Winkel enthalten ist. Als Einheit des Winkelmaßes wird ein Grad (°), d. i. der 360stc Thcil eines vollen Winkels, angenommen. Einen Grad theilt man in 60 Mlinuten 0, eine Minute in 60 Sccundcn ("). IV. Warasseke Linien. Z. 21. Eine Gerade Illi' (Fig. 7), welche zwei oder mehrere gerade Linien schneidet, wird eine Transversale dieser Geraden genannt. Lehrsatz Fig. 6. 9 Werden zwei Gerade ^k und 61) von einer dritten Liß' geschnitten, so entstehen an beiden Schnittpunkten acht Winkel. Fig- 7. Die Winkel a, ä, an, u, welche zwischen den geschnit- tenen Geraden liegen, heißen innere; die Winkel a, la, o, p dagegen äußere Winkel. Ein äußerer und ein innerer Winkel auf derselben Seite der Transversale und an verschiedenen Scheiteln heißen Gegenwinkel; wie a und m, 1 und n, o und o, ä und p. Zwei äußere oder zwei innere Winkel auf den ent¬ gegengesetzten Seiten der Transversale und an verschiedenen Scheiteln werden Wechselwinkel genannt; wie a und p, id und o, o und n, ä und in. Zwei äußere oder zwei innere Winkel auf derselben Seite der Trans¬ versale und an verschiedenen Scheiteln heißen Anwinkel; wie a und o, l> und p, o und in, ä und n. ß. 22. Fehr sähe. 1. Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass irgend zwei Gegenwinkel gleich sind, so sind a) auch je zwei andere Gegenwinkel gleich, la) je zwei Wechselwinkel gleich, und o) je zwei Anwinkcl Supplementwinkel (Fig. 8). Voranss. s, — in. Erste Behaupt, la — n, e — o, ä — p. Fig. 8. Beweis, a -s- la — 2K und na -s- n — 2K (K. 17), /F folglich s. -s- b — in -s- n; aber a — na nach der Vor- aussetzung, daher auch 1 — n. Ebenso wird bewiesen, dass o — . Zweite Behaupt, a — p, la — o, o — n, ä — na. / Beweis. Nach der Voraussetzung ist a — na, aber i in — p (tz. 18), folglich auch a — p. Ebenso zeigt man, dass la — o, n — n, ä — na ist. Dritte Behaupt, a-j-o — 2K, la-s-p —2K, o-s-na — 2R, ä-s-n — 2K. Beweis, g,-j- o — 2 k (tz. 17), o — o nach der schon bewiesenen ersten Behauptung; folglich auch a -s- o — 2K. Ebenso zeigt man, dass la-s-x — 2K, e-s-na — 2K und ä -s- n — 2K isl 2. Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass irgend zwei Wechselwinkel gleich sind, so sind a) auch je Zwei andere Wechselwinkel gleich, la) je zwei Gegenwinkel gleich, und o) je zwei AnwinkelSupplementwinkel. 10 Beweis. Es sei e — n. Da o — 1> als Scheitelwinkel, so ist auch d — n. Sind aber zwei Gegenwinkel gleich, so müssen (nach 1.) auch alle übrigen in dem Lehrsätze enthaltenen Behauptungen als bewiesen angesehen werden. 3. Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass irgend zwei Anwinkel Supplementwinkel sind, so sind auch a) je zwei andere Anwinkel Supplementwinkel, b) je zwei Gegen¬ winkel gleich, und o) je zwei Wechselwinkel gleich. Beweis. Es sei a -st o — 2K. Da auch a -st e — 2K, so muss a -st o — n -st o, daher e — o seiu. Sind aber zwei Gegenwinkel gleich, so treffen (nach 1.) auch alle übrigen Behauptungen zu. Folgesatz. Aus den voranstehendeu drei Sätzen lässt sich indirect folgern: Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass entweder zwei Gegenwinkel oder zwei Wechselwiukcl nicht gleich, oder zwei Anwiukel nicht Supplementwinkel sind, so sind je zwei Gegenwinkel und je zwei Wechselwinkel nicht gleich, und je zwei Anwinkel nicht Supplementwinkel. ß. 23. Zwei Gerade, welche in derselben Ebene liegen und, so weit sie auch verlängert werden, in keinem Punkte Zusammentreffen, heißen einander parallel. Um zu bezeichnen, dass zwei Gerade F8 und 6V parallel sind, schreibt man Fk Ov. Grundsatz. Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden kann zu dieser nur eine Parallele gezogen werden. Folgesätze, u) Sind zwei gerade Linien einer und derselben dritten parallel, so sind sie auch unter einander parallel. Ist (Fig. 9) Fk h Nk und 6V ü NH, so ist auch Fk Ov. Fig. 9. Denn wäre die Gerade Fk nicht parallel zu Ov, so müsste sie hinreichend verlängert 6 V in einem Punkte §-schneiden; dann gäbe es aber durch diesen Schnittpunkt DI-Dr zwei Parallele zu Llk, was nach dem obigen Grundsätze nicht möglich ist. d) Eine Gerade Fk (Fig. 10), welche eine von zwei Parallelen, Fig. io. Fk, schneidet, muss bei gehöriger Verlängerung auch die andere 6O schneiden. Denn schnitte sie diese nicht, so wäre sie ihr parallel; " dann gäbe es aber durch den Punkt F zwei Parallele zu 6V, was dem obigen Grundsätze widerspricht. o) Eine Ebene ist durch zwei parallele Gerade bestimmt. (Vergleiche tz. 8, Folges.) Z. 24. Lehrsätze. 1. Werden zwei Gerade von einer T r a n s v e r s a l e so ge¬ schnitten, dass entweder zwei Wechselwinkel oder zwei Gegen- II Winkel gleich, oder zwei Anwinkel Supplementwinkel sind, so sind die geschnittenen Geraden parallel (Fig. II). Fig. 11. Beweis. Es schneide die Gerade LI? die beiden Ge- Z raden L.8 und 01) so, dass v — n ist. Da dann auch ä — m „ sein muss, so kann man den auf der einen Seite von 88 zwischen 80, OH und 88 liegenden Theil der Ebene LOW "rs w durch Drehung so in den auf der andern Seite liegenden z Theil 086H bringen, dass die Strecke OH auf 80 und die Strahlen 08 und 8V bezüglich in die Richtungen 80 und O^ fallen, dass sich also die beiden Theile der Ebene decken. Die Ge¬ raden L.L und 08 bilden demnach mit der 08 zu beiden Seiten der letzteren dasselbe geometrische Gebilde; hätten sie daher einen Punkt auf der einen Seite der 08 gemeinsam, so müssten sie auch auf der ander» Seite einen solchen gemeinsam haben, also sich in zwei Punkten schneiden, was unmöglich ist (Z. 7, K). Die Geraden ^8 und 08 sind also parallel. Da (tz. 22) zwei Wechselwinkel auch gleich sind, wenn zwei Gegenwinkel einander gleich, oder wenn zwei Anwinkel Supplementwinkel sind, so ist der obige Lehrsatz vollständig bewiesen. 2. (Umkehrung des Lehrsatzes I). Werden zwei parallele Gerade von einer Transversale geschnitten, so sind a) je zwei Wechsel¬ winkel gleich, li) je zwei Gegenwinkel gleich, und o) je zwei An¬ winkel Supplementwinkel (Fig. 12). Man braucht hier nur zu zeigen, dass unter der gegebenen Boraussetzung zwei Wechselwinkel gleich sind, indem dann nach Z. 22, 2 auch die übrigen Behauptungen zutreffen. Ng. 12. Vorauss. ^8 ü 08. Behaupt. W. 808 080. , / Beweis. Wäre 808 nicht — 080, so müsste -- 8 O 8 > 0 8 O, oder 8 O 8 < 0 8 O sein. Wäre / 808 > 080, so ziehe man die Gerade N8 so durch <7- /L .F O, dass 808 -- 080 wird; dann wäre N8 08, / was nicht möglich ist, da nach der Voraussetzung 8 h 0 8 ist und durch den Punkt O zu einer Ge¬ raden nur eine Parallele gezogen werden kann. Ebenso lässt sich zeigen, dass 808 nicht kleiner als 080 sein kann. Es muss also 808 — 080 sein. 3. Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass die Summe der inneren Anwinkel auf einer Seite der Trans¬ versale kleiner ist als zwei Rechte, so müssen sich die beiden Ge¬ raden bei hinreichender Verlängerung auf dieser Seite der Trans¬ versale schneiden (Fig. 12). Beweis. Es seien A8 und 08 zwei Gerade, welche von der 88 so geschnitten werden, dass 8-08 -s- 088 <28 ist. Zieht man durch O 12 eine Gerade ^.8 so, dass 868 -s- 681) -^28 wird, so ist (nach 1.) ^8^00. Die Gerade NN, welche die ^.8 schneidet, muss daher auch die 61) schneiden (H. 23, d). Dies ist aber nur iu der Richtung des Strahles 68 möglich, da wegen NON <868 der Strahl 68 zwischen 68 und 68, folglich sein Ergänzungsstrahl 6N zwischen 6H und 68 liegt und demnach der letztere mit 06 nicht zusammentreffen kann. Folgesatz. Errichtet man auf den Schenkeln eines hohlen Winkels Nor¬ male, so schneiden sich diese in einen: zwischen den Schenkeln liegenden Punkte. Folgt aus 3., wenn man durch die Fußpunkte der Normalen eine Gerade zieht. tz. 25. Lehrsätze. 1. Sind zwei Gerade zu einer dritten normal, so sind sie parallel. Der Beweis wird mit Hilfe von tz. 24, 1 geführt. 2. Ist von zwei Parallelen die eine zu einer Geraden nor¬ mal, so ist auch die andere zu ihr normal. Beweis mit Zuziehung von Z. 24, 2. 3. Von einem Punkte außerhalb einer Geraden kann zu dieser nur eine Normale gezogen werden. Jndirecter Beweis. Ließen sich von dem Punkte zu der Geraden mehrere Normale ziehen, so hätten diese einen Punkt gemeinsam und müssten nach 1. zugleich parallel sein, was einen Widerspruch enthält. 4. In einem Punkte einer Geraden kann auf diese nur eine Normale errichtet werden. Beweis wie zu 3. Z. 26. Es sei der Winkel ^.08 (Fig. 13) und der Punkt 0' gegeben. Zieht man durch (8 die Gerade ü-^0 und die Gerade 88" H80, so sind die Schenkel der um (8 entstehenden vier Winkel mit den Schenkeln des gegebenen Winkels theils in demselben Sinne parallel, wie 0'^/ mit 0^., oder 08 mit 08, theils im entgegengesetzten Sinne parallel, wie 0)0' mit 0^., oder 0'8" mit 08. 13 Lehrsatz. Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, sind a) einander gleich, wenn beide Paare der Schenkel in demselben, oder beide im entgegengesetzten Sinne parallel sind; dagegen 3) Supplementwinkel, wenn zwei Schenkel in demselben, die beiden anderen aber im entgegengesetzten Sinne Parallel sind. Beweis, a) Verlängert man OK, bis sie in 0 schneidet, so ist (nach Z. 24, 2) in — v und a, — v, folglich auch in — a. — Aus in — a und in — p (tz. 18) folgt auch p — a. li) Nach a) ist in — a, aber n -st rn — 2K; mithin auch n -s- n — 2 k Da n — <^, so ist auch e> -tz a — 2K. Ebenso wird der Beweis geführt, wenn man den Punkt O in der Winkel¬ fläche ^VOK annimmt. 2. Dreht man in der vorhergehenden Fig. 13 die Geraden und k^k" als eine feste Verbindung um den Punkt ()' in einer bestimmten Rich¬ tung, die hier der Pfeil anzeigt, um 90°, so kommen dieselben in eine Lage gegen den Winkel ^Ok, wie sie Fig. 14 darstellt; es wird 10^." Z, und k'8" j- OK, während dabei die Winkel in, n, p, cz ungeändert bleiben. Fig. 14. Die Schenkel dieser Winkel heißen in der neuen Lage zu den Schenkeln des Winkels I^OK in demselben oder im entgegengesetzten Sinne normal, je nachdem sie vor ihrer Drehung um 90° zu den Schenkeln dieses Winkels in demselben oder im entgegengesetzten Sinne parallel waren. So ist zu 0^ oder Olll zu O ll in demselben Sinne normal, dagegen 0^" zu 0^, oder (Nk" zu OK im entgegengesetzten Sinne normal. Lehrsatz. Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise zu ein¬ ander normal sind, sind a) einander gleich, wenn beide Paare der Schenkel in demselben, oder beide im entgegengesetzten Sinne zu einander normal sind; dagegen b) Supplementwinkel, wenn zwei Schenkel in demselben, die beiden anderen aber im entgegen¬ gesetzten Sinne zu einander normal sind. Folgt ans dem unter 4. bewiesenen Lehrsätze. 14 Aöungssähe. Z. 27. Beweise folgende Lehrsätze: 1. Die Halbierungslinien zweier Nebenwinkel sind zu einander normal. 2. Die zur Halbierungslinie eines Winkels im Scheitel errichtete Normale halbiert den Nebenwinkel. 3. Die Halbierungslinie eines zweier Scheitelwinkel halbiert auch den andern. 4. Die Halbierungslinien zweier Gegen- oder Wechselwinkel an zwei parallelen, von einer Transversale geschnittenen Geraden sind parallel. ö. Die Halbierungslinien zweier Anwinkcl an zwei von einer Transversale geschnittenen Parallelen sind zu einander normal. 6. Drei Gerade schneiden sich in einem Punkte; man weise nach, dass je drei nicht aneinander liegende Winkel 180° betragen. 7. Errichtet inan im Scheitel eines Winkels auf beiden Schenkeln nach ver¬ schiedenen Seiten Normale, so schließen diese einen Winkel ein, welcher zu dem gegebenen Winkel supplementär ist. Zweiter Abschnitt. Begrenzte ebene Gebilde. I. Das Ireieck. 1. Erklärungen und allgemeine Eigenschaften der Dreiecke. tz. 28. Ein von drei Strecken begrenztes ebenes Gebilde heißt ein Dreieck. Die drei Strecken heißen Seiten des Dreieckes. Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel. Jeder Seite liegt ein Winkel gegenüber, während die beiden anderen Winkel dieser Seite anliegen; jedem Winkel liegt eine Seite gegenüber, während die beiden anderen Seiten ihn ein sch ließ en. Nimmt man in einem Dreiecke J.130 irgend eine Seite als Grund¬ linie au, so heißt die Normale 01), welche von dem gegenüberliegenden Eck¬ punkte zu dieser Seite gezogen wird, die zugehörige Höhe des Dreieckes. tz. 29. Ein Dreieck, in welchem keine Seite einer andern gleich ist, heißt ungleichseitig; ein Dreieck, in welchem zwei Seiten gleich sind, heißt gleichschenklig; ein Dreieck, in welchem alle drei Seiten gleich sind, heißt gleichseitig. In einem gleichschenklichen Dreiecke nennt man die beiden gleichen Seiten die Schenkel, die dritte Seite die Grundlinie, und den dieser gegenüber¬ liegenden Eckpunkt den Scheitel des Dreieckes. tz. 30. Lehrsatz. Die Summe der drei Winkel eines Dreieckes ist gleich zwei Rechten. 15 Fig. 15. Beweis. Verlängert man (Fig. 15) die Seite L 4.6 bis 6 und zieht 66 4.0, so ist /X/ NUN ist M -s- u -s- 5 — 2K (Z. 17, Zus. o), folg- lich auch a -s- o Z- d — 26. Man könnie auch durch 0 eine zu LL parallele Hilfslinie ziehen. Wie wird dann der Beweis geführt? Folge loche, s.) Durch zwei Winkel eines Dreieckes oder deren Summe ist auch die Größe des dritten Winkels gegeben. 5) In einem Dreiecke kann nur ein rechter, sowie auch nur ein stumpfer Winkel vorkommen. 31. Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn alle drei Winkel des¬ selben spitz sind; rechtwinklig, wenn in demselben ein rechter, stumpf¬ winklig, wenn in demselben ein stumpfer Winkel vorkvmmt. In einem rechtwinkligen Dreiecke heißt die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse; die beiden Seiten, welche den rechten Winkel einschließcn, werden Katheten genannt. Das spitz- und das stumpf¬ winklige Dreieck bezeichnet man mit dem gemeinsamen Namen schiefwinklige Dreiecke. Z. 32. Unter dem Außenwinkel eines Dreieckes versteht man denjenigen Winkel, welchen eine Dreiecksseite mit der Verlängerung einer andern bildet. Lehrsatz. Jeder Außenwinkel eines Dreieckes ist gleich der Summe der beiden inneren ihm nicht anliegenden Winkel. (Fig. 15.) Denn 06D — io-f-o — aFo. Folgesatz. Die Summe der drei Außenwinkel eines Dreieckes ist gleich vier Rechten. 8- 33. Lehrsätze. 1- Gleichen Seiten eines Drei¬ eckes liegen gleiche Winkel gegenüber. 2. Der größeren Seite eines Dreieckes liegt der größere Winkel gegenüber. 3. Gleichen Winkeln eines Drei¬ eckes liegen gleiche Seiten gegenüber. 4. Dem größeren Winkel eines Dreieckes liegt die größere Seite gegenüber. Fig- 16. Beweis zum 1. Satze. (Fig. 16.) Es sei im Dreiecke 4.60 60 — 4.0. Man stelle sich das Dreieck I noch einmal, jedoch umgewendet, vor, wie in II, und ver¬ schiebe II so auf I, dass sich die gleichen Winkel 0 decken. Dann müssen wegen 60 — 4.0 auch die Punkte 6 und 4. des Drei¬ eckes II auf die Punkte 4. und 6 des Dreieckes I, 16 und somit die Seite 8/X des ersteren auf die Seite ^.8 des letzteren fallen; es deckt also der Winkel des Dreieckes II den Winkel II des Dreieckes I; folglich I. 8. Fig. i7. Beweis zum 2. Satze. (Fig. 17.) Es sei die Seite 8 0 >- )X 0. Mau mache 0 D — )X 0 und ziehe die Strecke /V I). Dann ist (nach 1) in dem Dreiecke 0^.8 der Winkel 8)X0 — ^.80, aber Winkel —XS 8^X0 > 8)X0, folglich auch Wiukel 8^X0 > -X80. Mu ist ^XI) 6 als Außenwinkel des Dreieckes ^X88 größer als der Winkel ^X80; somit muss umsomehr Winkel 8^X0 > ^X80 sein. Der Beweis zum 3. Satze wird indirect geführt. Es sei (Fig. 16) Der Winkel ^X — 8. Wäre die Seite 80 nicht — F.0, so müsste 8^ L.0 sein. Allein dann wäre nach dem vorhergehenden Satze auch ^X 8, was der Voraussetzung — 8 widerspricht. Es muss daher 80 — ^XO sein. Beweis zum 4. Satze ebenfalls indirect. Es sei (Fig. 17) der Winkel 8J.0 ^X80. Gesetzt es wäre nicht 80 > 1X0, so müsste 80 — )X0 oder 80 < L.0 sein. Aus der ersten Annahme würde folgen, dass 8^X0 — ^X80 ist; aus der zweiten, dass 8^X0 < ^X80 ist; beides widerstreitet der Vor¬ aussetzung 1^0 > L80. Es muss daher 80 >- ^XO sein. Folgesätze. Aus 1. folgt: a) In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grund¬ linie einander gleich. Durch einen Winkel eines gleichschenkligen Dreieckes sind > auch die anderen zwei Wiukel bestimmt (Z. 30). b) Der Außenwinkel nm Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes ist doppelt so groß als jeder Winkel an der Grundlinie (Z. 32). o) In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel einander gleich, und daher jeder 60°. Aus 4. folgt: ä) Im rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse größer als jede Kathete. «) In: stumpfwinkligen Dreiecke ist die dem stumpfen Winkel gegenüber¬ liegende Seite die größte. ß. 34. Lehrsätze. 1. Jede Seite eines Dreieckes ist kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten. Beweis. Es sei F.80 (Fig. 18) ein Dreieck, dessen größte Seite )X8 ist. Fig- '8. Denkt man sich OD F ^8, so ist (nach Z. 33, ä) ^XI) < )X0 und / 'X. 81) < 80, daher / X ^X8 -j- 88 < ^0 -j- 80, oder ^X8 < ^0 -st 80. Dass )X0^8 und ^8-tz^0>80; folglich ist auch, wenn man Gleiches subtrahiert, 80> ^.8-^.0, ^0>L.8 —80 und L.8>80 —^.0. Z. 33. Wird von einen: Punkte außerhalb einer Geraden zu dieser eine normale oder schiefe Gerade gezogen, so heißt ihr Durchschnitt mit der gegebenen Geraden der Fußpunkt der andern Geraden. Lehrsatz. Zieht man von einem Punkte außerhalb einer Geraden zu dieser eine normale und mehrere schiefe Strecken, so ist: 1. die Normale die kürzeste unter allen Strecken; 2. zwei schiefe Strecken, deren Fußpunkte von dem Fuß- Punkte der Normalen gleiche Abstände haben, sind einander gleich; und 3. von zwei schiefen Strecken, deren Fußpuukte von dem Fußpunkte der Normalen ungleiche Abstände haben, ist die ent¬ ferntere die größere. Beweis. Es sei (Fig. 19) 0D 0, ^.8. Fig. 19. 1. Dass OD kürzer als 08, 08, 00 ist, folgt aus A. 33, 6. 2. Ist D8 — DO, so muss, wenn man den rechten Winkel ODO um OD umlegt, der Punkt O auf 8, also auch O O auf 08 fallen; folglich ist 08 -- 00. 3. Im /X0D8 ist der Winkel 08 D spitz, daher sein Nebenwinkel 088 stumpf, und somit im />,088 die Seite 08 > 08. Aus den Sätzen 2. und 3. folgen indirect auch deren Umkehrungen. Die von einem Punkte zu einer Geraden gezogene Normale bestimmt den Ab stand des Punktes von der Geraden. Folgesatz. Von einem Punkte außerhalb eiucr Geraden können zu dieser immer zwei, aber auch nur zwei gleich lauge schiefe Strecken gezogen werden. 2. Congruny der Dreiecke. tz. 36. Zwei Dreiecke sind congruent (Z. 3), wenn sie auf einander gelegt sich vollständig decken. Damit dieses möglich sei, müssen in den Drei¬ ecken alle sechs Bestandstücke, die drei Seiten und die drei Winkel, paarweise gleich sein. Daraus folgt: In congruenteu Dreiecken sind die Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen, einander gleich, und ebenso sind die Winkel, welche den gleichen Seiten gegenüber¬ liegen, einander gleich. Moönik, Geometrie. 2 18 Da die Seiten und Winkel eines Dreieckes von einander nicht unab¬ hängig sind, so genügen schon weniger als sechs Stücke, um aus ihrer Über¬ einstimmung in zwei Dreiecken auf deren Congruenz schließen zu können. Die Fälle, in denen dieses stattfindet, sind in den folgenden vier Lehrsätzen über die Congruenz der Dreiecke enthalten. 8- 37. I. Congrueuzsatz. Sind in zwei Dreiecken eine Seite und die beiden anliegenden Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent (Fig. 20). Voraussetzung. Seite F8 — ^X'8', Winkel tX — ^X' und 8 — 8'. Fig. so. Behauptung. 7X80 M F' 8'0'. Beweis. Mau lege das /X7X'8'O' so auf /X - Folgesatz. Zwei Dreiecke, welche eine Seite, einen anliegenden und den gegenüberliegenden Winkel paarweise gleich haben, sind congruent (A. 30, a). Z. 38. II. Congrurnzsatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent (Fig. 20). Voraussetzung. Es sei 7X0 — F'O', 80 — 8'0' und 0 — 0'. Behauptung. /X lX'8'0'. Beweis. Man lege das Dreieck ^.'8'0' so auf das.Dreieck 7X80, dass 0' auf 0, O'TX' in die Richtung 07X, und 0'8' in die Richtung 08 fällt, was möglich ist, da nach der Voraussetzung die Winkel 0' und 0 gleich sind; wegen 7X0 — 7X' 0' muss auch der Puukt 7X' auf 7X, und wegen 80 — 8'0' der Punkt 8' ans 8, also die Seite F'8' auf 7X8 fallen; folglich ist 7X8O L L'8'0'. Z. 39. III. Congruemsatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten mit dem der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent. Fig. 21. Vorauss. Es sei (Fig. 21) <7 /X 0, somit auch / / X 8'0'> TX'O', endlich der Winkel / ^-xXx / X , 7X - TX'. - L" X X" Behaupt./>TX80^TX'8'0'. 19 Beweis. Man lege das ^X8^ so auf das /X, ^.80, dass der Punkt X auf (V auf 0 uud X8' in die Richtung ^8 fällt, was wegen ^0 X X(V und möglich ist. Dann muss auch 8' auf 8 fallen. Denn fiele der Punkt IV nicht auf 8, so müsste er entweder auf einen Punkt innerhalb der Seite X8, etwa auf 8", oder auf einen Punkt ihrer Verlänge¬ rung, etwa auf 8'", zu liegen kommen. Würde 8' auf 8" fallen, so wäre, wenn man 8"6 zieht, ^.8" 0 M XIV(V (ß. 38), daher 8" 0 8'0' 80, somit das /^08" 8 gleichschenklig, es müssten also in demselben die gleichen Winkel 8"80 und 88" 0 spitz sein; dann wäre der Winkel ^.8"0 stumpf und folglich ^.0 > 8"0 (Z. 33, s), somit auch ^.0 > 80, was der Voraussetzung widerspricht. —- Ebenso würde sich ein Widerspruch ergeben, wenn 8 ans 8'" fiele. Der Punkt 8' muss daher auf 8 fallen; dann ist aber /^^.80M X8'0'. Zusatz. Die Schlussfolgerungen des obigen Beweises stützen sich auf die Bedingung, dass der Winkel der größeren der zwei übereinstimmenden Seiten gegenüberliegt. Ist diese Bedingung nicht vorhanden, so können auch nicht jene Schlüsse gemacht werden. Wenn daher in zwei Dreiecken zwei Seiten mit dem der kleineren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel wechselseitig gleich sind, so ist cs nicht gestattet, auf die Congruenz der Dreiecke zu schließen. Z. 40. IV. Congrnenzsatz. Sind in zwei Dreiecken alle drei Seiten paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent (Fig. 22). Fig. 22. Voraussetzung. ^.8 — X8', <7 6" ^0-^X0' und 80-8'0'. Behauptung. ^^80M / V / X XIVO'. / __— X?' Beweis. Man lege das Dreieck X / X8'0' so an das Dreieck H.80, X, „ dass sich die zwei größten Seiten 'X' X IV und ^8 decken, und dass der Punkt (V auf die entgegengesetzte Seite von ^.8 nach 0" fällt. Dann sind nach der Voraussetzung die Drei¬ ecke ^00" und 800" gleichschenklig, also sind die Winkel an der Grund- llnie gleich, x — n — 2; folglich ist auch x -s- re — I Xoder ^.08 — E'8 - XO'IV. Ist aber ^.08 — XO'IV, so ist (nach Z. 38) /X ^.80 X8'0'. 8- 41. Da congruente Dreiecke in Größe und Gestalt übereinstimmen, so folgt, dass die Bestandstücke, aus deren Gleichheit in zwei Dreiecken man auf die Congruenz dieser letzteren schließen kann, die Größe und die Gestalt eines Dreieckes unzweideutig bestimmen. Die Bestimmungsstücke eines Dreieckes sind also: 1. eine Seite mit zwei Winkeln; 2. zwei Seiten mit 20 dem eingeschlossenen Winkel; 3. zwei Seiten mit dem der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel; 4. alle drei Seiten. Nichtcongrucnz der Dreiecke. Z. 42. Lehrsatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paarweise gleich, die von ihnen eingeschlossenen Winkel aber ungleich, so sind anch die dritten Seiten ungleich, und zwar ist diejenige die größere, welche dem größeren Winkel gcgenüberliegt (Fig. 23). Borauss. ^.0 L'O', 86 8'0' und Winkel L08 > ^.'0'8'. Fig. 23. Behaupt. ^8 > ?08'. § Beweis. Mau mache den /V Winkel ^.08" ^'0'8' und die / XX / Strecke 08" — 0'8', wobei der / X X / Punkt 8" außerhalb des Dreieckes -^6' falle. Dann ist, wenn man L8" und 88" zieht, ^.8"0 M ^.'8'0' G. 38), also ^8" -- ^'8'. Wegen 80-^8"0 ist nun Winkel 08"8 088", also 08"8 >L88" und umsomehr L8"8 > ^88"; folglich ist (nach Z. 33, 4) ^8 > ^.8", somit auch ^8 > ^.'8'. Hier wurde angenommen, dass der Punkt L" außerhalb des Dreieckes X L 6 falle. Derselbe kann auch in die Seite 8, oder innerhalb des Dreieckes L 8 6 zu liegen kommen. Wie stellt sich der Beweis in diesen beiden Fällen? Z. 43. Lehrsatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paar¬ weise gleich, die dritten Seiten aber ungleich, so sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel ungleich, und zwar ist derjenige der größere, welcher der größeren Seite gegenüber¬ liegt (Fig. 23). Beweis. Es sei ^0 ^'0', 80 8'0' und L8 >^'8'. Wäre L.08 — ^'0'8', so müsste (nach H. 38) anch ^.8 — ^'8' sein; wäre L08 <^.'0'8', so müsste (nach Z. 42) auch ?^8 ^.'0'8' sein. Anwendung der Congruenzsiitze. Z. 44. Lehrsätze. 1. Die Gerade vom Scheitel eines gleich¬ schenkligen Dreieckes nach der Mitte der Grundlinie ist zur Grund¬ linie normal und halbiert den Winkel am Scheitel. Fig- 24. Voranss. ^0 — 80, 81) (Fig. 24). 6 Behaupt. ÖD ^8 und p — cf. ^x Beweis, /^^.ov M 801) (8- 40), daher m — a / ' X oder Ov L ^.8, und p — cz. / X 2. Die Normale vom Scheitel eines gleich- ^4 /- Ä schenkligen Dreieckes aus die Grundlinie halbiert die Grundlinie und den Winkel am Scheitel (8- 39). 21 3. Die Gerade, welche den Winkel am Scheitel eines gleich¬ schenkligen Dreieckes halbiert, halbiert auch die Grundlinie und ist zu ihr normal (Z. 38). 4. Die Gerade, welche man in der Mitte der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes zu dieser normal errichtet, geht durch den Scheitel. Folgt aus 1., da die Gerade zwischen dem Scheitel und der Mitte der Grundlinie zu dieser normal ist, durch die Mitte der Grundlinie aber zu der¬ selben nur eine einzige Normale gezogen werden kann. Z. 45. Zwei Punkte liegen symmetrisch in Beziehung auf eine Gerade, wenn die Strecke, welche sie verbindet, zu dieser Geraden normal ist und durch sie halbiert wird; die Gerade heißt die Symmetrieachse oder Shmmetrale. So liegen in Fig. 24 die Punkte und 8 symmetrisch in Beziehung auf die Gerade 08, welche die Symmetrale ist. Zwei ebene Gebilde liegen symmetrisch in Beziehung auf eine Gerade, wenn jedem Punkte des einen Gebildes ein symmetrisch liegender Punkt des andern Gebildes entspricht; z. B. die Dreiecke ^80 und 880. Zwei symmetrisch liegende ebene Gebilde können durch Umwendung um die Symmetrale zur Deckung gebracht werden. Ein ebenes Gebilde heißt symmetrisch, wenn es sich durch eine Gerade (die Symmetrale) in zwei symmetrisch liegende Theile theilen lässt; z. B. das Dreieck )^8O. Z. 46. 1. Jede Strecke ist ein symmetrisches Gebilde; ihre Symmetrale ist die in der Mitte zu ihr errichtete Norinale. Jeder Punkt der Streckensymmetrale hat von den beiden Endpunkten der Strecke gleiche Abstände; und umgekehrt. Folgt ans der Congruenz der rechtwinkligen Dreiecke L.8O und 81)0 (Ng. 24). 2. Jeder Winkel ist ein symmetrisches Gebilde; seine Symmetrale ist die Halbierungslinie desselben. Ist 08 (Fig. 25) die Symmetrale des Winkels ^08, also ^08 808, und ist 88 .0 ^0, 88 st 80, so ergibt sich aus der Congruenz der recht¬ winkligen Dreiecke 088 und 088: Jeder Punkt der Winkclsymmetral e hak von den beiden Schenkeln des Winkels gleiche Abstände; und umgekehrt. in gleichschenkliges Dreieck ist symmetrisch in Be¬ stehung auf seine Höhe als Symmetrale. Fig. 25. 8. 47. 1. E 22 In einem gleichschenkligen Dreiecke fallen die Symmetrale der Grundlinie, die Symmetrale des Winkels am Scheitel und die Höhe in eine Gerade zusammen (ß. 44). 2. Ein gleichseitiges Dreieck ist symmetrisch in Beziehung auf jede - seiner drei Höhen als Symmetrieachse. In einem gleichseitigen Dreiecke ist jede Höhe zugleich eine Seiten- und eine Winkelsymetrale. Z. 48. Lehrsätze. 1. Die drei Seitens!) mme- tralen eines Dreieckes schneiden einander in dem¬ selben Punkte, der von den drei Eckpunkten gleiche Ab¬ stände hat. (Erster merkwürdige Punkt des Dreieckes.) Beweis. Schneiden sich (Fig. 26) die zu den Seiten ^8 und ^0 ge¬ hörigen Symmetralen 80 und 80 in dem Punkte 0 (Z. 24, Folgest), so ist O nach tz. 46, 1 sowohl von und 8, als auch von und 0 gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt 0 von 8 und 0 gleiche Abstände, so liegt er auch in der Symmetrale der Seite 80. Der Punkt O liegt innerhalb, auf dem Umfange oder außerhalb des Dreieckes ^.80, je nachdem dieses spitz-, recht- oder stumpfwinklig ist. Der Beweis gilt jedoch unverändert für alle drei Lagen. 2. Die drei Winkels ymme- tralen eines Dreieckes schneiden einander in dem- s e l b c n P n n k t e, der von den drei Seiten gleiche Ab¬ stände hat. (Zweiter merkwür¬ dige Punkt des Dreieckes.) Fig. 27. Beweis. Schneiden sich (Fig. 27) die Symmetralen der Winkel 8^.0 und ^.80 in dein Punkte 0 (tz. 24, 3), so ist 0 nach ß. 46, 2 sowohl von ^.8 und 7^.0, als auch von L8 und 80 gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt 0 von ^0 und 80 gleiche Abstände, so liegt er auch in der Sym¬ metrale des Winkels ^08. Ansatz. Ebenso wird bewiesen, dass sich die Symmetralen des einen inneren Dreieckswinkels und der Nebenwinkel der beiden anderen in einem Punkte schneiden, der von den drei Seiten gleiche Abstände hat. Äbungssähe. Z. 49. 1. Zieht man von einem Punkte im Innern eines Dreieckes Strecken zu den Endpunkten einer Seite, so ist a) die Summe dieser Strecken kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten, und k>) der von diesen 23 Strecken gebildete Winkel größer als der Winkel, den die beiden anderen Seiten einschließen. Man verlängere eine Strecke bis zum Durchschnitte mit einer Seite und wende Z. 34, l und Z. 32 an. la. Ein Winkel eines Dreieckes sei «; wie groß ist der Winkel, welchen die Halbierungslinien der beiden andern Winkel mit einander bilden? 2. Halbiert man den Außenwinkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, so ist die Halbierungslinie der Grundlinie parallel. 3. Zieht man durch den Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes eine Parallele zur Grundlinie, so halbiert diese den Außenwinkel. 3 a. Der Winkel, welchen die auf einen Schenkel eines gleichschenkligen Dreieckes gefällte Höhe mit der Grundlinie bildet, ist halb so groß wie der Winkel an der Spitze. ?3hi. Verlängert man die Hypotenuse über ihre Endpunkte je um die anliegende Kathete, so schließen die Verbindungslinien der neuen Endpunkte nm Scheitel des rechten Winkels einen Winkel von 135° ein. 4. Die Höhen auf die Schenkel eines gleichschenkligen Dreieckes sind ein- nnder gleich. 5. Sind in einem Dreiecke zwei Höhen gleich, so ist dasselbe gleichschenklig. 6. Verbindet man zwei beliebige Punkte zweier paralleler Geraden durch eine Strecke und halbiert diese, so wird jede durch den Halbierungspunkt zwischen den Parallelen gezogene Strecke in demselben halbiert. 7. Ist in einem rechtwinkligen Dreiecke einer der spitzen Winkel doppelt in groß als der andere, so ist die Hypotenuse doppelt so groß als die kleinere Kathete. Legt man an das Dreieck ein congruentes mit der größeren Kathete an, so erhält wan ein gleichseitiges Dreieck. 8. Ist in einem gleichschenkligen Dreiecke ein Basiswinkel doppelt so groß wie der Scheitelwinkel, so wird es durch die Symmetrale des Basiswinkels in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt. II. Aas Uiereck. 1. Erklärungen und Lehrsätze. A. 50. Ein von vier Strecken begrenztes ebenes Gebilde heißt ein Viereck. Die Strecke ^0 (Fig. 28), welche zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Viereckes verbindet, heißt eine Diagonale. Ng- 28. Ein Viereck hat vier Eckpunkte, vier Seiten, vier Winkel und zwei Diagonalen. / Z. 51. Frhrsach. Die Summe aller Winkel eines Viereckes ist gleich vier Rechten. -4 F Beweis. Zerlegt man (Fig. 28) das Viereck durch eine 24 Diagonale in zwei Dreiecke, so beträgt die Winkelsumme in jedem derselben zwei Rechte, also in beiden zusammen vier Rechte. 8- 52. Mit Rücksicht auf die gegenseitige Lage der Seiten werden die Vierecke in Trapezoide, Trapeze nnd Parallelogramme eingetheilt. Ein Trapezoid ist ein Viereck, in welchem keine Seite mit einer andern parallel ist; ein Trapez ist ein Viereck, in welchem nur zwei gegenüber¬ liegende Seiten parallel sind; ein Parallelogramm ist ein Viereck, in welchem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Lehrsätze von den Parallelogrammen. 8- 53. 1. In einem Parallelogramm sind je zwei gegenüber¬ liegende Winkel gleich. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich unmittelbar aus 8- 26, 1. a). 2. Sind in einem Vierecke je zwei gegenüberliegende Winkel gleich, so ist dasselbe ein Parallelogramm (Umkehrung von 1). Der Beweis stützt sich auf tz. 51 und 8- 24, 1. Folgesatz. Ist in einem Parallelogramm ein Winkel ein rechter, so sind es auch die anderen; ist ein Winkel ein schiefer, so sind es auch die anderen. Man unterscheidet daher rechtwinklige und schiefwinklige Parallelogramme. 8- 54. 1. In einem Parallelogramm sind je zwei gegenüberliegende Seiten einander gleich. Ng- 29. V o r a uss. Es sei 8 08 (Fig. 29) ein Parallelo- -F grainm, also )X8 80, tX8 80. / / Behaupt. L8 — 80, J.8 80. -Beweis. Zieht man eine Diagonale 81), so ist /X ^.88 088 (Z. 24, 2 und 8- 37), daher ^.8 — 1)0, ^8 80. Den obigen Satz Pflegt man auch so auszudrücken: Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich. 2. Sind in einem Vierecke je zwei gegenüberliegende Seiten gleich, so ist dasselbe ein Parallelogramm (Umkehrung von 1). Beweis. Es sei in dem Vierecke )X808 (Fig. 29) ^.8 — 1)0 und ^8 —80. Dann ist ^88^088 (8- 40), also sind die Wechsel¬ winkel ^88 und 088, ebenso )V88 und 088 gleich; folglich J8j> 80 und J.8 ^80 (8. 24, 1). Folgesätze, o) Jedes Parallelogramm wird durch die Diagonale in zwei congruente Dreiecke get heilt. Ist auch die Umkehrung dieses Satzes richtig? b) Sind zwei Gerade parallel, so haben alle Punkte der einen Geraden von der andern gleiche Abstande. Denn die Senkrechten, welche die Abstände der Punkte der einen zweier Parallelen von der andern angeben, sind nach 8- 25, 1 parallel, daher nach 1. einander gleich. 25 Die konstante Entfernung eines jeden Punktes der einen zweier Parallelen von der andern heißt der Ab stand der beiden Parallelen. Nimmt man in einem Parallelogramm eine der Seiten als Grün d- linie an, so heißt ihr Abstand von der gegenüberliegenden Seite die Höhe des Parallelogramms. Unter der Höhe eines Trapezes versteht man den Ab- stand der zwei parallelen Seiten. 3. Sind in einem Vierecke zwei gegenüberliegende Seiten gleich und parallel, so ist dasselbe ein Parallelogramm. Beweis. In dem Vierecke ^.U64) (Fig. 29) sei ^.6 — OO und Dann ist/X M 6VL (Z. 38), also sind auch die Wechsel¬ winkel und OLV gleich, woraus folgt. ß. 55. Sind in einem Parallelogramm zwei anstoßende Seiten gleich, so sind es auch die anderen; das Parallelogramm heißt in diesem Falle gleich¬ seitig. Sind dagegen zwei anstoßende Seiten ungleich, so heißt das Parallelo¬ gramm ungleichseitig. Mit Rücksicht auf die Größe der Winkel (Z. 53) und auf die Länge der Seiten unterscheidet man vier Arten von Parallelogrammen: 1. das schief¬ winklige und ungleichseitige Parallelogramm oder das Rhomboid; 2. das schiefwinklige und gleichseitige Parallelogramm oder den Rhombus; 3. das rechtwinklige und ungleichseitige Parallelogramm oder das Rechteck; 4. das rechtwinklige nnd gleichseitige Parallelogramm oder das Quadrat. Ein Rhomboid ist durch zwei anstoßende Seiten und den von diesen cingeschlossenen Winkel, ein Rhombus durch eine Seite und einen Winkel, ein Rechteck durch zwei anstoßende Seiten, ein Quadrat durch eine Seite bestimmt. tz. 56. 1. Die Diagonalen eines jeden Parallelogramms hal¬ bieren einander. 2. Die Diagonalen eines Rechteckes sind einander gleich. 3. Die Diagonalen eines Rhombus sind zu einander normal. 4. Die Diagonalen eines Quadrates sind einander gleich und zu einander normal. Beweise aus der Congruenz der Dreiecke. Alle vier Sätze gelten auch in ihren Umkehrungen. Zusätze, s,) Ein Rechteck ist symmetrisch in Beziehung auf jede Gerade, welche zwei Gegenseiten halbiert. 5) Ein Rhombus ist symmetrisch in Beziehung auf jede Diagonale. o) Ein Quadrat ist symmetrisch sowohl in Beziehung auf jede Gerade, welche zwei Gegenseiten halbiert, als in Beziehung auf jede Diagonale; es hat vier Symmetrieachsen. 26 Lehrsätze vo« den Trapezen. K. 57. "1f Die Strecke zwischen den Mitten der nichtpnrallelen Seiten eines Trapezes ist a) den parallelen Seiten parallel und . d) gleich der halben Summe derselben. Beweis. Es sei (Fig. 30) ^8 h 80, ^N — N8 und 88 80. a) Zieht man durch N die 88 h 80 und verlängert 61) bis 8, so ist />,L8N M 88N, daher 8N N8. Wegen 88 --- 80 (Z. 54, 1) Fig. 30. ist auch st88 st 80, d. i. 8N-^88. 88N8 ist Z' A 5» also ein Parallelogramm (ß. 54, 3), folglich N8 h 88. V? ) d) Aus der Congruenz der Dreiecke ^8N und -88N folgt ^8 88. Nun ist N8 88 ^8 ) — L8 und auch N8 08 08 -st 88, folglich KF— s 2N8 L.8-st 08 und N8 st(^.8 Z-08). Die Strecke N8 heißt die Mittellinie des Trapezes. 2. Zieht man in einem Trapeze durch die Mitte einer der nichtpnrallelen Seiten eine Parallele mit den zwei Parnllel- seiten, so halbiert dieselbe auch die andere der nichtparallelen Seiten. Beweis. Es sei (Fig. 30) .^8 h 80, ferner ^N — N8 und N8 h ^.8 h 80. Zieht man durch N die 88 h 80 und verlängert 08 bis 8, so ist /X.L.8N M88N, daher 8N N8; aber 8N —88 und N8 -- 80, folglich 88 80. 3. Sind in einem Trapeze die Winkel an einer der beiden parallelen Seiten gleich, so sind die nichtparallelen Seiten des Trapezes einander gleich. Fig. 31. Beweis. Es sei (Fig. 31) ^8 ^80 und — 8. 7) 6' Zieht man 08 h 8^, so ist 80 L.8 und W. 088 / 8, also im /(X 880, 80 80 G. 33, 3), / / : mithin auch ^.8 — 80. -^7-^, Ein Trapez, in welchem die nichtparallelen Seiten gleich sind, heißt ein gleichschenkliges Trapez oder ein Anti Parallelogramm. 4. Umgekehrt: In einem gleichschenkligen Trapeze sind die Winkel an jeder der parallelen Seiten einander gleich. Beweis. Es sei (Fig. 31) L.8H80 und ^.8 — 80. Zieht man 08 h 8^, so ist 80 ^8 80, also im />,880 der Winkel 088^-8; aber 088 — L, folglich auch — 8. Da ^.-stD — 8-stO — 28, so ist auch 8 — 0. 5. In einem gleichschenkligen Trapeze ist die Strecke zwischen den Mitten der parallelen Seiten zu diesen normal. Beweis durch Deckung. 27 Znsuch. Ein gleichschenkliges Trapez ist symmetrisch; seine Sym- metrale geht durch die Mitten der parallelen Seiten. Das Deltoid. tz. 58. Ein Viereck, das zwei Paare gleicher anstoßender Seiten hat, heißt ein Deltoid. Fig. 32. Ist (Fig. 32) L.6 LO und 7LV — LV, so ist ^LLOV ein Deltoid. Dasselbe besteht aus zwei gleich¬ schenkligen Dreiecken, deren gemeinsame Grundlinie die Diagonale 7LL ist. Daraus folgt: 1. Die Diagonalen eines Deltoids sind zu einander normal. 2. Das'Deltoid ist symmetrisch; seine Sym¬ metrieachse ist die Diagonale, welche die Scheitel der gleichen Schenkel verbindet. Lehrsätze von den Parallelen im Dreiecke. Z. 59. st Die Strecke zwischen den Mitten zweier Seiten eines Dreieckes ist a) der dritten Seite parallel und st) die Hälfte derselben (Fig. 33). Fig, zg. Beweis. Es sei ^.Ll — LIO nnd Lsti — stlO. L L- a) Zieht man OK h LtL und durch LI die kk h LO, so ist ^.LIK OLIK, daher LIK LIK. Wegen kk LO (8. 54,1) ist auch ^kk ^LO, d. i. KLI Lsts; /s s Lsti LIK ist also ein Parallelogramm (Z. 54, 3), folglich - Listih KL. st) Da Listi h ^.L, so ist OLIsti LI^K, daher Listi /VK; es ist aber auch Listi KL, folglich 2 Listi -- H.K -j- KL ^L, und Listi -- ^^L. 2. Zieht mau in einem Dreiecke durch die Mitte einer Seite kineHarallele zu einer zweiten Seite, so halbiert dieselbe auch die dritte Seite (Fig. 33). Beweis. Es sei tVLI — LIO uud Listi h ^L. Zieht man LI? HOL, so ist ^^Lik^LIOsti, daher KLl^stiO; es ist aber auch KLI Lsts, folglich Lsti stiO. Die voranstehcndcu zlvei Lehrsätze können auch unmittelbar aus den analogen Sätzen bom Trapeze im Z. 57, 1 und 2 gefolgert werden, indem nian das Dreieck als ein Trapez betrachtet, dessen kleinere Parallelseite Null ist. 3. Wird in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Theile getheilt und durch jeden Theilungspunkt eine Parallele Zu einer zweiten Seite gezogen, so wird dadurch auch die dritte 28 Fig. 34. Z. 60. Lehrsatz. Seite in ebenso viele gleiche Theile getheilt (Fig. 34). Vorauss. LN — LIL LO r-- OK ^KO und LlOI!LR!>08hkk!>Ok. Behaupt, Ltz HR — R8 — 8k — kk. Beweis. L(^ — (nach 2.) und tzR — R8 8k kk (nach Z. 57, 2). Die drei Höhen eines Dreieckes schneiden einander in demselben Punkte. (Dritter merkwürdige Punkt des Dreieckes.) tt -5 R Fig. 35. Beweis. Es sei in dem Dreiecke LKO (Fig. 35) LV Z.KO, LV L LO, OL ,L LV. Zieht inan durch L, L, 6 Parallele zu KO, LO, LV, so erhält man das Dreieck L/V(k. Da LV L0' - LO, so ist (Z. 54, 1) L die Mitte der Seite VOü Ebenso folgt, dass L die Mitte der Seite L^(k und 6 die Mitte der Seite L/L' ist. Die Höhen LV, KL und OL des Dreieckes LV 6 sind also Seitensymmetralen des Dreieckes L'v(k und müssen sich daher als solche (nach tz. 48, 1) in demselben Punkte schneiden. K. 61. Lehrsatz. Die drei Schwerlinien eines Dreieckes, d. i. die Strecken, welche von den drei Eckpunkten zu den Mitten der Gegenseiten gezogen werden, schneiden einander in demselben Punkte, welcher jede Schwerlinie so theilt, dass der an einer Ecke liegende Ab¬ schnitt doppelt so groß ist als der andere. (Vierter merkwürdige Punkt des Dreieckes.) Beweis. Es seien (Fig. 36) v, L und L die Mitten der Seiten KO, LO und LL; 0 sei der Schnittpunkt der Schwerlinien KV und OK. Zieht man V0 und LV parallel zu OL, so werden durch dieselben (nach Z. 59, 2) KL und Fig. 36. LL halbiert. Es ist demnach LO — OL — LV, daher (nach ß. 59, 3) auch LR — RO — OL, somit KO — 20L. Die Schwerlinie LL wird also von einer zweiten Schwerlinie OL in O so getheilt, dass der an der Ecke L liegende Abschnitt derselben doppelt so groß ist als der andere. Zieht man noch die dritte Schwerlinie LV, so muss auch sie die KL in dieselben zwei Abschnitte theilen und daher durch den Punkt O gehen. Der Schnittpunkt O der drei Schwerlinien eines Dreieckes heißt der Schwerpunkt desselben. 29 2. Äbungssätze. Z. 62. 1. In jedem Bierecke ist die Summe der Diagonalen größer als die zweier Gegenseiten. 2. Jede in einem Parallelogramme durch deu Schnittpunkt der Diago¬ nalen gezogene Strecke wird in diesem Punkte halbiert. 3. Die Diagonalen eines Rhombus halbieren die Winkel, durch deren Scheitel sie gehen. 4. Der Schnittpunkt der Diagonalen eines Rhombus hat von den vier Seiten gleiche Abstände. 5. In einem gleichschenkligen Trapeze sind die Diagonalen einander gleich. 6. Sind in einem Trapeze die Diagonalen einander gleich, so ist das¬ selbe gleichschenklig. 7. Die Halbierungspunkte der Seiten eines Parallelogramms bilden die Eckpunkte eines neuen Parallelogramms (Z. 59, 1). Ist das erstere ein Rhombus, so ist das letztere ein Rechteck; ist das erstere ein Rechteck, so ist das letztere ein Rhombus; ist das erstere ein Quadrat, so ist das letztere auch ein Quadrat. 8. Die Halbierungspunkte der Seiten eines gleichschenkligen Trapezes bilden die Eckpunkte eineö Rhombus. 9. Die Halbierungslinien der vier Winkel eines Parallelogramms (oder der Außenwinkel desselben) schließen ein Rechteck ein. 10. Zieht man von einem Punkte in der Grundlinie eines gleichschenk¬ ligen Dreieckes zu jedem der Schenkel eine Normale, so ist die Summe der¬ selben gleich der auf einem Schenkel stehenden Höhe des Dreieckes. 11. Verbindet man in einem Parallelogramme die Mitten zweier gegen¬ überliegender Seiten mit den Endpunkten einer Diagonale, so wird durch diese Verbindungslinien die andere Diagonale in drei gleiche Theile getheilt. 12. Halbiert man in einem Rhombus die Winkel der Diagonalen, so bilden die Schnittpunkte dieser Halbierungslinien mit den Seiten die Ecken eines Quadrates. 13. Verbindet man die Mitten je zweier aufeinanderfolgender Seiten eines Antiparallelogramms, so entsteht ein gleichseitiges Viereck. 14. Verbindet man in einen: Vierecke die Mitten je zweier aufeinander¬ folgender Seiten, so entsteht ein Parallelogramm. 15. Verbindet man in einem Vierecke die Mitten zweier gegenüber¬ liegender Seiten mit den Mitten der beiden Diagonalen, so entsteht ein Parallelogramm. IN. Pas Vieleck. 1. Erklärungen und Lehrsätze. Z. 36. Jedes von mehreren Strecken begrenzte ebene Gebilde heißt ein Vieleck oder Polygon. 30 Ein Vieleck hat so viele Seiten als Winkel und ebenso viele Eckpunkte. Ein Vieleck, dessen alle Winkel hohl sind, heißt h o hlwi n klig. Nur solche Polygone sollen hier in Betracht gezogen werden. Mit Rücksicht auf die Anzahl der Seiten unterscheidet man drei¬ seitige Vielecke oder Dreiecke, vierseitige oder Vierecke, fünfseitige oder Fünfecke, ...nseitige oder n-Ecke. Z. 64. Eine Strecke, welche zwei nicht unmittelbar aufeinander folgende Eckpunkte eines Polygons verbindet, heißt eine Diagonale. Durch ganz einfache Schlüsse wird man auf folgende Sätze geleitet: 1. Von jedem Eckpunkte eines nseitigen Polygons lassen sich n—3 Dia¬ gonalen ziehen. 2. Die Anzahl aller möglichen Diagonalen eines n-Eckes ist gleich — 3. Jedes n-Eck lässt sich durch Diagonalen, welche von einem Eckpunkte aus gezogen werden, in n-—2 Dreiecke zerlegen. Z. 65. Lehrsatz. Die Summe aller Winkel eines Poly¬ gons i st gleich so v i elinal zwei Rechten, als die um 2 ver¬ minderte Zahl der Seiten anzeigt. Beweis. Zerlegt man ein nseitiges Vieleck durch Diagonalen, welche von einem Eckpunkte ausgehen, in n — 2 Dreiecke, so ist die Winkelsumme derselben und somit auch des n-Eckes (n—2).2L. Der Beweis könnte auch geführt werden, indem man von einem Punkte im Innern des Polygons zu allen Eckpunkten Strecken zieht. 8- 66. Zwei Vielecke sind kongruent, wenn in denselben alle Seiten und alle Winkel in derselben Ordnung paarweise gleich sind. Lehrsätze. 1. Z w e i Polygone, welche sich durch ü b e r- einstimmend gezogene Diagonalen in paarweise congruente Dreiecke zerlegen lassen, sind congruent. Beweis. Legt man die paarweise congruentcn Dreiecke der Reihe nach aufeinander, so fallen auch die Eckpunkte der beiden Polygone aufeinander; also sind diese congruent. 2. Umgekehrt: Zwei congruente Polygone werden durch übereinstimmend gezogene Diagonalen in paarweise congruente Dreiecke getheilt. Beweis. Legt man zwei congruente Polygone so aufeinander, dass die entsprechenden Eckpunkte aufeinander fallen, so decken sich auch die überein¬ stimmend gezogenen Diagonalen, mithin auch die dadurch gebildeten Dreiecke. H. 67. Lehrsatz. Sind in zwei n-Ecken 1) n—2 aufein¬ ander folgende Seiten und die an diesen liegenden w—1 Winkel; 2) r> — 1 aufeinander folgende Seiten und die von diesen eingcschlossenen n—2 Winkel; 3) alle n-Seiten 31 und n —3a u fein an der folge ndeWinkel paarweise gleich: so sind die beiden n-Ecke congruent. Beweis. Zerlegt inan die beiden Vielecke durch übereinstimmend gezogene Diagonalen in je n—2 Dreiecke, so sind je zwei entsprechende Dreiecke con- grnent, und zwar n—3 Paare derselben in allen drei Fällen nach Z. 38, das letzte Paar aber im ersten Falle nach tz. 37, im zweiten nach ß. 38 und im dritten nach H. 40; dann aber sind nach Z. 66, 1 die Vielecke selbst congruent. Folgesatz. Zur Bestimmung eines n-Eckes sind im allgemeinen 2n—3 von einander unabhängige Stücke erforderlich; die drei nicht gegebenen Stücke dürfen jedoch nicht sämmtlich Seiten sein. 2. Reguläre Polygone. K. 68. Ein Polygon, in welchem alle Seiten und alle Winkel einander gleich sind, heißt regelmäßig oder regulär. Unter den Dreiecken ist das gleichseitige Dreieck, unter den Vierecken das Quadrat regulär. Jeder Winkel eines regulären n-Eckes beträgt 211—(Z. 6ö). Lehrsatz. Die Symmetralen zweier anstoßender Seiten eines regulären Polygons schneiden sich in einem Punkte, welcher a) von allen Eckpunkten, 6) von allen Seiten des Polygons gleiche A b st ä n d e hat. Fig. 37. Beweis. Es sei ^.LODLL (Fig. 37) ein L' 7- regelmäßiges Vieleck, 60 die Symmetrale der Seite /V IL, und DO die Symmetrale der Seite LO. Dass sich 60 nnd DO in einem Punkte 0 schneiden müssen, /X -ergibt sich aus Z. 24, Folgesatz. Zieht man nun von 0 X^/ zu allen Eckpunkten des Vieleckes Strecken und fällt / X/ von 0 Normale auf die Seiten OD, DL,..., so ist Z^06^L06ML0D^00D..., daher 0 OL — 00 Ov ^... und 06^0D -- 01 —OL... Der Punkt 0 heißt der Mittelpunkt des regulären Polygons. Folgesätze, a) In einem regulären Polygon schneiden sich alle Seiten- symmetralen und alle Winkelsymmetralen im Mittelpunkte des Polygons. 6) Verbindet man den Mittelpunkt eines regulären Polygons mit allen Eckpunkten durch Strecken, so wird dadurch das Polygon in so viele congruente gleichschenklige Dreiecke zerlegt, als es Seiten hat. Ziehe vom Mittelpunkte eines regulären u-Eckes zu allen Eckpunkten Strecken; wie groß ist ») der Winkel am Scheitel, t>) der Winkel an der Grundlinie in jedem der dadurch gebildeten gleichschenkligen Dreiecke? Berechne diese Winkel insbesondere: a) für das gleichseitige Dreieck; a) für das reguläre Fünfeck; «) für das reguläre Zehneck; b) für das Quadrat; ä) für das reguläre Sechseck; f) für das reguläre Zwölfeck. 32 Z. 69. 1. Sowohl jede S e i t e n s y m m e tr a l e als jede W i n k e l s h m m e t r a l e eines regulären Polygons ist cine Symmetrieachse desselben. Von der Richtigkeit überzeugt man sich durch Umweudung um die bezüg¬ liche Symmetrale. 2. E in reguläres n - Eck hat n Symmetrieachsen. Ist n eine gerade Zahl, so haben immer je zwei gegenüberliegende Seiten und je zwei gegenüberliegende Winkel dieselbe Symmetrale. Ist dagegen n eine ungerade Zahl, so fallen immer eine Seiten- und eine Winkelsymmetrale zusammen. IV. Z>er Kreis. 1. Allgemeines über den Kreis. ß. 70. Dreht sich in einer Ebene eine Strecke OA (Fig. 38) um den einen Eckpunkt 0 herum, bis sie wieder in ihre ursprüngliche Lage kommt, so beschreibt der Punkt A während dieser Umdrehung eine krumme Linie, Fig. 38. welche Kreislinie oder Kreis genannt wird. Der Punkt A 0 heißt der Mittelpunkt oder das Centrum des Kreises. DA Alle Punkte einer Kreislinie sind vom Mittelpunkte derselben gleich weit entfernt. Diese constante Entfernung heißt der Halbmesser oder Radius des Kreises. Alle v //X Halbmesser eines Kreises sind einander gleich. /- Jeder Theil der Kreislinie heißt ein Bogen (srcms) und die ganze Kreislinie die Pheripherie des Kreises. Eine Strecke AL, welche zwei Punkte der Pheripherie verbindet, heißt Sehne (olloräa). Geht die Sehne durch deu Mittelpunkt, wie AO, so heißt sie ein Durchmesser (äiamstsr) des Kreises. Jeder Durchmesser eines Kreises ist doppelt so groß als ein Halbmesser. Ein Winkel AOK, dessen Scheitel im Mittelpunkte liegt, dessen Schenkel also Halbmesser des Kreises sind, heißt ein Centriwinkel. Ein Winkel AOK, dessen Scheitel in der Peripherie liegt und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind, heißt ein Peripheriewinkel. Ein Theil der Kreisfläche, der von einer Sehne und dem dazu gehörigen Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisabschnitt oder Segment. Ein Theil der Kreisfläche, der von zwei Halbmessern und dem dazu gehörigen Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisausschnitt oder Sector. Zu jeder Sehne gehören zwei Centriwinkel, zwei Bogen, wie auch zwei Ausschnitte und zwei Abschnitte, welche ine allgemeinen ungleich sind. Wenn jedoch nicht ausdrücklich anders bestimmt wird, ist stets der hohle Centriwinkel, ferner derjenige Bogen, welcher kleiner ist als die halbe Peripherie, nnd 33 derjenige Ausschnitt oder Abschnitt, welcher kleiner ist als die halbe Kreisfläche, zu verstehen. Z. 71. Die Lage eines Punktes in Bezug auf eiuen Kreis hangt von seinem Centralabstande, d. i. von seinem Abstande vom Mittel¬ punkte des Kreises ab. Ein Punkt liegt entweder außerhalb eines Kreises, oder auf der Peripherie desselben, oder innerhalb des Kreises, je nachdem sein Centralabstand größer, oder ebenso groß, oder kleiner ist als der Halbmesser. Diese Beziehungen, welche unmittelbar aus der Definition des Kreises in Z. 70 folgen, gelten auch in ihren Umkehrungen. Folgesätze, u) Zwei Kreise mit gleichen Halbmessern sind congruent. d) Der Kreis ist ein symmetrisches Gebilde; jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse. Z. 72. Lehrsatz. Von allen Strecken, die sich von einem Punkte an die Peripherie eines Kreises ziehen lassen, ist u) die¬ jenige die größte, in welcher der Mittelpunkt des Kreises liegt, und l>) diejenige die kleinste, deren Verlängerung durch den Mittelpunkt geht. zg Beweis. Ist K (Fig. 39) der , ' ' gegebene Punkt, und zieht man von demselben durch deu Mittelpunkt O / X des Kreises eine Gerade, welche die -Peripherie in U und 6 schneidet, V / V / ferner eine beliebige Strecke K I) an die Peripherie, so ist u) KI) < 1)0 -s- K0, d. i. KV < KO; tt) KV > K0 — V0 (in I), oder KV > I) 0 — KO (in II), d. i. KV > KU. 2. Die Geraden und die Winkel am Kreise. 73. Die Lage einer Geraden in Bezug auf einen Kreis hängt von ihrem Centralabstande, d. i. von ihrem Abstande vom Mittel¬ punkte des Kreises ab. Lehrsatz. Eine Gerade hat mit einem Kreise entweder u) keinen, oder k) einen, oder e) zwei Punkte gemeinsam, je nach¬ dem ihr Centralabstand größer, oder ebenso groß, oder kleiner ist als der Halbmesser. Beweis, u) Ist (Fig. 40, I) die Normale 00 vom Mittelpunkte des Kreises auf die Gerade KU größer als der Halbmesser, so liegt schon der Molnik, Geometrir. 3 34 Fußpunkt 6 der Normalen außerhalb des Kreises, daher auch jeder andere Punkt D der Geraden J.8, da 01) >00 ist. 5) Ist (Fig- 40, II) die Normale 0 0 von 0 auf ^8 gleich dem Halbmesser des Kreises, so liegt ihr Fußpunkt 0 auf der Peripherie des Kreises; jeder andere Punkt I) der Geraden -V8 aber muss, da 01) > 00 ist, außer¬ halb des Kreises liegen. e) Ist endlich (Fig. 40, III) die Normale 00 von 0 auf /V II kleiner als der Halbmesser, so liegt ihr Fußpunkt 0 innerhalb des Kreises; die un¬ begrenzte Gerade J.8 muss daher, um aus dem Innern des Kreises, welcher eine geschlossene Figur ist, nach außen zu treten, den Kreis auf jeder Seite von 0, in den Punkten I) und 8, treffen. Dann ist OO — 08 gleich dem Halbmesser. Einen dritten Punkt kann die Gerade mit der Kreislinie nicht gemeinsam haben, da sich von 0 zu der Geraden ^8 nicht mehr als zwei gleiche Strecken ziehen lassen (tz. 35, Folges.). Z. 74. Hat eine Gerade ^8 (Fig. 40, II) mit einer Kreislinie nur einen Punkt gemeinsam, während alle anderen Punkte derselben außerhalb des Kreises liegen, so sagt man: die Gerade und der Kreis berühren sich in jenem Punkte. Eine solche Gerade heißt eine Tangente des Kreises, und der Punkt, welchen die Tangente mit der Kreislinie gemeinsam hat, der Berührungspunkt. Hat eine Gerade J.8 (Fig. 40, III) mit einer Kreislinie zwei Punkte gemeinsam, so sagt man: die Gerade schneidet den Kreis in diesen zwei Punkten. Eine solche Gerade heißt eine See ante des Kreises. Das zwischen den beiden Schnittpunkten liegende Stück 08 der Secante ist eine Sehne (Z. 70). Sehnen des Kreises. Z. 75. Lehrjahr. I. Die Strecke aus dem Mittelpunkte des Kreises nach der Mitte einer Sehne ist zu dieser normal. 2. Die Normale aus dem Mittelpunkte eines Kreises auf die Sehne halbiert die Sehne. 3. Die Gerade, welche in der Mitte einer Sehne auf diese normal errichtet wird, geht durch den Mittelpunkt des Kreises, oder: Jede Sehnensymmetrale geht durch den Mittelpunkt des Kreises. 35 Diese drei Lehrsätze ergeben sich unmittelbar aus den Sätzen 1., 2. und 4. in Z. 44. ß. 76. Lehrsatz. Durch drei Punkte 4., 8 und 6, welche nicht in eikller Geraden liegen, ist ein Kreis unzweideutig bestimmt. Beweis. Der Mittelpunkt eines Kreises, welcher durch die Punkte 4. und 8 geht, liegt in der Symmetrale der Strecke 4.8 (Z. 75, 3); der Mittel¬ punkt eines Kreises, welcher durch 4. und 0 geht, liegt ebenso in der Sym¬ metrale der Strecke 4.0. Der Mittelpunkt eines durch alle drei Punkte gehenden Kreises ist demnach der Schnittpunkt 0 dieser beiden Shmmetralen (Z. 24, Folgest); der Halbmesser desselben ist 04. — 08 — 00. Da sich die zwei Symmetralen in einem einzigen Punkte 0 schneiden können, so gibt es auch nur einen Kreis, welcher durch die drei Punkte 4., 8 und 0 geht. ß. 77. Lehrsätze. 1. Gleichen Sehnen eines Kreises entsprechen gleiche Centralabstände. 2. Der größeren Sehne ent¬ spricht ein kleinerer Cen¬ tralabstand. 3. Gleichen Central abstän den entsprechen gleiche Sehnen. 4. Dem größeren Central¬ er bstan de entspricht eine kleinere Sehne. Fig. 41. Beweis zu 1. Ist (Fig. 41) 4.8 — 08 und 08 .0 4^8, 084-00, so ist, wenn man 04^ und 00 zieht, /4 4.08 M 080; mithin 08^08. Beweis zu 2. Es sei (Fig. 42) 4.8 > 4.0, OO H8 uud 08 4,4.0, so ist, wenn man 08 zieht, in dem Dreiecke 4.08 der Winkel d > a (Z. 33, 2), daher ä < o und folglich OO < 08. Beweis zu 3. Es sei (Fig. 41) 08 — 08. Dann ist 44 4.80 ^080, daher ist 4r8 08, folglich auch 4.8 — OO. Beweis zu 4. Es sei (Fig. 42) OO < 08. Wäre 4.8 4.0, so müsste bezüglich nach 1. oder 2. OO > 08 sein, was gegen die Voraussetzung ist. Folgesatz. Der Durchmesser ist die größte Sehne des Kreises. K. 78. Lehrsätze. 1- Zu gleichen Centriwinkeln eines Kreises gehören gleiche Sehnen und gleiche Bogen. 2. Zu gleichen Sehneu eines Kreises gehören gleiche Centri¬ winkel und gleiche Bogen. 3. Zu gleichen Bogen eines Kreises gehören gleiche Sehnen und gleiche Centriwinkel. 3* 36 Die Beweise dieser Sätze durch Deckung. Z. 79. Theilt mau die Peripherie eines Kreises in 360 gleiche Theile, so entspricht jedem derselben ein Centriwinkel von 1 Grad. Man nennt des¬ halb auch den 360sten Theil der Peripherie einen Grad (Bogengrad) und theilt den Grad (") in 60 Bogen minuten (ch, jede Minute in 60 Bogen- secundcn ("). Hiernach drückt die Zahl der Grade, Minuten und Secunden eines Kreisbogens zugleich die Zahl der Grade, Minuten und Secunden des zugehörigen Centriwinkels aus. In diesem Sinne sagt man: Der Kreisbogen ist das Maß des zugehörigen Centriwinkels. Tangenten des Kreises. Z. 80. Lehrsätze. 1. Die Gerade, welche im Endpunkte eines Halbmessers zu diesem normal ist, ist eine Tangente des Kreises. (Folgt aus K. 73, k>.) 2. Der Halbmesser eines Kreises nach dem Berührungs¬ punkte ist zur Tangente normal. 3. Die Normale aus dem Mittelpunkte eines Kreises zur Tangente geht durch den Berührungspunkt. 4. Die zur Tangente eines Kreises im Berührungspunkte errichtete Normale geht durch deu Mittelpunkt des Kreises. Die Beweise für die Umkehrungen 2., 3., 4. werden indirect geführt. ß. 81. Lehrsatz. Die von einem Punkte außerhalb eines Kreises an diesen gezogenen Tangenten sind einander gleich. Fig. 43. Beweis. Es seien (Fig. 43) L.0 und 80 -Tangenten des Kreises 0, also LO Z. 07X und 8 0 Z, 0 8. Zieht man die Strecke 00, so ist / /X 0L.0 M 080, mithin 7^0 — 80. ) / Die Sehne ^.8 zwischen den Berührungs- V punkten des Kreises und der Tangenten 7X 0 und 8 0 heißt die Berührungssehne des Punktes 0. Folgesätze. a) Die Gerade vom Schnittpunkte zweier Tangenten eines Kreises nach dem Mittelpunkte desselben halbiert 1. den von den beiden Tan¬ genten gebildeten und den von den beiden Halbmessern eiugeschlosfenen Winkel, 2. sie halbiert den Bogen und die Berührungsfehne und ist 3. zu dieser Sehne normal. l>) Der Winkel zweier Tangenten eines Kreises ist das Supplement des von den Halbmessern der beiden Berührungspunkte gebildeten Winkels. o) Der Schnittpunkt zweier Tangenten eines Kreises liegt in der Ver¬ längerung des zur Berührungssehne normalen Halbmessers. Periphcriewinkel. Z. 82. Lehrsatz. Ein Peripheriewinkel ist gleich dem halben Centriwinkel auf demselben Bogen. 37 Beim Bewege dieses Satzes sind drei Fälle zu unterscheiden: Fig. 44. Im ersten Falle ist F08 — 8 2 0 oder 0 F 0 8. Der Mittelpunkt des Kreises liegt entweder 1. auf einem Schenkel des Peripheriewinkels (Fig. 44, I), oder 2. in der Winkclfläche des Peripherie¬ winkels (Fig. 44, II), oder 3. außerhalb der Winkelsläche des Peripheriewinkels (Fig. 44, III). -st 0, aber 8 — 0, daher F 0 8 — Im zweiten und dritten Falle zieht man von 0 einen Durchmesser; durch zweimalige Anwendung des ersten Falles und Addition, bezüglich Sub- traction der zusammengehörigen Winkel ergibt sich die Behauptung. Folgesätze, a) Perip he riew inkcl, welche auf demselben Bog en eines Kreises anfstchen, sind einander gleich. Denn jeder derselben ist gleich dem halben Centriwinkel auf demselben Bogen. d) Zu gleichen Peripheriewinkeln gehören in demselben Kreise auch gleiche Bogen. (Umkehrung von a.) e) Zwei Peripheriewinkel, welche über derselben Sehne in den entgegengesetzten Kreisabschnitten stehen, ergänzen sich zu zwei Rechten. Denn die Summe ihrer Centriwinkel beträgt vier Rechte. Z. 83. Ein Peripheriewinkel, dessen Schenkel durch die Endpunkte eines Durchmessers gehen, heißt ein Winkel im Halbkreise. Lehrsatz. Ein Winkel im Halbkreise ist ein rechter. Denn der Ccntriwinkel auf demselben Bogen ist ein gestreckter. K. 84. Lehrsatz. Der Winkel, den eine Tangente des Kreises mit einer durch den Berührungspunkt gehenden Sehne bildet, ist gleich dem Peripheriewinkcl über dieser Sehne im entgegen- Fig. 45. gesetzten Kreisabschnitte. Beweis. Es sei 8 0 eine Tangente des Kreises / Vvx E Punkte F. Zieht man den Durchmesser FL, so ist s S a)8FI)-stDFL —8,undFLV-stI)FL^8G.83), /V//, daher 8 F D — FLD; d) ferner ist 0 F Ii> — 8 -st L F I) FLI) — 8 -st LLI), oder FLO — 8-stLFI) (Z. 82, a), mithin O F v — FLO. 3. Dem Kreise ein- und umgcschrirbrne Vielecke. tz. 85. Ein Vieleck, dessen Eckpunkte in dem Umfange des Kreises liegen, dessen Seiten also Sehnen des Kreises sind, heißt dem Kreise eingeschrieben; der Kreis ist dann dem BieleKe um geschrieben. 38 Ei» Vieleck, dessen Seiten Tangenten des Kreises sind, heißt dem Kreise umgeschrieben, der Kreis ist dann dem Vielecke ein¬ geschrieben. Ein dem Kreise eingeschriebenes Vieleck nennt man auch ein Sehnen- Vieleck, ein dem Kreise umgeschriebenes Vieleck ein Tangentenvieleck. Z. 86. Lehrfach. 1. Jedem Dreiecke lässt sich ein Kreis umschreiben. Beweis. Die Seitensymmetrnlen eines Dreieckes (Fig. 26) schneiden sich in einem Punkte O, welcher von den drei Eckpunkten denselben Abstand 0^. hat (Z. 48, 1). Beschreibt man daher aus 0 mit OJ. einen Kreis, so geht er durch alle Eckpunkte des Dreieckes. 2. Jedem Dreiecke lässt sich ein Kreis einschreibcn. Beweis. Die Winkelsymmetralen eines Dreieckes (Fig. 27) schneiden sich in einem Punkte O, welcher von den drei Seiten denselben Abstand 0 D hat (§. 48, 2). Beschreibt man daher aus 0 mit OO einen Kreis, so berührt er alle drei Seiten des Dreieckes. Zusatz. Aus dem Zusatze zu Z. 48, 2 folgt, dass es außer dem in 2. angegebenen Kreise auch noch drei Kreise gibt, welche je eine Seite des Drei¬ eckes und die Verlängerungen der beiden anderen berühren. Man nennt diese drei Kreise äußere Berührungskreise des Dreieckes, während der obige Kreis der innere Berührnngs kreis genannt wird. Z. 87. Lehrsätze. 1. In jedem Sehnenvierecke sind die Summen der gegen¬ überliegenden Winkel ein¬ ander gleich. Folgt aus Z. 82, 6. Z. 88. Umkehrungen. l. Sind in einem Vier ecke die Summen der gegenüber¬ liegenden Winkel gleich, so ist dasselbe ein Schnen- viereck. Beweis indirect. Würde der durch drei Eckpunkte L, 6 beschriebene Kreis nicht auch durch den vierten I) gehen, so müsste er die Seite 6O selbst oder ihre Verlängerung in einem Punkte schneiden, durch dessen Verbindung mit man ein Sehnenviereck erhielte. Dann aber würde sich ergeben, dass ein Außenwinkel eines Dreieckes einem inneren gegenüberliegenden gleich wäre. 2. J n j e d e m T a n g e n t e uviere ck.e sind die Summen der gegen¬ überliegenden Seiten ein¬ ander gleich. Folgt ans Z. 81. 2. Sind in einem hohlwink¬ ligen Vierecke die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich, so ist d assclbe ein Tangenten Viereck. Beweis indirect. Würde der drei Seiten des Viereckes berührende Kreis nicht auch die vierte berühren, so könnte von dem einen Endpunkte dieser vierten Seite eine Tangente an den Kreis gezogen werden, wodurch man ein Tangentenviereck erhielte. Dann aber würde sich ergeben, dass eine Seite eines Dreieckes der Differenz der beiden anderen gleich wäre. 39 Z. 89. Lehrsätze. 1. Jedem regulären Vielecke lässt sich ein Kreis um- und eiuschreiben. Der Beweis ist in Z. 68 enthalten. Der Abstand des Mittelpunktes des regulären Vieleckes von den Eck¬ punkten ist der Halbmesser des umgeschriebcnen, der Abstand des Mittelpunktes von den Seiten der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises. 2. Ist die Peripherie eines Kreises in n gleiche Theile getheilt, so bilden a) die Sehnen zwischen je zwei benachbarten Theilungspunkten ein eingeschriebenes, und b) die Tangenten durch je zwei beuachbarte Theilungspunkte ein umgeschriebenes reguläres n-Eck. Beweis. Es sei (Fig. 46) der Bogen J.8 — 86 — 6D—... a) Zieht man die Sehnen J. L, 86, 6 O, ..., so sind in dem Vielecke K 8 6 I) ... die Seiten K8, 8 6, 61),... gleich r vorausgesetzt wird, die Halbmesser zweier Kreise, deren Mittelpunkte 0 und 0' sind, und ist ihre Centrale O O' — o, so finden in Bezug auf die Lage der beiden Kreise folgende Beziehungen statt. Mg, 48, 1. Ist o > L -s-r, so liegt jeder der beiden Kreise ganz außerhalb des andern. (Fig. 48.) Beweis. Aus a > k 4- r folgt e — r > k, d. i. 0^.' > k. Es liegt also der Punkt ^', und daher auch jeder andere Punkt der Kreislinie 0', da nach ß. 72, l, sein Abstand von dem Punkte O größer als 0^.' ist, außerhalb des Kreises O 2. Ist e — k -j- r, so berühre n sich die beiden Kreise von außen. (Fig. 49.) Beweis. Schneidet der Kreis 0' die Centrale in ist also 0'^, — r, so muss 0 — 00' — 0'— k -s-r — r —k sein; der Punkt ist also beiden Kreis¬ linien gemeinsam. Dagegen liegt jeder andere Punkt der Fig. 49. Kreislinie O', da nach Z. 72, l> sein Abstand von dem Punkte O größer als 0 7^ ist, außerhalb des Kreises 0. — r folgt v -j- r > k, d. 3. Ist k si- r > o>k —r, so schnei¬ den sich die beiden Kreise in zwei Punkten. (Fig. 50.) Beweis. Der Kreis 0' schneide die Cen¬ trale in und k'. Aus o < li 4- r folgt « — r < k, d. i. O < k; der Punkt liegt also innerhalb des Kreises O. Aus a > k i. OK' > k; der Punkt K' liegt also außerhalb Fig. si. des Kreises 0. Die beiden von nach L' führenden Bogen des Kreises 0' müssen daher den Kreis O in zwei Punkten, I) und O', schneiden. 4. Ist e — k— r, so berühren sich die beiden Kreise von innen. (Fig. 51.) 41 Der Beweis wird unter Beiziehung von Z. 72, n ähnlich wie zu 2. geführt. 5. Ist o < n — r, so liegt der eine der beiden Kreise ganz innerhalb des andern. (Fig. 52.) Fig. 52. Beweis mit Rücksicht auf Z. 72, a analog wie zu 1. —"x. Ansatz. Da in den vorhergehenden fünf Sätzen alle x möglichen, sich gegenseitig ausschließenden Fälle berücksichtigt welche bezüglich der Centrale im Vergleiche zur Summe Xst—/ und Differenz der Halbmesser der beiden Kreise stattfinden können, so lässt sich indircct leicht beweisen, dass von diesen Sätzen auch die Umkehruugen richtig sind. Z. 94. Lehrsätze. 1. Die Centrale zweier sich berührender Kreise geht durch den Berührungspunkt. Folgt ans den Beweisen zu 2. und 4. in tz. 93. 2. Die durch den Berührungspunkt zweier Kreise an den einen gezogene Tangente ist zugleich eine Tangente des andern. Ist (Fig. 49 und 51) NX I O^, so ist auch NX st, 0^. 3. Die Centrale zweier sich schneidender Kreise ist zur ge¬ meinsamen Sehne normal und halbiert die Sehne sowie die zugehörigen Centriwinkel beider Kreise. (Z. 44.) Ansatz. Unter dem Winkel zweier sich schneidender Kreise versteht man den Winkel der durch einen ihrer Schnittpunkte an sie gezogenen Tangenten. 5. Übungssätze. Z. 95. 1. Von allen Sehnen, die durch einen Punkt innerhalb eines Kreises gezogen werden können, ist diejenige die kleinste, welche zu dem durch diesen Punkt gezogenen Halbmesser normal ist. (ß 77, 4.) 2. Zwei Sehnen, welche nicht durch den Mittelpunkt des Kreises gehen, können sich nicht halbieren. 3. Kreisbogen zwischen parallelen Sehnen sind einander gleich. Beweis aus der Gleichheit der Wechsolwinkel und H. 82, b. 4. Die Endpunkte zweier gleicher Bogen eines Kreises bilden die Eck¬ punkte eines gleichschenkligen Trapezes. 5. Die Endpunkte zweier gleicher und paralleler Sehnen eines Kreises bilden die Eckpunkte eines Rechteckes. 6. Alle einer Tangente eines Kreises parallelen Sehnen werden durch den zum Berührungspunkte gezogenen Durchmesser halbiert. 7. Zieht inan durch die Eckpunkte eines in einen Kreis beschriebenen Rechteckes Tangenten an denselben, so schließen diese einen Rhombus ein. (Z. 81). 8. In jedem Sehnenvielecke von gerader Seitenzahl ist st- "s st- "4 st- - - — «» st- Z- st- .., wo cr,l den n ten Vieleckswinkel-bezeichnet. 42 Man zieht zu den Eckpunkten Halbmesser und wendet Z. 82, n an. 9. In jedem Tangentenvielecke von gerader Seitenzahl ist si" -si -si -s- -s- .., wo 8„ die nte Vielecksseite bezeichnet. 