# o ■ PRESEK LETNIK 47 (2019/2020) ŠTEVILKA 3 >m sm ¿¿a IŠ8 M t,* » t*. L* «SO» t,*'v ** t,*'» h* t 1 ju * -"rt t, •v* * \V \V V XW .V RAČUNOVODSKO PRAVILO -> REVOLUCIJA NA PODROČJU OKEN -> NEKAJ SREDNJEŠOLSKIH ASTROFIZIKALNIH NALOG -> PROCEDURALNA GENERACIJA ISSN 0351-6652 9 9770351665739 9770351665739 matematični trenutki Ohranjanje življenj f m 2 •4/ •i' •i' -> Še nedolgo tega je diagnoza HIV pomenila gotovo smrt. Matematična analiza in verjetnostni račun sta pomagala pri spremembi tako neizprosne napovedi. Neodvisni skupini raziskovalčev sta rezultate eksperimentov s pomočjo analize spremenili v model razmnoževanja virusa in pokazali, da tudi v fazi, ko se zdi virus neaktiven, dnevno nastaja milijarde novih virusov. Navidezna faza neaktivnosti v resnici pomeni izenačen boj imunskega sistema z virusom. V tem času je zelo koristno, da pomagamo imunskemu sistemu. Razi-skovalči so s pomočjo verjetnostnega računa predvideli, da bi kombinačija treh zdravil zelo dobro uravnavala razmnoževanje virusa, navkljub njegovim hitrim mutačijam. Imeli so prav. Pravočasna uporaba kombinačije zdravil je sičer draga in ne zagotavlja popolne ozdravitve, uspešno pa upočasni razmnoževanje virusa in njegovo širitev. Matematika prav tako pomaga v svetovni borbi z malarijo, z boleznijo, ki pobije več kot štiristo tisoč ljudi na leto. Matematični model je uspešen tako na čelični ravni, ko pomaga razumeti lastnosti rdečih krvničk po okužbi s paraziti, kot tudi na regionalni ravni, ko razloži širjenje infekčije in uspešnost če-pljenj ter komarnikov v borbi z malarijo. Okuženi ljudje prenašajo parazite na komarje, ti pa okužijo dotlej zdrave ljudi. Ta dvosmerni model okužb komarjev in ljudi je sestavljen iz virov okužbe, ki se gibljejo naključno. Takšne modele lahko uporabimo tudi za druge bolezni, ki jih prenašajo komarji, re-čimo pri dengi ali ziki. Za več informačij si lahko preberete knjigo Infinite Powers: How Calculus Revels the Secrets of the Universe, ki jo je napisal Steven Strogatz in je izšla letos. _ PRESEK 47 (2019/2020) 3 kolofon Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 47, šolsko leto 2019/2020, številka 3 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2019/2020 je za posamezne naročnike 22,40 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2019 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2109 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Ohranjanje življenj MATEMATIKA 4-6 Računovodsko pravilo 2 (Ivan Lisac) FIZIKA 7-13 Revolucija na področju oken (Peter Legiša) ASTRONOMIJA 20-22 Nekaj srednješolskih astrofizikalnih nalog (Dunja Fabjan in Andrej Guštin) P I 13 14-15,18-19 16-17 19, 22 28 29-30 31 RAZVEDRILO Križne vsote Poizkuševalnica doma - Magneti 1. Kaj smo spoznali, odgovor naloge (Mojca Cepic) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Barvni sudoku Rešitev nagradne križanke Presek 47/2 (Marko Bokalič) Naravoslovna fotografija - Zrcalna gladina (Aleš MohoriC) Uganka (Tine Golež) TEKMOVANJA priloga 10. tekmovanje v znanju astronomija za Dominkova priznanja -državno tekmovanje priloga Tekmovanje iz fizike za zlato Štefanovo priznanje - državno tekmovanje Slika na naslovnici: Fotografija Bohinjskega jezera narejena na sončen, jesenski dan. V brezvetrju je gladina brez valov in gladka kot zrcalo. Ali na odsevu okolice jezera opazite M ATEMATI KA Računovodsko pravilo 2 -i' -i' -i' Ivan Lisac -> Pred leti smo v Preseku [1] pisali o računovodskem pravilu, s katerim smo ugnali nekaj končnih vsot. Obudimo tokrat pravilo v nekaj novih primerih. Računovodsko pravilo Naj bosta A in B koncni množici ter R poljubna pod-množica kartezičnega produkta A x B. Podmnožici R pravimo tudi relacija. Da sta elementa a G A ter b G B v relaciji R zapišemo (a, b) G R ali krajše aRb. Za dani a G A lahko zberemo vse b G B, ki so v relaciji R z a v množico ■ R(a) = {b G B : aRb}. Obratno lahko definiramo za dani b množico ■ R-1(b) = {a G A : aRb}. Moc koncne množice X bomo oznacili z |XPotem racunovodsko pravilo pravi: |R| = X IR(a)l = X R-1 (b)l. bGB (1) aeA Z znakom XaGA |R(a)| smo oznacili vsoto števil IR(a) |, ko a pretece množico A, podobno pojasnimo znak X v ostalih primerih. Zgornjo trditev (1) si najlažje predocimo ob spodnji tabeli za poseben primer relacije R ^ {a1,a2,a3} x {b1, b2, b3, b4}: b1 b2 b3 b4 v 1 2 3 4 a1 0 0 1 1 2 a2 1 1 0 1 3 a3 1 0 0 0 1 S 2 1 1 2 6 aRb, zapišimo na križišce ustrezne vrstice in stolpca enico, sicer postavimo tja niclo. Potem so tri števila iz enakosti (1) zaporedoma: skupno število enic, vsota enic, šteta po vrsticah, in vsota enic, šteta po stolpcih (2 + 1 + 1 + 2 = 2 + 3 + 1 = 6). Ta tri števila so enaka, zato enakost (1) velja. Sedaj si oglejmo nekaj primerov, kjer bomo izbirali množici A in B ter relacijo R, in tako našli ali vsaj preoblikovali nekaj koncnih vsot. Relacija 'deli' (|) Oznacimo množico prvih n naravnih števil z znakom Nn = {1, 2,..., n}. Vzemimo A = B = Nn in aRb ^ a^. Uvedimo še funkcijo celi del: ■ [xi = max({n G Z : n < x}). Potem je n - |R(a)| = Ln\, a saj a deli števila n ■ a, 2a,..., L—J a, a množica R-1(b) pa vsebuje delitelje števila b, tako da dobimo nn i l n J=X T(b). a=1 a b=1 (2) Zapišimo elemente množice A v skrajni levi stolpec, elemente množice B pa v zgornjo vrstico. Ce je Tu je t funkcija, ki šteje delitelje argumenta. Za npr. n = 4 je leva stran 4 4 4 4 " L t J + L 2 J + L 3 J + L 4 J= 4 + 2 + 1 + 1 = 8, desna pa ■ t(1) + t(2) + t (3) + t(4) = 1 + 2 + 2 + 3 = 8. 4 PRESEK 47 (2019/2020) 3 matematika Praštevilski kvocient Vzemimo A = B = Nn in zahtevajmo za relacijo R še to, daje kvocient b/a praštevilo: aRb ^ a\bAb/a G P. Potem je za dani a n ■ \{b G B : pa = b,p G P}\ = \ {p G P : p < L —J}\. a Moc množice R-1 (b) pa je ■ \R-1(b)\ = \{p G P : p\b}\ = ((b), kjer smo z co(b) označili število praštevilskih delite-ljev števila b. Uvedimo še funkcijo n, ki šteje prašte-vila do danega argumenta takole: ■ n(x) = \ {p G P : p < x}\, pa že dobimo naslednjo enakost: (3) X n([nJ) = X ^(b). a=1 a b=1 Primer. n( L1 j) + n ([ 2 J) + n ([ | J) + n ([ 4 J) = =2+1+0+0=3 in ■ ((1) + co(2) + ((3) + (JO(A) = 0 + 1 + 1 + 1 = 3. Koreni Vzemimo A = B = Nn in aRb ^ a2 < b. Potem so v R(a) števila a2, a2 + 1, Pri tem smo uporabili znano formulo za vsoto prvih m kvadratov ■ 12 + 22 + ■■■+ m2 = m(m + 1)(2m + 1)/6. Za npr. n = 10 imamo m = 3 in 10 X LVbJ = 3 ■ 11 - 3 ■ 4 ■ 7/6 = 33 - 14 = 19. b=1 Negibne tocke Vzemimo A = Nn in B = AA množico preslikav f iz množice A vase. Negibna točka a G A funkcije f zadošca enakosti f(a) = a. Postavimo aRf ^ f(a) = a in preštejmo negibne tocke teh preslikav. Najprej je - \R(a)\ = \{f G B : f(a) = a}\ = nn-1, saj preslikavi f predpišemo negibno tocko a, iz ostalih n - 1 vrednosti izberemo poljubno iz množice A. Množica R-1(f) pa je množica negibnih tock preslikave f. Sledi nn-1 = nn = X \R-1(f)\, (5) aGA f GB ki jih je natanko (n - a2 + 1), ce je le a2 < n, ter 0 sicer. V množici R-1(b) pa so števila 1, 2,..., LVH Prvo vsoto zapišimo samo do tistega najvecjega m, pri katerem je n + 1 - m2 > 0, tj. m = L V n + 1J, potem je m n X(n + 1 - a2) = XLVbJ = a=1 b = 1 = m(n + 1) - m(m + 1)(2m + 1)/6. (4) kar pomeni, da ima nakljucno izbrana preslikava v povprecju eno samo negibno tocko. Podoben premislek lahko naredimo za množico bijektivnih preslikav množice A vase in dobimo enak rezultat: na-kljucno izbrana permutacija ima v povprecju eno samo negibno tocko. Potence dvojke Vzemimo A = Nn in potencno množico B = P (A). Postavimo še aRB ^ a = min(B) za B = 0. Potem je leva stran n n- 1 X \R(a) \ = X 2n-a = X 2a, aGA a=1 a=0 saj dobimo množice B z minimumom a tako, da izberemo ali opustimo elemente iz množice {a + 1,a + 2,... ,n} moci (n - a), kar da skupaj 2n-a možnosti. Desna stran pa je X \R-1 (B)\ = X 1 = 2n - 1, (6) BgB Bgb\{0} 5 PRESEK 47 (2019/2020) 3 M ATEMATI KA -> saj ima neprazna množica B natanko en minimum. To je še en nacin seštevanja geometrijske vrste s koeficientom 2. Dvojke ponovno Vzemimo A = {(m,M) : 1 < m < M < n} in po-tencno množico B = P(Nn). Postavimo tokrat ■ (m,M)RB ^ m = min(B) A M = max(B). Potem je IR((m,M))l = 2M-m-1, saj so za dana minimum m in maksimum M v množici B prosti elementi za izbiro le še tisti vmes (M-m-1 jih je). Ko m in M tečeta po množici A, zavzame izraz M - m vrednosti od 1 do n - 1. Vrednost 1 zavzame (n - 1)-krat, vrednost 2 zavzame (n - 2)-krat,... in vrednost (n - 1) enkrat tako, da velja 2 n-1 M- m- 1 = X (n - v)2v-1. (m,M)GA v=1 Po drugi strani pa za vsako množico B z vsaj dvema elementoma dobimo natanko en tak par (m, M) G A, da je m = min(B) in M = max(B), zato je n- 1 ^(n - v)2v-1 = X 1 = 2n - n - 1. (7) v=1 BgB' V enakosti (7) smo se v drugi vsoti izognili enkrat prazni množici in n-krat enoelementnim množicam. Za npr. n = 6 dobimo ■ 5 ■ 20 + 4 ■ 21 + 3 ■ 22 + 2 ■ 23 + 1 ■ 24 = = 5 + 8 + 12 + 16 + 16 = 57 = 26 - 6 - 1. Ciklične grupe Oglejmo si še najbolj zahteven primer v tem clanku. Definirajmo množico Zn ostankov pri deljenju z n. Operacija na njej sešteva ostanke po modulu n in iz nje napravi grupo. Vzemimo za primer grupo Z12 = {1, 2,..., 12}. Podobna je vsakdanjemu gledanju na uro, kjer lahko seštevamo ure preko poldneva, npr. 10 + 4 = 2( + 12). Ostanek 12 je tu nevtralni element. Vsakega od ostankov lahko dobimo že zgolj s seštevanjem samih enic. Uceno pravimo, da ostanek 1 generira grupo Z12. Ni pa edini: družbo mu delajo še taki ostanki m, da števila m, m + m, m + m + m,..., 12m zasedejo vseh 12 ostankov, za kar za-došca, da za nek naravni k ostanek km zasede tudi enico oz. velja km = 1( mod 12) oz. je m tuj modulu 12. Generatorji Z12 so tako še ostanki 5, 7 in 11. Grupe, ki jih generira že en sam generator, so ciklične. Podmnožicam grupe, ki so zaprte za dano operacijo (in njen inverz), pravimo podgrupe. Naštejmo vse podgrupe grupe Z12: ■ {1, 2, 3,4, 5,6, 7,8,9,10,11,12}, {2,4,6,8,10,12}, {3,6,9,12}, {4,8,12}, {6,12}, {12}. Tu smo generatorje podgrup podcrtali. Iz teorije grup si sedaj brez dokaza izposodimo tele trditve: Podgrupe ciklicne grupe so ciklicne. ■ Za vsak delitelj d števila n obstaja natanko ena podgrupa moci n/d z generatorjem d. ■ Vseh podgrup Zn je kot deliteljev števila n, tj. r(n). ■ Zn ima 0(n) generatorjev: to so ostanki, ki so tuji n. Tu je (p(n) Eulerjeva funkcija, ki vraca število proti n tujih števil iz Zn. Sedaj vzemimo A = Zn in B = {b G Zn : b|n} ter aRb, ce a in b generirata isto pod-grupo. Potem je |R(a)| = 1, saj obstaja natanko en tak generator b G B, da je podgrupa generirana z a enaka podgrupi generirani z b. Obratno pa dani b generira ciklicno podgrupo moci n/b, ki ima $(n/b) generatorjev. Zato dobimo X 1 = n = ^ PRESEK 47(2019/2020)3 9 FIZIKA -> kot termopan. Nekatera podjetja vrednost za Ug in morda še kake druge podatke o zasteklitvi odtisnejo na distančnik med šipama. Po evropski normi mora biti že kako desetletje za vse nove izdelke na tržišču Ug < 1,3 W/m2K. Torej imajo čisto vse zasteklitve na tržišču nizkoemisijski nanos in polnjenje z žlahtnim plinom. Celo v ZDA, kjer je energija poceni, ima več kot 90 odstotkov novih zasteklitev nizkoemisijski nanos. Zanimivo je, da so šipe v ZDA večinoma tanjše - trimilimetrske, kljub ekstremnim vremenskim pojavom v nekaterih delih te države. Faktor g prehoda celotnega sončnega sevanja je za dvojno zasteklitev z nizkoemisijskim nanosom navadno okrog 63 %. Tolikšen delež sončne energije torej pride skozi zasteklitev. Sončno sevanje na nizkih nadmorskih višinah je v glavnem na območju od 0,28 mikrometra (UVB svetloba) do 2,5 mikrometra. Prepustnost vidne svetlobe merimo s faktorjem LT = TV = Tv, kjer LT pomeni Light Transmission. Za zgoraj omenjeno standardno dvoslojno okno z nizkoemisijskim nanosom je LT približno 78 %. Kot prej, ta podatek velja za pravokotni vpad svetlobe. Ta okna imajo tudi dvojna ali trojna tesnila in zato dobro dušijo hrup. Toplotne izgube skozi okna lahko dodatno zmanjšamo s trislojno zasteklitvijo. Trislojna okna še bolje dušijo hrup. Tipične vrednosti so Ug = 0,7 W/m2K, g = 50 %, LT = 72 %. Taka zasteklitev torej prepušča nekaj manj svetlobe in občutno manj sončne toplote kot dvoslojna. Na sliki 3 vidimo odsev sveče na taki zasteklitvi. Sveča je spet na zunanji strani. Odsev na notranji šipi je enak kot pri dvoslojni zasteklitvi. Sklepamo, da gre za enak nanos. Odsev na zunanji šipi pa je drugačne barve in je torej tudi nanos drugačen. Iz podatkov o prepustnosti sončnega sevanja sklepamo, da ta nanos odbija ne samo dolgovalovno, ampak tudi nekaj kratkovalovnega infrardečega sevanja, in tako prepušča manj sončne toplote. Eden od možnih razlogov za to je, da proizvajaleč ni želel, da se srednja šipa na sonču preveč segreje in posledično raztegne. Srednja šipa je namreč toplotno zelo dobro izolirana od okoliče. Danes lahko kupimo več tipov troslojne zasteklitve z Ug = 0,5 W/m2K, torej z zelo dobrimi izola-tivnimi lastnostmi. Posebna izvedba, ki jo lahko na- SLIKA 3. Odsevi svece na trislojni zasteklitvi z dvema nizkoemisijskima nanosoma ročimo tudi pri nas, ima pri Ug = 0,5 W/m2K celo g = 60 % in LT = 77 %. Tak izdelek prepušča veliko sončne toplote in zelo velik delež svetlobe - povsem primerljivo s standardno dvoslojno zasteklitvijo. Narejen je iz zelo čistega stekla, tako da je absorbcija svetlobe in drugega sončnega sevanja v steklu minimalna. Morda se sprašujete, zakaj ne bi uporabili štiri-slojne zasteklitve? V tem primeru lahko sonče močno segreje plin med osrednjima stekloma, saj ni veliko možnosti za odvajanje toplote. To lahko povzroči netesnost ali čelo lom stekel. Potrebne so posebne tehnične rešitve z ekspanzijsko komoro, lu-knjičami za izenačevanja tlaka vmesnih prostorov. Slovenski podjetji Reflex in Trimo [2-3] sta za fasadne elemente obnovljene poslovne stavbe v Oslu na Norveškem izdelali in montirali čelo šestslojno zasteklitev z Ug = 0,3 W/m2K, g = 24 % in LT = 38 %. Ta zasteklitev odlično izolira. Je pa očitno prečej temna: prepušča pol manj svetlobe kot standardna dvoslojna zasteklitev in je podobna sončnim očalom. Prepušča le slabo četrtino sončnega sevanja, tako da 10 PRESEK 47(2019/2020)3 FIZIKA senčila niso potrebna. Pri razvoju so sodelovali naš Zavod za gradbeništvo in dve norveški ustanovi. Že trislojna zasteklitev je bolj problematična za spremembe temperature in zunanjega zračnega tlaka. Vsebuje namreč približno dvakrat toliko plina kot dvoslojna, tlačna razlika pa obremeni le zunanji šipi, ki se bolj ali manj vbočita ali izbočita. Zgodilo se je že, da je vbočeno steklo končentriralo odbito sončno svetlobo in stopilo plastiko na sosedovi hiši ali avtomobilu. Razlike v nadmorski višini nad 300 m med krajema izdelave in montaže oken je menda že potrebno upoštevati. Ce živimo na nadmorski višini 800 metrov in naročimo okna pri podjetju, ki je na višini 200 metrov, bo skrbno podjetje taka okna napolnilo z manjšim tlakom; takim, kot je v povprečju na 800 m. Kvadratni meter štiri milimetrskega stekla ima prostornino štiri kubične dečimetre. Pri gostoti 2,5 kg/l to tehta 10 kg. Dvoslojna zasteklitev tehta tako 20 kg na m2, troslojna pa 30 kg/m2, kar je veliko. V ZDA znani laboratorij Lawrenče Berkeley poskuša v partnerstvu z industrijo spraviti v množično proizvodnjo lahko trislojno zasteklitev 3 /10 Kr /1/10 Kr/3. Stranski šipi sta trimilimetrski in imata nizkoemisijski nanos. Srednja šipa je iz kaljenega stekla in debela le en mm, polnitev je s kripto-nom. Tudi okvirji teh oken naj bi zelo dobro izolirali. V Evropi poskušajo s formulo 3/2/4, ki je le malče težja od standardne dvoslojne rešitve s šipama debeline štiri mm. Stekla z zaščito pred soncem Poslovne stavbe iz težko razumljivih razlogov še zmeraj projektirajo z ogromnimi zasteklenimi površinami. Zunanja senčila (mocne žaluzije, rolete, pol-kna, nadstreške) mnogi arhitekti zaradi videza odklanjajo, čeprav so pravi blagoslov za zaposlene, ki bi brez njih živeli v »topli gredi«. Tako obstaja tržišče za zasteklitve, ki odbijajo več kot polovičo sončne toplote. Taki nanosi navadno vsebujejo srebro in odbijajo tudi precej vidne svetlobe; torej zatemnijo notranjost. Dobimo lahko, recimo, rahlo temno dvojno zasteklitev z Ug = 1,1 W/m2K, g = 27% in LT = 52 %. Sprejemljivejši