i
i
“2-1-Batagelj” — 2010/5/6 — 10:00 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 2 (1974/1975)
Številka 1
Strani 40–42, I
Vladimir Batagelj:
PENTOMINO
Ključne besede: matematično razvedrilo, matematika, razvedrilo, re-
kreacijska matematika, pentomino, sestavljanje likov.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-1-Batagelj.pdf
c© 1974 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
E
G
LIST ZA MLADE
MATEMATIKE
OO FIZIKE
ASTRONOME
IZDAJA DMFA SRS
PENTOMINO
Pentomina imenujemo vsak lik sestavljen iz petih po strani-
cah povezanih enakih kvadratov. Pentomina sta enaka, če ju lah-
ko tako položimo enega na drugega, da se popolnoma po k r i j e t a .
Tako dobimo naslednjih 12 pentomin, k i jih poimenujemo z nj im
podobnimi črkami:
F
v
Slika 1
L
w
w
P s
z x
T u
v
Komp l e t u vseh 12 pentomin bomo rekli pentornino.
Pentomino že dolgo privlači matematike in ljubitelje zabav-
nih nalog. Tako se je nabral cel kup nalog . Oglejmo si jih ne-
kaj 1
Pe n t omi n o in šahovnica. Med najstarejše naloge sodi nasled-
n ja: pokrij šahovnico s pentominom in enim kvadratom 2 x 2 (te-
t r omi n a l . Na l og a ima veliko rešitev. Posebno "vrednost" dajo re-
š i t v i križci - točke, v katerih se stikajo štiri pentomine. Na
sliki 2 je prikazana rešitev s štirimi križci, ki so označeni s
krožci. Izkaže se še, da je naloga vedno rešl jiva t udi v prime-
r u , ko lego kvadrata vnaprej določimo kjer koli na šahovnici .
40
Slika 2
~ .~.=,r~.:-t •f t ~_I
. J1JIlI o
1•.- "'. " llIl
1 • lili
: lil
~
Slika 3
Ta naloga je poseben primer naloge, ko določimo na šahovnici
vnaprej štiri polja, ki naj ostanejo nepokrita, in poskušamo s
pentominom pokriti preostalo desko (glej sliko 3).
Pravokotniki. S pentominom lahko sestavimo naslednje pravo-
kotnike: 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15, 3 x 20. Na sliki 4 je sestav-
ljen pravokotnik 5 x 12 iz dveh pravokotnikov 5 x 6; iz teh lah-
ko takoj sestavimo tudi pravokotnik 6 x 10.
Slika 4 Slika 5
Piramida. Iz pentomina in kvadrata 2 x 2 sestavi lik na sli-
ki 5.
ObZožitev pentomine. Izberemo si poljubno pentomino in nato
poskusimo s pentominom sestaviti pravokotnik 5 x 13, k i bo imel
v s redini prazna polja v obliki izbrane pentomine. Naloga je
rešljiva za vsako pentomino. Na sliki 6 je prikazana rešitev za
T. Iz nje lahko dobimo tudi rešitev za Z. Kako?
41
Slika 6 Slika 7
Potrojitev pentomine. Vsako pentornino lahko s pomočjo deve-
tih različnih pentomin trikrat povečamo,tako kot srno pentornino
F na sliki 7.
Igra pentomino. Zelo zanimivo je tudi vprašanje: Najmanj ko-
liko pentomin moramo položiti na šahovnico, da potem ne bomo
mogli položiti nobene več, ne da bi z njo prekrili že zase-
deno polje? Domneva je, da je to število 5. Iz tega problema
je nastala igra, ki je znana pod imenom pentomino. Igralca za-
poredoma polagata pentornine na prosta polja šahovnice . Igro iz-
gubi tisti, k i ne more več postaviti nobene pentornine na šahov-
nico, ne da bi pri tem prekršil pravila igre. Igra pentornino
tako ne pozna remija in se konča najkasneje v 12 potezah. Na
slikah 8 in 9 sta prikazani dve situaciji na šahovnici pri igri
pentomino.
Kaj mora igrati v vsakem primeru posebej igralec, ki je na
potezi, da bo zmagal?
Slika 8
42
Slika 9
V~adimir Batage~j