10. Wenn drei Kreise, welche durch die drei Eckpunkte eines Dreieckes gehen, einander paarweise auf den Seiten desselben schneiden , so gehen sie durch einen gemeinsamen Punkt. (Z. 87, 1.) V. Konstructilmsaufgaöen. Z. 96. Eine geometrische Constructionsaufgabe (Z. 6) spricht die Forderung aus, ein geometrisches Gebilde herzustellen, welches gegebenen Bedingungen entspricht. Die Herstellung des bezüglichen Gebildes heißt Con- struction und das Gebilde selbst eine Figur. Jede Constructionsaufgabe erfordert eine Auflösung, d. i. die Angabe und Begründung des Verfahrens, durch welches die Construction der verlangten Figur ansgeführt wird. Eine Aufgabe heißt bestimmt, wenn in derselben so viele von einander unabhängige Bedingungen angegeben werden, als zur Bestimmung der gesuchten Stücke hinreichend, aber auch erforderlich sind; enthält eine Aufgabe weniger Bedingungen, so heißt sie unbestimmt; enthält sie mehr Bedin¬ gungen, so heißt sie überbestimmt. Eine bestimmte Aufgabe lässt entweder eine einzige Auflösung oder eine gewisse, genau bestimmbare Anzahl von Auflösungen zu und heißt dann bezüglich eindeutig bestimmt oder mehr¬ deutig bestimmt. Eine unbestimmte Aufgabe hat unendlich viele Auflösungen. Eine überbestimmte Aufgabe ist im allgemeinen unlösbar. Eine Constructionsaufgabe ist als gelöst anznsehen, wenn sie auf Auf¬ gaben zurückgeführt wird, deren Auflösung man als selbstverständlich voraus¬ setzen muss, und die daher Forderungssätze oder Postulate heißen. Die Forderungssätze der Planimetrie sind: 1. Durch zwei gegebene Punkte eine Gerade von beliebiger Länge zu ziehen. 2. Um einen gegebenen Punkt mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben. Zur wirklichen Ausführung dieser beiden Postulate bedient man sich des Lineals und des Zirkels. H. 97. Die Auflösung einer Aufgabe ergibt sich manchmal als unmittel¬ bare Folge eines geometrischen Lehrsatzes, meistens aber beruht sie auf der entsprechenden Verbindung mehrerer Lehrsätze. Die Entwicklung des Gedanken- ganges, durch welchen das zu der verlangten Figur führende Verfahren gefunden wird, heißt Analysis. Aus der Analysis ergibt sich dann die Construction, wie auch der Beweis, welcher die Richtigkeit der Construction auf Grund der mathemati¬ schen Lehren zu zeigen hat. 43 Zu dem Beweise tritt häufig noch die Determination hinzu, d. i. die Erörterung der Frage, unter welchen Bedingungen die Lösung möglich ist, und ob der Aufgabe nur eine oder mehrere Lösungen genügen. Die vollständige Auflösung einer geometrischen Constructionsaufgabe enthält demnach im allgemeinen vier Theile: die Analysis, die Construction, den Beweis und die Determination. Die Analysis bedient sich verschiedener Methoden, von denen die Methode der geometrischen Örter, die der Hilfsfiguren, der ähnlichen Figuren und der algebraischen Analysis besonders wichtig sind. Von den zwei letzteren Methoden wird erst später die Rede sein können. 1. Fundamental-Ausgaben. Z. 98. Diejenigen Constructionsaufgaben, welche als die einfachsten am häufigsten Anwendung finden und deren Auflösung bei zusammengesetzteren Aufgaben als bekannt vorausgesetzt wird, bezeichnet man mit dem Namen Fundamental-Aufg aben. 1. Ein Dreieck zu constrnieren, wenn seine drei Seiten AK, AO und KO gegeben sind. Analysis. Durch die Seite AL sind zwei Eckpunkte A und k des gesuchten Dreieckes AKO bestimmt. Soll der dritte Eckpunkt 0 von A den Abstand AO haben, so muss er in der Kreislinie liegen, welche um A mit dem Halbmesser AO beschrieben wird; soll ferner 0 von k den Abstand KO haben, so muss er auch in der Kreislinie liegen, welche uni L mit dem Halb¬ messer KO beschrieben wird; der Punkt 0 kann daher nur in dem Durch¬ schnitte dieser beiden Kreislinien liegen. Construction. Man ziehe eine Strecke AK, welche der einen Seite gleich ist, beschreibe um A einen Kreis mit der zweiten Seite A 0 als Halb¬ messer, und um L einen Kreis mit der dritten Seite KO als Halbmesser; der Durchschnitt 0 der beiden Kreise ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreieckes. Der Beweis liegt unmittelbar in der Construction. Determination. Damit die beiden um A und L beschriebenen Kreise sich schneiden und dadurch eine Construction des Dreieckes AKO möglich machen, muss (nach Z. 93, 3) AK < A.0 -s- KO und zugleich AL>AO — KO sein; man erhält in diesem Falle zwei Dreiecke, welche jedoch congruent sind und daher für eine einzige Lösung angesehen werden. Ist AK > AO -s- KO oder AL AL —KO, so gibt es kein Dreieck. Besondere Fälle sind die Aufgaben: a) Ein gleichschenkliges Dreieck zu construieren, wenn die Grundlinie und ein Schenkel gegeben sind. 44 b) Ein gleichseitiges Dreieck zu construieren, wenn seine Seite gegeben ist. 2. Ein Dreieck zu construieren, welches mit einem gegebenen Dreiecke congruent ist. Constrnction mit Hilfe der drei Seiten des gegebenen Dreieckes nach Aufgabe 1. 3. Einen gegebenen Winkel an eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte anfzutragen. Auflösung. Man schneide vom Scheitel des gegebenen Winkels aus von dessen Schenkeln gleiche Stücke ab und verbinde die Endpunkte durch eine Strecke, wodurch man ein gleichschenkliges Dreieck erhält; dann constrniere man (nach Aufg. 2) ein ihm congruentes Dreieck so, dass der Scheitel des neuen Dreieckes in den gegebenen Punkt und ein Schenkel in die gegebene Gerade fällt. 4. Ein Dreieck zu construieren, wenn eine Seite nnd die ihr anliegenden Winkel gegeben sind. Man trage an die gegebene Seite ^.8 in ihren Endpunkten die gege¬ benen Winkel auf; der Durchschnitt 6 der beiden Schenkel LO und 80 dieser Winkel ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreieckes ^80. Der Beweis liegt in der Constrnction. Determination. Es gibt nur dann ein Dreieck, wenn ^4 4- 8<2kist. 5. Ein Dreieck zu construieren, wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind. Man construiere den gegebenen Winkel, mache dessen Schenkel gleich den gegebenen Seiten und ziehe zwischen den Endpunkten eine Strecke. Als speciellcr Fall: Ein rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn die beiden Katheten gegeben sind. 6. Ein Dreieck zu construieren, wenn zwei Seiten ^.0 und 80 und der einer dieser Seiten gegenüberliegende Winkel ge¬ geben sind. (Fig. 53.) Constrnction. Man construiere den gegebenen Winkel und trage Mg 53, auf dem einen Schenkel die diesem Winkel an- liegende Seite ^.0 ans; um den Endpunkt 0 /dx beschreibe man mit der andern gegebenen, dem Winkel gegenüberliegenden Seite 80 als Halbmesser einen Kreisbogen, welcher den zweiten , Schenkel des Winkels in 8 schneidet, und ziehe die Strecke 80; ^.80 ist dann das ge- " ' - suchte Dreieck. Der Beweis liegt in der Constrnction. Determination. Der um 0 mit 80 beschriebene Kreisbogen schneidet den zwecken Schenkel des Winkels in einem einzigen Punkte 8, wenn 45 80 > ^0 ist, da der andere Schnittpunkt in die Ergänzung des Strahles ^.8 fällt; in zwei Punkten 18 und dH wenn die dem Winkel gegenüber¬ liegende Seite kleiner als ^.0, jedoch größer als die von 0 auf ^8 gefällte Normale 08"' ist; und gar nicht, wenn die gegenüberliegende Seite < 08"' ist. (AZ. 73 und 35.) Im ersten Falle genügt nur ein Dreieck ^80; im zweiten Falle ist die Aufgabe zweideutig bestimmt, da die zwei nicht con- gruenten Dreiecke ^.8'0 und H80 entsprechen; im dritten Falle gibt es kein Dreieck. Rur ein Dreieck erhält inan auch dann, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite — ^.0, oder — 618" ist. Ein specieller Fall ist die eindeutig bestimmte Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck zu c o n st r u i e r e n, wenn die Hypotenuse und eine Kathete gegeben sind. 7. Die Symmetrale einer gegebenen Strecke ^.8 zu c v n st r n i e r e n. Man beschreibe um und 8 mit demselben Halbmesser nach oben und unten Kreisbogen, welche sich in 0 und 8 schneiden; diese Punkte haben dann von und 8 gleiche Abstände, folglich ist die Gerade OD die Symmetrale der Strecke ^.8 (Z. 46, 1). Dieselbe Construction liefert auch die Lösung für die Aufgabe: Eine gegebene Strecke zu halbieren. 8. Die Symmetrale eines gegebenen Winkels L80 zu c o n str u i e r e n. Man bestimme auf den Schenkeln durch Beschreibung eines Kreisbogens zwei Punkte N und 17, welche vom Scheitel 6 gleich weit abstehen, und con- struiere die Symmetrale der Strecke N17; dieselbe ist dann auch die Sym¬ metrale des Winkels NO 17 oder ^08 (Z. 47, 1). Dies ist auch die Lösung für die gleichbedeutende Aufgabe: Einen gegebenen Winkel zu halbieren. 9. Zu einer gegebenen Geraden ^8 von eine m a uß e r ihr liegenden Punkte 0 die Normale zu ziehen. Man beschreibe aus 0 einen Kreisbogen, welcher die ^.8 in den Punkten N und 17 schneidet, und construiere die Symmetrale der Strecke N17. 10. Zu einer gegebenen Geraden L.8 in e i n e m P n n k te O derselben die Normale zu errichten. Man mache auf der Geraden die ON — 017 und construiere die Symmetrale der Strecke NI7. 11. Zu einer gegebenen Strecke ^.8 in einem End¬ punkte X derseben die Normale zu errichten (Fig. 54). Construction. Man schneide von der gegebenen Strecke ein Stück ^.0 ab, beschreibe darüber das gleichseitige Dreieck ^08, verlängere die Seite 08 mn ihre eigene Länge bis 8 und ziehe die Strecke 1^.8; diese ist die gesuchte Normale. 46 Fig. 54. Beweis. oni) — 60° und G. 33, 6) DLL -- 7000 — 30°; daher ONL 90°. 12. Zn einer gegebenen Geraden durch einen außerhalb derselben gegebenen Punkt 0 die Parallele zu ziehen. /X Auflösung 1. Man ziehe durch 0 eine Gerade, 0_S welche die 708 in I) schneidet, und trage in 0 einen Winkel 008 — 7000 (nach Aufg. 3) so auf, dass er zu 7000 Wechselwinkel wird; der zweite Schenkel 08 des konstruierten Winkels ist die gesuchte Parallele (24, 1). Auflösung 2. Man fälle von 0 die 08 Z. uO.8 und erriete in 6 die 08 ,s. 08; dann ist 08 708 G. 25, 1). Auflösung 3. Man ziehe durch 0 eine Gerade, welche die 708 in 0 schneidet, und beschreibe um D mit dem Halbmesser OO einen Kreisbogen, welcher die 708 in 8 schneidet; beschreibt man dann mit demselben Halbmesser um 6 uud 8 zwei Kreisbogen, welche sich in 8 schneiden, so ist die Gerade 08 der 708 parallel G. 54, 2). 13. Eine gegebene Strecke 708 (Fig. 34) in mehrere gleiche Th eile zu th eilen. Man ziehe von 70 unter einem beliebigen Winkel einen Strahl 700, trage auf ihm eine beliebige Strecke so vielmal auf, als gleiche Theile verlangt werden, verbinde den Endpunkt 0 mit 8 durch die Strecke 08 und ziehe zu dieser auch durch die übrigen Punkte die Parallelen Atz, NR, 08, RR; dadurch wird die gegebene Strecke in die verlangte Anzahl gleicher Theile getheilt G. 59, 3). Z. 99. 1. Den Mittelpunkt eines Kreises zu finden. Mittels der Symmetralen zweier nicht paralleler Sehnen nach Z. 76. 2. Einen Kreisbogen zu halbieren. Die Symmetrale der zum Bogeu gehörigen Sehne halbiert auch den Centriwinkel, folglich nach tz. 78, 1 den Bvgen selbst. 3. D urch e i n e n g e g e b e n e n P n n kt auf d e r P e r i p h e r i e eines Kreises an diesen e i n e T a n g e n te zu ziehen (Z. 80,1). 4. Durch einen gegebenen Punkt außerhalb eines Kreises an diesen Tangenten zu ziehen. Ist 0 (Fig. 43) der gegebene Punkt und 0 der Mittelpunkt des Kreises, so ziehe man die Strecke 00, beschreibe über dieser als Durchmesser einen Kreis, welcher den gegebenen in den Punkten uud 8 schneidet; die Geraden OH und 011 sind die gesuchten Tangenten. 5. Über einer Strecke als Sehne einen Kreisbogen zu beschreiben, in welchem jeder P c r i p h e r i c w i n k e l über dieser Sehne einem gegebenen Winkel gleich ist. 47 Es sei LtlO (Fig. 55) der gegebene Winkel und ?> die gegebene Strecke. Man errichte auf die Symmetrale LO, ziehe auch O und beschreibe um den Schnitt¬ punkt 0 der Geraden LO und ^.0 als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 0 — II 0 einen Kreis. Dann ist (Z. 84) der Kreisbogen, in welchem der gegebene Winkel 8^.0, und der Kreisbogen, in welchem sein Nebenwinkel als Periphcriewinkel über der Sehne ^.8 liegt. 2. Methode der geometrischen Arter. tz. 108. Eine Linie oder Fläche von solcher Beschaffenheit, dass alle in ihr liegenden Punkte, aber auch nur diese, einer gewissen gegebenen Bedingung genügeleisten, heißt der geometrische Ort dieser Punkte. So liegen z. B. alle Punkte einer Ebene, welche von einem gegebenen Punkte denselben gegebenen Abstand haben, in der Kreislinie, welche um jenen Punkt mit dem gegebenen Abstande als Halbmesser beschrieben wird, und gibt es außerdem keinen anderen Punkt der Ebene, der dieselbe Bedingung erfüllt. Man drückt dies durch folgenden Satz aus: 1. n) Der geometrische Ort aller Punkte, welche von einem gegebenen Punkte einen gegebenen Abstand a haben, ist der um diesen Punkt mit dem Halbmesser a beschriebene Kreis. Dieser geometrische Ort enthält die Lösungen der unbestimmten Auf¬ gabe: Einen Punkt zu bestimmen, welcher von einem gegebenen Punkte einen gegebenen Abstand hat. Ein anderer Ausdruck für denselben geometrischen Ort ist: 1. 5) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche durch einen gegebenen Punkt gehen und einen gegebenen Halbmesser a haben, ist der um diesen Punkt mit dem Halbmesser a beschriebene Kreis. Ebenso ergeben sich aus bekannten geometrischen Lehrsätzen folgende geometrische Örter: 2. a) Der geometrische Ort aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten gleiche Abstände haben, ist die Symmetrale ihrer Verbindungsstrecke (8- 46, 1). 2. b) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche durch zwei gegebene Punkte gehen, ist die Symmetrale ihrer Verbindungsstrecke. 3. n) Der geometrische Ort aller Punkte, welche von den Schenkeln eines Winkels gleiche Abstände haben, ist die Symmetrale dieses Winkels (8- 46, 2). 3. 5) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche zwei nichtparallele Gerade berühren, ist die Symmetrale des von den Geraden in Prem Schnittpunkte gebildeten.Winkels (Z. 81). Fig. 55. 48 4. a) Der geometrische Ort aller Punkte, welche von einer gegebenen Geraden auf einer bestimmten Seite derselben einen gegebenen Abstand a haben, ist die zu der Geraden ans derselben Seite in dem Abstande a gezogene Parallele (Z. 54, b). 4. d) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser a haben und eine gegebene Gerade auf einer bestimmten Seite derselben berühren, ist die zu der Geraden auf derselben Seite in dem Abstande a gezogene Parallele (Z. 80). 5. Der geometrische Ort der Scheitel aller rechtwinkligen Dreiecke, welche eine gegebene Hypotenuse haben, ist der über dieser als Durchmesser beschriebene Kreis (Z. 83). 6. Der geometrische Ort der Scheitel aller Dreiecke, in welchen einer gegebenen Seite ein gegebener Winkel gegenüberliegt, ist der über der Seite als Sehne beschriebene Kreisbogen, welcher den gegebenen Winkel als Peripherie¬ winkel fasst (Z. 84). Wie man einen solchen Kreisbogen construiert, wurde im Z. 99, Aufgabe 5, angegeben. 7. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte derselben berühren, ist die in diesem Punkte zu der Geraden errichtete Normale (ß. 80). 8. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben berühren, ist die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des gegebenen Kreises gehende Gerade (K 94). 9. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser haben und einen gegebenen Kreis berühren, ist ein mit diescni eoncentrischer Kreis, dessen Halbmesser gleich ist der Summe oder der Differenz der beiden gegebenen Halbmesser, je nachdem die Berührung von außen oder von innen stattfindet (K. 93, 2 und 4). ß. 101. Ist für einen Punkt ein einziger geometrischer Ort gegeben, so ist dadurch die Lage des Punktes nicht bestimmt, da es unzählig viele Punkte gibt, welche in diesem geometrischen Orte liegen. Sind dagegen für einen Punkt zwei geometrische Örter bekannt, so gibt es nur einen, oder eine bestimmte Anzahl von Punktei:, welche in beiden geometrischen Örtern liegen. Die Methode der geometrischen Örter besteht nun darin, dass man bei Aufgaben, deren Lösung von der Bestimmung eines Punktes ab¬ hängt, aus den gegebenen Bedingungen zwei Linien (Gerade oder Kreise) als geometrische Örter des Punktes findet, indem mau zu diesem Zwecke zunächst nur die eine Bedingung, welche der Punkt erfüllen soll, beachtet nnd von der andern ganz absieht, hierauf ebenso nur die zweite Bedingung ins Auge fasst und die erste unbeachtet lässt. Die gemeinsamen Punkte der so gefundenen zwei geometrischen Örter sind dann die gesuchten Punkte. 49 Folgende Aufgaben mögen als Beispiele dienen. 1. Einen Punkt zu bestimmen, der von einer gegebenen Geraden 7^8 (Fig. 56) und von einem gegebenen Punkte O außer¬ halb der Geraden denselben gegebenen Abstand a hat. Fig- 56. Analysis. Es sei Ll der verlangte Punkt. Da LI ""x, von 7^8 den Abstand a haben soll, so ist der g. Ort / X für N die zu 7L8 im Abstande OLl — a gezogene Pa- rallele NLk (g. O. 4. a); da ferner von 0 den Ab- stand s, haben soll, so ist die um 0 mit OLI — a be- schriebene Kreislinie ein zweiter g. Ort für LI (g. O. 1. a); also liegt LI im Durchschnitte der beiden Örter. .N e7 S Construction. Man ziehe zu L.8 in dem Ab¬ stande OLl — a die Parallele NLI' und beschreibe aus 0 mit dem Halb¬ messer a, eineu Kreis, welcher die gezogene Parallele in dem Punkte LI (LI), schneidet; dieser Punkt ist der gesuchte Punkt. Beweis. Derselbe folgt unmittelbar aus der Construction. Determination. Die Aufgabe hat zwei Auflösungen oder nur eine oder gar keine, je nachdem der nm 0 beschriebene Kreis die Parallele LILk schneidet oder berührt oder gar nicht trifft. Zieht man 0k st, LH, so treten diese drei Fälle ein, je nachdem a > 08 oder a — 08 oder a <7 Ok ist. 2. Ein Dreieck zu construieren, wenn eine Seite o, der ihr gegenüberliegende Winkel und die Höhe auf diese Seite gegeben sind. Mg. L7. Analysis. Es sei 7L8O (Fig. 57) das gesuchte § , Dreieck, in welchem 7L8 — o, 7L.08 — und 00 — Ii ÖL'xT" Durch die Seite 7L8 sind die Eckpunkte 7L und 8 / / x. ' ' x gegeben; somit ist nur noch der Eckpunkt 0 zu bestimmen. / / ) Da 7^08 — sein soll, so ist der g. Ort für 0 ein V ', / über 7L8 als Sehne beschriebener Kreisbogen, der den y/.Ö' _ x^ Winkel als Peripheriewinkel fasst (g. O. 6); da ferner X^ die Höhe des Dreieckes, d. i. der Abstand des Scheitels von der Grundlinie — k sein soll, so ist ein zweiter Ort für 0 die in dem Abstande II zu 7L.8 parallel gezogene Gerade (g. O. 4. a); 0 ist also durch den Durchschnitt dieser Örter gegeben. Construction. An L.8 — o lege man in 7L. einen Winkel 87LL — /, ziehe 7^0,1.7L 8 und zu ^8 die Symmetrale 80, welche die Normale 7L. 0 in 0 trifft. Beschreibt man nun aus 0 mit OL als Halbmesser einen Kreis¬ bogen und zieht in dem Abstande 00 —I» zu 7L8 die Parallele 00h welche den Kreisbogen in 0 schneidet, so ist 7^80 das verlangte Dreieck. Beweis. In dem Dreiecke 7L.8O ist nach der Construction 7L8 — 0 der Winkel 7^.08 (tz. 84-) und die Höhe 00 In Moönik, Geometrie. 4 50 Determination. Man erhält zwei Dreiecke /V80 and ^.8 0', welche jedoch congruent sind, oder nur ein Dreieck oder gar keines, je nachdem ll < 80 oder ll — 80 oder k > 80 ist. 3. Einen Kreis zu beschreiben, welcher eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte und einen gegebenen Kreis mit dem Radius 8 berührt. Fig. 58. Analysis. Ist )18 (Fig. 58) die gegebene Gerade, 6 der gegebene Punkt in derselben, 0 der Mittelpunkt des gegebenen und N der Mittel¬ punkt des gesuchten Kreises, so ist die zu ^8 Normale 6 N ein g. O. für LI (g. O. 7). Zur Auffindung des zweiten g. O. führt die Überlegung, dass der Kreis, welcher mit dem ge¬ suchten concentrisch ist und durch O geht, eine Gerade berührt, die mit )^8 im Abstande 8 — 01) (08') parallel ist, je nachdem der gegebene Kreis von innen oder außen berührt wird, dass dann 08 (08') Sehnen dieser concentrischen Kreise sind und die Mittelpunkte dieser Kreise in der Symmetrale dieser Sehnen liegen müssen. Construction: Man errichtet in 0 die Normale ON, trägt darauf 08 (08') — 8 auf und errichtet im Mittelpunkte der Sehne 08 (08') die Normale 8N(8'LI'), so ist LI (N') der Mittelpunkt des gesuchten Kreises und sein Radius ist LIO (LI'O). Der Beweis ergibt sich aus der Construction. Determination. Man erhält zwei Kreise, wenn die gegebene Gerade außerhalb des gegebenen Kreises liegt oder eine Secante des Kreises ist, einen Kreis aber, wenn sie eine Tangente ist. 3. Methode der Hilssfiguren. tz. 102. Bei der Methode der Hilssfiguren nimmt man zum Zwecke der Analysis eine vorläufige Figur von der durch die Aufgabe ver¬ langten Art an und untersucht unter Anwendung von geometrischen Lehrsätzen den Zusammenhang zwischen den gegebenen und den gesuchten Stücken, indem man diejenigen gegebenen Bestimmungsstücke, welche in der angenommenen Figur nicht unmittelbar vorkommen, durch entsprechende Hilfslinien mit derselben in Verbindung bringt und dadurch eine construierbare Hilfsfigur ermittelt, aus welcher sich die in der Aufgabe verlangte Figur herleiten lässt. Als Beispiele sollen folgende Aufgaben durchgeführt werden: 1. Ein Dreieck zu construieren, wenn eine Seite o, der an¬ liegende Winkel « und die Summe s der beiden anderen Seiten gegeben sind. 51 Fig. 59. Analysis. Man nehme vorläufig irgend ein D Dreieck 8L0 (Fig. 59) als das verlangte an, so dass L8 — v, 8L0 — « und 80 Z- L0 — 8 / sei. Da zur Auflösung alle gegebenen Stücke zu be- nützen sind, so muss die Strecke s, welche in der >/ Figur selbst nicht unmittelbar vorkommt, in geeigneter -X Weise mit ihr in Verbindung gebracht werden. Ver¬ längert man zu diesem Zwecke L0 um die der Seite 80 gleiche Strecke 01) und zieht 81), so erhält man das Hilfsdreieck 8LI), in welchem die Seiten L8 — o und LI) — 3, sowie der Winkel 8LO — « bekannt sind, und welches daher cvnstrniert werden kann. Von diesem Dreiecke aber gelangt man zu dem gesuchten Dreiecke 8L0, indem man zu 81) die Sym- metralc zieht, welche, da das 0 8 v gleichschenklig ist, die L I) im Punkte 0 trifft. Construction. Man ziehe L8 —0, lege in L den Winkel 8LV — « an, mache den Schenkel LV — s und ziehe 8 V. Construiert man nun zu 81) die Symmctrale, welche die Seite LI) in 0 schneidet, so ist L80 das gesuchte Dreieck. Der Beweis folgt unmittelbar aus der Construction. Determination. Die Aufgabe ist nur lösbar, wenn « < 180° und 0 < s ist. 2. Ein Dreieck zu constrnieren, von welchem der Umfang und zwei Winkel gegeben sind. Fig. 60. Analysis. Es sei L80 (Fig. 60) 8 das verlangte Dreieck, welches den gege- / X denen Umfang L8 -s- L0 -s- 80 — u / x und die gegebenen Winkel 8 L 0 — « und // ,/ ^^0 — <1 hat. Stellt man u so dar, dass S ^4 S L" man L8 nach beiden Seiten verlängert und LV — LO, 88 —80 macht, und zieht VO und 8V, so entsteht das Hilfsdreieck V80, welches sich constrnicren lässt, da in demselben V8 — u, 81)0— " und V80— (tz. 33, l>) gegeben sind. Dadurch ist auch der Eckpunkt 0 des gesuchten Dreieckes bestimmt. Die beiden anderen Eckpunkte L und 8 sind die Scheitel zweier gleichschenkliger Dreiecke über den Grundlinien OO und 08 und liegen in der Strecke 1)8; sie sind also die Schnittpunkte der zn Ov und 08 errichteten Symmetralen (Z. 47, 1) und der V8. Construction. Man mache die Strecke V8 — u, trage in v und 8 die Winkel 81)8 — « und V8V — st auf, halbiere diese Winkel und ver¬ längere die Halbierungslinien bis zum Schnittpunkte 0. Construiert man dann zu den Strecken OO und 08. die Symmetralen VL und .18, welche die 4' 52 v L in den Punkten -4 und L schneiden, und zieht -40 und L O, so ist -480 das verlangte Dreieck. Der Beweis liegt in der Analysis. Determination. Es wird vorausgesetzt, dass « si-si < 180" ist; dann ist stets, und zwar nur ein einziges der Aufgabe genügendes Dreieck möglich. 3. Ein Dreieck zu construieren, wenn eine Seite, die Diffe¬ renz der beiden anderen Seiten nnd der von diesen e i n g e- schlossene Winkel gegeben sind. Fig. si. Anal y s i s. Es sei i4 8 0 (Fig. 61) das ver¬ langte Dreieck, von welchem 80 — a, si-8— ^40 — ä nnd Winkel 8^.0 — « gegeben ist. Trägt man von si.8 ein Stück ^48 — -40 ab, so dass 81) — ä wird, und zieht 01), so ist Winkel -480 — 8 — d. i. die Hälfte des Nebenwinkels von «. Das Hilfsdreieck 81)0, von welchem die Seiten 80 — a, 88 — ä und der der größeren dieser Seiten gegen¬ überliegende Winkel 880 — 8 si- bekannt sind, lässt sich also construieren. Dadurch sind auch die Eckpunkte 8 und 0 des gesuchten Dreieckes bestimmt. Der dritte Eckpunkt ^4 ergibt sich dann als Scheitel des gleichschenkligen Drei¬ eckes sie 08. Construction. Man ziehe 88 — ck, mache den Winkel 888 — halbiere dessen Nebenwinkel L.88 durch 8 0 und beschreibe um 8 mit dem Halbmesser a einen Kreisbogen, welcher 80 in 0 schneidet; sodann ziehe man 80, construiere zu 80 die Symmetrale, welche die verlängerte 88 in sie trifft, und ziehe -4.0; -480 ist das gesuchte Dreieck. Der Beweis ergibt sich aus der Analysis. Determination. Die Aufgabe ist lösbar, wenn ä < n und « < 180^' ist. 4. Übungsaufgaben. L. Nach der Methode der geometrischen Örter. Z. 103. I. Einen Punkt zu bestimmen, der von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt ist und von einem dritten gegebenen Punkte einen gegebenen Abstand hat. 2. In einer gegebenen Geraden einen Punkt zu bestimmen, welcher von zwei außer ihr gegebenen Punkten gleich weil absteht. 3. In einer gegebenen Geraden einen Punkt so zu bestimmen, dass er von einer zweiten gegebenen Geraden einen gegebenen Abstand hat. 4. Einen Punkt zu finden, welcher von zwei gegebenen parallelen nnd einer dritten sie schneidenden Geraden gleich weit absteht. 5. In einer Seite eines gegebenen Dreieckes den Punkt zu bestimmen, welcher von den beiden anderen Seiten gleich weit absteht. 53 6. Zu einem gegebenen Vierecke den Punkt zu construieren, welcher von zwei bestimmten Eckpunkten desselben, und ebenso von den beiden anderen Eck¬ punkten gleich weit nbsteht. 7. Zwischen die Schenkel eines gegebenen Winkels eine gegebene Strecke so einzutragen, dass sie zn dem einen Schenkel normal ist. ß. 104. 1. Über einer gegebenen Strecke als Hypotenuse ein rechtwink¬ liges Dreieck zn construieren, dessen Scheitel in einer znr Strecke parallelen Geraden liegt. 2. Ein rechtwinkliges Dreieck zn construieren, wenn gegeben sind: n) die Hypotenuse und die Höhe auf dieselbe; d) die Hypotenuse und ein spitzer Winkel; e) die Abschnitte, in welche die Hypotenuse durch die Höhe zertheilt wird. 3. Eiu gleichschenkliges Dreieck a) aus der Grundlinie und Höhe, b) aus einem Schenkel und der zugehörigen Höhe zu construieren. 4. Ein Dreieck zu construieren, wenn gegeben sind: s) eine Seite, die zugehörige Höhe und ein der Seite anliegender Winkel; b>) eine Seite, der ihr gegenüberliegende Winkel und die Höhe auf eine andere Seite; o) eine Seite, die zugehörige Höhe und Schwerlinie; ck) zwei Seiten und die zn einer gehörige Schwerlinie. 5. *) Ein Dreieck zu construieren, wenn gegeben sind: a) ein Winkel und die Höhen auf die ihn einschließendcn Seiten; b>) zwei Seiten und die Höhe auf eiuc derselben; o) zwei Seiten und die zur dritten Seite gehörige Höhe; ä) eine Seite, die zu ihr und die zu einer zweiten Seite gehörige Höhe; o) eine Seite und die Höhen auf die beiden anderen Seiten. In den Aufgaben ä) und s), wo die Seite als festliegend angenommen wird, erhält man als geom. Örter für den Fußpunkt der Höhe auf eine andere Seite den Kreis, welcher um den einen Endpunkt der gegebenen Seite mit der Höhe als Halbmesser beschrieben wird, und die ans dem zweiten Endpunkte an diesen Kreis gezogene Tangente. Z. 105. l. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, welcher u) durch zwei gegebene Punkte geht; 5) eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte berührt; o) eine gegebene Gerade berührt und durch einen außer ihr gegebenen Punkt geht; ä) zwei gegebene sich schneidende Gerade berührt. 2. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, welcher a) einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte berührt; d) einen gege¬ benen Kreis berührt und durch einen außerhalb desselben gegebenen Punkt geht; «) eine gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis berührt; ä) zwei gegebene Kreise berührt. 3. Einen Kreis zu beschreiben, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und a) eine gegebene Gerade, d) einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte berührt. y In den früheren Auflagen, hat diese Aufgabe Nummer 4. 54 4. Einen Kreis zu construieren, welcher zwei gegebene sich schneidende Gerade, und zwar die eine in einem gegebenen Punkte berührt. 5. Einen Kreis zu beschreiben, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und einen gegebenen Kreis in einem bestimmten Punkte berührt. 6. Einen Kreis zu beschreiben, welcher einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte und eine gegebene Gerade berührt. 7. Einen Kreis zu beschreiben, welcher zwei gegebene Kreise, und zwar den einen in einem gegebenen Punkte berührt. Sind 0 und O die Mittelpunkte der gegebenen Kreise, L der gegebene Berührungs¬ punkt des ersten und Al der Mittelpunkt des gesuchten Kreises, so ist die Gerade 0^ ein geom. Ort für LI. Den andern geoni. Ort erhält man durch eine ähnliche Überlegung wie in Ausgabe 3 des Z. 101. L. Nach der Methode der HilfSfigurcn. Z. 106. Jedes Dreieck wird durch die Höhe in zwei rechtwinklige Drei¬ ecke gctheilt, welche als Hilfsfigureu dienen können. 1/ Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse durch die Höhe in zwei Abschnitte getheilt wird, zu construieren, wenn gegeben sind: s.) eine Kathete und die Höhe auf die Hypotenuse; l>) die Höhe und ein spitzer Winkel; o) eine Kathete und der ihr anliegende Abschnitt der Hypotenuse; ä) die Höhe und ein Abschnitt der Hypotenuse. 2. Ein gleichseitiges Dreieck aus der Höhe zu eonstruieren. 3. Ein gleichschenkliges Dreieck zu construieren rr) aus dem Schenkel und der Höhe, d) aus der Höhe und einem Winkel, o) aus der Basis und der Höhe auf einen Schenkel. 4. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck aus der Höhe zu construieren. 5. Ein Dreieck zu construieren, wenn gegeben sind: a) eine Seite, sie Höhe auf eine zweite Seite und der der letzteren Seite gegenüberliegende Winkel; 6) eine Seite, die zugehörige Schwerliuie und ein der Seite anlie¬ gender Winkel, c) die Höhe auf eine Seite und die dieser anliegenden Winkel; cl) die Höhen auf zwei Seiten und der einer dieser Seiten gegenüberliegende Winkel; o) die zu einer Seite gehörige Höhe und Schwerlinie, dann ein dieser Seite anliegender Winkel. Z. 107. Kommen unter den gegebenen Bestimmungsstücken eines Drei¬ eckes die Summe oder die Differenz zweier Seiten (oder einer Seite und der Höhe) vor, so erhält man durch entsprechende Verlängerung einer Seite oder bezüglich durch Abtragen von derselben als Hilfsfigur ein Dreieck, in welchem die gegebene Summe oder Differenz als Seite erscheint. I^-Ein rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn gegeben sind: a) die Hypotenuse und die Summe (Differenz) der beiden Katheten^ 6) eine Kathete und die Summe (Differenz) der Hypotenuse und der andern Kathete; o) ein spitzer Winkel und die Summe (Differenz) der beiden Katheten; cl) die Summe (Differenz) aus der Hypotenuse und einer Kathete und ein spitzer Winkel; 55 s) die Summe (Differenz) der beiden Katheten und die Differenz der ihnen gegenüberliegenden Winkel; k) der Umfang und ein spitzer Winkel. 2. Ein gleichseitiges Dreieck ans der Summe (Differenz) seiner Seite und Höhe zu konstruieren. 3. Ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn nebst der Summe (Differenz) der Grundlinie und des Schenkels a) der Winkel an der Grund¬ linie, lo) der Winkel nm Scheitel gegeben ist; wenn nebst der Summe (Diffe¬ renz) des Schenkels und der Höhe e) die Grundlinie, ä) der Winkel an der Grundlinie (am Scheitel) gegeben ist. Ein Dreieck zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) die Summe (Differenz) zweier Seiten, die dritte Seite und der dieser gegenüberliegende Winkel; b) die Summe (Differenz) zweier Seiten, die dritte Seite und ein dieser anliegender Winkel; e) die Summe (Differenz) zweier Seiten und zwei Winkel. Z. 108. Die Aufgaben über die Construction der Parallelogramme oder Vierecke überhaupt lasscu sich im allgemeinen mit Hilfe der Construction eines der Dreiecke lösen, in welche das Parallelogramm (Viereck) durch eine einzelne Diagonale oder durch die beiden Diagonalen zugleich getheilt wird. Ein Quadrat a) aus der Seite, d) aus der Diagonale, e) aus der Summe (Differenz) der Diagonale und der Seite zu konstruieren. .^2/ Ein Rechteck zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) zwei anstoßende Seiten; lo) eine Seite und die Diagonale; o) eine Seite und der ihr gegen¬ überliegende Winkel der beiden Diagonalen; ä) die Diagonale und der Winkel der Diagonalen; o) die Summe (Differenz) zweier Seiten und die Diagonale; t') die Summe (Differenz) zweier Seiten und ein Winkel;. eine Seite und die Smiune (Differenz) der Diagonale und der andern Sette. x3/Ein Rhombus zu konstruieren, wenn gegeben sind: u) die Seite nnd ein Winkel; l>) die Seite und die Höhe;^o/ die Seite und eine Diagonale; ä) die zwei Diagonalen; e) die Seite und die Summe (Differenz) der Dia¬ gonalen; k) die Summe (Differenz) der Seite und der Höhe und ein Winkel. 4. Ein Rhomboid zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel; 5) zwei Seiten und eine Diagonale; o) eine Seite und die beiden Diagonalen; ä) die Diagonalen und der von ihnen ein- gcschlossene Winkel; s) zwei Seiten und die Höhe auf eine derselben; k) die Summe (Differenz) zweier Seiten, ein Winkel und eine Diagonale; §) die Summe (Differenz) der Diagonalen, eine Seite und der von den beiden Dia¬ gonalen eingtschlosscne Winkel. 5. Ein Deltoid zu konstruieren, wenn gegeben sind: u) zwei ungleiche Seiten und eine Diagonale; b) die beiden Diagonalen und eine Seite. Z. 109. Ein Trapez ist durch jedes der Dreiecke, welche durch eine Diagonale abgeschnitten werden, nebst einem davon unabhängigen Stücke des 56 andern dieser Dreiecke, ein gleichschenkliges Trapez schon durch eines dieser Dreiecke bestimmt. Sind die beiden Parallelseiten gegeben, so zieht man durch einen Eck¬ punkt eine Parallele zu einer der nichtparallelen Seiten und erhält dadurch als Hilfsfigur ein Dreieck, dessen eine Seite der Differenz der Parallelseiten gleich ist. 1. Ein gleichschenkliges Trapez zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) eine Parallelseite, die nichtparallele Seite und die Diagonale; d) eine Parallelseite, die nichtparallele Seite und die Höhe; o) die zwei Parallelseiten und die Höhe; ä) die zwei Parallelseiten und die nichtparallele Seite; s) die nichtparallele Seite, die Diagonale und die Höhe; k) eine Parallelseite, ein Winkel und die Höhedie Summe (Differenz) einer parallelen und der nichtparallelen Seite, die diagonale und ein Winkel. 2. Ein Trapez zu konstruieren, wenn gegeben sind: n) alle vier Seiten; b) drei Seiten und die Höhe; o) drei Seiten und ein Winkel; ä) eine Parallelseite, die ihr anliegenden Winkel und eine Diagonale; s) die Parallel¬ seiten, eine nichtparallele Seite und eine Diagonale; k) die beiden nichtparnl- lelen Seiten, eine Diagonale und die Höhe; x) die Summe (Differenz) einer parallelen und einer nichtparallelen Seite, die beiden anderen Seiten und die dem Winkel, welchen diese einschließen, gegenüberliegende Diagonale; ll) die Summe (Differenz) einer parallelen und einer nichtparallelen Seite, die der Parallelseite anliegenden Winkel und die Höhe. 6. Aufgaben ohne Beziehung auf eine bestimmte Methode. tz. 110. 1. Einen rechten Winkel in drei gleiche Thcile zu theilen. Man konstruiere (Fig. 54) das gleichseitige /X und halbiere den Winkel 6^.1). 2. In einer gegebenen Geraden einen Punkt so zu bestimmen, dass die Strecken, welche von ihm nach zwei gegebenen Punkten außerhalb der Geraden gezogen werden, mit dieser gleiche Winkel bilden. Fällt mau von dem einen Punkte auf die Gerade die Normale, verlängert diese um sich selbst über den Fußpunkt hinaus und verbindet den Endpunkt mit dem zweiten gegebenen Punkte, so schneidet diese Verbinduugsstrecke die Gerade in dem gesuchten Punkte. 3. Durch einen gegebenen Punkt eine Gerade so zu 'ziehen, dass sie mit einer gegebenen Geraden einen gegebenen Winkel bildet. Man trage den gegebenen Winkel an die gegebene Gerade auf und ziehe zu den: zweiten Schenkel durch den gegebenen Punkt eine Parallele. 4. Durch einen gegebenen Punkt zwischen den Schenkeln eines Winkels eine Gerade so zu ziehen, dass das von den Schenkeln begrenzte Stück der¬ selben in deni gegebenen Punkte halbiert wird. Man ziehe durch den Punkt ? eine Parallele zu dem einen Schenkel L 6, welche von dem andern Schenkel eine Strecke L O abschueidet, verlängere diese letztere um sich selbst (tl.v — ^.L) und ziehe durch den Endpunkt L und den gegebenen Punkt l? eine Gerade. (Z. 59, 3.) 57 ^5. Durch eine» zwischen den Schenkeln eines Winkels gegebenen Punkt eine Gerade so zn ziehen, dass sie von den Schenkeln gleiche Stücke abschneidet. Man ziehe durch den gegebenen Punkt eine Normale zur Winkelsymmetralc. 6. Zwischen die Schenkel eines, gegebenen Winkels eine Gerade von gegebener Länge so zn legen, dass sie von den Schenkeln gleiche Stücke abschncidet. In einem gegebenen Kreis eine Sehne von gegebener Länge so zu legen, dass sie einer gegebenen Geraden parallel wird. 8. Auf einer gegebenen Geraden einen Punkt so zn bestimmen, dass die von ihm nach einem gegebenen Kreise gezogene Tangente eine gegebene Länge habe. Man ziehe an den Kreis eine beliebige Tangente von der gegebenen Länge und beschreibe durch ihren Endpunkt einen mit dem gegebenen concentrischen Kreis; der Schnitt punkt dieses Kreises mit der gegebenen Geraden ist der gesuchte Punkt. Z. III. 1. Ein Vieleck zu construieren, das mit einem gegebenen Vielecke congruent ist. 2. Ein n - Eck aus den in Z. 67 angegebenen Bestimmungsstücken zu construieren. 3. Ein regelmäßiges »-Eck zu construieren, wenn eine Seite desselben gegeben ist. 4. Die Peripherie eines Kreises a) in 2, 4, 8,..d) in 3, 6, 12,... gleiche Theile zu theilen. >^5^. In einen gegebenen Kreis ein Dreieck zu beschreiben, von welchem gegeben sind: a) zwei Seiten; l>) eine Seite und ein ihr anliegender Winkel; o) zwei Winkel; ä) eine Seite und die zugehörige Höhe; s) eine Seite und die zugehörige Schwerlinie; 1) eine Seite und die Höhe auf eine andere Seite. Bei os coustruiere man zuerst 2 °- als Centriwinkcl, so hat mau die Sehne und sonach die Ausgabe d. /^6. Um einen gegebenen Kreis ein Dreieck zu beschreiben, von welchem gegeben sind: a) zwei Winkel; l>) einer Seite mit den Winkeln, welche einer anstoßenden Seite anliegen. 58 Aritter Abschnitt. Proportionalität der Strecken und Ähnlichkeit der ebenen Gebilde. I. Geometrische Verhältnisse und Proportionen. 112. Eine Raumgröße heißt ein Maß einer andern gleichartigen Raum- große, wenn die zweite aus gleichen Theilen besteht, deren jeder der ersten Ranmgröße gleich ist. Ist z. B. — nN, wo a irgend eine ganze Zahl bedeutet, so ist LI ein Maß von Ist LI sowohl ein Maß von tL als von 8, so heißt es ein gemeinsames Maß von und 8. Um ein gemeinsames Maß zweier Raumgrößen zu fiuden, nehme man von der größeren die kleinere 8 so oft weg, als es möglich ist; hierauf in gleicher Weise den Rest 6 von der kleineren Größe 8 so oft, als es angeht; dann den neuen Rest t) von dem vorigen Reste 0, u. s. f. Kommt man bei diesem Verfahren einmal auf einen Rest 8, welcher ein Maß des nächst vorhergehenden ist, so ist 8 ein gemeinsames, und zwar, wie aus der Arithmetik bekannt ist, das größte gemeinsame Maß von und 8. Wir wollen dieses Verfahren an zwei Strecken ^.8 und 08 (Fig. 62) veranschaulichen. Fig. os. Man trägt die kleinere Strecke 6D auf die , größere ^8 so oft auf, als es angeht, hier ^"^2 mal; den Rest 88 trägt man auf die kleinere 0—-Strecke 01) (2 mal), den Rest 8 V auf den vorigen Rest 88 (1 mal), den neuen Rest 08 wieder auf den früheren 81), in welchem er genau 2 mal enthalten sei. Man hat dann 81) — 2 08, 88 --88 -s- 08 -- 3 08, 01) -- 2 88 -j- 81) — 8 08, ^8 -- 2 01) -8 88 19 08. Es haben demnach ^.8 und 01) das größte gemeinsame Maß 08, und zwar ist dieses in ^.8 19 mal, in 01) 8 mal enthalten. Z. 113. Kommt man bei dem im H. 112 angeführten Verfahren, soweit auch das wiederholte Wegnehmen der Reste fortgesetzt wird, auf keinen Rest — 0, so haben die beiden gegebenen Größen kein gemeinsames Maß. Zwei Größen, welche ein gemeinsames Maß haben, heißen kommen¬ surabel; zwei Größen, welche kein gemeinsames Maß haben, inkommen¬ surabel. Ein Beispiel zweier inkommensurabler Größen bieten die Hypotenuse und die Kathete eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieckes. 59 Z. 114. Unter dem Verhältnis I. : 8 zweier gleichartiger Raumgrößen versteht man den Quotienten ihrer Maßzahlen, d. i. der unbennnnten Zahlen, durch welche die beiden Raumgrößen in Beziehung auf dasselbe Maß nus¬ gedrückt sind. So ist in Fig. 62 ^8 : Ov 19 68 : 8 68 19 : 8. Lehrsätze. 1. Das Verhältnis zweier commensurabler Größen ist entweder eine ganze Zahl oder ein Bruch, somit rational (Arithmetik, Z. 118, 1). 2. Das Verhältnis zweier incommensurabler Größen kann a) weder eine ganze noch eine gebrochene Zahl sein, es lässt sich jedoch d) als Grenzwert eines veränderlichen Bruches mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit annäherungsweise bestimmen; das Verhältnis ist somit irrational (Arithmetik, tz. 118, 2). 3. Zwei irrationale Verhältnisse, welche Grenzwerte des¬ selben veränderlichen Bruches sind, sind gleich. (Arithmetik, Z. 114.) ß. 115. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Pro¬ portion. Eine Proportion, in welcher die beiden inneren Glieder gleich sind, heißt eine stetige Proportion, z. B. I. : 8 — 8 : 0; das mittlere Glied wird die mittlere Proportionale (das geometrische Mittel) zwischen den beiden äußeren Gliedern, und das vierte Glied die dritte stetige Pro¬ portionale zu dem ersten und dem mittleren Gliede genannt. Sind zwei Arten von Größen so von einander abhängig, dass, wenn nnd 8 zwei zusammengehörige Werte derselben sind, für ein beliebiges in zu m I. auch m8 gehört, dass sich also zwei Größen der einen Art wie die zugehörigen Größen der andern Art verhalten, so sagt man: die beiden Arten von Größen sind gerade proportioniert, auch bloß proportioniert; gehört dagegen zu m I. der Wert so dass sich zwei Größen der einen Art umgekehrt wie die zugehörigen Größen der andern Art verhalten, so sagt man: die beiden Arten von Größen sind verkehrt proportioniert. Lehrsatz. Sind zwei Arten von Größen für je zwei commen- surable Werte der einen Art gerade oder verkehrt prop ortioniert, so sind sie es auch für je zwei incommensnrable Werte derselben, (Arithmetik, 8. 122). II. Proportionalität der Strecken. tz. 116. Mehrere durch einen Punkt gehende Gerade bilden einen Strahlen¬ büschel; der gemeinsame Punkt heißt sein Scheitel. Liegen die Geraden in einer Ebene, so heißt der Strahlenbüschel ein ebener. Jede Gerade, welche die Strahlen eines ebenen Strahlenbüschels schneidet, heißt eine Transver¬ sale desselben G. 21). 60 Lehrlak. Zwei Strahlen werden von je zwei parallelen Transversalen proportioniert geschnitten. Fig. 63. Voranss. Es sei DK h ^.L (Fig. 63). L B c h n u p t. 01) : I) — O K : K L, 0^ : 1)^ OL : KL, Q 0^.: 01) OL : OK. / , Beweis. Es seien die Strecken 01) nnd 1)^ comneen- surabel, OLI ein gemeinsames Maß derselben, nnd zwar / 01) — m.ON, D^. o.OLI; dann ist O I) : I) F-IN : n. Theilt man nun die 01) in m und die D^ in o gleiche Theile und zieht durch jeden Theilungspunkt eine Parallele zn L.L, so wird dadurch (tz. 59, 3) auch OK in in und KL in n gleiche Theile getheilt; es ist also OK : KL — m : n, sonach 01) : 1)^. — OK: KL. Aus dieser Proportion ergibt sich auch die Richtigkeit der zweiten und dritten der oben aufgestellten Proportionen. Man hat (01) -j- 1)^.) : 1)^ (OK KL): KL oder 0^:1)^.^ OL: KL, (01) -s- 1)^.) : OK (OK -K KL) : OK oder 0^. : OL OL : OK. Diese Proportionen sind nach Z. 115 auch dann giltig, wenn die Strecken 01) und incommensurabel sind. Auf gleiche Weise kann auch die Erweiterung des obigen Lehrsatzes für den Fall, dass die eine der parallelen Transversalen die Ergänzungen der beiden Strahlen schneidet, bewiesen werden. § Folgesatz. Zieht man in einem Dreiecke zu einer Seite eine Parallele, so werden durch dieselbe die beiden anderen Seiten proportioniert geschnitten. tz. 117. Lehrsatz. Werden zwei Strahlen von zwei Transver¬ salen prop ortioniert geschn itten, so sind die beiden Transversalen parallel (Umkehrung des Lehrsatzes in F. 116). Fig- 64. Beweis. Es sei (Fig. 64) 0^ : 01) — OL : 0 K. Schnitte die durch 1) parallel mit ^L gezogene Grade die /X OL im Punkte K, so wäre (nach Z. 116) 0^. : 01) — »/ X^ OL:OK. Dann aber muss mit Rücksicht auf die Vor- aussetzuug OK — OK, d. h. der Punkt K mit K identisch -Xs sein. Folglich ist die DK h ^L. Folgesatz. Werden zwei Seiten eines Dreieckes von einer Transversale proportioniert geschnitten, so ist diese zur dritten Seite parallel. §. 118. Lehrsatz. Werden zwei Strahlen von zwei parallelen Transversalen geschnitten, so sind die Abschnitte der beiden 61 Nff- 65. L' Transversalen den Absch nitten eines jeden Strahles proportioniert (Fig. 65). Beweis. Ist VL ^4L, so ist 074 : 01) -- OK : OK (Z. 116). Zieht man LI? 074 und betrachtet L als Scheitel, mithin L L und 074 als Transversalen, so ist auch ^k: 74V — OK : OK, oder weil 74V — vv ist, .4K :vv OK : Ov. Man hat daher ^4L : VL 074 : Ov — OK: OK. tz. 1k). Lehrsatz. Wird ein ebener Strahlenbüschel von zwei oder mehreren parallelen Transversalen geschnitten, so sind ») je zwei Abschnitte des einen Strahles den entsprechenden Ab¬ schnitten jedes anderen Strahles, und 6) je zwei Abschnitte einer Transversale den entsprechenden Abschnitten jeder anderen Trans¬ versale proportioniert (Fig. 66). Vornuss, 74kh74'k'h74"k". .. Behaupt, a) 0^4: 074': 074"... OK :0V': 01)"... Ov :0V' :0V". .. 6) 74v:74'v':74"v". .. ^vv:v'v':v"v"... ^V6:V'K':V"8"... Beweis folgt aus M 116 und 118. Fig. 66. 0 Z.^120. 1. Die Sy mm etra le eines Dreieckswiukels theilt die Gegenseite in zwei Abschnitte, welche den ihnen anliegenden Seiten des Dreieckes proportioniert sind. Borauss. Es sei im Dreiecke ^LO (Fig. 67) der Winkel 0 durch die Gerade Ov halbiert, so dass m — u wird. g7 Behaupt, 74V : KV -4.0 : KO. v Beweis. Man verlängere 60 und ziehe durch -4 zu V O eine Parallele, welche die Ver- längerung der KO in v schneidet. Es ist nun V?/ X na — gp u — p, und wegen na — n auch g — p, - folglich v 0 — 74 0. In dem Dreiecke 74 k v ist 01) V74, daher findet die Proportion 74V : LV — 00:6 0 statt, woraus dann 74v:kv — 74O:KO folgt. 2. Die Symmetrale eines Außenwinkels eines Dreieckes theilt die verlängerte Gegenseite in einem Punkte, dessen Ab¬ stände von den Endpunkten jener Seite den beiden anderen Dreiecksseiten proportioniert sind (Beweis analog wie zu 1). 62 HI. Karmonische Fheilmrg der Strecken. Liegt von zwei Punkten 0 und 8 (Fig. 68) der eine auf der Strecke der andere auf der Verlängerung so, dass ihre Abstände von den Endpunkten dieser Strecke gerade proportioniert sind, dass also die Proportion äO : 80 -- ^1) : 81) stattfindet, so sagt man: die Strecke ist durch die Punkte 0 und O harmonisch getheilt. Aus ^.0:80 — ^8:88 folgt auch 08 : 1)8 — 0^. : DL. Ist daher die Strecke ^.8 durch die Punkte 0 und I) harmonisch getheilt, so ist auch die Strecke 08 durch die Punkte 8 und harmonisch getheilt. Die Punkte L, 0, 8, I) heißen vier harmonische Punkte. Die Punkte 0 und I) nennt man in Bezug auf die Strecke )18 cinauder con- jugiert; ebenso sind 6 und .-V in Bezug auf die Strecke 01) einander conjugiert. Vier Strahlen, welche von einem Punkte 8 aus durch vier harmonische Punkte gehen, heißen harmonische Strahlen, und zwar nennt man je zwei Strahlen, welche durch zwei conjugierte Punkte gehen, einander con¬ jugiert. Alle vier Strahlen zusammen bilden einen harmonischen Strahlenbüschel. Z. 122. Lrhrsühe.^- Zieht man zu einem Strahle eines har¬ monischen Büschels eine Parallele, so halbiert der conjugierte beiden anderen Strahlen liegende Beweis. Es seien (Fig. 69) 8^., 80, 88, 8D die Strahlen eines harmonischen Büschels, und 88^88. Zieht man durch 9 die 68!^ 8, so ist mit Rücksicht auf ZK. 116 und 118. .18:88 69: (98, und 98:88 89: 118. Nun ist, da 68 und ^.8 (nach 8- 119) von den vier Strahlen pro¬ portioniert geschnitten werden, und also auch 6, 9, 8, 8 vier harmonische Punkte sind, 69 : 89 -- 68 : 88, oder 69 : 68 89 : 88; folglich ist anch 98:88^98:88, und somit 98 — 98. 2. Ein harmonischer Strahlenbüschel wird von jeder Trans¬ versale in vier harmonischen Punkten geschnitten. Beweis. Es seien (Fig. 69) 8^., 80, 811, 81) die Strahlen eines harmonischen Büschels und 68 eine beliebige Transversale derselben. Zieht F-lg. 08. S F Strahl das zwischen den Stück der Parallelen. Fig. 69. 63 man durch 3 die 66^ 81), so ist mit Rücksicht auf M. 116 und 118 63 : 66 -- 36 : 68 und 113 : 116 - 36 : 68. Nun ist 36 — 36 (nach 1.), folglich auch 63 : 66 113 : 66, oder 63 : 113 -- 66 : 66; d. h. 6, 3, 6, 6 sind vier harmonische Punkte. Lehrsatz. Die Symmetralen eines Dreieckswinkels und semes Nebenwinkels theilen die Gegenseite des Dreieckes harmonisch. Beweis. Es sei in einem Dreiecke 7168 (Fig. 69) W. 7180 — 680 und W. 680 — 681). Man hat 710 : 60 718 : 68 und 711) : 61) --- 718 : 68 G. 120, 1. und 2.); folglich auch 710 : 60 7lI) : 66. IV. Ähnlichkeit der evenen Gebilde. H. 124. Lehrsätze. 1. Werden die Strahlen eines ebenen Strahlenbüschels (Fig. 70) vom Scheitel 8 aus iu den Punkten und a, 6 und k, 0 und o,... proportioniert geschnitten, so sind in den Gebilden 71600... und akock... die entsprechenden Strecken zwischen je zwei Schnittpunkten proportioniert und die von diesen Strecken gebildeten Winkel paarweise gleich. Beweis. Es sei 871 : 8a 86 : 8K --80 : 8o —... Aus dieser Voraussetzung folgt (Z. 117) unmittelbar 716 ü ak, 710 jj ao, 60 Hb«,..., somit (Z. 118) 716 : ak 86 : 8K und 60 : ko 86 : 8K, daher auch 716 : ad — 60 : do; u. s. w. Dass ferner W. ^60 ako, W. 6710 Kao, W. 606 Kock,... ist, folgt aus Z. 26, 1. Dieselben Beziehungen finden auch statt, wenn von je zwei entsprechenden Schnittpunkten der eine auf einem Strahle des Strahlenbüschels, der andere auf dessen Er¬ gänzung liegt, wie in den Gebilden 71600... und a'iUo^ck/...; nur sind in diesem Falle je zwei entsprechende Strecken im entgegengesetzten Sinne parallel. Zusatz. Sind .-V, 6, 0, 0,... Umfangspunkte eines Kreises, so sind auch a, k, o, ä... Umfangspunkte eines Kreises. Denn ist 0 der Mittelpunkt des durch 71, 6, 0,... gehenden Kreises, und o der Punkt, welcher ans dem Strahle 80 dem Punkte 0 entspricht, so hat man ZO.av — 60:Ko — 00 : oo — ...; allein 710 — 6 0 — 00 - - -somit auch ao — ko — oo — ..., d. h. die Punkte a, k, e,... liegen in dem Umfange eines..Kreises, dessen Mittelpunkt o ist. Flg. 70. 64 2. Umgekehrt: Zwei ebene Gebilde, in denen die entsprechenden Strecken nach der Ordnung proportioniert und die entsprechenden Winkel paarweise gleich s ind, lassen sich immer ans einem Str ah le n- büschel in eine solche Lage bringen, dass ihre entsprechenden Punkte auf denselben Strahlen oder deren Ergänzungen liegen und vom Scheitel proportionierte Abstände haben (Fig. 70). Beweis. Es sei 7^8:ab — ^.O:ao — 80:bo — .., und W. ^.80 abo, 8^0 — bao, 808 deck,.. Legt man die beiden Gebilde so gegeneinander, dass zwei in einem Punkte sich schneidende Strecken des einen Gebildes den entsprechenden Strecken des andern in demselben Sinne parallel sind, so müssen, da die Strecken nach der Ordnung proportioniert und die Winkel paarweise gleich sind, auch je zwei andere entsprechende Strecken in demselben Sinne parallel sein. Liegen aber zwei Gebilde so gegeneinander, dass je zwei entsprechende Strecken derselben parallel sind, so müssen sich die durch je zwei entsprechende Punkte derselben gezogenen Geraden in einem gemeinsamen Punkte schneiden. Es sei 8 der Punkt, in welchem sich 7^a und 8 b schneiden. Würde Oo nicht durch 8 gehen, sondern die 8 b in 8' schneiden, so wäre (Z. 118) ^8 : ab — 88 : 8b und 80 : bo — 8' 8 : 8'b, daher wegen ^.8 : ab — 80 : bo auch 88 : 8b — 8'8 : 8'b, woraus (88 — 8b) : (8'8—8'b) — 88 : 8'8, oder 8b : 8b — 88 : 8'8, mithin 8'8—88 folgt. Der Punkt 8' muss also mit 8 identisch sein, d. h. die Oo muss durch den Punkt 8 gehen. Ebenso folgt, dass auch die Gerade 8ä durch 8 gehen muss, dass somit 8^, 88, 80, 88,.. die Strahlen eines Strahlcnbüschels sind. Dann ergibt sich aus Z. 116 8^.:8a — 88:8b — 8O:8o—.. Der Beweis bleibt sich gleich, wenn die beiden Gebilde so gelegt werden, dass die entsprechenden Strecken im entgegengesetzten Sinne parallel sind. Z. 125. Zwei ebene Gebilde, welche sich auf einem Strahlenbüschel in eine solche Lage bringen lassen, dass ihre entsprechenden Punkte auf denselben Strahlen oder deren Ergänzungen liegen und vom Scheitel proportionierte Abstände haben, heißen ähnlich (cv>), und in dieser Lage zugleich per- spectivisch liegend. Je zwei entsprechende Punkte heißen homologe Punkte, ebenso je zwei entsprechende Strecken (Seiten, Diagonalen, Höhen, Halbmesser) homo¬ loge Strecken. In zwei perspektivisch liegenden ähnlichen Gebilden sind zwei homologe Strecken entweder in demselben, oder im entgegengesetzten Sinne parallel. Der Punkt, in welchem sich in zwei perspektivisch liegenden ähnlichen Gebilden die durch je zwei entsprechende Punkte gezogenen Geraden schneiden, heißt der Ähntichkeitspunkt der Gebilde, und zwar ein äußerer oder 65 ein innerer, je nachdem die homologen Punktpaare auf derselben oder ans entgegengesetzten Seiten dieses Punktes liegen. Das constante Verhältnis der Abstände zweier homologer Punkte vom Ähnlichkeitspunkt heißt Ähnlichkeitsexponent oder Modulus der ähnlichen Figuren. Ist der Modulus — 1, so sind die Gebilde congruent. Folgesätze, n) In zwei ähnlichen Gebilden sind die homologen Strecken proportioniert und die von ihnen gebildeten Winkel paarweise gleich. tz) Je zwei Kreise sind ähnlich und zugleich perspektivisch liegend. Zusatz. Die hier begründete Erklärung ähnlicher Gebilde enthält zugleich die genaueren Merkmale des in ß. 3 aufgestellten Begriffes der Ähnlichkeit, als der Übereinstimmung der Gestalt. Ähnlichkeit der Dreiecke. 8- 126. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in denselben die homologen Seiten proportioniert und die von ihnen gebildeten Winkel paarweise gleich sind. Lehrsatz. Zieht mau in einem Dreiecke zu einer Seite eine Parallele, so ist das gegebene Dreieck dem durch die Parallele abgeschnittenen Dreiecke ähnlich (Fig. 71). Beweis. Die Proportionalität der Seiten beider Dreiecke folgt aus tz. 118, die Gleichheit der Winkel aus 8- 24, 2. 8- 127. I. Ahnlichkritssatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke ähnlich (Fig. 71). Vorauss. F — und 0 — 0'. Behaupt. /^F80 oo F'8'O'. Beweis. Mau mache 01) — O'F' und ziehe DL ü F8, so ist W. ODL -- F --- F-, daher ^XDLO^F'8'O' (tz. 37). Nun ist FLO DLO (8- 126), mithin auch /XZ80 ->- F'8'0'. Folge lati. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle drei Seiten paarweise parallel oder zu einander normal sind (8- 26). 8- 128. II. Ahnlichkritssatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten des einen zweien Seiten des andern proportioniert und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich, so sind die Dreiecke ähnlich (Fig- 71). Es sei FO : F'O' — 80 : 8'0' und 0 — 0'. Macht mau OD O'F' und zieht DL F8, so ist FO:OD — 80 : OL, oder FO : F'O' — 80 : OL. Allein nach der Voraussetzung ist FO : F'O' - 80 : 8'0'; folglich OL - 8'0', und daher DLO M F'8'O' (8- 38); nun ist /^F80 DLO, also auch /X.F.80 -x- F'8'0'. 8- 129. III. Ahnlichkritssatz. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten des einen zweien-Seiten des andern proportioniert und Moönil, Geometrie. 5 Fig. 71. 66 die den größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich, so sind die Dreiecke ähnlich (Fig. 71). Der Beweis ist unter Beziehung auf Z. 39 demjenigen in Z. 128 analog. tz. 130. IV. Ahnlichtzcitssatz. Sind in zwei Dreiecken die drei Seiten des einen den drei Seiten des andern proportioniert, so sind die Dreiecke ähnlich (Fig. 71). Es sei LO : L'O' - L8 : L'IV 80 : IVO'. Macht mau 01) — O'L' und zieht V8 L8, so ist LO : 01) L8 : VL und LO : ov 80 : OL, oder LO : L'O' L8:vv und LO : HO' 80 : 08. Vergleicht man diese zwei Proportionen mit den in der Voraussetzung enthaltenen, so folgt V8 — L'IV und 08 —13'0', somit /X.0V8 L'8'O' (8 40); nun ist /X ^130 -o 0V8, also auch /^L80 70 L'8'0'. tz. 131. Lehrsatz. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich die homologen Höhen wie zwei homologe Seiten. Fig. 72. Beweis. Es sei (Fig. 72) das -70 L'8'0', 01) die Höhe auf die Seite L8 /X und 0'1)' die Höhe auf die homologe Seite L'IV. / X /! X Die Dreiecke LOV und L'0'v' haben / X zwei Winkel wechselseitig gleich, sind also ähnlich; / i X mithin ist ov: O'v' — LO: L'O', daher auch OvrO'v' —L8:L'IV^80:8'0'. 8- 132. Lehrsatz. Zieht man in einem rechtwinkligen Dreiecke vom Scheitel des rechten Winkels die Normale auf die Hypo¬ tenuse, so ist 1. jede Kathete die mittlere Proportionale zwischen der ganzen Hypotenuse und dem jener Kathete anliegenden Ab¬ schnitte der Hypotenuse, 2. die Normale die mittlere Propor¬ tionale zwischen den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Fig. 73. Beweis. Es sei (Fig. 73) der Winkel 8L0 ein rechter und LV ch 80. In den Dreiecken L 8 0 und L O I) ist der Winkel 0 — 0, 8L0 — LVO — 8, cs ist daher auch / der dritte Winkel 8 — OLV und das /X L80' / c?o VLO. Ebenso ist LI30 <70 VI3L, und folglich auch 1. Da />>130 -o VLO ist, so folgt 80:LO LO: 01); da ^L80cv>v8L, so ist auch 80 : L8 — L8 : 8V. 2. Da VLO -70 V8L ist, so folgt 01) : LV — LV: 81). 8. 133. Ist (Fig. 73) 80 — a, LO — 6, L8 — e, Ov — p, 81) — - NR" 8, und folglich NR: NR' — N8Q N8. Zu 2. Zieht man (Fig. 74, III) die Strecken RI und 81, so ist W. NR1 N18 (8- 84), daher NR1 N18, und folglich NR : NT NI : N8. ß. 137. Zieht man durch eineu Punkt beliebige Secanten an einen Kreis, so hat das Product der beiden Abschnitte für jede Secante den¬ selben Wert, und zwar ist dasselbe a) gleich dem Quadrate der halben kleinsten Sehne des gegebenen Punktes, wenn dieser innerhalb des Kreises liegt, dagegen d) gleich dem Quadrate der Tangente des gegebenen Punktes, wenn dieser außerhalb des Kreises liegt. 69 Beweis, a) Es sei (Fig. 7b, I) N ein Punkt innerhalb des Kreises, und R8 eine beliebige, durch diesen Punkt gehende Secante. Zieht man durch N den Halbmesser 06 und die kleinste, d. i. die zur 00 normale Sehne so ist NR:N^ -- NR: N8 (Z. 136, 1), somit (§. 133, Zus.) NR. N8 -- N^ . NR; allein NR -- NL, folglich NR . N8 N7st-. Fig. 75. 6) Ist dagegen (Fig. 75, II) N ein Punkt außerhalb des Kreises, N8R eine beliebige Secante und NI eine Tangente des Kreises durch diesem Punkt, so ist NR : NT NT : N8 (tz. 136, 2), und somit NR . N 8 — NT?. tz. 138. Das constante Product NR.N8 (Fig. 75) der beiden Abschnitte der durch den gegebenen Punkt N gezogenen Secante heißt die Potenz des Punktes N in Beziehung auf deu gegebenen Kreis. Die Potenz eines Punktes für einen Kreis ist gleich der Differenz zwischen dem Quadrate des Centralabstandes dieses Punktes und zwischen dem Quadrate des Halbmessers. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke ^N0 in Fig. 75, I folgt N^.? — OL? — NO"; daher ist NR.N8 NL? --- 0^? - NO?. In dem rechtwinkligen Dreiecke N 10 in Fig. 75, II ist NT- — NO? — OT?; folglich ist NR . N8 NT? NO? — OT?. Z. 139. Ein Punkt hat in Beziehung auf zwei Kreise dieselbe Potenz, wenn die Differenz der Quadrate seiner Abstände von den Mittelpunkten beider Kreise der Differenz der Quadrate der Halbmesser gleich ist. Denn die Potenz des Punktes N (Fig. 76) in Bezug auf den Kreis O ist NO? — RO?, die Potenz desselben Punktes in Bezug auf den Kreis 0' ist NO'? — R'O'?. Ist nun NO? - NO'? RO? — L'O'?, so ist auch NO? — RO? — NO'? — R'O'?, d. h. N hat für beide Kreise gleiche Potenzen. Lehrsatz. Hat ein Punkt N für zwei Kreise 0 und 0' dieselbe Potenz und zieht man durch denselben eine Normale zu der Cen¬ trale 00', so hat auch jeder Punkt dieser Normalen für beide Kreise dieselbe Potenz. Es sei NO? — NO'? — RO? — R'O'?, und NR .st 00'. Man hat NO? OR? -z- NR? und NO'? - O'R? -st NR?, daher NO? — NO'? — OR? — O'R?. Ebenso »erhält man für irgend einen Punkt N' in NR, 70 Fig- 76. M N"O' — LLO" -- 0^' — 0^, mithin ist N'0' — N'O" NO' — NO" RO' —IT O". Der geometrische Ort aller Punkte, die sür zwei gegebene Kreise gleiche Potenzen haben, heißt die Potenzlinie der beiden Kreise. Die Gerade N R ist daher die Potenzlinie der Kreise 0 und (T. Folgesätze, a) Die Potcnzlinie zweier Kreise steht normal zu ihrer Centrale. l>) Die von einen: außerhalb der beide:: Kreise liegenden Punkte der Potenzlinie an dieselben gezogenen Tangenten sind einander gleich. Denn aus NO' - T0' NO" — DO" folgt NT' NT", daher NT ND. «) Sind die von einem Punkte außerhalb zweier Kreise an diese gezogenen Tangenten gleich, so liegt der Punkt in der Potenzlinie dieser Kreise. Denn aus NT' NT" folgt N0' — T0' — NO" — DO". ä) Schneiden sich zwei Kreise, so ist ihre Potenzlinie die Secante, welche durch die beiden Schnittpunkte geht (ß. 94, 3). s) Berühren sich zwei Kreise, so ist ihre Potenzlinie die gemeinsame Tangente beider Kreise in: Berührungspunkte (Z. 94, 1 und 2). Z. 140. Lehrsatz. In jedem Sehnenviercckc ist das Product der Diagonalen gleich der Summe der Producte je zweier gegen¬ überliegender Seiten. (Ptolemäischer Lehrsatz.) (Fig. 77.) Beweis. Macht man den Winkel Ovv — ^VL, so ist, da auch der W. 740V t4LV ist (Z. 82, a), das /4,801)^ 748V, daher 80 : Ov -- 748 : LV, oder 80 . LV 748 . Ov. Ebeuso ist 748V 80 v, daher ^48:74V^LO:LV oder 748. LV 74V. LO. Folglich 80.LV -j- 748 . LV 748 . Ov -tz 74V.LO oder (80 -j- 748) . LV 740 LV .48.0V 74V. 80. Z. 141. Eine Strecke heißt nach stetiger Proportion, oder im mitt- Fig. 78. leren und äußeren Verhältnisse getheilt, wenn 0 der größere Abschnitt derselben die mittlere Proportio- -4 j -i-i -8 nale zwischen der ganzen Strecke und dem kleineren Abschnitte ist, wenn also die Proportion 748 : 740 — 740: LO besteht. (Gol¬ dener Schnitt.) Lehrsätze. 1. Die Seite des einen: Kreise eingeschriebenen regulären Zehneckcs ist gleich den: größeren Abschnitte des nach stetiger Proportion getheilten Halbmessers. 71 Fig. 79. Beweis. Es sei 7X0 (Fig. 79) die Seite des ein- geschriebenen regulären Zehneckes. Zieht man die Halbmesser 07X und 00, so ist 7X00 36°, und daher in dem gleich- i ?"x^ schenkligen Dreiecke .4.0 0 der Winkel 7X0 0 — 72°. Halbiert man nun den Winkel 7X00, so dass m — u — p wird, so ist das /X, 7X00 7X8O, daher 7X0 : 7X0 — 7X0 : 7X8, oder weil 7X0 80 80 ist, auch 7X0 :80 80: 7X8. 2. Das Quadrat der Seite des einem Kreise eingeschrie¬ benen regulären Fünfeckes ist gleich der Summe aus den Qua¬ draten des Halbmessers und der Seite des demselben Kreise eingeschriebenen regulären Zehneckes. Beweis. Es seien (Fig. 80) 0 7X der Halbmesser, 7X8 und 7X0 die Seiten des eingeschriebenen regulären Fünfeckes und Zehneckes. Zieht man 00, welche den Centri¬ winkel 7X08 des Fünfeckes halbiert, und halbiert auch den Centriwinkel 7X00 des Zehneckes durch 00, deren Ver¬ längerung 08 senkrecht auf der Mitte von 7X0 steht, so ist W. 87X0^800^ 54°, daher 480 os 080; folglich 7X8 : 80 ^80: 8V, oder 7X8.80 — 800 . I. Zieht man noch 00, so ist das ^>7X00 gleichschenklig, daher W. 7X00^07X0 — 7X80, und /4,7X8 0 co 7X00, folglich 7X8 : 7X0 40 : 7X0, oder 7X8.7X0 — 7X00 .II, mithin aus I und II: 7X8 (80 Z 7X 0) 7X8' 8 0' 4 40'. , 80. tz. 142. Lehrsatz. Zieht man in zwei Kreisen durch die End¬ punkte je zweier Halbmesser, welche entweder in demselben oder im entgegengesetzten Sinne parallel sind, gerade Linien, so schneiden sich diese alle bezüglich in einem Punkte auf der Verlängerung der Centrale oder in einem Punkte der Centrale selbst. Dieser Satz folgt schon aus H. 124; er soll jedoch hier noch besonders bewiesen werden. Fig- 8l. Es sei 0L-I (Fig. 81) zu 08 in demselben Sinne, zu 0'8' im entgegengesetzten Sinne parallel, so ist, wenn man OLI — 8, 08 0'8' — r und 0 O — 0 setzt (nach tz. 118), OL R . k O'L r 0^ r ' daher auch OLU — r 0^4- 4- r' lch" 0 4 - und 0.1 ., a — I- -p r' 72 somit, da OF — 0^ — o und O^ll — o — 0 <1 ist, 0^ — und OO — Da diese Ausdrücke von der Lage der parallelen Halbmesser unabhängig und somit constant sind, so folgt, dass sich in F alle Geradelt, welche die Endpunkte je zweier in demselben Sinne paralleler Halbmesser verbinden, und in ll alle Geraden, welche durch die Endpunkte zweier im entgegengesetzten Sinne paralleler Halbmesser gehen, schneiden. ist der äußere und <1 der innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise. Jede durch einen Ähnlichkeitspunkt gezogene Gerade heißt Ähnlich¬ keitsstrahl, und zwar ein äußerer oder ein innerer, je nachdem sie durch den äußeren oder inneren Ähnlichkeitspunkt geht. Ansatz. Aus den obigen Ausdrücken folgt: Oll : Oll 0^. : d. h. die Centrale zweier Kreise wird durch den inneren und den äußeren Ähnlichkeitspunkt harmonisch getheilt. K. 143. Hat ein Ähnlichkeitsstrahl zweier Kreise mit Ver¬ einen Kreislinie einen Punkt gemeinsam, so hat er auch mit Ver¬ änderen Kreislinie einen Punkt gemeinsam. Es habe (Fig. 81) der äußere Ähnlichkeitsstrahl mit der Kreislinie 0 den Punkt N gemeinsam. Man ziehe OAi und damit OH in demselben Sinne parallel. Die Gerade LIN geht dann (nach tz. 142) durch den Punkt die Punkte N, 17, F liegen also in einer geraden Linie, d. h. die FU hat auch mit der Kreislinie O einen Punkt H gemeinsam. Ebenso wird der Beweis für einen inneren Ähnlichkeitsstrahl llN geführt. Folgesätze, rr) Hat ein Ähnlichkeitsstrahl mit der einen Kreislinie zwei Punkte gemeinsam, so hat er auch mit der andern zwei Punkte gemeinsam, d. h. er ist eine gemeinsame Secante der beiden Kreise. st) Hat ein Ähnlichkeitsstrahl mit der einen Kreislinie nur einen Punkt gemeinsam, so hat er auch mit der andern nur einen Punkt gemeinsam, d. h. er ist eine gemeinsame Tangente beider Kreise, und zwar eine äußere oder innere, je nachdem der Ähnlichkeitsstrahl ein äußerer oder innerer ist. o) Hat ein Ähnlichkeitsstrahl mit der einen Kreislinie keinen Punkt gemeinsam, so hat er auch mit der zweiten keinen Punkt gemeinsam, d. h. er¬ liegt ganz außerhalb der beiden Kreise. K. 14ll Ist der Durchmesser /Vil (Fig. 82) eines Kreises durch die Punkte 0 und II harmonisch getheilt (Z. 121), so heißen diese Punkte zwei conjugierte Pole des Kreises; der eine liegt auf dem Durchmesser selbst, der andere auf seiner Verlängerung. 73 Fig. 82. Eine Gerade heißt in Beziehung auf einen Kreis die Polare eines Punktes, und dieser Punkt der Pol der Geraden, wenn die Gerade durch den dem Punkte conjugierten Pol geht und zu der Verbindnngsstrecke der beiden Punkte nor¬ mal ist. Sind 81 und kk normal zu 61), so ist 81 die Polare des Punktes O, und I) der Pol der Geraden 81; ebenso ist KL die Polare des Punktes 0 und 0 der Pol der Geraden 1k in Beziehung auf den Kreis. Fsl§esiitze. n) Das Product der Abstände eines jeden Punktes und seiner Polare von dem Mittelpunkte des Kreises ist constant und gleich dem Quadrate des Halbmessers. Denn die Proportion )^O:KO — ^.1):LO kann auch so ausgcdrückt werden: (OK -j- 00) : (OK — 00) — (OO -s- OK) : (OO — OK) und weil sich die Summe aus dein ersten und zweiten Miede zur Differenz dieser Glieder verhält wie die Summe aus dem dritten und vierten Miede zur Differenz dieser Glieder, so ist OK : 00 — 01) : OK, woraus O 0 . O I) ÖL' folgt. b) Umgekehrt: Ist für zwei Punkte 0 und!) des Durchmessers 00.01) — OK', so geht die Polare des Puuktes 0 durch 1), und die Polare des Punktes I) durch 0. Denn giengc die Polare des einen Punktes, z. B. 0, nicht durch den andern Punkt I), sondern schnitte sie die ^L in 11, so müsste (nach a) 00.01)' — OK' sein; dann ist aber mit Rücksicht ans die Voraussetzung 01)' — 01), d. h. der Punkt 1)' ist mit I) identisch. K. 145. Zieht man von einem gegebenen Punkte außerhalb eines Kreises an diesen zwei Tangenten, so ist die Berührungs¬ sehne die Polare des gegebenen Punktes. Beweis. Zieht man von I) (Fig. 82) die Tangenten 1)8 und DI, ferner die Berührungssehnc 81 und den Halbmesser 08, so ist 00:08 --- 08 : OO G. 132), daher wegen 08 OK auch 00 : OK OK : 01), also 00.00 — ÖL'; die Berührungssehne 81, die in 0 auf OO normal steht, ist also (nach H. 144, 1) die Polare des Punktes O. Fslgrsüchr, a) Die Polare eines außerhalb des Kreises liegenden Punktes schneidet den Kreis und entfernt sich umsomehr von dem Mittelpunkte desselben, je mehr sich der Punkt dein Kreise nähert. Liegt der Punkt in der Peripherie des Kreises, so ist die durch den Punkt selbst gehende Tangente seine Polare. t>) Der Pol jeder Sehne eines Kreises ist der Schnittpunkt der durch ihre Endpunkte gezogenen Tangenten. o) Die Polare eines innerhalb des Kreises liegenden Punktes liegt außer¬ halb des Kreises und entfernt., sich umsomehr von dem Kreise, je mehr sich der 74 gegebene Punkt den, Mittelpunkte des Kreises nähert. Fällt der Pnnkt nut dein Mittelpunkte zusammen, so liegt seine Polare in unendlicher Entfernung vom Kreise. ä) Der Pol einer außerhalb des Kreises liegenden Geraden ist die Mitte der Berührungssehne der Tangenten, welche von dem Schnittpunkte der Geraden mit dem zu ihr normalen Durchmesser an den Kreis gezogen werden. VI. Konkructiorrsaufgaven. 