novejši različici sta dvo-slojno Ug = 1,1 W/m2K, g = 36 % in LT = 65 % in troslojno Ug = 0,7 W/m2K, g = 32 % in LT = 58 %. V vsakem primeru je tudi v poslovnih prostorih cenejše, za bivanje neprimerno ugodnejše in energetsko bolj varcno, ce zasteklene površine zmanjšamo in uporabljamo navadno trislojno (v toplejših delih Primorja pa dvoslojno) zasteklitev ter robustna zunanja sencila, ki jih veter ne bo polomil ali raztrgal. Za osvetlitev delovnih površin zasteklitev pod tem nivojem ne prinaša skoraj nic, poveca pa nihanja temperature v prostoru. Okna do tal in obenem sive stene in/ali crni stropi, ki »požirajo« svetlobo, so primeri zmage mode nad interesi uporabnikov in zdravim razumom. Po ugotovitvah znanega psihologa Antona Trstenjaka temni stropi delujejo depresivno. Kako bomo ob takih nepremišljenih rešitvah zmanjšali ogljicni odtis? Distančniki, okvirji, vgraditev Mnoga steklarska podjetja žal še zmeraj uporabljajo aluminijske distančnike med šipami. Pri naročilu moramo izrečno zahtevati boljše distančnike. Nerjaveče jeklo neprimerno slabše prevaja toploto kot aluminij in je tako inoks distančnik mnogo boljša rešitev. Danes večinoma uporabljajo plastične distančnike (reklamirajo jih pod vzdevkom warm edge, topli rob), ki še bolje izolirajo. Aluminijski distančniki v mrazu povzročajo zarositev okrog roba stekla, tudi pri trislojnih oknih, kot je izkusil avtor tega članka (ki mu v trislojno zasteklitev kljub zahtevi niso hoteli ali znali vgraditi boljših distančnikov). Poslediča so lahko alge in plesni. Tudi sičer aluminijaste letviče opazno poslabšujejo izolativnost oken. Izgube zaradi distančnika lahko očenimo tako, da dolžino distančnika pomnožimo z linearnim koefiči-entom ipg toplotne prevodnosti distančnika in razliko A T temperatur. Koefičient ipg znaša za aluminij okrog 0,08 W/mK, za nerjaveče jeklo okrog 0,04 W/mK, za plastiko od 0,02 do 0,035 W/mK. Okenski okvirji so tudi danes šibka točka oken, čeprav so širši in debelejši kot včasih. Njihov koefičient toplotne prevodnosti Uf (tu f pomeni angleško besedo frame, torej okvir) je pri plastičnih in lesenih izvedbah navadno od 1,1 do 1,5 W/m2K, pri speči-alnih izvedbah še manj. Prerez plastičnega okvirja ima obliko nekakšnega satovja. Votle, bolj ali manj pravokotne čeliče tega satovja imenujemo komore. Več komor navadno pomeni večjo debelino in boljšo PRESEK 47 (2019/2020) 3 11 FIZIKA -> izolacijo. Pogosto ena od komor vsebuje jekleno ojačitev, ki nekoliko poslabša izolativnost, a poveča trdnost okvirja. Aluminijasti okviri so najmočnejši, najdražji, a najbolj prepuščajo toploto. Primerni so kvečjemu za poslovne in industrijske stavbe in sprejemljivi le, če imajo prekinjen toplotni most. To pomeni, da je okvir sestavljen iz dveh kovinskih delov, zunanjega in notranjega. Spojena sta rečimo tako, da sta pritrjena na plastični večkomorni profil, vendar je med njima vsaj čentimeter oddaljenosti. Za take okvirje znaša Uf navadno od 1,7 do 2,2 W/m2K, pri spečialnih izvedbah še manj. Potem imamo pri okvirjih še kombinačiji aluminij-les in aluminij-plastika, kjer je aluminij seveda na zunanji strani. Več slovenskih proizvajalčev izdeluje okna, ki so prestala zahteven postopek čertifikačije za uporabo v pasivnih hišah [4], z Uf < 0,8. Tako vrednost dosežejo z debelimi lesenimi ali plastičnimi okvirji. Plastični okvirji imajo komore, zapolnjene z izolačijsko peno. Tudi leseni okvirji imajo velike utore ali votline, napolnjene z izolačijo. Oznaka Uw je koefičient toplotne prevodnosti za čelotno okno (angleško window). Pri pasivni hiši mora biti Uw < 0,85. Izgube skozi okno so tudi pri pasivni hiši nekajkrat večje od izgub skozi odlično izolirano steno, zato so okenske površine na severni strani take hiše minimalne ali pa jih sploh ni. Na južni strani pa ima taka hiša velika okna in zunanja senčila. Primer. V zidni odprtini velikosti 123 cm x 148 cm (kar je približno 1,82 m2) imamo trislojno okno. Okvir ima širino 12 cm. Steklena površina je 99 cm x 124 cm, torej približno 1,23 m2. Izgube skozi steklo so pri trislojni izvedbi z Ug = 0,7 W/m2 enake 1,23 x 0,7 « 0,86 W/K. Skupna dolžina aluminijastega distancnika je 4,46 m, izgube skozenj pa 4,46 x 0,08 « 0,36 W/K. (Z uporabo boljšega distancnika bi to vrednost zmanjšali za 50 do 75 odstotkov.) Površina plasticnega petkomornega okvirja z jekleno ojačitvijo je približno 0,59 m2. Pri Uf = 1,3 W/m2K so izgube skozi okvir približno 0,77 W/K, kar je primerljivo z izgubami skozi steklo! Skupne izgube so 1,99 W/K. Ce to delimo s površino zidne odprtine, dobimo Uw « 1,1 W/m2K. Z boljšim di-stancnikom bi to vrednost znižali za deset do petnajst odstotkov na 1,0 ali celo 0,95. Cim manjše je okno, tem vecji je vpliv okvirja in distancnika. Kamnite okenske police dobro prevajajo toploto, torej so toplotni mostovi, in zato niso priporočljive. Okna morajo biti vgrajena tako, da je zunanja stran poravnana z zidom in vsaj nekaj centimetrov okvirja prekritih z izolacijo fasade. Tako zmanjšamo toplotni tok skozi zid okrog roba okvirja. Teoretično še bolje je, če je okno v izolaciji, a je to teže izvesti. Danes reže med oknom in zidom lahko povsem zatesnijo s trajnoelastičnimi trakovi (temu se reče RAL montaža). Ce je ena od šip debelejša, se izboljša zvočna zaščita. Eden od vzrokov za to je, da ima debelejša šipa drugačne lastne frekvenče. Sestav debele in tanke šipe tako mnogo teže pride v resonančo s kakim zunanjim zvokom. Tudi sičer debela šipa bolje duši zvok. Kaljeno steklo je odpornejše na udarče. Še močnejše so težke in debele lepljene šipe s sestavo steklo-plastika-steklo v raznih variantah (enojna, dvojna ... plastična folija, razne debeline stekla). Lepljena zasteklitev lahko ščiti pred vandalizmom in vlomilči. Plastika v taki zasteklitvi tudi absorbira ultravijolično svetlobo, kar je pomembno za muzeje in galerije, saj UV svetloba povzroča bledenje barv. Vse to je na razpolago v kombinačiji z nizkoemisijskimi nanosi, ki jih je mnogo laže nanesti na steklo kot na plastiko. Kljub temu, da je avtor članka pri zamenjavi oken naredil nekaj napak in pred trinajstimi leti nekaterih njegovih upravičenih želj niso mogli ali hoteli uresničiti, zamenjave ne obžaluje. Nova okna prinašajo večje udobje: neprimerno boljšo zvočno zaščito, zaradi trojnih kakovostnih tesnil ni več prodora vode ob nevihtah in v bližini okna je v mrzlem vremenu prijetneje, ker je notranja šipa sorazmerno topla. Južna stran se manj pregreva; pozimi je račun za kurjavo manjši. Ob gradbeni adaptačiji je staro termopan okno bilo povsem zaroseno, novo okno zraven pa suho. Zdaj so na voljo še boljše rešitve in izvajalči imajo več izkušenj. 12 PRESEK 47 (2019/2020) 3 12 RAZVEDRILO Nekateri prisegajo na »naravno« ventilacijo starih netesnih oken skozi reže med oknom in okvirjem ter razpoke med okvirjem in zidom. Te ventilacije pa ni mogoče kontrolirati. V hudem mrazu, pri močnem vetru je take »naravne« ventilacije preveč in so izgube energije velike, da ne govorimo o mrazu in prepihu. Trgovine za domače mojstre že desetletja dobro prodajajo razna tesnila, s katerimi ljudje poskušajo zmanjšati to neobvladljivo »naravno« ventilacijo. Tudi povsem tesna okna omogocajo zelo ucinko-vito zračenje: le nekajkrat na dan jih je potrebno za nekaj minut na stežaj odpreti, po možnosti več oken naenkrat, tako da imamo prepih. To je prava in zaželena naravna ventilačija. Seveda pa moramo s kakim stolom ali s čim drugim fiksirati vsako od oken, da jih prepih ne zaloputne ali čelo razbije. V vročinskih valovih lahko prostore ohladimo ponoči z zračenjem skozi odprta ali nagnjena okna, če seveda ne živimo v vročinskem otoku sredi mesta, kjer se zaradi pregretih stavb in asfalta zrak pogosto tudi ponoči ne ohladi kaj dosti. Ce hočemo zmanjšati vlago v stanovanju, moramo večkrat na kratko prezračiti takrat, ko je zunanja temperatura prečej nižja od notranje. Mrzel zrak namreč ne more vsebovati dosti vodne pare. Odpiranje kletnih oken v toplem vremenu je pa velika napaka, ki bo za posledičo imela mokre stene kleti. Literatura [1] J. Strnad, Fizika 2. del, Elektrika, Optika, DMFA - založništvo, Ljubljana 2014. [2] A. Kralj, M. Drev, M. Žnidaršič, B. Cerne, J. Hafner in B. P Jellede, Investigations of 6-pane glazing: Properties and possibilities, Energy and Buildings 190, 2019, 61-68, dostopno nawww.sci encedi rect.com/sci ence/ arti cle/pii/S0378778818331554, ogled 5. 