i
i
“1146-Legisa-pravilo” — 2010/7/14 — 14:57 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 20 (1992/1993)
Številka 5
Strani 290–293
Peter Legiša:
PRAVILO 72 IN ŠTEVILO e
Ključne besede: matematika, aritmetika, analiza, obrestno obrestni
račun, število e.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1146-Legisa.pdf
c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/;)" - '-/;)" - ''/"u ICI,' 1"-,,,
PRAVILO 72 IN ŠTEVILO e
V januarski številki revije National Geographic je članek z naslovom Moč
denarja. V njem je omenjeno PRAVILO 72, ki ga uporabljajo bankirji in
finančni izvedenci.
pravilo je zelo preprosto: Le hočemo izvedeti , v koliko letih se pri
obrestovanju s p procenti začetni znesek podvoji , delimo 72 s p.
Denimo, da vložimo devize v hranilnico po 8 % obrestni meri . Koliko
časa bo trajalo, da se začetni kapital podvoji? Delimo 72 z 8, pa dobimo
odgovor : 9 let .
Po članku Moč denarja bi za to pravilo (katerega avtor ni znan) morali
vedet i vsi.
Pa preverimo stvar na našem primeru . Po enem letu moramo obsto-
ječemu znesku prišteti 8 procentov. Namesto tega lahko obstoječi znesek
pomnožimo z 1'08 . Tako se po dveh letih začetni kapital pomnoži z 1'082 ,
po devetih letih pa z
kar je res praktično enako 2.
Oglejmo si še en primer. Denimo, da je inflacija 12 %. Lez koliko časa
se bodo cene podvojile? Uporabimo PRAVILO 72. Delimo 72 z 12, odgovor
je: 6 let. Preverimo stvar z žepnim računalnikom:
1'12 6 == 1·974 .
Vzemimo , da je inflacija 3% mesečno. Po PRAVILU 72 traja podvojitev
72:3 = 24 mesecev . Uporabimo tipko xY ali yX na žepnem računalniku in
ugotovimo, da je v resnici
1.0324 == 2'033 .
Vidimo, da gre za približno formulo, ki pa daje presenetljivo dobre rezul-
tate. Vprašamo se lahko, kakšna je matematična razlaga tega pravila.
Tu se lahko spomnimo na število e . To je števi lo, h kateremu stremijo
rzrazt
(1 + ~t ,
n
291
ko se število n veča čez vse meje . Na primer:
1.110 == 2·59
1'01100 == 2·70
1'0011000 == 2'717
1'000110000 == 2·7181.
Izkaže se , da je število
e = 2'71828 . ..
ena najvažnejših matematičnih konstant. Privzamemo lahko, da je za velike n
(1 +"!:'t == e .
n
Prav tako boste morali verjeti, da tu sploh ni nujno, da je število nnaravno
število . Denimo, da je
1 p
n 100'
kjer je p število procentov. Tako imamo formulo
p 100
(1 + 100) P == e,
če je le n = 1~0 dovolj velik , se pravi p dovolj majhen.
PRAVILO 72 pa trdi:
Poskusimo to preveriti .
Upoštevajmo, da je po pravilu za potenciranje potenc
P Il P 100 .IL P 100 72 0 .72
(1+ 100)P =(1+ 100) P 100 =((1+ 100) P )100 ==e ,
če je p dovolj majhen .
Z računalnikom ugotovimo, da je
kar se res ne razlikuje dosti od 2.
292
Le bi bili natančnejši, bi ugotovil i, da je
eO'693 == 2'000.
Torej bi za zelo majhne obrestne mere namesto PRAVILA 72 morali vzeti
"pravilo 70" , (Za tiste, ki poznate logaritme, je 0'693 .., prav naravni loga-
ritem števila 2.) Ker pa se obrestne mere navadno sučejo okrog 8 %, je bilo
izbrano PRAVILO 72, ki daje na tem območju natančnejše rezultate . Poleg
tega je 72 "lepo" število , deljivo z mnogimi števili, kar smo tud i izkoristili v
naših primerih ,
Oglejmo si še napako PRAVILA 72. Absolutna napaka pove, koliko se
po PRAVILU 72 izračunana vrednost razlikuje od 2, in je torej enaka
P 72
1(1+ -)P - 21100 .
Relativno napako dobimo, če to delimo s pravo vrednos tjo , se pravi z 2. Le
relativno napako pomnožimo s 100, dobimo njeno vrednost v procentih. Na
sliki 1 imamo narisano relativno napako PRAVILA 72 v procentih , če obrestna
mera znaša p% , in to za p od 1 do 24. Vidimo, da za obrestne mere od 5
do 11 % ta napaka znaša manj kot 1 procent , če pa je obrestna mera blizu
8 %, je napaka praktično enaka O. Na prvi pogled je videti, kot da sta oba
dela grafa na sliki 1 ravni črti , vendar seveda to ni res, le zelo podobna sta
ravnima črtama. Slike so narejene s programom Mathematica (in s pomočjo
kolega Marka Petkovška).
Za tiste , ki dovolj dobro poznate pojem odvoda, lahko povemo še nekaj
več . Le narišemo izraz za relat ivno napako brez absolutne vrednosti, se pravi
graf funkcije
X 72
f( x) = 50((1+ 100)7 -2),
dobimo sliko 2. Kot vidimo, ta funkcija seka os x blizu točke 8 in je , kot
smo že omenili , zelo podobna premici. Odvod funkcije f izračunamo tako , da
potenco v oklepaju zapišemo kot
eg. InCI+ 1;0)
ln potem odvajamo kot posredno funkcijo .
f '( 8) == - 0'325,
Hitro i zračunamo , da Je
I
%
+-_~_.>OL...~_ _ ~ (p)
Slika 1
%
- 1
- 2
- 3
- 4
Slika 2
293
Po Newtonovi metodi lahko zdaj izračunamo, da krivulja seka abscisno os v
točki 7'85 (na tri mesta natančno). Za to obrestno mero je torej PRAVILO
72 točno . Obenem iz izračunanega nagiba v točki 8 še enkrat vidimo, da
relativna napaka PRAVILA 72 na intervalu od 5 do 11 znaša manj kot 1 %.
Pri ocenjevanju nagiba" na oko" ne smemo pozabiti, da merilo na obeh oseh
ni enako!
Na koncu si oglejmo še eno pot do PRAVILA 72 . Denimo, da iščemo
število A, da bo
Uporabimo logaritem na obeh stra-
neh :
A P
-log(l + -) = log2
p 100
A = plog2
p
.
10g(1 + 100)
A
7 6
74
72
-t-:;-,L-~---:-------- (p)
Slika 3
Na sliki 3 je graf za A. Vidimo,
da se spet sučerno okrog števila 72 . Za majhne obrestne mere - okrog 2 % -
bi bilo ugodnejše" pravilo 70" . Pri zelo velikih obrestnih merah pa podvojitev
nastopi tako hitro, da moramo potrebni čas izračunati drugače.
Peter Legiša