1. Fundamcntalaufgaben. Z. 146. 1. Zu drei gegebenen Strecken a, b und o die vierte Proportionale zu finden. ^'6' 83- Man construierc einen -— willkürlichen Winkel 6 11 0 (Fig. 83), mache /11) — n, § , -> steljo, ziehe J' (/ 0 1" und damit parallel die 6 0; dann ist 60 die vierte Proportionale zu a, 8, o. 2. Zu zwei gegebenen Strecken a und d die dritte stetige Proportionale zu konstruieren. Fig- 84. Auflös. 1. Nach Aufg. 1, indem man dort o — 5 setzt. (7 Auflös. 2. Man ziehe (Fig. 84) OO st. /16, mache // O /1 — a, O 0 — b, ziehe ferner /16 und normal darauf / / 6 6 bis zur Verlängerung der /IO; dann ist O /1: O 0 — - --- O0:O6 G. 132), oder a:d -- d:O6, folglich OB die dritte stetige Proportionale zu a und 1>. Auflös. 3. Ist a > d, so kann man folgende einfachere Construction anwcnden: Man mache /16 — a, beschreibe über /16 als Durchmesser einen Halbkreis und um /1 mit dem Halbmesser t> einen Bogen, welcher jenen Kreis in 0 schneidet; zieht man dann OO Z./16, so ist /16:/10 — /1O:/1O (ß. 135), oder a: 5 — 5 : ^O. 3. Zu zwei gegebenen Strecken n und b die mittlere Pro¬ portionale zu konstruieren. Auflös. 1. Man mache (Fig. 84) ^1) — a, Oll — 1>, beschreibe über /1 6 einen Halbkreis und errichte in O die O O st. /16; dann ist I.) 0 die mittlere Proportionale zwischen ^.O und O6 (ß. 135). Auflös. 2. Man mache /16 gleich der größeren Strecke a, und F.O — 5, beschreibe über /16 einen Halbkreis und ziehe DOUD; dann ist die Sehne /10 die gesuchte mittlere Proportionale zu a und b (ß. 135). 4. Eine gegebene Strecke /16 in Theile zu theilcn, die sich wie in : n: p... verhalten. Man ziehe durch /1 einen willkürlichen Strahl /1X, trage auf demselben 75 von aus Strecken auf, welche sich wie m : n : p ... verhalten, uud ver¬ fahre dann wie bei der Aufgabe 13 in Z. 98. 5. Eine gegebene Strecke 7^.8 (Fig. 85) nach stetiger Proportion (im mittleren und äußeren Verhältnisse) zu theilen. Man ziehe 80 l L.8, mache 80 -- z 7le8, beschreibe um 0 mit 08 einen Kreis und ziehe dnrch 7^. und 0 die Secante T^DX Macht man nun L.8 — 7^8, so ist L.8 im Punkte 8 nach stetiger Pro¬ portion getheilt. Fig. 85. Denn 7^.8' : 7^.8 7^ 8 : 7^8 A 136, 2), daher auch. 7^8 : (^18 — 7V8) 7^.8 : (7^8 — ^8). Nun ist ^18 — ^8 7^.8' — 8 8' — 7^.8 7^.8, 7^8 7^.8 7^8 — /V8 88; mithin 7^8 : 7^.8 — 7^8 : 88. 6. Ein Dreieck zu construieren, welches einem gegebenen Dreiecke 7^80 (Fig. 71) ähnlich ist. Die Cvnstruction kann, entsprechend den Ähnlichkeitssätzen, auf vier Arten geschehen, am einfachsten jedoch, wenn man auf einer beliebigen Strecke 70 8' in den Endpunkten die Winkel 7le und 8 aufträgt, deren Schenkel sich in 0' schneiden; dann ist /X 0' /X, 7^ 8 0. Die Aufgabe ist unbestimmt. Erst wenn zu den zwei Bedingungen, die in dem Begriffe der Ähnlichkeit liegen, noch eine dritte Bestimmung hinzutritt, z. B. dass die Strecke eine gegebene Lange haben soll, wird die Aufgabe eine bestimmte. 7. An zwei gegebene Kreise eine gemeinsame Tangente zu ziehen. Man bestimme den äußeren uud den inneren Ähulichkeitspunkt der Kreise (K. 142) und ziehe aus denselben Tangenten an den einen Kreis G. 99, Aufgabe 4); diese sind dann zugleich Tangenten des zweiten Kreises G. 143, d). Dcterm ination. Liegt der eine Kreis ganz außerhalb des andern, so gibt es vier gemeinsame Tangenten, zwei äußere und zwei innere; berühren sich die beiden Kreise von außen, so gibt es zwei äußere und nur eine innere Tangente; schneiden sie sich, so sind nur die beiden äußeren Tangenten möglich; berühren sie sich von innen, so gibt cs nur eine äußere Tangente; liegt der eine Kreis ganz innerhalb des andern, so ist keine gemeinsame Tangente möglich. tz. 147. 1. Gegeben ist eine Strecke und auf derselben oder ihrer Verlängerung ein Punkt; es soll der dazu harmonisch con- jugicrte Punkt gesucht werden (Fig. 86). Fig. 86. — a) Es sei zu der Strecke 7^.0 und dein Punkte 8 der äußere conjugiertc Punkt 8 zu suchen. Man beschreibe über 7^.0 einen Halbkreis, er¬ richte in 8 die Normale 88 und in 8 eine Tangente an den Kreis; der Schnittpunkt 8 der Tangente mit der verlängerten 7^.0 ist der gesuchte conjugierte Punkt. 76 d) Es sei zu der Strecke ^0 und dem Punkte I) der konjugierte Punkt N zu suchen. Mnn ziehe von I) aus eine Tangente an den Kreis, falle vom Be¬ rührungspunkte 11 eine Normale auf LO, so ist 13 der gesuchte coujugicrte Punkt. Der Beweis gründet sich in beiden Fällen auf M. 144 und 145. 2. Die Potenzlinie zweier Kreise zu construieren. a) Wenn sich die beiden Kreise schneiden, so ziehe mnn ihre gemeinsame Sehne (Z. 139, ck). b) Wenn sich die beiden Kreise berühren, so construiere mau im Be¬ rührungspunkte ihre gemeinsame Tangente (Z. 139, s). a) Wenn sich die beiden Kreise O und (N weder schneiden noch berühren, so beschreibe man einen Hilfskreis LI, welcher die zwei gegebenen schneidet. Die gemeinsame Sehne von 0 und LI ist ihre Potenzliuie, ebenso ist die ge¬ meinsame Sehne von (N und LI die Potenzlinic derselben, daher der Schnitt¬ punkt beider Sehnen ein Punkt der gesuchten Potenzlinie von 0 und 01 Zieht man dann von diesem Punkte die Normale auf die Centrale der zwei gege¬ benen Kreise, so ist diese Normale die gesuchte Potenzlinie. 3. Ein Kreis und ein Punkt sind gegeben, zu dem Punkte ist die Polare zu konstruieren. Nach Z. 145. Der gegebene Punkt kann außerhalb oder innerhalb des Kreises liegen. 4. Ein Kreis und eine Gerade sind gegeben, zu der Geraden ist der Pol zu finden. Nach 145. Die gegebene Gerade kann den Kreis schneiden oder außer¬ halb desselben liegen. 2. Methode der ähnlichen Figuren. Z. 148. Ist durch einige der zur Construction einer Figur gegebenen Bestimmungsstücke die Gestalt der Figur bestimmt, so dass alle Figuren, welche in diesen Stücken übercinstimmen, einander ähnlich sind, so kann bei der Lösung die Methode der ähnlichen Figuren angewendet werden. Dabei zeichnet man zunächst mit den die Gestalt bestimmenden Stücken eine der gesuchten ähnliche Hilfsfigur vou beliebiger Größe und konstruiert in ihr auch die Strecke, welche der in der Aufgabe gegebenen, aber bei der Con¬ struction der Hilfsfigur nicht benützten Strecke homolog ist; das Verhältnis dieser beiden Strecken gibt auch das Verhältnis je zweier anderer homologen Strecken der gesuchten und der Hilfsfigur an. Nm die Aufgabe zu lösen, darf man daher nur jede Seite (Diagonale, Höhe) der gesuchten Figur als vierte Proportionale zu jenen beiden Strecken und der homologen Seite (Diagonale, Höhe) der Hilfsfigur konstruieren. 77 Die Gestalt eines Dreieckes ist bestimmt durch zwei Winkel, durch das Ber hältnis zweier Seiten und den eingeschlossenen Winkel, oder durch die Verhältnisse der drei Seiten. Es ist zur Anwendung dieser Methode nicht nöthig, dass sich zu der gesuchten Gesammtfigur eine ähnliche construieren lasse; es genügt häufig, dass dies für einen Th eil der letzteren möglich sei, sofern durch diesen Theil ein oder mehrere Bestimmungsstücke der ganzen Figur gefunden werden, durch deren Benützung die Aufgabe auf eine bereits bekannte zurückgcführt wird. Durch das Verhältnis einer Höhe zu einer anliegenden Seite, oder durch einen Winkel an der Grundlinie ist die Gestalt eines Theildreieckes des gesuchten Dreieckes bestimmt. Durch nachstehend durchgeführte Aufgaben soll die Methode näher er¬ läutert werden. 1. Ein Dreieck zu construiereu, weun zwei Winkel « und s3 und die Summe s der vom Scheitel des dritten Winkels aus¬ gehenden Höhe und einer anliegenden Seite gegeben sind. Analysis. Durch die gegebenen Winkel ist die Gestalt des gesuchten Dreieckes bestimmt, d. h. jedes beliebige, mit diesen Winkeln construierte Dreieck ist dem gesuchten ähnlich. Eonstruiert man nun zu einem solchen ähnlichen Hilfsdreiecke die Summe seiner vom Scheitel des dritten Winkels ausgehenden Höhe und einer anliegenden Seite, so muss diese Summe sich zu der gegebenen verhalten, wie jede Seite des Hilfsdreieckes zu der homologen Fig. 87. Seite des gesuchten. Mau kann daher irgend eine Seite des letzteren als vierte Proportionale zu drei /V bekannten Strecken, und dann aus ihr und den Winkeln / das gesuchte Dreieck construiereu. V / C o n st ru c tio n. Man zeichne eine beliebige X/X-Strecke (Fig. 87) und in ihren Endpunkten X X Xs A 70 und IV die gegebenen Winkel « und sch so dass X X das Dreieck 70L"0^ entsteht. Dann ziehe man in X X diesem Dreiecke die Höhe OO', verlängere sie um X lillk" —7^/0 uud trage auf Oll" die Strecke Öl' X gleich der gegebenen Summe s auf. Zieht man nnu XF' 1")0, ferner durch 1' die uud durch den Punkt Tl. die 1> ss >OI?>so ist L.L0 das verlangte Dreieck. Beweis. Da ^li 10, so ist der Winkel ll^O 10 ^00 « und ^DO — 70100 —/3. Ferner hat man 01) : 010 — 7^0 : ^OO, also anch (01) -s- 7^0): (010 si- ^'0) ^0 : ^0 -r Öl': 01", folglich, da 01)" si- 70 0 -- 01" nnd 01' s ist, (Ol) -si 7V0) : 01" — s : 01", woraus 01) -st 7^0 — 8 folgt. Determination. Durch die gegebenen Stücke ist das gesuch Dreieck stets, und zwar eindeutig bestimmt. 78 2. Ein Dreieck aus dem Verhältnisse der Höhe zu einer anliegenden Seite (Ii: a), dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel («) un d der Summe der Höhe und der Grundlinie (Ir-s- o — s) zu construieren (Fig. 87). Analysis. Durch das gegebene Verhältnis ist die Gestalt des die Seite 80 — a und die Höhe 0O — I» enthaltenden rechtwinkligen Theil- dreicckes LOO bestimmt und man erhält somit durch Construction eines diesem Dreiecke ähnlichen den Winkel A80 — /1 des gesuchten Dreieckes. Dann sind von letzterem zwei Winkel bekannt; man kann daher wieder ein diesem ähnliches Dreieck construieren und es muss sich dann die Summe der Höhe und der Grundlinie des ähnlichen Dreieckes zu der gegebenen des ge¬ suchten verhalten, wie irgend eine Seite des ähnlichen Dreieckes zu der homo¬ logen Seite des gesuchten. Es ergibt sich hiernach folgende Construction. Man zeichne zwei beliebige Strecken Ick und g/, welche zu einander in dem gegebenen Verhältnisse Id: a. stehen, errichte auf einer Strecke OIL — Ick in IL die Normale, beschreibt um 0 mit dem Halbmesser a/ einen Kreisbogen, welcher die Normale in IL schneidet, und ziehe OIL. Sodann lege man an ILIL etwa in Oy einen Winkel ILILL — « an, ziehe OA h LIL, verlängere OIL und ILL' — A/IL und trage auf 010 die Strecke OL gleich der gegebenen Summe s auf. Zieht man nun lOAck, ferner durch L die h IiO/0 und durch den Punkt A die A8 g Zck IL, so ist A.80 das verlangte Dreieck. Beweis. Nach der Construction ist 8A0 — ILA10 — ILO'L — «. Ferner ist OO:OA OIL : 0^ — O : a' I, : a. Endlich hat man (OO -s- A8): (OIL ch- A'8") — OA : OAck OL : 0L' oder (0Ost-A8):(0O'4-A'8')^ 8:(0O^AOL), folglich OO -s- A8 — 8. Determination. Ist Ii < a und « -s- A80 < 180°, so ist die Lösung stets, und zwar auf eine einzige Art möglich. 3. Das Berühruilgsprobtcm des Apollonius. H. 149. Aufgabe. Wenn einzelne Punkte, gerade Linien oder Kreise, zusammen drei Elemente, gegeben sind, einen Kreis zu construieren, welcher durch die gegebenen Punkte geht und die gegebenen Geraden oder Kreise berührt. Dieses Problem umfasst folgende zehn Aufgaben: I. Einen Kreis zu construieren, welcher durch drei gegebene Punkte geht (8, 8', 8"). Die Lösung dieser Aufgabe ist ini Z. 76 enthalten. Sie führt auf einen einzigen Kreis. Liegen aber die gegebenen Punkte in einer Geraden, so gibt es keinen Kreis. 2. Einen Kreis zu construieren, welcher durch zwei gegebene Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt (8, 8f L). 79 Da I?, k' gegeben sind, so ist auch der Schnittpunkt L der durch kl" gelegten Geraden und der Geraden V bestimmt. Ist x die Länge der von L ans an den Kreis gezogenen Tan gcnte, so ist nach 8- 136, 2 x2 — Lk.Ll" und nach Z. 146, 2 erhält man x — HZ. Trügt man nun L 8 von L aus nach rechts und links auf 8 ab, so erhält man 6 und 6' als dritten Peri¬ pheriepunkt des gesuchten Kreises und dadurch ist diese Aufgabe auf die Aufgabe 1 zurück¬ geführt. Es genügen zwei Kreise, die durch k, l", 6 und k, k', 6' bestimmt sind. Wie gestaltet sich die Auflösung, wenn kl" h V oder kl" V ist? 3. Einen Kreis zu coustruiereu, welcher durch zwei gegebene Punkte geht und einen gegebenen Kreis berührt (k, k", L). Legt man durch k, k' einen Hilfskreis, der den gegebenen Kreis in tz, schneidet, und verlängert die Sccantcn kl" und tz', bis sic sich in .4 schneiden, so ist Ltz.LH' — .4k.Li". Bezeichnet man die von L aus an den Kreis I< gezogene Tangente mit LL, so ist nach Z. 136, 2 LL? —Ltz.Ltz' aber auch LL? —Lk.Ll", daher ist LL auch eine Tangente an den Kreis, welche durch k, k' geht und den Kreis W berührt. Bestimmt man somit aus LL? — Ltj.Ltz' LL und beschreibt damit aus L einen Kreis, so schneidet der selbe den gegebenen Kreis L in zwei Punkten 6 und 6', welche mit k und k' zwei Kreise bestimmen. Der eine Kreis (k, l", 6) berührt den gegebenen Kreis von außen, der andere Kreis (k, k", 6') aber von innen. 4. Einen Kreis zu construieren, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und zwei gegebene Gerade berührt (k, 1^, I/)- Der Mittelpunkt eines Kreises, welcher zwei gegebene Gerade berührt, liegt in der Symmetralc des von diesen Geraden gebildeten Winkels (g. Ort 3, l>). Zieht man zur Symmetrale von dem gegebenen Punkte die Normale und verlängert diese um ihre eigene Länge, so ist der Endpunkt derselben ein zweiter Punkt des gesuchten Kreises. Die Aufgabe ist somit auf die Aufgabe 2 zurückgeführt und gibt, wie diese, zwei Auflösungen. Wie gestaltet sich die Auflösung, wenn die zwei gegebenen Geraden parallel sind? 5. Einen Kreis zu construieren, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und eine gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis berührt (k, 1^, L). Fig. 89. dl sei ein Kreis, welcher durch k geht, die Gerade in L mW den Kreis II in L von außen be¬ rührt (Fig. 89). Fällt man von L die Normale ll 6 ans V und verlängert es bis I), fällt man ferner die Normale LIL auf V, so sind LlL und LV im ent- , gegengesetzten Sinne parallel, daher muss LV durch den innern Ähnlichkeitspunkt (H. 142) gehen. Zieht man noch LV', so ist /^DLV'-x>v6L, daher Ov' : VV — VL:V6 oder vv'.vo —VL.VL. : Zieht mannoch Dkl" so ist auch V8.VL — vk.vl", somit VV^.VO — vk.vk', wodurch der Punkt l" bestimmt und die Aufgabe aus die Aufgabe 2 reducierk ist. — Für einen Kreis dl', welcher durch k geht, die Gerade V und den Kreis L von innen berührt, gibt ebenso die Gerade, welche durch k und den an V näheren Endpunkt V' des Durchmessers VV' gezogen wird, einen zweiten Bestimmungs¬ punkt k". Man erhält im allgemeinen vier Kreise, von denen zwei den gegebenen Kreis von außen, zwei von innen berühren. " Fig. 88. 80 F Fig. 91. 10. Einen Kreis zn konstruieren, welcher drei gegebene Kreise berührt (L, L", L"). Haben die Kreise X, X', X" die Radien r, r', r" und ist r > r", r' > r", jo kann man einen Kreis konstruieren, welcher mit dem gesuchten concentrisch ist, durch den Mittel- 6. Einen Kreis zu konstruieren, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und zwei gegebene Kreise berührt (?, K, L0. Fig. 90. LI seiner Kreis, welcher durch k geht und die beiden Kreise X, 16 von außen in L und L berührt. Zieht man die Cen- H trale XX^ und verbindet X und X^ mit LI, so schneidet die verlängerte LL den Kreis X in 6, den Kreis 16 in I) und die ver¬ längerte Centrale im äußeren Ähnlichkeits¬ punkt 8. Da die Winkel XL6 und I6VL gleich sind, so ist XLssX'v, X6 s> 16 k und Winkel XklO — I66L, daher ist /X 8X6 86L und 86 : 8kl --- 8L : 86 oder 86 : 8« --- 8X: 86...I. Bezüglich des Kreises X ist 8L.: 8k ----- 8X : 86 .. II. Aus I und II folgt 8ö- 81' ----- 86 : 8«. III. Legt man nun durch k und 8 eine Gerade, so ist auch 8L : 8k ------ 81" : 8L.. .IV. Aus III und IV folgt nun 8k. 86 — 8k. 8k", wodurch I" bestimmt und die Aufgabe auf die Aufgabe 3 (k, k", X) zurückgeführt ist. Wie durch den äußeren Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise X und 16 der Punkt kh so wird durch den inneren Ähnlichkcitspunkt der Punkt ?" der Peripherie des gesuchten Kreises bestimmt. Es ergeben sich sonach im allgemeinen vier Lösungen. 7. Einen Kreis zu konstruieren, welcher drei gegebene Gerade berührt (I., I.', I."). Im allgemeinen genügen vier Kreise (H. 86). 8. Einen Kreis zu konstruieren, welcher zwei gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis berührt (1^, I/, I<). Der Kreis, welcher mit dem gesuchten concentrisch ist und durch den Mittelpunkt von I< geht, berührt die Geraden, welche zu I- und I/ im Abstande r (Radius des gegebenen Kreises) parallel gezogen werden. Diesen conceutrischen Kreis lehrt die Aufgabe 4 finden. Durch die doppelte Lage der Parallelen auf beiden Seiten von I- und I/ ergeben sich im allgemeinen acht Lösungen. 9. Einen Kreis zu konstruieren, welcher eine gegebene Gerade und zwei gegebene Kreise berührt (1^, Li, Lch, Hat der Kreis X den Radius r und 16 den Radius k (r > k), so kann man einen Kreis konstruieren, welcher mit dem gesuchten concentrisch ist, durch den Mittelpunkt des Kreises X' geht, den zum Kreise X mit dem Radius (r — k) concentrisch gezogenen Hilfskreis berührt und auch die zu I- im Abstande k errichtete Parallele tangiert (Fig. 91). Den Kreis, der mik dem gesuchten concentrisch ist, lehrt die Aufgabe 5 (k, 6, X) finden und liefert im allgemeinen vier Berührungskreise. — Beschreibt man den mit X conceutrischen Hilfskreis anstatt mit dem Halb Messer r — k mit dem Halbmesser r -j- k, so erhält man auf ähnliche Weise vier weitere Kreise, welche der Aus¬ gabe genügen. 81 Punkt des Kreises I<" geht und die beiden zu X und mit den Radien r — r", r' — r" gezogenen concentrischen Hilfskreise berührt, somit ans die Aufgabe 6 (?, K, Ly führt und vier Lösungen liefert. Beschreibt man die Hilfskreise mit r -s- r", r" -j- r", jo erhält man noch vier weitere Losungen. Ansatz. Die neuere Geometrie liefert für das Apollonische Tactions- Problem eine allgemeine Lösung. VII. Aömrgssähe und Äömrgsausflavcn. 8- 150. Lehrsätze. 1. Die Höhen eines Dreieckes sind den Seiten, zu deuen sie normal sind, verkehrt proportioniert. 2. Je zwei Höhen eines Dreieckes schneiden einander so, dass das Product aus den Abschnitten der einen dem Prodncte aus den Abschnitten der andern gleich ist. 3. Werden zwei Dreiecke über derselben Grundlinie und von gleicher Höhe durch eine der Grundlinie parallele Transversale geschnitten, so sind die innerhalb der Dreiecke liegenden Abschnitte dieser Transversale einander gleich. 4. Die Diagonalen eines Trapezes schneiden sich gegenseitig proportioniert. 5. Ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes durch die Höhe nach stetiger Proportion getheilt, so ist eine der Katheten gleich dem ihr nicht anliegenden Abschnitte der Hypotenuse; und umgekehrt (Z. 132). 6. Ist eine Seite eines Dreieckes nach stetiger Proportion getheilt und zieht inan durch den Theilungspunkt die Parallele zu einer zweiten Seite, so theilt diese Parallele auch die dritte Seite nach stetiger Proportion. 7. Zieht man an zwei Kreise, welche sich von außen berühren, die innere und eine äußere gemeinsame Tangente, so bilden die drei Berührungspunkte die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreieckes (AZ. 82 und 84). Z. 151. Constructionsaufgaben. 1. Den Kreisumfnng in 5, 10, 20, 40, .. gleiche Theile zu theilen (Z. 141 und Z. 146, Aufg. 5). 2. Die Peripherie eines Kreises in 15, 30, 60, .. gleiche Theile zu theilen (Z - D. 3. In einen gegebenen Kreis ein Dreieck zu beschreiben, welches einem gegebenen Dreiecke ähnlich ist. 4. Durch einen Punkt zwischen den Schenkeln eines Winkels eine von diesen begrenzte Gerade so zu ziehen, dass sie in jenem Punkte nach einen, gegebenen Verhältnisse m : n getheilt wird. Mit Hilfe einer Parallelen. 5. Ein Vieleck zu construieren, das mit einem gegebenen Vielecke ähnlich ist und dessen Seiten zu den Seiten des gegebenen Vieleckes ein bestimmtes Verhältnis m : n haben. Moönik, Geometrie. '° ß 82 6. Einen tausendtheiligen Maßstab zu construieren. Man trage (Fig. S2) aus eine Gerade XX 10 gleiche Theile auf, errichte in X, 8 und den folgenden Theilungs- punkten Normale auf X X und ziehe zu XX 10 Pa¬ rallele in gleichen Abständen. Nun theile man sowohl die XL als die ihr gegenüberstehende Strecke l? 0 in 10 gleiche Theile, zu deren leichteren Bestimmung mau in irgend einer Abthcilung eine Diagonale v 300 zieht. Endlich ziehe man noch Transversalen durch 6 und 0, sowie durch je zwei folgende Theilungspunkte der XL und llw. Stellen die auf XX aufgetragcncn 10 Strecken dieses Transversal-Maßstabes 1000 gleiche Theile vor, so enthält XL 100, L6 10, al 1, l>2 2 u. s. w. solche Theile. Nimmt man die Länge der ganzen Strecke XX z. B. für ein Meter an, so stellt XL ein Decimeter, 88 ein Centimeter, al ein Millimeter dar. Der Beweis beruht auf der Ähnlichkeit der Dreiecke. 7. Ein rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn ein spitzer Winkel und außerdem a) die Stimme der Hypotenuse und die Höhe aus dieselbe, lo) die Schwerlinie zur Hypotenuse gegeben ist. Diese und die folgenden Constructionsaufgaben sind nach der Methode der ähnlichen Figuren aufzulösen. 8. Ein rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn das Verhältnis beider Katheten und außerdem a) die Hypotenuse, l>) die Höhe auf die Hypo¬ tenuse gegeben ist. 9. Ein gleichschenkliges Dreieck aus einem Winkel und der Summe der Grundlinie und der Höhe zu construieren. 10. Ein Dreieck zu construieren, wenn gegeben sind: s.) zwei Winkel und die Summe einer gegenüberliegenden Seite und der Höhe auf dieselbe; 9) das Verhältnis zweier Seiten, der von ihnen eingeschlossene Winkel und die Summe (Differenz) der dritten Seite und der Höhe ans dieselbe; o) eine Seite und ihre Verhältnisse zu den anderen Seiten. 11. Ein Viereck zu construieren, wenn eine Diagonale und die vier Winkel, welche die andere Diagonale mit den Seiten bildet, gegeben sind. 12. Ein Dreieck mit Hilfe von Theildreiecken zu construieren, wenn die Verhältnisse der Höhe zu den beiden anliegenden Seiten und außerdem a) die dritte Seite; d) die Schwerlinie zu der dritten Seite gegeben sind. 13. Ein Dreieck zu construieren, wenn das Verhältnis der Höhe zu einer anliegenden Seite, der dieser Seite gegenüberliegende Winkel und a) eine der zwei anderen Seiten, l>) die Summe dieser Seiten gegeben sind. 14. Ein Rechteck aus dem Verhältnisse einer Seite zur Diagonale und aus der Summe der andern Seite und der Diagonale zu construieren. 83 15. Ein Rechteck aus den: Verhältnisse zweier Seiten zu construieren, wenn außerdem a) die Diagonale, lb) die Summe (Differenz) der Diagonale und einer Seite gegeben ist. 16. Ein Parallelogramm aus dem Verhältnisse zweier Seiten nnd dem von ihnen eingeschlossenen Winkel zu conftruieren, wenn außerdem a) die Höhe, Io) die Summe der Diagonale und einer Seite, v) die Summe beider Dia¬ gonalen gegeben ist. Z. 152. Nechnungsaufgaben. 1. In einem rechtwinkligen Dreiecke bezeichnen d und e die Katheten, u die Hypotenuse; man berechne aus je zweien dieser Größen die dritte (tz. 133). 2. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse und das Ver¬ hältnis der beiden Katheten gegeben; man bestimme die Katheten. 3. Aus einer Kathete und dem Verhältnisse der Hypotenuse zur andern Kathete die Hypotenuse und die zweite Kathete zu berechnen. 4. Es seien p und die den Katheten l> und o anliegenden Abschnitte der Hypotenuse a, in welche diese durch die zugehörige Höhe ü getheilt wird; u) aus l> und p, 6) aus p und ) die Differenz der Hypotenuse und der andern Kathete gegeben; man suche die Hypotenuse und die zweite Kathete. 7. In einem gleichseitigen Dreiecke ist a die Seite und ü die Höhe; aus einer dieser Größen die andere zu bestimmen. 8. Die Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes ist a, der Schenkel b, die Höhe ü; aus je zweien dieser Größen die dritte zu finde». 9. In einem Quadrate ist a die Seite und ä die Diagonale; aus einer dieser Größen die andere zu bestimmen. 10. * In einem Quadrate ist die Summe aus der Seite und der Dia¬ gonale gegeben; man suche die Seite und die Diagonale. 11. Von einem Punkte, dessen kürzester Abstand von einem Kreise u ist, sei an diesen eine Tangente gezogen; wie groß ist der Halbmesser des Kreises, wenn die Tangente die Länge t hat? 12. Das Auge eines Beobachters auf der Erdoberfläche sieht auf der¬ selben so weit, als die Tangente angibt, welche vom Auge nach der Erd¬ kugel gezogen wird; wie groß..ist die Gesichtsweite v, oder wie lang ist die 6* 84 Tangente, wenn Ir die Höhe des Anges über der Erdoberfläche und r den Halb¬ messer der Erde bezeichnet? 13. Wie weit erstreckt sich die Fernsicht von der Spitze eines 48 m hohen Thnrmes? (r — 858'474 g. Meilen, 1 g. Meile — 7420'44 m.) Vierter Abschnitt. Flächeninhalt der geradlinigen ebenen Gebilde. ß. 153. Um den Flächeninhalt eines ebenen Gebildes, d. i. die Größe der von ihm begrenzten Fläche, zn bestimmen, untersucht man, wie vielmal eine als Einheit angenommene Fläche in dem gegebenen Gebilde enthalten ist. Als Flächeneinheit wird die Fläche eines Quadrates angenommen, dessen Seite der Längeneinheit gleich ist. Nimmt man z. B. das Meter als Längeneinheit an, so ist das Quadratmeter (m^) die Flächeneinheit. Zwei begrenzte Flächen, welche gleichen Flächeninhalt haben, heißen flächengleich. I. Ilachcngkeichheit. 8- 154. Lehrfach. Jedes schiefwinklige Parallelogramm ist flächengleich einem Rechtecke, welches mit ihm dieselbe Grund¬ linie und gleiche Höhe hat. Fig. 93. Beweis. Es sei J.86I) (Fig. 93) ein schief- /- F' L winkliges Parallelogramm. Zieht man und so hat das Rechteck J.8PL mitJ.LOV / / dieselbe Grundlinie und gleiche Höhe. Da nun /_!/ ^LOL ist, so ist auch^LPV-h J.VL^J.KPI) -fl 80L, d. i. J.8LL J.86V. Folgesatz. Parallelogramme mit gleichen Grundlinien und gleichen Höhen sind flächengleich. Z. 155. Lehrsatz. Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelo¬ gramms, welches mit ihm gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat. Folgt aus Z. 54, a. Folgesatz. Dreiecke mit gleichen Grundlinien und gleichen Höhen sind flächengleich. Z. 156. Lehrsatz. Jedes Trapez ist flächcngleich einem Paral¬ lelogramme, das mit ihm gleiche Höhe hat, und dessen Grund¬ linie gleich ist der halben Summe der parallelen Seiten des Trapezes. Der Beweis beruht ans 8- 57, 1. 85 Z. 157. Lehrsatz. In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Beweis. Es sei das (Fig. 94) in 14 rechtwinklig; zu be¬ weisen ist, dass das Quadrat 8088 über 80 der Summe aus den Qua¬ draten ^4888 und 14081 über 148 und über 140 gleich ist, was wir so schreiben wollen: Fig. 94. 80-^1482-8 1404 A Fällt man von L auf 80 die Normale i48i uud verlängert sie bis 8, so sind die Rechtecke 88 und 08 den Quadraten 148 und .411 gleich. Denn zieht man 148 und 08, so ist Z^88^^und ZXL08^^ (8.155); null ist L M 808, also auch 88 — 148. Zieht man ferner 141) und 88, so ist ebenso /^^408^^,^808 und, da ^^08^808 ist, auch 08 — 148. Es ist somit oder 80-148--j-1404 Die Richtigkeit dieses Satzes im arithmetischen Sinne ist schon im Z. 133 nachgewiesen worden. tz. 158. Zieht man von einem Punkte auf eine Gerade eine Normale, so heißt der Fußpunkt der Normalen die Projection des Punktes auf die Gerade. Unter der Projection einer Strecke auf eine Gerade versteht mail die Strecke zwischen den Projectionen ihrer Endpunkte auf diese Gerade. Ist in Fig. 95 148 88 und 08 so ist 88 die Projection der Strecke 140 auf 88; ebenso ist, wenn OOU.^48 ist, ^40 die Projection der Strecke 140 ans 148. Lehrsätze. 1. Das Quadrat über einer Dreiecksseite, welche einem spitzen Winkel gegenüberliegt, ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Rechteck aus der einen dieser Seiten und der Projec¬ tion der andern auf dieselbe. Beweis. Es seien (Fig. 95) 8088, 14888, 14081 die über den Seiten 110, 148, ^40 des Dreieckes ^480, worin ein spitzer Winkel ist, construierten Quadrate. .. 86 Zieht man zu 80, ^lO, ^8 die Normalen ^.8, 8N, 60 und verlängert sie bis 6, 8, 8, so wird dadurch jedes der Quadrate iu zwei Rechtecke gctheilt, die wir durch I, II, III, I', II', III' bezeichnen wollen. Durch ähnliche mittelst Hilfs¬ linien geführte Beweise, wie in Z. 157, findet man, dass I — I', II — II', III — III' ist, woraus sofort folgt: 81) — ^.8 -h ^8 — 2L8. 2. Das Quadrat über einer Dreiecksseite, welche einem stumpfen Winkel gegen¬ überliegt, ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten, vermehrt um das doppelte Rechteck aus der eineu dieser Seiten und der Projektion der andern ans dieselbe. Der Beweis ist dem früheren in I. ähnlich. II. Kkachettverljältnille. tz. 159. Lehrsätze. I. Die Flächeninhalte zweier Rechtecke, welche gleiche Höhe haben, verhalten sich wie ihre Grundlinien. Fig. 96. meinsames Maß der Grundlinien, und n. L.8, so hat man L.L : 88 — m : n Beweis. Es seien in den Recht¬ ecken ^801) und 8888 (Fig. 96) die Höhen 118 und 88 gleich und die Grundlinien .-V8 und 88 kom¬ mensurabel. Ist in diesem Falle 8 ein gc- zwar ^.8 —m.^.8 und 88 — Theilt man die ^8 in m und die 88 in n Theilc, deren jeder gleich ^.8 ist, und errichtet in den Theilungs- punkten auf die Grundlinien Senkrechte, so wird dadurch das Rechteck ^.801) in m und das Rechteck 8868 in n Rechtecke zerlegt, deren jedes mit ^.811) kongruent ist; es ist daher ^800 —m. ^818 und 8868 n.^8DV, somit ^.801) : 88 68 — m : n, und folglich ^LOO : 8868 ^8 : 88. Sind die Grundlinien ^.8 und 88 inkommensurabel, so folgt aus Z. 115, dass die letzte Proportion auch für diesen Fall Giltigkeit hat. 2. Die Flächeninhalte zweier Rechtecke, welche gleiche Grund¬ linien haben, verhalten sich wie ihre Höhen. 87 Folgt aus 1., da man in den Rechtecken 7^801) und 8868 auch und LH als die Grundlinien, ^8 und LL als die Höhen betrachten kann. Folgesätze, a) Die Flächeninhalte zweier Parallelogramme oder Dreiecke urit gleichen Höhen verhalten sich wie ihre Grundlinien. st) Die Flächeninhalte zweier Parallelogramme oder Dreiecke mit gleichen Grundlinien verhalten sich wie ihre Höhen. Z. 160. Lehrsatz. Die Flächeninhalte je zweier Rechtecke ver¬ halten sich wie die Producte der Maßzahlen ihrer Grundlinien und Höhen. Beweis. Sind 6 und A die Maßzahlen der Grundlinien, kl und st die Maßzahlen der Höhen zweier Rechtecke k und r, so sei Ist ein Rechteck, dessen Grundlinie x und dessen Höhe H zur Maßzahl hat. Dann ist (tz. 159) 8 : ?st8 : A, Ist: r — II : st; daher durch Multiplication 8 : r O . 8 : g. st. Deu obigen Satz pflegt man (tz. 133, Zus.) gewöhnlich so anszudriickeu: Die Flächeninhalte je zweier Rechtecke verhalten sich wie die Producte ihrer Grundlinien und Höhen. Folgesätze, a) Die Flächeninhalte je zweier Parallelogramme oder Dreiecke verhalten sich wie die Producte ihrer Grundlinien und Höhen. k) Die Flächeninhalte zweier Quadrate verhalten sich wie die zweiten Potenzen ihrer Seiten. Z. 161. Lehrsatz. Die Flächeninhalte zweier Dreiecke, welche einen Winkel gemeinsam haben, verhalten sich wie die Producte der diesen Winkel einschließenden Seiten. Beweis. Die Dreiecke ^80 und 880 (Fig. 97) haben den Winkel 0 gemeinsam. Zieht man LI), so ist Fig. 97. ^^.80:880-^0:08 und <7 /^880:880^80:08, daher durch Multiplication /^^80:880-^0.80:08.08. / " Folgesatz. Zwci Dreiecke, welche einen Winkel gemeinsam haben, sind flächengleich, wenn die Producte der diesen Winkel einschließenden Seiten gleich sind. H. 162. Frhrsah. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Drei¬ ecke verhalten sich wie die Quadrate ihrer homologen Seiten. Beweis. Es sei /X, 8 0 ^st 8'0' und 8 0 —a, LO — st, Ist (st — ast Ist (st — Ist. Dann hat man, da W. 0 — 0' ist, nach Z. 161 /X^80 : lstlst(st -- a.st : a'.lst --- (a : kst) (st : st"). Nun ist nach der Voraussetzung st : Ist — a: ast daher durch Sub¬ stitution /X> 7^ 8 0 : Istlstlst — (a : a^) (a : rst) — a° : stst 88 Z. 163. Lehrsätze. 1. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Polygone verhalten sich wie die Quadrate ihrer homologen Seiten. Folgt aus Z. 134, 2 und ß. 162. 2. Die Flächeninhalte zweier regulärer Vielecke von gleicher Seitenzahl verhalten sich wie die Quadrate der Halbmesser der diesen Vielecken ein- und umgeschriebenen Kreise. Folgt aus 1. mit Rücksicht auf Z. 134, 6. III. Bestimmung des Klächeninstattes. ß. 164. Lehrsatz. Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Producte aus der Grundlinie und der Höhe. Beweis. Es sei R ein Rechteck, das (4 zur Grundlinie und 14 zur Höhe hat, und N die Flächeneinheit, d. i. ein Quadrat, dessen Seite m die Längeneinheit ist. Nach Z. 160 hat man L — 6.8 — 8 Ä m . in in' in ' Es bedeutet nun die Zahl, welche angibt, wie oft die Flächeneinheit N in dem gegebenen Rechtecke enthalten ist; und aber sind die Zahlen, welche angeben, wie oft die entsprechende Längeneinheit in bezüglich in der Grundlinie 6l und in der Höhe N jenes Rechteckes enthalten ist. Die Maßzahl für den Flächeninhalt eines Rechteckes ist also gleich dem Producte der aus die entsprechende Längeneinheit sich beziehenden Maßzahlen der Grundlinie und der Höhe desselben. Dieser Satz wird kürzer in der obigen Form ausgedrückt. Folgesatz. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist gleich der zweiten Potenz seiner Seite. Z. 165. Lehrsätze. 1- Der Flächeninhalt eines schiefwinkligen Parallelogramms ist gleich dem Producte aus der Grundlinie und der Höhe (Z. 154 und 164). 2. Der Flächeninhalt eines Dreieckes ist gleich dem halben Producte aus der Grundlinie und der Höhe (tz. 155 und 164). 3. Der Flächeninhalt eines Trapezes ist a) gleich dem Pro¬ ducte aus der halben Summe der Parallelseiten und der Höhe (Z. 156); oder l>) gleich dem Producte aus der Mittellinie und der Höhe (tz. 57, 1). 4. Der Flächeninhalt eines regulären Vieleckes ist gleich dem halben Producte aus dem Umfange desselben und dem Ab¬ stande des Mittelpunktes von einer Seite. Beweis. Es seien s, r und I bezüglich die Maßzahlen einer Seite, der vom Mittelpunkte zu einer Seite gezogenen Normalen nnd des Flächeninhaltes 89 eines regulären n-Eckes. Zieht mau vom Mittelpunkte zu allen Eckpunkten Strecken, so wird dadurch das n-Eck (nach tz. 68, 6) in n congruente Dreiecke zerlegt. Der Flächeninhalt eines solchen Dreieckes ist daher 8.1' Q8. r k -- u . wo ns die Maßzahl des Umfanges des Vieleckes ist. Jusach. Der Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes wird bestimmt, indem man dasselbe durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt, die Flächeninhalte derselben sucht und die erhaltenen Dreiecksflächen addiert. IV. Konstructions- und Wechnungsaufgaöen. Z. 166. Verwandlung geradliniger Gebilde. Ein Gebilde verwandeln heißt, ein anderes dem gegebenen flächen¬ gleiches Gebilde konstruieren, das gewissen Bedingungen genügeleistet. 1. Ein Dreieck in ein gleichschenkliges zu verwandeln, das eine Seite des gegebenen Dreieckes zur Grundlinie hat. Auflösung mittelst der geometrischen Örter. 2. Ein Dreieck mit Beibehaltung einer Seite in ein anderes zu verwandeln, das an dieser Seite einen gegebenen Winkel « hat. Trägt man in einem Endpunkte der gemeinsamen Seite den Winkel « auf uud zieht dann zu dieser Seite durch den gegenüberliegenden Eckpunkt die Parallele, so ist der Schnittpunkt der Parallelen und des zweiten Schenkels von « der gesuchte dritte Eckpunkt. 3. Ein Dreieck )1L0 (Fig. 98) unter Beibehaltung eines Winkels in ein anderes zu verwandeln, das eine gegebene Fig. 98. Grundlinie o hat. L' Man trage o auf )1I3 bis I) auf, ziehe 01), x .. ""d zu ihr parallel 1313; verbindet man I) und 13 § / durch eine Strecke, so ist das verlangte Dreieck. i/ Denn — ^.130, da beide das ^11313 gemeinsam haben und />,13 LI) — 13130 ist. 4. Ein Dreieck ^130 (Fig. 98) unter Beibehaltung eines Win¬ kels hinein anderes zu verwandeln, das eine gegebene Höhe ll hat. Errichtet inan VL — ll normal zu ^.13, zieht LI3 h 01) » 1313 und verbindet 13 und D durch eine Strecke, so ist )1I)I3 — ^1130. 5. Ein Dreieck L130 (Fig. 99) unter Beibehaltung eines Winkels in ein anderes zu verwandeln, in welchem die diesem Winkel gegenüberliegende Seite einer gegebenen Geraden 131) parallel ist. 90 Fig. S9. Analysis. JjULL das gesuchte Dreieck, also Liss' L>8, so hat man L8 : ^L — ^.1) : ^.L. Damit /^^80 — ^.LL sei, muss auch (nach Z. 161, Folgest) Ze8.ZkO---^L.^L oder Zi8 : : ^0 sein. Man hat also ZiL : ^.L — ^.L: ^.0, d. i. ZkL ist die mittlere geome¬ trische Proportionale zu ^.L und 1^0. Construction. Mau suche zu isti) und ^.0 die mittlere geometrische Proportionale (nach 8- 146, Aufg. 3, Ausl. 2), mache ^.L — und ziehe LL^V8; ^LL ist das verlangte Dreieck. 6. Ein Rechteck ^.801) (Fig. 100) in ein Quadrat zu verwandeln. Fig. 100. Z? S 7. Ein Vieleck dein, welches eine Fig. ioi. Man verlängere ^V8 bis L, so dass 8L —80 wird, beschreibe über ^L einen Halbkreis, welcher die 8 0 in L schneidet. Das über 8iL konstruierte Qua¬ drat 8 L O L ist dem gegebenen Rechtecke flächengleich. Denn zieht man ^.L und L L, so ist L.8 : 8L — 8L : 8L (ß. 135) oder Ze8 : 8L — 8L : 8 0, folglich 8L' — Zi8 .80. ^80VL (Fig. 101) in ein anderes zu verwan- Seite weniger hat. Man schneide durch eine Diagonale OL von dem gegebenen Vielecke ein Dreieck OI)L ab, lege durch I) zu OL die Parallele I)L, welche die verlängerte Seite ^.L in L schneidet, und ziehe OL; dann ist das Vieleck 8 O O L — Vieleck i^80L, weil beide ans gleichen Theilen bestehen. Durch Wiederholung dieser Construction kann jedes Vieleck in ein Dreieck verwandelt werden. 8. Ein Quadrat zu konstruieren, das gleich ist a) der Summe, 6) der Differenz zweier gegebener Quadrate. a) Man konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten gleich sind den Seiten der beiden Quadrate; die Hypotenuse ist die Seite des ver¬ langten Quadrates (8- 157). 5) Die Auflösung beruht ebenfalls auf 8- 157. 9. Ein Quadrat zu konstruieren, welches der Summe dreier oder mehrerer Quadrate gleich ist. Man vereinige nach der Aufgabe 8. s.) zuerst zwei Quadrate mit ein¬ ander, das gefundene mit dem dritten u. s. w. 8. 167. Theilnng geradliniger Gebilde. 1. Ein gegebenes Dreieck durch Gerade, welche von einem Eckpunkte ausgehen, a) in gleiche Theile, in Theile zu theilen, welche in einem gegebenen Verhältnisse stehen. 91 Man theile die Gegenseite a) in gleiche Theile, d) nach dein gegebenen Verhältnisse, und ziehe von dein Eckpunkte Strecken nach den Theilungspunkten (ß. 154, Folgest oder Z. 159, a). 2. Ein Dreieck ^86 durch Gerade, welche von einem auf einer Seite ^.8 liegenden Punkte LI ausgehen, in drei Theile zu theilen, welche sich wie m : rr : p verhalten. Mau theile das Dreieck (nach 1) durch die Geraden O I) und 0 8 nach dem gegebenen Verhältnisse und verwandle (nach Aufg. 3 in Z. 166) die Dreiecke und 8L0 in zwei Dreiecke über den Grundlinien ^.LI und LN. 3. Ein Dreieck ^80 (Fig. 102) dnrch Gerade, welche einer Seite LO parallel sind, in Theile zu theilen, welche in einem gegebenen Verhältnisse rn : n : p stehen. ioz Theilt man ^0 in den Punkten ä nnd s nach -dem Verhältnisse m : n: p, so haben die Dreiecke /' ( F 8 cl, äks und 6 80 die verlangte Größe. Man V. X verwandelt nun die Dreiecke ^L8L^x x in die Dreiecke ^81) und ^.68, in denen die Gegen- X / ^T^--xXtxxX Men 8 l) und 6 8 der Seite II0 parallel sind; I' I) 6^ und El 8 sind dann die gesuchten Theilungslinien. Ist m — n — p, so wird das /^^L80 in gleiche Theile getheilt. 4. Ein Parallelogramm durch Gerade, welche einer Seite parallel sind, a) in gleiche Theile, I>) nach einem gegebenen Verhältnisse zu theilen. Die Auflösung ergibt sich aus Z. 154 oder Z. 159, a. 5. Ein Trapez durch gerade Linien, welche die beiden P a r a l l e l s e i t e n schneiden, a) in gleiche Theile, 5) nach einem gegebenen Verhältnisse zu theilen. Die Auflösung ist jener der vorhergehenden Aufgabe analog. 6. Ein Trapez durch Gerade, welche den Parallelseitcn Parallel sind, in Theile zu theilen, welche in einem gegebenen Verhältnisse stehen. Durch die Verlängerung der nichtparallelen Seiten bis zu deren Schnitt¬ punkte ist die vorstehende Aufgabe auf die Aufgabe 3 zurückgeführt. tz. 168. Rechnungsaufgaben. 1. In einem gleichseitigen Dreiecke ist I) die Seite a, 2) die Höhe ll gegeben; wie groß ist der Flächeninhalt I? 1)^-4^-^' 2)t-^l/3- 2. In einem gleichschenkligen Dreiecke ist a die Grundlinie, l> der Schenkel; man suche den Flächeninhalt kl I — sX4 v-- - -2. 92 3. In einem Dreiecke sind die drei Seiten gegeben; man berechne die zu einer Seite gehörige Höhe und den Flächeninhalt. Ns- los. GZ sei in dem Dreiecke L80 (Fig. lO3) die Seite 80 — a, L0 — ll, L8 — o, die Höhe OO — I, und die Strecke LI) — x. Nach Z. 158, 1 ist 9,^ — e" — 2ox, daher x — —- Nun ist Iw — d? — — (b -s- x) (b — x), oder b-- <.2 — / i)2 «2 z2 2° / I/' 2o " 1 2 d e -p H2 -p «2 — ^2 2 v o — H2 — <;2 ^2 (b -p v)2 — g,2 z2 — (u — g)2 2o 2e 2e ' 2e daher 1) —- n IL (v -p v -p a) (v -j- 6 — L) (a v — L) (a — v -p- «). Drückt 1 den Flächeninhalt des Dreieckes L80 aus, so ist 1 — ^; mithin 1 -I- I> -j- e) (d -p e — «) (s. — b -l- e) (s b — v). Setzt man nun den Umfang aZ-ll-s-o — 28, so erhält man, wenn von dieser Gleichung fvlgeweise 2 a, 21), 2e subtrahiert wird, d-s-0 — L — 2 (s — »), L — b-s^o — 2(8 — b), L-j-b — e — 2 (s — o), folglich ist I — s/" g (8 — a) (8 — 1)) (8 — v). 2. In einem Trapeze sind die vier Seiten gegeben; man berechne die Höhe und den Flächeninhalt. Fig. 104. CZ s<>i (Fig. 104) L8 a, 01) d, LI) — o und S f / 80 — ä, die Höhe ii und der Flächeninhalt 1. Zieht man 08^OL, so sind in dem Dreiecke 880 die Seiten 88 — a — 1), 80 — ä und 08 — 0, daher (nach Aufg. 3) die zu 88 gehörige Höhe K — 2(^-b) ' — b)(e-pa — «-i-v)(L — b -Po- x' ist, n < II sein. 8- 170. Constructionsaufgaben. U Ein Dreieck in ein gleichschenkliges zu verwandeln, van welchem gegeben ist a) die Grundlinie, b) ein Schenkel. 2. Ein Dreieck unter Beibehaltung eines Winkels in ein rechtwinkliges zu verwandeln (Aufg. 5 in ß. 166). 3- Ein Dreieck in ein rechtwinkliges zu verwandeln, von welchem gegeben ist a) eine Kathete, 6) die Hypotenuse. 4. Ein gegebenes Dreieck in ein gleichseitiges zu verwandeln (Aufg. 2 und 5 in Z. 166). 5. Ein Dreieck in ein anderes zn verwandeln, das einem gegebenen Dreiecke ähnlich ist (Aufg. 5 i» Z. 166). 6. Ein Parallelogramm in ein anderes zu verwandeln, welches a) einen gegebenen Winkel, 6) eine gegebene Seite, o) einen gegebenen Winkel und eine gegebene Seite hat. 7. Ein Dreieck durch eine Gerade, welche zu einer Seite normal ist, zu halbieren (Aufg. 1 in Z. 167 und die obige Aufg. 2). K. 171. Rechnungsaufgaben. 1. In einem rechtwinkligen Dreiecke sind gegeben a) die Hypotenuse und eine Kathete, 6) eine Kathete und die zur Hypotenuse gehörige Höhe; berechne den Flächeninhalt. 2. * Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes zu bestimmen, wenn gegeben sind: a) die Hypotenuse und die Summe der beiden Katheten; b) eine Kathete und die Summe der Hypotenuse und der andern Kathete. 3. * In einem rechtwinkligen Dreiecke sind der Flächeninhalt und die zur Hypotenuse gehörige Höhe gegeben; bestimme die drei Seiten. 4. * In einem rechtwinkligen Dreiecke find die Hypotenuse und der Flächeninhalt gegeben; bestimme die beiden Katheten. 5. * Aus dem Umfange und dem Flächeninhalte eines rechtwinkligen Dreieckes dessen Seiten zu berechnen. 6. Aus der Diagonale ä (36 am) eines Quadrates den Flächeninhalt 1 zu berechnen. 7. Aus einer Seite a (7'2m) und der Diagonale ck (12'5 m) eines Rechteckes den Flächeninhalt k zu bestimmen. 95 8. * Aus dem Umfange und dein Flächeninhalte eines Rechteckes dessen Seiten zu berechnen. 9. Wie groß ist die Seite eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Flächen¬ inhalt 2 m? beträgt? 10. * Den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreieckes aus der Summe der Seite und der Höhe zu bestimmen. 11. Aus der Grundlinie o, (2'34 nr) und dem Flächeninhalte 1 (3'76»?) eines gleichschenkligen Dreieckes den Schenkel b zu berechnen. 12. * Den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreieckes zu bestimmen, wenn gegeben sind: a) die zur Grundlinie und zu einem Schenkel gehörigen Höhen; b) die Grundlinie und die zu einem Schenkel gehörige Höhe; o) der Umfang und die zur Grundlinie gehörige Höhe. 13. In einem Dreiecke sind zwei Seiten a, 6 und die zur dritten Seite gehörige Höhe Ir gegeben; berechne den Flächeninhalt 1. 14. In einem Dreiecke sind zwei Seiten a, id und die Schwerlinie rn der dritten gegeben; berechne 1. Verlängere im AL. 86 die Schwerlinie 6 V um ihre eigene Länge bis L und ziehe dann ist AL86 —L.LO, daher nach Z. 168, 3 e --- 1 I/ (s -s- ü -s- 2 Ni) (b -st 2 UI — 3) (s. -st 2 UI — d) (L -st b — 2m). 15. In einem Dreiecke sind die drei Schwerlinien m, mH m" gegeben; berechne 1. Da (Fig. 36 und tz. 61) AL.86 --- 3L.O8 ist, so erhält man nach Aufg. 1t k — 11/ (m -st m' -t- m") (m' -s- m" — m) (m -s- m" — m') (m — Ul"). 16. In einem Dreiecke sind die drei Höhen 6, lrh 6" gegeben; bestimme 1. k — — - - i - - -st l>' -st k") (?' -st p" — p) (p -st p" — pH (p -st l>' — p")' wmn — p, — pH — p" gesetzt wird. 17. Die Diagonalen eines Deltoids sind II (45 em) und ci (32 cm). Bestimme den Flächeninhalt. 18. Den Flächeninhalt eines Rhombus zu berechnen, wenn a) beide Diagonalen, l>) die Seite und eine Diagonale gegeben sind. 19. Welche Beziehung findet zwischen den Seiten a, 6 und den Diago¬ nalen II, ck eines Parallelogramms statt? Unter Anwendung von Z. 158, 1 und 2 erhält man 1)2 -s- ä- — 2 -s- 1>2). , 96 Fünfter Abschnitt. Matzbestimmungen am Kreise. 1. Berechnung der Sehnen- und ZNngentenviekecke. Z. 172. Das Sehnen- nnd Tangentcndreieck. Fig. los. 1. Es sei O (Fig. 105) der Mittelpunkt, 61) ein —<7 Durchmesser des dem Dreiecke )V8O umgeschriebenen / leises und 06 Z, i38, ferner 80 a, ^0 d, ^.8 o, i l ! 06 und 00^8. Da/^081) 06Z, so ist 6D : 0^ — 06 : 06, oder 2 8 : 6 — a : Ii; mithin 2kik — n.6, und 2oir8 — a5a, oder E^aido, wenn k den Flächeninhalt des Dreieckes ^80 bezeichnet. Man hat daher /, Ä i) 0 - _ Ä s) o A s) 6 t — und 6 — (Z. 168, 3), 4 4 1/^8 (8 — a) (8 — d) (8 — e) wo 2s — a -f- t> -i- « ist. Für das eingeschriebene gleichseitige Dreieck ist a — l> — o, daher k , 8 und a - 61/3. 2. Es sei 0 (Fig. 106) der Mittelpunkt, 01) — 06 — 06 — r der Halbmesser des dem Dreiecke -^80 eingeschriebenen Kreises und 1 der Flächeninhalt dieses Dreieckes. Mau hat 1 — ^800 -s- ^00 -s- ^08, oder Fig. 106. t— — ^(u-s-d-s-o). / Wenn Ä-f-6-s-e — 2s gesetzt wird, ist 1 — rs, und r — oder F .« , _ O , L ./ -X, I' » /i/ - s) (^ -b) (8-6 ) Z) _ /r /)/ j . r- Für Pas umgeschriebene gleichseitige Dreieck, dessen Seite a ist, hat man r» 3 2 6 A 3 l 6 6 tl I X >0 1- r und u - 2r1/3. Zusatz. Ist 0, der Mittelpunkt eines äußeren Berührungskreiscs (8- 86, Zusatz) und 0, 6 dessen Radius, so ist 1^^130 -I- 80,0 - 80,0 - ^.80, -6 ^00, —800, Z- b r, sr. . -F--2-' '°"Ut 1 — (b -s- o — a) 2 (s — a) r, (s — a) und r, — 97 Auf gleiche Weise findet man bezüglich der beiden anderen äußeren Be- rührungskrcise 1-2 — i-g — Daraus ergibt sich si- si- ' Li rZ i t r §3 f3 f2 f f2 und r,r^r„ — --- r — — — somit rr, r.,r„ — b^. 0 (g— a) (3— k)(s— 0) r^8 r2 8 ' i 2 o K. 173. Das ein- und das umgeschriebene Quadrat. Heißen und 8^ die Seiten des ein- und des umgeschriebenen Qua¬ drates und i- der Halbmesser des Kreises, so ist — r 1/2, 8z — 2 r; und umgekehrt r^-j/2^^-. Z. 174. Das ein- und das umgeschriebene reguläre Sechseck. Ist (Fig. 107) 0^. —r der Halbmesser des Kreises, — s„ die Seite des eingeschriebenen, 8X — 8g die Seite des umgeschriebenen regulären Sechseckes und OD si, 8L, so hat man — r (8- 90). Ferner ist HX.: llX — 00 : 00, also 8g: r — r: , oder 8g : r — r : 1/3, daher o 2r 2r/3 s/3 3 ' ß. 175/ Die einem Kreise eingeschriebenen regulären Zehn- und Fünfecke. 1. Nach Z. 141, 1 ist r: 8,0 — 8,0: (r — 8^), also 8^ -s- rs„ — r^, woraus sich ergibt «1° - (1/5 - 1). 2. Ferner ist nach tz. 141, 2 — s^o si- r° — / (6 — 2 1/5) -si r" — (10 — 2 1/5); daher »/lO-21/5. Zusatz. Mit Rücksicht auf den Ausdruck s-, — 2- 10 — 2 5 erhält mau, wenn r den Halbniesser des dem regulären Fünfecke von der Seitenlünge sg umgeschriebenen, r' den Halbmesser des diesem Fünfecke eingeschriebenen Kreises und ä die Diagonale des Fünf¬ eckes bezeichnet, ^/'so-i-IO s/S, r-^^^/2S-s-10l/5, ck (1 / s/S). Z. 176. Aus der Seite 8„ eines einem gegebenen Kreise ein¬ geschriebenen regulären Vieleckes die Seite 8« des demselben Moönik, Geometrie. 7 98 Kreise umgeschriebenen regulären Vieleckes von gleicher Seiten¬ zahl zu bestimmen. Ist (Fig. 107) 0^. — r der Halbmesser des Kreises und m die Fig. 107. Seite des eingeschriebenen regulären n-Eckes, so isst wenn 08 -st und die Tangente durch 8 von den Halb¬ messern 0-^. und OK in 0 und I) geschnitten wird, 01) — 8n die Seite des umgeschriebenen regulären n-Eckes. Da dann st^OVO -^> ^.KO isst so folgt 01) : — 08 : 08, oder La: s,, — r: daher ß. 177. Aus der Seite s„ eines einem gegebenen Kreise ein¬ geschriebenen regulären Vieleckes die Seite sZ« des demselben Kreise eingeschriebenen regulären Vieleckes von doppelter Seiten¬ zahl zu berechnen. Haben r und die ihnen im Z. 176 beigelegte Bedeutung und zieht man (Fig. 107) 08 Z, LL, so ist die Sehne ^8 — die Seite des ein¬ geschriebenen regulären 2 n-Eckes. Man hat nnn nach Z. 135, 1 2n : ^8 ^.8 : 88, oder, da 88^08 — 08 r— isst 2 r : Szn — 8z„ : daher 8?„ — 21- ^1- — 1-^ — , und — ^2r II. Bestimmung der Peripherie und des Alachcninhaltes eines Kreises. Z. 178. Lehrsätze. 1. Die Peripherie eines Kreises liegt für jede Seitenzahl des ihm ein- und des ihm umgeschriebenen Viel¬ eckes zwischen den Umfängen dieser Vielecke. Beweis. Zieht man in einem Kreise, dem ein Vieleck eingeschrieben ist, von je zwei anfeinander folgenden Eckpunkten desselben zu einem Punkte des von ihnen begrenzten Bogens Sehnen, so erhält man ein neues eingeschrie¬ benes Vieleck von doppelter Seitenzahl, dessen Umfang größer ist als der Um¬ fang des früheren (Z. 34, 1). Fährt man auf diese Art init der Vermehrung der Seitenzahl der eingeschriebenen Vielecke fort, so wächst mit der Seiten¬ anzahl auch der Umfang derselben, ohne jedoch je mit der Peripherie des Kreises zusammenfallen zu können, da alle Vielecksseiten als Sehnen des Kreises stets innerhalb desselben liegen. 99 Zieht man an einen Kreis, dem ein Vieleck nmgeschrieben ist, zwischen je zwei aufeinander folgenden Seiten desselben eine Tangente, so entsteht ein neues umgeschriebenes Vieleck von doppelter Seitenzahl, dessen Umfang kleiner ist als der Umfang des früheren (Z. 34, 1). Bei so fortgesetzter Vermehrung der Seitenzahl der umgeschriebenen Vielecke nimmt der Umfang derselben fort¬ während ab; er kann jedoch nie mit der Peripherie des Kreises zusauunen- fallen, da alle Vielecksseiteu als Tangenten des Kreises stets außerhalb des¬ selben liegen. 2. Der Unterschied zwischen den Umfängen des einem Kreise um- und des ihm eingeschriebenen regulären Vieleckes wird bei fortgesetzt wachsender Seitenanzahl unendlich klein. Beweis. Sind Ov und ^.8 (Fig. 107) die Seiten, 8° und u° die Umfänge des einem Kreise um- und des ihm eingeschriebenen regulären u-Eckes, so ist nach Z. 134, 7 08 : 08, daher (11° — u°) : 11° (08 — 08): 08, und 8° -u,. ^^.(08-08). Mit dem Wachsen von r> nimmt nun 8°, folglich, da 08 constant ist, auch ab; 08 — 08 — 88 ist kleiner als die Seite ^8 des regu¬ lären 2u-Eckes, diese Seite aber nimmt unendlich ab, wenn n ohne Ende zunimmt: mithin nimmt auch 8° — u° mit dem wachsenden u unendlich ab. Z. 179. Lehrsätzr. 1. Die Fläche eines Kreises ist größer als die Fläche irgend eines ihm eingeschriebenen, und kleiner als die Fläche irgend eines ihm umgeschriebenen Vieleckes. Denn die Fläche des eingeschriebenen Vieleckes ist ein Theil der Kreis¬ fläche, und dieser wieder ein Theil der Fläche des umgeschriebeneu Vieleckes. 2. Der Unterschied zwischen den Flächeninhalten des einem Kreise um- und des ihm eingeschriebenen regulären Vieleckes wird bei fortgesetzt wachsender Seitenanzahl unendlich klein. Beweis. Sind 01) und ^8 (Fig. 107) die Seiten, 8° und 1° die Flächeninhalte des einem Kreise um- und des ihm eingeschriebenen regulären u-Eckes, so ist (nach Z. 163, 2) 8° : 1° — 08" : 0 8', daher (8° — 1°): 8° (08' — 08'): 08', und 8° - f^^(08'-08'). Mit dem wachsenden u nimmt nun 8°, daher auch ab, und 08' — 08' — O^' — 08' — ^.8' wird unendlich klein; also wird auch der Unterschied 8° — 1° bei fortgesetzter Vermehrung der Seitenzahl un¬ endlich klein. Z. 180. Ist einem Kreise ein reguläres Vieleck eingeschrieben und ein anderes nmgeschrieben, so folgt ans Z. 178, 1 und 2, dass sich bei unendlich " 7* 100 wachsender Seitenzahl die Umfänge beider Vielecke, und zwar der Umfang des eingeschriebenen bei fortgesetztem Wachsen, der des umgeschriebenen bei fortgesetztem Abnehmen, demselben gemeinsamen Grenzwerte, nämlich der Pe¬ ripherie des Kreises nähern. Die analoge Beziehung findet nach K. 179, 1 und 2, zwischen den Flächeninhalten der ein- und umgeschriebenen regulären Vielecke und der Kreisfläche statt. Hierauf beruhen folgende Definitionen: Die Länge der Peripherie eines Kreises ist der gemeinsame Grenzwert der Umfänge der dem Kreise ein- und umgeschriebenen regulären Vielecke mit wachsender Seitenzahl; der Flächeninhalt des Kreises ist der gemeinsame Grenzwert der Flächeninhalte derselben Vielecke. Z. 181. Lehrsatz. Die Peripherien zweier Kreise verhalten sich wie ihre Halbmesser, oder wie ihre Durchmesser. Folgt unter Anwendung des Grenzbegrisses aus Z. 134, 7. Folgesätze, a) Drücken p und u die Peripherien zweier Kreise aus, deren Halbmesser r und R, deren Durchmesser ä und O sind, so ist p : U — i- : U und p : k — ä : I). Aus der zweiten Proportion folgt p : ä — k : O, d. h. das Verhältnis der Peripherie zum Durchmesser ist in allen Kreisen ein constantes. Dieses constante Verhältnis bezeichnet man durch die Zahl -r, so dass — -r ist. b) Aus den letzten Ausdrücken folgt: p — än oder p — 2r-r, d. h. die Peripherie eines Kreises ist gleich dem Producte aus dem Durchmesser und der Zahl n. e) Für r — 1 ist p — 2n, also -r — . Die Zahl n kann demnach auch als die Maßzahl der halben Peripherie eines Kreises, dessen Halbmesser — 1 ist, befrachtet werden. K. 182. Berechnung der Zahl -r. Nach K. 181, o ist 2« die Maßzahl für die ganze Peripherie eines Kreises mit dem Halbmesser r — 1. Um diese näherungsweise zu bestimmen, berechnet man die Umfänge des ein- und des umgeschriebenen regulären u-Eckes für r — 1 und für ein so großes n, dass der Wert, um welchen die beiden Umfänge differieren, vernachlässigt werden darf. Die Decimalen, in denen die Umfänge übereinstimmen, gelten dann auch für die gesuchte Peri¬ pherie des Kreises. Es soll z. B. die Zahl -r auf 4 Decimalstellen genau bestimmt werden. Geht man bei der Berechnung, wie es nm bequemsten ist, von dem eingeschrie¬ benen regulären Sechsecke aus, iu welchem die Seite — r — 1 und der Umfang r^ — 6 ist, so erhält man (K. 174) für das umgeschriebene Sechseck die Seite 8^ — 1'1547005.. und den Umfang II,, — 6'928203.. Aus u„ und Ilg berechnet man nach ZK. 176 nnd 177 II,, und u,?, aus diese» wieder 101 und Uzj u. s. w., bis man auf — 6'283194.. und — 6'283181.. kommt. Da sich diese Umfänge erst in der fünften Decimale von einander unterscheiden, so ergibt sich auf 4 Decimalen genau 2-r — 6 2832, daher -r —3'1416. Nach demselben Verfahren erhält man auf 20 Decimalen genau n — 3'14159 26535 89793 23846. Die Zahl -r ist zuerst von Archimedes bestimmt worden, welcher 3^>?r>3UL fand. Die erste Zahl wird häufig gebraucht, wo es nicht auf große Genauigkeit ankommt; sie ist genauer als der ebenfalls oft gebrauchte Näherungswert 3-14. Ludolf von Ceulen berechnete w auf 35 Decimalstellen; nach ihm wird -r auch die Ludolf'schc Zahl genannt. 8- 183. Lehrsätze. 1. Die Flächeninhalte zweier Kreise ver¬ halten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. 2. Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem halben Producte aus der Peripherie und dem Halbmesser. Die Richtigkeit der beiden Sätze ergibt sich nach dcm Grenzbegriffe aus 8- 163, 2 und 165, 4. Folgesatz. Drückt r den Halbmesser, p> die Peripherie und k den Flächen¬ inhalt eines Kreises aus, so ist 1 — poder, da p — 2r-r ist, f — i-'7r, d. h. der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Producte aus dem Quadrate des Halbmessers und der Zahl -r. Zusatz. Der Flächeninhalt eines Kreisringes ist gleich dem Pro¬ ducte aus der Summe der beiden Kreisumfänge und der halben Breite des Ringes. III. Bestimmung der Kreisbogen nnd Kreissektoren. 8- 184. Lehrsätze. 1. In demselben Kreise verhalten sich die Kreisbogen wie die zugehörigen Centriwinkel. Fig. 108. Beweis. Es seien die Bogen und 01) (Fig. 108) commensurabel; 7?cU sei ihr gemeinsames Maß, und zwar — ra . 01) —n.^A; somit HZ : OO m : a. Zieht man zu jedem Theilungspunkte der beiden Kreisbogen Halbmesser, so ist auch W. ^Ok — in . ^.OA, W. 001) — n. ^.ON (Z. 78, 3), folglich W. iVOL : W. 001) — in: n; und somit Bog. : Bog. 01) W. ^013 : W. 001). Dass diese Proportion auch dann stattfindet, wenn ^13 und 01) in- commcnsurabel find, folgt aus §. 115. 2. Zwei homologe Kreisbogen verhalten sich wie die zuge¬ hörigen Peripherien (Fjg. 47). 102 Beweis. Heißen 8 und x die Peripherien zweier Kreise, deren Halb¬ messer 0^. und Os, sind, und sind F8 und ab zwei Bogen, welche in diesen Kreisen zu dem Centriwinkel « gehören, so hat man (nach 1) Bogen F8 : 8 — « : 360, nnd Bogen ab: p — «: 360; daher Bogen -48 : 8 — Bogen ab:p, oder Bogen-48 : Bogen ab — 8 : p. Folgesatz. Zwei homologe Kreisbogen verhalten sich wie ihre Halb¬ messer (ß. 181). Z. 185. Länge eines Kreisbogens. 1. Ist b die Länge eines Kreisbogens, der zu dem Centriwinkel « gehört, nnd r der Halbmesser des Kreises, so hat man nach H. 184, 1 b : 2r-r — « : 360, daher b — r . 2. Für r — 1 ist b — "g" - Ausdruck-^- gibt also die Länge des Bogens von « Grad für den Halbmesser 1 an; wir wollen diesen Ausdruck kürzer durch aro« bezeichnen. 3. Aus b — r .— r . aro« folgt: Die Länge eines Kreis¬ bogens ist gleich der Länge des homologen Bogens für den Halbmesser 4 multipliciert mit dem Halbmesser des ersteren. 4. Das Längenmaß eines Bogens für den Halbmesser 1 wird häufig auch als Maß des zugehörigen Winkels selbst angenommen und hiernach 2n für den vollen Winkel, -r für den gestreckten, für den rechten Winkel, allgemein aro« für den Winkel « gesetzt. Dies ist jedoch, da Längen nnd Winkel als ungleichartige Größen im eigentlichen Sinne nicht durch einander gemessen werden können, stets nur in dem Sinne zu verstehen, dass aus der Bogenlänge für den Halbmesser 1 unzweideutig auch auf die Anzahl Grade des zugehörigen Centriwinkels geschlossen werden kann. Z. 186. Lehrsätze. 1. In demselben Kreise verhalten sich die Kreissektoren wie die zugehörigen Centriwinkel. 2. Zwei homologe Kreissektoren verhalten sich wie die Flächeninhalte der zugehörigen ganzen Kreise. Die Beweise sind analog den Beweisen zu tz. 184, 1 und 2. Folgesatz. Zwei homologe Kreissektoren verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser (tz. 183, 1). tz. 187. Lehrsatz. Der Flächeninhalt eines Kreissektors ist gleich dem halben Produkte aus dem im Längenmaße ansgc- drückten Bogen und dem Halbmesser. Beweis. Bezeichnet k den Flächeninhalt eines Kreissektors, der für den Halbmesser r dem Centriwinkel « entspricht, und b die Länge des zu- 103 gehörigen Bogens, so hat man (nach Z. 186, 1) 1: r'sr — « : 360, daher °der, da ist K 185, 1), dr Ausach. Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes ist, je nachdem dasselbe kleiner oder größer als der Halbkreis ist, gleich der Differenz oder der Summe aus der Fläche des zugehörigen Kreissectors und der Dreiecksslächc Zwischen der Sehne und den beiden Halbmessern. IV. Stmngscmfgalien. Z. 188. Übnngssätze. 1. Die Diagonalen eines Schnenviereckes verhalten sich wie die Summen der Prodncte der in ihren Endpunkten zusammenstoßenden Seiten. Man bestimmt die Flächeninhalte der zwei Dreiecke, in welche das Viereck durch die eine Diagonale zerlegt wird, mit Rücksicht auf Z. 172, 1, aus den drei Seiten und dem Halbmesser des umgeschriebenen Kreises, dann ebenso die Flächeninhalte der beiden Dreiecke, in welche das Viereck durch die zweite Diagonale zerlegt wird, und setzt die Summe der ersteren gleich der Summe der letzteren. 2. Beschreibt man über den Katheten eines in einen Halbkreis ein¬ geschriebenen rechtwinkligen Dreieckes Halbkreise, so ist die Summe der dadurch gebildeten Monde (tz. 92) gleich der Fläche des rechtwinkligen Dreieckes. (Lehrsatz des Hippokrates.) Der Flächeninhalt des Dreieckes und der beiden kleinen Halb- Fig. 109. kreise ist gleich dem Flächeninhalte des großen Halbkreises und der beiden Monde, somit I 4- H, somit ist wegen »2 -tz — <,2 auch — I -f- II. ck A Z Errichtet man über den drei Seiten eines recht¬ winkligen Dreieckes als homologen Seiten ähnliche Figuren, so ist die Figur über der Hypotenuse flächengleich mit den beiden Figuren über den Katheten. (Allgemeiner Pythagoräischer Lehrsatz.) Seien die über den Seiten a, b, o (Fig. 109) errichteten ähnlichen Figuren finit V 8, 0 bezeichnet, so ist nach H."163f : 8 : 0 — »2 . i>2 . es und (L -s- 8): 0 --- (»2 i>2): o-; wegen j a2 i>2 — o2 jsl somit auch L i- 8 — 6. 4. Der Kreis hat einen größeren Flächeninhalt als irgend ein Vieleck von gleichem Umfange. Es sei x der Flächeninhalt eines regulären u-Eckes, das mit einem Kreise vom Halbmesser r gleichen Umfang 2r-r hat. Beschreibt man in das Vieleck einen Kreis, so hat dieser einen Halbmesser x> < r, weil (nach ß. 178, 1) 2y« < 2r-r ist. Setzt man daher s — r — Z, so ist (nach H. 165, 4) t> — 2r-r. r 2 — r2« — är-r. Der Flächeninhalt r2^ des Kreises ist also größer als der ) Flächeninhalt x des regulären N-Eckes, folglich 104 nach Z. 169, 13, umsomehr größer als der Flächeninhalt eines unregelmäßigen n-Eckes von gleichem Umfange. 5. Der Kreis hat einen kleineren Umfang als irgend ein Vieleck von gleichem Flächeninhaltes Es seien lr und u der Flächeninhalt und der Umfang eines Kreises, x und 17 der Flächeninhalt und der Umfang irgend eines Vieleckes und K — x. Ist U der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Umfange 17, so ist x < U (nach 4), also auch K < L, und, da der kleinere Kreis den kleineren Umfang hat, n < 17. Z. 189. Rechnungsaufgaben. 1. In einem Kreise ist r der Halbmesser, x die Peripherie, 1 der Flächen¬ inhalt; aus einer dieser Größen die beiden anderen zu berechnen. Gegeben: s) r — 5-28 m; b) p — 17-75 m; o) k 4 0115 2. Die Länge eines Bogens von «° für den Halbmesser r ist l>, der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissektors 1; aus zweien dieser Größen die beiden anderen zu berechnen. 3. Wie lang ist aro 1", are Ist aro 1"? (185, 2.) 4. Bestimine das Gradmaß 9° eines Kreisbogens, dessen Länge dem Halbmesser gleich ist. 57-29578». 5. Berechne die Fläche eines Kreissegments, dessen Halbmesser — r und dessen Sehne dem Halbmesser gleich ist. 6. Der Flächeninhalt eines Kreissegments, dessen Sehne a die Seite des dem Kreise eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes ist, zu berechnen. 7. Aus dem Flächeninhalte 1 und der Breite d eines Kreisringes die Halbmesser der beiden Kreise zu berechnen. 8. Der Durchmesser eines Kreises vom Halbmesser r wird in dem Ver¬ hältnisse ra : n gctheilt und durch den Theilungspunkt ein mit dem gegebenen concentrischer Kreis beschrieben; wie groß ist der Flächeninhalt des dadurch gebildeten Kreisringes? 9. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Ringausschnittes, dessen Bogen 0'5 M und 0'4 m zu Halbmessern haben und zu einem Ccntriwinkel von 48" gehören? 10. Aus den Seiten eines Sehnenviereckes die beiden Diagonalen zu berechnen (Z. 140 und ß. 188, 1). 11. In einen Kreis mit dem Halbmesser r ist ein Rechteck beschrieben, dessen eine Seite u ist; wie groß ist sein Flächeninhalt? 12. * Der Halbmesser eines Kreises ist r; wie groß ist der Flächeninhalt des diesem Kreise eingeschriebenen regulären Sechzehneckes? (4r?l/2 — 1^2.) 13. Wie verhalten sich die Flächeninhalte zweier gleichseitiger Dreiecke, wenn der dem einen umgeschriebene Kreis flächengleich ist dem dem andern eingeschriebenen? 105 14. In den Quadranten eines Kreises vom Halbmesser r wird ein Kreis beschrieben, welcher die Schenkel und den Bogen des Quadranten berührt; bestimme den Flächeninhalt eines dritten Kreises, dessen Halbmesser der Summe aus den Halbmessern des Quadranten und des ihm eingeschriebenen Kreises gleich ist (2r°-r). 15. Ein Rechteck hat die Seite des einem Kreise vom Halbmesser r eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes zur Grundlinie und die Seite des demselben Kreise nmgeschriebcnen regulären Sechseckes zur Höhe; wie groß ist der Umfang eines Kreises, welcher mit diesem Rechtecke flächengleich ist? Anhang zur Manirnelrie. Lösung von Constructiansaufgavrn nach der Methode der algebraischen Analysis. 1. Geometrische Conslrnetion algebraischer Ausdrücke. Z. 190. Drückt man gegebene Strecken durch ihre Maßzahleu aus, so erhält man auch für andere Strecken, die von jenen auf eine vorgeschriebene Art abhängen, bestimmte Zahlenausdrückc. Sind z. B. a und b die Maß- zuhlen der Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes, so ist s/s? -j- der Zahlenausdruck für die Hypotenuse. Umgekehrt kann ein Zahlenausdruck von der Form s/a" b? wieder in seiner geometrischen Bedeutung hergestellt werden, indem man ihn als die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes constrniert, dessen Katheten a und d Längeneinheiten enthalten. Die Construction einer Strecke, deren Maßzahl x durch einen algebraischen Ausdruck bestimmt ist, lässt sich auf einen der nachstehenden Hauptfälle zurückführcn: 1. Ist x — a -fl l> zu construiercu, so trägt man auf einer gegebenen Geraden A8 — a und daun in derselben Richtung weiter 80 — b auf, wodurch die Summe u, -fl l> als eine einzige Strecke AO erscheint. 2. Um x — o — b zu construiercu, trägt man aus einer gegebenen Geraden von A aus in einer bestimmten Richtung AL — s, und dann von L aus in der entgegengesetzten Richtung 80 — b auf; die Strecke AO stellt dann die Differenz a —- b dar. Ist b > a, also x negativ, so erscheint AO von A aus in einer Rich¬ tung, welche der ursprünglich angenommenen entgegengesetzt ist. 106 3. Der Ausdruck x — entstanden aus der Proportion a : b — e: x, wird als vierte Proportionale zu drei gegebenen Strecken a, b, o nach 8. 146, 1, construiert. ^2 4. x — führt zu der Proportion a : b — b : x, und bildet die dritte stetige Proportionale zu a und b. Die Construction erfolgt nach 8- 146, 2. 5. x — s/ab, entstanden aus x^ —ab, oder aus der Proportion a : x — x : b, ist die mittlere Proportionale zwischen den Strecken a und b und wird als solche nach 8- 146, 3, construiert. 6. x — sZ a? -4- b^ wird als die Hypotenuse eines rechtwinkligen Drei¬ eckes mit den gegebenen Katheten a und b construiert. Für b — a erhält man x — a sZ 2 als die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieckes mit der Kathete a. 7. x — 's/"a? — b? ist als die Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, in welchem a die Hypotenuse und b die andere Kathete ist, zu konstruieren. Für b — erhält mau x — s/ 3 als die Höhe eines gleichseitigen Drei¬ eckes, dessen Seite a ist. 8. 