12. 2019. [3] Quadruple glazing, dostopno na en. wi ki pedi a.org/wi ki/Quadruple_glazi ng, ogled 5. 12. 2019. [4] Pasivna hiša, dostopno na sl .wi ki pedi a.org/ wiki/Pasivna_hiŽa, ogled 5. 12. 2019. _ XXX Križne vsote •i' vi/ -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. 4 11 2 4 6 • 9 4 11 14 3 9 Vp As "is REŠITEV KRIŽNE VSOTE 9 L L Z 9 9 E 6 Z 41 3 H L 17 u L E S L * 21 8 E u ■ 4 XXX PRESEK 47 (2019/2020) 3 13 FIZIKA Magneti 1. Kaj smo spoznali Odgovor naloge "is •i' Np Mojca Čepic -> Najprej naštejmo, kaj o magnetih že vemo. ■ Magneti imajo dva pola, severnega in južnega. ■ Enaki poli magnetov se med seboj odbijajo, različni pa privlačijo. ■ Zemlja je velik magnet. Imeni njenih geografskih polov sta nasprotni magnetnim polom. Geografski severni pol je južni magnetni pol in obratno. Magneti privlačijo predmete iz feromagnetnih snovi, kot je železo. ■ Privlačne ali odbojne sile do predmetov iz drugih snovi so zelo šibke in jih običajno ne zaznamo. Magnet spremeni prostor okoli sebe tako, da se v njem drugi magneti sučejo. Pravimo, da je v prostoru magnetno polje. ■ Smer magnetnega polja določimo iz smeri prosto se vrtečega magneta, katerega pole poznamo. Zve-zniča med južnim in severnim polom magneta je vzporedna magnetnemu polju, severni pol magneta je v smeri polja. ■ Ce magnet prelomimo, ima novo nastali magnet tudi dva pola, kar imenujemo dipol. Ne obstaja deleč, ki bi imel le južni ali le severni pol. Imenovali bi ga monopol. V dveh poizkuševalničah, v katerih smo raziskovali obnašanje neodimskih magnetov, smo zastavili kar nekaj vprašanj. Poleg takih, na katera so bili odgovori že zapisani, npr. tudi močni neodimski magneti ne dvignejo zlatega prstana z mize, je bila večina vprašanj takšna, da je zahtevala izvedbo poskusa. V nadaljevanju bomo ob fotodokumentačiji postopoma opisovali opažanja ob izvedbi poskusov. Poročilo o izvajanju poskusov bomo na nekaj mestih prekinili z razlago, zakaj so bila opažanja takšna, kakršna so bila. Poskus M1.1 Na magneta pritisnite s kazalcema. Enega od magnetov počasi potiskajte proti drugemu. Kaj se zgodi? Pri izvedbi poskusa smo želeli imeti eno roko prosto, zato smo zalepili magnet ob mizo (slika 1). Merilo ob magnetih pove nekaj o oddaljenostih, pri katerih že občutimo interakčijo med magnetoma. Magneta sta na videz popolnoma enaka, zato zaenkrat še ne vemo, kje sta njuna pola. Desni magnet počasi primikamo levemu. Ko sta robova magnetov oddaljena nekaj manj kot čentime-ter, začutimo bodisi odboj med magnetoma bodisi začne levi magnet vleči proti desnemu. Ce ga spustimo, skoči izpod prstov in se »prilepi« na levi magnet. Očitno sta lahko v taki postavitvi sili med magnetoma ali odbojni ali privlačni. Od česa je odvisno, ali je sila med magnetoma odbojna ali privlačna, pokaže Poskus 2 [1]. Poskus M2. Desni magnet postavite na izhodiščno mesto in ga obrnite tako, da je ploskev, ki je bila pri prejšnjem poskusu obrnjena proti mizi, sedaj obrnjena proč od nje. Ponovno primikajte desni magnet proti levemu. Opazujte, kaj se zgodi. Kako se rezultata obeh poskusov razlikujeta? Se je zgodilo enako kot pri prejšnjem poskusu? 1Ker se bomo z magneti ukvarjali v nekaj srečanjih, dejavnosti pa počasi vodijo v prepoznavanje različnih pojavov v magnetizmu, bomo poskuse v pojasnjevalnih prispevkih številčili zaporedoma. Oznaka M pomeni, da se ukvarjamo z magneti. Cilj tega letnika je zbirka poskusov z magneti, ki jih lahko izvaja braleč sam ali pa jih uporabi učitelj za naravoslovni dan ali eksperimentiranje v razredu. 14 PRESEK 47 (2019/2020) 3 14 FIZIKA SLIKA 1. Magneta sta videti popolnoma enako. Desnega približujemo pocasi levemu. Se je zgodilo nekaj drugega? Pri tem poskusu je važno sosledje. Magnet mora biti obrnjen le enkrat, da lahko primerjamo vpliv obrata. Zato je lahko v pomoč, če eno stran desnega magneta označimo. Za označevanje smo uporabili alkoholne flomastre. Izkaže se, da se v medsebojni orientaciji pri prvem poskusu magneta na primer odbijata, v drugi (ko je magnet označen npr. na spodnji strani) pa privlačita in obratno. Ce ste slučajno izbrali drugačno orienta-čijo magnetov v izhodiščnem poskusu, se pri prvem poskusu privlačita in pri drugem odbijata. Označimo še levi magnet z enako oznako kot desni magnet. Izberimo orientačijo levega magneta, ko se magneta odbijata. Ce je označena stran desnega magneta obrnjena navzdol, označite tudi spodnjo stran levega magneta in obratno. Ce levi magnet sedaj približate desnemu in ga spustite, bo desni magnet skočil na levega tako, da bosta označeni strani enako usmerjeni, ali obe navzdol ali obe navzgor. Imenujmo to strukturo kupček magnetov. Poskus M3. Ponovimo še oba poskusa z dvema kupčkoma magnetov ali z enim kupčkom magnetov in enim magnetom. V čem se poskusa 1 in 2 razlikujeta od poskusa 3, v čem sta si podobna? Nič presenetljivo novega ne bomo izvedeli. Oba magneta se odbijata ali privlačita, odvisno od medsebojne orientačije. To je enako. A ob približevanju magnetov opazimo, da so sile večje in da lahko odboj občutimo že na večji razdalji. Pogovorno bi rekli, daje kupček magnetov »močnejši« od enega samega magneta. Prof. Leoš Dvorak je v svojih delavničah razde-lal tudi načine, kako take sile enostavno meriti, a temu se bomo posvetili v kasnejših preizkuševalni-čah [2,3]. Kaj pa lahko odgovorimo na vprašanje, ali sta pola magnetov na robovih ali kje drugje? In kako svojo trditev preveriti? Ce sta pola na robovih, bi se interakčija s suka-njem enega od magnetov okoli navpične osi morala spremeniti (slika 2). A poskus kaže, da se ne. Obnašanje dveh magnetov v spodnjih dveh primerih, kjer je oznaka zagotavljala, da smo približevali različno stran desnega magneta, kaže, da je obnašanje vedno enako. Zato pola ne moreta biti na robovih magnetov, temveč sta na ploskvah. Sedaj nam preostane le še, da določimo, kateri od polov je severni in kateri južni. Ker smo ploskev, ki pripada enemu od polov v prejšnjih poskusih že označili, je dovolj, da ugotovimo pol označene ploskve. Za določanje polov sta bila predlagana dva načina, s postavljanjem kupčka magnetov na gladko površino ali obešanjem na vrvičo. Uporabimo le prvi način, drugi omogoča še kup dodatnih raziskav. Poskus M4. Na narobe obrnjeno čašo ali na gladek krožnik postavite kupček magnetov na rob, kot je kazala slika 4 v prejšnjem članku. Kaj se zgodi, ko magneta spustite? Kaj se zgodi, če počasi sučete kozarec okoli navpične osi? Ne glede na to, kako postavimo magneta na koza-reč, se magneta orientirata enako. Vedno se zasučeta s severnim polom proti severnemu polu Zemlje. Tudi pri sukanju kozarča ostajata usmerjena enako. Ker ste pri poskusu 2 (M2) označili eno stran magneta, lahko sedaj z gotovostjo trdimo, da je ta pol sever, če je kupček z označeno smerjo obrnjen proti severnemu polu Zemlje. Velja seveda tudi obratno. Ce je obrnjen stran od severnega pola, je magnetni jug. PRESEK 47 (2019/2020) 3 15 RAZVEDRILO nU NU NU Nagradna križanka 16 PRESEK 47 (2019/2020) 3 16 RAZVEDRILO enota za trgovanje v vrednostnimi papirji vloga, ki kaj terja dvoko-lesno vozilo sosedi črke v mali traven otok pred splitom piskajoc glas pri dihanju grafično oblikovanje matevž bokalií verjetnost 1 husserlov filozofski pojem italijan. naravoslovec in izumitelj (luigi) sestav osmih pevcev količnik sile in ploskve, na katero ta deluje grški letalec, kije padel v morje ameriški igralec (nicolas) "žlahtna" kapljica hrvaška pevka (alka) ah, atek čistoča dan vtednu premoč, nadvlada japonski fizik fl-eo) voltamper največje mesto v oregonu gozdarski drog z železnim kavuem naš skakalec s palico (jure) matemat. konstanta hrvaški parlament naš klarinetist (tadej) nebesna sinjina cestni prelaz v karavankah, pod katerim je predor nehuman odnos do podrejenih največja rekasev. amerike čudno