ISSN 0351-6652 Letnik 24 (1996/1997) Številka 6 Strani 372-375
Roman Drnovšek:
RAČUNANJE PRIBLIŽKOV KVADRATNEGA KORENA IZ NARAVNEGA ŠTEVILA
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/24/1320-Drnovsek.pdf
© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
RAČUNANJE PRIBLIŽKOV KVADRATNEGA KORENA IZ NARAVNEGA ŠTEVILA
Znanih je več metod za računanje racionalnih približkov iracionalnega Števila \/2. Eno izmed njih lahko opišemo z rekurzivnim zaporedjem
«1 — 1,	■ za n — 1,2,3,.,.	(1)
Xn + >
Izračunajmo prvih nekaj Členov zaporedja:
1 + 2 3 1 *
= lTT = 2 ' 3/2 + 2 7
Ker je \fl m 1 41421, postavimo domnevo, da zaporedje {a*,,.} kanvergira proti x — \/2- To pomeni, da poljuben odprti interval (a, b), ki vsebuje število xt vsebuje vse člene zaporedja, razen (morda) končno mnogo. Povedano drugače: Za vsak par realnih števil a in 6 z lastnostjo a < z < b obstaja tak indeks N £ IN, da velja a < xn < b za vsako naravno število n > N, tj. členi arjv, ^Ar+1, XN+2, ^JV+3, ■ ■ ■ ležijo na intervalu (a,b).
V tem članku bomo to metodo posplošili na računanje racionalnih približkov kvadratnega korena iz poljubnega naravnega števila, jo utemeljili in s tem potrdili zgoraj omenjeno domnevo.
Naj bo k poljubno naravno število. Očitno je zanimiv le primer, ko k ni kvadrat naravnega števila. Ponovimo najprej, kaj je celi del [a1] realnega števila x. To je največje celo število, ki ne presega števila x. Tako je npr. [5] — 5, [a/2] = 1 in [— V'2] = —2. Ker celemu številu [a:] sledi celo število [x] + 1, velja neenačba
[x]<x< [i] + 1
(2)
Sedaj definirajmo zaporedje
___x k
Xi = [V*], Xn+1 = -'■"	za n = 1,2,3,...	(3)
^r» + J
Očitno v primeru k = 2 dobimo zaporedje (1). Oglejmo si še en primer. Vzemimo k = 5 in računajmo:
xi = [\/Š] = 2,
- 7/3 + 5 - 22 - 11 -oo
13 - 7/3 + 1 - 10 ~ 5 ' 11/5 + 1" 16 4" '
Ce dobljene približke primerjamo z vrednostjo korena a/Š, ki je na 5 de-cimalk natančno enaka 2.23607, vidimo, da je
xi < £3 < x5 <
in x2 > xA > xe > \/5.
Zato upravičeno domnevamo, da členi zaporedja (3) z lihimi indeksi strogo naraščajo in so manjši od \/fc, členi s sodimi indeksi pa strogo padajo in so večji od \fk. Bralec bo potrdil to domnevo, ko bo rešil prve tri naloge ob koncu lega članka.
Tukaj bomo dokazali, da zaporedje (3) konvergira proti \fk. Dokaz tega dejstva bomo oprli na naslednjo oceno:
Za vsako realno število x
> b/k]
— 1 velja neenakost
X + k-Vk
x + 1
<c\x~Vk\,	(4)
kjerjec=(Vk- !)/[%/*] < 1.
Dokažimo jo. Najprej je zaradi ocene (2) število c manjše od 1. Očitno je neenakost (4) ekvivalentna z neenakostjo
[v/fc]|a: +Jt - x^/k-Vk\ <(\/k- l){x + l)|z- Vk\ ,
oziroma
[Vk]\(l - Vk){x ~ Vk)\ < (Vk-l)(x +	Vk}.
če je x = \fk, potem neenakost očitno velja, sicer jo pokrajšamo s pozitivnim Številom (y/k — 1)|as — \/kj. Ker dobljena neenakost
[v^] < x + 1
velja po predpostavki, je ocena (4) tako dokazana.
Z namenom, da oceno (4) uporabimo za x = (71 IN), se pre-pričajmo, da za zaporedje {j:,,} velja neenakost
, , k — x 1	, ,
Xi < nn <---- - y .	(o)
xi — 1
Očitno (5) velja za n = 1, z neposrednim računom pa ugotovimo, da velja tudi za ji — 2. Princip matematične indukcije zagotavlja, da je dovolj dokazati, da iz < $n < y sledi xi < a:n-f-l < y. Ker je
, fc-1 ^n+i = 1 +
xn + I
in ker po indukcijski predpostavki velja x\ < xn < y, imamo
k - 1 Xi+k
< 1 + ~~T = 7~T7 = «2 < »
Xl + 1 Zi -i- 1
-.t k-1 Xn+1 > 1 + —— = Xi,
y+ 1
torej je ,ri < xn+i < y. S tem je neenakost (5) potrjena.
Če torej v oceno (4) vstavimo x = xn (n G IN), dobimo neenakost
- V*| < c \xn - .
Z večkratno uporabo zadnje neenakosti izpeljemo verigo neenakosti \xn-Vk\ <c|*„_i-Vib| < c2 \xn^-Vk\ < . . .< c""1	< cn~l .
Zadnja neenacba je posledica ocene jah — \fk\ = \fk — [V^] < 1 Tako smo pokazali, da za vsak ji € IN velja
Vit-c""1 <«„< Vk + c-l .	(6)
Od tod sledi, da zaporedje konvergira proti številu \fk. Res! Vzemimo poljuben odprti interval (a, 6), ki vsebuje število \fk. Potem je zaradi neenakosti (6) pogoj a < xn < b zanesljivo izpolnjen, če je
a < v^-c""1 in y/k + c"-1 < b,
oziroma
c"_1 <\/t-<i in fi"-1 < b-Vkr
kar lahko zapišemo na kratko c"_1 < d, kjer je d — min{v^ — a, b — \/k}. Ker je a < \/k < 6, je d > 0. Izberimo tako naravno število N, da je cN~l < d. To je mogoče, ker je ü < c < 1. (Za N lahko vzamemo poljubno naravno število, ki je večje od števila 1 + bi d/ Inc.) Potem za vsako naravno Število n > N velja c"™1 < c^1 < d, in zato xn £ (n,č>) za vsak n> N. Dokazali smo torej, da zaporedje {jtl}ne konvergira proti številu
Članek končajmo z nalogami. Rešitve prvih treh nalog so elementarne, zadnja pa zahteva poznavanje pojma logaritma.
1.	Dokazi, da za zaporedje (3) velja enakost.
__ (& + !)*„ +2fc *n+2- 2^ + (Jt + l)
za vsako naravno število n.
2.	S pomočjo naloge 1 pokaži, da so členi zaporedja (3) z lihimi indeksi manjši od \fk, členi s sodimi indeksi pa večji.
3.	S pomočjo naloge 2 dokaži, da členi zaporedja (3) z lihimi indeksi strogo naraščajo, členi s sodimi indeksi pa strogo padajo, torej
< x3 < 3!5 < ... in x-i > 3:4 > x6 > ....
4.	Kateri členi zaporedja (1) ležijo na intervalu (1.414,1.415)?
Roman Drnovšek