191. Beispiele. 1. X — a — b -j- e. Construiere in — a — b, und dann x — in -s- o. alie /r- r-, - ad - - me 2. x — i' Construiere in — und dann x — ad -i- eci . ad eU . . 3. x — - . Construiere in — i, n — , und dann x — Ni -s" n. 4. X — 2a — as/ 2. Construiere IN —as/2 — s/s?n^ und dann x — 2 a — ra. 5. X — z (s/5 — 1) als Seite des einem Kreise vom Halbmesser r eingeschriebenen regulären Zehneckes (8- 175, 1). Constrnction: x - — Z — /. 6. x — sZa'^ -s- bo. Construiere in — s/bo, und dann x — s/a" -s- in". 7. x — s/a^ -f- b^ — 2 -st bo - ab-j-be „ l>2 _f- ;>2 — ^2 4. x — — ' - . o. x — - hx — --- . it n — b 2e 7. X — -st oä— ol. 8. x — -st d"-st — 2ab. -- -- w. - -- st- - Z. 199. Löse mit Hilfe der algebraischen Analysis folgende Aufgaben: 1. Ein Rechteck zn construieren, wenn die Summe s zweier Seiten und ihre Differenz ä gegeben sind. 2. Die größere Seite eines Rechteckes so zu theilen, dass die Differenz der Quadrate der Abschnitte dem Flächeninhalte des Rechteckes gleich wird. 111 3. Um jeden Eckpunkt eines gegebenen Dreieckes einen Kreis so zu be¬ schreiben, dass jeder dieser Kreise die beiden anderen von außen berührt. 4. Über einer Seite eines Dreieckes ein Rechteck zu construieren, welches dem Rechtecke aus den beiden anderen Seiten flächengleich ist. 5. In einem Dreiecke zu einer Seite eine Parallele zu ziehen, welche einer gegebenen Strecke gleich ist. 6. In einem gegebenen Dreiecke ^.80 zu der Seite 80 eine Parallele so zu ziehen, dass der eine obere Abschnitt dem andern unteren 270 gleich sei. 7. Zu einem gegebenen Rechtecke ein Quadrat so zu construieren, dass die Umfänge beider Figuren sich zn einander verhalten wie ihre Flächeninhalte. 8. Eine Strecke a in zwei Theile so zu theilen, dass die Differenz der Quadrate beider Theile einem gegebenen Quadrate rrO gleich wird. 9. Ein rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn eine Kathete s, und die Summe s der Hypotenuse und der andern Kathete gegeben ist. 10. Ein Rechteck aus einer Seite und der Summe der Diagonale und der andern Seite zu construieren. 11. Ein Rechteck ab in ein Quadrat x? zn verwandeln. 12. Ein Parallelogramm, dessen Seiten a und 8 sind, in einen Rhombus zu verwandele, welcher mit dem Parallelogramme einen Winkel gemeinsam hat (8. 161, Folges.) 13. Von einem außerhalb eines Kreises liegenden Punkte eine Secante so zu ziehen, dass sie durch den Kreisumfang halbiert wird (8- 136, 2). 14. In einen gegebenen Kreis ein gleichseitiges Dreieck zu beschreiben. Ist x die Seite des eingeschriebenen Dreieckes und r der Halbmesser des Kreises, so erhält man x — s/3^ —1/(2 r)2 — 1-2. 15. Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite s, in ein Quadrat X? zu verwandeln. 16. Ein Rechteck x/ aus der Diagonale ä nnd der Differenz m zweier Seiten zu construieren. 17. * Eine gegebene Sehne k eines Kreises so zu verlängern, dass die vom Endpunkte der Verlängerung an den Kreis gezogene Tangente die Länge b habe (8- 136, 2). Verlängerung x 4- -s- b4 18. * Ein Quadrat mit der Seite a in einen Rhombus zu verwandeln, in welchem die Summe der Diagonalen dem Umfange des Quadrates gleich ist. 112 Sind 2x und 2)- die Diagonalen des Rhombus, so erhalt man x — a -s- l/2 und — a — p/2. 19. * Ein Quadrat x" zu cvnstruicren, wenn die Summe s der Seite und der Diagonale gegeben ist. X — - 8 -7-8^2. 20. * Ein Rechteck x)- zu construiereu, wenn der Umfang u und der Flächeninhalt s? gegeben ist. u , /^ »2 „ . n u2 „ und 21. * Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck zu construiereu, wenn der Umfang u gegeben ist. X — u — l^2, wo X die Kathete bezeichnet. 22. * Eilt rechtwinkliges Dreieck zu coustruiereu, wenu die Summe s der beiden Katheten und die Höhe k auf die Hypotenuse gegeben ist. Man erhält x — — Ii -s- g- wo x die Hypotenuse bezeichnet. 23. * Ein rechtwinkliges Dreieck aus der Differenz ä der Katheten und der Höhe y auf die Hypotenuse zu construiereu. 24* Ein rechtwinkliges Dreieck zu construiereu, wenn dik Summen a und U der Hypotenuse und jeder Kathete gegeben sind. Bezeichnet man die Hypotenuse durch 2, die Katheten durch x und so dass x — s — x — b — -I ist, so hat man --2 — (» — -Y2 -s- (b — ^)2, tvoraus 2 — a -j- b — ^2 L b, daher X — s/^2 Lb — b und — ^2 al) — L folgt, 25. * Ein rechtwinkliges Dreieck zu construiereu, wenn die Differenzen a und U der Hypotenuse und jeder Kathete gegeben sind. 26. * In den Quadranten eines Kreises vom Halbmesser r einen Kreis zu beschreiben, welcher die beiden Schenkel und den Bogen des Quadranten berührt. Heißt x der Abstand des Mittelpunktes des gesuchten Kreises vom Bogen des Qua¬ dranten, gezählt auf der Halbierungslinie des rechten Winkels, so ist x — — r r p/2. Welche Deutung lässt sich dem negativen Werte von x geben? Zweiter Theil. Stereometrie. Erster Abschnitt. Gerade Linien und Ebenen im Raume. Z. 200. Zwei Gerade im Raume können eine dreifache Lage gegen einander haben. Liegen sic in derselben Ebene, so sind sie entweder parallel, oder schneiden sich hinreichend verlängert in einem Punkte. Liegen sie nicht in derselben Ebene, so können sie weder parallel sein, noch sich schneiden; die eine geht über oder neben der andern vorbei. Solche Gerade nennt man sich kreuzende oder windschiefe Gerade. Fotgrsäche. s.) Durch einen Punkt im Raume kann mit einer ge¬ gebenen Geraden nur eine Parallele gezogen werden (H. 23, Grunds.). 3) Wenn mehrere parallele Gerade dieselbe Gerade schneiden, so liegen sie unter einander und mit dieser in einer Ebene. 8-201. Lehrjahr. 1. Eine Gerade, welche nicht in einer Ebene liegt, kann diese Ebene nur in einem Punkte treffen. Denn träfe die Gerade die Ebene noch in einem zweiten Punkte, so müsste sie ganz in die Ebene fallen (Z. 8, Grunds.). Der Punkt, in welchem eine Gerade eine Ebene schneidet, heißt der Fuß punkt dieser Geraden in der Ebene. 2. Wenn sich jzwei Ebenen schneiden!, so ist ihre Schnitt¬ linie eine Gerade. Wäre die Schnittlinie nicht gerade, so müsste es in derselben drei Punkte geben, die nicht in gerader Linie liegen. Dann müssten die drei Punkte in beiden Ebenen liegen, und daher diese gegen die Voraussetzung eine einzige Ebene bilden (Z. 8). I. Lage der Geraden gegen eine Köene. Z. 202. Eine Gerade des Raumes kann gegen eine Ebene in einer dreifachen Lage gedacht werden: entweder fällt die Gerade ganz in die Ebene; oder es schneidet die hinreichend verlängerte Gerade die Ebene in MoLnstk, Geometrie. 8 114 einem Punkte, sic ist gegen die Ebene geneigt: oder es trifft die unbegrenzt verlängerte Gerade mit der beliebig erweiterten Ebene nie zusammen, die Gerade ist mit der Ebene parallel. Z. 203. Lehrsatz. ^Lst eine Gerade zu zwei Geraden, welche durch ihren Fußpunkt in einer Ebene gezogen werden, normal, so ist sie auch zu jeder andern durch ihren Fußpunkt in dieser Ebene gezogenen Geraden normal. Fig. 115. Beweis. Es seien (Fig. 115) 0^. und OL zwei Gerade in der Ebene L8, und NOFO^, LI 0 F 0 L: ferner sei 0 6 eine dritte in dieser Ebene durch O willkürlich gezogene Gerade. Man ver¬ längere die Gerade NO über den Fußpunkt O, mache die Verlängerung OX — ON und ziehe -LL, welche die 00 in 0 schneidet, ferner N^ und XlL; dantt ist ^N0^.^X0^., folglich N^L—LH Zieht man LIN nnd XL, so ist ebenso ^NOL^XOL, daher NL — XL. Dann ist aber auch /^N^L^ X^L, daher W. N^L — XlLL. Zieht man noch NO und XO, so ist auch ^N^O^XLiO, daher NO — XO; folglich 00 F NX (Z. 44, 1), oder NO F 00. Z. 204. Ist eine Gerade zu jeder durch ihren Fußpunkt in einer Ebene gezogenen Geraden normal, so sagt man, die Gerade und die Ebene stehen zu einander normal oder senkrecht; im entgegengesetzten Falle sagt man, die Gerade und die Ebene stehen zu einander schief. Folgesatz. Ist eine Gerade zu zwei sich schneidenden Geraden normal, so ist sie auch zu der durch dieselben bestimmten Ebene normal (tz. 203). Z. 205. Lehrsätze. 1. In einem Punkte einer Ebene kann zu dieser nur eine Normale errichtet werden. Ließen sich zwei Normale errichten, so wären, wenn man durch beide eine Ebene legt, aus demselben Punkte auf einer Geraden in einer Ebene zwei Gerade normal, was nicht möglich ist (Z. 25, 4). 2. Bon einem Punkte außerhalb einer Ebene kann zu dieser nur eine Normale gezogen werden. Ließen sich zwei Normale ziehen, so müssten diese mit der Verbindungs¬ strecke ihrer Fußpunkte ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln bilden. Z. 20k. Lehrsatz. Steht eine Gerade auf drei anderen Ge¬ raden in ihrem gemeinsamen Schnittpunkte normal, so liegen diese in einer Ebene. 115 Fig. no. Beweis. Es sei (Fig. 116) ON normal zu den Geraden OA, 08 und 00. Man lege durch OA und 00 die Ebene AOO. Würde 08 nicht in dieser Ebene liegen, so müsste, wenn eine durch ON und 08 gelegte Ebene die Ebene ^.00 in 00 schneidet, der Winkel N 0 O 8 sein (tz. 203). Nach der Annahme ist aber anch N 0 8 — 8 ; es wäre also NOO — N08, was ein Widerspruch ist. Lehrsätze. 1. Sind zwei Gerade zu einer Ebene normal, Beweis. Essei (Fig. 117) ^8FEbene88 und OO FEbene 8 8. Verbindet man die Fußpunkte 8 und O der beiden Normalen, so ist Winkel F8O -s- 008 — 28, mithin sind L8 und OO parallel, da diese Geraden auch in einer Ebene liegen. Uni letzteres nachzuweiscn, zieht man von einem beliebigen Punkte der F8 die Strecke FO, ferner in der Ebene 88 die 08 F 81). Macht man 08 — 7^8 und zieht 7^8 und 88, so ist F^F8O ^808, also FO 88; dann ist FO8 M88F, also W. FO8 88F 8. Da sonach 80 F FO und auch 80 F 80 uud 80 F OO ist, so liegt (nach tz. 206) OO mit FO und 80, somit auch mit F8 in einer Ebene; dann ist aber OO i! ^.8 (Z. 25, 1). Ansatz. In der Stereometrie lautet die Definition für zwei parallele Gerade: Zwei Gerade sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und beliebig verlängert einander nicht schneiden. In der Planimetrie war es nicht nothwcndig, die erstere Bedingung anznführen, da dort eben nur geometrische Gebilde in einer Ebene betrachtet werden. 2. Ist von zwei parallelen Geraden die eine zu einer Ebene normal, so ist es auch die andere. Beweis. Es sei (Fig. 117) F8 h OO uud F8FEbenc88. Wäre OO nicht F 88, so sei es 0'0. Dann müsste nach 1. in der durch ^.8 nnd O gelegten Ebene 0'0 HF8 sein. In derselben Ebene ist aber nach der Voraussetzung OO^F8; also gäbe es zu F8 durch denselben Punkt zwei Parallele, was dem Grundsätze in ß. 23 widerspricht. Folgesatz. Alle Normalen von verschiedenen Punkten einer Geraden auf eine Ebene liegen in einer einzigen Ebene, daher alle ihre Fußpunkte in einer uud derselben Geraden. tz. 208. Zieht man von einem Punkte im Raume eine Normale zu einer Ebene, so heißt der Fußpunkt der Normalen die Projektion (Normal- Projection) des Punktes auf die Ebene, und die Ebene heißt die Pro- jectiousebene. 8* >o sind sie parallel. Fig. ii 7. 116 Unter der Projektion einer Linie auf eine Ebene versteht man diejenige Linie dieser Ebene, welche die Projektionen sämmtlicher Punkte jener Linie enthält. Die Projektion einer Strecke auf eine Ebene ist daher die Strecke zwischen den Projektionen der Endpunkte der gegebenen Strecke. Die Projektion eines Punktes oder einer Geraden, welche in der Pro¬ jektionsebene liegen, ist der Punkt oder die Gerade selbst, und die Projektion einer auf der Projektionsebene normalen Geraden ist ein Punkt. Die Projektion eines ebenen Gebildes auf eine Ebene ist das Gebilde, welches von den Projektionen der Grenzlinien des gegebenen Gebildes begrenzt wird. Z. 20S. Lehrsatz. Der Winkel einer Strecke mit ihrer Pro¬ jektion auf eine Ebene ist der kleinste von allen Winkeln, welche diese Strecke mit den durch ihren Fußpunkt in der Ebene ge¬ zogenen Geraden bildet. Fig- "8. Beweis. Es sei (Fig. 118) 80 F. Ebene 88, F also F 0 die Projektion der Strecke F 8 auf die Ebene 8,8. Zieht man durch F in der Ebene 88 F_/_irgend eine andere Gerade FD, macht FD — F0 / //O / und zieht noch OD und 8D, so ist 80 < 8D / F / (Z. 3b, 1). In den Dreiecken 8F0 und 8FI) ist dann auch der Winkel 8F0 < 8FD (Z. 43). Der Winkel, welchen eine Strecke mit ihrer Projektion auf eine Ebene bildet, wird als Maß für die Neigung der Strecke gegen die Ebene an¬ genommen und heißt der Neigungswinkel derselben. H. 210. Lehrsatz. Ist eine Strecke zu einer in einer Ebene liegenden Geraden normal, so ist auch die Projektion der Strecke zu derselben Geraden normal. Beweis. Es sei (Fig. 117) F8 F. Ebene 88, daher 81) die Pro¬ jektion der FD auf 88; ferner sei FD normal zu der in der Ebene 88 liegenden Geraden DD. Macht man DD — F8 und zieht FD und 8D, so ist F8D, also DF 8D; dann ist auch ^8DD D8F, also W. 8DD — 8DF — 8, und somit 8DF DD. Auf gleiche Weise ergibt sich auch die Umkehrung dieses Satzes. K. 211. Lehrsatz. Zieht man von einem Punkte außerhalb einer Ebene zu dieser eine normale und mehrere schiefe Strecken, so ist cks/die Normale die kürzeste unter diesen Strecken; F zwei Schiefes" welch e gleiche Projektionen auf die Ebene haben, sind einander gleich; und 3. von zwei Schiefen, welche ungleiche Projektionen 'auf die Ebene haben, ist diejenige die größere, welche die igrößere Pro¬ jektion hat. 117 Der Beweis wird, wenn man durch die Strecken Ebenen legt, ähnlich wie in Z. 35 geführt. Aus den Sätzen 2 und 3 folgen indirect auch dereu Umkehrungen. Die Normale von einem Punkte auf eine Ebene gibt den Ab stand dieses Punktes von der Ebene an. Folgesätze, ach Die Fußpunkte aller gleichen Strecken, die von einem Punkte außerhalb einer Ebene zu dieser gezogen werden, liegen in einer Kreis¬ linie, welche den Fußpunkt der Normalen zum Mittelpunkte hat. I tz) Der geometrische Ort aller Punkte, welcher von drei gegebenen, nicht in gerader Linie liegenden Punkten des Raumes gleich weit abstehen, ist die Normale, die im Mittelpunkte des durch jene drei Punkte gehenden Kreises auf die Ebene desselben errichtet wird. 8- 212. Lehrsatz. / Z w e i Gerade, deren jede einer dritten Ge¬ raden im Raume parallel ist, sind auch einander parallel. Denkt man sich eine Ebene, zu welcher die dritte Gerade normal steht, so müssen nach 8- 207, 2 auch die beiden ersten Geraden zu dieser Ebene normal stehen, folglich nach Z. 207, 1 einander parallel sein. Lehrsatz. Zwei Winkel im Raume, deren Schenkel Paarweise parallel sind, sind a) gleich, wenn beide Paare der Schenkel in demselben, oder beide im entgegengesetzten Sinne Parallel sind; dagegen ll) Supplementwinkel, wenn zwei Schenkel in demselben, die beiden anderen aber im entgegengesetzten Sinne parallel sind. Beweis, a) Essei (Fig. 119) 7^0 jj 7070' und 80 h 8'8". Macht man 7^.0 — 700' und 80 — 8'0', und zieht die Strecken ^70, 88', 06', ^.8 und 708', so ist 7^.70 gleich und parallel mit 00' (8- 54, 3), ebenso 88' gleich und parallel mit 00', mithin auch 7X7O gleich Fig. 119. und parallel mit 88' (8- 212); folglich ist auch 71' 7X8 — 708' (Z. 54, 3). Dann ist aber /^7X08 X ^700'8', daher Winkel 7X08 — 700'8'. Wegen W. 70 0'8'iX" 0'8" ist auch W. ? 7X08 ^"0'8". b) Nach a) ist 7X08 — 700'8', aber ^0'8' -s- 70'0'8' 28, folglich auch 7X08 -s- 70'0'8' — 28. 8. 214. Lehrsatz. Zwei parallele Gerade, welche eine Ebene schneiden, bilden mit dieser gleiche Neigungswinkel. Denn sie bilden mit den von je einem ihrer Punkte auf die Ebene gefällten Normalen gleiche Winkel (8- 207, 1 und 8- 213). 8- 215. Lehrsätze. 1. Ist eine Gerade außerhalb einer Ebene mit einer in dieser Ebene liegenden Geraden parallel, so ist sie auch mit der Ebene selbst parallel. 11s Fig. 120. was der Voraussetzung widerspricht. Beweis. Es sei (Fig. 120) ^8 Ov. Hätte ^.8 mit der Ebene 88 einen Punkt 0 gemeinsam, so müsste derselbe, wenn man durch ^.8 und OO eine Ebene ^.80D legt, zugleich in dieser Ebene liegen; 0 wäre also beiden Ebenen gemeinsam, d. h. er wäre ein Punkt ihrer Schnittlinie 01), 2. Ist eine Gerade mit einer Ebene parallel und legt man durch die Gerade eine zweite Ebene, welche die erste schneidet, so ist die Gerade anch mit der Schnittlinie beider Ebenen parallel. Der Beweis wird ebenfalls indirect geführt. 11. Lage der Menen gegen einander. Z. 216. Zwei Ebenen können gegen einander in einer dreifachen Lage gedacht werden: entweder fallen die zwei Ebenen ganz zusammen; oder schneiden sich die hinreichend erweiterten Ebenen in einer geraden Linie, sie sind gegen einander geneigt; oder es treffen die beiden Ebenen, so weit man sie auch erweitern mag, nie zusammen, sie sind parallel. 217. Wenn sich zwei Ebenen schneiden, so heißt die Größe der Drehung, welche die eine Ebene um die gemeinsame Schnittlinie machen muss, um in die Lage der anderen Ebene zu gelangen, der Flächenwinkel Fig. 121. oder Keil der beiden Ebenen; die gemeinsame Schnitt¬ linie nennt man die Scheitellinie oder Kante und die beiden Ebenen selbst Schenkelflächen oder Seiten des Keiles. In Fig. 121 sind ^.8 die Kante, ^.1) und ^.8 die Seiten des von den Ebenen und 2I8 ge¬ bildeten Keiles O(F.8)8. 8<>8)8l heißt der Nebenkeil, Hl>8)0 der Scheitelkeil von O(^8)8. K. 218. Errichtet man in irgend einem Punkte 0 (Fig. 121) der Kante eines Keiles auf dieselbe zwei Normale ON und 08 so, dass die eine Normale in die eine, die zweite in die andere Schenkelfläche fällt, so hat der Winkel Al 08 dieselbe Größe, in welchem Punkte der Kante man auch die Normalen errichten mag, da je zwei solche Winkel parallele Schenkel haben. Dieser constante Winkel heißt der Neigungswinkel der beiden Ebenen, welche den Keil bilden. Lehrsatz. Zu gleichen Keilen gehören gleiche Neigungswinkel, und umgekehrt. (Beweis durch Deckung.) Man nimmt daher die Größe des Neigungswinkels der Seiten eines Keiles als Maß für die Größe des Keiles an. 119 Fig. 122. Fig. 123. Z. 219. Zwei Ebenen heißen zu einander normal oder senkrecht, wenn ihr Neigungswinkel ein rechter ist. Lehrsätze. I^Jst eine Gerade zu einer Ebene normal, so ist auch-jede durch die Gerade gelegte Ebene zu der ersteren Ebene normal. Es sei (Fig. 122) FL st. L8, so muss auch die Ebene FOV st. L8 sein. Zieht man in der Ebene K8 die LL st OL, so ist FLL der Neigungswinkel der Ebenen FOI) und L8; allein FLL — L, da FL st. L8; folglich F6V st. L8. Ebenen zu einander normal, und zieht man so ist diese Nor- 2. Sind zwei in der einen eine Normale zu der Schnittlinie, male auch zu der zweiten Ebene normal. Es sei F6vst.L8 und FLF6I). Zieht man LL st. 6V, so ist FLL^L, weil F0vst.L8; folglich steht FL auf Ov und LL, und daher auch auf der Ebene R8 normal. Folgesatz. Sind von drei sich in einem Punkte schneidenden Geraden je zwei zu einander normal, so sind auch je zwei der durch sie gelegten Ebenen zu einander normal. (Folgt aus 1.) ^8 22V. Lehrsatz. Sind zwei sich schnei¬ dende Ebenen zu einer dritten normal, so ist auch ihre Schnittlinie zu der dritten Ebene normal. Essei (Fig. 123) F6st.R8 und Fvst_L8. Zieht man L L st. L 0 und LLst.LO, so ist (ß. 219, 2) LLst. FO, daher auch LL st. FL; ferner ist Lll st FD, daher auch L ist st FL; folglich FL st. L8. Folgesatz. Sind von drei sich schneidenden Ebenen je zwei zu einander normal, so sind auch je zwei ihrer Schnittlinien zu einander normal. 8- 221. Lehrsätze. l)XZwei Ebenen, zu denen dieselbe Gerade normal ist, sind einander parallel. Würden sich die beiden Ebenen schneiden, so müssten die Normale und die Verbindungsstrecken ihrer Fußpunkte mit irgend einem Punkte der Schnitt¬ linie beider Ebenen ein Dreieck bilden, worin zwei rechte Winkel vorkämen. 2X^st eine Gerade zu einer von zwei parallelen Ebenen normal, so ist sie es auch zu der andern. Wird ebenfalls indirect bewiesen. ^8-222. Lehrsätze. 1. Sind zwei Ebenen einer dritten parallel, so sind sie auch unter einander parallel. Denn errichtet man auf die dritte Ebene eine Normale, so muss diese 120 (Z. 221, 2) auch zu den beiden ersteren Ebenen normal sein, folglich sind diese (8- 221, 1) einander parallel. (x2. Durch einen Punkt außerhalb einer Ebene kann nur ei«c zu dieser parallele Ebene gelegt werden. Folgt iudirect aus 1. 8 223. Lehrsätze. I. Werden zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten, so sind die Schnittlinien parallel. Beweis indirect. 2. Parallele Strecken zwischen parallelen Ebenen sind ein¬ ander gleich. (Beweis folgt aus 1. und K. 54, 1.) Folgesatz. Alle Normalen zwischen zwei parallelen Ebenen sind gleich. Die constante Länge einer solchen Normalen gibt den Ab stand der beiden parallelen Ebenen an. . 8- 224. Lehrsätze. 1. Eine Gerade, welche zwei parallele Ebenen schneidet, bildet mit diesen gleiche Neigungswinkel. Zieht man von einem Punkte der Geraden eine Normale zu der einen Ebene, so steht dieselbe auch zu der andern Ebene normal. Legt man nun durch die Normale und die gegebene Gerade eine Ebene, so bilden ihre paral¬ lelen Schnittlinien in der Ebene mit der gegebenen Geraden die Neigungswinkel, welche als Gegenwinkel gleich sind. 2. Eine Ebene, welche zwei parallele Ebenen schneidet, bildet mit diesen gleiche Neigungswinkel. Man ziehe in der schneidenden Ebene eine Gerade normal zu den paral¬ lelen Schnittlinien und verfahre dann analog wie bei den, Beweise zu 1. 8-225. Frhrsatz/Zwei Keile, deren Seiten paarweise parallel sind, sind einander gleich, wenn beide Scitenpaare in demselben oder beide im entgegengesetzten Sinne parallel sind. Man verlängere eine Seite des einen Keiles, so dass sie eine Seite des andern Keiles schneidet, und wende dann 8- 224, 2 an. Folgesatz. Zwei gleiche Keile lassen sich, wenn man ihre Kanten parallel stellt, immer in eine solche Lage bringen, dass beide Paare ihrer Seiten in demselben, oder beide im entgegengesetzten Sinne parallel sind. 8- 226. Lehrsatz. Die Ebenen zweier Winkel im Raume, deren Schenkel parallel sind, sind einander parallel. Es sei (Fig. 124) ^8' und ^.0 si ^6'. Zieht man Z, R8, ferner und so ist normal zu und ^"0". Nun ist (ß. 212) und ^."0" L0; folglich ist auch normal zu und F.0, mit¬ hin auch zu folglich ist (8-221,1). Fig. ,24. 121 227. Frhrsützr. .1. Die Strahlen eines Strahlenbiischels im Raume werden durch je zwei parallele Ebenen propor¬ tioniert geschnitten. Es sei Ebene I^LOI) j! abock (Fig. 125). Da 8^. Fig. 12». und 8K derselben Ebene liegen, so ist (Z. 116) 8^.: , 8a 8K : 8b; ebenso ist 8K : 8b — 80: 8o; folg- V>^/ lich 8^.:8a^8k:8b^80:8o^.. 2. Werden die Strahlen eines Strahlen- v, // büschels von zwei Ebenen proportioniert ge- schnitten, so sind die beiden Ebenen parallel. Ist 8^ : 8a--8L : 8b 80 : 8oso ist / iV (8. 117) ^k ab, KO bv; daher sind die durch die Winkel ^.KO und abo gelegten Ebenen L.LOI) und abeä parallel (Z. 226). 3. Werden die Strahlen eines Strahlen- büschels von zwei parallelen Ebenen geschnit- /(/ ten, so sind die von den entsprechenden Ver- bindungsstrecken der Schnittpunkte begrenzten / Gebilde ähnlich. Ist Ebene L.K0V si abaä, so ist (nach 1) 8^: 8a--8L : 8b — 80 : 8o — daher (§. 117) ^ksiab, KOsibo, Ov h oä,... Daraus folgt (Z. 118) ^ek: ab — 8^ : 8a, und KO : b>o — 8^ : 8a, daher auch : ab — KO : bo. Ebenso folgt KO : bo — OO : eck, u. s. w. Ferner ist W. — a, W. k — b, W. 0 — o, u. s. w.; somit ^.LOD abeck. IH. Körperliche Kcken. Z. 228. Gehen von einem Punkte drei oder mehrere Strahlen aus, welche nicht in derselben Ebene liegen, so wird durch die zwischen je zwei benachbarten Strahlen liegenden Winkclflächen der unbegrenzte Rauni in zwei halbbegrenzte Raume getheilt, welche man körperliche oder Raumecken, mich bloß Ecken nennt. Der Punkt, von welchem die Strahlen ausgehen, heißt der Scheitel; die Strahlen selbst nennt man die Kanten; die Winkel je zweier aufeinander folgender Kanten die Kantenwinkel oder Seiten und ihre Winkelflächen die Seitenflächen; endlich die Neigungswinkel je zweier benachbarter Seiten¬ flächen die Flächenwinkel, auch bloß Winkel der Ecke. Im folgenden soll unter einer Ecke stets nur eine solche verstanden werden, deren Flächenwinkel hohl sind. 122 Fig. 126. Ist ^Fjg. >26) 8 der Scheitel der Ecke und sind 8J., F 88, 86 deren Kanten, so bezeichnet man die Ecke durch /X 8J.80; die Seiten bezeichnet man entweder, wie die ebenen / X Winkel, durch J.88, ^80, 880, oder auch durch (L8), / X (^0), (80). / x^, Eine Ecke hat so viele Seiten als Kanten. Nach der / > Anzahl derselben unterscheidet man drei-, vier-, n-sei- tigc Ecken, oder Dreikantc, Vierkante, n-Kante. Z. 229. Zieht man von einem beliebigen Punkte in einer Ecke auf jede Seitenfläche derselben eine Normale, so bilden diese Normalen die Kanten einer neuen Ecke, welche die Polarecke der gegebenen heißt. Ist (Fig. 127) 8' ein Punkt im Innern der Ecke 8^.80, und 8'lO -st 880, 8'8'Z,8J.O, 8'0'Z-8L8, so ist 8'J.'8'0' die Polarccke der Ecke 8J.80. Am bequemsten wird die Polarecke construiert, indem man im Scheitel der gegebenen Ecke aus deren Seitenflächen Normale nach den entgegengesetzten Seiten der den Seitenflächen gegenüberliegenden Kanten errichtet; wie 8^"8"0". Lrhrsüchr. 1. Jede Ecke ist Polarecke zu ihrer eigenen Polarecke. Da 8'^1 Z. 880, so ist auch die Ebene 8'I.'08'_st 88 0 G. 219,1); da 8'8' stst 8J.0, so ist auch die Ebene 8'J/08' _st 8^.0; somit ist auch die Schnittlinie 8 0 der Ebenen 880 und 8-^0 normal zur Ebene 8'I/O8' (K. 220). Ebenso folgt, dass die Kante 88 I. 8'J.'80' und 8L Z. 8'8' J.0' ist. 2. Sind zwei Ecken Polarecken zu ein- Fiq. 127. . .......... . O , "" ander, ;o sind die Seiten der einen Supple- /Z , mente der Winkel der andern. Der Seite 8 80 der Ecke 8^.80 entspricht der Winkel an der Kante 8'J/ der Polarecke 8'^'8'0'. X Das Maß dieses Winkels ist 8^'0, da 8'-4/ nor- / x mal zu der Ebene 880, daher auch normal zu ^0 und ^'8 ist. Nun sind, da 80 I, 8'^.'08' '/X st' / x 88 _st ist, in dem Vierecke 88J/0 X die W. 80/^.' und 88^' rechte Winkel; daher ist auch 880 -st 8/lr'O — 28. Ebenso folgt, dass L.80 -st ^8'0 —28 und J.88-st^0'8 —28 ist. Z. 230. Wenn man alle Kanten einer Ecke über den Scheitel hinaus verlängert, so heißt die Ecke, welche die Verlängerungen zu Kante» hat, die Scheitelecke der ersteren. Zwei Scheltelecken 8^.80 und 8 ^/8'0' (Fig. 128) haben nach der Ordnung paarweise gleiche Seiten und gleiche Winkel; diese folgen jedoch in den beiden Ecken im entgegengesetzten Sinne der Drehung aufeinander. 123 H. 231. Zwei Ecken heißen congruent, wenn sie sich so in einander legen lassen, dass sich alle ihre Kanten nnd Seitenflächen decken. Sollen zwei Ecken zur Deckung gebracht werden können, so müssen in denselben nicht nur alle Seiten und Winkel paarweise gleich sein, sondern diese auch in dem¬ selben Sinne der Drehung aufeinander folgen. Zwei Ecken, welche paarweise gleiche Seiten und Winkel haben, in denen aber diese im entgegengesetzten Sinne aufeinander folgen, können 1. im allgemeinen nicht zur Deckung gebracht werden: sie lassen sich jedoch 2. auf entgegengesetzten Seiten einer Ebene in eine solche Lage bringen, dass die Strecke zwischen je zwei entsprechenden Punkten der beiden Ecken zu jener Ebene normal ist und durch sie halbiert wird. Beweis. Es seien die Scheiteleckcn 8^80 und 8-4'8'6' (Fig. 128). I. Legt man (Fig. 128, I) die Seite (l4'6') so auf die ihr gleiche Seite (-46), dass 8^' auf 8^, 8 EL auf 86 fällt, so kommen die Kanten 88' und 88 auf entgegengesetzten Seiten der Ebene 8-46 zu liegen; cs kann also auf diese Art eine Deckung nicht stattfinden. Legt man aber (Fig. 128, II) die gleichen Seiten (^4'6') und (^40) so aufeinander, dass 8^4' auf 86 und 86' auf 84. fällt, so kommen die Kanten 88' und 88 zwar aus derselben Seite der Ebene 8-4.6, jedoch neben einander zu liegen; es können daher die Ecken auch in dieser Lage nicht zur Deckung gebracht werden, wenn nicht zufällig die Flächcnwinkel 8(48)6 und 4. (68) 8, folglich auch 8' (4.'8) 6' und -4/ (6'8) 8' einander gleich sind. Fig. 128. 2. Man lege (Fig. 128,1) die Ecken 8-486 und 84/8'6' so an einander, dass sie eine Seite (-4.6) — (-4'6') gemeinsam haben und sie selbst auf entgegen¬ gesetzten Seiten derselben liegen. Macht inan dann 88 — 88' nnd zieht 84. und 8'4' normal zur Kante 8-4, so ist /48-48 8-4'8', daher 8-4 — 8-4', d. i. -4' ist mit -4 identisch; ferner ist auch -48 — /48'. Zieht man 88', welche die gemeinsame Seiten¬ fläche 84.6 in 0 schneidet, so ist, da 8-4 Ebene 8-48' ist, auch 84./,-40. Der Winkel 8-40 ist also das Maß des Flächenwinkels 8(4.8)0 und der Winkel 8'/40 das Maß des Flächenwinkcls 8'(4.8)0, somit W. 124 8J.0 — IVJ.O; man hat dann 8^.0 IVJ.0, folglich 80 — 8^0 und W. ^.08 —^OIV, d. i. 8 8^ 4_^.O. Es ist aber in dem gleich¬ schenkligen Dreiecke 8 8IV, dessen Grundlinie in 0 halbiert wird, auch 8IV 80, somit 8IV-U Ebene 8 1.0. Die Strecke 8IV zwischen den Punkten 8 und IV steht also zur Ebene 8^.0 normal und wird durch sie halbiert. Was von den Punkten 8 und IV bewiesen wurde, kann auch von je zwei anderen entsprechenden Punkten der beiden Ecken gezeigt werden. Zwei solche Ecken heißen symmetrisch. Zwei symmetrische Ecken in der hier angegebenen Lage stehen, wenn man ihre gemein same Seitenfläche als eine Spiegelfläche annimmt, in derselben Beziehung zu einander, wie ein Gegenstand und sein Spiegelbild. Folgesätze, u) Jede Ecke ist ihrer Scheitelecke symmetrisch. d) Zwei Ecken, welche einer dritten symmetrisch sind, sind unter ein¬ ander congrucnt. o) Ist von zwei kongruenten Ecken die eine einer dritten symmetrisch, so ist es auch die andere. / Eigenschaften der Dreikantc. Z. 232. Lehrsätze, 's. In jedem Dreikante ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte (Fig. 129). Beweis. Ist (^.0) die größte Seite, so ziehe man in der Ebene 1X80 die Gerade 8 0 so, dass I. 8 O — I. 8 8 wird, mache 80 — 88 und lege durch 8 und O eine beliebige, die Kanten 8 und 8 0 in I. und 0 schneidende Ebene. Dann ist /XI. 80 1.88, also J.O — J.8. Da nun 80 > J.0 — J.8 oder 80 > ZrO — ^.O, d. i. 80 OO ist, so ist in den Dreiecken 880 und 800 Winkel 8 8 0 > O 8 0 (8- 43); mithin ist auch ^.88 4- 880>^80-j- 080, oder ^88Z-880> J.80. ^2. In jedem Dreikante ist die Summe aller Seiten kleiner als 48. Beweis. Schneidet man die drei Kanten durch eine beliebige Ebene in den Punkten I., 8, 0, so sind diese die Scheitel dreier neuer Dreikante. Be¬ zeichnet man die Winkel des Dreieckes 1X80 mit I., 8, 0, und die übrigen Kantenwinkel der neu erhaltenen Dreikante mit 1^, IV, 8", (V, 0", so ist nach 1 4- Z- 8'-V 8" (V si- 0" > I. Z- 8 si- 0, oder I.' -st 4- 0' 4- O" -si (V -si 0" > 2 8. Nun ist ^88 4- ^.80 4- 880 4- -V lV 4- 0" 4-0'-^ 0" ^68, daher, wenn man von dieser Gleichung die letzte Ungleichung subtrahiert, ^.88 4- ^.80 4- 880 < 48. 125 Zusatz. Auf gleiche Weise lässt sich auch der folgende allgemeine Satz beweisen: In jeder Ecke ist die Lamme aller Seiten kleiner als 4K. Z. 233. Lehrsatz. In jedem Dreikante ist die Summe aller Winkel größer als 2K und kleiner als 6K. Beweis. Sind 4, L, 6 die Winkel eines Dreikants und eck, dH c? die entsprechenden Seiten seines Polardreikants, so ist nach tz. 229, 2 4.Z-X —2R, 8-sid'^2k, 0 4- o' — 2K, daher ^.-j-k-s-(l-s-a/-s-1ck-s-^ — 6K; aber nach Z. 232, 2 ist -s- X -s- o' < 4K, folglich 4 4- 8 4- 0 > 2K.Z Auch folgt aus 4. -j- 8 4- 0 4- 4- X X 6K, dass 4 Z- 8 4- 0 < 6K sein müsse. 234. Lehrsätze. 1. Gleichen Winkeln eines Dreikants liegen gleiche Seiten gegenüber. 2. Dem größeren Winkel eines Dreikants liegt eine grö¬ ßere Seite gegenüber. 3. Gleichen Seiten eines Dreikants liegen gleiche Winkel gegenüber. 4. Der größeren Seite eines Dreikants liegt ein größerer Winkel gegenüber. Fig. 130. Beweis zu 1. Es sei (Fig. 130) 4 (80) 8 — 8(84) 0. Man ziehe von einem Punkte O in der Kante 88 die OO 4. 480, OK L. 80 und OK 4. 84 und ziehe //X ferner OK und OK; dann ist (Z. 210) OK 4-80 und / / X OK 4. 84, also sind OKO und OKO die Winkel, welche nach der Voraussetzung gleich sind. Die rechtwink- 4./ ligen Dreiecke KOK und KOK sind demnach congruent, i daher OK —OK; somit ist auch /4 8KO M 8KO, also Winkel O8K O8K, d. i. (OK) (OK). Beweis zu 2. Es sei (Fig. 131) 4(80)8 > 8 (84) 0. Man lege durch 80 eine Ebene 080 so, dass sie mit 480 einen Flächenwinkel bilde, welcher 8 (84) 0 gleich ist; dann hat die dreiseitige Ecke 8400 zwei gleiche Flächenwinkel, /XX also sind nach 1. auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten / / i X (40) und (O O) gleich. Nun ist in der dreiseitigen X Ecke 8800, (80) 4- (OO) > (80); folglich ist auch X (80) -st (40) > (80), oder (48) > (80). l's Der Bew e is zu 3. wird indirect mit Zuziehung von 2. geführt. Beweis zu 4. indirect mit Zuziehung von 1. und 2. Z. 235. Lehrsätze über die Congruenz und die Symmetrie der Dreikante. 126 1. Zwei Dreikante, in denen zwei Seiten und der von ihnen eingeschl o ssene Winkel paar¬ weise gleich sind, sind congruent oder symmetrisch. Fig. 132. 2. Zwei Dreilaute, iu denen zwei Winkel nnd die zwischen ihnen liegende Seite paarweise gleich sind, sind congruent oder symmetrisch. Beweis zu 1. Es sei (Fig. 132) (^.8) 0'8'), (80) - (8'0') und (88) 0 (8'8') 6". Man lege die beiden Dreikante so in einander, dass die Scheitel 8' und 8, die Kanten 8'8' und 88, und die Seiten <>'8') und 08) auf einander fallen; dann muss wegen der Gleichheit der Flächen¬ winkel auch die Seitenfläche 8'8'6' auf 880, und weil die Seiten (8'6') und (80) gleich sind, 8'0' auf 80, und endlich auch ^.'8'0' auf ^.80 fallen, da durch zwei sich schneidende Gerade nur eine Ebene möglich ist. Folglich decken sich die beiden Dreiknnte. Folgen die gleichen Bestandstücke in: entgegengesetzten Sinne aufeinander, so ist das eine Dreikant mit dem Scheiteldreikant des andern congruent nnd daher (H. 231 a und o) mit dem andern symmetrisch. Beweis zu 2. Denkt man sich zu beiden Dreikanten die Polardreikante construiert, so müssen in diesen (Z. 229, 2) zwei Seiten nebst dem cinge- schlossenen Winkel bezüglich gleich, folglich nach 1. sie selbst congruent sein. Dann sind aber in denselben alle entsprechenden Bestandstücke folgeweise gleich und es muss daher (Z. 229, 2) auch in den gegebenen Dreikanten dasselbe der Fall sein; mithin sind diese congruent. Der Beweis für die Symmetrie, 3. Zwei Dreikante, in denen zwei Seiten und der der einen Seite gegenüberliegende Winkel paarweise gleich und die dem andern Paare gleicher Seiten gegenüberliegenden Winkel nicht Supplemente sind, sind congruent oder symmetrisch. wie bei 1. 4. Zwei Dreikante, in denen zwei Winkel und die dem einen Winkel gegenüberliegende Seite paarweise gleich und die dem andern Paare gleicher Winkel gegenüberliegenden Seiten nicht Supplemente sind, sind con- grucnt oder symmetrisch. Beweis zu 3. Es sei (Fig. 132) 08) -- (^'8'), OO) 0'0'), (80) 8 (8'0') 8' und (88) O Z- (8'8') 0' 28. Legt man die beiden Dreikante so in einander, dass 8' auf 8, 8'0' auf 80 und 0'0') auf OO) fällt, so wird wegen der Gleichheit der Flächcnwinkel auch die Seitenfläche 0'8'8' aus 088 falleu. Dann muss aber auch die Kante 8'8' auf 88 fallen. Denn fiele 8'8' nicht auf 88, sondern etwa auf 8d, so 127 wäre (nach 1.) das Dreikant 8AbO 8'A'8'0', daher A (8b) 0-^ (8'8') 0' und (Ab) — 0'8') — (AK), somit (nach Z. 234, 3) auch (88) b A (8b) 8; da nun A (8b) 8 A A (8b) 0 28 (als Neben- keile), so wäre auch A (88) b si- A' (8'8') 6' — 2K oder A (88) 0 -s- A' (8'8') 6' — 28, was der Voraussetzung widerspricht. Es müssen demnach 8'8' und 88 aufeinanderfalleu und daher die Dreikante congruent sein. Der Beweis für die Symmetrie, wie bei 1. Beweis zu 4. mittelst der Polardreikaute, wie bei 2., mit Zuziehung von 3. 6. Zwei Drei kante, in denen alle drei Winkel paarweise gleich sind, sind congruent oder symmetrisch. Beweis zu 5. Es sei (Fig. 133) OK) 0'8'), 06) - 0'0') und (KO) (K'O'). Macht mau 8A^88-8O-8'A'^8'K'- 8'0' und legt durch die Punkte A, 8,0, und A', k', 0' die Ebenen A80 und A'8'0'; zieht ferner 80 Z. A80, 8'0' A'8'O' und be¬ schreibt um die Dreiecke AKO und A'8'O' Kreise, so fallen deren Mittel¬ punkte in die Fußpunkte O, O' der Normalen 80 und 8'0' (Z. 211, a). Da nun A88 M A'8'8', so ist AK — A'k'; ebenso folgt AO — A'O' und KO — 8'0', und somit sind die Dreiecke AKO und A'8'O' congruent; daher müssen mich die um dieselben beschriebenen Kreise gleich sein, folglich der Halbmesser AO — A'O'. Aus der Congruenz der rechtwinkligen Dreiecke ^08 und A'O'8' folgt endlich 08 0'8'. Legt mau nun das Dreikant 8'A'8'0' so in das Dreikant 8A80, dass sich die Dreiecke A'8'O' und AKO decken, so werden auch die um sic beschriebenen Kreise, folglich auch ihre Mittelpunkte O' und O aufeinander fallen; da ferner in O aus AKO nur eine Normale möglich ist, so fällt 0'8' in die Richtung 08 und wegen 0'8' — 08 auch der Punkt 8' in 8; folglich fallen auch die Kanten und Seitenflächen der Dreikante aufeinander. Der Beweis für die Symmetrie, wie bei 1. Beweis zu 6. mittelst der Polardreikaute, wie bei 2., mit Zuziehung von 5. IV. Aufgaben. Z. 236. Constructionsaufgabeu. 1. (Fordcruugssatz.) Durch drei gegebene Punkte, welche nicht in einer Geraden liegen, eine Ebene zu lege». 5. Zwei Dreikante, in denen ! alle drei Seiten paarweise gleich sind, sind congruent oder symmetrisch. Fig. 133. 128 2. Bon einem gegebenen Punkte im Raume zu einer gegebenen Geraden die Normale zu ziehen. Man lege durch den Punkt und die Gerade eine Ebene und fälle in derselben von dem gegebenen Punkte die Normale auf die gegebene Gerade. 3. Durch einen gegebenen Punkt im Raume mit einer gegebenen Geraden die Parallele zu ziehen. Die Auflösung ist der früheren analog. 4. Durch einen gegebenen Punkt einer Geraden zu dieser die normale Ebene zu legen (§. 204, Folges.). 5. Von einem Punkte L. außerhalb einer Ebene zu dieser die Normale zu ziehen (Fig. 117). Man ziehe in der Ebene R8 eine beliebige Gerade VL, fälle in der durch und VL gelegten Ebene von auf I)L die Normale in v errichte man in der Ebene 118 auf I) II die Normale 4)11. und ziehe darauf in der durch den Winkel gelegten Ebene von aus die Normale H.L; diese ist dann normal zur Ebene L 8. Denn O L steht nach der Construction normal auf der Ebene daher ist Ebene R8 4.^.6 v (Z. 219, 1), mithin ist auch 4, Ebene K8 (§. 219, 2)4 6. Auf eine Ebene 118 (Fig. 117) in einem Punkte I) derselben die Normale zu errichten. Mau fälle von einem beliebigen Punkte außerhalb der Ebene K8 auf diese die Normale LL (Aufg. 5), lege durch und D eine Ebene und ziehe in dieser durch O die OO ist dann die gesuchte Nor¬ male (Z. 207, 2). 7. Durch eine gegebene Gerade in einer Ebene die zu dieser normale Ebene zu legen (Aufg. 6 uud Z. 219, 1). V. Abungssätze und Aöungsaufgaöen. Z. 237. 'Übungssätze. 1. Die Projcction einer schiefen Strecke auf einer Ebene ist um so kleiner, je größer ihr Neigungswinkel ist. 2. Jeder Punkt der Halbierungsebene eines Keiles hat von den Seiten desselben gleiche Abstände. 3. Verbindet man die Schnittpunkte, in denen zwei Parallele Ebenen von parallelen Geraden geschnitten werden, durch entsprechende Strecken, so erhält man zwei kongruente Vielecke. Z. 288. Constructionsaufgabcn. 1. Von einem gegebenen Punkte einer Ebene zu dieser eiue Gerade unter einem gegebenen Neigungswinkel zu ziehen. Man errichte in einem beliebigen andern Punkte der Ebene auf dieselbe die Nor¬ male, lege durch diese und den gegebenen Punkt eine Ebene und konstruiere in derselben an 129 den gegebenen Punkt den gegebenen Neigungswinkel so, dass der eine Schenkel in der ge¬ gebenen Ebene liegt; der zweite Schenkel ist die verlangte schiefe Gerade. 2. Eine Ebene unter einem gegebenen Neigungswinkel gegen eine gegebene Ebene zu konstruieren. Man errichte auf eine Gerade LL der Ebene in einem beliebigen Punkte 0 die Nor¬ male in dieser Ebene und dann eine zweite Normale auf die Ebene, lege durch diese beiden Normalen eine Ebene und construierc in derselben an 6 den gegebenen Neigungswinkel so, dass der eine Schenkel in die gegebene Ebene fällt; die durch den zweiten Schenkel und die Gerade LL gelegte Ebene ist die verlangte Ebene. 3. Durch einen Punkt außerhalb zweier sich schneidenden Ebenen eine dritte Ebene zu legen, welche zu den beiden ersteren normal ist (Z. 219, 1). 4. Aus den drei Seiten eines Dreikants einen Winkel desselben durch Construction in einer Ebene zu finden. Bergt. Construction zn H. 234, 1. 5. Aus den drei Winkeln eines Dreikants eine Seite desselben zu construieren. Die Construction ist mit Hilfe des Polardreikants nach Z. 229 auf die Aufg. 4 zurückzuführeu. Zweiter Abschnitt. Von den Körpern im allgemeinen. I. Löenflächige Körper. ß. 239. Ein Körper, welcher von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt ein ebenflächiger Körper oder ein Polyeder. Zur Begrenzung eines Polyeders sind wenigstens vier Ebenen erforderlich. Die einzelnen Grenz¬ ebenen heißen die Flächen des Polyeders und bilden zusammen dessen Ober¬ fläche; die Schnittlinien der Flächen heißen die Kanten und die von den Flächen gebildeten Ecken die Ecken des Polyeders. 1. Die Pyramide. Z. 240. Wird eine drei- oder mehrseitige Ecke durch eine alle Kanten derselben treffende Ebene geschnitten, so heißt das dadurch abgegrenzte Polyeder "ne Pyramide. Die Schnittfläche heißt die Grundfläche, die anderen Grenzflächen heißen die Seitenflächen, die Schnittlinien der letzteren mit einander die Seitenkanten, und die mit der Grundfläche die Grund¬ kanten der Pyramide. Den gemeinsamen Schnittpunkt der Seitenkanten nennt man den Scheitel, und den Abstand des Scheitels von der Grund¬ fläche die Höhe der Pyramide. Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Mo Link, Geometrie. 9 130 Eine Ebene, welche durch zwei nicht unmittelbar auseinander folgende Seitenkanten gelegt wird, heißt ein Diagonalschnitt der Pyramide. Nach der Anzahl der Seiten der Grundfläche theilt man die Pyramiden in drei-, vier- und mehrseitige ein. Die dreiseitige Pyramide ist das einfachste Polyeder; sie wird von vier Dreiecken begrenzt und heißt daher auch das Tetraeder. Eine Pyramide, in welcher alle Seitenkanten gleich sind, heißt gerade, jede andere schief. Die Grundfläche einer geraden Pyramide ist ein Sehnen¬ vieleck, dessen Mittelpunkt der Fußpunkt der Höhe ist (ß. 211, Folgest n); die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Eine gerade Pyramide, deren Grundfläche ein reguläres Polygon ist, heißt regelmäßig oder regulär. Ihre Seitenflächen sind congruente gleich¬ schenklige Dreiecke; die Höhe eines jeden derselben heißt die Seitenhöhe der regulären Pyramide. Z. 241. Lehrsätze. 1. Wird eine Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so ist a) die Schnitt¬ fläche der Grundfläche ähnlich und 6) die Flächeninhalte beider verhalten sich wie die Quadrate ihrer Abstände vom Scheitel. Ns- 134- Beweis. Es sei (Fig. 134) aboäo h /r a) Folgt unmittelbar aus tz. 227, 3. MX k) Ist 8k D also auch 8p4.al>oäs, und legt man durch ^.8k eine Ebene, welche die beiden Vielecke in den Geraden ap und ^k schneidet, so ist / ü daher nio : Lö -- 8a: 8^ 8p : 8k. l / Nun ist alioäs: ^LOI)L — ni? : /rk' G. 163,1), folglich auch alooäs : 8p"-: 8k^. Wird eine Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene ge¬ schnitten, so heißt der zwischen den beiden parallelen Flächen liegende Theil der Pyramide ein Pyramiden stumpf, der zwischen der Schnittfläche und dem Scheitel liegende Theil aber die Ergänzungspyramide des Stumpfes. Der Pyramidenstumpf wird von zwei parallelen und ähnlichen Vielecken als Grundflächen und so vielen Trapezen als Seitenflächen begrenzt, als jedes der Vielecke Seiten hat. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Hohe des Pyramidenstumpfes. Ist die Pyramide eine gerade oder eine reguläre, so ist es auch der Pyramidenstumpf. In einem geraden Phramidenstumpse sind alle Seiten¬ trapeze gleichschenklig, in einem regulären zugleich congruent. In dem letzteren heißt die Höhe eines jeden Seitentrapezes die Seitenhöhe des regulären Pyramidenstumpfes. 2. Werden zwei Pyramiden von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe in gleichen Abständen vom Scheitel durch Ebenen 131 geschnitten, welche zu den Grundflächen parallel sind, so sind die Schnittflächen flächenglcich. Es seien k und I" zwei Pyramiden über den Grundflächen K — mit den Höhen Ii — Ich 1 und ihre Schnittflächen in den Abständen ä — <^ vom Scheitel. Dann ist (nach 1) k : g — <6 : I?, und ? : K' — : li" — daher 1: A — tV- und, da g — ist, auch 1 3. Jeder durch deu Scheitel und die Grundfläche einer Py¬ ramide geführte ebene Schnitt ist ein Dreieck. Folgesatz. Jede vielseitige Pyramide lässt sich durch Diagonalschnitte in dreiseitige Pyramiden von der Höhe der ganzen Pyramide zerlegen. 2. Das Prisma und das Prismatoid. H. 242. Werden drei oder mehrere Ebenen, welche sich in parallelen Geraden schneiden, durch zwei parallele Ebenen geschnitten, so heißt das da¬ durch abgegrenzte Polyeder ein Prisma. Die zwei parallelen Schnittflächen nennt man die Grundflächen, die übrigen Grenzflächen die Seitenflä¬ chen, die Schnittlinien der letzteren mit einander die Seitenkanten, und die mit den Grundflächen die Grundkantcn des Prismas. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe des Prismas. Der Körper I. L 0 6 6 6 6 6 II< (Fig. 135) ist ein Prisma, wenn ^6 h 66 h vl LL, und die Ebene J.66O6 ^66616 ist. Folgesätze. 1. Die beiden Grundflächen eines Prismas sind kongruente Vielecke (ZH. 223, 54 und 213). 2. Alle Seitenflächen des Prismas sind Parallelo¬ gramme. 3. Alle Seitenkanten des Prismas sind einander gleich, welche durch zwei nicht unmittelbar aufeinander folgende Seitenkanten gelegt wird, heißt ein Diagonalschnitt des Prismas. Z. 243. Nach der Anzahl der Seitenkanten unterscheidet man drei-, vier- oder mehrseitige Prismen. Mit Rücksicht auf die Lage der Seiten- kauten gegen die Grundflächen heißt ein Prisma gerade oder schief, je nachdem die Seitenkanten auf den Grundflächen senkrecht oder schief stehen. Ein Prisma, dessen Grundflächen Parallelogramme sind, heißt ein Pa- rallelepiped. Ein gerades Parallclepiped, dessen Grundflächen Rechtecke sind, heißt ein rechtwinkliges Parallelepiped. Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Kanten gleich sind, heißt ein Cubus oder Würfel; jede Kante heißt auch Seite des Cubus. Jedes Parallelepiped wird von sechs Parallelo¬ grammen, ein rechtwinkliges Parallelepiped von sechs Rechtecken, ein Cubus von sechs Quadraten begrenzt. 9* Fig. 135. F <7 Eine Ebene, 132 K. 244. Unter der Diagonale eines Parallclepipeds versteht man die Verbindungsstrecke der Scheitel zweier Ecken, welche keine gemeinsame Seitenfläche haben. Ein Parallelepiped hat vier Diagonalen. Lehrsätze. 1. In jedem Parallelepiped schneiden sich die Diagonalen in demselben Punkte und halbieren einander. Beweis. Legt man durch die Kanten .48 und 86 (Fig. 136) eine Ebene, so ist die Schnittfläche ^868 ein Parallelogramm (§. 54, 3); es müssen sich also in demselben die Diagonalen J.6 und 88 in einem Punkte 0 halbieren (8- 56, 1). Ebenso lässt sich be¬ weisen, dass sich 88 und 08, dann 08 und 88, endlich 88 und 4.6 in demselben Punkte 0 halbieren. Fig. 136. 2. In jedem rechtwinkligen Parallelepiped ist das Quadrat einer Diagonale gleich der Summe der Quadrate der drei in einer Ecke zusammenstoßenden Kanten (Fig. 136). Es sei das Parallelepiped .4 8088808 rechtwinklig. Dann ist 46' 40' 4- 06' 48' -s- 80' -s- 06' rr- 48' -s- 80' 4- 88'. 8- 245. Lehrsätze. 1. Wird ein Prisma durch eine zur Grund¬ fläche parallele Ebene geschnitten, so ist die Schnittfläche mit der Grundfläche congruent. 2. Jeder Diagonalschnitt eines vielseitigen Prismas ist ein Parallelogramm. Beide Sätze beruhen auf 8- 223. Folgesatz. Jedes vielseitige Prisnm lässt sich durch Diagonalschnittc in dreiseitige Prismen von der Höhe des ganzen Prismas zerlegen. H. 246. Ein Körper, welcher von zwei beliebigen parallelen Vielecken als Grund¬ flächen, und im allgemeinen von Dreiecken, welche mit je einer Grundfläche eine Seite, und mit der andern einen Eckpunkt gemeinsam haben, als Seitenflächen begrenzt wird, heißt ein Prismatoid (Fig. 137). Fig. iZ7. Der Abstand der beiden parallelen Grundflächen L L 6 0 und bl k' 8 heißt die Höhe des Prismatoids; die Schnittlinien der Seitenflächen mit einander und mit den Grundflächen heißen bezüglich die Seitenkanten oder die Grundkanten. Sind zwei gegenüberliegende Seiten der beiden Grundflächen (wie L8 und Ul') parallel, so fallen zwei Seitendreiecke (^.Ll? und Llüb') in ein Trapez und, wenn die parallelen Seiten auch gleich sind, in ein Parallelogramm zusammen. Unter den Seitenflächen eines Prismatoids können daher auch Trapeze oder Parallelogramme vorkommen. Haben die beiden Grundflächen eines Prismatoids gleich viele Seiten und sind außerdem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel. 133 so heißt das Prismatoid insbesondere ein Obelisk, nnd zwar nach der Zahl der Seiten¬ flächen ein drei-, vier- oder mehrseitiger. Der dreiseitige Obelisk ist entweder ein dreiseitiger Pyramidenstumpf oder ein dreiseitiges Prisma. Ein Prismatoids dessen eine Grundfläche sich ans eine Kante reduciert, heißt ein Sphenisk (Keil). Zusatz. Das Prismatoid fasst in der Form des Obelisken für besondere Annahmen seiner Grundflächen alle bisher betrachteten Körperformen in sich. Sind die gegenüberliegenden Seiten der Grundflächen eines Obelisken nicht nur parallel, sondern auch gleich, so wird der Obelisk zu einem Prisma; sind die parallelen Seiten proportioniert, so stellt er einen Pyra¬ midenstumpf vor; lässt man endlich die kleinere Grundfläche immer mehr abnehmen, bis sie in einen Punkt verschwindet, so geht der Obelisk in die Pyramide über. H. 247. Lehrsatz. Legt man durch die Mitte einer Seitenkante LL des Prismatoids (Fig. 138) eine zu den Grundflächen, parallele Schnittfläche, so halbiert dieselbe a) auch alle übrigen Seiten¬ kanten, und b) die Höhe. Es sei Lu — La und ubeästst LLOI). s) Da die Schnittlinien ab, be, oä, ... der Ebene uboäskx mit den Seitenflächen zu den Grundkanten L8, Lio, ... parallel sind, so folgt aus La — La auch Lb — Lb, Le — Le, ... b) Wird die Höhe LL des Prismatoids von der Ebene ubeäskx in p geschnitten, so ist uxjjLk, daher Lx:Lp — Lu: Lu; aber La — La, daher auch L p — k p. Die Schnittfläche Lbeäslx heißt der Mittelschnitt des Prismatoids. Fig. 138. 3. Polyeder überhaupt und die regulären insbesondere. Z. 248. Ein Polyeder, welches nur hohle Flächenwinkel hat, heißt convex. Nur von solchen Polyedern ist in dem Nachfolgenden die Rede. Lehrsätze. 1. In jedem Polyeder ist die Anzahl "tV aller Kanttznwinkel doppelt so groß als die Anzahl Li aller Kanten. Denn jedes Polyeder hat so viele Winkel, als die Anzahl der Seiten aller Flächen beträgt; diese Anzahl ist aber doppelt so groß als die Anzahl Kanten, da jede Kante in zwei anliegenden Flächen als Seite vorkommt; folglich 'tV — 2L. 2. In jedem Polyeder ist die dreifache Anzahl L der Ecken, ebenso die dreifache Anzahl der Flächen höchstens gleich der doppelten Anzahl L der Kanten. Denn an jeder Ecke, ebenso in jeder Fläche, kommen mindestens drei Winkel vor; somit ist 3L, und ebenso 31? entweder gleich oder kleiner als die Anzahl aller Winkel; diese beträgt aber 2 L (nach 1), folglich ist 3 L 2 L nnd 3 < 2 L. Z. 249. Lehrsätze. 1. In jedem Polyeder ist die Summe aller Winkel an der Oberfläche gleich sovielmal 4 Rechten, als die um 2 verminderte Anzahl k der Ecken nnzeigt. 134 Beweis. Projicicrt man alle Flächen des Polyeders auf eine Ebene, welche zu keiner Kante normal ist, so ist die Projection jeder Fläche wieder ein Polygon von derselben Seitenanzahl und daher die Summe 8 aller Winkel an der Oberfläche des Polyeders gleich der Summe der Vieleckswinkel aller Projectionsflächen. Fallen nun die Projectionen von Ecken des Polyeders auf den Umfang der Projectionsfigur und die Projectionen von s^Etkm in das Innere derselben, so geben die Vieleckswinkel aller Projectionsflächen zu¬ sammen die doppelte Winkelsumme eines Eckes und a? volle Winkel; folglich ist 8 2 — 2) . 2K -f 62 - 4K (öi st- 62 — 2) . 4K, oder, da s, fl- 62 — K ist, 8 (k — 2) . 4K. 2. In jedem Polyeder ist die Summe aller Winkel an der Oberfläche auch gleich sovielmal 4 Rechten, als die Differenz der Anzahl k der Kanten und der Anzahl k der Flächen anzeigt. Beweis. Ist die Zahl der Seiten der einzelnen Flächen des Polyeders n,, n?, Ng, ..so sind die Summen der Winkel in diesen Polygonen (1^ — 2) 2K, (iiz — 2) . 2 k, (nz — 2) . 2 k, .. daher die Summe aller Winkel auf der Oberfläche des Polyeders 8 — (n, -j- Nz st- ir, st-..). 2K - K.4K. Nun ist Nl st- N2 st- — 2K, da jede Kante zwei Polygonseiteu bildet; daher 8 — k . 4K — k. 4K, oder 8 (k — k) . 4 k. Z. 250. Lehrfach. In jedem Polyeder ist die Summe der An¬ zahl k der Ecken und der Anzahl k der Flächen nm 2 größer als die Anzahl k der Kanten (Euler'scher Satz). Beweis. Nach ß. 249 ist die Winkelsnmme an der Oberfläche 8 — (k — 2) . 4 k und auch 8 — (k — k) . 4K. Hieraus folgt k — 2 — k — k, oder L st- k Lst- 2. Die Gleichung L st- k — k st- 2 sowie die in Z. 248 abgeleiteten Ungleichungen 3L 2K und 3k < 2K sind in Beziehung auf L und k symmetrisch, d. h. sie bleiben richtig, wenn man in denselben k und k mit einander vertauscht. Folgelahe. t. Aus bl 4- 8 -- l< 4- 2 folgt: Hat ein Polyeder eine gerade Anzahl Kanten, so ist die Anzahl der Ecken und die der Flächen zugleich gerade oder ungerade; hat dagegen das Polyeder eine ungerade Anzahl Kanten, so muss, wenn die Zahl der Ecken gerade oder ungerade ist, die Zahl der Flächen ungerade oder gerade sein. 2. Subtrahiert man von 284-28 — 28-P4 die Ungleichungen 3 8 ^28 und 3 dl Zf 2 U, so erhält man 28 § 8 4- 4 und 28 8 4- 4. 135 Die doppelte Zahl aller eines Polyeders ist also mindestens nm 4 größer als die Zahl der Zechen!' 3. Subtrahiert man von 3L-l-3l? — 3LZ-6 die Ungleichungen 31? Z 2lr und 3L < 2X, sy ergibt sich 3LBLZ-6 und 3ll'^L-j-6. Die dreifache Zahl aller eines Polyeders ist also mindestens um 6 größer °ls die Zahl aller Kanten. ' 4. In einem Polyeder kann nicht jede mehr als fünf Kanten haben. Denn würden in jeder Ecke sechs Kanten zusammenstoßen, so wäre, da jede Kante zu zwei Ecken gehört, 6L---2L, also 3L---L, was nach 3. nicht möglich ist. Wären alle Flächen von sechs Kanten begrenzt, so müsste, da jede Kante zu zwei anstoßenden Flächen gehört, 6 t? — 2L, also 3t? —L sein, was ebenfalls dem Satze 3. widerstreitet. 8- 251. Ein Polyeder, dessen Flächen congrnente reguläre Vielecke sind und congrnente Ecken bilden, heißt ein regelmäßiges oder reguläres Polyeder. Lehrsatz. Es kann nicht mehr als fünf reguläre Polyeder geben. Beweis. Es seien die Flächen eines regulären Polyeders Vielecke von m weiten, deren je n eine Ecke bilden, kl sei die Anzahl der Ecken, 1? die Zahl der Flächen nnd L die Zahl der Kanten des Polyeders. Dann ist die Gesammtzahl der Seiten aller Flächen 2L, da jede Kante als Seite zweier zusammenstoßenden Flächen vorkommt; sie ist aber, da in jeder Ecke n Seiten Zusammenstößen, auch nkl und, da jede Fläche m Seiten hat, auch ml?; es ist mithin nkl — 2L und ml? — 2ll, oder „ 2L .1-, 2L kl — — und l? — . n m Nun ist (nach Z. 250) kl -s- k' — kl -s- 2, daher -j- — L -s- 2, und folglich — 2 m n 2(m-j-n)— mu' Damit kl positiv werde, kann man m und n nur solche Werte beilegen, für welche 2 (m -s- u) > m n wird. Hienach ist die Bildung regulärer Polyeder nur für folgende Werte von m und n möglich: 1. 2. 3. 4. 5. m — 3, m — 4, m — 3, m — 5, m — 3, n — 3, woraus kl — 6, n 3, „ kl -- 12, n - 4, „ kl -- 12, n 3, „ kl -- 30, u 5, „ L - 30, kl — 4, k— 4; kl^- 8, 6; kl — 6, k' — 8; kl ^20, k^12; kl — 12, k 20. Die hiedurch bestimmten Körper heißen: 1. das reguläre Tetraeder, 2. das reguläre Hexaeder (der Cubus), 3. das reguläre Octaeder, 4. das reguläre Dodekaeder und 5. das reguläre Ikosaeder. 136 Das Hexaeder und das Octaeder haben gleiche Kantenzahl, die Zahl der Ecken des einen ist gleich der Zahl der Flächen des andern, und die Seiten¬ zahl jeder Fläche des einen ist gleich der Kantenzahl jeder Ecke des andern. Man nennt deshalb diese zwei regulären Polyeder einander zu geordnet. Aus demselben Grunde sind das Dodekaeder und das Ikosaeder einander zugeordnet. Das Tetraeder ist sich selbst zugeordnet. 8- 252. Frhrsah. Jedes reguläre Polyeder hat einen Punkt, der u) von allen Seitenflächen, und 6) von allen Eckpunkten gleich weit absteht. Beweis, a) Es seien (Fig. 139) ^DO, ^.DD,... Seitenflächen eines regulären Polyeders und D, 3, ... ihre Mittelpunkte. Zieht man aus kl und .7 zu der Mitte D der Kante die Strecken HD und 3D, so stehen Fig. 139. diese zu D normal, daher ist HD3 der Neigungswinkel der Ebenen ^DO und und es sind diese Ebenen zu der durch den Winkel HD 3gelegten Ebene normal (tz. 219,1). Werden daher aus ^.DO und F.DD in 13 und 3 Normale errichtet, so müssen sie in der Ebene DD 3 liegen (K. 219, 3) und sich in einem Punkte 0 schneiden. Zieht man nun 0D, so ist /XODD M 0D3, daher OD — 03; d. h. der Punkt O hat von den zwei Seitenflächen gleiche Abstände. Was von ^.DO und gilt, gilt auch von den übrigen Seitenflächen. Der Punkt 0 hat also von allen Seitenflächen des regulären Polyeders gleiche Abstände. 6) Da ferner OD, 03, OLi,... zu den Seitenflächen ^LO, DOO, ... normal sind und durch die Mittelpunkte D, 3, D, ... derselben gehen, so müssen (nach 211) alle schiefen Strecken aus 0 nach den Eckpunkten der Seitenflächen gleiche Länge haben. Der Punkt 0 hat also auch von allen Eckpunkten des Polyeders gleiche Abstände. Der Punkt 0 heißt der Mittelpunkt des regulären Polyeders. Auf dem vorstehenden Lehrsätze und der in Z. 251 nachgewiesenen dualen Zuordnung der regulären Polyeder beruhen folgende Sätze über die Umgestaltung dieser Körper: 1. Werden alle Flächen eines regulären ! 2. Werden alle Ecken eines regulären Polyeders durch ihre Mittelpunkte als Ecken Polyeders durch ebene, zu ihren Kanten gleich- crsetzt, so sind diese die Ecken eines zugeord- geneigte Flächen ersetzt, so sind diese die Flächen neten regulären Polyeders. eines zugeordneten regulären Polyeders. ll. KrummMchige Körper. §. 253. Körper, welche ganz oder theilweise vou krummen Flächen begrenzt werden, heißen krummflächige Körper. 137 1. Dcr Kegel. 8- 254. Bewegt sich eine Gerade, indem sie stets durch einen festen Punkt außerhalb der Ebene einer Kreislinie geht, längs dieser Kreislinie fort, bis sie wieder in ihre anfängliche Lage kommt, so beschreibt sie eine krnmme Fläche, die man eine konische Fläche nennt. Die gegebene Kreislinie heißt die Leitlinie, nnd der gegebene feste Punkt der Scheitel der konischen Fläche. Lehrsatz. Jeder zur Ebene der Leitlinie parallel gelegte Schnitt einer konischen Fläche ist ein Kreis. Beweis. Es sei 8 (Fig. 140) der Scheitel und der Kreis K>1L die 8eitline der konischen Fläche, ferner Ebene Zieht man von 8 Fig. 140. zu dem Mittelpunkte 0 der Leitlinie die Strecke 8 0, welche die Schnittfläche in o schneidet, und legt durch 80 nnd einen willkürlichen Punkt m der Schnittlinie eine Ebene, welche die konische Fläche in der Geraden 8mlVI schneidet, so ist om ON; daher hat man om : OLl — 8o : 80. Ebenso ist oa:OK— 8o:80, und folglich om: ON — oa: OK, woraus wegen ON — OK auch om — oa folgt. Es sind also alle Punkte im Umfange des Schnittes von o gleich weit entfernt, mithin ist der Schnitt ein Kreis. Z. 255. Wird eine konische Fläche durch eine zur Ebene der Leit¬ linie parallele Ebene geschnitten, so heißt der dadurch abgegrenzte Körper ein Kegel. Die ebene Schnittfläche ist eine Kreisfläche (8. 254) und heißt die Grundfläche, die sie begrenzende konische Fläche wird der Mantel des Kegels genannt. Die Strecke, welche den Scheitel und den Mittelpunkt der Grundfläche verbindet, heißt die Achse, und jede Strecke, in welcher der Mantel von einer durch die Achse gelegten Ebene geschnitten wird, eine Seite des Kegels. Den Abstand des Scheitels van der Grundfläche des Kegels nennt wan die Höhe desselben. Ist die Achse zur Grundfläche normal, so heißt der Kegel ein gerader, sonst ein schiefer. Einen geraden Kegel kann man sich durch Drehung eines rechtwinkligen Dreieckes um eine seiner Katheten als Achse entstanden denken. In einein geraden Kegel sind alle Seiten gleich, nnd die Achse stellt zugleich die Höhe vor. In einem schiefen Kegel gibt es eine kürzeste und eine längste Seite; dieselben liegen in einer durch die Achse und ihre Projection auf die Grundfläche gehenden Ebene. Ein gerader Kegel, dessen Seite dem Durchmesser der Grundfläche gleich ist, heißt gleichseitig. Geht durch einen Umfangspunkt der Grundfläche eines Kegels eine Tangente zu dieser und eine Seite, so hat die durch beide Linien gelegte Ebene nur die Seite mit der Kegel- siäche gemeinsam; sie heißt eine Beris.hrungsebene des Kegels. 138 Z. 256. Lehrsätze. 1. Wird ein Kegel durch eine zur Grund¬ fläche parallele Ebene geschnitten, so ist a) der Schnitt ein Kreis, und es »erhalten sich l») die Flächeninhalte der Schnittfläche und der Grundfläche wie die zweiten Potenzen ihrer Abstände vom Scheitel des Kegels. Beweis. Es sei (Fig. 140) die Ebene amä a) Folgt aus A. 254. 5) Ist 8k J.LI8, also auch 8p anal), und legt man durch 08k eine Ebene, welche die beiden Kreise in Ok und op schneidet, so ist opOk, daher ao : ^.0 — 8o: 80 — 8p : 8k. Nun ist am6 : : ^02 (Z. 183, 1), folglich auch amd : 8p-: 8?^. Wird ein Kegel durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so heißt der zwischen der Grundfläche und der Schnittfläche liegende Thcil des Kegels ein Kegelstumpf, der zwischen der Schnittfläche und dem Scheitel liegende Theil aber der Ergänzungskegel des Stumpfes. Der Kegelstumpf wird von zwei parallelen ungleichen Kreisflächen als Grundflächen und der zwischen ihnen enthaltenen konischen Mantelfläche begrenzt. Jede Strecke, in welcher der Mantel von einer durch die Achse gehenden Ebene geschnitten wird, heißt Seite des Kegelstumpfes. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe des Kegelstumpfes. Ein Kegelstumpf ist, wie der Kegel selbst, gerade oder schief. 2. Jeder Achsenschnitt eines Kegels ist ein Dreieck. Denn jede durch die Achse gelegte Ebene schneidet die Grundfläche in einem Durchmesser und die Mantelfläche in zwei Strecken. In einem geraden Kegel find alle Achsenschnitte gleichschenklige, congruentc und zur Grundfläche normale Dreiecke. In einem schiefen Kegel ist nur eines der Dreiecke gleichschenklig, und nur eines, und zwar dasjenige, welches durch die Projection der Achse auf die Grundfläche geht, zu dieser letzteren normal; diese beiden Dreiecke stehen aufeinander normal. 3. Jeder Achsenschnitt eines Kegelstumpses ist ein Trapez. Denn jede durch die Achse gehende Ebene schneidet die Grundflächen in zwei parallelen Durchmessern und die Mantelfläche in zwei nicht parallelen Strecken. In einem geraden, wie in einem schiefen Kegelstumpfe gilt von den Trapezen als Achsenschnitten dasselbe, was bei den Achsenschnitten des Kegels von den Dreiecken angeführt wurde. 2. Der Cylinder. Z. 257. Bewegt sich eine Gerade, indem sie stets einer festen, die Ebene einer Kreislinie in ihrem Mittelpunkte schneidenden Geraden parallel bleibt, längs dieser Kreislinie fort, bis sie wieder in ihre anfängliche Lage kommt, so beschreibt sie eine krumme Fläche, die man eine cylindrische Fläche 139 nennt. Die gegebene Kreislinie heißt die Leitlinie, und die durch ihren Mittelpunkt gehende feste Gerade die Achse der cylindrischeu Fläche. Lehrfach. Jeder zur Ebene der Leitlinie parallel gelegte Schnitt einer cylindrischeu Fläche ist ein Kreis, welcher mit der Leitlinie gleichen Halbmesser hat. Fig, i4i Beweis. Es sei der Kreis J.LL4 (Fig. 141) die Leitlinie der cylindrischen Fläche, und eine zu diesen, E-Kreise parallele Ebene J.'L'il1' schneide die Achse 0 0' in l ! 0'. Legt man durch 00' und einen beliebigen Punkt Al' / / l der Schnittlinie eine Ebene, welche die cylindrische Fläche , W in der Geraden LIN' schneidet, so ist OO'^AIN' und O'Al'ssON; daher ist OO'LI'U ein Parallelogramm und folglich O'N' — O N. Es ist also der Abstand eines leden Punktes der Schnittlinie von 0' dem Halbmesser der Leitlinie gleich, d- h- der Schnitt ist ein mit der Leitlinie congruenter Kreis. tz. 238. Wird eine cylindrische Fläche durch zwei zur Ebene der Leit¬ linie parallele Ebenen geschnitten, so heißt der dadurch abgegrenzte Körper ein Zylinder. Die zwei ebenen Schnittflächen sind congruente Kreisflächen (8- 257) und heißen die Grundflächen; die sie begrenzende cylindrische Fläche nennt man den Mantel des Cylinders. Die Berbindungsstrecke der Mittelpunkte beider Kreise heißt die Achse, und jede Schnittlinie des Mantels uut einer durch die Achse gelegten Ebene eine Seite des Cylinders. Der Abstand der beiden Grundflächen wird die Höhe des Cylinders genannt. Alle Seiten des Cylinders sind parallel und einander gleich. Steht die Achse zu den Grundflächen normal, so heißt der Cylinder ein gerader, sonst ein schiefer. Einen geraden Cylinder kann man sich auch durch Drehung eines Rechteckes um eine Seite als Achse entstanden denken. In einem geraden Cylinder stellt die Achse zugleich die Höhe vor. Ein gerader Cylinder, dessen Seite dem Durchmesser der Grundfläche gleich ist, wird gleichseitig genannt. Geht durch einen Umfangspunkt der Grundfläche eines Cylinders eine Tangente zu dieser und eine Seite, so hat die durch beide Linien gelegte Ebene nur die Seite mit der Mantelfläche gemeinsam; eine solche Ebene heißt eine Berühr ungscbcne des Cylinders. Z. 259. Lehrsätze. 1. Wird ein Cylinder durch eine zur Grund¬ fläche parallele Ebene geschnitten, so ist der Schnitt ein mit der Grundfläche congruenter Kreis. Folgt aus K. 257. 2. Jeder Achsenschnitt eines Cylinders ist ein Parallelo- gram m. Denn in dem erhaltenen Vierecke sind die Schnittlinien der Ebene mit der Mantelfläche als Seiten des Cylinders parallel und gleich. 140 In einem geraden Cylinder sind alle Achsenschnitte congruente Rechtecke und stehen zur Grundfläche normal. In einem schiefen Cylinder sind die Achsenschnitte ungleiche Parallelogramme und steht nur einer, und zwar der¬ jenige, welcher durch die Projecüon der Achse auf die Grundfläche geht, zur Grundfläche normal. 3. Die Kugel. Z. 260. Dreht sich ein Halbkreis um seinen Durchmesser so weit herum, bis er wieder in seine ursprüngliche Lage kommt, so beschreibt derselbe eine krumme Fläche, welche Kugelfläche genannt wird. Der oon der Kugelfläche begrenzte Körper heißt Kugel. Jeder Punkt der Kugelfläche ist von dem Mittelpunkte des erzeugenden Kreises gleich weit entfernt; dieser Punkt heißt darum auch der Mittel¬ punkt der Kugel. Eine Strecke, welche vom Mittelpunkte bis zur Kugelfläche gezogen wird, heißt ein Halbmesser; eine Strecke, welche durch den Mittel¬ punkt geht und zwei Punkte der Kugeloberfläche verbindet, ein Durchmesser der Kugel. Alle Halbmesser einer Kugel sind einander gleich; ebenso alle Durchmesser. Die Endpunkte eines Durchmessers werden Gegenpuukte der Kugelfläche genannt. Folgesatz. Der geometrische Ort aller Punkte im Raume, welche von einem gegebenen Punkte den Abstand r haben, ist die um diesen Punkt mit dem Halbmesser r beschriebene Kugelfläche. K. 261. Lehrsatz. Durch vier Punkte -4., L, 6 und O (Fig. 142), welche nicht in einer Ebene liegen, ist eine Kugel unzweideutig bestim mt. Fig. 142. Der geometrische Ort eines Punktes, der von K, II, 0 gleich weit absteht, ist die ine Mittelpunkte N des durch die drei Punkte gehenden Kreises auf diesen errichtete Normale Nidi (Z. 211, 0). Jeder Punkt dieser Normalen ist dann von allen Punkten der Peripherie jenes Kreises gleich weit entfernt. Legt man daher durch Nbl und den vierten außerhalb der Kreis¬ ebene liegenden Punkt O eine Ebene, welche die Peri¬ pherie des Kreises in 1-> schneidet, und errichtet in dieser letzteren Ebene auf die Verbindungsstrecke O k in ihrer Mitte K die Normale, welche die LIidl in 0 trifft, so ist 0 nicht nur von I) und k gleich weit entfernt (K. 46, 1), sondern steht auch von I) und den drei Punkten K, L, 0 gleich weit ab; 0 ist somit der Mittelpunkt der durch K, L, O, I) gehenden Kugelfläche. Da es nur einen Punkt O gibt, welcher den obigen Bedingungen ent¬ spricht, so kann es auch nur eine einzige Kugelfläche geben, welche durch die vier Punkte K., L, 6, I) geht. 141 Die Gerade und die Kugel- Z. 262. Je nachdem der Centralabstand einer Geraden, d. i. ihr Abstand vom Mittelpunkte einer Kugel, kleiner, ebenso groß, oder größer ist als deren Halbmesser, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Puukten, oder berührt sie dieselbe in einem Punkte, oder liegt sie ganz außerhalb der Kugel. 1. Jede gerade Berührungslinic einer Kugel steht normal zn dem Halb¬ messer des Berührungspunktes (Z. 80). 