bitje nanjo kliknemo naravni logaritem moški spolni hormon spojina z enako formulo vzporednica angleška igralka ireland brazdanje zemeljskega površja zapor 10 am. kemik in diplomat (james b.) naš fizik (anton) običajna poslovna praksa oliver mandič naključna pravilna rešitev prislov časa mehanično urjenje spretnosti robert (ljub kov.) skok pri plesu toyotin športni terenec naš žen. rokometni selektor igralec gibson polna razvitost japonska miselna igra grški otok v skupini dodekanez praznični cvet umivalnik jadranski otok kdor dela s pligom vas pri cerkljah na gorenjskem ujemanje prav v vsem nas pokojni glasbenik (karel-ah) pokojna ameriška pevka james igralka vwther-spoon kraj pri domžalah drava druge košnje 11 naš literat in publicist (andrej) predlog tur, furunkel italijan. tiskovna agencija NAGRADNI RAZPIS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. februrja 2020, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ XXX PRESEK 47 (2019/2020) 3 17 FIZIKA Poskus M5. Na kuhinjsko tehtnico prilepimo z lepilnim trakom magnet ali kupček magnetov. Taro tehtnice postavimo na0 g. Z roko približujmo drug magnet ali kupček magnetov in opazujmo, kaj kaže tehtnica. Ploskvi obeh magnetov naj bosta vzporedni, magneta pa drug nad drugim. Najprej opazimo, da se odčitek na kuhinjski tehn-tiči začne spreminjati, kot sta magneta (ali kupčka) približno 2 čm narazen. Tehtniča kaže pozitivne od-čitke, če se magneta odbijata, in negativne, če se privlačita. SLIKA2. Desni magnet je različno orientiran na sliki zgoraj in na sliki spodaj, obnašanje pa je enako. Zato lahko trdimo, da pola ne moreta biti na robovih magnetov. Neodimski magneti so močni in zato občutljivi. Za natančnejšo določanje smeri geografskega severa lahko uporabimo različne aplikačije na mobilnih telefonih. Iz bližine mesta, na katerem izvajamo poskus, je treba odstraniti vse ostale magnete, pa tudi na železne predmete je treba pomisliti. Zavedati se moramo, da so mobilni telefoni prečej občutljivi na prisotnost drugih magnetnih polj. Zato preverimo, ali res kompas mobilnega telefona kaže proti severnemu polu tako, da ga vzporedno premikamo vsaj pol metra v vse smeri okoli mesta, na katerem izvajamo poskus. Orientačija kompasove igle v aplikačiji mora ostati enaka. Nazadnje se posvetimo še očenam velikosti in dosegu sil med magneti. SLIKA 3. Merilo in spodnji magnet, pravzaprav kupček dveh magnetov, so prilepljeni na kuhinjsko tehtnico. Izhodiščno taro smo nastavili na 0 g. Gornja dvojica magnetov je nalepljena na spodnjo stran plastičnega merila. Tehtnica kaže privlačno (predznak na tehtniči -) ali odbojno silo med magnetoma. Ce vas mikajo natančnejše meritve, pa se je treba nekoliko bolj potruditi. Kot kaže slika 3, velja razmisliti o trdnejši podpori magnetu in merilniku razdalje med magnetoma. Na spletu najdete merila, ki jih natisnete in nalepite na tehtničo tako, da je začetek merila na poljubnem mestu. Magnet, ki smo ga približevali, je bil prilepljen na plastično merilo s spodnje strani. Tako smo kontrolirano dosegli razdalje do nekaj milimetrov med magnetoma. Navadne kuhinjske tehtniče so natančne na g ali morda dva. Z piezoelektričnim efektom merijo sile zaradi teže teles na merilnem podstavku, ki jih nato z zvezo Fg = mg izrazijo v masi teles, ki so te sile povzročile. A sila, 18 PRESEK 47 (2019/2020) 3 18 FIZIKA ki jo meri tehtnica, ima lahko tudi drugačen vzrok, npr. pritisk roke na tehtnico ali v našem primeru silo med magnetoma. Zato tehtnica kaže silo, sila pa je izražena v gramih. 1 g odgovarja sili 0,01 N. Ce smo nastavili taro, predznak na tehtnici kaže, ali se je obremenitev tehtnice povečala (pozitivni predznak) ali zmanjšala (negativni predznak). Sila s približevanjem mocno narašca. Odbojna sila doseže tudi nekaj N na razdalji 2-3 mm, privlacne pa ne moremo dovolj dobro nadzorovati, ker se eden od magnetov navadno odtrga in prilepi na drugega. Na sliki 3 vidimo, da sta sili pri enaki oddaljenosti v okviru napake enaki, da pa imata nasprotni smeri, kar smo ugotovili že s predhodnimi poskusi. Vabim vas, da izmerite odvisnost sile med magnetoma od razdalje med njima natancneje, v prihodnjem prispevku pa bomo to odvisnost analizirali podrobneje. Tudi te dejavnosti so spodbudile delavnice Leoša Dvoraka [2, 3] Literatura [1] M. Cepic, Magneti 1, Presek: list za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje, 2019/2020, 47, 1, 18-20. [2] Dvorak L., O magnetu, magnetickych tele-sech a velikem magnetu Zemi, In: Dilny He-ureky 2016/Heureka Workshops 2016. Sbor-nik konference projektu Heureka. E.: V. Koudelkova. Matfyzpress Praha 2017. ISBN 978-80-7378-338-9 (PDF, v cešcim), str. 723. Dostopno na kdf.mff.cuni .cz/heureka/ sborniky/DilnyHeureky_2017.pdf, ogled 6. 12. 2019. [3] Dvorak L., Magnets and magnetic field around them: what can we learn from simple experiments, sprejeto v objavo v zbornik konference GIREP v Dublinu 2017. _ XXX www.presek.si www.obzornik.si Barvni sudoku ■is ■i' •i' V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 8 1 7 2 1 5 7 4 1 8 6 5 8 3 4 6 2 5 7 3 O □ m > a. < m > m H * £ -> a Z L 7 E 9 8 17 5 17 8 9 S L 2 L E L 6 S L Z 4 3 8 E 17 Z 8 5 L 6 L S E 8 L 17 L Z 9 1 Z 4 9 8 E S 7 8 5 E 17 1 9 L 2 9 7 1 Z E S 8 17 XXX PRESEK 47 (2019/2020) 3 19 ASTRONOMIJA Nekaj srednješolskih astrofizikalnih nalog -i' -i' -i' Dunja Fabjan in Andrej Guštin Med srednješolskimi mentorji je veliko zanimanje za težje astrofizikalne naloge, predvsem koz-mološke, s katerimi bi zadostili radovednosti dijakov in dijakinj. S to mislijo objavljamo nekaj nalog 5. tekmovanja treh dežel, ki smo ga v letu 2019 v okviru DMFA Slovenije organizirali v Avberju in Braniku. Naloga Zvezdana si je zamislila čisto svoj kozmološki model. Predpostavila je, da je vesolje neskončno staro, neskončno veliko, in ima v vseh delih in dobah v povprečju enako gostoto. Kolegi so jo opozorili, da se vesolje širi, zato je morala svoj model popraviti. Širjenje vesolja namreč pomeni, da se njegova gostota s časom manjša, zato je Zvezdana predpostavila, da snov v vesolju ves čas nastaja. Predpostavi, da se vesolje širi s konstantno hitrostjo, ki jo opiše Hub-blova konstanta H = 70 km/s/Mpč, da je njegova gostota konstantna in znaša maso 1 atoma vodika na kubični meter. Koliko atomov vodika mora nastati v kubičnem Mpč prostora na leto, da bo gostota vesolja kljub njegovemu širjenju ostala konstantna? Rešitev Podatki: H = 70 km/s/Mpč pV = 1mH/m3 t = 1 leto Najprej izrazimo gostoto vesolja v časih t1 in t2: P(t1) = P(t2) = M1 4 nR3 M2 3n(R + R • H • t)3 _ M2 = 4nR3(1 + H • t)3' Zaradi širjenja vesolja se njegova prostornina poveča za faktor (1 + H t)3. Ker model zahteva, daje gostota vesolja konstantna, se mora njegova masa povečati za enak faktor. Iščemo število novonastalih atomov vodika v prostornini Mpč3 (dodatno nastala masa), zato: AM = M2 - M1 = pv3nR3(1 + Ht)3 - pv4nR3 = pv4nR3((1 + Ht)3 - 1) = pv(1Mpč)3((1 + Ht)3 - 1) = m-((1Mpč + 70km/s • 1yr)3 - 1Mpč3) m3 mH, m3 (3,08 • 10 m + 2,2 • 1012 m)3-- 3,08 ■ 1022m mH m3 6,261 • 1057m3 = 6,261 • 1057mH 20 PRESEK 47 (2019/2020) 3 ASTRONOMIJA Naloga Na sliki 1 je spekter, ki ga posnamemo, ko z radijskim teleskopom gledamo vzdolž galakticne ravnine pri galakticni dolžini l = 320°. ■ Izracunaj, kje v Galaksiji (na kateri razdalji od sre-dišca Galaksije) se nahajajo oblaki nevtralnega vodika, ki jih vidimo kot vrhove oznacene z A, B in C. Oceni velikost oblaka B. Mirovna frekvenca, ki jo izseva atom vodika, je 1,42040 GHz. Predpostavi, da je rotacijska krivulja na razdaljah, kjer se nahajajo oblaki, ravna in da znaša vrot = 218 km/s in razdalja Sonca od središca Galaksije je 8 kpc. Vse ocene iz grafa naj bodo jasno navedene. SLIKA 1. Svetlobni tok v HI crti za oblake v Galaksiji v odvisnosti od frekvence Rešitev Najprej ocenimo, na kateri frekvenci so oblaki A, B in C ■A: v = 1,41998 GHz; z = 0,000295779; vrel = 88,733 km/s ■ B: v = 1,42030 GHz; z = 0,000070408; Vrel = 21,12 km/s ■ £min: v = 1,42025 GHz; Vrel = 31,68 km/s ■ £max: v = 1,42035 GHz; Vrel = 10,56 km/s ■ C: v = 1,42065 GHz; z = -0,000175976; vrei = -52,79 km/s Pri tem smo upoštevali, da je , _ v _ A - A0 c A0 = 1/v - 1/vp 1/v0 ■ Uporabimo formulo ■ Vrel = (W(r) - CO(rQ ))r© StuO ' v(r) v(rQ)' r resin&. Ce uporabimo v(r) = v(r©) = 218 km/s in r© = 8,5 kpc ter Q = 320°, dobimo: ■ A: r = 23,1 kpc B: r = 10,0 kpc ■ C: r = 6,17 kpc ■ Bmin: r = 10,9 kpc ■ Bmax: r = 9,19 kpc Ocenjena velikost oblaka je 1,71 kpc v premeru oziroma približno 0,855 kpc v polmeru. Naloga Spiralna galaksija, ki je vidna s strani, ima razmerje med veliko in malo polosjo 1,74. Poznamo izmerjeno rotacijsko hitrost galaksije, 300 km/s, in vemo, da je njena navidezna magnituda v H filtru 18,0. Pri izracunih upoštevaj, da je absolutna magnituda Sonca v H filtru Mh,© = 3,48. ■ Kolikšna je inklinacija galaksije? Kolikšna je maksimalna rotacijska hitrost? ■ Kolikšna je absolutna magnituda galaksije (v H filtru)? Upoštevaj Tully-Fisherjevo relacijo (za H filter) v zapisu ■ logL[l©] = 3,44 ■ log Vrot,max[km/s] + 0,83, kjer je izsev podan v Soncevih izsevih in hitrost v km/s. Iz spektra galaksije razberemo rdeci premik, ki je z = 0,15. Kolikšna je izmerjena Hubblova konstanta? Rešitev Podatki: vrot = 300 km/s Mh,© = 3,48 -> 21 PRESEK 47 (2019/2020) 3 astronomija -> Ker poznamo razmerje med veliko in malo polosjo izracunamo, daje i = arccos(1/1,74) = 54,9°. Maksimalna rotacijska hitrost je enaka vmax,rot = vrot/ sin i = 366, 5 km/s. Absolutna magnituda galaksije je ■ Mh - Mh,& = -2,5 ■ log(L/L0) = -2,5 ■ (3,44log(vmax,rot) + 0,83) = - 24 , 12 Mh = -24,12 + 3,48 = -20,64. Oddaljenost galaksije izracunamo iz mH - MH = -5 + 5 log d in dobimo, daje (18 + 20,64 + 5)/5 = log d in torej d = 108'73Mpc = 534,5 Mpc. Ker poznamo rdeci premik lahko izracunamo Hubblovo konstanto, H0 = c ■ z/d = 83,19 km/s Mpc-1. Naloga Opazujemo zvezdo, ki ima temperaturo T = 5000 K in radij R = 0,9R0 in se nahaja v kroglasti kopici na razdalji 8 kpc. Opazujemo jo s teleskopom, katerega premer zrcala meri D = 2 m in CCD kamero s filtrom B (AB = 440 nm, A A = 100 nm). Koliko fotonov na sekundo ujamemo? Gostota svetlobnega toka z zvezde v ozkem pasu valovnih dolžin (pri izbranem filtru) naj bo JAb= Rešitev 2nhc 2 1 A 5 hc AB ekTAB - 1 A. Gostota svetlobnega toka, na detektorju: JA = L n(D/2)2 dE 4 dt nD2 dN 4 = hv Gostota svetlobnega toka, ki ga prejmemo z zvezde: JA = JA R2 d2 JA = JAb R* d2 2 nhc 1 hv dN 4 dt nD2 dN dt AB 2nhc' M 1 aaR2 ekT — 1 d 1 AB m ;aaR2 ekT — 1 d nD2 2nhc' 4hv 149. AB hL ;AAd ekT — 1 d XXX Barvni sudoku -i' -i' •i' V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh osem števil. 1 8 3 7 .............. 8 1 2 3 1 7 1 4 2 7 2 6 2 4 8 dt nD2' XXX 22 PRESEK 47 (2019/2020) 3 RAC UNALNIŠ TVO Proceduralna od naključnih neskončnih generac števil do svetov a •i' -i' Blaž Stojanovič -» Ali lahko ustvarimo neskončen svet, ne da bi za to porabili neskončno truda? Na prvi pogled se to zdi nemogoče. Kaj pa če sveta ne bi ustvarjali ročno, ampak algoritmično? Računalnisko orodje, ki se ukvarja s takšnimi in podobnimi problemi, se imenuje proceduralna generacija. Proceduralna generacija s pomocjo nekaj rocno zapisanih pravil in racunalniško generiranega na-kljucja ustvarja gromozanske kolicine vsebine. Prak-ticna uporaba te metode je predvsem v racunalni-ški grafiki, kjer se uporablja za generacijo tekstur in v racunalniških igrah. Zgodovinski mejnik uporabi proceduralne generacije v racunalniških igrah sta postavili igri Beneath Apple Manor (1978) in Rogue (1980), ki sta prvi na tak nacin ustvarjali svetove, v katerih se znajde igralec. Glavna prednost, ki sta jo pred svojimi tekmeci imeli igri davnega leta 1980, je velikost pomnilnika. Ker svetov, ustvarjenih s pomo-cjo proceduralne generacije, ni treba spraviti v pomnilnik, ampak jih lahko generiraš sproti, sta imeli Beneath Apple Manor in Rogue svetove vecje, kot bi jih lahko spravili v katerikoli pomnilnik tistega casa. Ena izmed glavnih prednosti proceduralnih pristopov je doseganje velikih razsežnosti in majhnih podrobnosti. Tak pristop lahko prihrani ogromno casa, poslužujejo se ga igre z zelo velikimi svetovi, kot npr. Skyrim. Proceduralno generacijo uporabljajo na dva nacina; proceduralna orodja lahko uporabijo za ustvarjanje grobega reliefa, ki ga potem dovršijo rocno, ali pa pokrajino ustvarijo rocno in potem malenkosti, kot so rastlinje, naselja in prebivalstvo, ge-nerirajo proceduralno. Še eno prednost je modularnost - novo vsebino lahko v igro dodajamo z veliko manj truda, vsaka majhna sprememba pa se pozna na celotni skali igre. Poleg tega lahko en sam generator ustvari neskončno podobnih, vseeno še raznolikih svetov, kar močno zmanjša možnost, da se bo igralec igre naveličal. To mojstrsko izkoristi igra Spelunky. Seveda ima proceduralna generacija kot vsaka metoda tudi svoje slabosti. Zagotavljanje kakovosti postane težavno, sama metoda vpelje v igro negotovost in prakticno nemogoce je preizkusiti vse izide. Tako vedno obstaja majhna možnost za nepredvidljivo in nezaželeno obnašanje igre. Poleg tega proceduralna generacija ne sme biti edina zanimiva rec v racunal-niški igri, saj se tudi neskoncno velikih svetov lahko navelicamo, ce ni v njih nic zanimivega. To je razlika med zelo uspešnim Minecraftom in malo manj uspešnim No Man's Sky. Proceduralna generacija ima dve plati; prva je delovanje samega algoritma, s katerim generiramo vsebino, druga pa je uporaba algoritma z jasnim namenom, naj bo to kot poseben efekt v filmski uspešnici ali pa kot pomemben del videoigre. Ustvarjenje vsebine s proceduralno generacijo je vecna bitka med kaosom in dolgcasom; parametre generatorja želimo nastaviti tako, da dobimo nekaj, kar je dovolj na-kljucno, da ni dolgocasno/monotono, in ne tako na-kljucno, da je nesmiselno. Grajenje proceduralnih sistemov je svojevrstna umetnost in bralci, ki jih to podrocje zanima, si lahko vec o tem preberejo v izvrstni knjigi Procedural Generation in Game Design [1]. PRESEK 47 (2019/2020) 3 23 RAC UNALNIŠ TVO —^ Generiranje terena Uporabo proceduralnih metod si bomo ogledali na najbolj osnovnem primeru, generiranju reliefov. Relief bomo predstavili kot višinsko karto (angl. hei-ghtmap), razpredelnico, v kateri je v vsaki celici zapisana nadmorska višina. -1 -2 10 SLIKA 1. Popolnoma naključni relief. 1 2 2 4 0 2 6 1 1 2 2 0 3 0 0 3 6 TABELA 1. Primer 5 x 5 višinske razpredelnice Takšno razpredelnico lahko s procesom upodabljanja (rendering) spremenimo v 3D sliko reliefa. Ker takšna razpredelnica vsebuje vse želene informacije o terenu, lahko na nov nacin definiramo problem. Zanima nas, kako ustvariti višinsko razpredelnico, da bo relief podoben necemu, kar bi sre-cali v naravi. Jasno je, da vrednosti nadmorske višine ne moremo kar nakljucno žrebati, saj tako dobimo nekaj nesmiselnega. Z nakljucnim žrebanjem se vrednosti lahko prehitro spreminjajo, kar lahko vodi do prevelike višinske razlike med sosednjimi tockami (npr. globoko morje in visokogorje, ki sta postavljena na sosednji tocki, vidno na sliki 1). Treba je poiskati nacin, kako nakljucnost oblažiti. Pomik središča Želimo si ustvariti relief, kjer obstaja možnost, da imata dve tocki zelo razlicno nadmorsko višino, ampak ti dve tocki ne smeta biti prevec blizu skupaj. Z drugimi besedami, želimo si relief, kjer je razlika v višini dveh tock manjša, ce sta ti dve tocki blizu skupaj, kot ce sta dalec narazen. Zelo preprost algoritem, ki poskrbi za take lastnosti reliefa, je pomik središca (angl. midpoint-displace- ment) [2]. Ta deluje tako, da razpredelnico najprej polni na grobo, z vrednostmi, ki se lahko zelo razlikujejo, potem pa jo polni vedno bolj podrobno z vrednostmi, med seboj vedno manj razlikovale. Poglejmo, kako natancno se to zgodi. Zacnemo s kvadratno razpredelnico, ki ima stranico dolgo 2n + 1; takšna dolžina stranice olajša deljenje razpredelnice na kvadratne podrazpredelnice. Vse skupaj bomo ilustrirali za primer, kjer je n = 2. Najprej nakljucno izberemo vrednosti v oglišcih razpredelnice, te bomo izžrebali kar iz intervala [0,10]. SLIKA 2. Prvi in drugi korak pomika središca. Levo: Začetne naključne vrednosti, desno: robne vrednosti dobimo iz