2. Alle von einem Punkte außerhalb einer Kugel an diese gezogenen Berührungsstrecken sind einander gleich (Z. 81). Die Ebene und die Kugel. Z. 263. Der Centralabstand einer Ebene, d. i. ihr Abstand vom Mittelpunkte einer Kugel, ist entweder kleiner oder ebenso groß, oder größer als deren Halbmesser. Im ersten Falle schneidet die Ebene die Kugel; im zweiten Falle berührt sie dieselbe in einem Punkte; im dritten liegt sie ganz außerhalb der Kugel. Lehrsatz. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Beweis. Es sei (Fig. 143) ein ebener Kugelschnitt. Fällt man vom Kugelmittelpunkte 0 eine Normale Ok ans die Schnittfläche, zieht von k nach dem Umfange des Schnittes die beliebigen Strecken / 1 und kU, ferner noch die Halbmesser 0^ und ! L) ) 0N, so sind die rechtwinkligen Dreiecke und X / OkiVl congruent, daher — i?L1. Daraus folgt, dass alle Umfangspunkte des Schnittes von U gleichen Abstand haben, dass also der Schnitt ein Kreis ist. Der Kreis LNL wird ein Kugelkreis genannt. tz. 264. Lehrsätze von den Kugelkreiscn. 1. Die Strecke ans dem Mittelpunkte der Kugel nach dem Mittelpunkte eines Kngelkreises ist normal zur Ebene des letzteren. 2. Die Normale aus dem Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene eines Kugelkreises geht durch den Mittelpunkt des letzteren. 3. Die Gerade, welche im Mittelpunkte eines Kugelkreises aus dessen Ebene normal errichtet wird, geht durch den Mittelpunkt der Kugel. 4. Gleichen Kugelkreisen entsprechen gleiche Centralabstände; und um¬ gekehrt. 5. Dem größeren Kugelkrcise entspricht ein kleinerer Centralabstand; und umgekehrt. Die Beweise dieser Sätze stimmen mit jenen für die analogen Sätze von den Sehnen des Kreises in M. 75 und 77 überein. 142 Ansätze, a) Unter allen Kugelkreisen ist der durch den Mittelpunkt der Kugel gehende der größte. Er heißt deshalb auch geradezu ein größter Kugel¬ kreis oder ein Hauptkreis. Der Halbmesser eines Hauptkreises der Kugel ist dem Kugelhalbmesser gleich. 6) Zwei Hauptkreise einer Kugel schneiden sich immer in einem Durch¬ messer derselben und halbieren einander gegenseitig. o) Durch je zwei Punkte der Kugelfläche, welche nicht Gegenpunkte find, ist die Lage eines Hauptkreises der Kugel unzweideutig bestimmt. Der von zwei Punkten begrenzte Bogen eines Hnnptkreises gibt den sphärischen Ab stand dieser Punkte an. ä) Bon den beiden Endpunkten des zur Ebene eines Kugelkreises normalen Kugeldurchmessers (tz. 264, 3) hat jeder von allen Umfangspunkten des Kugel¬ kreises gleiche sphärische Abstände. Diese zwei Punkte heißen deshalb sphärische Mittelpunkte des Kugelkreises. Die Umfangspunkte gleicher Kugelkreise haben gleiche sphärische Abstände von ihren entsprechenden sphärischen Mittelpunkten. Z. 265. Lehrsätze von den Berührnngsebenen der Kugel. 1. Die Ebene, welche im Endpunkte eines Kugelhalbmessers zu diesem normal ist, ist eine Berührungsebene der Kugel. (Z. 80, 1.) 2. Der Halbmesser einer Kugel nach dem Berührungspunkte steht normal auf der Berührungsebene. (A. 80, 2.) 3. Die Normale aus dem Mittelpunkte einer Kugel aus die Bcrührungsebcne geht durch den Berührungspunkt. (Z. 80, 3.) 4. Die zur Berührungsebene einer Kugel im Berührungspunkte errichtete Normale geht durch den Mittelpunkt der Kugel, (ß. 80, 4.) Z. 266. Die beiden Theile, in welche die Kugel durch die Ebene eines Kugelkreises getheilt wird, heißen Kugelabschnitte oder Kugelsegmente und die dazugehörigen Theile der Kugelfläche Kugelmützen oder Calotten. Die Kreisfläche ist die Grundfläche der beiden Kugelsegmente und der Kugel¬ mützen. Der von der Mütze und ihrer Grundfläche begrenzte Theil des zu dieser normalen Durchmessers der Kugel ist die Höhe des Kugelsegmentcs und der Kugelmütze. Der zwischen den Ebenen zweier paralleler Kugelkreise liegende Theil der Kugel heißt eine Kugelschichte und der dazu gehörige Theil der Kugelfläche eine Kugelzone. Der Abstand der beiden Kreisflächen ist die Höhe der Kugelschichte und der Zone. Dreht sich ein Sector eines Hauptkreises der Kugel um einen seiner Halbmesser, so heißt der dadurch beschriebene Körper ein Kugelausschnitt oder Kugelsector. Derselbe besteht aus einem Kugelsegment und einem Kegel, dessen Scheitel der Kugelmittelpunkt und dessen Grundfläche die Grund¬ fläche des Kugelsegments ist. 143 Fig. 144. Z. 267. Eine Kugel heißt einem Polyeder eingeschrieben, wenn alle Grenzflächen desselben Berührungsebenen der Kugel sind, und umgeschrieben, wenn alle Eckpunkte des Polyeders in der Kugelfläche liegen. Jedem regulären Polyeder kann eine Kugel ein- und »ungeschrieben werden. (Folgt aus tz. 252.) Sphärische Winkel, sphärische Zwei- und Dreiecke. 8- 268. Der Neigungswinkel der Ebenen zweier Hauptkreise einer Kugel heißt der sphärische Winkel der beiden Kreise. Das Maß eines sphärischen Winkels 0^1) (Fig. 144) ist der zwischen den beiden Kugelkreisen liegende, von jedem ihrer Schnittpunkte um 90" abstehende Kreisbogen 04). Da nämlich 00 ,0^.0 und 4)0 Z, )4O ist, so ist 004) der Nei¬ gungswinkel der Ebenen der beide»» größte»» Kreise )^08 nnd J.D8, »ind der Bogen 04) das Maß dieses Winkels. Ein sphärischer Winkel 0)).!) ist gleich dem Winkel 8J/4 der Tangenten, welche durch einen Schnitt¬ punkt der zwei Kugelkreise an dieselben gezogen werden. tz. 269. Ein Theil der Kugelfläche, welcher von zwei größte»» Halb¬ kreise»» der Kugel begrenzt wird, wie z. B. 0 411) /V (Fig. 144), heißt eir» sphärisches Zweieck. Zu gleichen sphärischen Winkeln derselbe»» Kugel gehöre»» gleiche sphärische Zweiecke; und umgekehrt. Beweis durch Deckung. Fig. 145. Z. 270. Ein Theil der Kugelfläche, welcher von drei Bogei» größter Kugelkreise begrenzt wird, heißt ein sphärisches Dreieck; wie i480 (Fig. 145). Die Kreisbogen ^8, ^.0 und 80 werden die Seiten, und die sphärischen Winkel J.08, J.80 und 8^0 die Winkel des sphärischen Dreieckes ge¬ nannt. Die Größe der Seiten wird stets im Bogen¬ maße angegeben. Die Seite»» eines jeden sphärischen Dreieckes sind zugleich die Seiten eines zweite»» sphärischen Dreieckes, welches das erste zu der ganzen Kugeloberfläche ergänzt. Wem» übrigens nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, so ist immer dasjenige sphärische Dreieck zu verstehen, welches kleiner ist als die halbe Kugelfläche. Zu jedem sphärischen Dreiecke, das kleiner ist als die halbe Kugelfläche und dessen eine Seite größer ist als 180°, gehört eil» zweites, welches mit jenem zwei Seite»» gemeinsam hat und dessen dritte Seite die dritte Seite des erstere»» zu 360" ergänzt, soinit kleiner als 180° ist. Z. B. das Dreieck ^484)80 hat die Seite»» J.808, 80 und O^X, das Dreieck H.80 hat die Seite»» ^8, 80 und OJ.; ^.84)8 und 144 ergänzen sich zu 360°. Die beiden Dreiecke ergänzen sich gegenseitig zu der halben Kugelfläche; man nennt ein jedes das sphärische Nebendreieck des andern. Da sich aus den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreieckes sogleich auch die Seiten und Winkel seines Nebendreieckes bestimmen lassen, so sollen bei den folgenden Untersuchungen nur solche sphärische Dreiecke vor¬ ausgesetzt werden, in denen die Seiten einzeln kleiner als 180° sind. xH. 271. Es sei ^.KO (Fig. 146) ein sphärisches Dreieck, dessen jede Seite kleiner ist als 180°, und 0 der Mittelpunkt der Kugel. Zieht man die Halbmesser LO, LO und 00, und legt durch je zwei eine Ebene, so ent¬ steht das Dreikant O^LO, dessen Seiten ^OL, ^.00, Fig 146.. und LOO die Seiten 7^L, ^40 und LO des sphärischen Twmckes zum Maße habeu, und dessen Flächen- winkel den Winkeln des sphärischen Dreieckes gleich sind. ) / Es finden daher zwischen den Seiten und Winkeln eines s / sphärischen Dreieckes dieselben Beziehungen statt, wie ( / zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreikants. Mit Rücksicht auf die M. 232, 233 und 234 gelten demnach auch für die sphärischen Dreiecke folgende Sätze: X/U Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte Seite. 2. Die Summe aller drei Seiten ist kleiner als 360°. 3. Die Summe aller drei Winkel ist größer als 180° und kleiner als 540°. 4. Gleichen Winkeln liegen gleiche Seiten gegenüber. 5. Dem größeren Winkel liegt auch eine größere Seite gegenüber. 6. Gleichen Seiten liegen gleiche Winkel gegenüber. 7. Der größeren Seite liegt auch ein größerer Winkel gegenüber. Ein sphärisches Dreieck heißt gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig, je nachdem es drei oder zwei gleiche, oder lauter verschiedene Seiten hat. Ein sphärisches Dreieck kann (nach 3) zwei oder auch drei rechte Winkel haben. Ein sphärisches Dreieck, welches keinen rechten Winkel enthält, heißt schiefwinklig; kommt darin ein rechter Winkel vor, so wird es ein recht¬ winkliges genannt. §. 272. Zwei sphärische Dreiecke, in denen alle Seiten und Winkel paarweise gleich sind, sind congrnent oder symmetrisch, je nachdem die gleichen Bestandstttcke in demselben oder im entgegengesetzten Sinne aufein¬ ander folgen (Z. 231). 145) De» sechs Sätzen, welche in Z. 235 bezüglich der Congruenz und der Symmetrie der Dreikante bewiesen wurden, entsprechen nnnloge Sätze bezüglich der Congruenz und Symmetrie der sphärischen Dreiecke. Z. 273. Ein sphärisches Dreieck, dessen Ecken Gegenpunkte der Ecken eines anderen Dreieckes sind, heißt das Gegendreicck des zweiten; ;. B. ^4'8'0' (Fig. 147) ist das Gegendreieck zu 7480. Zwei sphärische Gegendreiecke sind, so wie zwei Scheitelecken (Z. 231), im allgemeinen symmetrisch, und nur dann congrnent, wenn sie gleich¬ schenklig sind. Lehrsatz. Zwei sphärische Gegendreiecke sind flächengleich. Beweis. Legt man (Fig. 147) durch die drei Fig. 147. Eckpunkte eines jeden der zwei Gegendreiecke 7480 und 74'8'0' Kugelkreise, so sind diese einander gleich; / XUlL/ X denn sie sind zugleich um zwei congrucnte ebene Drei- / Xi// ecke beschrieben, deren Seiten als Sehnen zu den Seiten sis? ! der beiden sphärischen Dreiecke gehören. Dann sind V /tzX / aber wenn 8 und 1" die entsprechenden sphäri- XvX'XX-XX scheu Mittelpunkte der zwei gleichen Kugelkreise sind, die sphärischen Abstände 874, 88, 80 und 8'74', 8'8', 8'0' einander gleich (Z. 264, ä). Die Dreiecke 8^8, 8^.0 und 880, ebenso die Dreiecke 8'74'8', 8'74'0' und 8'8'0' sind demnach gleichschenklig, und daher die ersteren folgewcise mit den letzteren congrnent. Somit sind die Summen dieser Dreiecke, d. i. die Dreiecke 7480 und 74'8'0' flächengleich. Z. 274. Beschreibt man aus den Eckpunkten eines sphärischen Dreieckes, als Polen, größte Kreisbogen, so heißt das dadurch Fig- entstehende sphärische Dreieck ein Polardreieck des ersteren. XXXxl/ Ist 74 8 0 (Fig. 148) ein sphärisches Dreieck und macht man 741) — 748 — 111" — 86l — Okl X X X — 03 — 90°, so ist, wenn durch die Punkte I) und 6l, kl und 3 die größten Kreisbogen II' Oh 0' und 74' 8' beschrieben werden, ^'8' 0' das Polar- " dreieck des sphärischen Dreieckes 74 8 0, und dieses wieder, wie man leicht sieht, das Polnrdrcieck von 74'8'0'. Lehrsatz. 1- Zwei sphärische Dreiecke, welche Polardreiecke zu einander sind, gehören zu zwei Dreikanten, welche zu ein¬ ander Polarecken sind. Denn zieht man zu den Eckpunkten der zwei sphärischen Dreiecke Kugel- Halbmesser, so sind diese die Kanten der beiden Dreilaute, welche zu den zwei sphärischen Dreiecken gehören. Nun ist jeder Halbmesser des einen Dreieckes normal zu zwei Halbmessern des andern, weil die Seiten des einen um 90° Moinik, Geometrie. 10 146 von den Eckpunkten des andern abstehen, somit ist er auch normal zu der durch diese Halbmesser gelegten Ebene; es ist sonach jede Kante des einen Dreikants normal zu einer Seitenfläche des andern, d. i. die beiden Drei¬ kante sind Polareckeu zu einander (ß. 229). 2. In zwei sphärischen Polardreiecken sind die Seiten des einen Supplemente der Winkel des andern. Heißen k, 0 die Winkel und a, b, o die gegenüberliegenden Seiten in deni sphärischen Dreiecke FLO, ferner Fst Lst 0^ die Winkel und ast bst die Seiten in dem Polardreiecke F/L'Ost so ist a-j-F' —2K, d-s-L' —2K, e-s-O' —2K; und a'Z-F^2k, ^-siL---2k, o^0^-2k. Folgt aus Z. 229, 2, kann aber auch unmittelbar aus Fig. 148 abgeleitet werden. Lage zweier Kugeln gegen einander. Z. 275. Zwei Kugeln, welche denselben Mittelpunkt haben, heißen c v ir¬ ren tri sch. Zwei Kugeln, welche verschiedene Mittelpunkte haben, nennt man excentrisch, und die Verbindungsstrecke ihrer Mittelpunkte die Centrale der beiden Kugeln. 1. Haben zwei Kugelflächen einen Punkt der Centrale oder ihrer Ver¬ längerung gemeinsam, so berühren sie sich in diesem Punkte, und zwar bezüglich von außen oder von innen. 2. Haben zwei Kugelflächen mehrere Punkte gemeinsam, so schneiden sie sich in diesen Punkten. Lehrsatz. Der Schnitt zweier Kugelflächen ist ein Kreis. Denn zieht man von zwei beliebigen Schnittpunkten der Kugelflächen zu deren Centrale Normale, so fallen ihre Fußpunkte in einen Punkt zusammen, und die Normalen selbst sind einander gleich. Folgesätze, a) Die Centrale zweier sich berührender Kugeln geht durch den Berührungspunkt. l>) Die durch den Berührungspunkt zweier Kugeln an die eine gelegte Berührungsebenc ist zugleich eine Berührungsebene der andern. e) Die Centrale zweier sich schneidenden Kugeln ist zur Ebene des gemein¬ samen Durchschnittskreises im Mittelpunkte desselben normal. Z. 276. Die gegenseitige Lage zweier Kugeln hängt von der Größe ihrer Centrale o und ihrer Halbmesser k und r ab. 1. Ist e > k Z- r, so liegt die eine Kugel ganz außerhalb der andern. 2. Ist o — k -s- r, so berühren sich die beiden Kugeln von außen. 3. Ist k Z- r > o > k — r, so schneiden sich beide Kugeln. 4. Ist o — k — r, so berühren sich beide Kugeln von innen. 5. Ist e < k — r, so liegt die eine Kugel ganz innerhalb der andern. 147 1H. Zufgaöen. Z. 277. Constructionsaufgaben. 1. (Forderungssatz.) Um einen gegebenen Punkt mit einem gegebenen Halbmesser eine Kugel zu beschreiben. 2. Durch einen gegebenen Punkt eine Berührungsebene a) an einen Kegel, b) an einen Chlinder, e) an eine Kugel zu legen. 3. Durch eine Gerade eine Berührungsebene an die Kugel zu legen. ß. 278. Rechnungsaufgaben. 1. Es sei k der Halbmesser einer Kugel, r der Halbmesser eines Kugel¬ kreises und ä der Abstand dieses Kreises vom Kugelmittelpunkte; man be¬ stimme jede dieser Größen, wenn die beiden anderen gegeben sind. 2. Eine Kugel wird durch eine Ebene geschnitten, welche den zu dieser normalen Durchmesser 2K in dem Verhältnisse m:n theilt; wie groß ist der Halbmesser r der Schnittfläche? 3. Aus der Kante a eines regulären Polyeders die Halbmesser r und k der ihm ein- und der ihm umgeschriebenen Kugel zu bestimmen. Heißt s der Halbmesser des einer Seitenfläche des Polyeders nmgeschriebenen Kreises, Fig. 139 unmittelbar ersieht, für jedes reguläre Polyeder r? — ») Es sei um das Tetraeder ^LOV (Fig. 149) eine Kugel beschrieben und O L Z, L L 6, so ist bl der Mittelpunkt des um LL6 beschriebenen Kreises; wird vb! bis 1? verlängert, so ist ÖZ' ein Kugeldurchmesser und die Mitte 0 der Mittelpunkt der Kugel und daher auch des Tetraeders. Im rechtwinkligen O L.1? ist nun —L.V:VL, oder 2 8 : s, — a : Aus dieser ^2 A Proportion erhält man, da §2 — (K. 172, 1) ist, 8 — — I/ 6. Aus r- -- «2 4,2 5^. _ (l. folgt dann r — z/6. b) Zieht man beim Octacder (Fig. 150) die Diagonale 88, so ist diese ein Durch Messer der umgeschricbcnen Kugel, sie steht normal auf L86V, und der Fußpunkt 0 ist der Mittelpunkt sowohl der umgeschriebenen Kugel, als des um das Quadrat L86V beschriebenen Kreises. Es ist daher (nach Z. 173) Aus 1-2 --- «2 — folgt ferner r — b p"6. o) Zieht man in Fig. 151, wo um ein Ikosaeder eine Kugel beschrieben ist, 8 6 normal zu dem regelmäßigen Fünf¬ ecke LL 6 VL, so ist 6 der Mittelpunkt des um dasselbe be¬ schriebenen Kreises und 811 ein Kngeldurchmesser. Im recht¬ winkligen Dreiecke 8^.8 ist nun 8»:^8--L8:86, oder, da ^6---^ s/50-s- 10P/5 (Z. 175, Zus.) ist, 28 : s -- s : s»2 — — (5 -s- z/5)^. 10* so ,st, wie man aus «2 ^2. Fig. 149. Fig. 150. 148 Daraus folgt R — -^-1/lÖ-j-2i/5. Aus 1'2 ---82 — p2— (10 -si 2 1/5) —folgt dann r — 1/42 -p 18 /5. ä) Für das Hexaeder oder den Würfel ist: L s/ 3 nnd r — s) Das Dodekaeder lässt sich, wie man aus Fig. 152 sieht, in einen Würfel 6kl3LL6Kk' und sechs dessen Seitenflächen aufsitzende, abgestumpfte dreiseitige Prismen zerlegen, und zwar ist der Halbmesser der dem Würfel umgeschriebenen Kugel zugleich der Halbmesser der dem Dodekaeder nmgeschriebenen Kugel. Der erstere Halbmesser aber ist, da die Kante des Würfels als Diagonale eines regelmäßigen Fünfeckes — ^(14-1/5) (Z. 175,Zus.) ist, nach ä) gleich -^-(1 Z- 1/5). 1/3 1/^3-s-1/15)2 -- 4. l/i-^-. a , Folglich ist auch für das Dodekaeder II — 1/i8 -p- 6 1/5. 3,2 «2 Aus r- --- R2 (iz 6 1/5) - (54-1/5) (Z. 175, Zus.) folgt dann r - 1/250 4- 110/5. 4. Die Kante eines regulären Polyeders aus dein Halbmesser a) der eingeschriebenen, b) der umgeschriebenen Kugel zu berechnen (Umkehrung der Aufg. 3). IV. Ät'mlgssätze und AönngsuufgaSen. Z. 279. Übnngssätze. 1. Die Mitten zweier Paare gegenüberliegender Kanten eines regulären Tetraeders sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, dessen Ebene dein dritten Kantenpaare parallel ist. 2. Die Verbindungsstrecken der Mitten der drei Paare gegenüberliegender Kanten eines regulären Tetraeders schneiden einander in demselben Punkte (Übungssatz 1). 149 3. Die Mitten der Kanten eines regulären Tetraeders sind die Eckpunkte eines regulären Octaeders. 4. Zwei nicht parallele Berührungsebenen eines geraden Cylinders schneiden sich in einer zur Achse parallelen Geraden. 5. Legt man durch eine Gerade zwei Berührungsebenen an die Kugel und eine dritte Ebene durch den Mittelpunkt, so wird der Neigungswinkel der beiden Berührungsebenei: durch die dritte Ebene halbiert. Z. 280. Constructionsaufgaben. 1. Ein reguläres Tetraeder zu construieren, wenn dessen Kante gegeben ist. 2. Einen Würfel zu constrnieren, wenn dessen Kante gegeben ist. 3. Die Darstellung aller Grenzflächen eines Körpers in einer zusammen¬ hängenden ebenen Figur heißt das Netz des Körpers. Coustruiere das Netz a) eines Prismas, d) einer Pyramide, a) eines Pyramidenstumpfes ä) eines regulären Tetraeders, a) eines Würfels, k) eines regulären Octaeders, §) eines regulären Dodekaeders, ll) eines regulären Ikosaeders, i) eines geraden Cylinders, ic) eines geraden Kegels, I) eines geraden Kegelstumpfes. 4. Um einen gegebenen Mittelpunkt eine Kugel zu beschreiben, welche a) eine Ebene, kr) eine Kugel berührt. 5. Mit einem gegebenen Halbmesser eine Kugel zu beschreiben, welche a) eine Ebene, d) eine Kugel in einem gegebenen Punkte derselben berührt. Aritter Abschnitt. Congrueuz, Symmetrie und Ähnlichkeit der Körper. I. Kongruenz und Symmetrie der Körper. ß. 281. Zwei Körper, welche so in einander gelegt werden können, dass sich alle ihre Grenzflächen decken, heißen congruent. Zwei Körper, welche auf entgegengesetzten Seiten einer Ebene in eine solche Lage gebracht werden können, dass die Verbindungsstrecke je zweier ent¬ sprechender Punkte derselben zu dieser Ebene normal ist und durch sie halbiert wird, heißen symmetrisch (Kß. 69 und 217). Diese Ebene heißt die Sym metralebene. Sowohl in congruenten als in symmetrischen Körpern sind je zwei ent¬ sprechende Strecken (Kanten, Höhen, Diagonalen, Halbmesser, Achsen) gleich, je zwei entsprechende Flächen co'Ngruent und je zwei entsprechende Keile gleich; ISO die entsprechenden Ecken aber sind nur in congruenten Körpern congruent, in symmetrischen dagegen symmetrisch. Um zu einem gegebenen Polyeder ein symmetrisches zu construieren, darf man nur zu einer Ecke des gegebenen Körpers die Scheitelecke bilden nnd von dieser ausgehend einen zweiten Körper construieren, welcher mit dem gegebenen nach der Ordnung gleiche Kantens cougruente Flächen und gleiche Keile hat. Die Ecken der beiden Körper und ebenso die Körper selbst sind dann symmetrisch. Folge sähe, a) Zwei Körper, welche mit einem dritten symmetrisch sind, sind unter einander congruent. ll) Ist von zwei congruenten Körpern der eine mit einem dritten sym¬ metrisch, so ist es auch der andere. ß. 282. Lehrsatz. Sind in zwei Pyramiden die Ecken am Scheitel congruent oder symmetrisch und drei entsprechende Seitenkanten paarweise gleich, so sind auch die Pyramiden be¬ züglich congruent oder symmetrisch. Beweis, a) Bringt mau im ersten Falle die congruenten Ecken zur Deckung, so müssen wegen der Gleichheit der drei entsprechenden Seiten¬ kanten die Ebenen der Grundflächen, und folglich die Grundflächen selbst zusammenfallen. ll) Im zweiten Falle bildet man zu einer der beiden symmetrischen Ecken, etwa an der ersten Pyramide, die Scheitelecke und construiert in dieser eine Pryramide, welche der ersten symmetrisch ist. Dieselbe ist dann (nach a) der zweiten Pyramide congruent; folglich ist auch diese zweite Pyramide der ersten symmetrisch. Z. 283. Lehrsatz. Sind in zwei Prismen zwei Ecken congruent oder symmetrisch, ein Paar Grundflächen congruent und ein Paar Seitenkanten gleich, so sind auch die Prismen bezüglich congruent oder symmetrisch. Beweis, a.) Bringt man im ersten Falle die congruenten Ecken zur Deckung, so decken sich auch zwei cougruente Grundflächen und, wie leicht zu zeigen ist, auch alle Seitenflächen; dann müssen aber auch die beiden anderen Grundflächen zusammenfallen. ll) Sind die Ecken symmetrisch, so wird der Beweis analog wie zu ll) in Z. 282 geführt. Folgesatz. Zwei Parallelepipede sind congruent, wenn in denselben zwei congruente Ecken paarweise gleiche Kanten haben. Z. 284. 1. Zwei Kegel oder zwei Cy linder sind congruent, wenn ihre Grundflächen und ihre Achsen gleich sind und die Achsen mit den Grundflächen gleiche Neigungswinkel bilden. 2. Zwei Kugeln sind congruent, wenn ihre Halbmesser gleich sind. 151 Die Beweise dieser zwei Sätze durch Deckung. Bei den Kegeln, Cylindern und Kugeln fällt die Symmetrie mit der Congruenz zusammen. II. Ähnlichkeit der Körper. tz. 285 Lehrsätze. 1- Werden die Strahlen eines Strahlen¬ büschels im Raume (Fig. 153) vom Scheitel 8 aus in den Punkten K und s, 8 und 5, 0 und o,.. proportioniert geschnitten, so sind in den Körpern L.80D8.. und alloäo.. die entsprechenden durch je drei Schnittpunkte gehenden Schnittflächen einander ähnlich gebildeten Keile paarweise gleich. Beweis. Es sei 8Ä:8a —88:8io — 80 : 8o ^... Aus dieser Voraussetzung folgt unmittelbar ^.8 ul), ÄO uo, 80 llo,.. und 7^.80 ubo, ^.OD uoä,.. (Z. 124 und Z. 227, 2). Dann ist aber auch (nach ß. 227, 3) ^80 ako, ^OD aoch... Liegen vier Punkte Ä, 8, O, I) in einer Ebene, so liegen auch die entsprechenden Punkte u, l>, o, ä in einer Ebene; denn u ko L80I) und uock h Ä808, daher müssen ako und uoä in einer und derselben Ebene liegen. Dann ist auch Ä80D ubock, Ä88L udts,.. (Z. 134, 3). Dass ferner die entsprechenden Keile gleich sind, ergibt sich ans H. 225. Dieselben Beziehungen finden auch statt, wenn voie je zwei entsprechenden Punkten der eine auf einem Strahl des Strahlenbüschels, der andere auf dessen Ergänzung liegt, wie in den Körpern Ä80O8.. und s/ l>' 6 <8 oO.; nur sind dann die entsprechen¬ den Strecken zwischen je zwei Schnittpunkten im entgegengesetzten Sinne parallel. Zusätze, u) Sind Ä, 8, 0, 6 Umfangspunkte eines Kreises, so sind es auch u, l>, o, ä. Der Beweis wird wie in dem Zusatz zu Z. 124, 1 geführt. 5) Liegen die Punkte 8, 0, 8, 8,.. auf der Oberfläche einer Kugel, so liegen auch a, b, o, ä, s,.. auf der Oberfläche einer Kugel. Der Beweis ist analog demjenigen im Zusatz zu Z. 124, 1. 1. Umgekehrt: Zwei Körper, in denen die entsprechenden Schnittflächen nach der Ordnung ähnlich und die entsprechenden Keile paarweise gleich sind, lassen sich immer auf einem Strahlen- büschcl in eine solche Lage bringen, dass ihre entsprechenden Punkte auf denselben Strahlen oder deren Ergänzungen liegen und vom Scheitel proportionierte Abstände haben (Fig. 153). und die von ihnen Fig. 153. 152 Beweis. Die entsprechenden Strecken folgen in beiden Körpern entweder in demselben oder im entgegengesetzten Sinne auseinander. Stellt man im ersten Falle die zwei Körper so gegen einander, dass eine Strecke und zwei sich in ihr schneidende Schnittflächen des einen Körpers der entsprechenden Strecke und den entsprechenden zwei Schnittflächen des andern Körpers paarweise in demselben Sinne parallel sind, so müssen wegen der Ähnlichkeit der Schnittflächen und wegen der Gleichheit der von ihnen gebil¬ deten Keile auch je zwei andere entsprechende Strecken, sowie je zwei andere entsprechende Schnittflächen paarweise in demselben Sinne parallel sein. Haben aber zwei Körper die hier angegebene parallele Lage gegen ein¬ ander, so müssen sich die durch je zwei entsprechende Punkte derselben gezogenen Geraden in einem und demselben Punkte 8 schneiden. Der Beweis wird ebenso wie im Z. 124, 2 geführt. 8J., 88, 80,... sind demnach Strahlen eines Strahlenbüschels, woraus dann (H. 227, 1) folgt: 8^. : 8a 88 : 8d 80 : 8o — . . Im zweiten Falle werden die Körper so gelegt, dass die entsprechenden Strecken und die entsprechenden Schnittflächen beider Körper paarweise im ent¬ gegengesetzten Sinne parallel sind. Der weitere Beweis bleibt sich gleich. tz. 286. Zwei Körper, welche sich auf einem Strahlenbüschel in eine solche Lage bringen lassen, dass ihre entsprechenden Punkte auf denselben Strahlen oder deren Ergänzungen liegen und vom Scheitel proportionierte Abstände haben, heißen ähnlich, und in dieser Lage zugleich perspectivisch liegend. Je zwei entsprechende Punkte heißen homologe Punkte, ebenso auch je zwei entsprechende Strecken, Flächen, Keile und Ecken homologe Strecken, Flächen, Keile und Ecken. In zwei perspectivisch liegenden ähnlichen Körpern sind je zwei homologe Strecken entweder in demselben, oder im entgegengesetzten Sinne parallel. Der Punkt, in welchem sich in zwei perspectivisch liegenden ähnlichen Körpern die durch je zwei entsprechende Punkte gezogenen Geraden schneiden, heißt der Ähulichkeitspunkt der beiden Körper, und zwar ein äußerer oder ein innerer, je nachdem die homologen Punktpaare auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten dieses Punktes liegen. Ist das constante Verhältnis der Abstände des Ähnlichkeitspunktes von zwei homologen Punkten — 1, so sind die ähnlichen Körper zugleich cvn- gruent, wenn ihr Ähnlichkeitspunkt ein äußerer, und syni metrisch, wenn ihr Ähnlichkeitspunkt ein innerer ist. Die Congruenz und die Symmetrie sind demnach nur besondere Fälle der Ähnlichkeit. Folgesätze, a) In zwei ähnlichen Körpern sind die homologen Strecken proportioniert, die homologen Flächen ähnlich und die homologen Keile gleich, von den homologen Ecken aber entweder je zwei congruent, oder je zwei symmetrisch. 153 5) Ist von zwei congruenten oder symmetrischen Körpern der eine einem dritten ähnlich, so ist es auch der andere. Z. 287. Lehrsätze. 1- Wird eine Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so ist die abgeschnittene Pyramide der gegebenen ähnlich. Folgt unmittelbar aus 286. 2. Sind in zwei Pyramiden die Ecken nm Scheitel congruent oder symmetrisch und drei homologe Seitenkanten paarweise proportioniert, so sind die Pyramiden ähnlich (Fig. 154). Beweis, a) Schneidet mau im ersten Falle auf der Kante 84 das Stück 8 s/ — sa ab, und legt durch den Punkt s/ die Ebene h 48 01), so sind die Pyramiden 84,0 und 8a^ ähnlich (nach 1). Die Pyramide 8 s/o' aber ist (Z. 282) mit sao congruent, daher sind auch die Pyramiden 840 nnd 8LL ähnlich. b) Sind die Ecken am Scheitel symme¬ trisch, so cvnstruiere man in der Scheitel- ccke von 8 eine Pyramide, welche mit 84.0 symmetrisch ist. Dieselbe ist dann (nach a) der Pyramide sao ähnlich; somit sind auch die Pyramiden 84.0 und s ac: ähnlich. Z. 288. Lehrsatz. Je zwei ä eine gleiche Anzahl ähnlicher Py, Fig. 155. hnliche Polyeder lassen sich in mmiden zerlegen. Beweis. Es seien (Fig. 155) die Polyeder 4. HL und ads ähn¬ lich und zugleich auch perspektivisch liegend. Denkt man sich durch ein Paar homologer Punkte die Geraden 4a und Lio, und von ihrem Schnitt¬ punkte 8, welcher der Ähnlichkeits¬ punkt der beiden Polyeder ist, zu einem Punkte O im Innern des Polyeders 4.LL einen Strahl 80 gezogen, so ist, wenn 80 : 8o — 84 : 8 a ist, o der homologe Punkt im Innern des Polyeders alos. Legt man nun durch 0 und o und die Kanten beider Polyeder Ebenen, so werden dadurch die Polyeder in so viele Pyramiden zerlegt, als sie Grenz¬ flächen haben. Diese Pyramiden aber sind nach 8- 285 paarweise ähnlich. Z. 289. 1. Zwei Kegel oder zwei Cylinder sind ähnlich, wenn ihre Achsen den Durchmessern ihrer Grundflächen proportioniert sind und mit den letzteren gleiche Neigungswinkel bilden. 154 2. Je zwei Kugeln sind ähnlich und zugleich perspektivisch liegend. Zwei Kugeln haben einen äußeren und einen inneren Ähnlichkeits¬ punkt, ebenso äußere und innere Ähnlichkeitsstrahlen (Z. 142). Vierter Abschnitt. (Hröstenbeftimmung der Körper. tz. 290. Bei der Ausmessung der Körper kommt die Bestimmung der Oberfläche und des Cubikinhaltes oder Volumens derselben in Betracht. Die Oberfläche eines Körpers erhält man, indem man alle Grenz¬ flächen berechnet und die erhaltenen Flächeninhalte derselben addiert. Um das Volumen eines Körpers, d. i. die Größe des von seinen Grenzflächen cingeschlossenen Raumes zu bestimmen, untersucht man, wie viel¬ mal ein als Einheit angenommener Körper in dem gegebenen enthalten ist. Als Einheit des Körpermaßes wird ein Cubus angenommen, dessen Kante der Längeneinheit gleich ist, und der für das Metermaß bezüglich ein Cubi km et er (m^), ein Cubikdecimeter (Äm^), ... heißt. 1 — igoo L 1000 sm » 1000 mm Als Hohlmaß heißt das Cubikdecimeter Liter; 100 Liter — 1 Hektoliter. Zwei Körper, welche gleiches Volumen haben, heißen inhaltsgleich. I. Ausmessung eöenssächiger Körper. 1. Das Prisma. Oberfläche eines Prismas. Z. 291. Die Oberfläche o eines Prismas wird erhalten, indem man die Seitenflächen als Parallelogramme bestimmt und zu der dadurch erhaltenen Seitenoberfläche s den doppelten Flächeninhalt k> der Grund¬ fläche addiert; also o — 8 -st 25. Die Seitenoberfläche eines geraden Prismas ist einem Rechtecke gleich, welches den Umfang der Grundfläche zur Grund¬ linie und die Höhe des Prismas zur Höhe hat. Jnhaltsgleichheit der Prismen. tz.292. Lehrsatz. Jedes Parallelepiped ist inhaltsglcich einem rechtwinkligen Parallelepiped, welches mit ihm gleiche Grund¬ fläche und gleiche Höhe hat. Beweis. 1. Zunächst lässt sich jedes schiefe Parallelepiped in ein inhalts¬ gleiches gerades Parallelepiped über derselben Grundfläche und von gleicher Höhe verwandeln. Stehen in dem Parallelepiped Asti (Fig. 156) die gegen¬ überliegenden Seitenflächen Ast und vstl auf der Grundfläche Ast! schief, 155 so errichte mau auf dieser in den Kanten Till und 08 normale Ebe¬ nen und erweitere die beiden anderen Seitenflächen 88 und Öl' und die obere Grundfläche 86 so weit, dass sic mit jenen Ebenen das Parallel¬ es; iped 7I6' begrenzen, in welchem zwei Seitenflächen auf der Grund¬ fläche normal stehen. Die beiden Parallelepipede sind inhaltsgleich; denn die zwei dreiseitigen Prismen 7188'888' und 1)88'0(16' sind congruent (tz. 283); nimmt man daher abwechselnd das eine und das andere von dem prismatischen Körper 7186'8806'8 weg, so müssen die Reste, d. i. die Parallelepipede )16 und 716' gleich sein. — Sind in dem gegebenen Parallelepiped 716 auch die Seitenflächen 68 und 08 auf der Grundfläche 710 schief, daher auch in dem inhaltsgleichen Parallelepiped 716' die Seitenflächen 88' und 08', so können ebenso diese letzteren, ohne das Volumen des Körpers zu ändern, durch die auf der Grundfläche normalen Seitenflächen 88 und 00 ersetzt werden, wodurch man das inhaltsgleiche gerade Parallelepiped 71N erhält. 2. Ferner lässt sich jedes gerade Parallelepiped 7lN (Fig. 157), dessen Grundfläche 710 nicht rechtwinklig ist, in ein rechtwinkliges Parallelepiped von gleicher Grundfläche und derselben Höhe verwandeln, indem man durch die Kanten ^8 und 80 Ebenen legt, welche zur Seitenfläche 710 normal sind. Die beiden Parallelepipede 7lN und sind inhaltsgleich, da die dreiseitigen Prismen 8 O O O N 4. und 8 zwei Ebenen, welche zu den Kanten des Parallelepipcds 716 normal sind, so ist 7180N8808 ein gerades Parallelepiped, das (nach 1) durch den Diagonalschnitt 71800 in zwei gleiche Prismen 710N808 und 7180880 getheilt wird. 156 Man denke sich nun die vierseitige Pyramide LOO-Hk so verschoben, dass ihre Seitenfläche LO? die mit ihr congruente Seitenfläche ^ON der vierseitigen Pyramide J.O6VN deckt; dann fallen auch die zu diesen Seitenflächen normalen Kanten 06- und O6, kll und NO, folglich auch die übrigen Kanten zusammen. Die Pyra¬ miden OOOOO und ^OOON sind dem¬ nach congruent; es muss daher auch OOOOk si- J.6VL08 ^O6ON fl- ^6VL0?, d. i. Prisma J6OOOO — ^.ONOOk sein. Ebenso folgt, dass das Prisma O — J-LiOONO ist. Da nun die Prismen ^ONLOO und inhaltsgleich sind, so sind es auch die Prismen J.6VO6iO und J.80OOO. Folgesätze, a) Jedes dreiseitige Prisma ist gleich einem rechtwinkligen Parallelepiped, welches mit ihm gleiche Grundfläche und gleiche Höhe hat. 6) Jedes vielseitige Prisma ist gleich einem rechtwinkligen Parallelepiped, welches mit ihm gleiche Grundflächen und gleiche Höhe hat (Z. 245, Folg.). e) Prismen mit gleichen Grundflächen und gleichen Höhen sind inhaltsgleich. Volumsverhältnisse der Parallelepipede. tz. 294. Lehrsatz. Die Volumina zweier rechtwinkliger Pa- über derselben Grundfläche verhalten sich wie Beweis. Es seien (Fig. 159) die Höhen und der rechtwinkligen Parallelepipede J.O und kom¬ mensurabel, das gemeinsame Maß derselben und folglich -- m: n. Theilt man in n gleiche Theile, von denen m enthält, und legt durch jeden Theilungspunkt eine mit der Grundfläche parallele Ebene, so ist auch Parallel¬ epiped daher : J.N — na: n, und folglich ^(1: : ^.Li. Höhen LL und incommensnrabel, so folgt aus Z. 115, dass die obige Proportion auch für diesen Fall Giltigkeit hat. H. 295. Lehrsatz. Die Volumina zweier rechtwinkliger Pa¬ rallelepipede von gleicher Höhe verhalten sich wie ihre Grund¬ flächen. Beweis. Es seien O und p zwei rechtwinklige Parallelepipede, und zwar in 8..J. und 8 die Seiten der Grundfläche O, und ll die Höhe, ,, p>.. a ,, 6 ,, ,, „ ,, A, ,, ll ,, „ , ferner seien in einem dritten rechtwinkligen Parallelepiped I"..a und 8 die Seiten der Grundfläche, und I, die Höhe. Fig. 158. 157 In den Parallelepipeden k und k" kann man das Rechteck mit den Seiten L und ll als die gemeinsame Grundfläche betrachten; dann sind und s, ihre Höhen, und inan hat nach 8- 294 ? : k'--. : a. Ebenso erhält man k" : p —8:5. Durch Multiplication dieser Proportionen ergibt sich R: p — : a.l>. Allein ^.11 : a.5 — 6l: § (8- 160); daher k : p -- d : x. 8- 296. Lehrsatz. Die Volumina je zweier rechtwinkliger Parallelepipede verhalten sich wie die Producte aus den Ma߬ zahlen ihrer Grundflächen und Höhen. Beweis. Es seien 6- und A die Maßzahlen der Grundflächen, U und I> die Maßzahlen der Höhen zweier rechtwinkliger Parallelepipede k und p; ferner sei 1" ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche die Maß- zahl A und dessen Höhe die Maßzahl N hat. Dann ist ? : k'-. O : § (8. 295), : p II : Ir (8- 294), daher durch Multiplieation ? : p — 6l.H: K.b. Dieser Satz wird gewöhnlich so ausgedrückt: Die Volumina je zweier rechtwinkliger Parallelepipede verhalten sich wie die Producte ihrer Grundflächen und Höhen. Wenn im folgenden von Producten aus Flächen und Linien die Rede ist, so sind immer nur die Maßzahlen derselben zu verstehen. Bestimmung des Volumens der Prismen. 8- 297. Lehrsatz. Das Volumen eines rechtwinkligen Parallelcpipeds ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. Beweis. Es sei ? ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grund¬ fläche <4 die Seiten a und I> hat, und dessen Höhe v ist; ferner sei rv die Einheit des Körpermaßes, d. i. ein Cubus, dessen Grundfläche Z die Einheit des Flächenmaßes und dessen Höhe in die Einheit des Längenmaßes ist. Nach 8- 296 hat man dann ? — s.e — 6l e w A.IU A iu' wo die Maßzahl für das Volumen des Parallelcpipeds, die Maßzahl der Grundfläche 6l, und die Maßzahl der Höhe o ist. Da (nach 8- 160) - ist auch ; IN. NI IN IN ' , 1 IN IN IN d. i. das Volumen eines rechtwinkligen Parnllepipeds ist gleich 158 dem Producte aus drei zusammenstoßenden Kanten (Länge, Breite und Höhe). Z. 298. Lehrsatz. Das Volumen eines Cubus ist gleich der dritten Potenz einer Kante (K. 297). Bezeichnen V und v die Volumina zweier Würfel, deren Kanten 8 und s sind, so hat man V — 8^ und v — 8^, daher V : v — 8° : 8°; d. h. die Volumina zweier Würfel verhalten sich wie die dritten Potenzen zweier Kanten. A. 299. Das Volumen eines jeden Prismas ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. Folgt aus Z. 297 mit Zuziehung des K. 293 a) und d). 2. Die Pyramide und das Prismatoid. Oberfläche und Volumen einer Pyramide. Z. 300. Um die Oberfläche o einer Pyramide zu erhalten, be¬ rechnet man die Seitenflächen als Dreiecke, ihre Summe gibt die Seitcn- oberfläche s; dazu addiert inan noch den Flächeninhalt d der Grundfläche; also o — 8 -st st. 1. Die Seitenoberfläche einer regulären Pyramide ist einem Dreiecke gleich, welches den Umfang der Grundfläche zur Grund¬ linie und die Seitenhöhe der Pyramide zur Höhe hat. 2. Die Oberflächen zweier ähnlichen Pyramiden (allgemein zweier ähnlichen Polyeder) verhalten sich wie die Quadrate ihrer homologen Kanten. Denn je zwei homologe Grundflächen sind ähnlich (tz. 286), sie ver¬ halten sich also wie die Quadrate ihrer homologen Seiten; dasselbe Verhältnis muss daher auch zwischen den Summen aller Grenzflächen in beiden Körpern stattfinden. Z. 301. Lehrsatz. Zwei Pyramiden, welche gleiche Grund¬ flächen und gleiche Höhe haben, sind inhaltsgleich (Fig. 160). Beweis. Es seien die Grundflächen und der beiden Pyramiden 8^cLO und 8'^/IULll gleich und in derselben Ebene, und die Scheitel 8 und 8^ in einer mit dieser parallelen Ebene gelegen. Theilt man in beiden Pyramiden die Höhen in n gleiche Theile und legt durch die Thei- lungspunkte zu den Grundflächen parallele Ebenen, so sind je zwei in gleicher Höhe geführte Schnitt¬ flächen, wie I)Ll? und gleich (Z. 241, 2). 159 Coustruiert inan nun zu jedem zwischen zwei solchen Schnitten liegenden Stücke der Pyramiden ein äußeres und ein inneres Prisma, deren erstes die untere, deren zweites die obere Grundfläche des Pyramidenstückes zur Grund¬ fläche hat, wie zu VOODOO die Prismen ^LOVLD und J.KKOLO, so sind (tz. 293, e) je zwei gleichliegende äußere Prismen, und ebenso je zwei gleichliegende innere Prismen gleich. Es werden daher auch die Summen aller äußeren und ebenso die Summen aller inneren Prismen in beiden Pyramiden gleich sein. Heißt nun I. die erste und die letztere Summe, k der Inhalt der Pyramide 8^L0 und k" der Inhalt der Pyramide 8^JD(D, so ist L > k > 3 »mb > k' > ck. Ferner ist jedes äußere Prisma einer jeden Pyramide gleich dem nächst¬ unteren inneren Prisma, daher die Differenz I. — 4 gleich dem untersten äußeren Prisma ^4 LOO KD, welches sich, da u beliebig groß angenommen werden kann, kleiner machen lässt, als jede noch so kleine constantc Größe. k und k' sind also Grenzwerte derselben veränderlichen Größen und ll, die einander beliebig genähert werden können, und mithin einander gleich. tz. 302. Lehrsatz. Jedes dreiseitige Prisma kann in drei inhaltsgleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt werden (Fig. 161). 101 Beweis. Legt man durch die Punkte L., O und 0 des dreiseitigen Prismas ^LOOOO eine Ebene, so zerfällt /1^ dadurch das Prisma iu eine dreiseitige Pyramide O^LO / -s und eine vierseitige O^OOO. Diese letztere wird, wenn man i / i , s durch die Punkte 0, O und O eine Ebene legt, wieder in zwei I / HI dreiseitige Pyramiden O 1.0O und OOOO getheilt. Das ganze Prisma besteht demnach aus drei dreiseitigen Pyra- miden L O O, LOOK und L L 0, von denen die erste der zweiten und diese der dritten inhaltsgleich ist (H. 301). Folgesätze, a) Jede dreiseitige Pyramide ist der dritte Theil eines dreiseitigen Prismas von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. l>) Jede vielseitige Pyramide ist der dritte Theil eines Prismas von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe (tz. 241, Folgesatz). tz. 303. Lehrsatz. Das Volumen einer Pyramide ist gleich dem dritten Theile des Productes aus der Grundfläche und der Höhe. Folgt aus Z. 302 a) und l>) und Z. 299. Z. 304. Lehrsatz. Die Volumina zweier ähnlichen Pyramiden verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer homologen Kanten. Beweis. Es seien k nnd p zwei ähnliche Pyramiden, 6l und g ihre Grundflächen, O und Ii ihre Höhen, und und a zwei homologe Kanten. Man hat ?:.,g — O.O: Z.ll. 160 Nun sind die Grundflächen 6- und § ähnlich und die Höhen 8 und I» zwei homologen Kanten und a proportioniert, daher 6l: 8 — «„p U : si : g, Multipliciert mau diese beiden Proportionen, so ergibt sich 6l. H : K. : 8.3, rmi) folglich auch k : x> — ^.3: Allgemein: Die Volumina je zweier ähnlichen Polyeder verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer homologen Kanten (Z. 288). Z. 305. Lehrsatz. Ein schief a b ge s ch n itt e n e s dreiseitiges Prisma ist gleich der Summe dreier Pyramiden, deren gemein¬ same Grundfläche die Grundfläche des Prismas ist und deren Scheitel die Eckpunkte des schiefen Durchschnittes sind (Fig. 162). Beweis. Legt man durch die Punkte L, 0 eine Ebene, ferner durch O, L, O eine zweite Ebene, so zerfällt das schief abgeschnittene Prisma ^13 01)88 in drei Pyramiden L^.86, LF.0V und 8 61)8. Die Pyramide hat ^86 zur Grund¬ fläche und ihren Scheitel in 8. Ferner ist, wenn man durch die Punkte 8, O, I) eine Ebene legt, nach tz. 301 die Pyramide gleich der Pyramide 8^0O, in welcher mau auch ^80 als Grundfläche und I) als Scheitel betrachten kann. Ebenso ist, wenn man durch die Punkte 8, § eine Ebene legt, die Pyramide 80 88 gleich der Pyramide 8^08, in welcher man ^80 als Grundfläche und 8 als Scheitel ansehen kann. Oberfläche und Volumen eines Pyramidenstnmpfes. ß. 306. Die Oberfläche o eines Pyramidenstumpfes wird erhalten, indem man die Summe s aller Seitenflächen, welche Trapeze sind, bestimmt und die beiden Grundflächen 8 und 6 dazu addiert; also o — 8 -j- 8 -s- 6. Die Seitenoberfläche eines regulären Pyramidenstumpfes ist gleich dem Producte aus dem Umfange des mittleren Durch¬ schnittes nnd der Seitenhöhe. Denn halbiert man eine Seitenkante und legt durch den Halbierungspunkt eine mit der Grundfläche parallele Ebene, so halbiert diese auch die übrigen Seitenkanten und man erhält als den mittleren Durchschnitt ein reguläres Vieleck. Durch Zuziehung des Zusatzes zu Z. 165, 3, 6) ergibt sich dann sogleich die Richtigkeit des obigen Satzes. tz. 307. Lehrsatz. Das Volumen eines Pyramidenstumpfes ist gleich dem Volumen dreier Pyramiden, welche die beiden Grund¬ flächen und ihr geometrisches Mittel zu Grundflächen und die Höhe des Stumpfes zur Höhe haben. Fig. 162. 161 Beweis. Ergänzt man den Pyramidenstumpf ^.861) ustoä (Fig. 163) Fig. 163. zur ganzen Pyramide, so ist das Volumen desselben V Pyr. 8^KOV - Pyr. Ladeä. Bezeichnen 8 und lo die Grundflächen, y die Höhe p?, ^// i und x die noch unbekannte Höhe 8p, so hat man /NTv P,,. 8LN6VPyr. 8db°ad»h,r )? Zur Bestimmung von x hat man (Z. 241, 1) die Proportion: 8 : 6 -r- (st st- x)": xst oder st"8 : f/st (st -st x): x. Daraus folgt x — und somit 1 3 (f/s^lžb) (8 - st) -g- -st g st- 1/d) r- (8 -st f/8st stst st). Bolnmcn eines PriSmatoids. und des doppelten Mittelschnittes mit der Höhe Beweis. Es seien L und i> die Grundflächen, l> die Höhe, Ll der Mittelschnitt abeäslg (A. 247) und V das Vo¬ lumen des Prismatoids. Legt man durch irgend einen Punkt 0 des Mittelschnittes und durch die Kanten des Prismatoids Ebenen, so zerfällt dieses in Pyramiden, von denen zwei die Grundflächen des Prismatoids zu Grundflächen und dessen halbe Höhe zur Höhe haben. Der Inhalt dieser zwei Pyramiden ist Die übrigen Pyramiden haben ihren Scheitel in O und zu Grundflächen die Seitenflächen des Prismatoids. Non jeder dieser Pyramiden, z. B. von OLL bl, wird durch den Mittel¬ schnitt eine kleinere Pyramide Oabbl abgeschnitten, die mit ihr den Scheitel O und daher auch die Höhe gemeinsam hat; ihre Volumina verhalten sich daher wie die Grundflächen LLbl und ab bl (H. 303); wegen Lbl —2abl ist LLbl — 4 abbl (Z. 162), daher auch Pyr. OLLbl — 4Oabbl; nun ist die Pyr. Oabbl, wenn mau Oab als Grundfläche und bl als Scheitel annimmt, gleich Oab. folglich Pyr. H. 308. Lehrsatz. Das Volumen e ines Prismatoids ist gleich dem dritten Theile des Produktes aus der Summe des arithmetischen Mittels der beiden Grundflächen (Fig. 164). Fig. 164. OL Lbl — 4 . Oab . -X- Ebenso erhält man Pyr. OLblL — 4 . Obe . somit als 6 d Inhalt aller dieser Pyramiden 4 . (Oab -st Obe-st Oeä-st — 411 . 211 . Moonik, Geometrie. 11 162 Mithin ist V --- si- 2»l^ . Zusatz. Die Anwendung dieser Formel auf das Prisma, die Pyramide und den Pyramidenstumpf führt auf die bekannten Sätze über den Inhalt dieser Körper. 3. Reguläre Polyeder. Z. 309. 1. Die Oberfläche eines regulären Polyeders wird erhalten, indem man eine Seitenfläche als ein reguläres Vieleck bestimmt und den Flächeninhalt mit der Zahl der Seitenflächen multipliciert. 2. Das Volumen eines regulären Polyeders ist gleich dem dritten Theile des Productes aus der Oberfläche desselben und dem Halbmesser der dem Polyeder eingeschriebenen Kugel. Der Beweis ergibt sich aus W. 252 und 303. H. Ausmessung krummffächiger Körper. 1. Der Kegel. Oberfläche und Bolumcu eines Kegels. tz. 310. Wird der Grundfläche eines Kegels ein reguläres Vieleck ein- odcr umgeschrieben und dasselbe als Grundfläche einer Pyramide angenommen, deren Scheitel der Scheitel des Kegels ist, so heißt diese Pyramide dem Kegel bezüglich eingeschrieben oder umgeschrieben. Die Seitenkanten der eingeschriebenen Pyramide sind Seiten, die Seiten¬ flächen der umgeschriebenen Pyramide sind Berührungsebenen des Kegels. Fehusüsir. 1- Die Mantelfläche eines geraden Kegels liegt für jede Seitenanzahl der ihm ein- und der ihm umgeschriebenen Pyramide zwischen den Seitenoberflächen dieser Pyramiden. Beweis. Beschreibt man in einen geraden Kegel fortgesetzt Pyramiden von immer größerer Seitenanzahl, so wächst, da mit der Seitenanzahl sowohl die Grundfläche als die Seitenhöhe der Pyramiden zunimmt, fortwährend auch die Seitenoberfläche derselben (K. 300), ohne jedoch bei diesem Wachsen je mit der Mantelfläche des Kegels zusammenfallen zu können, da die Seitenflächen der Pyramiden stets innerhalb des Kegels liegen. Beschreibt man um einen geraden Kegel fortgesetzt Pyramiden von immer größerer Seitenanzahl, so nimmt die Seitenoberfläche derselben fortwährend ab, kann jedoch bei diesem Abnehmen ebenfalls nie mit der Mantelfläche des Kegels zusammenfallen, da die Seitenflächen der Pyramiden als Berührungs¬ ebenen des Kegels stets außerhalb desselben liegen. 2. Der Unterschied zwischen den Seitenoberflächen der einem geraden Kegel um- und der ihm eingeschriebenen Pyramide wird bei fortgesetzt wachsender Seitenanzahl unendlich klein. 163 Beweis. Sind 8» und s„ die Seitenoberflächen der um- und der ein¬ geschriebenen Q-seitigen Pyramide, II und u die Umfänge ihrer Grundflächen, 8 und ll ihre Seitenhöhen, so ist 8° — 88 und 80 — ub, daher 8„ — (88 - ulr) — (8 - u) 8 -s- (8 — ll) u. Wächst nun n ohne Ende, so nähert sich 8 — n der Null (tz. 178, 2); ebenso nähert sich ll dem Grenzwerte 8, daher 8 — ll der Null; mithin wird 8u — s» unendlich klein, wenn n unendlich groß wird. ß. 311. Lehrsätze. 1- Der Kegel ist größer als irgend eine ihm eingeschriebene, und kleiner als irgend eine ihm umgeschriebene Pyramide. Denn die eingeschriebene Pyramide ist ein Theil des Kegels und dieser wieder ein Theil der umgeschriebenen Pyramide. 2. Der Unterschied zwischen den Volumina der irgend einem Kegel um- und der ihm eingeschriebenen Pyramide wird bei fort¬ gesetzt wachsender Seitenanzahl unendlich klein. Beweis. Sind und v„ die Volumina der um- und der ein¬ geschriebenen Q-seitigen Pyramide, 8 und b ihre Grundflächen, und U ihre gemeinsame Höhe, so ist V. — -- z (S - k). In Mit dem Wachsen von n nimmt nun 11 — 1) unendlich ab (Z. 179, 2), daher wird auch V« — v,, unendlich klein. Z. 312. Die Sätze in W. 310 und 311 führen auf folgende De¬ finitionen : Die Mnntclobcrflächc eines geraden Kegels ist der gemeinsame Grenzwert der Seitenoberflächen der dem Kegel ein- und umgeschriebenen Pyramiden mit wachsender Seitcnanzahl; das Volumen eines Kegels ist der gemeinsame Grenzwert der Volumina der dem Kegel ein- und umgeschriebenen Pyramiden mit wachsender Seitenanzahl. ß. 313. Lehrsatz. Die Manteloberfläche eines geraden Kegels ist gleich dem halben Producte aus dem Umfange der Grund¬ fläche und der Seite. Folgt aus W. 312 und 300, 1. Ist r der Halbmesser der Grundfläche eines geraden Kegels und s dessen Seite, so ist die Mantelvberfläche m — 2rn— r8-r; mithin die Gesammt- oberfläche o — r"-r -s- rs -r — (r -s- s) rn. Für den gleichseitigen Kegel hat man s — 2r, daher o — 3r^-r. Z. 314. Lehrsatz. Das Volumen eines Kegels ist gleich dem dritten Theile des Prvductcs aus der Grundfläche und der Höhe. Folgt nach dem Grenzbegrisfe aus Z. 303. 164 Ist r der Halbmesser der Grundfläche und st die Höhe eines Kegels, so ist das Volumen v — Ist der Kegel ein gerader und s die Seite, so ist st — daher v — — r . Für den gleichseitigen Kegel hat man s — 2 r, folglich v — f/3. Ausast. Die Volumina ähnlicher Kegel verhalten sich wie die dritten Potenzen der Halbmesser ihrer Grundflächen. Denn die Höhen verhalten sich wie die Halbmesser der Grundflächen (Z. 286, a). Oberfläche und Volumen eines Kcgelstnmpfes. tz. 315. Frhusah. Die Manteloberfläche eines geraden Kegel-- stumpfes ist gleich den: Producte aus dem Umfange des mittleren Schnittkreises und der Seite. Folgt nach dem Grenzbegriffe aus Z. 306. Sind U und r die Halbmesser des geraden Kegelstumpfes und s dessen Seite, so ist, da der mittlere Schnittkreis den Halbmesser hat, die Mantel¬ oberfläche in — (U -st r) n. 8, und die Gesammtoberfläche o — -st r" -st (k -st r) sj. ?r. tz. 316. Frhrsast. Das Volumen eines Kegelstumpfes ist gleich dem Volumen dreier Kegel, welche die beiden Grundflächen und ihr geometrisches Mittel zu Grundflächen und die Höhe des Stumpfes zur Höhe haben. Folgt aus Z. 307. Bezeichnen k und r bezüglich die Halbmesser der beiden Grundflächen und ii die Höhe des Kegelstumpfes, so ist das Volumen v — -st i-2-r -st Urir). 2. Der Cy linder. tz. 317. Wird der Grundfläche eines Cylinders ein reguläres Vieleck ein- oder umgeschrieben und dasselbe als Grundfläche eines Prismas an¬ genommen, dessen Seiten parallel und gleich sind der Achse des Cylinders, so heißt dieses Prisma dem Cylindcr ein- oder umgeschrieben. Die Seitenkanten des eingeschriebenen Prismas sind Seiten, die Seiten¬ flächen des umgeschriebenen Prismas sind Berührungsebenen des Cylinders. Durch analoge Schlussfolgerungen, wie in Z. 310, 1 und 2, ergeben sich folgende zwei Lehrsätze: 1. Die Mantelfläche eines geraden Cylinders liegt für jede Seitenanzahl des ihm ein- und des ihm umgeschriebenen Pris¬ mas zwischen den Seitenoberflächen dieser Prismen. 165 2. Der Unterschied zwischen den Seitenoberflächen des einem geraden Cylinder um- nnd des ihm eingeschriebenen Prismas wird bei fortgesetzt wachsender Seitenanzahl unendlich klein. Z. 318. 1. Der Cylinder ist größer als irgend ein ihm ein¬ geschriebenes, und kleiner als irgend ein ihm umgeschriebenes Prisma. 2. Der Unterschied zwischen den Volumina des einem Cylinder um- und des ihm eingeschriebenen Prismas wird bei fortgesetzt wachsender Seitenanzahl unendlich klein. Beweise analog wie zu 1 und 2 in Z. 311. tz. 319. Auf den Sätzen in ZK. 317 und 318 beruhen folgende Er¬ klärungen: Die Mantelvberfläche eines geraden Cylinders ist der gemein¬ same Grenzwert der Seitenoberflächen der dem Cylinder ein- und nmgeschriebenen Prismen mit wachsender Seitenanzahl; das Volumen eines Cylinders ist der gemeinsame Grenzwert der Volumina der dem Cylinder ein- und um¬ geschriebenen Prismen mit wachsender Seitenanzahl. Z. 320. Lehrsatz. Die Manteloberfläche eines geraden Cylin¬ ders ist gleich dem Produkte aus dem Umfange der Grundfläche und der Höhe. Folgt aus W. 319 und 291. Bezeichnet r den Halbmesser der Grundfläche und I: die Höhe, so ist die Manteloberfläche m —2rll^, daher die Gesammtoberfläche o — 2r°-r -s- 2rllrr — 2rir (r -s- ll). Im gleichseitigen Cylinder ist ll— 2r, daher o — 6r^-r. Z. 321. Lehrsatz. Das Volumen eines Cylinders ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. Folgt aus ZZ. 319 und 299. Ist r der Halbmesser der Grundfläche eines Cylinders, so ist der Cubik- inhalt v — Für den gleichseitigen Cylinder hat man ll — 2r, daher v — 2r'n. Zusatz. Die Volumina ähnlicher Cylinder verhalten sich wie die dritten Potenzen der Halbmesser ihrer Grundflächen (Z. 286, a). 3. Rotationsflächen und Rotationskörper. Z. 322. Dreht sich eine gerade, gebrochene oder krumme Linie oder eine ebene Figur um eine feste Gerade, so beschreibt während einer vollen Umdre¬ hung jeder Punkt derselben eine Kreislinie, deren Ebene zu der festen Geraden normal ist. Die feste Gerade heißt die Rotationsachse oder bloß Achse, die durch die Drehung der Linie beschriebene Fläche die Rotationsfläche dieser Linie, und der durch die Drehung der ebenen Figur erzeugte Körper der Rotationskörper dieser Figur. 166 Z. 323. Die Rotationsfläche einer Strecke um eine außer ihr in derselben Ebene liegende Achse ist je nach der Lage dieser Strecke gegen die Achse die Manteloberfläche eines geraden Kegels, eines geraden Kegelstumpfes oder eines geraden Cylinders, oder endlich, wenn die Strecke zur Achse normal ist, die Fläche eines Kreises oder Kreisringes. Dreht sich eine gebrochene Linie um eine außer ihr in derselben Ebene liegende Achse, so ist ihre Rotationsfläche gleich der Summe der Rota¬ tionsflächen aller Strecken, aus denen die gebrochene Linie besteht. Lehrfach. Die Rotationsfläche der Grundlinie eines gleich¬ schenkligen Dreieckes um eine in seiner Ebene durch den Scheitel gehende Achse ist gleich der Mauteloberfläche eines geraden Cylinders, dessen Grundfläche die Dreieckshöhe zum Halbmesser hat und dessen Höhe die Projektion der Grundlinie auf die Achse ist (Fig. 165). Beweis. Nach der Lage der durch den Scheitel 0 gehenden Achse XV gegen das Dreieck X O II unterscheiden wir drei Fälle: I. Es falle XV mit einem Schenkel XO des Dreieckes zusammen; inie XL, die wir durch I? L' 0 ist. 168 II. Liegt die Achse außerhalb des Dreieckes gegen KL convergierend, so verlängere man KL bis zur Begegnung mit der Achse in 0; dann ist Li (KOL) ic (L00) — X (KOO) ^L(L0).40N-L(K0).4ON (Beweis I) — L (KL).40N. III. Ist H KL, so ist der von dem KK^O beschriebene Kegel 4 des von dem Rechtecke KK'ON beschriebenen Cylinders, daher der von dem K 0 AI beschriebene Körper 4 desselben Cylinders. Ebenso folgt, dass der von dem /X I- 0 LI beschriebene Körper 4 des von dem Rechtecke LIU OIU beschriebenen Cylinders ist. Somit hat inan Li (KOL) — 4 Li (KK'L'L) — 4-rON'.KOU. Allein 2w0N.K/IU ist die von der Seite KL beschriebene Rotations¬ fläche: daher Li (K O L) — L (K L). 4 O N. 326. AuS dem Lehrsätze in Z. 325 ergeben sich mit Beziehung auf Z. 324 folgende Sätze: 1. Der Rotationskörper eines Ausschnittes eines regulären Vieleckes um eine durch den Mittelpunkt des Vieleckes gehende Achse ist gleich dem Volumen eines Kegels, der die Rotations¬ fläche der Grundlinie des Ausschnittes zur Grundfläche und den Halbmesser des dem Vielecke eingeschriebenen Kreises zur Höhe hat. 2. Der Rotationskörper eines regulären Halbvieleckes von gerader Seitenanzahl um eine durch zwei entgegengesetzte Eck¬ punkte gehende Achse ist gleich dem Volumen eines Kegels, der die Rotationsfläche des halben Umfanges zur Grundfläche und den Halbmesser des eingeschriebenen Kreises zur Höhe hat. 4. Die Kugel. Oberfläche und Cubikinhalt einer Kugel. Z. 327.' Wird einem Halbkreise ein reguläres Halbvieleck ein- oder umgeschrieben und dasselbe sammt dem Halbkreise um den Durchmesser des letzteren gedreht, so beschreibt der Halbkreis eine Kugel, der halbe Umfang des Vieleckes eine Rotationsfläche und das halbe Vieleck selbst einen Rotationskörper, welche der Kugel bezüglich eingeschrieben oder um¬ geschrieben heißen. Jede solche Rotationsfläche hat mit der Kugelfläche mehrere Parallel¬ kreise gemeinsam; alle übrigen Punkte der eingeschriebenen Rotationsfläche liegen innerhalb, alle übrigen Punkte der umgeschriebenen Rotationsfläche außer¬ halb der Kugelfläche. Lehrsätze. I. Die Kugclfläche liegt für jede Seiteuanzahl der rotierenden Vielecke zwischen der der Kugel ein- und der ihr um¬ geschriebenen Rotationsfläche. 169 Beweis. Beschreibt man in und um eine Kugel Rotationsflächen mit fortgesetzt wachsender Seitenanzahl der rotierenden Vielecke, so werden (H. 324, 2) die eingeschriebenen Rotationsflächen immer größer, die umgeschriebenen immer kleiner, ohne dass jedoch die ersteren bei ihrem Wachsen, die letzteren bei ihrem Abnehmen je mit der Kugelfläche zusammenfallen können, da die eingeschriebene Rotationsfläche stets innerhalb, die umgeschriebene stets außerhalb der Kugel¬ fläche liegt. 2. Der Unterschied zwischen den einer Kugel um- und ein¬ geschriebenen Rotationsflächen wird bei fortgesetzt wachsender Seitenzahl der rotierenden Vielecke unendlich klein. Beweis. Sind und die einer Kugel um- und eingeschriebenen Rotationsflächen zweier 2n-seitiger Vielecke, r und § die Halbmesser der den letzteren eingeschriebenen Kreise, 2R und 2r ihre Rotationsachsen, so hat man nach Z. 324, 2 — 2r-r.2k und k^ — 2§n.2r, daher k°LL — ks° — 4rn (R — 9). Mit dem Wachsen von n nähert sich sowohl L als 9 dem Grenzwerte r, daher die Differenz L,— 9 der Null; mithin wird, da 4r-r constant ist, auch die Differenz unendlich klein, wenn n unendlich groß wird. Z. 328. Frhrflächr. 1. Die Kugel ist größer als irgend ein ihr eingeschriebener, und kleiner als irgend ein ihr nmgeschricbener Rotationskörper. Denn der eingeschriebene Rotationskörper ist ein Theil der Kugel und diese wieder ein Theil des umgeschriebenen Rotationskörpers. 2. Der Unterschied zwischen den Cnbikinhalten des einer Kugel um- und des ihr eingeschriebenen Rotationskörpers wird bei fortgesetzt wachsender Seitenanzahl der rotierenden Vielecke unendlich klein. Beweis unter Beiziehung von Z. 326, 2, analog wie zu Z. 327, 2. tz. 329. Auf den HZ. 327 und 328 beruhen folgende Definitionen: Die Oberfläche einer Kugel ist der gemeinsame Grenzwert der ihr ein- und umgeschricbenen Rotationsflächen mit wachsender Seitenanzahl; das Volumen einer Kugel ist der gemeinsame Grenzwert der Volumina der¬ selben Rotationskörper. H. 330. Frhrsah. Die Oberfläche einer Kugel ist gleich der Manteloberfläche eines geraden Cylinders, der den größten Kugelkreis zur Grundfläche und den Durchmesser zur Höhe hat. Folgt nach dem Grenzbegriffe aus Z. 329 und Z. 324, 2. Ist r die Maßzahl des Kugelhalbmessers, so ist die Oberfläche 0 — 2rrr.2r — 4i'2-r; d. h. die Oberfläche einer Kugel ist gleich dem vierfachen Flächen¬ inhalte eines größten Kug-elkreises. 170 Zusatz. Die Oberflächen zweier Kugeln verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. Denn 0 : o — 4k^sr : 4r^7r — 8^: rX 8- 331. Frtzrsatz. Das Volumen einer Kugel ist gleich dem Volumen eines Kegels, der die Oberfläche der Kngel zur Grund¬ fläche und den Halbmesser zur Höhe hat. Ergibt sich aus ß. 329 und 326, 2. Ist r der Halbmesser, o die Oberfläche und v das Volumen einer Kugel, so ist o — 4i-2-r, daher v — 4r^ir. X — i,-^. Zusatz. Die Volumina zweier Kugeln verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Halbmesser. Denn V - v — -z- r'-r — 8° : rX Flächeninhalt eines sphärischen Zwcierkes und eines sphärischen Dreieckes. 8- 332. Frtzrsatz. Der Flächeninhalt eines sphärischen Zwei¬ eckes ist gleich dem Producte aus dem Flächeninhalte eines größten Kugelkreises und der Verhältniszahl zwischen dem sphärischen Winkel und 90°. Ist k der Flächeninhalt eines sphärischen Zweieckes, dessen sphärischer Winkel m° beträgt, so hat man f: 4r?-r — in ° : 360°, daher 2 M° ggo- 8- 333. Es seien 8, 0 die Winkel des sphärischen Dreieckes ^.80 (Fig. 166), k der Flächeninhalt desselben und r der Kugelhalbniesser. Die sphärischen Dreiecke 4 11 und KOI) bilden Fig. i«6. das Zweieck ^.01)8^, daher ist nach 8. 332 2V8O-f-KOI) - r'7r.^; ebenso ist ^LO^.VOK^r^. °o. ts—V——X--M ^ 7 und wegen VLO — 7e88 (8- 273) ' ^LO 1)L0 -- r^. ->7«/ sEjt durch Addition 2^80 -P (^KO -f- KOI) ^.Ok -tz I)LO) gher 2f -s- 2r^rr — r'er. , und folglich „ z 4- L -l- 6 — 180« r2^8 — u -r . 180° — 180° ' wo s die stets positive Differenz -V-s- 8-f-0 — 180° bedeutet und der sphärische Excess des Dreieckes heißt. 180° Wird die constante Größe — 57 29078° — 200265", d. i. das Gradmaß eines Kreisbogens, dessen Länge dem Halbmesser gleich ist (H. 189, 4), durch o bezeichnet, 171 so nimmt der obige Ausdruck für k folgende Form an: t'—r^X-, d. h. der Flächen¬ inhalt eines sphärischen Dreieckes ist gleich dem Quadrate des Kugelhalb¬ messers multipliciert mit dem Quotienten aus dem sphärischen Excesse und dem Gradmaßc eines mit dem Halbmesser längengleichen Kreisbogens Beispiel. Ist L. — 59° 4' 35», L — 94°'23' 10», 6 — 102° 4' 50», so ist s — 75° 32' 35", 8» — 271955» IoF s» — 5'43 450 lvI y» — 5'31 443 0'12 007 1--- 1-31847 r2. Zusatz. Die Fläche eines sphärischen Dreieckes gilt zugleich als Maß für die Größe des Dreikants, dessen Kugelschnitt es ist (Z. 271). Oberfläche einer Kngelmnhe und einer Kugel, zone 8- 334. Lehrsatz. Die Oberfläche einer Kugelmütze ist gleich der Manteloberfläche eines geraden Cylinders, der den größten Kugelkreis zur Grundfläche und die Höhe der Mütze zur Höhe hat. Folgt nach dem Grenzbegriffe aus A. 324, 1. Fig. 167. Ist (Fig. 167) 0-4. — r der Halbmesser der Kugel und -4k — die Höhe der Kugel- o» uiütze -4k kh so ist die Fläche dieser Mütze N — 2r-r.Ii....1). Für tt und kk — 9 ist 9^ — (2 r — k) tt (Z. 135), also ( / 2rtt — 9? -s- 1^ V / 44 — (9^-tz k') -r..-2). X Ist die Sehne -48—8 gegeben, so folgt X-- aus 2) 44 — 8^.3). 8- 335. Lehrsatz. Die Oberfläche einer Kugclzone ist gleich der Manteloberfläche eines geraden Cylinders, der den größten Kugelkreis zur Grundfläche und die Höhe der Zone zur Höhe hat. Folgt aus Z. 324, 1. Heißt 2 die Fläche der zu dem Bogen k0 (Fig. 167) gehörigen Kugel¬ zone kOO^kh so ist für 0-4 — r und kH — u X — 2rir.g, .1). Sind nebst r die Halbmesser der Grundflächen Lk — 9 und OH — 9^ gegeben, so hat man, da a — 0 k — OH ist, 2 2r-r (sX^X _ ^-—9"). -. -2). Volumen eines Kugelsectors, eines Kugclsegmentes und einer Kngelschichte. K. 336. Lehrsatz. Das Volumen eines Kugelsectors ist gleich dem Volumen eines Kegels, der die Kugelmütze des Sectors zur Grundfläche und den Halbmesser der Kugel zur Höhe hat. 172 Folgt nach deni Grenzbegriffe aus tz. 326, 1. Haben r und 6 die in K. 334 angeführten Bedeutungen, so ist das Volumen v des durch die Rotation des Kreisausschnittes 7^.06 (Fig. 167) erzeugten Kugelsectors v — 2 rIt. 6. — -^-r^ürr. Z. 337. Das Volumen eines Kugelsegmeutes ist, je nachdem dieses kleiner oder größer als die Halbkugel ist, gleich der Differenz oder der Summe der Volumina des entsprechenden Kugelsectors und eines Kegeks, dessen Grundfläche die Grnndsläche des Segmentes, und dessen Höhe der Abstand dieser Grundfläche von dem Kugelmittelpunkte ist. Haben r, y, li die in K. 334 angegebenen Bedeutungen, so hat inan für den Inhalt 8 des zu dem Bogen (Fig. 167) gehörigen Kügel- segmentes LL6' 8 — (i- — ti) rr, oder, da xF — (2r — la) lr ist, 8 — (2r — k) (r — k) sr, oder 8 — (3r — ü) ir. tz. 338. Das Volumen einer Kugelschichte wird als die Diffe¬ renz der Volumina zweier Kugelsegmente berechnet. Haben n, ü die obigen Bedeutungen und ist (Fig. 167) so ist das Volumen s der zu dem Bogen 66 gehörigen Kugelschichte 666'6' 8 z <16? (3r — 16) — I?(3r —ü)s N....1). Ist r, dann die Höhe ? tz — der Schichte nnd der Abstand 0 tz — ä gegeben, jo geht der Ausdruck 1), da IN — r — ä und b — r — » — ä ist, über in 8 — 1 s(r — ä)2 (2r -st ä) — (r — s — 2 -st z2^ — ^2^ oder s — r ^2„.A) st. .3). Die Formel 3) enthält den Satz: Eine Kugelschichte ist gleich dem arithmetischen Mittel aus dem ihr ein- und umgeschriebenen Cylinder, vermehrt nm die der Schichte eingeschriebenen Kugel. 173 III. Söungsaufgaben. Z. 339. Aufgaben über die Messung ebenflächiger Körper. 1. In einem Würfel ist a die Kante, ä die Diagonale, o die Ober¬ fläche, v das Volumen; aus einer dieser Größen die übrigen zu berechnen. Gegeben: 1)»— 1m3Äm3om; 2) ä — 0 755m; 3) o --- 10 cm?; 4) v — 12 - 326391 m». 2. In einem rechtwinkligen Parallelepiped mit quadratischer Grundfläche ist a (3'2cim) eine Grundkante und o (52 - 48 die Ober¬ fläche; man bestimme das Volumen v. 3. Die Oberfläche o und das Volumen v eines rechtwinkligen Parallel- epipeds ans dem Verhältnisse der drei Kanten und ans der Diagonale einer Seitenfläche zu berechnen. Sind x, /, 2 die ungleichen Kanten, und ist x: x: 2 — na: o: x und ä die Diago¬ nale der Seitenfläche, deren Seiten / und 2 sind, so erhält man 0 »rw v. . ä- 0^ -s- ^,2^ n^ -P. 4. Aus dem Volumen V eines rechtwinkligen Parallelepipeds und dem Verhältnisse m : Q : p der drei Kanten die Kanten zu berechnen. 4 a. Aus der Summe der drei Kanten eines rechtwinkligen Parallel¬ epipeds X -s- si- 2 — 8 und aus dem Verhältnisse x: : 2 — m : n : p die Oberfläche und den Inhalt des Parallelepipeds zu berechnen. Spcciell 8 — 74'4 em, x : : 2 — 5 : 4 : 3. 5. Die Höhe eines geraden Prismas ist ll, die Basis desselben ein reguläres Sechseck, dessen Seite a ist; bestimme a) die Oberfläche, b) das Volumen des Prismas. 5 a. Aus einer geraden prismatischen Säule von Holz, deren Grund- fläche ein regelmäßiges Sechseck ist, wird das größte, gerade dreiseitige Prisma gehauen; wie viel beträgt der Abfall, wenn die Grundkante des sechsseitigen Prismas 15em und die Seitenkante Im beträgt? 6. In einem sechsseitigen und einem vierseitigen geraden Prisma mit regulären Grundflächen ist die Höhe ll (4'1c7m) und eine Seite der Grund¬ fläche a (2'1 Am); wie verhalten sich a) die Oberflächen, 5) die Volumina? 6 a. Die Oberfläche und der Inhalt einer geraden prismatischen Säule, deren Grundfläche ein regelmäßiges Achteck ist, aus einer Grundkante a und einer Seitenkante s zu berechnen. 7. In einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist, ist a) a eine Grundkante und 8 eine Seitenkante; io) a eine Grund¬ kante und ll die Höhe; bestimme die Oberfläche 0 und das Volumen -v. 8. Eine Pyramide mit der Höhe ll und dem Volumen v hat zur Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck; wie groß ist eine Grundkante? 174 8 a. Die Oberfläche einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist, beträgt o; wie groß ist eine Grnndkante, wenn die Höhe der Pyramide doppelt so groß wie eine Grundkante ist? 9. Die Oberfläche und den Inhalt einer geraden Pyramide zn finden, in welcher die Höhe b, und a) die Grundfläche ein reguläres Sechseck mit der Seite n ist, d) ein reguläres Achteck mit der Seite a ist. 10. Die Grundfläche einer Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite a; wie groß ist a) die Oberfläche, b) das Volumen, wenn die Seitenkanteu auf einander normal stehen? 11. In einem geraden Pyramidenstumpf ist die Seitenkante s, die Grundflächen sind a) gleichseitige Dreiecke, b) Quadrate, e) reguläre Sechsecke mit den Seiten a, und a»; wie groß ist die Oberfläche und das Volumen? 12. Eine Pyramide, deren Grundfläche d, und deren Höhe b ist, wird in dem Abstande a vom Scheitel durch eine mit der Grundfläche parallele Ebene geschnitten; berechne die Volumina der beiden Theile der Pyramide. 13. In welchem Abstande vom Scheitel einer geraden Pyramide muss man eine mit der Grundfläche parallele Ebene legen, damit sie a.) die Seiten¬ oberfläche, b) die Pyramide selbst in dem Verhältnisse m:n theile? 14. Ein Prismatoid von der Höhe b hat zu Grundflächen zwei congruente gleich¬ seitige Dreiecke, deren Seiten — s jedoch nicht parallel sind; wie groß ist sein Volumen? Der Mittelschnitt ist ein reguläres Sechseck. 15. Ein Sphenisk hat zur Grundfläche ein Trapez mit den Parallelseiten « und l> und der Höhe ü. Die durch a und d gehenden Seitenflächen schneiden sich in einer Kante von der Länge o im Abstande l> von der Grundfläche; die beiden anderen Seitenflächen sind Dreiecke. Bestimme das Volumen v dieses Körpers. v — z Ir k (a P- b -j- e). 16. Aus der Kaute Ä eines regulären Polyeders a) die Oberfläche o, 1>) das Volumen v desselben zu bestimmen. a) Der Inhalt eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Seire a ist, ist — 1/3; daher für das Tetr, o — 1/3, Oct. o — " / 3, Fkos. o — 51/3, Für das Hexaeder ist o — 6 Der Flächeninhalt eines regulären Fünseckes mit der Seite n ist G. 175, Zus.) ^25 10 I/ 5, folglich ist für das Dodekaeder o — 3 j/25 -ß 10i/5. b) Aus 8. 309, 2, und 278, 3, ergibt sich für das «> 3 ^3 Tetr, v — — s/ 2, Oct. v — s/ 2, Hexaed. v — Jkos. V ---^-(3 -1- 1/5), Dodek. v- .^-(15>7 1/5). 17. Die Oberfläche und das Volumen eines regulären Polyeders aus dem Halbmesser n) der eingeschriebenen, k) der umgeschriebenen Kugel zu bestimmen. 175 Z. 340. Aufgaben über die Messung krumm fläch iger Körper. 1. In einem geraden Kegel ist r der Halbmesser der Grundfläche, b. die Höhe, 8 die Seite, m die Manteloberfläche, V das Volumen; man bestimme a) le, s, w, wenn r, v gegeben sind; b) r, b, v, „ s, m „ o) r, m, v, „ Ii, s „ „ Gegeben: 1) r —4 2 n 31. Das Auge eines Beobachters auf der Erdoberfläche übersieht von derselben eine Calotte, welche begrenzt wird durch die Kreislinie, welche die Berührungspunkte der vom Auge nach der Erde gezogenen Tangenten ver¬ bindet. Wie groß ist diese Calotte, wenn ll die Höhe des Auges über der Erdoberfläche und r den Halbmesser der Erde bezeichnet? 2 L « r-s-d ' 32. Wie groß ist die Fläche der Erde, welche man in einer Höhe von 137'88 m übersieht? (r — 858 474 g. Meilen, 1 g. Meile — 7420'44 m). 33. Eine Kugel mit dem Halbmesser r wird durch eine Ebene so ge¬ schnitten, dass sich die Kugelmützen wie m : n verhalten; wie groß sind die Cubikinhalte der zugehörigen Kugelsegmente? 8,-^ -t- 3 n) . und «2 - (3 34. Das Segment einer Kugel vöm Halbmesser r hat ein doppelt so großes Volumen als eine Kugel, welche die Höhe des Segmentes zum Halb¬ messer hat; wie groß ist die Höhe? 35. Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel, welche einem geraden Kegel mit der Höhe ll und dem Halbmesser r eingeschrieben ist? 36. In einem gleichseitigen Cylinder werden eine Kugel und ein gerader Kegel eingeschrieben; wie verhalten sich die Volumina dieser drei Körper? 37. Um eine Kugel werden ein gleichseitiger Cylinder und ein gleichseitiger Kegel beschrieben; wie verhalten sich a) die Oberflächen, d) die Volumina dieser drei Körper? Moönik, Geometrie. 12 178 38. Eine Kugel mit der Oberfläche o soll in einen inhaltsgleichen geraden Cylinder verwandelt werden, dessen Manteloberfläche der Oberfläche der Kugel gleich ist; wie groß ist a) der Halbmesser, b) die Höhe des Cylinders? 39. Einem gleichseitigen Dreiecke ist ein Kreis eingeschrieben; wie ver¬ hält sich die Manteloberfläche des durch Rotation des Dreieckes um eine seiner Höhen beschriebenen Kegels zu der Oberfläche der Kugel, welche bei dieser Drehung durch den Kreis erzeugt wird? 40. Um einen Würfel von der Kante a wird eine Kugel und um diese ein reguläres Tetraeder beschrieben; wie groß ist a) die Oberfläche, b) das Volumen des Tetraeders? 41. Eine Kugel wird durch eine Ebene geschnitten, welche den darauf senkrechten Durchmesser 2U in dem Verhältnisse in: u theilt; auf der Schnitt¬ fläche stehen zwei gerade Kegel, deren Scheitel in der Kugeloberfläche liegen. Wie verhält sich das Volumen dieses Doppelkegels zu dem Volumen der Kugel? 42. Einem geraden Kegel, dessen Grundfläche r zum Halbmesser hat, und dessen Seite s ist, wird eine Kugel eingeschrieben. Wie groß ist a.) der Halbmesser p des Parallelkreises, in welchem die Kugel von der Mantelfläche des Kegels berührt wird, b) das Volumen v des durch diesen Kreis ab¬ geschnittenen Kugelsegmentes? 43. Die Oberfläche einer Kugel ist gleich einer Zone, welche zu einer Kugel vom Radius r gehört und deren Höhe a ist; man bestimme die Ober¬ fläche und das Volumen eines regulären Octaeders, welHem die erstere Kugel eingeschrieben ist. 44. Ein reguläres Tetraeder ist inhaltsgleich mit einer Kugelschichte, die zu einer Kugel vom Halbmesser r gehört und deren Grundflächen von dem Kugelmittelpunkte die Abstände ä und ä/ haben; wie groß ist a) die Oberfläche, b) der Inhalt einer Kugel, welche dem Tetraeder umgeschrieben ist? Dritter Theit. Trigonometrie. Z. 341. Um dic gegenseitige Abhängigkeit der Seiten und der Winkel eines Dreieckes von einander durch Gleichungen darstellen und mittelst dieser aus gegebenen Bestimmungsstücken eines Dreieckes die übrigen Stücke desselben durch Rechnung finden zu können, hat man als Stellvertreter der Winkel die Berhältuiszahlen gewisser Strecken, welche durch die Winkel unzweideutig bestimmt sind, eingeführt. Diese Verhältniszahlen nennt man Functionen der Winkel oder goniometrische, auch trigonometrische Functionen, und die Lehre von den Eigenschaften und gegenseitigen Beziehungen derselben die Goniometrie. Die Anwendung der Winkelfunctionen auf die Berechnung der Dreiecke bildet den Gegenstand der Trigonometrie, und zwar der ebenen oder der sphärischen Trigonometrie, je nachdem sie sich auf die ebenen oder auf die sphärischen Dreiecke bezieht. Erster Abschnitt. Goniometrie. I. Erklärung und Aarstellung der Winkelfunktionen. Z. 342. Zieht man in einer Ebene durch einen Punkt 0 (Fig. 168) zwei zu einander normale Gerade und UL', so theilen diese die unbe¬ grenzte Ebene in vier congruente Theile, welche Quadranten heißen. Dreht sich dann in dieser Ebene von der festen Geraden 0^. aus ein Strahl 0N um den Punkt O in einer bestimmten Richtung, hier nach links, so durchläuft er nach und nach alle Quadranten der Ebene, die nach jener Richtung der Reihe nach der erste, zweite, dritte, vierte Quadrant heißen sollen, und bildet während dieser Drehung mit der-Geraden 0^ alle Winkel von 0° bis 360°. 180 Ein Winkel LOLI,, dessen ein Schenkel OL ist und dessen zweiter Schenkel OLI,, OLk^,... im ersten, zweiten,... Quadranten liegt, wird gewöhnlich in abgekürzter Ausdrucksweise ein Winkel im ersten, zweiten,... Wird in dem Winkel LOLI, von einem Punkte LI, des einen Schenkels zu dem andern Schenkel die Normale LI,?, gezogen, so ist Ok, die Projektion der Strecke OLI, aus die Gerade OL (Z. 158); die Gerade OL heißt dann die Projectionsachse und das rechtwinklige Dreieck LI, ?, 0 ein Projections- dreieck des Winkels LOLI,. Liegt der Winkel im zweiten, dritten, vierten Quadranten, so liegt auch sein Projectionsdreieck in demselben Quadranten. Zieht man von verschiedenen Punkten des einen Schenkels zu dem andern Normale, so entstehen mehrere Projectionsdreiecke, diese sind einander ähnlich und daher sind die Verhältnisse zwischen je zwei Seiten des einen Projections- dreieckes gleich den Verhältnissen zwischen den homologen Seiten jedes andern Dreieckes. Für jeden Winkel gibt es daher zwischen den Seiten seines Pro- jectionsdreieckes unzweideutig bestimmte Verhältnisse, welche einzig nur von der Größe des Winkels abhängen und deshalb Functionen des Winkels heißen. K. 343. Die einzelnen Verhältnisse zwischen den Seiten des Projections- dreiecks eines Winkels haben besondere Namen. Ist LOLI — « (Fig. 168) ein Winkel in einem beliebigen Quadranten, so heißt in dem Projections¬ dreiecke LlkO 1. das Verhältnis der Normale zur Hypotenuse der Sinus des Winkels «, Nk 2. das Verhältnis der Projection zur Hypotenuse der Cosinus dieses 0 Winkels, — oos «; 3. das Verhältnis der Normale zur Projection die Tangente des Winkels «, o — tan§ «; 4. das Verhältnis der Projection zur Normale die Cotaugente dieses Winkels, - - oot«; 5. das Verhältnis der Hypotenuse zur Projection die Secante des ON Wmkets «, — «so «; 6. das Verhältnis der Hypotenuse zur Normale die Co secante dieses Winkels, — 60866 «. Die Namen der Functionen finden in den Zß. 344 und 349 ihrs Erklärung. Quadranten genannt. Fig. 168. IN Aufgaben. 1. Construiere einen Winkel von 60" und sein Projections dreieck, miss die Seiten des letzten und berechne aus diesen durch Division alle sechs Functionen des Winkels. 2. Bestimme ebenso die einzelnen Functionen für a) 30°, 6) 45", o) 7ö". 3. Gegeben ist sin « — construiere mit Hilfe des Projectionsdreieckes den Winkel «. In welchem Quadranten kann « liegen? 4. Construiere ebenso den Winkel «, wenn gegeben ist u) oos « — 4, k>) tauA « — o) oot « — 1, ä) soo « — H, o) oosso « — H. Z. 344. Darstellung der Winkelfunctionen am Kreise. Zieht man (Fig. 169) in einem Kreise, dessen Halbmesser r ist, zwei zu einander normale Durchmesser AA' und 116', so zerthcilen sie den Kreis in vier Quadranten nnd es bildet ein Halbmesser ON, welcher sich von dem festen Halbmesser 0 A aus um 0 in der Richtung nach links durch alle vier Quadranten dreht, nach und nach mit dem festen Halbmesser OA alle um den Punkt 0 möglichen Winkel. a) Ist AON — a einer dieser Winkel, nnd zieht man von dem End¬ punkte N des beweglichen Halbmessers ON auf den festen Halbmesser OA oder auf dessen Verlängerung 0A' die Normale N6, so ist nach tz. 343 Fig. 169. LI? Ll? . . O? O? — - — 8Ill « UNd — -- — 008 «. OLL r OLL r d) Errichtet man ferner in dem Endpunkte A des festen Halbmessers OA auf diesen die Normale A 0, welche den verlängerten beweglichen Halbmesser ON in 0 schneidet, so hat man, da ^OAO cxo 06N ist, Ll? LO LO . ök --öX----^-tanK«und OLl 00 00 ö? ÖL boo er. o) Errichtet man endlich in 6 auf 06 die Normale 61), welche den verlängerten beweglichen Halbmesser ON in I) schneidet, so hat man, da /X 061) N60 ist, 0? 80 81) . VLl OO OO Ll? Oö r LLk OZ r 00860 «. Die Strecken N6, 06, AO, 00, 61) und OO, deren Verhältnisse zu dem Halbmesser r des Kreises die Winkelfunctionen bestimmen, heißen goniometrische Linien, und zwar N? die Sinuslinie*), 06 die Cosinuslinie, AO die Tangentenlinie**), 00 die Secanten- linie***), 6O die Cotangentenlinie und OO die Cosecantenlinie. *) Linus ist wahrscheinlich entstanden aus s. ins.: semissis inserlptas, Hälfte der eingeschriebenen Sehne, denn Ll? ist die Hälfte der Sehne des doppelten Centriwinkels. **) Weil sie Tangente an den Kreis ist. ***) Weil sie den Kreis schneidet. 182 Da die Verhältnisse dieser Linien zu dem Halbmesser nur von der Größe des Winkels « abhängen und für jeden beliebigen Halbmesser dieselben Werte haben, so kann man, ohne die Werte der Winkelfunctionen zn ändern, die Längeneinheit selbst als Halbmesser des Kreises annehmen und somit r — 1 setzen. Dann gehen die obigen Verhältnisse in die folgenden Ausdrücke über: Ak — 8IQ «, ^6 — tauK «, 80 — 6vt «, 0 k — 608 «, 00 — 860 «, oo — 60866 «; wo jedoch unter Ak, Ok, ^0, 00, 80 und 01) nicht die gonivmetrischen Linien, sondern ihre Maßzahlen zu verstehen sind. Die Winkelfunctionen können daher als Maßzahlen der entsprechenden gonivmetrischen Linien am Kreise für den Halbmesser — 1 aufgefasst werden. ß. 345. Vorzeichen der Winkelfunctionen. In den Projectionsdreiecken A, k^ 0, A^ kz 0, A^ k^ O und A« k^ 0 (Fig. 168), welche Winkeln verschiedener Quadranten entsprechen, liegt die Normale bald über, bald unter der Projectionsachse 0^, und die Projection bald rechts, bald links von dem Scheitel 0. Zur genauen Bestimmung der¬ selben muss daher dieser Gegensatz ihrer Lage durch die Vorzeichen des Positiven und Negativen ausgedrückt werden, wodurch dann auch die Winkel¬ functionen der Größe der Winkel entsprechende Vorzeichen erhalten. Man nimmt allgemein die Normalen und Projektionen in derjenigen Lage, welche sie für Winkel im ersten Quadranten haben, also die Normalen über O^, und die Projektionen rechts von 0 als positiv an; die Nor¬ malen unter 0^ und die Projektionen links von 0 müssen dann als negativ angesehen werden. Hiernach ist die Normale für Winkel im 1. und 2. Qadranten positiv, für Winkel im 3. und 4. Quadranten negativ; die Projection für Winkel im 1. und 4. Quadranten positiv, für Winkel im 2. und 3. Quadranten negativ. Für die Vorzeichen der Winkelfunctionen ergeben sich dann aus den Erklärungen im tz. 343, da die Hypotenuse immer absolut (positiv) angenommen wird, folgende Beziehungen: 1. Der Sinus und die Cosecante haben gleiches Vorzeichen mit der Normale des Projectionsdreieckes; sie sind also für Winkel im 1. und 2. Quadranten positiv, im 3. und 4. negativ. 2. Der Cosinus und die Secante haben gleiches Vorzeichen mit der Projection, und sind demnach für Winkel im 1. und 4. Quadranten positiv, im 2. und 3. negativ. 3. Die Tangente und die Cotangentc sind positiv, wenn die Nor¬ male und die Projection gleiche Vorzeichen, und negativ, wenn diese ver¬ schiedene Vorzeichen haben, somit für Winkel im 1. und 3. Quadranten positiv, im 2. und 4. negativ. 183 Zu denselben Ergebnissen gelangt man auch, wenn man die Winkel¬ functionen als Maßzahlen der goniometrischen Linien am Kreise (Fig. 169) auffasst. Die Sinus- und die Tangentenlinie über dem festen Halbmesser 0^ sind positiv, unter demselben negativ. Die Cosinus- und die Cotangentenlinie rechts vom Mittelpunkte 0 sind positiv, links von demselben negativ. Die Secanten- und die Cosecantenlinie sind positiv, wenn sie durch Vorwärtsverlängerung des beweglichen Halbmessers, und negativ, wenn sie durch Rückwärtsverlängerung desselben erhalten werden. H. 346. Zu- und Abnahme der Functionen bei dem Wachsen des Winkels. Ändert sich der Winkel «, so ändern sich auch die zugehörigen gonio¬ metrischen Linien, daher auch ihre Maßzahlen, d. i. die Winkelfunctionen. F.. Größe des Sinus und des Cosinus (Fig. 169). I. Je kleiner der Winkel «, desto kleiner ist auch der Sinus, während sich der Cosinus ohne Ende der Einheit nähert; fallen beide Schenkel zu¬ sammen, so wird sin 0° — 0, eos 0" — -l- 1. Für sehr kleine Winkel ist der Unterschied zwischen dem Bogen und dem Sinus des Winkels um so kleiner, je mehr sich der Winkel der Null nähert, wobei jedoch der Sinus stets kleiner bleibt als der Bogen. 2. Wächst « von 0° bis 90°, so nimmt sin « zu, anfangs rascher, dann langsamer; oos « dagegen nimmt ab, anfangs langsamer, dann rascher; beide sind positiv. Für « — 90° fällt die Sinuslinie mit den: beweglichen Schenkel zusammen, und es ist daher sin 90° — -st 1, eos 90° — 0. 3. Wächst « von 90° bis 180°, so ist der Sinus positiv und abnehmend, der Cosinus dagegen negativ und dem absoluten Werte nach wachsend. Wird « — 180°, so hat man sin 180" — 0, oos 180° — — 1. 4. Während « von 180° bis 270° zunimmt, ist sin « negativ und absolut zunehmend, oos « auch negativ, aber absolut abnehmend; und es wird endlich sin 270° — — 1, oos 270° — 0. 5. Wird « > 270°, aber < 360°, so ist der Sinus negativ und sein absoluter Wert abnehmend, der Cosinus positiv und wachsend. Für « — 360° werden Sinus und Cosinus wieder so groß wie für « — 0°, nämlich sin 360° — 0, oos 360° — -st l. Sinus und Cosinus liegen demnach immer zwischen den Grenzen -st 1 und — 1. L. Größe der Tangente und der See ante (Fig. 169). 1. Je kleiner der Winkel, desto kleiner wird auch die Tangente, während sich die Secante der Einheit nähert; fallen die beiden Schenkel zusammen, so hat man tanA 0° — 0 und sso 0° — -st 1. Ferner: Je kleiner der Winkel, 184 desto kleiner wird auch der Unterschied zwischen dem Bogen und der Tangente des Winkels, wobei jedoch die Tangente stets größer bleibt als der Bogen. 2. Wächst « von 0° bis 90°, so sind tauA « und aso « positiv und zunehmend. Für « — 90° sind Tangente und Secante unendlich groß. 3. Nimmt « über 90° hinaus bis 180° zu, so werden Tangente und Secante negativ und dem absoluten Werte nach abnehmend. Erweicht « die Größe 180°, so wird taux 180° — 0, sso 180° — — 1. 4. Wenn a von 180° bis 270° wächst, nehmen die absoluten Werte der Tangente und Secante zu, und zwar ist die Tangente positiv, die Secante negativ. Für « — 270° sind Tangente und Secante unendlich groß. 5. Wächst « über 270° bis 360°, so nehmen Tangente und Secante absolut ab, die Tangente ist negativ, die Secante positiv, und es wird endlich tanA 360" — 0, so« 360° — -s- 1. Die Tangente kann demnach alle möglichen reellen Werte zwischen — o« und -s- so, die Secante alle Werte zwischen -st 1 und -st so und zwischen — l und — so erhalten. 6. Größe der Cotangente und der Cosecante (Fig. 169). 1. Für sehr kleine Winkel nehmen Cotangente und Cosecante ohne Ende zu und werden beide für « — 0° unendlich groß. 2. Im 1. Quadranten nehmen Cotangente und Cosecante mit dem wach¬ senden Winkel ab, beide sind positiv; oot 90° — 0, oosso 90° — -st 1. 3. Im 2. Quadranten wachsen die absoluten Werte der Cotangente und Cosecante mit dem wachsenden Winkel, bis sie bei 180" unendlich groß werden; die Cotangente ist negativ, die Cosecante positiv. 4. Im 3. Quadranten nehmen Cotangente und Cosecante mit dem wach¬ senden Winkel absolut ab, die Cotangente ist positiv, die Cosecante negativ; vot. 270" — 0, oosso 270° — — 1. 5. Im 4. Quadranten sind Cotangente und Cosecante negativ und dem absoluten Werte nach wachsend; für « — 360" werden beide unendlich groß. Die Cotangente liegt also zwischen den Grenzen — cx> und -st c«, die Cosecante zwischen -st 1 und 4- oo und zwischen — 1 und — oo. Zusähe, a) Eine jede Function hat in den vier einzelnen Quadranten vier gleiche absolute Werte, von denen in Bezug auf die Lage zwei positiv und zwei negativ sind. Während durch einen gegebenen Winkel seine Fuuc- tionen unzweideutig bestimmt sind, entsprechen jeder gegebenen positiven und ebenso jeder gegebenen negativen Function zwei Winkel, welche in verschiedenen Quadranten liegen. lr) Die oben abgeleiteten Ergebnisse lassen sich auch auf Winkel aus¬ dehnen, welche mehr als eine volle Umdrehung betragen; die allgemeine Form solcher Winkel ist n . 360° -st « oder 2nn -st « (tz. 185, 4). Es ist offenbar, dass die Winkelfnnctionen von u. 360" -st « denselben Functionen von « gleich sind. Werden die Winkel in dieser allgemeinen Bedeutung aufgefasst 185 so lässt die Aufgabe, zu einer gegebenen Function den zugehörigen Winkel zu finden, unzählig viele Auflösungen zu, da es, abgesehen von der im Zus. a) hervorgehobenen Zweideutigkeit, unzählig viele um ein Vielfaches von 360° unterschiedene Winkel gibt, für welche die Function denselben Wert hat. II. Beziehungen zwischen den Winkeifunctionen desfeköen Winkels. Z. 347. Da nach den Erklärungen in tz. 343 die Cotangente, die Secante und die Cosecante bezüglich die reciproken Werte der Tangente, des Cosinus und des Sinus sind, so ergibt sich zunächst oot« — -—-—. .. 1) 860«^ —-— ...2) 00860 «— —/ — ...3). Ferner folgt (Fig. 168) aus jenen Definitionen: Llk LH>:0Ll sm« . taug « — —-, und o Ok O? : ON eos «' 0? O? : OA vos« .5. oot « — — - — ! daher ist Ll? Lt? : 0 N sm «' . sm « eos « .. tÄUL « —-....4) oot«—-—....5). In dem Projectionsdreiecke LlkO ist Llk^ -st — ON'. Dividiert man diese Gleichung folgeweise durch OAst 0?^ und Lik" und setzt z. B. siu «' der Kürze wegen für (siu «)^, so erhält man: (öN- söM- E -st vos 1.... 6) " taug «^ 4- 1 — 860 «-.... 7) ' 'l l-steot a^eosso«".... 8). Z. 348. Ist von den Functionen eines Winkels die eine bekannt, so lassen sich aus ihr mittelst der vorhergehenden Gleichungen auch die übrigen bestimmen. Ist z. B. oin « gegeben, so folgt aus der Gleichung 6) 608 « — !/l — 8IU «st Aus 4) und 5) erhält man sodann sm « « egg « 1/ 1 — sm taug a — - — 1 - 7 — s und oot « — -— — - :- o 008 « 1/1 — 8IQ 8IL tt 8LQ « Die Gleichungen 2) und 3) geben endlich 1 8IL« 1 860 « — - — ix; -— -z und 60866 « — -V—-' 608 M z/ 1 - 81N o/ 8IQ 0k Aus dem vorstehend durchgeführtcn Beispiele ersieht man, dass durch eine Function eines Winkels die übrigen Functionen mit Ausnahme jener, deren reciprokcr Wert sie ist, zweideutig bestimmt sind. Aufgaben. 1. Die goniometrischen Functionen des Winkels « sind auszudrücken durch a) oos «, b) taug «, o) oot «, ck) sso «, s) oooso «. 2. Die goniometrischen Functionen sind zu berechnen, wenn a) oiu « — b) 608 « — 1-tf, o) taug « ^1, ä) oot « — s) 860 « — 1) 00860 « — 34 gegeben sind. 186 III. Beziehungen zwischen den Kunclionen von einander abhängiger Winkel. Z. 349. Complementwinkel. Zwei Complementwinkel (Z. 16) können allgemein durch « und 90° — « ausgedrückt werden. Es sei (Fig. 170) 0^. 1, - «, daher L0N 90° — Aus der Figur ergeben sich unmittelbar folgende Beziehungen: siu (90° — cr) — oos «, tau§ (90° — «) — oot «, 86V (90° - «) — L086V «, Fig. 170. oos (90° — «) — siu «; vot (90° — «) — tauA « vosso (90° - «) — 866 «. ... 9). In diesen Formeln finden die Namen oos, oot, oosoo als Abkürzungen von oomplsruouti sinus, o. tauAsus, o. ssoans ihre Erklärung. 6os, oot, oosoo heißen auch Cosunctionen. Die Gleichungen 9 sagen: die Functionen eines Winkels sind gleich den Cosunctionen des complementären Winkels. Zusatz. Da die Seccmte und Cosecante in den logarithmischen Berechnungen nicht angewendet werden, so wollen wir uns in den nachfolgenden Entwicklungen auf den Sinus, Cosinus, die Tangente und Cotangente beschränken. Z. 330. Zwei Winkel, deren Differenz 90° beträgt. Die allgemeine Form zweier solcher Winkel ist cr und 90° -s- «. Ist (Fig. 169) 0^ — 1, L.0N, « und N..N, Z. so ist ^ON, — 90° -s- «. Man hat dann, da M /^Ok^N^ ist, siu (90° -s- «) — — 0?, — oos «, oos (90° -s- «) — — 0?2 — — N, k^ — — siu cc. Nimmt mau « gleich dem stumpfen Winkel an, so ist s^OLlg 90° -s- «, und wegen /^N.kgO M /X 0 k. Lk siu (90° -s- «) — — LIg— — 0 k» — ^os «, oos (90° -s- «) — — Okg — — — — siu «. Setzt man endlich ^.ONg — a, daher — 90° -j- a, so hat man, da /), N^k^O OkzNz ist, siu (90° fi- «) — — k^ — — 0 kg — oos «, oos (90° -s- «) — 0 kj — — Nz kg — — siu o. Es ist daher allgemein für jeden Winkel « siu (90° -j- «) — oos « i . oos (90° -s- «) — -— siu « l Daraus folgt auch tauZ (90° -s- o) — — oot o und oot (90° -s- «) — — tau§ o. 187 Z. 351. Supplementwinkel. .. 11). 608 (180° — «) — - o k, oo8 « — Ok; folglich 008 (180° — «) — — ec>8 «; Zwei Supplementwinkel (Z. 16) werden allgemein durch « und 180° — « bezeichnet. Es sei (Fig. 170) 0^ 1, ^OLI^«, daher ^ON^180° —«r. Daun ist 8in (180° — «) -- LID, 8IU « — LID, 8IN (180°- «) — 8IN «, und daher taug (180° — «) — — taug «, .oot (180° — «) — — oot «; Die Functionen eines Winkels sind gleich denselben Functionen des supplementären Winkels, jedoch mit entgegengesetzten Vorzeichen, mit Ausnahme des Sinns, der dasselbe Vorzeichen behält. Zusatz. Kommen in einer Rechnung nur hohle Winkel in Betracht, so entspricht dem Cosinus, der Tangente oder der Cotangente ein einziger Winkel, und zwar ein spitzer oder sein stumpfer Supplementwinkel, je nachdem die Function positiv oder negativ ist; dagegen wird durch den Sinus, welcher in diesem Falle immer positiv ist, ein Winkel nicht eindeutig bestimmt, da zu demselben Sinus zwei Winkel, ein spitzer und ein stumpfer gehören. tz. 352. Aufgaben. 1. 8in 30° — (K. 49, 7); n) wie groß sind die andern Functionen dieses Winkels, b) wie groß sind die Functionen des Winkels 60°, 120°, 150°? 2. Die Seite eines einem Kreise mit dem Radius 1 eingeschriebenen Zehneckes ist f (f/5 — 1) (Z. 175), daher ist ma 18° — (f-^5 — 1); wie groß sind die Functionen der Winkel 18°, 72°, 108°, 162°? (3 Decimalen genau.) 3. Die Seite eines einem Kreise mit dem Radius 1 eingeschriebenen Fünfeckes ist ^f/10— 2s/5 (Z. 175), daher ist 8ia 36° — f's/'lO —2s/5; wie groß sind die Functionen der Winkel 36°, 54°, 126°, 144°? (3 Dec. genau.) H. 353. Negative Winkel. Werden die Winkel, welche (Fig. 171) durch die Drehung des beweg¬ lichen Schenkels von gegen Ll (nach links) entstehen, als positiv betrachtet, Winkel, welche durch die Drehung des beweglichen Schenkels nach der entgegengesetzten Richtnng von nach LD entstehen, als negativ angesehen werden (Z. 13). Ist daher der Winkel ^OLD — ^.OLI und setzt man — Z- «, so ist ^.OLD — — «. Nimmt man OLI — OLD — 1 an, und zieht von LI und LD zu 0^. Normale, so müssen die dadurch entstehenden Dreiecke congruent sein und daher jene beiden Normalen in demselben Punkte D Zusammentreffen. Da nun so müssen die Fig. 171. 188 ÄlL — siv «, N^L — — sin (— «), und O? — vos « — vos (— «) ist, so folgt sill (- «) — - 8IQ «, 008 (— «) — 008 « daher 12). tanZ (— «) — — tanA «, oot (— «) — — oot n Die Functionen negativer Winkel sind gleich denselben Functionen der positiven Winkel, doch mit entgegengesetzten Vorzeichen, mit Ausnahme des Cosinus, der dasselbe Vorzeichen behält. IV. Amictionen zusammengesetzter Winkel. §. 354. Summe zweier Winkel. Ist (Fig. 172) W. V.0L «, LOO - so ist 7^00 « 4- <1. Zieht man nun LV 4, O^, OL _I OL und Ov 1. O^., so sind LV0, OVO und OVO die Projectionsdreiecke der Winkel «, /1 und « -j- ,1. Ferner- Fig- 172. ist, wenn man V O 4. OVundLII j Ov zieht, VO - VV, — O V1I — Ov und der Winkel LOV, dessen Projectionsdreieck VVO ist, gleich dem Winkel « (Z. 26, 2). Man hat also Nun ist LS LS LS — LS OL 06 — OL ' 06 — 8in « oos /1, oö 6L ' 06 " ^c>8 « siu 00 00 OH I OH . . - 06 ÖL ' 06 6°'« 6»» 06 6L ' 06 ^lu « 8iu /1, daher 8IN (« -s- H — SIU « LOS /8 -s- 008 « 8iu /8. . . 13) 008 (« -s- H — 008 « 608 /8 8111 « 8111 O. . . 14). Hier wurden « und /8, und selbst die Summe « 4- /8 als spitze Winkel vorausgesetzt. Ist die Summe « 4- /8 der spitzen Winkel « und /8 größer als 90°, wie in Figur 173, so bleibt die Be¬ weisführung mit allen ihren Folgerungen die¬ selbe wie oben, mit alleiniger Ausnahme der Vorzeichen, in welchen während der Entwick¬ lung eine Verschiedenheit cintritt, die sich aber in den Endresultaten wieder behebt. Die obigen Formeln gelten also für alle spitzen Winkel « und Fig- 173. Gelten nun die Formeln 13) und 14) für irgend zwei Winkel « und A so gelten sie auch noch, wenn einer derselben um 90° vergrößert wird, wenn z. B. « in c? — 90° 4- « übergeht. Denn 189 sin («^ -st /3) — sin (90" -1- « -st fi) — «os (« -st H (Z- 350), oos («^ -st /3) — ess (90° -j- « -st ^3) — — sin (« -j- /3); somit sin («' -st j3) — vos « vos /3 — sin « sin /3, vos («^ -st /3) — — sin « vos B — vos « sin /3. Nun ist vos « — sin (90° -j- «) (Z. 350) — sin «st sin « — — vos (90° -st «) — — vos daher sin («^ -st H — sin vos /3 -st vos sin /3, vos («" -st /3) — vos o/ vos /3 — sin sin /3. Hieraus folgt aber, dass die Formeln 13) und 14) allgemein giltig sind. Denn da sie für die Summe je zweier spitzer Winkel gelten, so gelten sie auch, wenn einer dieser Winkel um 90° wächst, also gelten sic auch für jede wieder¬ holte Vergrößerung des einen oder des andern Winkels um 90°; folglich sind sie allgemein für die Summe zweier beliebiger Winkel giltig. Da tau" (« -st 8) —-)—st-st(- —--st: - Ist, so erhält man, wenn man den Zähler und den Nenner des letzteren Bruches durch vos « oos /3 dividiert, tan§ (« -st /3) .15). Ebenso findet man . / > eot « oot — 1 , oot (« -st Z) — -. , . „ .16). vot« -st cot st - 8- 355. Doppelte und halbe Winkel. 1. Setzt man in den Formeln 13) bis 16) /3 — so erhält man sin 2« — 2 sin « vos «... 17) eos 2« — oos — sin «°.. 18), tanA 2 « .19) oot 2 « .20). o I — tan§ 2 eor ce aus welchen Gleichungen sich die Functionen des doppelten Winkels finden lassen, wenn jene des einfachen Winkels bekannt sind. Setzt man in den Formeln 17) und 18) überall ec statt 2«, daher statt «, so verwandeln sich dieselben in die folgenden: sin « — 2 sin oos . .21) oos « — (oos — (sin . 22). Da 1 — (oos ^-^-st (»in nach 6), und oos « — (oos — (sin ist, so findet man, wenn diese beiden Gleichungen addiert und subtrahiert werden, 1 -st oos « — 2 (oos -^2.... 23) 1 — oos « — 2 (sin . 24), « l/'l-t-eos« . « I /" 1 — oos « daher oos — I/ - z - .. 25) sin — I,/ - .26). Aus diesen beiden Ausdrücken folgt ferner durch Division: « 1/^1 — oos a . « «/"4-st oos« tan§ -z Hstu.27) oot j/ .28). 190 Mittelst der Formeln 25) bis 28) kann man die Functionen des halben Winkels bestimmen, wenn der Cosinus des ganzen Winkels bekannt ist. 356. Differenz zweier Winkel. Es ist « — (« — st) -s- st. Wendet man auf diese Summe die Gleichungen 13) und 14) an, so erhält man SIN « — SIN (« st) VOS st -st 608 (« — st) 8IN st, 608 « — 608 (« — st) 008 st 81N (« — st) 8IN st. Löst man diese zwei Gleichungen auf, indem man in denselben 8IN (« — st) und oo8 (« — st) als die beiden Unbekannten betrachtet, so ergibt sich, da 008 st? -t- 8IN st? — 1 ist, 8IN (« — st) — sin « 008 st — 008 er 8IN st. 29) 008 (« — st) — 008 « 008 st -s- 8IN o: 8IN st. 30), welche Formeln, so wie jene in 13) und 14), ans denen sie abgeleitet wurden, allgemein giltig sind. Die Gleichungen 29) und 30) können auch in gleicher Weise, wie die Gleichungen 13) und 14) in Z. 355, selbständig entwickelt werden. Aus den Formeln 29) und 30) erhält man dann, wie in Z. 355, tnNA (« - st) .31) o "7 1 -s- taug« tsuA p . / oot « oot 6 4- 1 oot (-r — st) - — n . .32). oot fi - oot « H. 357. Da 8IN 2n7k — 8IN o" — 0, 008 2n7t — 008 o" — 1 und 8in (2 n -s- 1) — sin n: — 0, 008 (2 n -s- 1) ir — 008 7k — — 1 ist, so folgt aus den Formeln 13, 14, 29, 30 8in (2 n 7i U: «) — Ur 8in «, 008 (2 Q 7k Ur tt) — 008 «, somit auch tunA (2 n 7k Ur «) — Ur tanA «, oot (2 n 7k Ur «) — Ur «, 8IN f(2 N -j- 1) 71 Ur «j — rsr sin «, 008 s(2 n -s- 1) 71 Ur «j — — 008 «; tan§ s(2 n -j- 1) 71 Ur «s — Ur tanZ «, oot s(2 n -j- 1) 71 Ur «s — Ur oot «. Die goniometrischen Functionen sind daher periodisch, und zwar ist die Periodicität bezüglich Sinus und Cosinus an 2ir, bezüglich Tangente und Cotangente aber an 71 gebunden. Z.^358. Summen und Differenzen der Winkelfunctionen. Aus den Formeln 13), 14), 29) und 30) erhält man durch Addition und Subtraction 8IN (« -j- st) -j- 8IN (« - st) — 2 8IN « 008 st, 8IN (« -s- st) — 8IQ (« - st) — 2 008 « 8IN st, 008 (« -j- st) -s- 008 (tt — st) — 2 008 « 008 st, 008 (« ->- st) — 008 (« — st) — — 2 8IN « 8111 st, oder, wenn man 191 « -4 O — yo, daher « — 4 (P 4- ^), a — B — td, /1 — 4. (y, — 1/,) setzt, siv yo -4 — 2 kill 4 (^> 4- zd) ook 4 (P — is>).... 33) kill P — kill ch — 2 oos 4 (y> 4^ td) kill 4 (>? — ch)... -34) oos y> 4- oos z!» — 2 oos 4 (?> -4 t^) oos 4 (y) — ch).... 35) 008 y) — 008 lj- — — 2 kill 4 (yo 4- ^d) sill 4 (P — r/>)... .36). Aus 33) bis 36) folgt durch Division: SIL P -4 _ tLLA 4 (P 4^ SIL P-SIL tSLA (y> — 1/,) SIL -p -4 SIL ib . «»^ -4--°^ "" (P it>) 37) 38) SIN w -i- 8IQ 1/1 . , > , — — oot 1 (w ^4 r/<).... 39) 608 y)—6081// 2 i / eos P 4-eos ij> _ eot 4 (>P -4 i/>) 608 P— 608 1// tLQZs-^-(P—l/>). V. Berechnung der Winkelfunktionen. Z. 359. Die bisher entwickelten Formeln können zunächst dazu ver¬ wendet werden, um die goniometrischen Functionen der verschiedenen Winkel zu berechnen. Da die Functionen aller Winkel auf jene der spitzen zurückgeführt werden können, so handelt es sich bloß um die Bestimmung der Functionen für die spitzen Winkel; nach tz. 349 reicht es sogar hin, wenn die Functionen der Winkel bis 45° berechnet werden. Wir wollen nun in dem Folgenden die Rechnung andeuten, durch welche die Functionen der Winkel von 0° bis 45" gefunden werden können. Da für jeden solchen Winkel « die Länge des Bogens, der für den Halb¬ messer — 1 diesem Winkel entspricht, stets zwischen dem Sinus und der Tan¬ gente desselben liegen muss, so ist aro « < tallA « und aro « > kill «. Aus der ersten Ungleichung folgt aro « oos « < kill «, oder aro « s/^1 — sin o? < sill « und, da aro « > kill « ist, umsomehr aro ce f/" 1 — aro a4 < sill «. Für « < 45" ist nun 1 — aro daher 1 — aro < s/^1 — aro «^, also nunmehr aro « (1 — aro «^) < sill «, oder aro « — aro «" < sill «, und somit aro « — sill « < aro Die Differenz zwischen dem Bogen und dem Sinus des Winkels ist also für alle Winkel unter 45" kleiner als die dritte Potenz des Bogens. Für a D ist aro U 0'000 2S0 8882, folglich aro U — sill U < 0 000 290 8882"; aber 0'000 290 8882" < daher umsomehr aro l' — sill U < i also ist auf 10 Decimalen genau sin 1'-^ 0-000 290 8882. 192 Wird daraus oos U — f/Z — (sin U/ bestimmt, so geben dann die Formeln 17), 18), 13) und 14) den Sinus und Cosinus für 2^, 4^, 8^,..., den Sinus und Cosinus für U -s- 2' — 3^, für 2' -si 3' — 5^, für 2^ -f- 5^ — D,..., und aus diesen wieder für tll, 10^, 14^, 9^, 15^, 21fi u. s. w. bis 60^ oder 1°. Aus sin 1° und oos 1" findet man ans gleiche Weise die Sinus und Cosinus aller Winkel bis 45)°. Zur Bestimmung der Sinus und Cosinus solcher Bogen, welche bloß Secunden enthalten, kann man umsomehr für den Sinus den Bogen selbst setzen. Da aro 1" — ist, so ergibt sich sin 1" — 0-000 004 8481 .. Ferner ist sin 2" — 2 siu 1", siu 3" — 3 siu 1", siu 4" — 4 siu 1", u. s. W. Daraus lassen sich sofort anch die Cosinus für die einzelnen Secunden bestimmen. Hat man nun die Sinus und Cosinus der Winkel von 0° bis 45° ge¬ funden, so können daraus mittelst der Formeln 4) und 5) auch die Tangenten und Cotangenten berechnet werden. Z. 360. Da die Winkelfunctionen im allgemeinen irrationale Zahlen sind, so werden sie um so genauer bestimmt sein, durch je mehr Decimal- stcllen man sie ausdrückt; aber in demselben Grade wird daun auch das Multi- plicieren und Dividieren durch diese Functionen erschwert. Um diesem Übel¬ stande zu begegnen, bedient man sich in den trigonometrischen Rechnungen der Logarithmen, zu welchem Ende die Brigg'schen Logarithmen der Functionen für die einzelnen Winkel bestimmt und in den Logarithmentafeln gehörig zusammengestellt wurden. Mit Hilfe solcher Tafeln findet man durch ein ganz einfaches Verfahren, welches aus den denselben vorangeschickten Einleitungen zu ersehen ist, zu jedem Winkel den Logarithmus der zugehörigen Functionen, und umgekehrt zu dem Logarithmus einer Function den zugehörigen Winkel*). VI. Goniometrische Gleichungen. Z. 361. Um eine Gleichung zwischen mehreren von demselben unbekannten Winkel abhängigen Functionen aufzulösen, formt man dieselbe nach den gonio- metrischen Grundformeln so um, dass sie nur eine einzige Winkelfunction enthält, und bestimmt dann aus der so transformierten Gleichung diese als die Unbekannte betrachtete Function. Will man zu dem gefundenen Werte der Function den Winkel selbst erhalten, so darf nur mit Hilfe der Logarithmen- *) Eine ausführlichere Belehrung über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tafeln findet man in der Einleitung zu den vonMoönik herausgegebenen fünfstelligen Logarithmentafeln zum Schulgebrauche. Wien, bei Gerold, 1877. 193 tafeln zu der Function der Logarithmus derselben, und zu diesem der ent¬ sprechende Winkel gesucht werden. Beispiele. 1. 2 oos x — oot x. Substituiert man oot x — so ergibt sich 2 oos x — daher oosx^2 —— 0, siu x — oosx —0, wodurch der Winkel x bestimmt ist. Aus Kill L — 0'5 folgt siu X --- 9'69897 — 16, und hieraus X — 30". Dies ist jedoch nicht der einzige Wert von x. Da (Z. 346, a) in den vier Quadranten noch ein zweiter Winkel vorkommt, welcher denselben Sinus hat, nämlich der Supplementwinkel von 30", so ist x — 150" ein zweiter Wert von x. Wird aber der Begriff des Winkels auch auf Winkel, welche größer als 360» sind, und auf negative Winkel ausgedehnt, so hat man (A. 357) als allgemeine Lösungen x -- 30° n . 360" und x — 150" u . 360" wo n — 0 oder gleich einer beliebigen ganzen Zahl ist. x kann demnach bei diesem erwei¬ terten Begriffe des Winkels unzählig viele Werte haben; gewöhnlich beschränkt man sich jedoch auf jene zwei Werte, welche in den vier ersten Quadranten liegen. Ebenso ergeben sich aus eos X — 0 die Lösungen X — 90", 270". 2. a siu (« st- x) — l> oos -f- x). Mau erhält s, siu « oos x st- s, oos « siu x — b vos /1 oos x — h siu siu x, oder siu x (s, oos « st- b siu H — oos x (b oos — u siu cr), daher , b eos 6 — a 8in « tan^ X — - , , -— o a C08 « -j- d 8IQ 3. u siu x st- 1> oos x — o. Setzt mau oos x — 1 — siu x^, so ergibt sich s, siu x 4- b f/ 1 — siu x^ — o, oder k f/^ 1 — siu x^ — o — a siu x, und durch Quadrieren beider Theile siu x — s e l> ^,2 —. gS ^2 t)2 Man erhält für siu x zwei Werte, von denen jedoch nur einer der gegebenen Gleichung entspricht, da man dasselbe Resultat auch aus der Gleichung a siu x — b oos x — o ge¬ winnt. Es muss dann noch untersucht werden, welcher der beiden Werte der einen und welcher der andern Gleichung zukommt. Einfacher gestaltet sich die Auflösung und Einführung eines Hilfs¬ winkels. Bringt man die gegebene Gleichung auf die Form » Ä > b _ o SIU XI-^-oos X — — -'n L und bestimmt einen Hilfswinkel tp so, dass tLNA P — ist, so ergibt sich siu x -s- tuuA gc> oos x — oder siu x oos st- oos x siu go oos folglich siu (x st- y>) — °- oos P. Aus dieser Gleichung kann, da yi bestimmt ist, der Wert von x st- y>, und also auch der Wert von x berechnet werden. Moönik, Geometrie. 1Z 194 4. Es seien zwei Gleichungen gegeben: sin x^ 4- 608 — L und oos x^ — sin — i). Wird in der zweiten Gleichung oos x" — 1 — »in x^ und sin — 1 — oos substituiert, so erhält man — sin x^ -fi «os z? — 1). Aus dieser und der ersten der gegebenen Gleichungen ergibt sich dann 2 sin x^ — a — b und 2 6vs — s, -4 folglich 8in x — (a — d) und oos — j/4 (o- 4- 5). 5. x -fi / — sin x — sin — n. Es ist sin x — sin — 2 6os 4 (x -fi ^) «in 4 (x — ^) — 2 608 4 fi sin 4 (x — A^), also 2 608 4 /1 sin 4 (x — ^) — n, und sin 4 (x — v) — 2 2 eos 4 B Aus dieser Gleichung kann man 4- (x — ^) finden und erhält dann aus 4 (x 4- ^) — 4 fi und 4 (x — ^) die Werte von x und VII. Übungsaufgaben. 362. 1. Berechne aus sin 30° — 4 die Functioneu des Winkels von 15°. 2. Bestimme aus sin 30° und sin 18" den sin von 12°, 48°, 42", 78°. 3. Bestimme aus sin 36° und sin 30° den sin von 6°, 84°, 66", 21°. 4. Drücke a) sin 125°, o) oos 139°, i) tanA 91°, n) not 163°, durch Functionen von spitzen Winkeln aus: d) sin 200°, k) oos 288°, 1c) tanK l99°, 0) 00t 315°, o) sin 430°, oos 538", I) tanA620°, p) 00t 726°, ä) sin 98° 12°; Ii) oos 110° 38° 42"; na) tanA l59° 9° 30"; gO oot 128° 41° 55". 5. Berechne die übrigen Functionen des Winkels «, wenn gegeben ist: a) sin « — . ; 6) o) tano;« — , ; ck) 6. Verwandle a) oos « -0^" in einen sm« , X . tLQS' « 0) SIN « oos « - „ SIL « 0) 1 — vosv?Loto4(tanAo4 — 1) ä) 5/^2 — tanA (oot — 1) 4^in2 -N 2 IU L oot 0! — - ! - ; IN Ausdruck, der nur sin « enthält; „ „ „ oos « „ ; „ „ „ tanZtt „ ; ,, „ „ oot « ,, Beweise die Richtigkeit folgender Formeln: 7. SIN 2« — , , . — 2- o. 1 -j- tALA «2 VOS 2 « — 1 — taii^ v-2 1 -fi tLLA «2 ' 195 9. tuns (45°^«)-^'^°-, o 1 sir « 10. oot (45° ^ «) - -°°^ oot « 1 11. 13. 15. 17. sin 2 « 1si-°°s2« «' 608 2 « I — tari^ «2 1 -j- 608 2 « 2 . . , . s 8in(«^6) tan^ or nrn tauL" o — —-- . O o 608 « 608 p taos^« -j- taQL^ 6 , , . s - 2-^-« tuns j3. vot « oot j? o I- 1 SIN 2 « 12. ; - — oot «. 1 — CVS 2 « . eos 2 « eot — 1 14 - n - . 1 — eos 2 cr 2 16. oot « 4: oot /3 — SIN « SIN p 18. siv oos -^ — j/l ^i: sin «. 19. sin (/? 4- — «) 4- sin (« 4- — /3) 4" sin (« 4^ — sin (« 4-s? 4-/) — 4 sin. « sin /3 sin /. 20. oos (O -s- «) -1- oos(« 4- — /3) 4- oos («4-O—oos(« -chO 4^) — 4 008 « 008 j3 oos /. . n« . (n 4-1)« SIQ SIN - 2 - 21. sin « 4- sin 2 K 4- sin 3 K 4- -' 4- sin n « — ---'' si-n n« . (n 4-1)« eos -^- sin-- 22. 008 « 4- vos 2 « 4- vos 3 « 4- .. 4- vos n « — --. -in^ Die Formeln 21. und 22. ergeben sich aus den Formeln 36) und 34) in Z. 358, indem man statt P und i/> bezüglich ui« -j- und ina si- setzt, dann für m nach und nach 0, 1, 2, .... n — 1 substituiert und die erhaltenen Gleichungen addiert. Beweise ferner für « -s- O -s- — 180": 23. sin « 4- sin 4" bin — 4 oos oos oos «, O , V , « si-«4-r sb-s-r 24. oos 4" vos 4- oos — 4 oos — oos —oos -. 25. tuns « 4- tnnA /3 4" tuns — tuns « tuns /3 tuns , 6 , , V , « . ö .7 2b. vot 4- vot -L- -f- vot — oot -^- oot -^- oot -^-. Wie ergeben sich die Ausdrücke 24. und 26. aus 23. und 25. durch die Substitution? Suche aus den Logarithmentafeln folgende Logarithmen: 13* 196 Suche zu folgenden Logarithmen die entsprechenden Winkel: 43. IoA siu x — 9 49654—10 45. IoA siu 2 — 8'74109—10 47. IoA tuuA « — 10'13264—10 49. IoA tsuA — 8'95629—10 51. IoA vos 6 8'49033-10 53. IoA 008 — 9'97706—10 55. IoA eot « — 11'44266—10 57. IoA oot 7— 8-90828—10 44. IvA siu 9'79358—10 46. IvA siuL.— 9'99836 — 10 48. IoK tsuA /1 — 10'64570—10 50. IoA tsuAO — 8'47380 — 10 52. loAoos x^ 9'17973-10 54. IoA V08 2— 8'12544—10 56. IoA vot /1 — 10'21671 — 10 58. IoA oot 12 44033—10 Löse folgende goniomctrische Gleichungen auf: 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71. 73. 74. 75. 77. 79. 2 siu x — tauA x. siu X — 608 x^. 2 (tauA x -s- oot x) — 5. siu (y> — x) — LO8 (y) -s- x). siu X -I- taUA X — 1 -s- 608 X. L siu x^ -s- 6 608 X^ — 6. a (1 -s- 608 x) — 6 608 4 X. 3, (608 -s- 60t ^) — b (1 4 3 siu x^ -s- 6 bin X 608 X -s- siu X — 3 siu tSUA x — 6 tS.UA X fi- 608 X -j- 608 — IU. X 120°, siu x 8iu — 0'5. 60. s. siu x — 5 oot x. 62. tsuA x — oot x — a. 64. 2 tsuA -s- 3 oot — 5. 66. siu (« — x) — 608 (fi -s- x). 68. 60t X — 608 X — 1 — siu X. 70. (oos x — siu x)^ — siu 2 x. 72. 3,(1 — 608 2 x) — 6 siu 2 X. i- siu ^). 0 608 X? — 0. 76. siu X -s- siu — 3, 608 X -s- 608 — 6. 78. X -s- 7- — tt, tSUA X — taUA — u. 80. X -fi 7 g. taUA X — 6 tanA Zweiter Abschnitt. Ebene Trigonometrie. I. Auflösung der ebenen Dreiecke. Z. 363. Ein Dreieck auflösen heißt, aus den Bestiinmungsstücken eines Dreieckes die übrigen Bestandstücke durch Rechnung finden. Dabei kommt es vor allem darauf an, aus den Eigenschaften des Drei¬ eckes Gleichungen abzuleuen, welche die Beziehungen zwischen den Seiten und den Functionen der Winkel enthalten; durch Auflösung dieser Gleichungen, in denen sowohl die bestimmenden als die zu suchenden Bestandstücke des Drei¬ eckes vorkommen, findet man dann die gesuchten Größen. 197 S 4 e — K oot §8; Man Hat Io§ b -- 2-51 188 loZ 81Q /8 — 9'78 803—10. IoK a ^ 2-72 385 a -- 529'48. 3. 5 — c tanA /8, d. h. jede Kathete ist gleich dem Kathete und der Tangente des der liegenden Winkels. 4. 5 — o oot 7, d. h. jede Kathete ist gleich dem Produkte aus der andern Ka¬ thete und der Cotangente des der ersteren Kathete anliegenden Winkels. Zu diesen trigonometrischen Lehrsätzen tritt noch der Pythagoräische Lehrsatz a? — d? -j- welcher den Zusammenhang zwischen den drei Seiten ausdrückt. Auflösrmgsfälle. Z. 365. I. Gegeben die beiden Katheten 5 und o. Aus lr — v tanA /8 — 0 oot 7 folgt tanZ /8 — oot 7 — und für die man a — oder g, — -s- c?. 81U ss I B. 5 — 325, o — 418. 5 -- 2'51 188 v — 2-62 118 1. Rechtwinklige Dreiecke. Trigonometrische Lehrsätze über das rechtwinklige Dreieck. ß. 364. Zur Auflösung eines rechtwinkligen Dreieckes müssen zwei von einander unabhängige Bestimmungsstücke gegeben sein. Es sei das Dreieck LL.0 (Fig. 174) bei recht¬ winklig. Wir wollen hier und im folgenden die Hypo¬ tenuse L O durch a, die Katheten ^0 und durch 5 und o, und die diesen gegenüberliegenden Winkel durch /8 und 7 bezeichnen. Aus den Erklärungen in Z. 343 folgt unmittelbar: 1. 6 — a sin /8, o — a sin 7; d. h. jede Kathete ist gleich dem Producte aus der Hypotenuse und dem Sinus des dieser Kathete gegenüberliegenden Winkels. 2. s, — a oos 7, o — a oc>8 /8; d. h. jede Kathete ist gleich dem Producte aus der Hypotenuse und dem Cosinus des dieser Kathete anliegenden Winkels. o — io tanA 7; Producte aus der andern ersteren Kathete gegenüber- Fig. 174. Hypotenuse hat Es sei z. 1OA IOK lox tanK /8 -- 9'89 070—10 §--37° 51'54" und 7 — 52° 8' 6". II. Gegeben die Hypotenuse a und eine Kathete 6. 8in § — oo8 7 — und o —oder o — ^(a -s- 5) 198 III. Gegeben eine Kathete b und ein Winkel, z. B. ^90° — , ' 8iu p IV. Gegeben die Hypotenuse a und ein Winkel, z. B. /I. — 90" — A I> — a siu /?, o — a ov8 Z. 366. Berechnung des Flächeninhaltes eines rechtwinkligen Dreieckes. Für den Flächeninhalt I eines rechtwinkligen Dreieckes ergeben sich mit Rücksicht auf die im 8- 365 angeführten vier Fälle folgende Ausdrücke: -4 ^(a^(^d) - - 4 -n 2§. 2. Gleichschenklige Dreiecke. Z. 367. Zur Bestimmung eines gleichschenkligen Dreieckes -180 (Fig. 175) müssen zwei von einander unabhängige Stücke gegeben sein. Da durch die zur Grundlinie 80 gezogene Höhe -1V das gleichschenklige Dreieck in zwei congruente rechtwinklige Dreiecke zerfällt, so kann jede Aufgabe über das gleichschenklige Dreieck ans die Auflösung eines rechtwinkligen Dreieckes zurückgeführt werden. Ist a die Grundlinie, l> der Schenkel, « der Winkel am Scheitel, si der Winkel an der Grundlinie und I der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreieckes -180, so ergeben sich aus dem rechtwinkligen Dreiecke -11)8 folgende Auflösungsgleichungcu: si- — 90°, a — 2 6 8in — 2 b ov8 A ll — -j- tanK 6 8iQ 2 -si 's) (d - tan§^ ^8iu2^. 3. Dreiecke überhaupt. Trigonometrische Lehrsätze und Formel». 8- 368. In jedem Dreiecke verhalten sich die Seiten wie die Sinus der diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel (Sinus-Satz). Zieht man Ov -j_ -18 (Fig. 176), so ist in den rechtwinkligen Dreiecken 81)0 und -11)0 01) 80.8in 8 und Ov -- ilO.ckn daher 8 0.8in 8 — -10.8in -1, oder, wenn man hier und in dem Folgenden 8 0 — a, -10 — d, -18 — 0 setzt und die diesen Seiten gegen¬ überliegenden Winkel durch «, A ausdrückt, a 8iu — l> 8in «, oder Fig. 175. Fig. 176. 199 Ebenso erhält man a : l> — sin « : sin /1. g, : o — sin « : oin d : o — 8in st: sin -I) In diesen Ausdrücken ändert sich nichts, wenn einer der Winkel, z. B. «, ein stumpfer ist, so dass die Normale Ov die Verlängerung von trifft; man erhält dann a : b — siu (180° — «) : 8in st — siu « : 8in st. Der Sinus-Satz lässt sich auch in der Weise ausdrückeu und sagt, dass das Verhältnis zwischen einer Seite und dem Sinus ihres Gegenwinkels für dasselbe Dreieck eine constante Größe ist. Bezeichnet man in Fig. 106 den Winkel OZ^L mit «, so ist auch OVL — «, daher LO — Ov siu «, oder 8, — 2L.sin oos «; s? — Io? sin v? -j- e? — Hko 008 « -st 1? oos «2, oder, da 1? (mn «2 _st 008 «2) — si2 1)2 -j- - 2 d o . 008 «. Ebenso erhält man 1? — -j- v? — 2 ao. oo8 st. «2 — 8? -st Ist - 2 8.6 . 008 ..II) daher Fällt die Normale Ov außerhalb des Dreieckes, so ist dann 01) — d sin (180° — «) und LV — o si- I) oo8 (180° — «), woraus sich dasselbe Resultat wie oben ergibt. Die Gleichungen II) gelten demnach allgemein. Zusatz- Der hier bewiesene Lehrsatz kann auch unmittelbar aus Z. 158 abgeleitet werden. Nach den dort angeführten zwei Sätzen ist 8? — 14 -st cst 2o.^_v, je nachdem « spitz oder stumpf ist; nun ist bezüglich ^.v — d oo8 « oder ^v — b 008 (180° — «); folglich in beiden Fällen ^2 — 1)2 ^2 - Z 1)0.008 -r. Der Cosinus-Satz wird nach dem berühmten französischen Staatsmanns und Mathe¬ matiker Carnot (1753—1823) auch der Carnot'sche Lehrsatz genannt. 8- 370. Aus den voranstehenden Gleichungen II) lassen sich die wichtigen, zur logarithmischen Berechnung geeigneten Halbwinkelfunctionen ableiten. Aus der ersten Gleichung folgt 200 1)2 -s- «2 — g2 ov8 « — —, daher 2 be ' 2 d o — b2 — e2^^2 gS — (b — o)2 (a 4" d — o)(s— b-^-e) 2be 2be 2be . . _2 d e -s- d2 4- o2 — AS (b 4-<9^ — a2 (b -j- c -s- ») sb ->- e — s), I 4- eos « Z'dö — 2Ve — ZVe ' somit, da nach Z. 356, Formel 24) und 23) 1 — oos « — Z ^sin und 1 -s- vos « — 2 ^vos ist, « I /" (a 4- d — e) (a — b -s- e) 8IN 4d<. « — I (d-l-o 4-a) (d 4 e—a) «08 z — 4bo Setzt man, wie in Z. 168, 3, der Kürze wegen a-s-b-s-o — 2o, so folgt und duher 4 -- s/ '' Ähnliche Formeln erhält man auch für die Functionen von und Z. 371. Mollweide'sche Gleichungen. Aus der zweiten und dritten Gleichung in I) tz. 368 folgt a-s- d _ sin cr-s-8iQ2 8iQss) eo8 — /S) 6 81Q 2 8IQ 008 / oder, da -s- /8) — 90° — also 8in ^ (« -s^ ^) — 008 ist, L -4 t> eos 4 (): (a — 6) 2 sin ^ («-s-/8) oos^scr — H : 2sin4(«—/8)v08-^-(« -s- /8) und wenn man das dritte und vierte Glied durch 2 oos ^ (« 4- /8) oos — /8) dividiert (a -f- 6): (rr — 6) — tanA ^ (« 4- O) : tanK ^ (« — /8).. .V). Dieser Satz führt den Namen Tangenten-Satz und sagt: Die Summe zweier Seiten eines Dreieckes verhält sich zur Differenz derselben, wie die Tangente der halben Summe der Gegenwinkel zur Tangente der halben Differenz dieser Winkel. Der Tangenten-Satz kann auch durch Division aus den Formeln IV abgeleitet werden. 201 « — 86° 23' 9 st 30° 1'21 « — 52° ISA loK sin / — 9'97 872—10 (« -s- st) 58° 12' 15" (« — st) 28° 10' 54" 2-87 525 IoK sin « — 9'89 694—10 loZ o — 2-97 831 o — 951-28. Seiten n und 5 und der von ihnen _ a8iQ/I siu « loA a — 2-89 653 IvA 8in/3 — 9-91 714—10 NuflSsnngsfälle. 8. 373. I. Gegeben eine Seite n und zwei Winkel st und /. Man erhält erstlich den dritten Winkel « — 180° — (/3 -st /). Ferner folgen aus st : n — sin st : sin « und o : n — sin / : sin « die Gleichungen st — stZststst und o — 8IL tt Z. B. n — 788, st — 55° 43' 18", 4' 7". a 8iu v 0 — ---. 81Q tt a — 2-89 653 a 8IU 8IQ tt /^72° 12'35". Man erhält 2-81 367 IoZ sin « — 9'89 694—10 loZst — 2-91 673 st — 825-52. 374. II. Gegeben zwei eingeschlossene Winkel /. Aus der in ß. 372 abgeleiteten Gleichung tanA st (« - st) — . tanK st (« -st st) oot st / erhält man st (« — st). Dann hat man, da « -st st — 180° — / bekannt ist, 4 (« -st st) -st st (« — st) — « und st (« -st st) — st (« — st) — st. Die Seite o findet man aus o — oder vorthcilhafter nach Z. 371 aus o oder o 608 (tt-ss) Es sei z. B. a 748, a -st st — 1123 n-st — 373 st / — 31° 47' 45" IoA (a — st) — 2-57 171 Io§ oos -7 — 9 92 938—10 12-50 109—10 1oA oos st (« — st) — 9'94 520—10 IoK sin st (« — st) 9'67 419—10 IvA o — 2'82 690 IoAo — 2 82 690 - o 671-27. st — 375, / 63° 35' 30". Man hat Ä, - I) tNQKst(«-st)— n^-.eotst/ loA (n - st) 2-57 171 IvA oot st / — 10'20 766—10 12-77 937-10 lox (n -st st) 3'05 038 IoA tanF st (« — st) — 9'72 899—10 st (rr — st) 28° 10' 54". Zur Berechnung von o nach den Mollweide'schen Gleichungen hat man IoK (a -st st) — 3'05038 oder los sin 9'72 172—10 12-77 2107-10 202 Die Übereinstimmung beider Werte ist eine Probe für die Richtigkeit der Rechnung. Zusätze, u) Jeder der Winkel « und L lässt sich auch einzeln aus 2, d und 7 un¬ mittelbar berechnen. Aus 2 : b — sio « : sio erhält nran b sio 0: — 2 siu A oder b siu « — 2 siu (« -f- 7) — 2 siu « LOS 7 -st 2 Los « siu 7, daher b t2og « — 2 tLUA « eos 7 -st s siu 7, und folglich Die Rechnung nach dieser Formel ist logarithmisch unterbrochen; die Unterbrechung kann jedoch durch Anwendung eines Hilfswinkels beseitigt werden. Wird für 7 c 90" ein Hilfswinkel P so bestimmt, dass — sin go? ist, so er- ..... . 2 siu 7 halt man taug « — 7-- b eos Für 7 > SO" wählt man einen solchen Hilfswinkel >/>, dass-— taug ist; dann hat man taug « -. stÜ) Auch die dritte Seite c kann aus a, d und unabhängig von den Winkeln « und /3 berechnet werden. Es ist — s? -st k)? — 2 ast oos — a" -s- st^ — 2 at) (1 — 2 sin ^-^) Z. 356, 24) — (a - st)^ -f- 4 ast sin (a — st)^ . ^1 -st Wird nun ein Hilfswinkel y> so bestimmt, dass — tanA ist, so hat man 6, und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel «. Aus a : d — 8IL a: SIU /) erhalt man 8IQ — —-— . Da durch den Sinus zu bestimmen ist, so kann dafür im allgemeinen entweder der zu diesem Sinus gehörige spitze Winkel oder auch dessen stumpfer Supplementwinkel genommen werden (tz. 351, Zus.); diese Zweideutigkeit fällt jedoch hier weg, da man weiß, dass a > st, also auch « > ^ ist, und somit /3 spitz sein muss, welchen Wert auch « haben mag. Aus « und O erhält man dann — 180° — (« -st /3). Die Seite 0 findet man aus der Gleichung 0 — Z. B. für a 1238, st — 519, « 78° 17' 20" ergibt sich /3 24° 14' 10", ? — 77° 28' 30", ferner e 1234 2. Ist hier nebst a — 1238 und st — 519 der der kleineren Seite gegen¬ überliegende Winkel /3 — 24° 14' 10" gegeben, so erhält man aus der Glei¬ chung sin « — da « spitz oder stumpf sein kann, 203 entweder « — 78° 17' 20" oder « — 101° 42' 40", folglich ^-^77° 28'30" „ 54° 3'10". Aus der Gleichung e — ergibt sich dann entweder o — 1234'2 oder o — 1023'5. — Die Aufgabe lässt also zwei Auflösungen zu. Z. 376. IV. Gegeben alle drei Seiten a, b und o. Zur Bestimmung der Winkel dienen die Formeln III) in Z. 370. Ist der gesuchte halbe Winkel sehr nahe an 0°, so lässt sich derselbe mittelst der Formel für den Cosinus nicht mit gehöriger Schärfe bestimmen, da sich die Cosinus nahe an 0° liegender Winkel nur sehr wenig ändern. Das¬ selbe gilt bezüglich der Formel für den Sinus, wenn der halbe Winkel sehr nahe an 90° liegt. Am zweckmäßigsten ist es, in allen Fällen die Formel für die Tangenten anzuwenden. Es sei z. B. a — 330'1, b - 412'2, o — 371 3. Wendet man die Formel für die Tangenten an, so hat man « 49° 29' 50". Aus den Formeln für tan^ /3 und erhält man ebenso si-71°42'42" und 7. — 58° 47'28". Zusah. Sehr bequem gestalten sich die Rechnungen, wenn in diesem Auflösungsfalle alle drei Winkel zu bestimmen sind, durch Einführung des Halbmessers r des dein Dreiecke eingeschriebenen Kreises. Da r — (»- b) (s - °) 2) ist, so hat man: tauA^«-tan§^ — Z. B. a — I0II b — 956 0 — 533 28 —2500 s 1250 s — a — 239 8 —b — 294 8 — 0 — 717 IvK (s — a) — 2'37 840 lox (8 — b) - 2'46 835 lox (8 - 0) -2'8 5 552 7-70 227 IoA 8 — 3'09 691 loK 4'60 536 IoA r — 2'30 268 204 log taug 4 oc — 9 - 92 428—10 log taug — 9'83 433—10 log tang — 9'44 716—10 4 « — 40° l' 48", daher « 80° 3' 36"; /i 34° 19' 40", „ — 68° 39' 20"; 15° 38'32", „ 7 ^31° 17' 4". Z. 377. Berechnung des Flächeninhaltes eines schiefwink¬ ligen Dreieckes. Ist k die zur Seite n gehörige Höhe, so ist k — l> sin daher . all »b . -2-^1 SIN ?....1), d. h. der Flächeninhalt eines Dreieckes ist gleich dem halben Products aus zwei Seiten und dem Sinus des von ihnen ein¬ geschlossenen Winkels. Nach diesem Satze kann man für den zweiten Auflösungsfall den Flächen¬ inhalt aus den gegebenen Stücken unmittelbar berechnen; in den übrigen Fällen müssen zuerst die nicht gegebenen Stücke der obigen Formel gesucht werden. Für den vierten Fall liefert schon die Planimetrie (Z. 168, 3) eine zur unmittelbaren Berechnung brauchbare Formel, die auch trigonometrisch abgeleitet werden kann. Es ist I — sin / — . 2 sin H- vos /, daher mit Rücksicht auf die Formeln III) in Z. 370 I — 1^ s (s — a) und o anliegenden Abschnitte p und — ä, k und «. a — k — ck, o und a — k — ck, o und « — /8. einem gleichschenkligen Dreiecke ist ihr stehenden Höhe doppelt so groß als der Schenkel; 6. In der auf Winkel. 380. Beispiele zur Berechnung schiefwinkliger Dreiecke. Summe der Grundlinie berechne 9. 11. 13. 15. 17. In 15. und 17. verlängere ^.6 um OO —LO und berechne das Hilfsdreieck LLV. In 16. und 18. trage von SO die 6V —^6 ab und benütze das Hilfsdreieck L6V. 19. u -s- k — 8, « und j?; 20. a — k — ä, cr und A 21. a -k k — 8, und « — 22. a — k — ä, und « — ch 23. Aus einer Seite a und den Winkeln «, ch 3 eines Dreieckes die zu der Seite u gehörige Höhe K und den Flächeninhalt 1 zu berechnen. 1 _ L «i» ss sin f sin I? siu r siu^e ' 2 siu « Man löse das Dreieck auf, wenn gegeben ist: a, K und K; p, und k; Ä ch k — 8, k und a -k k — 8, v und Ä ch k — 8, o und « — /8 206 24. Die Seiten eines Dreieckes zu berechnen, wenn der Flächeninhalt L und die Winkel «, A gegeben sind. 25. Aus dem Umfange 2 s und den Winkeln «, si, eines Dreieckes die Seiten und den Flächeninhalt zu berechnen. Durch Anwendung Z. 368 und Z. 362, 23 erhält man s .siu 1 « g . gin 'g s . slu 1 -» — - 7--. , d — -- -e —-; - - eos oos x oos^-r eos^^ eos^«eos4p' t — s^.tuu§ 4 « taux r tnuA 4 y. II. Anwendung der ebenen Trigonometrie. 1. Aufgaben aus der Planimetrie. 8- 381. In einem Kreise (Fig. 177) sei der Halbmesser OA — r, die Sehne AL — 8, der zugehörige Centriwinkel A08 — «; ferner sei der Flächeninhalt des Dreieckes AO 8, 8 der Flächeninhalt des Kreissectors AO8 und k der Flächeninhalt des Kreissegments A8HA. Ag 177 1. Gegeben r und s; zu suchen «. siw 4 « — /X. 2r V / X , 2. Gegeben r und «; zu suchen 8, ^1, k' V , und 1. /j ' (As s — 2r 8m -x «, .in (Z. 187), . r^ l -r« .1 3. Gegeben 8 und «; zu suchen r, ^/, 8 und k. s . « I' nnn - 7—. ^7 n -7- 60^ 6 — r L0S 4 ss 8LN « 8IN _ roosL 7 sio « sio ß. 385. 1. Den Flächeninhalt k eines Parallelogramms zu finden, wenn zwei Seiten a, 6 und der von ihnen eingeschlossene Winkel « gegeben sind. Man erhält f — nd sin «. 2. Den Flächeninhalt 1 eines Viereckes zu bestimmen, wenn dessen Diagonalen p und gegeben sind. Bestimmt man die Flächeninhalte der vier Dreiecke, in welche das Viereck durch die beiden Diagonalen zerlegt wird, nach H. 377, 1) und addiert die¬ selben, so ergibt sich L p. 2. Ausgaben ans der praktischen Geometrie. H. 386. Die Höhe 6 eines Gegenstandes AL (eines Thurmes) zu bestimmen. I. Wenn man zu dem Fußpunkte A messen kann. Man messe von einem Punkte 0 aus die Strecke OA — a, und in 0 den Höhenwinkel A.0L — dann ist tr — g, tan^ «. 2. Wenn man nicht zu dem Fußpunkte A messen kann. Man messe in einer durch L gehenden Verticalebene die Strecke OO — a als Standlinie und in ihren Endpunkten die Höhenwinkel AOL — « und dann ist Z. 387. Die Entfernung zweier Punkte A und L (Fig. 178) auf dem Felde zu bestimme», wenn sich dieselbe wegen eines 208 Fig. 178. dazwischen befindlichen Hindernisses nicht unmittelbar messen lässt. Man messe von einem dritten Punkte 6 aus die Strecken 08 — a und 0^ — b, sowie den Winkel ^08 — /. Dann ist K N4. Zus. b), w° zu einem derselben kommen kann. Man wähle einen dritten Standpunkt 0, dem man zu einem der beiden Punkte 8 hin messen kann, und messe die Strecke 8- 388. Die Entfernung zweier Punkte und 8 (Fig. 179) auf dem Felde zu bestimmen, wenn man nur von oder 80 — a, sowie die Winkel 8 — /1 und 0 — Dann ergibt sich nach Z. 373 ^8^ sm M -s- r) Z. 388. Die Entfernung zweier Punkte und 8 (Fig. 180) auf dem Felde zu bestimmen, wenn man zu keinem derselben kommen kann. Man wähle zwei Standpunkte 0 und 1), messe die Standlinie 01) — s. und in ihren Endpunkten die Winkel ^08 — 801) — /1, ^D0 — und L.O8 — ck. Dann hat man LV - A-tzN - d » „ M S7S>, „ . LL «. -74. Zu,, b). 2 sm 1 A b <- . W0 tUUK P —-- ist. tz. 390. Beim Tracieren einer Eisenbahn wurden die Gera¬ den ^.0 und 80 (Fig. 181) ausgesteckt und ihr Winkel ^08 — « gemessen; es soll der die beiden Geraden berührende Kreis¬ bogen vom Halbmesser r ausgesteckt werden. 209 Zur Festlegung der Berührungspunkte 1' und 1' Fig. 181. man OB^OO-^root^«. Zur Bestimmung der Mitte N des Kreisbogens X braucht man, wenn NB^_ OB ist, nur die Strecken kB und NB zu kennen; man hat nun, da NOB — 90° — « ist, BB — r vos «, NB — OB — OO — r — rsin Will man zwischen N und B auch mehrere Zwi¬ schenpunkte des Kreisbogens NB erhalten, so denkt man sich denselben in n gleiche Theile Bm, mnB,.. getheilt, deren jeder dem Winkel — -^-NOB — (90° — entspricht; dann ergibt sich, wenn mp, m/p/,.. zu OB normal sind, zur Bestimmung der Punkte m, nB,... xB — r sin ,8, m p — r — r cros /8; p^B — r sin 2 j3, r — roos2/3; u. s. w. Z. 391. Die Höhe einer Wolke aus deren Bilde in dem Spiegel eines Teiches zu bestimmen. Fig. 182. Ein Beobachter (Fig. 182) befindet sich in der Höhe — ll über dem Spiegel eines benach¬ barten Teiches O; er visiert nach einem markierten Punkte 0 einer Wolke und misst den Winkel 0^.8 — /8, den diese Visierlinie mit der durch sein Auge gehenden Horizontalen bildet. Die Wolke spiegelt sich im Teiche, der Beobachter sieht ihr Bild in der Richtung ^.0 und misst den Winkel H^O — «, den die Rich¬ tung zum Bilde mit der Horizontalen einschließt. Zu suchen ist die Höhe OB — x der Wolke über dem Teichniveau aus b, «, /3. Aus Z^OBO ist x —OO.sinOOB, und da nach dem Spiegelungsgesetze W. OOL — « ist, hat man x — OO. sin «. Die Länge OO ergibt sich aus dem Dreiecke 0^0; es ist OO : ^.O — «in 0^0 : sin ^oo — sin (« -s- /3) : sin (« — /3); daher OO -- -^O. 81L (tt — L) Endlich ist aus />,^08 die Länge ^O — folglich ist — u («-1K sin (« — /?) ' Z. 392. Aus drei ihrer Lage nach auf dem Felde gegebenen Punkten L, 0 die Lage xines vierten Punktes O zu bestim¬ men, wenn man nur die Winkel messen kann, welche die von O Moini!, Geometrie. 14 210 an die drei Punkte gezogenen Visierlinien bilden. (Pothenot'sche Aufgabe oder Problem des Rückwärtseinschneidens beim Messtisch.) Es sei das Dreieck ^R0 (Fig. 183) gegeben, und Fig. 183. zwar LO--a, ^0--b, W. ^.OL 0. Man messe in dem der Lage nach zu bestimmenden Punkte v die Winkel N v 0 a und v 0 st. X Setzt man OLV — X und 0^.0 — so ist X -s- X / — 360° — (« -s- st -s- 0), somit bekannt. Da n : O I) — V / sin « : sin x und 3 : OO — sin st: sin ist, so folgt siux b siu « , , rsv daher V/ SIU^ »siust' «in x — sio l> siu « — ssiust eot P — 1 sin X -s- sin / l, siu « 4- s siu st eot P -1-1' wenn der Winkel go so bestimmt wird, dass not y, — ist; oder - °ot (45° Z- y,) Z. 358, 37 und ß. 362, 10); folglich tanK (x — ^) — tan§ -z (x -s- l) not (45° st- y>). Aus 4 (x -4 z^) und 4 (x — ^) erhält man x und zn Dann ist DZ — (<* D 7^ — -st DO _ _ bsiu^ sin« ' sin st ' sin« siu st ' Wie gestaltet sich die Auflösung, wenn v innerhalb des Dreieckes L86, oder in der Strecke >L liegt? 8- 393. Die Entfernung 0LI — ä (Fig. 184) des Mondes N Fig. 184. von dem Erdmittelpunkte 0 (die geo- /, centrische Entfernung des Mondes) zu be- / stimmen. (Parallachsen-Aufgabe.) 02 und 02^ die Vertical- / linien zweier Beobachtungsorte 8 (Stock- ! Holm) und 0 (Cap) unter demselben Me- V ridian; ist ein Punkt des Äquators, -so ist ^.8 — d die geographische Breite von 8, ebenso ^.0 — 6^ jene von 0. Zwei Beobachter, der eine in 8, der andere in 0, beobachten in demselben Augen¬ blicke die Zenithdistanz des Mondes, d. i. die Winkel 28N —2 und 2^0N — Aus 2, 2^, d, t/ und dem Halbmesser r der Erde ist die Entfernung ä zu bestiminen. Aus dem Vierecke N800 ist x -st / gegeben; denn (x -st 7) -st (180° — 2) -st (b -st d') Z- (180° — -°') -- 360°, daher x -st — (? -st r/) — (d -st 6^) ... 1)- Um jeden der Winkel x und einzeln zu bestimmen, hat man qus NO8.. r : ä — sin x : sin (180° — 2), aus /^NOO.. r : ä — sin : sin (180° — 2^), mithin sin X : sin — sin 2 : sin 2', und hieraus 211 (sin X -si sin : (sin X — sin ^) — (sin 2 -si sin 2') : (sin 2 — sin 2'), oder mit Rücksicht auf Z. 358, Form. 37) tavA 1- : tanz — — tanz —1— : tanz — .. .2). Aus 1) und 2) erhält man x -si und x — und daraus x und Dann folgt aus /^N08 oder /^NOO 8IQ X 8IQ Für r — 1, si -si si' 93° 15' 27", 2 - 33° 20' 24", 2' — 61° 13'33" erhält man ä — 62'46. 3. Ausgaben aus der Stereometrie. Z. 394. Gegeben ist eine Strecke 8 im Raume und ihr Nei¬ gungswinkel « gegen eine Ebene UN; man bestimme die Pro- jection s der Strecke auf die Ebene. Essei A8 — 8 (Fig. 185) die gegebene Strecke, AaANN und MANN, also ad — s die Projection der Strecke auf NN. Zieht man in der Ebene A8asi die A8'!§usi, so ist Asi' — ad und 8Asi' —«; aber Asi' — AL oos «; daher s — 8 oos «. Z. 395. Gegeben ist ein Dreieck O und sein Neigungswinkel « gegen eine Ebene LIN; man bestimme die Projection ä des Dreieckes auf die Ebene, ä — I) oos «. Beweis. Das Dreieck I) sei A80 (Fig. 185). Man kann immer durch einen Eckpunkt A desselben eine mit NN Parallele Ebene N'N' legen, welche das Dreieck A.80 in AO schneidet. Dann ist die Projection Asi'o' des Dreieckes A8 0 auf die Ebene N'N' offenbar congruent mit der Pro¬ jection asio desselben auf die Ebene NN. Die AO thcilt sowohl das Dreieck ADO in die Dreiecke A 013 und AOO, als auch dessen Projection Asi'o' in die Dreiecke AOsi' und AOe'. Zieht man 88'AAO und verbindet 8' mit si', so ist 88'si' — «, daher 8'si'— 88'oos«. Nun ist AO8 — AO .88' und A^AOsi' — AO . 8'si' — AO.88' oos « — A, AO8 . oos «. Ebenso erhält man Fig. 185. /X AOo'— A, AOO . oos «; somit ist ä — AAOsi' -si ^AOo' (AAV8 -j- AOO). oos « — O VOS «. Z. 396. Gegeben ist ein Vieleck 8 und sein Neigungswinkel « gegen eine Ebene NN; man bestimme die Projec¬ tion x des Vieleckes auf die Ebene. p — 8 LOS «. Folgt aus Z. 395, wenn das Vieleck durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt wird. 14* 212 tz. 397. In einer dreiseitigen Pyramide sind die Flächen¬ inhalte fl, k», k, dreier Grenzflächen nebst den von ihnen gebil¬ deten Neigungswinkeln gegeben; man bestimme den Flächeninhalt kg der vierten Grenzfläche. Da jede Fläche der dreiseitigen Pyramide gleich ist der Summe der Projectionen der übrigen drei Flächen auf dieselbe, so hat man, wenn /3,, st,, A die Neigungswinkel der Flächen fl, kg, mit der Fläche kg bezeichnen, kg — kg 008 -st kg 008 «g -st kg 008 fl,, t'2 — 008 «z -st kg 008 «1 -st kt 608 /ch, kg — kg 008 «2 -st kg 008 «1 -st kg LOS A, k. — kg 008 s?g -st kg 008 ^2 st- kg 008 A. Multiplicicrt man diese Gleichungen der Reihe nach mit k^ kg, kg, kg und subtrahiert danu die Summe der ersten drei von der vierten, so folgt k/ — k,2 -s- kg^ -st kg? - 2kg kg 008 «g — 2k; kg 008 «g - 2kg k, 008 «g. Drücke diese Beziehung in Worten aus! Z. 398. Den Inhalt v eines Parallelepipeds zu berechnen, dessen Grundfläche bestimmt ist und dessen Seitenkante 0 mit der Grundfläche den Neigungswinkel go bildet. Ist die Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten a und st, so findet man v — asto 8in Ist dagegen die Grundfläche ein schiefes Parallelogramm, dessen Seiten a und st den Winkel / einschließen, so hat man v — a st o sin / 8in P. Z. 399. Zu bestimmen ist (ZZ. 334 und 335, Fig. 167) a) eine Kugel¬ mütze N, weun r und der Centriwinkel A.08 — « gegeben sind; st) eine Kugelzonc 2, wenn r und die Winkel A08 — « und AOO — ge¬ geben sind. s.) N — 2 r" rr (1 — 008 «), st) 2 — 2 -r (008 « — vo8 «0- 4. Ausgaben aus der mathematische!» Geographie. tz. 400. 1. Den Meridianbogen st der Erde, den man von einer Höhe st übersehen kann, zu bestimmen, wenn der Halb¬ messer der als Kugel betrachteten Erde r ist. Für das Gradmaß des Bogens « erhält man 008 « — Aus « wird dann nach H. 185 die Bogenlänge st bestimmt. 2. Den Halbmesser eines Parallelkreises der Erde aus der geographischen Breite zu bestimmen, wenn der Halbmesser der Erde r ist. (> — r 008 , Halbmesser — VL — r oot y>, Abstand 0 — r oot — r tanA ; ll) für die Projection NO eines Meridians von der Länge in Bezug auf den durch 0 gehenden Meridian, wenn NN eine Tangente des Kreises NO und NI" NN ist, wegen NNO ONN -- il, Halbmesser NO NN -- Abstand 00 — -^7^- — r oot 4 — r tun§ *5. Übungsaufgaben. H. 402. Aus der Planimetrie. I. In einem Rechtecke ist die Diagonale ä und der Winkel y>, welchen sie mit einer Seite bildet, gegeben; berechne die Seiten und den Flächeninhalt. 1u. Wie groß ist die Fläche eines Rechteckes, von dem die Differenz zweier zusammenstoßender Seiten 40 vm ist und der Winkel der beiden Diagonalen 36° 20 beträgt? 5— 1163-1 em?. 2. Aus den Seiten s. und b eines Rechteckes die Winkel zu bestimmen, welche die Seiten mit einer Diagonale bilden. 3. Aus den Diagonalen ä und ) das Volumen des Stumpfes. 7. Wie groß ist a) die Oberfläche, d) das Volumen eines geraden Kegels, dessen Seite 8 mit der Grundfläche den Neigungswinkel bildet? 7 a. Der Inhalt eines geraden Kegels sei V und die Seitenlinien des Kegels seien unter dem Winkel « gegen die Basis geneigt; wie groß ist die Mantelfläche? s ^81U«/ 008« 8. Die Manteloberfläche und das Volumen eines geraden Kegels aus dem Halbmesser r der Grundfläche und dem Winkel « am Scheitel eines Achsenschnittes zu berechnen. 9. In einem schiefen Kegel ist die Achse a gegen die Grundfläche, deren Halbmesser r ist, unter dem Winkel « geneigt; wie groß ist die Höhe, die größte und die kleinste Seite des Kegels? 10. In einem schiefen Kegel ist « der kleinste Neigungswinkel einer Seite mit der Grundfläche, K die Höhe und p die Projection der Achse auf die Grundfläche; zu berechnen ist das Volumen. 10a. Wie groß ist der Inhalt eines schiefen Kegels, wenn die kleinste Seitenlinie k desselben 15 ckm beträgt und gegen die Grundfläche unter « — 74° 36', die größte Seitenlinie aber unter — 36° 48' geneigt ist und die Höhe zwischen der größten und kleinsten Seitenlinie liegt? n 810. « 84N 12 81N ^2 218 11. Das Volumen eines geraden Kegelstumpfes aus der Seite 8, ihrem Neigungswinkel « gegen die größere Grundfläche und der Mantelober¬ fläche m zu berechnen. ns - l" m2 «2 V — . Sill « . I n -s- CVS «2 I. 11a. Von einem geraden, abgestutzten Kegel mit der Seitenlänge Im ist die Mantelfläche gleich der großen Grundfläche und der Neigungswinkel einer Seitenlinie gegen die Grundfläche 60"; wie groß sind die Radien und die Mantelfläche? R— 1'707 m, ----- 1'207 M, ill—S-071«2, 12. In einem geraden Kegelstumpfe sind k und r die Halbmesser der Grundflächen und v das Volumen; wie groß ist a) der Neigungswinkel « der Seite gegen die größere Grundfläche, 6) die Seite s, o) die Mantelober¬ fläche in des Stumpfes? 3 v R — r n (K2 — ,.2) « — - -- s — -, in --- —- - 7k — rb) 608 tt 608 tt 12 a. Wie groß ist der Inhalt eines geraden Kegelstutzes, wenn die Mantelfläche 194'35 em?, die Seite 7-9 em und der Neigungswinkel der letzteren gegen die Grundfläche 84°28'30" beträgt? v — 379'9 cmS. 13. In einem schiefen Cylinder ist die Achse a gegen die Grundfläche, deren Halbmesser r ist, unter dem Winkel « geneigt; berechne a) den Flächen¬ inhalt des zur Grundfläche normalen Achsenschnittes, d) das Volumen des Cylinders. 