kotnih. Oglišcne vrednosti bomo uporabili za generiranje vrednosti na robovih, ki povezujejo pare oglišc. To 24 PRESEK 47 (2019/2020)3 RAC UNALNIŠ TVO storimo tako, da izračunamo povprečje vrednosti v ogliščih in povprečni vrednosti dodamo še naključno vrednost iz intervala [-r,r]. Izračunajmo vrednost na spodnjem robu za primer, prikazan na sliki 2, če vzamemo r = 5. V ogliščih imamo vrednosti 4 in 8, potem pa naključno izžrebamo 5, vrednost v sredini spodnjega roba tako znaša: ■ spodnji rob = (4 + 8)/2 + 5 = 11. Prosti parameter r bomo imenovali naključnost, ki nadzoruje razgibanost reliefa. Večji kot je r, večja bo razlika med najvišjo in najnižjo točko na reliefu. Ko imamo vrednosti na robu kvadrata, lahko izračunamo še vrednost v sredini. Postopamo enako kot prej, le da sedaj upoštevamo vrednosti iz robov. Izračunamo povprečje števil 1,6,11 in 2 in mu dodamo naključno vrednost iz intervala [-5, 5], npr. 4. Tako dobimo: ■ sredina = (2 + 1 + 6 + 11)/4 + 4 = 9. SLIKA 3. Tretji in četrti korak pomika središča. Levo: Srednjo vrednosti dobimo iz robnih, desno: tretji in četrti korak pomika središča. Ko izračunamo vrednost v sredini, nadaljujemo z napolnitvijo manjših kvadratov. Pomembno pa je, da naključnost r zmanjšamo vsakič, ko polnimo manjši kvadrat. Ce smo pri polnjenju velikega kvadrata na slikah 2 levo, 2 desno in 3 levo žrebali vrednosti na intervalu [-5, 5], bomo pri polnjenju kvadrata, na obarvanega na sliki 3 desno, žrebali vrednosti na intervalu [-2,2] . Na ta način poskrbimo, da bo razlika med vrednostmi v majhnem kvadratu manjša kot tista med vrednostmi v velikem kvadratu. Tako polnimo čedalje manjše kvadrate in v relief dodajamo vedno večje podrobnosti. Relief ustvarjen na zgoraj opisani način je predstavljen na sliki 4. Seveda je tudi hitrost padanja naključnosti pomembna lastnost generatorja. Ce si želimo ustvariti npr. strma gorovja, obkrožena z ravninami, bomo v takem primeru r hitro zmanjševali. SLIKA 4. Relief, ustvarjen z algoritmom pomika središča. Velikost razpredelnice je 1025 x 1025, r = 10250, r se v vsaki iteraciji razpolovi in začetne ogliščne točke so enakomerno naključno izžrebane iz intervala [-205, 205]. Karo-kvadrat Ko s pomikom središča nekajkrat na tak način pri različnih semenih ustvarimo relief, opazimo, da nastanejo v reliefu razpoke. Te razpoke vedno potekajo navpično ali pa vodoravno. Takšne razpoke so nezaželene, saj jih lahko kdo z ostrim očesom opazi in ugotovi, da relief ni resničen. Generirano vsebino, ki ni zaželena, imenujemo artefakti. Izboljšava pomika središča, ki delno odpravi artefakte, imenujemo karo-kvadrat (angl. diamond-square) algoritem. Ime izvira iz karo in kvadratnega koraka algoritma. Izkaže se, da ni dobro, če vrednosti v robovih kvadratov računamo le iz dveh ogliščnih vrednosti. Lahko postopamo v drugem vrstnem redu. Najprej iz vseh ogliščnih vrednosti izračunamo srednjo vrednost, to imenujemo karo korak. Potem pa s pomočjo srednje vrednosti izračunamo vrednosti na PRESEK 47 (2019/2020)3 25 RAC UNALNIŠ TVO -> SLIKA 5. Prvi in drugi korak algoritma karo-kvadrat. Levo: Začetne naključne vrednosti, desno: karo korak. robovih kvadrata, kar imenujemo kvadratni korak. Na tak način se nikoli ne zanašamo na samo dve vrednosti pri generiranju nove. Algoritem je malce boljši od pomika središča, ustvarjeni relief je prikazan na sliki 7. Seveda obstajajo tudi nadaljnje izboljšave [3], ki se artefaktov znebijo tako, da pri računanju novih vrednosti iz starih le-te obtežijo. Uteži izračunajo iz majhnega linearnega sistema, ki ga dobijo s pomočjo teorije približkov (angl. approximation theory). SLIKA 6. Tretji in četrti korak algoritma karo-kvadrat. Levo: Kvadratni korak, desno: za manjši kvadrat zmanjšamo naključnost Perlinovšum Za konec si oglejmo še, kako bi lahko ustvarili relief s posebno vrsto šuma, imenovano Perlinov šum. Šum je iznašel Ken Perlin [4], ko je delal posebne ucinke za film Tron (1982). Za svojo iznajdbo je leta 1997 SLIKA 7. Relief, ustvarjen z algoritmom karo-kvadrat. Velikost razpredelnice je 1025 x 1025, r = 10250, r se v vsaki iteraciji razpolovi in začetne ogliščne točke so enakomerno naključno izžrebane iz intervala [-205, 205]. prejel tudi Oskarja, Perlinov šum in njegove izboljšave se še danes pogosto uporabljajo. Ne bomo se spušcali v to, kako sam šum generi-ramo, osredotocili se bomo na njegovo uporabo. Vse kar moramo vedeti je, da gre za koherenten šum, to je šum, v katerem se spremembe v vrednostih od mesta do mesta dogajajo postopoma. Do realisticnega terena bomo prišli tako, da bomo sešteli vec šumov z razlicnimi frekvencami in amplitudami. Preden storimo to, pa se moramo nauciti terminologije v zvezi s Perlinovim šumom: ■ Oktave. To pomeni, koliko šumov z razlicnimi frekvencami bomo uporabili. Posamezno oktavo oznacimo z naravim številom, n. ■ Lakunarnost. To pomeni, kako se med oktavami spreminja frekvenca, koliko podrobnosti dodamo /odvzamemo pri vsaki oktavi. Oznacimo jo z l. Frekvenca v n-ti oktavi je enaka ln-1. ■ Persistenca. To pomeni, kako se med oktavami spreminja amplituda, koliko prispeva posamezna oktava. Oznacimo jo s p. Amplituda v n-ti oktavi je enaka pn-1. Glavna ideja generiranja tekstur s Perlinovim šumom je ta, da seštejemo med sabo vec šumov, ki pa imajo razlicne frekvence in amplitude. Frekvenca pove, kako hitro se vrednosti šuma spreminjajo od 26 PRESEK 47 (2019/2020) 3 26 računalništvo točke do točke, medtem ko amplituda pove, kako velike so te spremembe. Šumi z nizkimi frekven-čami in velikimi amplitudami ustvarijo makroskopske tvorbe, v našem primeru so to hribi, gore in doline. Šumi z visokimi frekvenčami in majhnimi amplitudami pa ustvarijo majhne hitre spremembe površja in v našem primeru predstavljajo manjše skale in luknje na površju. Ce želimo ustvariti realističen relief, morajo biti prispevki visokih frekvenč manjši kot prispevki nizkih frekvenč; gore in doline so večje, kot pa skale na njih. Od tod sledi, da če se frekvenča iz oktave v oktavo narašča (l > 1), mora amplituda padati in mora tako biti p < 1. Relief ustvarjen s Perlinovim šumom vidimo na sliki 8. plen, rastlinojedci pa jedo rastlinje. Metode proceduralne generacije nam tako omogočajo, da je edina stvar, ki nas omejuje pri ustvarjanju svetov, naša domišljija. Implementacijo algoritmov karo-kvadrat in pomik središča v programskem jeziku Python ter kodo, potrebno za ustvarjanje slik, lahko najdete na github. com/BlazStoj anovi c/Procedu ralnaGeneraci j a. Vsekakor predlagamo, da se poigrate s parametri algoritmov in poskusite ustvariti cim bolj zanimive reliefe tudi sami. Literatura [1] N. Shaker, J. Togelius in M. J. Nelson, Procedural content generation in games, Springer, 2016. [2] A. Fournier, D. Fussell in L. Carpenter, Computer rendering of stochastic models, Communications of the ACM, 25(6): 371-384, 1982. [3] G. S. P. Miller, The definition and rendering of terrain maps, In ACM SIGGRAPH Computer Graphics, volume 20, 39-48, ACM, 1986. [4] K. Perlin, An image synthesizer, ACM Siggraph Computer Graphics, 19(3): 287-296, 1985. _ XXX Barvni sudoku SLIKA 8. Relief, ustvarjen s Perlinovim šumom. Velikost razpredelnice je 1024 x 1024, uporabili smo osem oktav, persistenco 0.3 in lakunarnost 4. Zaključek Metode pročeduralne generačije smo ilustrirali na preprostem primeru ustvarjanja umetnih reliefov, a to še zdaleč ni vse, kar pročeduralna generačija lahko ponudi. Z njo lahko ustvarimo svetove, polne rastlinstva in živalstva. Svetove lahko napolnimo z vasmi in mesti, polnimi ljudi, vsak izmed njih pa ima lahko svojo videz in svojo zgodbo. Še več kot to, v našem svetu lahko dežuje in sneži, erozija pa počasi preoblikuje pokrajino. Seveda so možne tudi inte-rakčije med prebivalči sveta, plenilči tako lovijo svoj -i' •l' -i' 3 O □ m > a. < m > m S -> a 4 6 18 5 1 6 2 8 7 3 3 5 8 4 7 2 7 7 2 .....1 347 5 3 6 2 7 4 1 2 8 4 5 6 1 8 7 1 4 5 2 3 8 5 2 4 3 6 468751 XXX 5 3 27 PRESEK 47 (2019/2020) 3 RAZVEDRILO Astronomska literatura Govert Schilling, Lars Lindberg Christensen OČI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 x 24 cm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR Dintinjana, Fabjan, Mikuž, Zwitter NAŠE NEBO 2020 Astronomske efemeride 80 strani format 16 x 23 cm mehka vezava 10,00 EUR Ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na naslovu: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/astro/ Individualni naročniki revije Presek imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene. Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. sU vU nU _p_ JL A v L i T _R £ A Ir v L J A1A1 __Jt_ Allí W L U 0 D I ___ s S L I_L_e s u z P R E H AGNI B AH Č N 0 ANK AH M S ™™ i «u ai\ Ö31 2 Ö12 Ö22 «32 01« ain a-bn 0MFA 0 v E J^ 1 ) A S Č El ROV 1 D 0 E R E Rf CT S T C E 4 M A A Z J A i A N G N G R D L A J^JL |3 R T J__K G A M ^ T I M I Š Č R C A — S E K A S L C Si ¡I J U T G E 0 R REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE PRESEK 47/2 Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke Preseka je Nelinearne enacbe. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Martin Mah iz Šmartnega pri Litiji, Marijan Hafner iz Šenčurja in Lidija Mikec iz Novega mesta, ki bodo razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 28 PRESEK 47 (2019/2020) 3 28 RAZVEDRILO Zrcalna gladina nU NU sU Aleš Mohoriš -> Na mirni, ravni jezerski gladini se zrcali pokrajina nad njo. Slika na naslovnici kaže tak primer, fotografija je bila narejena v Bohinju. Površen razmislek nas napelje na misel, da je zrcalna slika na vodni gladini, kar enaka pokrajini nad gladino prezrcaljeni na glavo preko obalne crte. V stavku se skrivata dve tipicni napacni ideji. Pa si jih poglejmo. Z žarkovnim diagramom, ki ga kaže slika 1a, opišemo nastanek slike pri zrcaljenju. Drevo stoji na obali in z njegovega vrha, iz točke A, poteka šop žarkov naravnost v oko opazovalca. Na ta način opazovalec vidi predmet. S točke A pa izhajajo žarki tudi na vse druge strani in ozek šop poteka v smeri proti vodni gladini, tako da se od nje v točki C odbije proti očesu. Žarek se odbije tako, da vpadni in odbiti žarki oklepajo enak kot s pravokotnico na zrcalno ravnino. Na ta način opazovalec vidi sliko. Točki A ustrezna točka slike A! se nahaja v točki, kjer se sekajo podaljški šopa žarkov, ki po odboju na gladini vstopajo v oko. Točka A' je na pravokotnici iz A na zrcalno ravnino na tolikšni razdalji pod gladino, kot je točka A nad njo. Slika je torej pri zrcaljenju z rav- 0 1 a) predmet slika nim zrcalom enako velika kot predmet. Pogled na sliko in predmet v smeri opazovalca kaže slika 1b. Na podlagi te slike bi sklepali, da smo predmet pre-zrcalili preko obalne črte, označena z rdečo daljico S S'. Ker je drevo na nasprotni obali jezera, slika nastane tako daleč stran od opazovalca, kot je obala in zato pridemo na idejo, da je obalna črta tista, preko katere se zrcalijo predmeti. Ideja, ki jo tudi pogosto zasledimo je, da slika nastane na vodni gladini, kot kaže slika 1c. Oko vidi vse predmete, ki so oddaljeni šest ali več metrov enako ostro. Zato oko ne loči, ali se vrh drevesa nahaja v točki A' ali v točki C, če sta obe dovolj daleč od točke O. Oglejmo si še primer, ko je na obali več predmetov, npr. drevo na obali in gora za njim, kot ju vidimo na izseku slike z naslovnice na sliki 2. Zaradi perspektive vidimo drevo segati enako visoko kot goro, čeprav je drevo nižje, je pa gora bolj oddaljena od opazovalca. Zaradi napačne ideje o preslikavi kot zrcaljenju preko obalne črte, bi prvi hip pomislili, daje zrčalna slika enaka kot predmet, kot kaže slika 3a. Torej, če vidimo drevo in goro enako velika, bi sklepali, da bosta enako veliki tudi njuni zrcalni sliki. Zrcalna slika drevesa pa je videti večja od zrcalne slike gore (slika 3b). i » SLIKA 1. g^ a) Žarkovni diagram preslikave predmeta na vodoravni gladini. b) Pogled na predmet in sliko iz smeri označena obalna crta, ki prispeva k napacni ideji, daje zrcalna slika taka, kot da bi predmet prezrcalili napačne ideje, da slika nastane na vodni gladini. opazovalca, preko nje. c) z daljico SS' je Demonstracija PRESEK 47 (2019/2020) 3 29 RAZVEDRILO SLIKA 2. Izsek slike z naslovnice. a) i b) t odbije v oko opazovalca O. Drugi žarek iz tocke B pa se v oko odbije v tocki D. Opazovalec vidi sliko vrha drevesa v smeri žarka C O v tocki A', sliko vrha gore pa v smeri žarka DO, v tocki B'. Žarka AO in BO ležita na isti premici, žarka DO in CO pa ne. Čeprav opazovalec vidi drevo in goro enako visoka, to ne velja za zrcalno sliko. Zrcalna slika drevesa je videti višja od zrcalne slike gore, ker je drevo bližje opazovalcu kot gora. Razmislite, kaj bi videl opazovalec, ce bi spustil oci do gladine jezera? SLIKA 4. Diagram žarkov, s katerim pokažemo, daje zrcalna slika bližjega predmeta na videz vecja (pogled od strani). Kako pa uskladimo opisano ugotovitev z na začetku omenjeno idejo o preslikavi kot zrcaljenju preko obalne crte? Mar ne velja, da je zrcalna slika enako velika kot predmet? Seveda to še vedno velja, le razumeti moramo, da bi morali crto zrcaljenja postaviti pod zrcaljeno tocko predmeta in ne na obalo. Vrh gore se zrcali preko crte, ki bi jo tvorila obala jezera, ki bi segalo do razdalje navpicno pod vrhom gore (slika 5). SLIKA 3. Gora in drevo sta nad gladino videti enako visoka. Tako ju vidimo zaradi perspektive, gora je sicer višja, a drevo je bližje. Katera skica bolje prikaže to, kar zares opazimo, skica a) ali skica b)? Skica kaže pogled iz strani opazovalca. Kako pojasnimo, da se zrcalni sliki ne ujemata s pricakovanima? Pomagajmo si z žarkovnim diagramom, ki ga kaže slika 4. Z vrha drevesa v tocki A in z vrha gore v tocki B izhajata po dva žarka. Eden gre naravnost v oko opazovalca O (žarek AO in BO). Drugi žarek iz tocke A se v tocki C na vodni gladini i SLIKA 5. Slika zrcaljenega predmeta je enako velika kot predmet, le crta, preko katere preslikamo, mora biti od opazovalca odmaknjena toliko, kot je predmet: za drevo je to daljica SS', za goro pa daljica PP'. _ XXX 30 PRESEK 47 (2019/2020) 3 30 RAZVEDRILO Uganka vU sU vU Tine Golež -> Italijan Giovanni de Galliano Pieroni (1586-1654) je bil vojaški inženir, ki se je izkazal pri utrjevanju mest in gradov; o tem je napisal tudi knjigo. Poleg arhitekture je bil še kar spreten astronom, matematik in zemljemerec. Prijateljeval je tako s Keplerjem (nekaj casa je živel v Pragi) kot z Galile-jem. Na levi spodaj opazimo merilo. Izrez dela načrta, na katerem je merilo, je tu povečan. Ugotovi, za katere merske enote gre, in oceni, kako natančen je načrt. Leta 1639 se je mudil v Ljubljani. Naše prestolnice ni narisal le kot sliko za razglednico, pač pa je narisal tudi načrt. Zelo natančno je prikazal obzidje, stolpe in vsa vrata, ki so varovala mesto. Na načrtu zlahka prepoznamo grad, Stari trg, Novi trg in Mestni trg, prav tako pa ne bomo zgrešili Čevljarskega mosta, na katerem so tedaj stale obrtniške kolibe. Kaj je torej naša uganka? Rešitev Pojdimo od zadaj: di Vienna pomeni, da gre za dunajsko mero. Malo nazaj preberemo: di piedi 6. Ta beseda je največkrat v uporabi, ko namesto »gonil-ka« rečemo pedal. Gre za nogo oziroma stopalo, lahko tudi dolžino obutega stopala, za čevelj. Natančno šest čevljev pa je bila dolga dunajska klaftra, ki ji po naše rečemo seženj; meri približno toliko, kot odrasla oseba (moški) izmeri z razprtimi rokami. Uzakonil jo je že Rudolf II. (1588; 1 klaftra = 1,896 m). Šele Marija Terezija pa je poskrbela, da je bila ta mera povsod po česarstvu obvezna. Pri preverjanju natančnosti moramo izbrati dve točki na zemljevidu. Če izberemo točki, kjer se Čevljarski most stika z desnim bregom in kjer se most, ki je danes srednji most Tromostovja, dotika desnega brega, dobimo razdaljo 170 sežnjev ali 320 m. Današnji zemljevid kaže, da je to le nekaj metrov manj kot 300 m. Napaka res ni velika. Seveda ne pozabimo, da gre za leto 1639. Pri poznejši regula-čiji Ljubljaniče sta tudi omenjeni točki doživeli nekaj premika, da o natančnosti merilne paliče, ki jo je imel gospod na voljo, niti ne govorimo. Zato: kapo dol pred tem mojstrom! _ XXX PRESEK 47 (2019/2020) 3 31 Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.