14. Wie groß ist a) die Rotationsfläche, k) der Rotationskörper eines regulären Zwölfeckes mit der Seite a um eine dasselbe halbierende Diagonale als Achse? 15. Ein Dreieck, in welchem zwei Seiten a und d den Winkel ein¬ schließen, dreht sich um die dritte nicht gegebene Seite; wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers? 15 a. Ein Dreieck mit der Seite d —5ckm und den beiden anliegenden Winkeln « — 54° 36', / — 74° 54' rotiert um d als Achse; wie groß ist die Oberfläche und der Inhalt des Rotationskörpers? 2rrb2. . v g-a v— al /sill a sill vir O --- —— sill a sill v sill — eos ; v — — -- I - t . sill , 2 2 ' 3 sill /Z / 16. Die Oberfläche einer Kugel ist o, eine Calotte derselben m; be¬ stimme den Centriwinkel « des Bogens, durch dessen Umdrehung die Calotte erzeugt wird. 17. Aus dem Volumen v eines Kugelsectors und dem Winkel « des Achsenschnittes den Halbmesser r der Kugel zu finden. 18. In einer Kugel, deren Volumen v ist, wird ein gerader Kegel be¬ schrieben, dessen Winkel am Scheitel des Achsenschnittes « ist; wie groß ist das Volumen des Kegels? 219 18 a. Einer Kugel von 0 — 50tim^ Oberfläche soll ein gerader Kegel eingeschrieben werden, welcher an der Spitze den Winkel « — 34° 18' 36" hat; wie groß ist der Inhalt des Kegels? 2n - °- V --- 8IQ ce 608 . 19. Die Achse a eines schiefen Kegels bildet mit der Grundfläche, deren Halbmesser r ist, den Neigungswinkel «; wie groß ist der Halbmesser der um den Kegel beschriebenen Kugel? 20. Ein Kreissector, dessen Centriwinkel « und dessen Halbmesser r ist, dreht sich um den zur Sehne seines Bogens parallelen Durchmesser; wie groß ist a) die Oberfläche 0, d) das Volumen v des Rotationskörpers? 0 — 2 rr ^2 siu -j- eos v — 21. Gegeben sind der Halbmesser k und r der größeren und der klei¬ neren Grundfläche eines geraden Kegelstumpfes und der Neigungswinkel « der Seite mit der größeren Grundfläche des Stumpfes; bestimme die Höhe einer Kugelmütze, welche der Manteloberfläche des Kegelstumpfes gleich ist und zu einer Kugel gehört, welche die Höhe des Stumpfes zum Halbmesser hat. 22. Wie hoch muss ein Berg mindestens sein, damit man seine Spitze vom Meere aus noch in einer Entfernung von 100 Kilometer sehen kann? 23. Wie groß ist die Fläche der Erde, die man in einer Höhe von 75 m übersieht? 24. Wie viel geogr. Meilen hat der Parallelkreis von Wien in der geogr. Breite von 48° 12' 35"? (Halbmesser der Erde — 858'474 geogr. Meilen.) 25. Bei welcher geogr. Breite beträgt ein Grad des Parallelkreises 8'623 geogr. Meilen? 26. Zwei Orte der Erde liegen auf dem qoten Grade nördlicher Breite und haben eine östliche Länge von bezüglich 4 und 4/; wie weit sind dieselben längs ihres Parallelkreises von einander entfernt? -p---47°58', 1--42°15', 1'— 31° 37', r — 858-474. 27. Zwei Orte haben gleiche geogr. Breite (48° 12' 35"), ihre Mittage differieren um m (10) Minuten; wie groß ist ihr Abstand längs des Parallelkreises? 28. Zwei Orte von gleicher geogr. Breite go (74° 4') sind längs des Parallelkreises o (442) Meilen von einander entfernt; wie viele Grade beträgt der Unterschied ihrer geogr. Längen? 29. Bestimme die Höhe und die Oberfläche ») der heißen Zone, d) der gemäßigten Zone, o) der kalten Zone der Erde, wenn man den Erdhalbmefser r — 858'474 geogr. Meilen und — 23° 28' als den Abstand des Polar¬ kreises vom Pole, wie auch als den Abstand des Wendekreises vom Äquator annimmt. 220 Dritter Abschnitt. Sphärische Trigonometrie. I. Auflösung der sphärischen Dreiecke. 1. Rechtwinklige sphärische Dreiecke. Z. 404. Ein sphärisches Dreieck kann einen, zwei oder auch drei rechte Winkel enthalten. Sind alle drei Winkel eines sphärischen Dreieckes rechte, so sind die drei Seiten Quadranten; kommen zwei rechte Winkel vor, so stehen denselben ebenfalls Quadranten gegenüber und die dritte Seite muss ebenso viele Grade enthalten wie der dritte Winkel. Diese beiden Fälle geben also zu keiner Aufgabe Anlass, und es brauchen hier nur solche sphärische Dreiecke betrachtet zu werden, welche bloß einen rechten Winkel enthalten. Trigonometrische Lehrsätze über das rechtwinklige sphärische Dreieck. §. 403. Es sei ^8 0 (Fig. 187) ein bei rechtwinkliges sphärisches Dreieck, und 0 der Mittelpunkt der zugehörigen Kugel; b und o seien die Katheten, 8 und 0 die ihnen gegenüberliegenden Winkel und s, die Hypotenuse. Setzt man zunächst alle drei Seiten und die Winkel 8 und <1 kleiner als 90° voraus, zieht OO si, 0^, 08 08, und verbindet I) mit 8, so ist (tz. 219, 2) OO Ebene L.08; 1)8 ist dann die Projection der 08 auf ^.08, und daher .1. 08 (Z. 210); mithin ist Winkel 080 — 8. 1. Man hat nun 08 — 00. oos s., 08 — OO . vos e — 00. v08 l> oo8 o; daher 0 0 . oo8 a — O 0. oo8 1> oo8 o, mithin L08 3. — 008 l) 008 o... 1); d. h. der Cosinus der Hypotenuse ist gleich dem Producte aus den Cosinus der beiden Katheten. 2. Ferner ist OO — 00 . mn b, 0 O — 0 8.8in 8 — O 0. 8in a sin 8; mithin 00.8iQ i> — 00.8in a 8in 8, und folglich 8iu l) — 8IQL 8IQ 8. Ebenso erhält man mno — mu a mnO; d. h. der Sinus einer Kathete ist gleich dem Producte aus dem Sinus der Hypotenuse und dem Sinus des dieser Kathete gegen¬ überliegenden Winkels. 3. Es ist auch 08 — 08.008 8 — 00.8in a eo8 8, 08 — OO. 8in o —00. oo8 d 8in o 00 . oo8 b 8in a 8in 0 (nach 2); mithin 00. 8in a oos 8 — 00 . oo8 d 8in a 8in 0, folglich ^...2); 221 608 L — 008 K 8IU 0, I o. und analog 008 6 — 008 o 8IU 8; d. h. der Cosinus eines schiefen Winkels ist gleich dem Producte aus dem Cosinus der gegenüberliegenden Seite und dem Sinus des andern schiefen Winkels. 4. Man hat ferner 0D — 08. taug l>, 08 — 08.8iu 8 — 08. taug a 8iu 8 — O8.oo8 e taug a 8iu 8 — 08.taug a oo8 0 (nach 3); daher 08. taug ib — O 8. taug a ooo 0, oder taug l> — taug- a 008 0, l und analog taug e — taug a oo8 8; f- - d. h. die Tangente einer Kathete ist gleich dem Producte aus der Tangente der Hypotenuse und dem Cosinus des dieser Ka¬ thete anliegenden schiefen Winkels. 5. Auch ist 6V — 08.taug b, 08 — 88.taug 8 — 08.8iu o taug 8; folglich 0 8. taug 3 — 0 8.8iu o taug 8, oder taug 3 — 8iu o taug 8, l und analog taug o — 8iu 3 taug O; I' - - o), d. h. die Tangente einer Kathete ist gleich dem Producte aus dem Sinus der andern Kathete und der Tangente des der er¬ steren Kathete gegenüberliegenden Winkels. 6. Aus 1) und 3) erhält man endlich . LOS ö oos 0 . 008 a — 008 3 008 0 — -— oder Sill O sm t!' 008 a — oot 8 oot 0.6); d. h. der Cosinus der Hypotenuse ist gleich dem Producte aus den Cotangenten der beiden schiefen Winkel. Setzt man statt der Katheten 3 und o deren Complemente l? und ost so erhält man aus den vorstehenden sechs Formeln 008 a — 8IU l? 8IU 0^ 008 3^ — oiu a 8IU 8 008 8 — 8IU 3^ 8IU 0 > o oot 0 — taug a. 008 8 oot — 008 30 taug 0 008 a — oot 8 oot 0 Lässt man den rechten Winkel stücke des Dreieckes: 008 a — 8IU 3^ 8IU 0^ 008 3^ — 8IU L 81U 8 008 8 — 8IU 3^ 8IU 0 . ober ) st 008 8 — oot a . oot o 008 3^ — oot 0^ oot 0 008 a — oot 8. oot 0 . :t, so sind die fünf andern Umfangs- o 3 8 .. 0 a und die Formeln st sagen: 222 Der Cosinus eines Stückes ist gleich dem Producte aus den Sinus der beiden gegenüberliegenden Stücke, oder ist gleich dem Producte aus den Co- tangenten der beiden anliegenden Stücke; doch sind statt der Katheten deren Complemente zu setzen. (Neper'scher Satz vom rechtwinkligen Dreieck.) Zusätze. 1. Die Entwicklung der vorhergehenden Gleichungen beruht auf der Voraussetzung, dass a, st, o, sowie lö, 0 einzeln kleiner als 90° sind. Trifft diese Voraussetzung nicht ein, so darf man nur die Figur in entspre¬ chender Weise ändern und dann das gleiche Verfahren, wie vorhin, anwenden; man erhält mit Berücksichtigung der Vorzeichen in jedem Falle dieselben Gleichungen, wie früher. Diese haben demnach allgemeine Giltigkeit. 2. Ist in einem sphärischen Dreiecke eine Seite — 90°, so ist das Polar¬ dreieck ein rechtwinkliges; folglich können auch hier die vorhergehenden Glei¬ chungen nach gehöriger Umänderung angewendet werden. Folgesatz. In der Gleichung 008 L — 0O8 l> sin 6 (in 3) ist 8IQ 0 immer positiv; also müssen ooo L und oos st stets gleiche Vorzeichen haben. Ist daher st 90°, und folglich ooo st 0, so muss auch oos l8 0, somit L 90° sein. Umgekehrt: Wenn 8 90° ist, so muss auch st 90° sein. AuslssnngsfäUr. Z. 406. I. Gegeben die beiden Katheten st und o. Aus 608 a — 8IN st' 8IQ o', 608 o' — 60t st' 60t L, 608 st' — 6ot 6 eot 0 folgt 008 a — 608 st 608 6, taug lö — taug 0 — Es sei z. B. st — 27° 28' 36" und 6 51° 12' 8". Man hat log 608 st — 9 94 802 log 608 6 — 9'79 697 log 608 a — 9'74 499 a — 56° 13' 41" log taug st — 9'71 604 log 8in 6 — 9'89 174 log taug L —9'82 430 L — 33« 42' 49" log lang 6 — 10 09 476 log 8in st — 9'66 406 log taug 0 — 10'43 070 6 — 69° 38' 54". 'S». II. Gegeben die Hypotenuse a und eine Kathete st. Aus 608 a — sin st' 8IN 6', 608 st' 8IN a 8in u, 608 0 — 60t a oot st' folgt 008 A . 8IQ d d 008 6 — - 77, 8IQ 1Z — —-, 008 o — —. 008 8IQ tav^ a Obwohl zu 8in L im allgemeinen zwei Winkel gehören, ein spitzer und ein stumpfer, so fällt doch hier jeder Zweifel weg, da 13 90° angenommen werden muss, je nachdem st 90° gegeben ist. 223 III. Gegeben eine Kathete b und ihr gegenüberliegender Winkel 8. Aus oos 5^ — sin a. 8IQ 8, LOS 0' — 00t 5^ 00t 8, 00s 8 — sin I? sin 6 folgt . sin b . tLii? b . eos L 8IN a —- . 8IN 6 — 7 — 8IN I/ — - SLL L' tLLF IV COL I) ' oder aus 608 a — 8in 8IN 6^, 608 0 — 00t L 00t I/ folgt eos L tsiiK' d 008 0 — - 00s — 7-. 00s n ' tSLx L Wenn a gefunden wurde, so können daraus mittelst der Gleichungen für oo8 0 und 608 0 die Werte für 0 und 0 unzweideutig bestimmt werden; allein zur Bestimmung von s, kennt man nur den Sinus von a, daher lässt diese Aufgabe zwei Lösungen zu. IV. Gegeben eine Kathete d und ihr anliegender Winkel 0. Aus 608 0 — 00t a 00t Ich 008 — 00t 0 00t o^, co8 8 — 8in 8IN 0 folgt tanA a — ^0^0^ , tanA o — 8in I> tanZ O, 608 8 — 008 I) 8in 0. V. Gegeben die Hypotenuse a und ein anliegender Winkel 8. Aus 608 I/ — 8IN s, «in 8, 608 8 — 60t Ä 60t 6^, 608 a 6ot 8 60t 0 folgt 8IN 5 — 81N a 8IN 8, tanA 6 — tanK L 608 8, 60t 0 — 608 a tLNA 8. Hier ist 5 durch 8in b eindeutig bestimmt, da man d 90° annehmen muss, je nachdem 8 S 90° ist. VI. Gegeben die beiden schiefen Winkel 8 und 0. Aus 608 L — 60t 8 60t 0, 608 8 — 8IN 5° 8IN 0, 608 0 — 8IN 6^ 8IQ 8 folgt . . cos 8 eos 0 608 a — 60t 8 60t 0, 608 b — - — 77, 608 6 — „. , 5IQ SIQ L) 2. Schiefwinklige sphärische Dreiecke. Trigonometrische Lehrsätze und Formeln über das schiefwinklige sphärische Dreieck. Z. 407. Es sei L.80 (Fig. 188) ein schiefwinkliges sphärisches Dreieck, a, b, 6 seien seine drei Seiten, 8, 0 die ihnen gegenüberliegenden Winkel. Fig. 188. Zieht man durch 0 einen größten Kreisbogen 01),j, <7 ^8, und bezeichnet die Bogen 81) und OO / v-/x bezüglich durch m, n und p, so ist (Z. 405, si) in den rechtwinkligen Dreiecken 81)0 und LV0 / X 008 p' — 8in a 8in 8, und / j X 608 — 8in 5 8in daher .M V 8ill n 8IN 8 — 8in k) 8in oder ---—-70 . . . . . . oL) 8IN L : 8IQ d — 8IN L : 8M 8; d. h. in jedem sphärischen Dreiecke verhalten sich die Sinus zweier Seiten wie die Sinus ihrer Gegenwinkel (Sinus-Satz). 224 Analog von sin a sin L — sin 8 sin erhält man sin a sin O — sin e sin > sin d sin O — sin o sin L. . Die Gleichungen I) sind auch dann giltig, wenn der normal gelegte größte Kreisbogen außerhalb des Dreieckes ^.80 fällt; man erhält dann nach dem obigen Vorgänge sin (180° — ^), sin (180° — 8) oder sin (180 — 6), welche jedoch bezüglich mit sin sin 8 oder sin 6 gleich sind. ß. 408. 1. Im rechtwinkligen Dreiecke 81)0 (Fig. 188) ist nos n — sin pll sin ill — oos p oos n — oos p oos (o — m), oder eos a — oos p oos o oos na -s- oos p sin o 8in m. Nun ist oos x oos m — oos 8, und wegen oos — oot 8 oot tan§ na — oos tanA 8, daher oos p sin na — . sin na — oos 8 tanZ na — oos !a tan^ 8 oos — sin 8 oos Mit diesen Werten erhält man für oos n: LOS s, — LOS 8 oos o -s- sin 8 sin o oos s Analog erhält man I oos 8 — oos a oos o -s- sin a sin o oos 8, l - - 008 o — oos s, oos 8 -j- sin Ä sin 8 LOS 0; j d. h. in jedem sphärischen Dreiecke ist der Cosinus einer Seite gleich dem'Producte aus den Cosinus der beiden anderen Seiten, vermehrt um das Product aus den Sinus dieser Seiten und dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. (Cosinus- Satz für eine Seite.) 2. Im rechtwinkligen Dreiecke ^.OO ist oos — LOS p sin X — oos p sin (0 — ^), oder oos — oos p sin 0 oos — oos p oos 0 siia Nun ist oos x sin — oos 8 (K. 405, 3), und daher oos p oos . oos — oos 8 oot — oos 8 . (8- 405, 6) — sin 8 oos a. Damit erhält man für oos L: oos — — oos 8 oos 6 -s- sin 8 sin 6 oos u. s Ebenso findet man ! oos 8 — — oos oos 6 -s- sin sin 0 oos 8, l ''' oos 6 — — oos oos 8 -s- sin sin 8 oos o; s d. h. in jedem sphärischen Dreiecke ist der Cosinus eines Winkels gleich dem negativen Producte aus den Cosinus der beiden an¬ deren Winkel, vermehrt um das Product aus den Sinus dieser 225 Winkel und dem Cosinus der von ihnen eingeschlossenen Seite. (Cosinus-Satz für einen Winkel.) Die Gleichungen II a) und II b) sind allgemein giltig, da man die¬ selben Ausdrücke auch dann erhält, wenn der durch einen Scheitel des Drei¬ eckes aus die Gegenseite normal gelegte Bogen außerhalb dieses Drei¬ eckes fällt. Z. 409. I. Um aus den Gleichungen IIa) logarithmisch bequeme For¬ meln abzuleiten, hat man zunächst aus der ersten Gleichung: , CVS L — Los b eos L , , oos L. —-——-, daher sm d sm o ' , , sin b si» L Los b eos L — Los s Los (b — o) — Los s sin d sin L sin b sio L k . sin b sin o — oos d Los L -t- Los L oos » — Los (b 4- L) I -fi LOS - — '———77-^—— ' 8IQ v 81Q 6 8IQ 0 8IN 6 oder mit Rücksicht auf Z. 356, Form. 24) und 23), und Z. 358, Form. 36) / . L sill r (s I z — e) sin (s — d -U o) ^SIN b o / , n _ sin (a -j- b 4 < -) »io (b 4 e — s) ^608 sin b sin e Setzt man nun a -s- 6 -s- o — 2k, so erhält man die Halbwinkel- III a). Auf gleiche Weise findet man auch die Functionen für und L 608 — sio s sm ss — s) sio d sin o 's — v) sin (s — L) sin b siu L Daraus folgt tan§ 4^ l' - b) sm (s - e) . sio s sin (s — s.) 2. Wendet man denselben Entwicklungsgang auf die Werte für eos a, 608 6 und 608 6 aus den Gleichungen II6) an, so erhält man, wenn L -fi L -fi 0 — 28 gesetzt wird, die Halbseitensätze: a 608 tanss — » - Los 8 Los (8 -- L) f »/ sili L si-ll o I » Los (8 — L) eos (8 — 6) ! m sin L sin l) I — Los 8 LOS (8 — X) Los (8 — L) eos (8 — 6) Auf gleiche Weise findet man anch die Functionen für und . Z. 410. Gauß'sche Gleichungen. Substituiert inan in der Gleichung SIN ^ (^. -s- L) — 8IN 608 1 -I- 608 SIN -2> die Werte von sin oos aos sin aus Illa), so hat man Moeuik, Geometrie. 15 226 sin -s -s- 8) — daher 6, sin -s- 8) oos o — vos -z- (a —l>) oos 0. Ebenso ergibt sich sin 7 — L) siu o — sin (a — ch) oos vos -s- L) oos o — oos (s, -s- lo) sin 6, oos — L) sin H o — sin (a -s- d) sin O. . Schreibt man diese Gleichungen in der Form gleicher Quotienten siu -s- L) oos (s — b) oos r 0 Los L ' so gehen aus einer derselben alle übrigen hervor, wenn man auf der einen Seite die ge¬ schriebenen Vorzeichen und auf der andern Seite die Functionszeichen siu und oos ver¬ tauscht. siu s siu (s — b) siu a slu o — b) siu (s — o) siu a siu b > - s) ötu (s - o) siu L siu o LIN s LIN (s - o) sin L siu b _ 2 siu L oos 4 0 - b) 008'0 — <-o-l (L — d) 00^, , 2 sin r. o oos o ' oos o ' ' sin s sin (s — a) sin b sin o sin (s — b) -s- sin (s — s) sin o Folgesatz. Da in der Gleichung oos (ll -s- 8) oos -x o — oos (n -s- l>) sia 0 oos o und sin 6 immer positiv sind, so müssen oos (ll -j- 8) und oos (a -s- lr) stets gleiche Vorzeichen haben. Ist daher a -s- d 180°, also oos (a -s- l>) 0, so niuss auch oos (^. -s- 8) 0, somit -s- 8 180° sein. Umgekehrt: Ist -s- 8 180°, so ist bezüglich auch a -s- l> - 180°. Z. 411. Neper'sche Analogien (Gleichungen). 1. Dividiert man die vierte der Gauß'schen Gleichungen in IV) durch die dritte, dann die zweite durch die erste, so ergibt sich tauK (n -s- b) MK^-tauK o l tnns - - d) - e 2. Dividiert man ferner die erste der Gauß'schen Gleichungen durch die dritte, und die zweite durch die vierte, so erhält man t-wA O -s- 8) oot 6 tauA — 8) — ^-f-^^.eot 0 o 8LQ 2 (s -j- o) 227 Auflüsmrgsfülle. Z. 412. I. Gegeben zwei Seiten a und b und der von ihnen eingeschlossene Winkel 6. Die Winkel und 8 ergeben sich aus den Neper'schen Gleichungen Vb). Die dritte Seite o kann dann am vortheilhaftesten durch Anwendung einer der Gauß'schen Gleichungen in IV) berechnet werden. Ist z. B. a 97° 30' 20", b 55° 12' 10", 0 39° 58', so hat man (re-s-5) ^76° 21'15", (a - 6)21° 9'5", 4t 19° 59'. IoZ 608 (a— b) — 9'96971 loA 8IU (a — d) — 9'55731 lox oot 0 10'43 933 lo^ oot 0 — 10'43 933 20'40 904 19'99 664 Io§ vos (a 4- 6) — 9'37 276 IoK siu -s (a -s- 5) — 9'98 757 Io§ tau^ (^. -s- 8) — 11'03628 Io§ tan§ 4 (L — 8) — 10'00 907 -s- 8) 84°44'40" - 8) 45°35'53" daher ' 4e 130° 20'33", 8 —39° 8'47". Zur Berechnung von e ans den Gleichungen in IV) hat man z. B. , 608 (a — Io) 1 6 . 1 siu 4- (lr. — 1)) 1 o 4 6, oder MU 6 - 0 und erhält nach beiden Formeln o — 56°40' 16". Durch die Anweudung mehrerer Gauß'scher Gleichungen erhält man eine Probe für die Richtigkeit der Rechnung. Zusatz. Die Seite o kann auch unabhängig von und 8 unmittelbar aus den gegebenen Stücken bestimmt werden; man bedient sich dazu der Gleichung des Systems II a) (>08 6 — 608 a 008 l) -s- siu a siu 6 LOS 6, welche jedoch durch Einführung eines Hilfswinkels logarithmisch brauchbar zu machen ist. Es ist 608 6 — 608 L (608 6 -s- siu 6 tauA a 608 0). Wird nun ein Hilfswinkel rv so bestimmt, dass tsuA rv — tanK a 008 0 ist, so hat man dann 608 6 — 608 a (oos 5 4- SIU 5 ta.UA v) (oo8 5 608 rv -s- siu 5 siu ve); somit 608 a 608 (d — 008 6 — --- 608 IV tz. 413. II. Gegeben zwei Winkel und 8 und die von ihnen eingeschlossene Seite 6. Die Werte für die Seiten s. und b ergeben sich aus den Neper'schen Gleichungen V a) und den Winkel 0 findet man dann mittelst der Gauß'schen Gleichungen. Ansatz. Der Winkel 0 kann auch unmittelbar aus den gegebenen Stücken mittelst der Gleichung des Systems II d) 15* 228 daher oos 6 — — oos L oos L st- sta L. sin L oos o — eos L. (— oos 8 st- si» L tsvg L oos o) berechnet werden, wenn man einen Hilfswinkel n so bestimmt, dass eot w — taug L. oos o wird. oos 6 Tann hat man — oos L (— oos 8 -j- siu L oot v) — (— oos L siie -st- sin L oos ^v), sru vv oos siu s8 — vr) oos 0 —--—---- SIU ß. 414. III. Gegeben zwei Seiten a und b und ein gegenüber¬ liegender Winkel /V. Für den Winkel 8 findet man aus dem System I) . -s-, 81L 8111 d 81V — —. - . 81L L Hier kauu 8 im allgemeinen spitz oder stumpf sein und die Aufgabe lässt zwei Auslösungen zu; nur unter besonderen Voraussetzungen kann das Dreieck ein eindeutig bestimmtes sein. Es sei erstlich — 90°. Für a st- 5 180° ist dann auch st- L E 180°, daher bezüglich 8 90°. Die Aufgabe ist eindeutig. Es fei ferner < 90°. Für a st- 6 > 180° muss auch st- 8 > 180°, somit 8 > 90° sein; die Aufgabe lässt dann nur eine Auflösung zu. Für a st- 6 < 180° aber, und somit st- 8 < 180°, kann 8 90° sein, und es gibt zwei Dreiecke, wenn nicht der stumpfe Winkel 8 so groß ist, dass st- 8 > 180° wäre, was immer eintritt, wenn b < a ist; in diesem Falle darf 8 nur spitz genommen werden. Ist endlich > 90°, so hat man für a st- Io < 180° auch st- 8 < 180°, und somit 8 <90°; das Dreieck ist also eindeutig bestimmt. Wenn dagegen g. st- l) > 180° und daher anch st- 8 > 180° ist, so kann 8 90° sein; die Aufgabe ist also zweideutig, ausgenommen, wenn der spitze Winkel 8 so klein ist, dass st-8 < 180° wäre, was für eintritt, in welchem Falle dann 8 nur stumpf sein kann. Das Dreieck hat also zwei Auflösungen, wenn < 90°, a st- b < 180° und a < b, oder > 90°, a st- 5 > 180° und a, > k ist. Ist 8 bestimmt, so erhält man für o und 6 aus V a und V b , siu 1 -z- ö) . ,. tan" sto — . ). - ist.tanA st (a st- b), 0-2 SIQ st (L N) s 2 oot st 0 — ^-f ^l-.tanA st st- 8). - sen st (a — b) s 2 v - Es sei z. B. a, 2^ 57° 38', b 31° 12h str 104° 25' 30". Dian erhält zuerst 8 — 36° 26' 25". Da hier > 90°, a st- d < 180°, somit auch st- 8 < 180" ist, so muss 8 < 90° sein. Ferner hat man 229 a -s- 5 88° 50' a — b 26° 26' L. -s- L --- 140° 51'55" —67° 59'5" Io§ sin -s (ll -s L) — 9'97 417 IoZ tan§ 4 (a — 5) — 9'37 080 19'34 497 1c>A sin 4 (^ — L) — 9'74 747 loZ tailA -z- e — 9'59 750 4 e — 21° 35'40" o 43° 11' 20" 4 (s. -s k) — 44° 25' 4 (a — b) 13° 13' 4 (L -fi L) 70° 25'57-5" z (^ — L) - 33° 59'32'5" Io§ sin 4 (s. -j- d) — 9'84 502 IoAtanZ4(^— L)— 9'82 886 19-67 388 Io§ sin 4 (ki — 5) — 9'35 914 Ic>F oot 4 O — 10'31 474 4 0 — 25° 50' 54" O — 51° 41'48". K. 415. IV. Gegeben zwei Winkel Z und L und eine gegen¬ überliegende Seite s. Für die Seite » hat man sm o — ——. Für o und 0 geben die Neper'schen Gleichungen V a) und V b) ° Iwj(1-lls' " b)' 0 - tanF 4 - L). Da b aus sin b zu bestimmen ist, so bietet diese Aufgabe nur in besonderen Fällen eine einzige Auflösung. Durch ähnliche Folgerungen, wie in H. 414, kann man sich überzeiigen, dass zweideutige Fälle eintreten, wenn a < 90°, -s- L < 180° und < L, oder a > 90°, 4. fi- H > 180° und 4. > L ist. Z. 416. V. Gegeben alle drei Seiten a, d und o. Zur Bestimmung der Winkel bedient man sich der Halbwinkelsätze. Z. B. a — 50° 54' 32", k — 37° 47' 18", o 74° 51' 50". Ebenso findet man L 33° 22'45" und 0 — 119° 55'6". Zusatz. Sind alle drei Winkel zu berechnen, so ist es am vortheil- haftesten, zuerst sw (s — L) sw (s — b) siu (s — e) sw s — tavA r 230 zu bestimmen; dann ist tsn§ r ö 6 __ tLi-Z r sill (s — b)' ^2 sill (s — e)' Z. 417. VI. Gegeben alle drei Winkel 8 und 0. Die gesuchten Stücke ergeben sich aus den Halbseitensätzen. Zusatz. Sind alle drei Seiten zu bestimmen, so wendet man am be¬ quemsten die Substitution an » /" — eos (8 — L) cos (8 — ö) eos (8 — 6) eos 8 und rechnet nach den Formeln a 00t R d 00t R , e 00t R 601 - vv, ool) -^r, 601 - - 7^ -7^. 2 608 (8 - 2 608 (8 - L/ 2 603 (8 - 0) 3. Bestimmung des Flächeninhaltes eines sphärischen Dreieckes. Z. 418. Sind von einen: sphärischen Dreiecke der Kugelhalbmesser r und die drei Winkel 8, 0 gegeben, so ist der Flächeninhalt (ß. 333) . 2 L -t- L -U 6 — 180° t -EO—-. wo -s- 8 -tz 0 — 180° — 6 den sphärischen Excess ausdrückt. Sind nun drei andere Stücke als die drei Winkel gegeben, so lassen sich aus denselben die drei Winkel, also auch der sphärische Excess und der Flächen¬ inhalt, berechnen. Man kann zwar auch in diesen Fällen besondere Ausdrücke für den sphärischen Excess entwickeln; dieselben haben aber zumeist eine minder zweckmäßige Form. Wir beschränken uns daher nur auf die folgenden zwei Fälle, für welche sich ebenso einfache als elegante Formeln ergeben. Z. 419. Den sphärischen Excess eines rechtwinkligen sphäri¬ schen Dreieckes aus dessen zwei Katheten d und o zu bestimmen. Es ist v — 8 -s- 0 — 90°, daher eos s — cos (— s) — vos !90° — (8 -s- 6)l — sin (8 -s- 0) — SIN 8 LOS 6 -s- LOS 8 siu 0 sill b tsus» b , irws e sill e — -— . s-s- — - -— (8- 40o, 2 und 4) Sill L MllZ" s tllllA, Ä Sill Ä — (sill eos e -P- sin e^ eos d) eos » sill »2,xos b eos e sin eos e -t- sill «2 eos t> . — - 1 __ cos L- -(8- -40», I), oder (eos d -s- eos e) (1 — eos b eos e) - .. eos 6 — .2 - (8- Mo, 1), zonnt 1 — 608 1)2 008 62 008 d -7- 008 0 608 6 — --V-. I -j- 003 0 008 0 Daun erhält man , (1 — eos b) (1 — eos e) . I — LOS 6 — --—iUNd 1 -j- 008 v 008 6 231 1 -st- 008 6 — (1 -s - LOS d) (1 -s- eos e). 1 -j- eos b vos e ' folglich ist » /^1 — eos s Ist- eos g I — eos b 1 st- eos b 1 — eos e 1 st- eos e oder — tang ^-.tang (8- 356, 27). Z. 420. Den sphärischen Excess eines schiefwinkligen sphä¬ rischen Dreieckes aus dessen drei Seiten a, k und o zu be- stimmeu. Es ist e itzch 8 — (180° — 6), daher sto - st ist (^. ch 8) - (90° - 6)), folglich nach ß- 358, 38) 1 st» st st- 8) — sili (90° — st O) sill st (L. st- L) — eos st 0 kkMA 4 6 — ogg stlstg) st_ oos (90° — st O) eos st (L st- S) st- siir st 0 _ (eos st (L — d) — eos st (st. eos st 0 joos st (ll st- b) st- eos st es.sill st 6 / sill st (a st- e — N) sin st (N st- e — s) eos st (s -s bst- c) eos st (s st- b — e) .oot st 0. Setzt man ast-d-s-o — 2s, so folgt mit Rücksicht auf 8- 409, 1 tE st 0 -- l^-ksstillst(s - a) ^^sws.sillst^est7 oder tung st 8 — tang st 8 tang st (s — a.) tung st- (s — k) tang st (s — e). Dieser Ausdruck heißt die l'Hulier'sche Formel. 4. Übungsaufgaben. 8- 421. Beispiele zur Berechnung rechtwinkliger sphärischer Dreiecke. Beweise, dass für jedes sphärische Dreieck folgende Gleichungen statt¬ finden: 6. sin t) V08 — eos s, sin e — sin g. eos e eos 8. 7. sin k eos u — eos sin O st- sin eos 0 eos 5. Aus den Systemen II») und II b), indem in der ersten Gleichung für eos b, be¬ züglich für eos 8, der Wert aus der zweiten Gleichung gesetzt wird. 8. oot u sin t> — oot sin 0 st- eos 0 eos t>. 9. oot sin 8 — oot u sin o — eos o eos 8. 232 Aus 7. und 6., indem für sin L und sill b bezüglich die Werte -- . sili s Sill L und -—;— gesetzt werden, sin L 10 tLn§ ^(L-s-b) t-mx r (L-s- L) tLNA 1 (s — d) tLNA 1 (L — L) ' Aus den Neper'schen Gleichungen in V »). Arispirle zur Berechnung schiefwinkliger sphärischer Dreiecke. 11. 47° 42' 1", d— 63« 15'12", 50° 2' 1", 55° 52'43", 8^- 88° 12'20", 0^ 59° 4'25"; 1—04033r°. 12. 99° 28'18", 5— 78° 35'34",«^ 68° 24'24", A —105° 5'32", 8^- 73°38'28",O — 65° 31'34"; 1—1 1215r°. 13. s. 54° 28', b 123° 43', o 73° 15' 20", A 21° 17' 22", 8 158° 14' 16", 0-^ 25° 17' 35"; 04333 iA 14. n 55° 42' 43", 6 — 120° 55' 35", 6 88° 12' 20", A — 47°52' 1", 8^ 129°57'59", 0^- 63° 15'12"; k— 1 0632r'. 15. 63° 14'39", d — 107° 52'24", o 125° 5'41", 69°25'11", 8 — 93°46'14", 0—120°55'35"; 1'8172r°. 16. 109° 39'21", 6— 46° 42'11", o — 69° 50', 146° 58'20", 8^ 24°54'47", 6— 32° 54'28"; 1^0 4327 r". II. Anwendung der sphärischen Trigonometrie. 1. Ausgaben aus der Stereometrie. H. 422. Die in M. 405, daun 407—411 entwickelten Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreieckes enthalten (ß. 271) zugleich auch die Beziehungen zwischen den Seiten (Kantenwinkeln) und den Winkeln (Flächenwinkeln) eines Dreikants. me gemessenen Winkel auf den Horizont zu Es sei A08 — rv (Fig. 189) ein im Raume gemessener Winkel, 0A' und 0 13' seien die Projec- tionen seiner Schenkel auf die Horizontalebene 8K, A.0A' — « und 808' — /? die Neigungswinkel der¬ selben gegen den Horizont; zu suchen ist der Winkel A/08' —x, den die beiden Projectionen in der Horizontalebene bilden. Die Ebenen der Neigungswinkel A O A' und 808' schneiden sich erweitert in der Geraden 00, welche zur Horizontal¬ ebene normal ist (H. 220). Beschreibt man nun in dem Dreikante OA.80 um 0 eine Kugel, deren Oberfläche die Kanten des Dreikants in den Punkten Ll, 8 und 8 schneidet, so erhält man das sphärische Dreieck U88, in Einen im Ra reducieren. Fig. iss. 233 welchem die drei Seiten Llidl — rv, N? — 90° — «, — 90° — ,3 bekannt sind, und der Winkel k den gesuchten Winkel x darstellt. Nach Z. 409, 1 erhält man demnach X « VOS s VOS (s — ^v) 00^ Z eos « egz /Z ' wenn — 2s gesetzt wird. Z. 423. Ein reguläres Polyeder wird von x ra-seitigen Vielecken, von denen je n in einer Ecke zusammenstoßen und deren Seite a ist, ein¬ geschlossen; man suche (Z. 252 und Fig. 139) a) den halben Neigungswinkel 4D0 — zweier in einer Kante zusammen¬ stoßender Seitenflächen; 5) den Halbmesser 04 — r der dem Polyeder eingeschriebenen Kugel; o) den Halbmesser 0^. —R der dem Polyeder umgeschriebenen Kugel; ä) die Oberfläche O; und s) das Volumen V des Polyeders. Aus der dreiseitigen Ecke 0 41-^. erhält man, wenn — go und — r/i gesetzt wird, oos ^.01- " und oos40U——; sm siii P ' . vosi/, daher ist sm — oos 4 O I. — , r — oot tauA ianZ tanz III p 3^ X7- p 2 o — oot P, V — oot go" tanz -2-, Z. 424. Aus den drei Kanten a, st, o eines schiefwinkligen Parallel- epipeds ^«lld den Winkeln «, welche jene Kanten mit einander bilden, das Volumen V des Parallelepipeds zu bestimmen. Nimmt man a und st als zwei Grundkanten an und bezeichnet den Neigungswinkel der Seitenkante o gegen die Grundfläche durch rv, so erhält man zunächst V — ast o sin sin Astrd nun zu dem Dreikante, welches die Kanten a, st, o bilden, ein sphärisches Dreieck construiert, so sind «, st, dessen Seiten; der Neigungs¬ winkel rv erscheint in diesem Dreiecke als der auf die Seite / durch den gegenüberliegenden Scheitel normal gelegte Bogen. Unter Berücksichtigung der ZZ. 407 und 409, 1 findet man daher, wenn der von den Dreiecksseiten « und eingeschlossene Winkel durch L bezeichnet und — 2a gesetzt wird, 8IN — 8IQ 81N D — 8IH « 81Q 008 — sin s sin (s — «) sin (s — /3) sin (a — ^); somit ist V — 2asto s sin o sin (s — «) sin (s — /3) sin (s — 234 2. Ausgaben aus der mathematischen Geographie und sphärischen Astronomie. Z. 425. 1. Aus den geographischen Breiten zweier Orte der Erdoberfläche und deren Längenunterschiede den sphärischen Ab st and derselben zu bestimmen. (Die Erde wird als Kugel ange¬ nommen.) Sind N und X (Fig. 190) die beiden Orte, so ist ihr Abstand NN ein Bogen eines größten Kugelkreises. Es sei R der Pol und AH der Mq, igy, Äquator; dann sind Nm und Xn die Breiten /» dieser Orte, und deren Längenunterschied mn gleich dem Winkel NRN. / XL/X Setzt man Nm — -r, Nll — /1, mn — 1., / /vX j'E so sind in dem sphärischen Dreiecke NNR zwei "ch Seiten NR — 90° — « und NR — 90° — s "r » /2- sammt dem eingeschlossenen Winkel NRN 1 X / gegeben, und man hat (nach tz. 412, Zus.) X. r SIL « SIL (6-!-vv) __008 NN — - eos iv ' wozu der Hilfswinkel vr aus tauZ v — oot « aos berechnet wird. Man sucht daher zuerst v, daraus den Bogen NN, und verwandelt diesen in geographische Meilen, deren 15 auf einen Grad gehen. 2. Aus dem sphärischen Abstande zweier Orte auf der Erde und ihren geographischen Breiten den Unterschied ihrer Längen zu berechnen. Haben cc, und 1 die Bedeutung wie in 1. und wird die Entfernung NX im Bogenmaße durch ä ausgedrückt, so erhält man (nach Z. 409, 1) . 1 I — I /" eos (s-j-o-)oos (s-s-K wo 2 6 180° — o -s- K -R s ist. ß. 426. ES sei 8 (Fig. 191) irgend ein Gestirn, 2 der Pol des Hori¬ zontes NIR oder das Zenith, R der Pol des Äquators AVH oder der nördliche Weltpol, N der Pol der Ekliptik NV6; ferner N2K der Meridian des Ortes der Erde, dessen Zenith 2 ist. Zieht man durch 8 und durch die Fig- 191. Pow 2, R, N die größten Kreise 28N, R8R, N8N, welche somit solgeweise zu NR, AH, /Xx/l RO normal sind, so ist /X / Xu- 8 N — tr die Höhe des Gestirns, / ) RN^R2I)^rvdas Azimuth, 8 2 — 90° — li — 2 die Zenithdistanz; / 8 N — S die Declination, X^^ / VN — « die Rectascension, HR — HRN — s der Stundenwinkel, 235 8? — 90° — S — p> die Poldistanz in Bezug auf den Äquator; 80 — § die Breite, VO il die Länge, 88 -- 90° - /1 die Poldistanz des Gestirns in Bezug auf die Ekliptik. Ferner ist V der Frühlingspunkt, 8k — P die Polhöhe (zugleich geo¬ graphische Breite) des Ortes der Erde, dessen Zenith 2 ist, und der Winkel tzVO oder der Bogen 8? — s die Schiefe der Ekliptik. Z. 427. 1. Es seien die Rcctascension « und die Declination ö eines Gestirns nebst der Schiefe der Ekliptik e gegeben; man suche die Länge il und die Breite ch In dein Dreiecke 8k8 (Fig. 192) sind zwei Seiten 8k — e (Z. 426) und k8 — 90° — S nebst dem eingeschlossenen Winkel k — 90° -k « ge¬ geben , und der Winkel 8 — 90° — 4 nebst der Seite 8 8 — 90° — O zu suchen. Aus Z. 412, Zus., folgt nun, wenn man dort a^90° —ch ^.^90°-ä, NS- 192. z, < o^-90° —6^90°-s-« setzt, , 8in ö cos (--k ") ---- , / X wo tanA- n — oot F sin « ist. Zur Bestimmung von 4 hat man dann . 003 « 608 A 008 X, — -. 608 p 2. Wenn il, und e gegeben sind, « und S zu bestimmen. Die Auflösung ist analog wie bei 1. Z. 428. 1. Die Höhe Ii und das Azimuth v eines Gestirns sind nebst der Polhöhe go des Ortes gegeben; man suche die Declination ö und den Stundenwinkel s. In dem Dreiecke 2k8 (Fig. 193) sind zwei Seiten 28 — 90° — 1i und 2 k —90°—-P sammt dem eingeschlossenen Winkel 2 — 180° — rv bekannt, und der Winkel k — s nebst der Seite k8 — 90° — S zu suchen. Fig. 193. Setzt man mit Rücksicht auf Z. 412, Zusatz, g, — 90° — 1i, — s, d 90° — y>, o —90° —F, 0 — 180° —iv, so erhält man zur Berechnung von S die Gleichung . » 8in Ir 8III (

— S )! 2 Sin ^45° -p- 4 (Ii -j- s -s- y>)f Sin j45° — (S -s- P — K)I ' _ I sin j45° — 4 (U -t- ö — -j- oos ä oos oos s. Für den Auf- oder Untergang des Gestirns ist nun k — 0, daher 0 — sin 4 sin y> -j- oos 6 oos , oder oos (180" — s) — tanA 4 tunA folgt, worin s den Stundenwinkel des auf- oder untergehenden Sternes, d. i. die Zeit ausdrückt, welche zwischen der Culmination und dem Auf- oder Unter¬ gänge desselben enthalten ist und der halbe Tag bog en des Gestirns heißt. Z. B. Wie groß ist für Wien der halbe Tagbogen der Sonne am 13. Mai, wo ihre Declination 6 — 18" 25' beträgt? Für Wien ist die Polhöhe yc> — 48" 12'35". Man erhält daher 180° — s — 68° 7'39" und s 111° 52'21". Zur Verwandlung dieses Bogens in Zeit hat man die Proportion 360°: 111° 52'21" — 24 Stunden : x Stunden, woraus x — 7" 27' 29" folgt. Für die Sonne ist s, in Zeit ausgedrückt, zugleich die Sonuenzeit ihres Unterganges und 24" — s jene des Aufganges. Am 13. Mai geht also in Wien die Sonne um 7" 27'29" abends unter und um 16" 32'31", d. i. um 4" 32'37" morgens auf. Für andere Gestirne muss man, wenn die Sonnenzeit der Culmination bekannt ist, von ihr s in Zeit subtrahieren, um die Sonnenzeit des Aufganges, und zu ihr s in Zeit addieren, um die Sounenzcit des Unterganges zu berechnen. Ansatz. Der halbe Tagbogen der Sonne doppelt genommen gibt die Tagcslänge. 237 Da in den Sonnenwenden die Declination ck der Sonne gleich der Schiefe der Ekliptik § — 23° 27' 30" ist, so wird durch oos (180° — s) — tanA r tanZ die Dauer des längsten und des kürzesten Tages bestimmt. 3. Übungsaufgaben. ß. 430. 1. Bestimme «) sin , st) oos H für das reguläre a) Tetraeder, 1>) Octaeder, o) Dodekaeder, ä) Ikosaeder, wenn idi den Neigungswinkel zweier Seitenflächen bezeichnet (H. 423 und Z. 362, 1—3). Für sin i erhalt man ») -b-, b) e) I/ — — - >0 t/ g- 111 2 „ oosiX „ „ a)^, b)-^ ä)^. 2. Ein Achsenschnitt eines Cylinders, dessen Achse a gegen die Grund¬ fläche mit dem Radius r unter dem Winkel o- geneigt ist, schneidet die Grund¬ fläche in einer Strecke, welche mit der Projection der Achse den Winkel st bildet; wie groß ist der Flächeninhalt deS Achsenschnittes? 3. Aus drei in einer Ecke zusammenstoßenden Kanten a, b, o und den von ihnen gebildeten Winkeln «, st, eines dreiseitigen Prismas dessen Volumen zu finden (Z. 424). 4. Aus drei in einer Ecke znsammenstoßenden Kanten a, 1>, a einer dreiseitigen Pyramide und den von ihnen gebildeten Winkeln «, st, das Volumen v der Pyramide zu finden. Aus Z. 424 und der vorhergehenden Aufgabe ergibt sich für 2s—----j-st-s-)' v — 4 n d o siu s sin (s — «) siu (s — st) siu (s — /). 5. Das Volumen V einer dreiseitigen Pyramide aus den in einer Ecke znsammenstoßenden Kanten a, d, o und den der Reihe nach an diesen liegenden Keilen L, 0 zu berechnen. Aus dem Resultate der vorhergehenden Aufgabe 4 erhält man unter Beiziehung der Formeln Illa) und III b) in H. 409 und I) in Z. 407 v ----- „ . — °os 8 eos (8 — .4) eos (8 — L) eos (8 — 6), 3 siu L siu L siu 6 Wo 2 8 -- L -s- R ff- 0 ist. 6. Die geographische Breite von Wien ist 48° 12' 35", die von Rom 41° 53'54", die geographische Länge von Wien ist 34° 2'49", die von Rom 30° 9'30"; wie groß ist der sphärische Abstand beider Städte? 7. Die sphärische Entfernung zwischen Wien und Paris ist 139'67 geographische Meilen, die geogr. Breite von Wien ist 48° 12'35", die von Paris 48° 50'13"; wie viel beträgt die Differenz der Uhren an beiden Orten? 8. Die geogr. Breite nnd Länge dreier Orte auf der Erde und der Halbmesser der letzteren sind gegeben; berechne die Seiten, die Winkel und den Flächeninhalt des durch jene Orte bestimmten sphärischen Dreieckes. 238 9. Die Länge eines Sternes ist 62° 52'38", die Breite 19° 40'39", die Schiefe der Ekliptik 23° 2D 30"; wie groß sind die Rectnscension und die Declination dieses Sternes? 10. Bestimme aus der Declination 21° 58'15" eines Sternes, seinem Stundenwinkel 15° 38'42" und der Polhöhe 50° 5'18" die Höhe und das Azimuth desselben. 11. Wie hoch steht die Sonne am 15. April um 11 Uhr vormittags über dem Horizonte von Graz, dessen Polhöhe 47° 4'20" ist, wenn die Declination an diesem Tage 9° 50' beträgt? 12. Um welche Tageszeit hatte die Sonne am 20. Mai, wo die Decli¬ nation 20° 4? war, in Wien, dessen Polhöhe 48° 12'25" ist, eine Höhe von 38° 30' ? 13. Die geographische Breite von Prag beträgt 50° 5'18", die von Triest 45° 38'37"; berechne die Dauer des längsten Tages für jeden dieser Orte (Z. 429, Zusatz). 14. Welche geogr. Breite hat ein Ort, dessen längster Tag 18 Stunden dauert? 15. Wie viele Breitegrade muss ein Ort mindestens haben, damit für denselben die Dauer des längsten Tages 24 Stunden erreiche? Vierter Theil. Analytische Geometrie. Z. 431. Die analytische Geometrie hat die Untersuchung der Raum¬ gebilde mit Hilfe der Rechnung (Analysis) zum Gegenstände. In der vorliegenden Abhandlung beschränken wir uns auf die analytische Geometrie der Ebene. I. Aer Punkt. Rechtwinklige Koordinaten. Z. 432. Um ein Raumgebilde analytisch zu bestimmen, wird dasselbe aus gewisse festliegende Linien und Punkte, welche man ein Coordinaten- system nennt, bezogen. Das einfachste und am meisten im Gebrauche stehende Coordinatensystem ist das rechtwinklige. Man zieht (Fig. 194) zwei feste, zu einander normale Gerade XX' und H', welche sich im Punkte 0 schneiden. Diese Geraden heißen Co ordinat en- achsen, und zwar XX' die Abscissenachse, H' die Ordinatenachse; ihr Schnittpunkt 0 heißt der Anfangspunkt oder Ursprung der Coordinaten. Es sei nun U ein Punkt in der durch XX' uud H' gelegten Ebene. Zieht man von demselben zu XX' die Normale Uk und zu H' die Normale Utz, so sind durch die Lage des Punktes U auch seine Abstände U? und Utz von den Coordinatenachsen unzweideutig bestimmt. Sind umgekehrt die Abstände Uk und Utz gegeben, so ist durch dieselben auch die Lage des Punktes U bestimmt; man darf nur in ? eine Normale zu XX' und in tz eine Normale zu H' ziehen, ihr Durchschnitt ist der Punkt U. 240 Die Abstände NH und NU heißen die Coordinaten des Punktes N, und zwar der Abstand NH oder der ihm gleiche Abschnitt Ok die Abscisse und der Abstand NU die Ordinate. Die Abscisse wird gewöhnlich durch x, die Ordinate durch bezeichnet, wenn der Punkt als ein beliebiger gelten soll. Hat ein bestimmter Punkt N die Coordinaten OU —g, und NU —b, so drückt man dies analytisch durch die Gleichungen x — u, aus, welche deshalb die Gleichungen des Punktes N heißen. Derselbe Punkt wird auf diese Weise immer durch dieselben zwei Gleichungen ausgedrnckt, und dieselben zwei Gleichungen bestimmen immer denselben Punkt. Der Punkt N ist demnach der geonietrische Repräsentant der Gleichungen x — a, — k>, und diese sind der analytische Repräsentant des Punktes N. Einen Punkt N, dessen Coordinaten u und 0 sind, pflegt man auch kurzweg durch (u, b>) zu bezeichnen. Z. 433. Die beiden Koordinatenachsen theilen die Ebene in vier Qua¬ dranten. Um nun anzuzeigeu, in welchem Quadranten ein bestimmter Punkt liegt, werden die Coordinaten auf den entgegengesetzten Seiten jeder Achse durch die Vorzeichen -s- oder — unterschieden. Man betrachtet gewöhnlich die Abscissen in der Richtung nach rechts von der Ordinateuachse als positiv, die Ab¬ scissen in der Richtung nach links als negativ; ebenso die Ordinaten in der Richtung nach oben von der Abscissenachse als positiv, die Ordinaten in der Richtung nach unten als negativ. Unter dieser Voraussetzung hat mau, wenn (Fig. 194) OU — 01" — u und OH — 0H' — gesetzt wird, für den Punkt N ...x—-flu, — -s- lo; „ „ „ LU ... x — a, b; „ „ „ N" ... x^ —a, 7 —— d; .. LU"...x^fl-u, Für die Punkte, welche in der Abscissenachse liegen, ist die Ordinate Null; für die Punkte, welche in der Ordinateuachse liegen, ist die Abscisse Null. Für den Anfangspunkt O, welcher sowohl in der Ordinaten- als in der Abscissen¬ achse liegt, ist x — 0 und — 0. Z. 434. Abstand zweier Punkte, welche durch ihre Coordinaten gegeben sind. Fig. ivs. Sind (Fig. 195) OU^ — x, und 21^?, — die Coordiuaten des Punktes N„ 0?» — x, und LU Uz /- die Coordinaten des Punktes LU, so ist, wenn mau N, Uzl^ox zieht, in dem rechtwinkligen LU Uz Nz LUN,- N.U,/ NzU/; oder wenn der Abstand LU Nz — ä gesetzt wird, 2 — 7g) X-2 (7s7i) -t- Xz (/1 — 7s) — 0, woraus man dieselbe Bedingungsgleichung 7s —71 xs — 7g — 7i Xg — Xi erhält, die in Z. 435 auf einem andern Wege gefunden wurde. Frg. 198. Schiefwinklige Coordinaten. Z. 438. Stehen die beiden Achsen XX' und H' nicht normal, sondern schief auf einander, so heißt das Coordinatensystem schiefwinklig. Die schiefwinkligen Coordinaten eines Punktes LI sind dann die Maßzahlen der Strecken, welche von LI zu den beiden Achsen mit denselben parallel gezogen werden. In dem Nachfolgenden sollen nur rechtwinklige Parallel- Coordinaten in Betracht gezogen werden. Polar-Coordinaten. tz. 439. Manchmal ist auch das Polar-Coordinatensystem im Gebrauche. Bei diesem nimmt man einen festen Punkt O (Fig. 197) an, Fig. 1S7. welcher der Pol genannt wird, und von demselben aus einen festen Strahl 02, welcher die Polarachse heißt. 7-/^ Die Lage eines Punktes LI ist nun vollkommen be- stimmt, wenn der Abstand LIO dieses Punktes vom Pole und der Winkel LI02, den LIO mit der Polarachse bildet, bekannt sind. Der Abstand LIO heißt der Rndiusvector, er wird immer im absoluten Sinne genommen und allgemein durch r bezeichnet. Der Winkel LI02 — go wird entweder von 0" bis 360°, oder von 0° bis 180° gezählt. Die Größen r und y> heißen die Polar-Coordinaten des Punktes LI. 243 Transformation der Coordinaten. Z. 440. Häufig tritt bei analytischen Untersuchungen das Bedürfnis ein, die Coordinaten eines Punktes in einem bestimmten Achsensysteme durch die Coordinaten dieses Punktes in Bezug auf ein neues Achsensystem, dessen Lage gegen das frühere gegeben ist, auszudrücken. Diese Aufgabe nennt man die Transformation der Coordinaten. Für die Zwecke dieses Buches wird es genügen, den Übergang von einem rechtwinkligen Coordinatensysteme zu einem andern rechtwinkligen zu erörtern. chsen seien mit den alten direct parallel. Sind (Fig. 198) OX, O'k die Achsen des ur¬ sprünglichen, (UX', 0^ die Achsen des neuen recht¬ winkligen Systems, und die Coordinaten eines Punktes LI in Bezug auf das alte System O k — x, LI k — in Bezug auf das neue System (UI" — x", LII" — sind ferner OO — rn, 0^0 — n die Coordinaten des neuen Anfangspunktes (X in Bezug auf das alte 0? — Ov -s- DU und kLI — 1>I" -s- ?'LI m -s- x', n -j- / . . . I). en ihr Vorzeichen ändern, se nachdem 0' in einem der vier Quadranten liegt. Bei einer parallelen Verschiebung der Achsen ist jede ursprüngliche Co ordinate gleich der algebraischen Summe aus der entsprechenden neuen Coordinate und der entsprechenden Coordinate des neuen Ursprungs. 2. Die neuen Achsen seien gegen die alten um den Winkel « gedreht (Fig. 199). Dann ist 0 k — OH — I> H — OH — 1"U — 01" 008 tt — LII" sin « — i? k -s- ULI — Hl" -s- RLI — Ok^ sin « -j- LII" eos «, x — x^ oos « — sin « — x' sin « -j- 008« Mg. 199. 3. Die neuen Achsen seien gegen die alten um den Winkel « gedreht und der neue Ur¬ sprung habe bezüglich des alten die Coordinaten in und n. Nach I und 2 ist dann X — M -s- X< 008 « SIN « s Z) — n -j- xll sin « -j- oos « s Z. 441. Rechtwinklige Coordinaten in Polar-Coordinaten zu verwandeln. Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall, wenn der Pol 0 16* 6 man System, so hat oder I. Die neuen Fig. 198. ULI somit ^...2). 244 (Fig. 200) mit dem Ursprünge, und die Polarachse O X mit der Abscissenachse des rechtwinkligen Systems zusammenfällt. Es seien für den Punkt N, x — O?, die rechtwinkligen Coordinaten, ferner r — ON der Radiusvector und yo — NOX der Winkel desselben mit der Polnrachse. Fig. 200. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke NkO ergibt sich M x^roosy-, I — rsinyo; s " ' /x ferner 0 r°. Zusatz. Bezeichnen und -- die Winkel des Radiusvectors ON mit den positiven Achsen der x und der von 0° bis 180° gezählt, so ist x — r oos § und — r eos Substituiert man diese Werte in x^ -s- sg ergibt sich oos -s- oos 1)2 — 1. Aufgaben. Z. 442. 1. Bestinune die Lage der Punkte, deren Coordinaten sind: a) x 3, ^^4; b) x — — 2, ^^3; o) x — — 1, ^ — —4; ä) x — — 2, — 1; s) x — 0, — 2; l) x — — 3, — 0. 2. Construiere das Dreieck XUO, in welchem der Eckpunkt X — (— 2, 0), 6 (2, —3) und 0 (4, 4) ist. 3. Bestimme den Abstand der Punkte a) (7, 10) und (—5, 5), d) (6, —5) und (—2, 1), o) (12, —12) und (-9, 8). 4. Drücke durch eine Gleichung aus, dass der Punkt (x, ^) von den Punkten (5, 4) und (3, 2) gleichweit absteht. 5. Bestimme den Pnnkt, welcher von den Punkten (3, 4), (2, —3) und (—2, 3) gleichweit abstcht, und gib diesen Abstand an. 6. Zwei Eckpunkte eines Dreieckes sind (4, —2) und (3, 2), der dritte liegt im Ursprünge; bestimme a) die Länge jeder Seite, d) die Coordinaten des Halbierungspunktes jeder Seite, und o) den Flächeninhalt des Dreieckes. II. Gleichungen zwischen zwei Variablen und ihre geometrischen Hrter. Z. 443. Größen, denen man während einer Rechnung oder Entwicklung einen bestimmten unveränderlichen Wert beilegt, heißen constant, im Gegen¬ sätze zu den veränderlichen oder variablen Größen, welche jeden beliebigen, ihrer Natur angemessenen Wert annehmen können. Die Beziehungen zwischen variablen und constanten Größen werden durch Gleichungen ausgedrückt; z. B. — 2 x-s-3. Bedeutet hier x eine variable Größe, so ist, da der Wert von 2x -s- 3 mit x sich ändert, auch variabel; weil jedoch zu jedem speciellen Werte von x aus — 2x -j- 3 ein bestimmter Wert von sich ergibt, so erscheint x als abhängig von x. Man unterscheidet daher unabhängig und abhängig Variable; die ersteren 245 sind jene, denen man jeden beliebigen mit ihrer Natur verträglichen Wert beilegen kann, die letzteren solche, deren Werte durch jene der unabhängig Variablen bestimmt werden. Um auszudrücken, dass eine Variable von einer andern x abhängig sei, sagt man, sei eine Function von x und bezeichnet dies durch das Symbol 1 (x). Z. 444. Eine Gleichung zwischen zwei Variablen x und hat unzählig viele Auflösungen; werden für x nach und nach verschiedene specielle Werte gesetzt, so erhält man zu jedem Werte von x aus der Gleichung auch für eineu oder mehrere zugehörige Werte. Betrachtet man nun jedes Paar zusammengehörender Werte von x und als Coordinaten eines Punktes N in Bezug auf ein bestimmtes Achsensystem und konstruiert hiernach den Punkt, so erscheint jede Auflösung der Gleichung geometrisch durch einen Punkt dargestellt. Je weniger von einander verschieden man die aufeinander folgenden Werte von x annimmt, desto näher aneinander rücken auch die durch die Coordinaten bestimmten Punkte. Durchläuft x alle reellen negativen und positiven Werte von — -o bis -p-oo, so beschreibt der variable Punkt N eine bestimmte Linie, welche die Eigenschaft hat, dass die Coordinaten jedes ihrer Punkte der gegebenen Gleichung genügen. Diese Linie heißt deshalb der geo¬ metrische Ort der Gleichung. In der Ausführung werden so viele Punkte der Linie bestimmt, als nöthig sind, um die Linie vollständig darzustellen. Zum besseren Verständnisse mögen folgende Beispiele dienen. l. Es sei die Gleichung des ersten Grades — 2x — I zu konstruieren, d. i. ihr geometrischer Ort zu bestimmen. Die Abscissenachse sei XX2 (Fig. 201) und 0 der Anfangspunkt der Coordinaten. Für x —1, 2, 3,..., -1,-2, —3,... ist 1, 3, 5,..., —Z, —5, —7,... Trägt man auf der Abscissenachse die po¬ sitiven Werte von x von 0 aus bis k, ll", k",... und die negativen von 0 bis tz, <2",- - auf, errichtet in diesen Punkten Normale und trägt auf denselben die entsprechenden Werte von und zwar die Positiven nach oben, die negativen nach unten auf, so liegen die Endpunkte N, M, U",.. X, X^, X".. in der Linie, welche durch die Gleichung — 2x — 1 analytisch bestimmt ist. Da die Ordinatendifferenzen den Abscissen- differenzen proportioniert sind, so ist die Linie nach K. 435, 2 gerade. 246 Um den Punkt 8 zn erhalten, in welchem diese Gerade die Ordinaten- achse schneidet, erwäge man, dass für diesen Punkt x — 0 ist; dann wird 1 — 1, also ist 08 — — 1. Für den Punkt 0, in welchem die Gerade die Abscissenachse schneidet, muss 0, also 2x — 1 — 0 sein, woraus sich x — ergibt; also ist 00 — Construiere ebenso die Gleichung — 2x. Welcher geometrische Ort entspricht folgenden Gleichungen: — 0, 6) x — 0, <>) ^ — 6, ä) x — o? Jeder Gleichung des ersten Grades entspricht eine gerade Linie. 2. Man construiere die guadratische Gleichung x? -s- ^2 — 9, »der: fl/9 — x-. Für X —0, 1, 2, Z... __ __2, —3 ist 4-3, 4-1/8, 4:1/5, 0... 4:j/8, -!- s/5, 0 Werden je zwei zusammengehörige Werte von x und als Coordinaten eines Punktes in Bezug auf das System, dessen Abscissenachse XX' (Fig. 202) nud dessen Anfangspunkt O ist, angenommen, so ergibt sich, dass zu jeder Abscisse zwei gleiche entgegengesetzte Ordinaten, und dass ebenso zu jeder Ordinate zwei gleiche entgegengesetzte Abscissen gehören. Die der obigen Gleichung entsprechende Linie besteht demnach aus vier zusammenhängenden Theilen, welche in Beziehung auf die Coordinaten- achsen symmetrisch liegen. Für x —0 ist ^-4-3; nimmt man daher 08 —-s-3 und OO — — 3 an, so sind 8 und v die Punkte, in denen die Ordinatcnachse von der Linie geschnitten wird. Zu — 0 gehört x — 4: Z; nimmt man daher 0^ — -j- 3 und 00 — — 3 an, so sind ebenso I. und 0 die Schnitt¬ punkte der Linie mit der Abscissenachse. Für alle positiven und negativen Werte von x, welche größer als 3 sind, gibt es keine Ordinaten, da für x > 3 imaginär wird; ebenso kann auch nicht größer als 3 sein. Die krumme Linie ist also eine begrenzte. 3. Es sei zu construieren die quadratische Gleichung x? — — 9, oder — 4- j/x" — 9. Für x — 4c 3, 4: 4, 4: 5, -8 g, 4: 7,... wird 7^0, 4c 1/7, 4:4, -8^/27, 4- 1/40,... Für alle Werte von x, welche zwischen — 3 und -s- 3 liegen, wird ima¬ ginär und erhält man daher (Fig. 203) keine Punkte der Linie. Für x — 4- 3 wird v—0; die Linie schneidet also die Abscissenachse in den Abständen 0^. — -s- 3 und 08 — — 3. Da ferner zu gleichen positiven und negativen Abscissen gleiche Ordinaten gehören, so folgt, dass die Linie ans zwei 247 getrennten Ästen zusammengesetzt ist, welche auf beiden Seiten der Ordi- natenachse symmetrisch liegen. Jeder positiven, sowie jeder negativen Abscisse entsprechen zwei gleiche entgegengesetzte Ordinaten, und zwar nehmen mit den wach¬ senden Abscissen auch die Ordinaten ohne Ende zu. Hieraus ergibt sich, dass jeder Ast der Linie aus zwei Thcilen besteht, welche sich oberhalb und unterhalb der Abscisseuachse sym¬ metrisch ins Unendliche erstrecken. Construiere noch die quadratischen Gleichungen: — -c-, o))4^4x, a) 4x--s-9^-36, b) — x? 4- 3x — 2, ck) x^ — 10, 1) 4x^ — 9^ — 36. Aus den vvranstehenden Aufgaben ist ersichtlich, dass die geometrischen Örter quadratischer Gleichungen an Gestalt sehr verschieden sein können. 4. Es soll noch die transcendente Gleichung — sin x konstruiert werden (Fig. 204). Für x — 0, -r, 2-r, i,.. ——-r,-—, —2-r... ist 7---0, 1, 0, - 1, 0, 1,.. —1, 0,-s-1, 0.. — 0; die zu — sin x gehörige Linie schneidet also die Abscissenachse sowohl in dem Anfangspunkte als in den Abständen -r, 2-r, 3-r,.. rechts und links vom Anfangspunkte. Von x — 0 bis x — sind die Ordinaten positiv und stetig wachsend; für x — erreicht die Ordinate den größten Wert 1; von da an nehmen die Ordinaten in derselben Weise ab bis x — -r, wo — 0 wird und also die Linie die Abscissenachse schneidet. Ein ganz gleicher Theil der Linie liegt zwischen x — -r und x — 2 -r auf der unteren Seite der Abscissenachse. Analoge Beziehungen finden auch für negative Werte von x statt. 248 Die krumme Linie, welche die Gleichung / — sinx geometrisch darstellt, besteht also aus unendlich vielen gleichen Theilen, welche abwechselnd oberhalb und unterhalb der Abscissenachse liegen. Z. 445. Sowie sich jede Gleichung zwischen x und geometrisch durch eine Linie darstellen lässt, so kann auch umgekehrt jede Linie, in welcher ein bestimmtes Bildungsgesetz vorherrscht, durch eine Gleichung ausgedrückt werden. Nimmt man nämlich in der Linie einen variablen Punkt N an, so muss zwischen den Coordinaten desselben eine bestimmte Relation stattsinden, die sich aus irgend einer charakteristischen Eigenschaft der Linie ergibt und die daher für alle Lagen des variablen Punktes unverändert fortbefteht. Wird diese Relation zwischen x und durch eine Gleichung ausgedrückt, so heißt dieselbe die Gleichung der Linie. Eine Gleichung zwischen zwei Variablen ist demnach der analytische Repräsentant für eine gegebene Linie, sowie umgekehrt die Linie der geo¬ metrische Repräsentant für eine gegebene Gleichung ist. Auf dieser Wechsel¬ beziehung beruht das Wesen der analytischen Geometrie. Sie hat die Aufgabe, aus irgend einer bekannten charakteristischen Eigenschaft einer gegebenen Linie die Gleichung abzuleiten, welche durch die Coordinaten jedes Punktes in der Linie erfüllt wird, und andererseits aus einer gegebenen Gleichung zwischen zwei Variablen das durch sie dargestellte geometrische Gebilde zu ermitteln; insbesondere auch, durch Modifikation und Combination der zu bestimmten Linien gehörigen Gleichungen und deren geometrische Deutung die Eigenschaften dieser Linien zu entwickeln. In dem Nachfolgenden sollen nach der Ordnung die einzelnen Linien, die sich durch Gleichungen des ersten und des zweiten Grades ausdrücken lassen, analytisch untersucht werden. III. I)ie gerade Linie. tz. 446. Allgemeine Gleichung einer Geraden. Es sei XL (Fig. 205) die gegebene Gerade; ihre Lage sei geometrisch bestimmt durch den Winkel LXX —«, den sie mit der positiven Richtung der Abscissenachse bildet, und durch das von ihr abgeschnittene Stück OL —d der Ordinatenachse. Ist N ein beliebiger Punkt der XL und sind x — 0 Ist — NR seine Coordinaten, so hat man, wenn LRstjOX gezogen wird, Fig. 205. — NR — NR -j- RR. Nun ist NR — RR . taiiA NLR — x tan§ «, und R? d; daher — x tanK « -j- 5, oder, wenn man tanA « — a setzt, — ax -s- lr. 249 Diese Gleichung findet zwischen den Coordinaten x und eines jeden Punktes der Geraden statt, sie ist daher die Gleichung der Geraden. Da a und k jede beliebige reelle Zahl bedeuten können, so ist die Glei¬ chung — axst- 5 der analytische Ausdruck für alle möglichen geraden Linien. Für eine bestimmte Gerade haben auch a und 5 ganz bestimmte, konstante Werte, während x und variabel sind, d. i. für jeden andern Punkt dieser Geraden andere Werte anuehmeu. Die Größe a — tunx « heißt, da sie bloß von der Richtung der Geraden gegen die Abscisseuachse abhängt, die Richtungs- constante. tz. 447. Discussion der Gleichung — ax st- 5. 1. Da die Gleichung — ax st-b zwei Constanten a und si hat, die so lange unbestimmt bleiben, als nicht von einer bestimmten Geraden die Rede ist, so folgt, dass zur vollkommenen Bestimmung einer Geraden zwei Be¬ dingungen erforderlich sind. 2. Die Richtungsconstante a ist positiv oder negativ, je nachdem der Winkel «, welchen die Gerade mit der positiven Abscisseuachse bildet, spitz oder stumpf ist. Die Constante b ist positiv oder negativ, je nachdem die Gerade die Ordinatenachse oberhalb oder unterhalb der Abscisseuachse schneidet. Mau kaun daher schon aus den Vorzeichen der Constanten ersehen, auf welcher Seite die Cvordinatenachsen von der Geraden geschnitten werden. 3. Für den Schnittpunkt der Geraden (Fig. 205) mit der Ab- scissenachse ist — 0; dann folgt aus der obigen Gleichung x — — Für den Schnittpunkt D der Geraden mit der Ordinatenachse ist x — o, daher — k. Setzt man-— v, also a —-so nimmt die Gleichung — nx st- k folgende Form au: st- in welcher die Nenner von x und die Abschnitte bedeuten, welche die Gerade auf der Abscifsen- und auf der Ordinatenachse vom Ursprünge an bestimmt. 4. Nimmt man 5 — 0 an, so erhält man — ax als Gleichung einer durch den Anfangspunkt der Coordinaten gehenden Geraden. Diese Gleichung enthält nur noch eine Constante, da die eine Bedingung der Geraden schon dadurch angegeben ist, dass sie durch den Anfangspunkt geht. 5. Soll die Gerade, welche durch den Coordinntenanfaugspunkt geht, und deren Gleichung — ax ist, mit der Abscisseuachse zusammenfallen, so muss man den Winkel «, und somit auch u, gleich Null setzen; mau erhält also —0 als Gleichung der Abscissenachse. Vertauscht mau die Abscissenachse mit der Ordinatenachse, so ergibt sich dann x — 0 als Gleichung der Ordinatenachse. 6. Soll die Gerade zu der Achse der x, und zwar in dein Abstande 5 parallel sein, so muss man iu der Gleichung — ax st- Io deu Winkel «, 250 also auch s, gleich Null setzen, wodurch mau 7 — l> als Gleichung einer zu der Abscisscnachse in dem Abstande d parallelen Geraden erhält. Vertauscht mau die Achsen der x und der 7, so ergibt sich ebenso x — o als Gleichung einer zu der Ordinatenachse iu dem Abstaude o parallelen Geraden. 8- 448. Der geometrische Ort einer Gleichung des ersten Grades zwischen zwei Variablen ist eine Gerade. Beweis. Jede Gleichung des ersten Grades zwischen zwei Variablen J.x-s-k^-s-0 —0 lässt sich auf die Form 7 — ax-s-5 bringen. Betrachtet man nun die Gleichung 7 — g,x -j- 5 als den analytischen Aus¬ druck für eine Linie, indem man x und 7 als die Coordinaten ihrer Punkte, a und d aber als constante Größen ansieht, so hat man für irgend drei Punkte dieser Linie, deren Coordinaten x^, 7,, x.,, 7? und x^, sind, 7, — ax^ -s-l>, —axz-s-b, Subtrahiert man die erste Gleichung von jeder der letzteren, so erhält man ——nix — --a) «»d 7g — — s, (xz — x,), daher XL —Xi — Xs — Xi Xz -- X; ' Die drei Punkte liegen demnach (Z. 435, 2) in einer Geraden, d. i. der geometrische Ort der Gleichung 7 — ax -j- d ist eine Gerade. 8- 449. Construction einer Geraden, deren Gleichung ge¬ geben ist. Man bestimme zwei Punkte, durch welche die Gerade gehen soll, indem man ans der Gleichung zwei Paare zusammengehöriger Werte von x und 7 sucht und diese konstruiert. Im allgemeinen ist es am bequemsten, die Schnitt¬ punkte der Geraden mit den beiden Achsen zu bestimmen, indem man in der Gleichung einmal 7 — 0, und dann x — 0 setzt. 8. 450. Gleichung einer Geraden, welche durch einen gege¬ benen Punkt (x„ 7,) geht. Die verlangte Gleichung hat die Form 7 — g,x -j- l>.. .1), wobei s, und d der Bedingung der Aufgabe gemäß zu bestimmen sind. Damit die Gerade durch den Punkt (x^, 7^) gehe, müssen dessen Coor¬ dinaten der Gleichung 1) genüge leisten; es muss also 7i — -j- b.. .2) sein. Diese Gleichung enthält außer den bekannten Zahlen x, und 7^ noch die Unbekannten a und b und kann dazu verwendet werden, die eine Unbekannte durch die andere auszudrücken. Man erhält b> — 7, — ax^ und damit geht die Gleichung 1) über in 7 — ax-s-7, — a.X; oder 7 — 7^ — a (x — x,).. .3). 251 Diese Gleichung 3), welche man auch durch die Subtractiou der Glei¬ chung 2) von 1) erhält, hat noch eine unbestimmte Coustaute a, wie es sein muss, da durch einen Punkt unzählig viele Gerade gezogen werden können. Ist aber die Aufgabe gestellt, die Gleichung einer Geraden zu finden, welche durch den Punkt (x„ ^) geht und die X-Achse unter einem bestimmten Winkel schneidet, so hat a in 1) und 2) und daher auch in 3) einen bestimmten Wert, oder es gibt nur eine Gerade, welche diesen Bedingungen genügt. Z. 451. Gleichung einer Geraden, welche durch zwei gege¬ bene Punkte (x„ und (xz, v») geht. Die verlangte Gleichung hat die Form — ax -j- 5.. .1), wo u und k noch unbestimmt sind. Damit die Gerade durch die zwei Punkte gehe, müssen deren Coordinateu der Gleichung 1) genügen, es müssen somit die Bedingungsgleichungeu — ax, -s- k... 2) und — ax? -j- 6... 3) bestehen. Aus 2) und 3) können nun n und 1> bestimmt und ihre Werte in 1) eingesetzt werden, wodurch die unbekannten Constanten a und b in 1) durch die Coordinateu der gegebenen Punkte ausgedrückt sind. Dasselbe erreicht man auch, wenn mau die Gleichung 2) von 1) und daun von 3) subtrahiert — a (x — Xi).. .4) — g, (xz — x^).. .5) und nun a. aus 4) und 5) eliminiert. Man erhält so als die gesuchte Gleichung 7g). ß. 452. Normalform der Gleichung einer Geraden. Es sei die Lage einer Geraden (Fig. 206) geometrisch bestimmt durch die Länge der Normalen OX — p vom Coordinatenanfangspuukte auf die Gerade und durch die Winkel XOX — und XOX — -p, welche diese Normale mit den positiven Coordinatenachsen bildet. Die allgemeine Form der Gleichung dieser Geraden ist — a x -j- 1>, Fig. 206. oder — ax — 1,-0. Werden alle Glieder dieser Gleichung mit oos « multipliciert, so erhält mau oos « — x sin « — 1> oos « — 0, oder, da « — — 90", folglich — sin « — oos § (Z. 350), oos « — oos und i> oos cc — p ist, X 008 § -ch (p 008 — p — 0. Dieselbe Gleichung erhält mau auf analoge Weise auch für jede andere Lage der nur müssen in den Fällen, wo oos « und 6 entgegengesetzte Vorzeichen haben, die Glieder in der allgemeinen Form der Gleichung nicht mit oos «, sondern mit — oos « multipliciert werden. 252 Die Gleichung x oos Z- oos — p — 0 heißt die Normalform der Gleichung einer geraden Linie. Sie hat drei Constanten oos oos und p, welche sich jedoch auf zwei reducieren, da oos -s- oos — 1 (Z. 441, Zus.), und somit durch oos auch schon oos r/ bestimmt ist. Die Winkel tz und werden von 0° bis 180° gezählt, die Länge x wird unter allen Umständen als positiv angenommen. Zusatz. Aus der allgemeinen Form der Gleichung einer Geraden erhält man ihre Normalform, wenn man alle Glieder der ersteren mit i — _i oos « -l- «- s/l 4^ ü- multipliciert. Es ist demnach für alle Werte von x und x —»x —t> x oos ß -s- oos — p — Mut: — s 1 b wobei das Vorzeichen der Quadratwurzel j/1 -s- a" mit dem Vorzeichen von d übereinstimmend genommen werden muss. Z. 453. Abstand eines gegebenen Punktes von einer gegebenen Geraden. 1. Es sei (Fig. 207) U — (x', ^') der gegebene Punkt und x vos Z -j- oos — p — 0 die in der Normalform gegebene Gleichung der Geraden 7^8. Da p — OH als positiv anzunehmen ist, so muss die Normale 8 — LIH von dem Punkte N auf Fig. 267. die Gerade 7^.8 positiv oder negativ genommen werden, je nachdem Ll und der Coordinaten- anfangspunkt O auf derselben oder auf entgegen¬ gesetzten Seiten der ^.8 liegen. Nehmen wir hier den ersten Fall, also 8 positiv an. Ziehen wir durch N die 708'1^8, so füllt die zu 708' Normale OlO — p' in die ON und bildet daher mit den Coordinatenachsen ebenfalls die Winkel § und die Gleichung der /08' ist also X oos § -s- 008 — 0. Da der Punkt N — (xch ^') in dieser Geraden liegt, so ist x' oos -j- oos »z — p' — 0, daher p' — x' oos -j- oos Nun ist Ori — 0^', oder 8 x — x>Z folglich 8 — p — x' oos § — oos oder 8 — — (x' oos -s- oos — p). Da man zu demselben Resultate auch für jede andere Lage des Punktes U gelangt, so ergibt sich der Satz: Der erste Theil der in der Normalform gegebenen Glei- 253 chung einer Geraden, negativ genommen, drückt den Abstand des Punktes (x, )-) von dieser Geraden aus. 2. Ist die Gleichung der Geraden XL in der allgemeinen Form — ax -s- b gegeben, so hat man, da nach 8- 452, Zusatz x oos § -s- oos — p llt, p — LX' — d - s/^2 - K. 454. Polargleichung einer Geraden. Um die Gleichung der Geraden XL (Fig. 208) für die Polar-Coordi- naten zu erhalten, nehmen wir der Einfachheit halber den Ursprung O der rechtwinkligen Coordinaten als Pol und die Abscissenachse OX als Polarachse an; für den Punkt N ist dann r — OiU, P— LI0X. Ist nun OX — p Fiq. 208. der Abstand des Poles von der Geraden XL und der Winkel LOX — so erhält man aus dem rechtwinkligen Dreiecke NXO OLk oder daXN 0 g, — «ist, r / - c 81N (P — tt) als Polargleichung der Geraden XL. Diese Gleichung erhält mau auch aus Z- k>, indem man (Z. 441) — i- sin P und x — i- vos yo setzt und beachtet, dass s. — tanK « und 1) LOS « — p ist. Zwei Gerade. 8- 455. Schnittpunkt zweier Geraden. Es seien — ax -s- 5.. .1), — a'x -s- 5U . .2) die Gleichungen der beiden Geraden XL und X'L' (Fig. 209); man fache die Coor¬ dinaten ihres Schnittpunktes A. Für alle Punkte der Geraden XL ist — ax -s- d; für alle Punkte der Geraden XI L' ist — s/x -s- d'; für den Punkt, der in beiden Geraden liegt, für den Schnittpunkt Ll, muss daher — ax -s- 5 und zugleich auch — a^x 5' gelten. Dem Punkte N werden daher jene Coordinaten x und zukommen, durch welche beiden Gleichungen zugleich genüge geleistet wird; diese Werte ergeben sich aber durch Auflösung jener Gleichungen; man erhält b — a/I) — X — —- , V — - r - . a — a 254 Z. 456. Gegenseitige Lage zweier Geraden. 1. Sind (Fig. 209) die Gleichungen der Geraden ^8 und welche mit der Abscissenachse die Winkel « und ost bilden / — LX st- l> und — kstx st- bst, wo also a — tanA «, — tanA ost ist, so hat man zur Bestimmung des Winkels — v, den die beiden Geraden einschließen, tanK V — ta-NK (o- — ost) — - -— —-, oder tLNA V — ——7- 7-. o o X 1 st- t»VA « tLLx ' o Ist- L-r Der Winkel stx U II' ist der Nebenwinkel von v, daher tauK ^.21— — tan^ v — - o Ist-LL^ 2. Sind die beiden Geraden und einander parallel, ist also « — «^, so ist auch a — ast Sind die Geraden ^Vkl und ^stL' zu einander normal, ist also « — 90° st- och so ist tanA « — — eot (Z. 350), somit a. —- Die Gleichung a — s/ drückt also die Bedingung der parallelen, die Gleichung n — —die Bedingung der normalen Lage der zwei Geraden aus. Z. 457. Gleichung der Halbierungslinie eines Winkels, dessen Schenkel durch ihre Gleichungen gegeben sind. 1. Es seien die in der Normalform gegebenen Gleichungen der Schenkel eines Winkels x eos^ st-^eosy^—0 und xoos^ st-^eos^,— p»— 0, welche Gleichungen wir der Kürze halber durch die Symbole — 0 und ^.2—0 ausdrücken wollen. a) Liegt der Coordinatenanfangspunkt in dem gegebenen Winkel selbst oder in seinem Scheitelwinkel, so sind die Abstände eines beliebigen Punktes (x, ^) der Winkelhalbierungslinie von den Schenkeln (nach ß. 453) im ersten Falle — und —im zweiten st- und st- Da nun diese Ab¬ stände (nach Z. 46, 2) gleich sein müssen, so ist in beiden Füllen — stV,, und' somit die Gleichung der Halbierungslinie — -^2 — 0. b) Liegt der Coordinatenanfangspunkt in einem der Nebenwinkel des gegebenen Winkels, so haben die Abstände eines jeden Punktes (x, ^) der Winkelhalbierenden von den beiden Schenkeln entgegengesetzte Vorzeichen; sie sind also entweder — und st- oder st- und — und man hat, da diese Abstände gleich sein müssen, in jedem Falle mithin ist hier die Gleichung der Winkelhalbierungslinie st" -^2 0- 2. Sind die Gleichungen der Schenkel eines Winkels in der allgemeinen Form x st- 4>i und x st- 5., gegeben, so ergibt sich aus 1. mit Rücksicht auf Z. 452, Zusatz 255) X — Sl X — dl_/ — Sz X — _ o als Gleichung der Halbierungslinie des Winkels, in welchem der Coordinaten- anfangspunkt liegt, und — Li x — bz — »2 x — dz o als Gleichung der Halbierungslinie seines Nebenwinkels. Z. 458. Bedingung, unter welcher sich drei Gerade in dem¬ selben Punkte schneiden. Es seien 6-, — 0, Oz — 0, 0-z — 0 die Gleichungen dreier Geraden, wo 0 — 0 das Symbol für die Gleichung einer Geraden in der allgemeinen Form oder in der Normalform ist. Multipliciert man die gegebenen drei Gleichungen folgeweise mit -,2, -.g, und lassen sich diese konstanten Factoren so bestimmen, dass -.g 0-g — -j- il, 0-2 eine identische Gleichung wird, so schneiden sich die drei Geraden in demselben Punkte. Denn setzt mau die besonderen Werte für x und welche den Glei¬ chungen 0-l — 0 und Oz — 0 genügen und daher ihrem Schnittpunkte an¬ gehören, in die identische Gleichung 4z Og — 4, O, -j- 4z , so verschwindet der zweite Theil, also muss auch der erste Theil 4z Oz — 0, und, da 4z eine constante Zahl ist, auch O. — 0 werden. Diese besonderen Werte für x und befriedigen somit alle drei gegebenen Gleichungen, d. h. die drei Geraden schneiden einander in einen: gegebenen Punkte. In der Anwendung tritt am häufigsten die folgende, für 4^ — 4, — 4g — 1 sich ergebende Form der obigen identischen Gleichung auf: Oz — 0-, -s- O-z. Sie enthält den Satz: Wenn von den Gleichungen dreier Ge¬ raden die eine gleich ist der Summe der beiden anderen, so schneiden sich die drei Geraden in demselben Punkte. Z. 459. Zur Anwendung der voranstehenden Lehren sollen hier die ana¬ lytischen Beweise einiger Lehrsätze vom geradlinigen Dreiecke folgen: 1. Die Halbierungslinien der drei inneren Winkel eines Dreieckes schneiden einander in demselben Punkte (Z. 48, 2). Sind die Gleichungen der Seiten eines Dreieckes in der Normalform ^0, Lz -- 0, 0, so sind, wenn man den Coordinatenanfangspunkt innerhalb des Dreieckes an¬ nimmt, nach Z. 457 die Gleichungen der Winkelhalbierungslinien — 0, — H.z — 0, — 0. Da nun die erste dieser Gleichungen gleich ist der Summe der beiden anderen, so folgt nach Z. 458, dass sich die drei Halbierungslinien in dem¬ selben Punkte schneiden. 256 2. Die Halbierungslinien eines inneren Winkels und der zwei ihm nicht anliegenden Außenwinkel eines Dreieckes schneiden einander in demselben Punkte. Nach H. 457 erhält man die drei Gleichungen ^2 I 0, .'X , -s- , -s- 0. Die dritte Gleichung ist die Summe der beiden anderen; also schneiden sich die drei Winkelhalbierungslinien in demselben Punkte. 3. Die Halbierungslinien der drei Außenwinkel eines Drei¬ eckes schneiden die gegenüberliegenden Seiten in drei Punkten, welche in derselben Geraden liegen. Nimmt man wieder den Ursprung der Coordinaten innerhalb des Drei¬ eckes an, so sind die Gleichungen der Halbierungslinien der jenen Seiten gegenüberliegenden Außenwinkel -st — 0, -st — 0, -st -- 0. Die Coordinaten des Schnittpunktes der Winkelhalbierenden " 0 mit der gegenüberliegenden Seite — 0 müssen diese beiden Gleichungen zugleich befriedigen; sie müssen daher auch der Gleichung -st -L — 0 genüge leisten, d. h. der Schnittpunkt liegt in der Geraden, deren Gleichung -st ^2 -j- 0 ist. Ebenso folgt, dass auch der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden -st — 0 mit der Seite — 0, und der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden -st — 0 mit der Seite — 0 in der Geraden, deren Gleichung -s- ^2 ch" — 0 ist, also mit dem früheren Schnittpunkte in derselben Geraden liegen. 4. Die Schwerlinien eines Dreieckes schneiden einander in demselben Punkte (Z. 61). Wählen wir in dem Dreiecke ^.L6 (Fig. 210) der Einfachheit halber den Eckpunkt als Coordinatenansangspunkt und die Seite ^.L als Abscissen- achse. Dann haben wir zur analytischen Bestimmung die drei Eckpunkte — (0, 0), L (x„ 0), 0 — (xz, 7g). Sind N, 17, L die Halbierungspunkte der den Eckpunkten 8, 0 gegen¬ überliegenden Seiten des Dreieckes, so ist Für die Schwerlinien L.U, LH, 0? erhalten wir daher nach Z. 451 solgeweise die Gleichungen: 257 welche sich auch so ausdrücken lassen: (x. -s- Xz) 7 — ^zx — 0, (Xz — 2xz) -s- — 0, (2xg — Xz) 5" — 2^gX -I- Xz^z — 0. Da nun die dritte Gleichung gleich ist der Summe der beiden anderen, so schneiden sich die durch diese Gleichungen dargestellten Schwerlinien in demselben Punkte. Aufgaben. H. 460. 1. Suche die Gleichung einer Geraden, welche a) von der Or- dinatenachse das Stück — 2 abschneidet und mit der Abscissenachse einen Winkel von 45° bildet; b) von der Abscissenachse das Stück — 3, und von der Or- dinatenachse das Stück 2 abschneidet. 2. (konstruiere eine Gerade, deren Gleichung ist: a)^-3x4-5, b) —— 2x4-3, o) — 2x. 3. Gegeben sind die Punkte: u) (1, — 1) und (— 2, 2), l>) (2, 7) und (— 1, 1); o) (- 4, 3) und (3, 0), ä) (0, - 2) und (- z, - 3); suche die Gleichung der Geraden, welche durch diese Punkte geht. 4. Bestimme den Abstand n) des Punktes (2, 3) von der Geraden 4^ — 3x 4- 12, l>) des Punktes (7, 4) von der Geraden 15^ — — 8x — 30. 5. Die Eckpunkte eines Dreieckes sind (—2, 2), (4, 2) und (1, 6); bestimme u) die Gleichungen der Seiten, d) die Höhen des Dreieckes. 6. Suche die Coordinaten des Schnittpunktes, sowie den Winkel der beiden Geraden: a) — — 3x4-5 und — 2x — 4; b) 3^ — 2x4-9 und 4^ — x 4- 3. 7. Die Gleichungen der Seiten eines Dreieckes sind — — x — 3, 7^ — — 2x — 6 und 3^ — 2x — 14; suche n) die Coordinaten der Eck¬ punkte, 1>) den Flächeninhalt des Dreieckes. 8. Bestimme die Gleichung einer Geraden, welche durch den Punkt (4, —1) und den Schnittpunkt der beiden Geraden — 2x— 4 und — x — 5 geht. 9. Suche die Gleichung einer Geraden, welche durch den Punkt (x^, geht und zu der Geraden — nx 4- u) parallel, 6) normal ist. 10. Bestimme die Gleichung einer Geraden, welche durch den Punkt (—4, 3) geht und zu der Geraden 5^ — 2x — 4 parallel ist. 11. Die Gleichung einer Geraden zu finden, die durch den Punkt (—2, 4) geht und zu der Geraden, welche die Punkte (2, —3) und (3, 1) verbindet, parallel ist. MoLnik, Geometrie. z? Fig. 210. 258 12. Suche die Gleichung einer Geraden, welche durch den Punkt (1, 4) geht und zu der Geraden 2^ — —- x 4- 2 normal ist. 13. In dem Schnittpunkte der Geraden -j- — 1 und — 1 wird zu der letzteren Geraden eine Normale gezogen; welches ist ihre Gleichung? 14. Die Endpunkte einer Strecke sind (1, —2) und (3, —4); bestimme die Gleichung ihrer Symmetrale. 15. Die Gleichungen der Schenkel eines Winkels sind a) 3^' 4- 4x — 2 und 4^ — 3x — 5, 5) 10^ — 24x — 1 und 6^ — 8x — 5; suche die Gleichung der Winkelhalbierenden. Beweise analytisch folgende Lehrsätze: 16. Die Halbierungslinien eines Winkels und seines Nebenwinkels sind zu einander normal (K. 457, 2). 17. Die Halbierungslinien zweier innerer Winkel und des dritten Außenwinkels eines Dreieckes schneiden die gegenüberliegenden Seiten in drei Punkten, welche in derselben Geraden liegen. 18. Die drei Höhen eines Dreieckes (Z. 60) schneiden einander in dem¬ selben Punkte. 19. Die drei Seitensymmetralen eines Dreieckes (H. 48, 1) schneiden ein¬ ander in demselben Punkte. IV. Pie Kreislinie. ß. 461. Allgemeine Gleichung des Kreises. In der Kreislinie sind alle Punkte von dem Mittelpunkte gleich weit entfernt. Um die Gleichung des Kreises zu erhalten, darf man nur diese charak¬ teristische Eigenschaft desselben in die analytische Zeichensprache übertragen. Sind (Fig. 211) 0? — x, Ni? — zr die Coordinaten des Punktes N einer Kreislinie, deren Halbmesser 0N — r ist, ferner 01) — x, OO — Fig. 211. k die Coordinaten des Mittelpunktes 0, so ist, wenn man Okss 0X zieht, 6K" -s- iUK' 6M. Man erhält daher, da OK —x —p, Nk — ist und der Abstand OA für alle Punkte der Kreislinie — r sein muss, als allgemeine Gleichung des Kreises (x-x)-4-(^-9)^r'.--y. Diese Gleichung enthält drei constante Größen p, g und r, was anzeigt, dass zur vollkommenen Bestimmung der Lage und der Größe eines Kreises drei Bedingungen erforderlich sind. Man kann diese drei Constanten beliebig ändern, so bedeutet die Gleichung immer wieder einen Kreis, wenn auch dessen Lage und Größe eine andere wird; der Cha¬ rakter der krummen Linie wird durch die Änderung der Constanten nicht geändert. Iltsach. Die Gleichung 1) kann man auch so darstellen: (x — x)? 4- <> — 9? — r^O.. .2). Diese Form heißt die Normalform der Gleichung eines Kreises; sie wird oft der Kürze halber durch das Symbol L — 0 ausgedrückt. 259 Da (x — p)? -st — h)? das Quadrat der Entfernung des Punktes LI — (x, )') vom Mittelpunkte des Kreises bedeutet, so ist (x — p)? -st (/ — — r2, d. i- die Differenz zwischen dem Quadrate dieser Entfernung und dem Quadrate des Halbmessers, die Potenz des Punktes LI in Bezug aus den Kreis (Z. 138). Mau kann daher sagen: Der erste Theil X der in der Normalform L — 0 gegebenen Gleichung eines Kreises drückt die Potenz des Punktes (x, in Beziehung auf diesen Kreis aus. Z. 462. Für besondere Lagen der Coordinatenachsen nimmt die Gleichung des Kreises eine noch einfachere Gestalt an. 1. Liegt der Mittelpunkt des Kreises in der positiven Abscissen-Halbachse im Abstande p — r, so geht die Gleichung I) über in x2 -st 2rx...3). Diese Gleichung heißt die Scheitelgleichung des Kreises. 2. Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Ursprünge der Coordinaten, so ist p — 0, H — 0, und man erhält aus 1) die Gleichung x--st 72 — r'. . .4). Diese Gleichung heißt die Mittelpunktsgleichnng des Kreises. Die Gleichungen 3) und 4) enthalten eine einzige Constante, was ganz natürlich ist, da von den drei iin allgemeinen nöthigen Bedingungen zwei bereits durch die Voraus¬ setzungen, unter welchen jene Gleichungen stattfinden, ausgesprochen sind. H. 463. Discussiou der Gleichung x? -st — ^.2 Zur räumlichen Deutung der Gleichung des Kreises wählen wir die Mittelpunktsgleichung als die einfachste. I. Aus zr — Ur j/i-2 — x? und x — U- — ^2 hass federn Werte von x (^), für welchen überhaupt (x) einen reellen Wert hat, zwei gleiche, aber entgegengesetzte Werte von (x) entsprechen; die Kreislinie wird also von der Abscissenachse (Ordinatenachse) in zwei symmetrische Theile getheilt. 2. Für die Schnittpunkte des Kreises mit der Abscissenachse ist — 0, daher x — Ur r. Für die Schnittpunkte des Kreises mit der Ordinatenachse ist x — 0, daher — rll:Die Kreislinie schneidet also sowohl die Abscisscn- als die Ordinatenachse in zwei Punkten, welche auf entgegengesetzten Seiten vom Ursprünge den Abstand r haben. 3. Für x>r wird imaginär, für wird x imaginär; der größte Wert, den man für x oder setzen kann, ist also der Halbmesser r. ß. 464. Polargleichung des Kreises. Es sei (Fig. 212) 6 der Mittelpunkt eines Kreises, OLI — u dessen Halbmesser, ferner 0 der Pol des Polar-Coordinatensystems, 00 — y der Radiusvektor des Mittelpunktes und 002 — « der Winkel, den 00 mit der Polarachse 02 bildet. Ist nun "LI irgend ein Punkt der Kreislinie, also 17» 260 Fig. 212. i- — O A sein Radiusvector und — N02 der Winkel desselben mit der Polarachse, so erhält man aus dem Dreiecke / ONO s //O ON^OM-s-OO^ —2ON.OO.008OON oder a? — i-2 -P — 2 i-y oos (« — y,), woraus r — y 608 (« — yr) a" — als allgemeine Polargleichung des Kreises folgt. Für § — 0 erhält diese Gleichung die Form r — s,. Z. 465. Bedingungen für den Schnitt und die Berührung zweier Kreise. Es seien 0 und o die Mittelpunkte zweier Kreise, li und r ihre Halbmesser und O o — e ihre Centrale. Man kann unbeschadet der Allgemeinheit der Untersuchung O als den Coordinatenanfangspunkt und Oo als die Abscissenachse annehmsn; dann sind die Gleichungen der beiden Kreise x2 ^2 — Y2 und (x — o)2 -j- ^2 xS Um die Coordinaten der den beiden Kreislinien gemeinsamen Punkte zu erhalten, wird man aus ihren Gleichungen x und bestimmen. Subtrahiert man zu diesem Ende die zweite Gleichung von der ersten, so erhält man «2 r?s_»2 x2 — (x — e)2 — K2 — r'2, gpxx 2 LX — e2 — U2 — 1-2, daher X — ——- . Substituiert man diesen Wert in die erste Gleichung, so ergibt sich oder da 4 «2^2 __ (x2 R2 — r2)2 --- (2 -i- <-2 ^2 — r2) (2 eU — c2 — U2 -s- 1-2) s(e R)2 — i-2> . ji-2 — (o — k)2) — (e -j- 8 -j- r) (o -s- R — r) (r -s- e — 8) (r — « -p U) ist, -j- r) (e -s- 8 - r) (o - R -j- r) (8 -f- r - °). Hieraus folgt, dass sich für / im allgemeinen zwei Werte ergeben, welche, je nach¬ dem das Product unter dem Wurzelzeichen positiv, Null, oder negativ ist, reell und ver¬ schieden, reell und gleich, oder imaginär sind, dass demnach die beiden Kreise entweder zwei Punkte, oder einen einzigen, oder keinen Punkt gemeinsam haben. Welcher von diesen Fällen stattfindet, hängt, da man immer 8>r annehmen kann und dann die Factor en o-s-8-j-r- und o -j- 8 — r wesentlich positiv sind, von der Beschaffenheit der Factorcn e — 8 -s- r und 8 -s- r — e ab. 1. Haben die Factoren c — 8 -j- r und 8 -s- r — e gleiche Vorzeichen, so können sie nur positiv sein, weil nicht zugleich o < 8 — r und e > 8 si- r sein kann. In diesem Falle, wo also 8 — r < e < 8 si- r ist, hat x zwei reelle und entgegengesetzte Werte; die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten, welche gleiche, aber entgegengesetzte Ordinaten und dieselbe Abscisse haben. 2. Ist einer der Factoren 8 -s- r — e und e — 8 P r Null, also entweder e — 8 -j- r oder o — 8 — r, so wird x — 0; die beiden Kreise haben nur einen gemeinsamen Punkt, d. i. sie berühren sich, und zwar im ersten Falle von außen, im zweiten von innen. 3. Haben die Factoren 8 -j- r — o und o — 8 -s- r verschiedene Vorzeichen, ist also gleichzeitig entweder o > 8 -s- r, folglich auch e > 8 — r, oder o < 8 — r, folglich auch o < 8 fi- r, 261 so wird imaginär; die zwei Kreise haben keinen Punkt miteinander gemeinsam, es liegt der eine Kreis im ersten Falle ganz außerhalb, im zweiten ganz innerhalb des zweiten Kreises. Die analytische Untersuchung führt hiernach auf die schon aus Z. 93 bekannten Sätze über die Lage zweier Kreise. Z. 466. Gleichung der Potenzlinie zweier Kreise. Es seien allgemein die Gleichungen zweier Kreise (x — p,)? -I- (7 — 2 - r^) — 0, also die Gleichung einer geraden Linie. Um die nähere Beschaffenheit dieser Geraden kennen zu lernen, beachte man, dass X^ und X» die Potenzen des Punktes (x, ^) in Beziehung auf die zwei gegebenen Kreise bedeuten (K. 461, Zusatz). Die Gleichung X, — X» — 0, oder X^ — X» drückt demnach aus, dass jeder Punkt der durch sie dar¬ gestellten Geraden in Beziehung auf die beiden Kreise gleiche Potenzen hat, dass also diese Gerade die Potenzlinie (Z. 139) der zwei Kreise ist. Sind X, — 0 und Lz — 0 die in der Normalform gegebenen Gleichungen zweier Kreise, so ist X, —X^ — 0 die Gleichung ihrer Potenzlinie. Lehrsatz. Die Potenzlinien dreier Kreise schneiden einander in demselben Punkte. Beweis. Es seien X^ — 0, X? — 0, X^ — 0 die Gleichungen dreier Kreise in ihrer Normalform; dann sind die Gleichungen der Potenzlinien von je zwei Kreisen X. — X- 0, L; — X^ 0, Xz — X. -- 0. Da nun die erste der letzteren drei Gleichungen gleich ist der Summe der beiden anderen, so schneiden sich die durch diese Gleichungen dargestellten Geraden, d. i. die drei Potenzlinien in demselben Punkte (Z. 458). Der gemeinsame Schnittpunkt der drei Potenzlinien dreier Kreise heißt das Potenzcentrum dieser Kreise. Aufgaben. Z. 467. 1. Die Gleichung eines Kreises ist a) x?-st — 6x-st 8^ 4-24, st) x?-st — 2 x, 0) 36x- -st 36^ -f- 36x 4- 144^ 4-89 — 0; bestimme die Coordinaten des Mittelpunktes und den Halbmesser. 2. Construiere einen Kreis, dessen Gleichung ist: a) x?-st — 6v — 16, st) 2x?-st 2v^—x — 0, 0) 4x- -st 4^ — 4x -st 16/^- 19. 262 3. Die Gleichung eines Kreises ist durch die Proportion x : — 6) : (8 — x) gegeben; constrniere den Kreis. 4. Die Gleichungen zweier Kreise sind x? -s- — 6x — io^ -st 30 — 0 und x? si-st-2x — 4^ — 4; suche a) die Gleichung ihrer Centrale, 5) den Abstand des Coordinatenanfangspunktes von der Centrale. 5. Die Gleichung eines Kreises zu finden, welcher durch den äußeren und den inneren Ähnlichkeitspunkt zweier gegebener Kreise geht und den Ab¬ stand beider Ähnlichkeitspunkte zum Durchmesser hat (K. 142). 6. Die Gleichung für den geometrischen Ort der Scheitel aller Dreiecke zu finden, welche dieselbe Grundlinie a haben und in denen a) die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten gleich a? ist, io) die beiden anderen Seiten in dem constanten Verhältnis in : n stehen. Man nehme die Grundlinie als Abscissenachse und einen Endpunkt derselben als Coordinatcrianfangspunkt an. 7. Ein Kreis, dessen Mittelpunkt (p, 9) ist, berührt die Gerade — ax st- io; welches ist die Gleichung des Kreises? Der Halbmesser ist gleich dem Abstande des Mittelpunktes von der Geraden. 8. Es soll mit deni Halbmesser r — 13 ein Kreis beschrieben werden, welchen die Gerade 5x-st 12y — 124 im Punkte, dessen Abscisse x^ —8 ist, berührt; welches ist die Gleichung dieses Kreises? 9. Suche die Gleichung eines Kreises, welcher durch den Punkt (6, 8) geht und die Gerade 4x -p 3^ -st 1 — 0 im Punkte, dessen Abscisse x.z — — 1 ist, berührt. 10. Die Gleichungen der Seiten eines Dreieckes sind 12x — 5^ -st 13 — 0, 3x-st4^st-26 — 0 und 15 x — 8^ st- 14 — 0; bestimme die Gleichung des diesem Dreiecke eingeschriebenen Kreises. 11. Die Gleichung eines Kreises zu finden, welcher durch die drei Punkte (4, —2), (—1, 3) und (—5, —1) geht. 12. Die Gleichung eines Kreises zu finden, welcher durch die zwei Punkte (—2, 0) und (2, 0) geht und die Gerade 3x — 4^ st- 6 — 0 berührt. 13. Die Gleichung eines Kreises zu finden, welcher durch die zwei Punkte (0, 0) und (2, 0) geht und den Kreis (x — 5)? -st — 3)2 — 16 von außen berührt. Die Centrale der beiden Kreise ist gleich der Summe ihrer Halbmesser. 14. Welches ist die Gleichung der Potenzlinie der beiden Kreise (x st- 2)2 st- (7 — 3)2 25 und (x — 1)? -st -st 2)2 16? 15. Bestimme das Pvtenzcentrum für die Kreise (x — 3)2 -st ^2 — 5, (x -st 4)2 _st _st ys — 9 und (x — 1)2 -st (7 — 2)2 7. 263 V. Me Ellipse. ß. 468. Eine Linie der Ebene von solcher Beschaffenheit, dass die Summe der Abstände jedes ihrer Punkte von zwei gegebenen Punkten constant ist, heißt eine Ellipse. Sind X und 8 (Fig. 213) die zwei gegebenen Punkte, und ist 2 a die constante Summe der Abstände eines jeden Punktes der Ellipse von jenen zwei Punkten, so ist U ein Punkt der Ellipse, wenn XU -s- 8U — 2a ist. Die zwei gegebenen Punkte X und 8 heißen die Brennpunkte der Ellipse, die von ihnen zu einem Punkte U der Ellipse gezogenen Strecken XU und 8U die Leitstrahlen dieses Punktes. K. 469. Bestimmung der Leitstrahlen der Ellipse. Es seien (Fig. 213) X und 8 die Brennpunkte, die Mitte 0 ihres Abstandes sei zugleich der Anfangspunkt der Coordinaten und 08 X die Ab- scissenachse. Ist nun U ein beliebiger Punkt der Ellipse, also XU st- 8U — 2a, und sind x — 08, — U8 die Coordinaten dieses Punktes, so erhält man aus den rechtwinkligen Dreiecken X8U und 88U, wenn 0X — 08 — s gesetzt wird, XU- 7' st- (x st- s)', 8U' 7' st- (x — s)', daher XU' - 8U' 4sx, oder (XU st- 8U).(XU - 8U) 4sx; aber XU st- 8U — 2a, daher XU — 8U und XU a st-— und 8U — a — — . it L Fiq. 213. tz. 476. Gleichung der Ellipse. Aus dem X8U (Fig. 213) folgt U8' XU' — X8', oder 7' (a st- (x st- a)' a? st- — x' — s' — a' — s' — . x', daher (s? — s') x' st- a'^' — a' (a' — s'). Da unter allen Umständen XU st- 8U > X8, also 2a > 2s oder a > s ist, so muss die Differenz a' — s' immer positiv sein. Setzt man daher a' — s' — d', so ergibt sich lstx' -s- a^' a'1? als die Gleichung der Ellipse. Dieselbe lässt sich auch so darstellen: — — 1 Z. 471. Discussion der Gleichung b'x' 4- —a'lst. 1. Löst man diese Gleichung nach und dann nach x auf, so erhält man v und x — s/d' — 264 woraus hervorgeht, dass zu jedem Werte von x, für welchen reell ausfällt, zwei gleiche entgegengesetzte Werte von /, und ebenso zu jedem Werte von für welchen x reell wird, zwei gleiche entgegengesetzte Werte von x gehören. Die Ellipse liegt also gegen beide Koordinatenachsen symmetrisch. Der An¬ fangspunkt O der Coordinaten heißt deshalb der Mittelpunkt und b^x? -j- djx Mittelpunktsgleichung der Ellipse. 2. Für / — 0 erhält man x --- s, und für x — 0, — rL b. Die Ellipse schneidet also die Abscissenachse in den Abständen -j- a und — a, und die Ordinatenachse in den Abständen -s- b und — 6 vom Anfangspunkte. 3. Der größte Wert, den x annehmen kann, ist a, der größte Wert von / ist b; für x > a wird für / > b wird x imaginär. Zieht man daher zur Ordinatenachse in den Abständen -j- a und — a, und zur Ab¬ scissenachse in den Abständen -j- b und — b parallele Gerade, welche ein Rechteck bilden, so wird die ganze Ellipse innerhalb dieses Rechteckes enthalten sein. Daraus folgt, dass die Ellipse eine geschlossene krumme Linie ist. 4. Bezeichnet man den Abstand 0 ick eines beliebigen Punktes N der Ellipse vom Mittelpunkte O mit ck, so ist ä — "i- x? —x?) -j- x" — -j- . x". Für x — ^0 a erhält man den größten Wert ck — — rLa — OO — OO; für x — 0 erhält man den kleinsten Wert ck — I/b^ — rL b — OL — OL. Unter allen durch den Mittelpunkt gezogenen Sehnen ist daher OO die größte, LI? die kleinste. Man nennt deshalb OO — 2a die große, LL — 2b die kleine Achse der Ellipse; die Punkte 0 und O heißen die Scheitel derselben. Auch folgt daraus: Die Summe der Leitstrahlen eines jeden Punktes der Ellipse ist gleich der großen Achse. 5. Aus s? — — I? ergibt sich ^0 — 00 0 i?, welche Größe die lineare Excentricität der Ellipse heißt. Das Verhältnis — e — - —-- nennt man die numerische Excentricität. 6. Je kleiner die Excentricität ist, desto weniger ist a von b unter¬ schieden, desto mehr nähert sich die Ellipse dem Kreise; für s — 0 wird a — b und die Gleichung der Ellipse geht in die des Kreises über. Der Kreis kann demnach als eine Ellipse betrachtet werden, deren Excentricität Null ist. 7. Für x — s —— l? erhält man z- — Die durch einen Brennpunkt zur großen Achse normal gezogene Sehne L.8 heißt der Para¬ meter der Ellipse. Es ist somit, wenn man diesen durch 2 p bezeichnet, x — d. h. der halbe Parameter ist die dritte stetige Propor¬ tionale zu der halben großen und der halben kleinen Achse. 265 Z. 472. Beschreibt man über der großen Achse einer Ellipse als Durchmesser einen Fig. 214. Kreis, so verhalten sich die derselben Abscisse entsprechenden Ordinalen der Ellipse und des Kreises wie die halbe kleine zur halben großen Achse. Setzt man (Fig. 214) 0? — x, NR — und LlR — i), so ist — x?), - x?; — b?: g.2, and — d : a. Z. 473. Der Flächeninhalt einer Ellipse ist gleich dem Pro- ducte aus den beiden Halbachsen und der Zahl -r. Zieht man (Fig. 214) durch beliebig viele Punkte N, LI',.. der Ellipse Ordinaten, deren Verlängerungen den über der großen Achse 6D beschriebenen Kreis in den Punkten Li, LI',.. treffen, ferner parallel zur großen Achse die Strecken NR, N'k',.., N8, Li'8',.., so verhalten sich je zwei entsprechende Rechtecke NRR'R und RlRR'8 wie b : a. In demselben Verhältnis stehen dann auch die Summen aller dieser Rechtecke. Nimmt man nun die Punkte N, N',.. unendlich nahe an, so müssen sich auch die Grenzwerte, denen sich jene Summen ohne Ende nähern, d. i. die Flächen der Ellipse und des Kreises, wie d : a verhalten. Der Flächeninhalt des Kreises ist heißt 1 der Flächeninhalt der Ellipse, so hat man 1: — K: a; folglich ist 1 — abn. K. 474. Scheitelgleichung der Ellipse. Nimmt man statt des Mittelpunktes 0 (Fig. 213) den Scheitel 0 als Anfangspunkt der Coordinatcn an und behält die große Achse 61) als Ab- scissenachse, so bleiben für das neue Coordinatensystem die früheren Coordinaten unverändert, während die Abscissen für das frühere System den um die halbe große Achse a verminderten Abscissen des neuen gleich sind. Um daher die Gleichung der Ellipse für das neue System, d. i. ihre Scheitelgleichung, zu erhalten, darf man nur in der Mittclpunktsgleichung x durch x — a ersetzen. Man erhält dadurch ff? (x — a)? -s- (2^x — also, wenn — p gesetzt wird, v? — (2ax — x?), oder Z. 475. Polargleichung der Ellipse. Nimmt man (Fig. 213) den einen Brennpunkt R einer Ellipse als Pol und die Gerade LR>, welche durch den diesem Brennpunkte zunächstliegenden Scheitel O geht, als Polarachsc an, so ist für irgend einen Punkt N der Ellipse der Radiusvector r — RN und der Winkel — N Rv. 266 Dann ist r — a — (Z. 469) und x — s -4 r oos y>; daher 3,2 — tz2 1)2 i' — — j-, oder r — — - —. 3 6 608 W , 6 L 1 -j- -- 608 P I Beachtet man noch, dass — p und — r (ß. 471) ist, so ergibt sich als Polargleichung für die Ellipse r- > 1 -s- L 608

-x^ - a^^ a'b°. Diese Gleichung lässt sich auch so darstellen: x? _i L- Die Gleichung der Hyperbel unterscheidet sich von jener der Ellipse nur dadurch, dass statt d? der letzteren in der ersteren — d? vorkommt. §. 480. Discnssion der Gleichung b^x? — a?^ — 1. Diese Gleichung gibt — X: s/^x? — a^, und X — X: X sX^2 Y2 So lange x < a ist, fällt imaginär aus; für solche Abscissen gibt es also keinen Punkt der Hyperbel. Zu jeder Abscissc x > a gehören zwei gleiche und entgegengesetzte Werte von ebenso erhält man für jeden Wert von zwei gleiche und entgegengesetzte Abscissen. Die Hyperbel besteht also aus zwei getrennten, zu beiden Seiten..der Ordinatenachse symmetrisch liegenden Ästen; jeder dieser Äste wird durch die Abscissenachse in zwei symmetrische 268 d' und imaginär aus. einer durch 0 (Fig. 216) Fig. 216. Theile getheilt. Der Anfangspunkt 0 der Coordinaten heißt deshalb der Mittelpunkt, und daher die Gleichung b V — — sZb? die Mittel¬ punktsgleichung der Hyperbel. 2. Da x und jeden noch so großen Wert annehmen können, so folgt, dass sich die Äste der Hyperbel ins Unendliche ausdehnen. 3. Für — 0 wird x — U: s; die Hyperbel schneidet also die Abscissenachse in zwei Punkten O und 6, deren Abstand 2 s, beträgt. Die Strecke 61) — 2s heißt die erste oder Hauptachse der Hyperbel; 6 und I) nennt man die Scheitel derselben. Daraus folgt: Die Differenz der Leitstrahlen eines jeden Punktes der Hyperbel ist gleich der Hauptachse. 4. Für x — 0 wird — U: b — 1; die Hyperbel jchneidet also die Ordinatenachse nicht in reellen Punkten. Wegen der wichtigen Beziehung der Länge l> zur Hyperbel trägt man jedoch auf die Ordinatenachse die Strecken OK — OK — Urb auf und nennt analog, wie bei der Ellipse, die Strecke kk — 2b auch eine Achse, und zwar die Neben achse der Hyperbel. 5. Ans s? — ober o? — s? -j- 6^ folgt 0^. — OK 6 _ Die Größe s heißt die lineare, die Größe — x — > - die numerische Excentricität. 6. Für x — s — j/ s? -j- b? wird — An — . Auch in der Hyperbel wird die durch den Brennpunkt zur ersten Achse normal gezogene Sehne der Parameter genannt. Es ist daher, wenn man denselben mit 2p bezeichnet, p — d. h. der halbe Parameter ist die dritte stetige Proportio¬ nale zu der halben Haupt- und der halben Nebenachse. 7. Für s — b wird die Hyperbel eine gleichseitige genannt; ihre Gleichung ist x? — 8. Verbindet man mit der Gleichung der Hyperbel die Gleichung x gehenden Geraden ZKN, so erhält man für die Schnittpunkte der beiden Linien: — I— 2 I) — Ä Ä I) — IZb- —L- L-S' wobei das obere Zeichen dem Punkte ZI, das untere dem Punkte ZK ent¬ spricht. Aus diesen Werten folgt, dass ein Schnitt einer solchen Geraden mit der Hyperbel nur möglich ist, wenn oder eck so fallen die Werte von x 269 9. Besonders merkwürdig sind jene zwei Geraden, für welche , also i? — diese Geraden zu construieren, errichte man in I) auf O X eine Normale, trage auf ihr D 6i — D (8 — i> auf und ziehe die Geraden (4018 und (8 0 8; man hat für diese in der That tanZ (400 — und tanAHOO —— Betrachtet man nun eine dieser Geraden, z. B. 10(4, so ist, wenn 08 — x, N? — X? — gesetzt wird, x und x^; 82 ferner, da N ein Punkt der Hyperbel ist, — g?); daher ns — v? — 1>^, oder — v — n — . Wenn x größer wird, nehmen auch und / zu; mit dem Wachsen von / -j- x nimmt aber, da t? constant ist, die Differenz / - NX ab; dieselbe wird daher unendlich klein, wenn x unendlich wächst, d. h. die Hyperbel nähert sich immer mehr und niehr der Geraden IDO-, ohne sie zu erreichen. Dasselbe gilt von der Geraden 0(8. Eine Gerade, welcher sich eine krumme Linie immer mehr nähert, ohne jedoch mit ihr je zusammenzutreffen, nennt man eine Asymptote der krummen Linie. Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, deren Gleichungen sind: , l> < v v — -i-.x und v —-.x. ° s. tz. 481. Scheitelgleichung der Hyperbel. Man erhält, analog wie für die Ellipse (K. 474), Z. 482. Polargleichung der Hyperbel. Nimmt man (Fig. 215) den Brennpunkt L als Pol und 80 als Polar¬ achse an, so ist für irgend einen Punkt N der Hyperbel r — LN und y, NLO. Aus r — — g, (K. 478) und x — s — r oos ergibt sich dann, analog wie für die Ellipse §. 475, auch für die Hyperbel die Polargleichung r-.^ - , 1 -f- r eos P ' Wo jedoch e > 1 ist. Die vorstehende Polargleichung gilt für den Ast der Hyperbel, in welchem der als Pol gewählte Brennpunkt L liegt. Für den andern Ast der Hyperbel erhält man aus r —-g ^„d — X — r CVS -p — s die Polargleichung r — —--- . s." ° 1 — r eos P Aufgaben. tz. 483. 1. Beliebig viele Punkte einer Hyperbel zu bestimmen, wenn die Hauptachse und die beiden Brennpunkte gegeben sind. 270 Man nehme in der Verlängerung der Hauptachse über die Brennpunkte hinaus be¬ liebig viele Punkte an, beschreibe mit dein Abstande eines jeden von dem einen Scheitel um den einen Brennpunkt und mit dem Abstande desselben Punktes von dem zweiten Scheitel um den andern Brennpunkt Kreisbogen, welche sich schneiden; die Schnittpunkte sind Punkte der Hyperbel. 2. Ein Punkt (xst /) einer Hyperbel und die Hauptachse 2 a sind ge¬ geben; welches ist die Gleichung der Hyperbel? 3. Für welchen Punkt der Hyperbel b-x? — — ^2^2 Or¬ dinate gleich der Abscisse? (Wann ist die Lösung möglich?) 4. Die Normale vom Brennpunkte einer Hyperbel auf die Asymptote ist gleich der halben Nebenachse. VII. I>ie ^araöet. Z. 484. Eine Linie der Ebene von solcher Beschaffenheit, dass jeder ihrer Punkte von einem gegebenen Punkte und von einer gegebenen Geraden den¬ selben Abstand hat, heißt eine Parabel. Fig. 217. Ist 0 (Fig. 217) der gegebene Punkt und die gegebene Gerade, ferner Litz st. ^.8, so ist LI ein Punkt der Parabel, wenn LI 0 — LItz ist. Der gegebene Punkt 0 heißt der Brennpunkt, die gegebene Gerade ^L8 die Leitlinie der Parabel und OLI der Leit strahl des Punktes LI. Z. 485. Bestimmung eines Leitstrahls der Parabel. Man ziehe (Fig. 217) OO st. X8 und nehme die Mitte 0 der Normalen 01) als Anfangspunkt der Coordinaten und OOX als Absciffenachse an. Ist nun LI ein beliebiger Punkt der Parabel, also 0LI —Litz, wo Litz st. ^.8, und sind x —08, —LI8 die Coordinaten von LI, so ergibt sich, wenn 00 — 01) — gesetzt wird, OLI — Litz 1)8 0? st- Ov, also OLI -- x st-^. ß. 486. Gleichung der Parabel. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke LI 80 (Fig. 217) erhält man LI8- OLI- — 08-, oder (x st- 8.?— woraus I' 2 p x als die gesuchte Gleichung der Parabel folgt. Z. 487. Discussion der Gleichung — 2 px. 1. Aus dieser Gleichung ergibt sich —j/2xx. Zu jedem positiven Werte von x gehören zwei gleiche, aber entgegengesetzte Ordinaten; die Pa¬ rabel dehnt sich also zu beiden Seiten der Absciffenachse O X in zwei 271 congruenten Ästen aus, und zwar ins Unendliche, da x und jede beliebige Größe erreichen können. Die Gerade OX heißt die Achse der Parabel. 2. Für x — 0 wird auch — 0; der Ursprung O der Coordinaten ist also ein Punkt der Parabel, er heißt der Scheitel, nnd daher die Gleichung — 2px die Scheitelgleichnng der Parabel. 3. Für ein negatives x wird imaginär; negativen Abscissen entsprechen daher keine Punkte der Parabel. 4. Setzt man x — — 00, so wird — 00 — 00 — U-p; daher ist 00 — 2p. Die Größe 2p stellt also die durch den Brennpunkt normal auf die Achse gezogene Sehne 00 dar; sie heißt der Parameter der Parabel. 5. Aus — 2 px folgt 2p: : x, d. h. die Ordinate eines jeden Punktes der Parabel ist die mittlere Proportionale zwischen dem Parameter nnd der Abscissc des Punktes. 6. Sind x^ und x" die Abscissen, / und die zugehörigen Ordinaten zweier Punkte einer Parabel, deren Parameter 2 p ist, so hat man ^2 —2px' und z?"? — 2px", daher . x«.. x", d. h. in der Parabel verhalten sich die Quadrate der Ordinaten wie die zugehörigen Abscissen. Ansätze. 1. Lässt man in der Scheitelgleichung — 2px einer Ellipse oder Hyperbel a ohne Ende zunchmen, während p ungeändert bleibt, was bei gehöriger Annahme von l> vermöge der Gleichung — p immer möglich ist, so wird für a — cx> der Quotient sich ohne Ende der Null, und die Gleichung der Ellipse oder der Hyperbel ohne Ende jener der Parabel — 2px nähern. Die Parabel kann demnach als eine Ellipse oder als eine Hyperbel angesehen werden, deren große oder erste Achse unendlich groß ist. 2. Alle bisher betrachteten krummen Linien lassen sich durch die gemein¬ same Scheitelgleichung 2px -0 darstellen, in welcher p für den Kreis den Halbmesser, für die übrigen krummen Linien den halben Parameter bedeutet, und für den Kreis — — 1, für die Ellipse — — also negativ und absolut < 1, für die Hyperbel — also Positiv, und für die Parabel — 0 ist. Z. 488. Der Flächeninhalt des zwischen zwei zusammen¬ gehörigen Coordinaten eingcschlossencn Parabclstttckes ist gleich 2/z des Produktes aus diesen Coordinaten. Es sei ON (Fig. 218) ein parabolischer Bogen. Zieht man durch beliebig viele Punkte N, LO, N",.-- Normale auf die Abscissenachse OX und auf 272 die Ordinatenachse 01, so ist, wenn 0k —x, Alk — Ok^ — x^, Al^k' ^ ^... gesetzt wird, Rechteck kk — (x — x^) Rechteck 1, und für die Parabel — 1 ist. Aufgaben. Z. 490. 1. Beliebig viele Punkte einer Parabel zu bestimmen, wenn der Brennpunkt und die Leitlinie gegeben sind. 273 Man bestimme zuerst den Scheitel und die Achse; dann nehme man in der Achse beliebig viele Punkte an, ziehe durch dieselben Normale aus die Achse und beschreibe mit dem Abstande jedes Punktes von der Leitlinie als Halbmesser um den Brennpunkt Kreis¬ bogen, welche die entsprechende Normale schneiden; die Schnittpunkte sind Punkte der Parabel. Fig. 219. 2. Wenn der Parameter gegeben ist beliebig viele Punkte der Parabel zu be¬ stimmen. Die Auflösung beruht auf Z. 487, 5. Essei X8 (Fig. 219) der Parameter, Lder Scheitel und itX die Achse der Parabel. Man nehme beliebige Abscissen L8, L8H... an und beschreibe über 88, L als Durchmesser Kreise, welche die in L auf ^8 errichtete Nor¬ male in den Punkten K und 8, 18 und 8'... schneiden. Zieht man nun durch diese Punkte Pa¬ rallele zur Achse, so werden diese die in 8, 8'.. auf die Achse errichteten Normalen in den Punkten ltl und dl, Ü8 und dl'... schneiden; diese sind dann Punkte der Parabel. 3. Die Gleichung einer Parabel sei —2x; wie groß ist der Flächen¬ inhalt des von dem Parameter begrenzten Parabelstückes? 4. Der Parameter einer Parabel, deren Achse mit der Abscissenachse parallel laust, ist gleich 2p, die Coordinaten des Scheitels sind in und u; welches ist die Gleichung der Parabel? 5. Die Gleichung einer Parabel ist x?— 4^— üx — 3; bestimme s.) die Coordinaten des Scheitels, ll) den Parameter. 6. Ein Körper, welcher die Höhe ll über dem Horizonte hat, erhält durch eine Kraft eine gleichförmige Bewegung in horizontaler Richtung mit der Ge¬ schwindigkeit o (in I Zeitsecunde) und vermöge der Schwerkraft eine verticale Bewegung mit der Beschleunigung A. a) Welche Linie durchläuft er? ll) Nach welcher Zeit, und v) in welcher horizontalen Entfernung vom Anfangspunkte langt er in der Horizontalebene au? (Der Widerstand der Luft bleibt unbeachtet.) VHI. Langenten und Normalen der krummen Linien. Z. 491. Die Gerade und die krummen Linien. Verbindet man die Gleichungen zweier Linien, so sind die sich ergebenden Werte von x und / die Coordinaten der den beiden Linien gemeinsamen Punkte. Ist eine der beiden Linien eine Gerade und die andere ein Kreis, eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel, so erhält man für x und im allgemeinen zwei Paare von zusammengehörigen Werten. Sind diese Werte reell und ver¬ schieden, so haben die beiden Linien zwei gemeinsame Punkte, d. i. die Gerade schneidet die krumme Liuie in zwei Punkten. Fallen die beiden Werte in einen einzigen zusammen, so haben dw"zwei Linien nur einen gemeinsamen Moönik, Geometrie. 1« 274 Punkt, d. i. die Gerade berührt die krumme Linie in jenem Punkte. Sind endlich die Werte von x und / imaginär, so haben die beiden Linien keinen gemeinsamen Punkt. Ausnahmen kommen in besonderen Fällen bei der Hyperbel und bei der Parabel vor. 1. Verbindet man mit der Gleichung der Hyperbel ^2^2 die Gleichung einer zu einer Asymptote parallelen Geraden x -s- o oder — —- x -s- o, so erhält man bezüglich 2 b-: — a (i)2 -s- e2) X 2^ö — 1,2 v — , oder 2 o ' <>2 — 1,2 Jede mit einer Asymptote einer Hyperbel parallele Gerade schneidet die Hyperbel in einem einzigen Punkte. 2. Verbindet man mit der Gleichung der Parabel — 2 p x die Gleichung einer zur Achse parallelen Geraden — e, so ergibt sich e2 Jede zur Achse einer Parabel parallele Gerade schneidet also die Parabel in einem einzigen Punkte. tz. 492. Allgemeiner Begriff der Tangente. Es sei .4K (Fig. 220) irgend eine krumme Linie und Lk der Punkt, in welchem sie von der Geraden 11" berührt werden soll. Man denke sich Mg. 220. durch diesen Berührungspunkt Lk und durch 7^ einen benachbarten Punkt N" zuerst eine Se- cante 88^ gezogen und diese dann um Lk so gedreht, dass LI" dem Lk immer näher rückt; daun wird sich auch die Secante 88^ der Tan- /v V gente Timmer mehr nähern und endlich mit .. --X ihr zusammenfallen, wenn Ll" aeif den Berüh¬ rungspunkt Lk zu liegen kommt. Man kann daher die Tangente einer krummen Linie als eine Se¬ cante derselben betrachten, welche durch die Drehung um den einen Schnitt¬ punkt in eine solche Lage gebracht wurde, dass der zweite Schnittpunkt mit deni ersten zusammenfällt. Eine im Berührungspunkte Lk auf der Tangente normale Gerade Lkk heißt eine Normale der krummen Linie. Bei der Berührung einer krummen Linie mit einer Geraden sind nach¬ stehende vier Größen von Wichtigkeit: 1. Die Tangente LKP, d. i. die Länge der Berührungslinie vom Be¬ rührungspunkte bis zum Schnittpunkte mit der Abscissenachse; 275 2. die Subtangente ?'T, d. i. die Projection der Tangente auf die Abscissenachse; 3. die Normale Ll'Ps, d. i die Länge der Normallinie zwischen dem Berührungspunkte und der Abscissenachse; und 4. die Subuormale k'Ll, d. i. die Projection der Normale auf die Abscissenachse. Von diesen vier Berührungsgrößen sind die Tangente und die Normale wesentlich positiv. Die Subtangente und die Subnormale dagegen sind positiv oder negativ, je nachdem sie von der Ordinate aus nach der positiven oder negativen Abscissenrichtung liegen; sie werden in jedem Falle bestimmt durch die Differenz x — x', in welcher x die Abscisse des Schnittpunktes der Tan¬ gente, beziehungsweise der Normale, mit der Abscissenachse, und x' die Abscisse des Berührungspunktes bezeichnet. 7"^ S Fig. 221. - 7 oder 1 und daher erhält. Substituiert man diesen Wert in die obige Gleichung der Secante 88', so nimmt dieselbe folgende Form an: 1. Fällt nun der Punkt LI" mit LI' zusammen, so kommt die Secante 8 8' in die Lage der Tangente DI"; setzt man also in der letzten Gleichung x" — x', — ^', so erhält man für die Tangente DT' die Gleichung welche man auch so darstellen kann: d°xx' -st In dieser letzteren Form lässt sich die Gleichung der Tangente unmittelbar aus jener der Ellipse lr^xx -st leicht ableiten, indem man die Quadrate xx und durch die Producte xx' und D'' ersetzt. 1. Ellipse und Kreis. Z. 493. Gleichungen der Tangente und der Normale. Sind x', und x", die Coordinaten zweier benachbarter Punkte LI' und LI" (Fig. 221) einer Ellipse, deren Gleichung K^x? -st ist, so hat man für die durch LI' und LI" gehende Secante 8 8' die Gleichung wobei zugleich die Bestimmungsgleichungen I?x'- -st »^2 stattfinden, durch deren Subtraction man I? (^.2 __ g- (^"2 _ ^,.2) g, 18» 276 2. Für die im Punkte N' auf die Tangente errichtete Normale ergibt sich (Z. 456, 2) die Gleichung I " (x —x')...2). Zusatz. Für b — a geht die Ellipse in einen Kreis über. Für den Kreis ist daher a) die Gleichung der Tangente (x — x'), oder xx' -st 7/ — s?; Io) die Gleichung der Normale ——x'), oder z^^x, woraus folgt, dass jede Normale des Kreises durch den Mittelpunkt geht. tz. 494. Länge der vier Berührungsgrößen. 1. Setzt man in der Gleichung der Tangente — 0, so erhält man -1.2 x — als die Abscisse des Punktes 1 (Fig. 221); folglich ist »2 — ^<2 Subtangente k'T — x — x' — -—. Dieser Ausdruck zeigt, dass die Subtangente von der kleinen Achse 2 b unabhängig ist, dass alle Ellipsen, somit auch der Kreis, welche über derselben großen Achse beschrieben werden, für gleiche Abscissen auch dieselbe Subtan¬ gente haben. 2. Für die Tangente N'T erhält man: - El-" rv - -I- - g jx" daher Tangente N'T — s-^b^x" -s- 3. Setzt man in der Gleichung der Normale — 0, so ergibt sich für <>2 _ 1,2 den Punkt idl der Abscisse x — . x'; daraus folgt Subnormale — x — x' — - 4. Zur Bestimmung der Normale hat man N'W U'x-2 st- st- , daher Normale NH — -Z—' - Zusatz. Für b — a, d. i. für den Kreis ist ^2 ^-^2 a) die Snbtangente — —; b) die Tangente — b) die Subnormale — — x'; ä) die Normale — r. ß. 495. Jede Tangente der Ellipse bildet mit den Leit¬ strahlen des Berührungspunktes gleiche Winkel. 277 Es seien (Fig. 222) J.U und RN die Leitstrahlen des Punktes U — (xst /) einer Ellipse, deren Mittelpunkt 0 ist. Die Gleichung der durch U an die Ellipse gezogenen Tangente ist oder mit Rücksicht auf tz. 469 (01 — e) : (01 st- s)-- A2 woraus auch 10 — folgt. l-^xx/ -i- — s?l)st Aus ihr ergibt sich für — 0 als die Ab- scifse des Schnittpunktes der Tan- 3,2 gente mit der großen Achse x — Jst nun J.UL ein Außenwinkel des Dreieckes ^.LU, Ul die Hal¬ bierungslinie dieses Winkels und 1 ihr Schnittpunkt mit der großen Achse, so ist nach tz. 120, 2 J.1: LI J.U: LU, Der Punkt, in welchem die durch U gezogene Tangente die große Achse schneidet, ist also identisch mit dem Punkte 1; d. i. die Tangente im Punkte U ist die Halbierungslinie Ul des Winkels J.UL. Da nun LAI —LAV und nach der Voraussetzung J.U1 —LUI ist, so ist auch J.U1 LUV. Dieser Satz erklärt folgende Erscheinungen, welche auf dem Reflexionsgesetze beruhen. Bon einer elliptischen Spiegelfläche werden die von einem Brennpunkte auffallenden Licht-, Wärme- oder Schallstrahlen so rcflectiert, dass sie sich im andern Brennpunkte vereinigen. Erregt man in einem elliptisch geformten Gefäße, worin sich eine Flüssigkeit befindet, in dem einen Brennpunkte eine Wellenbewegung, so treffen die reflectierten Wellen im andern Brennpunkte zusammen. 2. Hyperbel. tz. 496? Tangenten und Normalen der Hyperbel. Die Gleichungen der Tangente und der Normale, sowie die Langen der Tangente, Subtangente, Normale und Subnormale lassen sich hier in analoger Weise wie bei der Ellipse (tztz. 493 und 494) entwickeln; sie können aber auch aus den dort gewonnenen Resultaten sofort erhalten werden, wenn man in denselben l? mit —lV vertauscht. Z. 497. Jede Tangente der Hyperbel bildet mit den Leit¬ strahlen des Berührungspunktes gleiche Winkel. Der Beweis wird unter Beziehung auf Z. 120, 1 analog wie zu K. 495 geführt. Auf diesen Satz gründet sich die optische Erscheinung, dass von einem hyperbolisch geschliffenen Hohlspiegel Lichtstrahlen, die voN'einem Brennpunkte ausgehen, so reflektiert werden, als ob sie vom andern Brennpunkte herkämen. 278 3. Parabel. Z. 498. Gleichungen der Tangente und der Normale. Die Gleichung der Secante, welche durch die Punkte (x/, /) und (x", der Parabel — 2px geht, ist 7 (x — x"). Wegen — 2px^ und — 2px" ist: und -/ x" — X' Durch Substitution ergibt sich daher als Gleichung der Secante e 2 I) , ,> 7 (-c — x'). 1. Lässt man nun den Punkt (x", 7") mit (xch 7') zusammenfallen, so wird — 7' und man erhält als Gleichung der Tangente —^-(x —x')-...1), oder — 2p. 2. Für die zu dieser Tangente gehörige Normale folgt aus 1) 7 — — ^-(x-x').-..2). K. 499. Länge der vier Berührungsgrößen. 1. Aus der Gleichung der Tangente ergibt sich für den Punkt 1 (Fig. 223), indem man / — 0 setzt, x — — x^; daher ist Subtangente kl — x — x' — — 2 x/. In der Parabel ist die Subtan¬ gente eines Punktes (dem absoluten Werte nach) der doppelten Abscisse desselben gleich. 2. Für die Tangente LlD hat man 4x^ 2px'-j- 4x'-', somit Tangente LI 1 — P^2 x^ (p -t- 2x'). 3. Setzt man in der Gleichung der Normale — 0, so erhält man für den Punkt L! die Abscisse x — x' -P p; daher ist Subnormale k? — x — x' — p. In der Parabel ist die Subnormale constant und gleich dem halben Parameter. 4. Für die Normale erhält man NN- -- Nk' -s- kLI' -- p- — 2px" -s- p°, also Normale LILI — "s/p (x -t- 2 x^). Ausach. Der Berührungspunkt und die Fußpunkte der Tan¬ gente und der Normale in der Achse sind von dem Brennpunkte der Parabel gleich weit entfernt. Denn wegen — x' — ist LII? — — x' -j- 279 tz. 500. Die Tangente einer Parabel bildet mit dem Leit¬ strahle des Berührungspunktes und mit der durch diesen Punkt zur Achse parallelen Geraden gleiche Winkel. Da nach Z. 499, Zus., das ^KNB (Fig. 223) gleichschenklig ist, so ist derW.KND —KTN; nun ist auch W. KNI" — KDN; daher KNI KNI". Auf diesem Satze beruht die Anwendung parabolischer Hohlspiegel. Fallen nämlich Licht-, Wärme- und Schallstrahlen parallel zur Achse ans den Spiegel auf, so vereinigen sie sich nach der Reflexion ini Brennpunkte. Umgekehrt: Die vom Brennpunkte ausgehenden Strahlen werden von dem Spiegel parallel zur Achse reflectiert. Aufgaben. Z. 501. Kreis. 4. Wie viele Punkte hat die Gerade a) zr — x -f- 2, l>) 4x -j- 3zr — 50, o) 3^ — x -f- 40 mit einem Kreise, dessen Gleichung x? -f- — 100 ist, gemeinsam? 2. Der Kreis 4x? -f- 4)^ — 25 wird von der Geraden 2^ — 14x -- 25 geschnitten; bestimme a) die Coordinaten der beiden Schnittpunkte, d) die Länge der diese Punkte verbindenden Sehne, o) den zu ihr gehörenden Ccntriwinkel. 3. An den Kreis (x — p)^ fi- — r? wird im Punkte (x", eine Tangente gezogen; welches ist die Gleichung derselben? 4. An den Kreis x? -f- — 25 sind in den Punkten (— 4, 3) und (— 3, 4) Tangenten gelegt; bestimme a) die Gleichungen der beiden Tangenten, d) den von ihnen eingeschlossenen Winkel. 5. An den Kreis x^ fi- — r? sollen von einem außerhalb desselben liegenden Punkte (m, n) Tangenten gezogen werden; bestimme a) die Coordinaten der Berührungspunkte, b) die Gleichung der Berührungssehne. Die Gleichung der Tangente ist Da die Tangente durch den Punkt (m, n) gehen soll, so muss mx' -s- ox' — r^... 2), und weil der Berührungspunkt (x', x') dem Kreise angehört, auch x^-f-^'2 — ^2... z) sein. Aus 2) und 3) sind nun x' und zu bestimmen und dann die Werte in 1) einzusetzen. 6. Die Gerade 2x -f- — 10 schneidet den Kreis x? fi- zwei Punkten; durch diese Schnittpunkte werden Tangenten an den Kreis gelegt. In welchem Punkte schneiden sich die beiden Tangenten? 7. Die Gleichung der Polare des Punktes (m, n) in Bezug auf den Kreis x? fi- finden (ß. 143). Hl X -s- 11^ — 1-2. 8. Die Gerade — ax -f- wird als Polare bezüglich des Kreises x? -f- — r-2 betrachtet; bestimme die Coordinaten des zugehörigen Poles. ÄI-2 1' Tb' 9. An den Kreis x? fi- — 100 ist eine Tangente zu ziehen, welche mit der Geraden -s- 15 parallel ist; wie lautet ihre Gleichung? 28» 10. Wie lang ist die den beiden Kreisen r? -s- )4 — — 4)2 )4 — 4 gemeinsame Sehne? 11. Wie lautet die Potenzlinie der Kreise (X -s- P? 4- (X — p)? -j- ? 12. Wie lauten die Potenzlinien der drei Kreise ^4-^-4, (x - 3)--s-(^ - 2)---3, (x -s- 1)" 4-()"-st 2)"^ 2? und wie die Coordinaten des Potenzcentrums? 502. Ellipse. 1. Die Gleichung einer Ellipse ist 9x? -s- 16)4 — 144, die Gleichung einer Geraden s.) 3x-s-5, b) — x-st 5, o)^ —2x —9; wie viele Punkte hat die Ellipse mit jeder dieser Geraden gemeinsam? 2. Durch einen Punkt N der Ellipse an diese eine Tangente zu ziehen. Auflösung 1. Verlängert man (Fig. 222) den Leitstrahl Lbl über Ll hinaus, so darf man, um die Lage der Tangente Ll bl zu erhalten, (nach Z. 495) nur den Winkel b.ülL halbieren. Man macht daher LlL —blL und beschreibt um L uud L mit demselben Halb¬ messer Kreisbogen, welche sich in dl schneiden; die durch 8 und bl gezogene Gerade bl Ll ist die verlangte Tangente Auflösung 2. Nach Z. 494, Zusatz, indem man (Fig. 224) über der großen Achse Ov einen Kreis be¬ schreibt, die Ordinate bl? bis kl verlängert, durch bl enie Tangente big? an den Kreis construicrt und DLl zieht. 3. Aus einem Punkte bi (Fig. 222) außer¬ halb der Ellipse an diese eine Tangente zu ziehen, Hier kommt es mit Rücksicht auf die 1. Auflösung der Aufgabe 2 offenbar nur dar¬ auf an, einen Punkt b! zu finden, der von bl ebenso weit absteht, als der eine Brennpunkt L, und dessen Entfernung von dem anderen Brennpunkte L der großen Achse gleich ist. Diesen Punkt findet mau aber in dem Durchschnitte der um bl mit dem Halbmesser bl^., und um ö mit deni Halbmesser 6 V beschriebenen Kreisbogen. Zieht nian die Gerade LL, welche die Ellipse in bl schneidet, so ist bl der Berührungspunkt und bl bl die gesuchte Tangente. Da jene zwei Bogen auch noch einen zweiten Schnittpunkt L' geben, so wird durch die Gerade L'L noch ein zweiter Berührungspunkt bl' bestimmt, woraus folgt, dass von dem Punkte bl zwei Tangenten blbl und blbl' an die Ellipse gezogen werden können. 4. Welches ist die Gleichung der Tangente an die Ellipse X? 4- 25)^—25 im Punkte (—3, H-)? 5. An die Ellipse 4x? -st 25)4 — 100 werden durch den Punkt (4, H) eine Tangente und eine Normale gezogen; wie groß ist u) die Subtangente, b) die Tangente, o) die Subnormale, ä) die Normale? 6. Wie verhalten sich die Abschnitte, in welche die Abscisse eines Punktes der Ellipse durch die Normale dieses Punktes getheilt wird? 6u. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, welche vom Punkte (3, 8) an die Ellipse 9x? -s- 16)4 — 144 gezogen werden können? (Die Auf¬ lösung ist analog jener der Aufg. 5 im Z. 501.) 6b. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an die Ellipse 9x? -st 25)4 — 225, welche mit der Geraden 5^ -st 4x — s, Parallel sind? 281 7. An die Ellipse -st 4^? — 100 werden durch die Punkte (8, 3) und (6,—4) Tangenten gezogen: bestimme a) die Coordinaten ihres Schnitt¬ punktes, b) den von ihnen gebildeten Winkel. 8. Die Länge der Senkrechten voni Mittelpunkte einer Ellipse auf die durch den Punkt (xch /) derselben gezogene Tangente zu bestimmen. 9. Das Product aus der Normale eines Punktes der Ellipse und der Senkrechten vom Mittelpunkte auf die Tangente desselben Punktes ist constant und gleich dem Quadrate der halben kleinen Achse. 10. Die Länge der Senkrechten von einem Brennpunkte einer Ellipse auf die durch den Punkt (xch z5) derselben gezogene Tangente zu finden. 11. Das Product aus den Senkrechten von den Brennpunkten einer Ellipse auf eine Tangente derselben ist constant und gleich dem Quadrate der halben kleinen Achse. 12. Die Coordinaten des Fußpunktes der Senkrechten von einem Brenn¬ punkte einer Ellipse auf die durch den Punkt (xch 7') derselben gezogene Tan¬ gente zu bestimmen. 13. Der Abstand des Fußpunktes der von einem Brennpunkte einer Ellipse aus eine Tangente gezogenen Senkrechten vom Mittelpunkte der Ellipse ist gleich der halben großen Achse. 14. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Curvcn x?-st 7? — 3x° -st 5?- -- IS-. Z. 503. Hyperbel. 1. Die Gleichung einer Hyperbel ist 4x^ — 97^ —36; wie viele Punkte hat die Gerade a) 7 — -st 2, d) 7 — 2x — 8, 0) 6/ — 5x — 9 mit der Hyperbel gemeinsam? 2. Durch einen Punkt der Hyperbel an diese eine Tangente zu ziehen. Die Auslösung ist analog der Auflösung 1 zu Z. SOL, Ausg. 2. 2 a. An die Hyperbel 9x? — 16 7? — 1^4 jsj im Punkte (^°, 4) die Tangente zu ziehen und deren Gleichung anzugeben. 3. Von einem außerhalb der Hyperbel liegenden Punkte an dieselbe eine Tangente zu ziehen. Wird analog wie Ausg. 3 in H. 502 aufgelöst. 3a. Wie lauten die Gleichungen der beiden Tangenten, welche vom Punkte (8, an die Hyperbel 9x? — 167? — 144 gezogen werden können? 4. Der zwischen den Asymptoten liegende Theil einer Tangente der Hyperbel wird im Berührungspunkte halbiert. 5. Innerhalb welches Winkels liegen die beiden Äste der Hyperbel 4x- — 9^ -- 36? 6. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Curven x--st 7^ 60^, 9x^-167^144? 282 K. 504. Parabel. 1. Die Gleichung einer Parabel ist — 5x; wie viele Punkte hat die Gerade u) 4z^ — 5x -s- 4, Z) — 2x — 1, o) — 3x -s- 2 mit der Parabel gemeinsam? 2. Durch einen Punkt LI der Parabel an diese eine Tangente zu ziehen. Fig. 225. Auflösung 1. Durch Halbierung des Winkels b'Lltz (Fig. 225) nach A. 500, indem man um und tz mit dem¬ selben Halbmesser Kreisbogen beschreibt, welche sich in bl schneiden, und dann die LlLl zieht. Auflösung 2. Mit Rücksicht aus Z. 499, 1. Man mache (Fig. 223) OT -- 0? und ziehe IN. Auslösung 3. Nach Z. 499, Zusatz. Man beschreibe (Fig. 223) um den Brennpunkt l? mit dem Leitstrahle k?Ll als Halbmesser einen Kreisbogen, welcher die verlängerte Achse in D schneidet, und ziehe DLl. 2 a. Wie lautet die Gleichung der Tangente, welche im Punkte (2, 3) an die Parabel mit dem Parameter 4^ gezogen wird? 3. Ans einem Punkte U (Fig. 225) außerhalb der Parabel an diese eine Tangente zu ziehen. Mit Beziehung auf die 1. Auflösung der Aufgabe 2 handelt es sich hier nur darum, den Punkt tz zu bestimmen, durch welchen die mit der Achse parallele Gerade tzLl gezogen werden muss, bannt sie den Berührungspunkt Ll treffe. Der Punkt tz liegt nun in der Leitlinie und ist von bl ebenso weit entfernt, als der Punkt I?. Um daher von bl eine Tangente an die Parabel zu ziehen, beschreibt man um bl nut dem Halbmesser blt? einen Kreis, welcher die Leitlinie in schneidet, zieht tzLlssOX und sodann die Gerade XLl. Da jener Kreis die Leitlinie auch noch in einem zweiten Punkte schneidet, so er¬ hält man, wenn (z' .tU h OX gezogen wird, einen zweiten Berührungspunkt LU und es ist auch blLU eine Tangente der Parabel. 4. Die Gleichung einer Parabel sei — I6x; suche die Gleichung derjenigen Tangente der Parabel, welche zu der Geraden — x — 3 parallel ist. 5. An eine Parabel, deren Gleichung — 4x ist, seien durch zwei ihrer Punkte, deren Ordinaten 2 und —4 sind, Tangenten gezogen; bestimme n) den Schnittpunkt der beiden Tangenten, l>) den von ihnen gebildeten Winkel, o) den Flächeninhalt des von den Tangenten und der Berührungssehne be¬ grenzten Dreieckes. 6. Die Senkrechte vom Brennpunkte einer Parabel auf eine Tangente derselben ist die mittlere Proportionale zwischen dem entsprechenden Leitstrahl und dem vierten Theile des Parameters. 7. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Curven 2x und x^ -f- 8? 8. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, welche in den Schnitt¬ punkten an die beiden Curven 4x? — 9^ — Zg und — >_° gezogen werden können, und unter welchem Winkel schneiden sich diese Tangenten? 283 IX. Allgemeine Untersuchung der Linien zweiten Grades. Z. 505. Der Grad einer Gleichung zwischen den Coordinaten für ein bestimmtes Parallelsystem wird durch die Transformation derselben für ein anderes Parallelsystem nicht geändert. Denn ist die ursprüngliche Gleichung zwischen x und / vom mten Grade, so ist erstlich von selbst klar, dass nach den im ß. 440 angegebenen Substitutionen die neue transformierte Gleichung kein Glied enthalten könne, in welchem die Summe der Potenzexponenten von x und / größer als na wäre. Die Transformation kann aber den Grad der Gleichung auch nicht erniedrigen, weil man durch Rück-Transformation der neuen Gleichung für das frühere System nothwendig die ursprüngliche Gleichung wieder erhalten muss, und daher, wenn die erste Transformation den Grad der Gleichung hcrabgcmindert hätte, die zweite Rück-TranSformation ihn wieder erhöhen müsste, was jedoch nach dem Obigen nicht möglich ist. Da hiernach der Grad der Gleichung einer Linie von der Lage des Parallel-Coordinatensystems unabhängig ist und einzig durch den Charakter der Linie bestimmt wird, so pflegt man die Linien nach dem Grade ihrer ent¬ sprechenden Gleichungen einzutheilen. Die gerade Linie ist eine Linie des ersten Grades, und zwar die einzige Linie dieses Grades; der Kreis, die Ellipse, Hyperbel und Parabel gehören zu den Linien des zweiten Grades. Diese letzteren sollen nun hier ganz allgemein untersucht werden. Z. 506. Discussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Xx? Lx/ -st 6/2 -st Vx -st -st — 0.. .1) zwischen den Coordinaten x, / eines Punktes der Ebene, wo X, L, 6,... 4' reelle Coefficienten bedeuten. Um die geometrische Bedeutung dieser Gleichung, in welcher man unbe¬ schadet der Allgemeinheit der Untersuchung ein rechtwinkliges Coordinateusystem voraussetzen kann, kennen zu lernen, wird man dieselbe durch Transformierung der Coordinaten auf eine einfachere Form zu bringen suchen, indem man Ursprung und Achsenrichtung des neuen Systems so wählt, dass gewisse Glieder der transformierten Gleichung verschwinden. Transformiert man zunächst die Coordinaten so, dass der Ursprung unverändert bleibt und die neue Abscissenachse mit der früheren den Winkel « bildet, so muss mau (Z. 440) statt x und / bezüglich x vos « — / sin « und x siu « -st / oos « setzen. Man erhält dadurch eine neue Gleichung Nx2-stOx/-st4l/2-p.(^x-stU/-st4' — 0, ...2, in welcher N — X oos ost -st L siu « oos « -st 0 sin «2, O — — 2 (X — O) sin « oos « -st iö (oos ost — siu ost), X — X sin «2 — L siy « oos 0: -st 0 oos «2, H — I) oos « -st D sin «, k — — D sin a -st L oos 0: ist und 6 den früheren Wert beibehält. 284 Um nun uns dieser transformierten Gleichung x^ wegzuschaffcu, muss man dem noch unbestimmten Winkel « einen solchen Wert beilegen, dass O — — 2 (^ — 0) sin « oos « -st 8 (oos — sin «^) — 0, oder was das¬ selbe ist, dass — (^. — 0) sin 2« -st 8 oos 2« — 0 werde; man muss also tanA 2 « — . .. 3) setzen. Da die Tangente eines Winkels jeden reellen Wert oou — --o bis -i- annehmcn kann, so lässt sich « immer so bestimmen, dass der Gleichung 3) genüge geschieht. Dadurch geht die Gleichung 2) über in Llx- -st X^ -st Hx -st 8.)- -st X 0 ... 4). Zur Bestimmung von LI und X ergibt sich aus den obigen Ausdrücken LI -st X u- 6, 21 — X — — 0) oos 2« st- 8 «in 2«. Nun ist sin 2« - - ° - I/ 1 st- tsn» 2 «2 — 0)2 -I- 82' nos 2 « — —— —- —- — _ " 0 - V-; daher i/l -! tLN^ 2«2 — 0)2 st- 82' ' LI - X U- — 0)" -st 8^. Daraus folgt „ (ä-si0)^^(L-0)2-r 82 (L st- 0) - 0)-L- " 2 ' ' 2 .."-O- . 4^.0 — 82 82 — 4^0 und LIX — -.-- —-. - ... 6). 4 4 Die weiteren Transformationen hängen von der Beschaffenheit der Coefficienten U und X, oder mit Rücksicht auf die Gleichung 6) von der Be¬ schaffenheit des Ausdruckes 8^ — 4 6 ab. In dieser Beziehung sind drei Hauptfälle zu unterscheiden. I. Es sei 8- — 4 ^.0 negativ. Transformiert man die Gleichung 4), um die Glieder x und wcg- zuschaffen, mit Beibehaltung der Achsenrichtung für einen neuen Ursprung (rn, n), indem man statt x nnd die Werte x -st in und -st n sub¬ stituiert, so ergibt sich die Gleichung LIx- -st X^ -st (2LIin -st H) x -st (2 Xn -st 8) 7 -st (LIin- -st Xn- -st Hin -st 8n -st X) — 0. Damit die Coefficienten von x und verschwinden, wählt man die noch unbestimmten Größen in und n so, dass 2 LI na -st H — 0 nnd 2Xn -st 8 — 0 werde. Hieraus erhält man na — 2 ^4 — Vrst ' und daher als transformierte Glcichnng LIx' -st X)-- — 8... 7), wo 8 — — (Lino -st Xn^ -st Hin st- 8 n -s- 8) ist. Diese Transformation ist hier immer möglich, da LI und X unter der obigen Voraussetzung 8° — 4L.0 < 0 im Hinblick auf die Gleichung 6) beide von Null verschieden sein müssen. 285 In der Gleichung 7) kann das erste Glied N stets als positiv angenommen 4^0_H2 werden; dann muss wegen N17 — -—- auch 17 positiv sein. Es kommt noch die Beschaffenheit von 8 in Betracht. 1. Ist 8 positiv, so erhält man aus der Gleichung Ax^ -ff 17^- — 8 8 x" ff- 1, und für zj- d', l, oder b'x^-ff ir'dff...8), welche Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und ff entspricht (Z. 470). Wenn in diesem Falle N — 17 ist, so wird auch «.— !>, und man erhält x" ff- — aff, nämlich die Gleichung des Kreises. Für den Kreis muss daher nach den Gleichungen 5) 0, d. i. 0 und L 0 sein. 2. Ist 8 — 0, so ergibt sich Nx? -p- 17^^ — 0, welche Gleichung nur für x — 0 und — 0 befriedigt werden kann; sie gehört also dem Anfangs¬ punkte der neuen Coordinaten selbst an. 3. Ist 8 negativ, so kann der Gleichung Nx^ ff- 17^ — 8, deren erster Theil nnr positive Glieder enthält, durch keine reellen Werte von x und genüge geleistet werden; die Gleichung hat daher für ein negatives 8 keine geometrische Bedeutung. Wenn also — 4^.0 negativ ist, so entspricht die Gleichung 1) einer Ellipse, welche noch für specielle Fälle den Kreis oder einen Punkt als Varie¬ täten darbietet. II. Es sei ^ — 4^0 positiv. Da auch hier Ll und 17 von 0 verschieden sein müssen, so ist die in I. angegebene Transformation der Coordinaten ausführbar und kann daher die Gleichung 1) auch in diesem Falle auf die Form Nx° -ff 17^ 8 gebracht werden. Nun haben hier, da N17 — — negativ ist, II und 17 entgegengesetzte Vorzeichen. Nimmt man daher N als positiv an, so ist 17 negativ; wir setzen dafür —1U, wo nun Iff positiv ist. 1. Ist 8 positiv, so folgt aus der Gleichung LIx?— Iff^ — 8 -z- — -8- k. und für n-, l>2, 1 oder si^x^ - — g.2^,2 ,9) deren geometrischer Ort eine Hyperbel ist (H. 479). 2. Ist 8 — 0, so folgt ans der Gleichung Nx? — Iff)^ — 0 V - x -A, welche Gleichung ein Systeni zweier im Ursprünge sich schneidender Geraden (als Varietät der Hyperbel) darstellt. -3. Ist endlich 8 negativ, nämlich gleich — 8^, so ist dann 17^2 — llx^ 8-, 286 Die Gleichung lässt sich durch Vertauschung der Achsen auf die erste Form zurückführen und stellt daher eine Hyperbel dar, in welcher die Abscissen- achse mit der früheren Nebenachse zusammenfällt. III. Es sei L° —4^0 gleich Null. In diesem Falle ist vermöge der Gleichung 6) entweder N — 0 oder L — 0; beide Coefficienten N und L können mit Rücksicht auf tz. 505 nicht zugleich Null sein. Es sei z. B. N — 0; dann kann die in I. angegebene Transformation, weil na — — keinen bestimmten endlichen Wert hat, nicht ansgeführt werden; dagegen aber erscheint die erste transformierte Gleichung 4) unter der einfacheren Form -st Hx 4- L;, 4- L -- 0...I0). Um diese Gleichung noch einfacher darzustellen, nimmt man einen neuen Ursprung (r, s) an und setzt statt x und bezüglich x -f- r. und -st s, wodurch man erhält: -st Hx 4- (2Ls 4- L) -st (Ls' -j- Hr 4- Ls -st L) 0. Man wählt dann r und s so, dass der Coefficient von und das von x und freie Glied verschwinden, dass also 2Ls 4- k — 0 und Ls^ -st Hr 4- Ls -st L — 0 wird, was für die Werte stattfindet. Diese Transformation kann jedoch nur dann vorgenommen werden, wenn H nicht gleich Null ist. Wir unterscheiden daher zwei Fälle. 1. H ist von Null verschieden. Dann lässt sich die Gleichung 10) auf die einfachere -st Hx — 0 transformieren, woraus ^kx.... II), das ist die Gleichung einer Parabel (Z. 486), hervorgeht. 2. H — 0, die früher angegebene Transformation lässt sich nicht an¬ wenden; die Gleichung 10) nimmt nun die Form an: 4- L^ 4- L r-r 0.... 12), woraus zs —- - folgt, welche Gleichung ein System zweier mit der Abscissenachse paralleler Geraden ausdrückt. Zu denselben Ergebnissen gelangt man auch, wenn man L 0 an¬ nimmt; nur muss dann die Abscissenachse mit der Ordinatenachse vertauscht werden. Aus allen diesen Untersuchungen geht hervor, dass die Gleichung I) mit Ausnahme des zuletzt angeführten Falles durch eine zweimalige Transformation immer auf eine der beiden Gleichungen Alx' -st L)4 — Z und — I»x gebracht werden kann, und eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel mit Einschluss ihrer Varietäten darstellt, je nachdem L' — 4^.6 negativ, positiv oder gleich Null ist. 287 Der Charakter der dargestellten Linie hängt demnach einzig van der Be¬ schaffenheit des Ausdruckes — 4^.6 ab, welcher deshalb das charakte¬ ristische Binom der Gleichung 1) genannt wird. Z. SV7. Den geometrischen Ort aller Punkte zu finden, deren Abstände von einem gegebenen Punkte und von einer gegebenen Geraden in einem constanten Verhältnisse e zu einander stehen. Man nehme (Fig. 226) die gegebene Gerade UU', die Leitlinie, vorläufig als Or- dinatenachse eines rechtwinkligen Coordinatensystems an, dessen Abscissenachse O X den gegebenen Punkt L, den Brenn¬ punkt, in sich enthält. Sind O U — Atz — x und Ll? — x die Coordinaten eines der verlangten Punkte Ll, so hat man, wenn OL — 2 s 0.. . 2). Man Wähle dann in so, dass m2 (1 — c2) — 2 äin ä2 --- 0 werde, was für in ---stattfindet. Da aber der eine Wert in — für e — 1 nicht brauchbar ist, so nehme man m — 1^-- an, für welchen Wert man aus der Gleichung 2) erhält: (1 — «2)x2-^.^2 — 2oäx — 0, oder, wenn eä — x gesetzt wird, (1 — <-2) x2 -s- ^2 — 2 xX — 0. . 3). 1. Ist 0 < 1, so setze man 1 — «2 — L_- dann ergibt sich aus 3) z^2 — 2 px -- . - - 4) d. h. die Scheitelgleichung einer Ellipse. Aus der obigen Substitution folgt S 1 k> - l>2 a2 HL ' --2—1 —— — 1-- — --— — ^2 daher L — r: d. h. das constante Verhältnis 0 ist die numerische Excentricität k selbst. Ferner ist 2 selben Abstand ä — — hat. 288 Wenn e — 0, also — 1 wird, so geht die Gleichung 4) über in x2 — — xS, d. i. in die Scheitelgleichung des Kreises. 2. Ist c > I, so setze man 1 — <-2 — — 8; man erhält dadurch aus der Glei¬ chung 3) x?-- 2px-s-?X.... 5), d. i. die Scheitelgleichung einer Hyperbel. Wie bei der Ellipse, ist auch hier i>2 ä L — k, ä — —, m — j—. sr 1 -s- k Auch die Hyperbel hat zwei Brennpunkte und zwei Leitlinien. 3. Ist endlich o — 1, so ergibt sich aus der Gleichung 3) — 2 x x .... 6), d. i. die Scheitelgleichung einer Parabel. In diesem Falle ist m — d. h. der neue Ursprung, welcher der Scheitel der Parabel ist, fällt in die Mitte des Abstandes des Brennpunktes von der Leitlinie. Z. 308. Entstehung der Linien zweiten Grades aus dem Schnitte eines Kegels durch eine Ebene. Es sei 8X8 (Fig. 227) ein zur Grundfläche normaler Achsenschnitt eines Kegels. Legt man durch einen beliebigen Punkt 0 der einen Seite 8X eine zu 8X8 normale Ebene, welche die Ebene 8X8 in der Geraden OX und die Kcgelfläche in der Linie 0 LI schneidet, so sind drei Hauptsälle möglich: entweder schneidet die Gerade 6X auch die andere Seite 88 selbst in O (I); oder sie schneidet nicht die Seite 88 selbst, aber ihre Verlängerung über 8 hinaus in I) (II); oder sie ist der zweiten Seite 88 parallel (III). Um die Schnittlinie OLI der Kegelfläche und der durch 0 gelegten Ebene in jedem dieser drei Fälle zu bestimmen, lege man durch einen beliebigen Pnnkt Ll derselben die Ebene LH 8 parallel zur Grundfläche des Kegels. 289 Da N80 auf 8^8 normal steht, so ist auch die Schnittlinie N8 der Ebenen NOX und N8O zur Ebene 8^8 normal (tz. 220), daher mich normal zu OX und KD. Es ist daher, da N80 ein Kreis ist, N8- -- 88.08 E. 135). Zieht man 08 L.8, macht 08 — 08 und zieht auch 86t H L^., so hat man in I und II 88:86t —08:08 und 08:08 — 80:00, daher 88^^^- und 88^^18^ folglich — crv Nimmt man nun OX als die Abscissenachse an, setzt 08 — x, N8 — /, ferner OO — 2a und 8 6t — 2p, so erhält man in I, wo 80 — 2a — x ist, 2 2p. x. (2» — x) , 2 . x oder /-^2px —^... 1), und in II, wo 80 — 2a fl- x ist, ^2pxZ--<..2). Die Schnittlinie der Kegelsläche mit der Ebene ist also im ersten Falle eine Ellipse, im zweiten eine Hyperbel. Ist im ersten Falle die Schnittcbene parallel zur Grundfläche, so fallen die Strecken OO, 88 und 8 6t zusammen; es wird also 2a — 2p und die Gleichung /2 — 2px — " geht über in /2 — 2px—x?, welche Gleichung einem Kreise angehört. In III endlich erhält man für 88, wie oben, den Wert 88 — , wogegen 08 — 80 — 08 ist; folglich ist U 8^ — 8 6t. OK, oder — 2px. . 3). Im dritten Falle ist also die Schnittlinie eine Parabel. Wegen der hier nachgewiesenen Entstehung der Ellipse, Hyperbel und Parabel aus dem Schnitte eines Kegels durch eine Ebene werden diese Linien gewöhnlich Kegelschnittslinien genannt. Aufgabe n. tz. 509. Suche durch entsprechende Transformation der Coordinaten die geometrische Bedeutung folgender Gleichungen: 1. x? -fl — 2x -f- 2/ — I — 0. 2. 9x° -f- 16/2 — 6x fl- 16/ -f- 1 — 0. 3. x? — /2 — 4x — 4/ — 4 0. 4. 8x' - z' 48 x — 0. 5. 2x2 -f- 4x/ — /2 — o. 6. x/ -f- x -f- / — 1. 7. 4x2 — 12x/ st- 9/2 — izZx — 72/ -f- 144 — 0. Moonik, Geometrie. 290 8. 5x4 4- 6x). 4- 57' — 8x s/2 — 8>- j/2 0. 9. 9x° 4- 24x). 4- 167° — 90x 4- 5). 4- 25 0. 10. 3x° 4- 26x7 1/3 — 23)° 4- 48x 1/3 — 48). 0. 11. Bestimme die Gleichung für den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche durch eiuen gegebenen Punkt gehen und eine gegebene Gerade berühren. Bei der Lösung dieser und der folgenden Aufgaben betrachte mau iu der Gleichung der verlangten Kreise (x — p)2 -f- (z. — <^2 — ^2 ^ic Mittclpunktscvordinaten p und g als variabel, leite ans den Bedingungen der Aufgabe eine Gleichung zwischen x und g ab und suche die geometrische Bedeutung dieser Gleichung. 12. Bestimme die Gleichung für den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche durch einen gegebenen Punkt gehen und einen gegebenen Kreis berühren, wenn der gegebene Punkt a) der Mittelpunkt des gegebenen Kreises, b) ein anderer innerhalb des Kreises liegender Punkt ist, a) wenn er außerhalb des Kreises liegt. 13. Bestimme die Gleichung für den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche eine gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis berühren, wenn die Gerade a) durch den Mittelpunkt des gegebenen Kreises geht, 5) wenn sie außerhalb des Kreises liegt. 14. Bestimme die Gleichung für den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche zwei gegebene Kreise, und zwar beide von innen oder beide von außen berühren, wenn a) die beiden Kreise sich schneiden, ,l>) wenn der eine innerhalb des andern liegt, jedoch mit ihm nicht coucentrisch ist. 15. Bestimme die Gleichung für den geometrischen Ort der Spitzen aller Dreiecke, welche dieselbe Grundlinie haben und bei denen ») die Summe, b) die Differenz der beiden Scheitelseiten eine constante Größe ist. -— ^00^6 7^7^16