Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 1 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON n ElinEarna rEgulacija hitrosti ElEktrohidravličnEga rotacijskEga sErvopogona Mitja Kastrevc, Edvard Detiček Povzetek: V članku je predstavljena zasnova nelinearne regulacije hitrosti elektrohidravličnega rotacijskega servosis- tema z uporabo Lyapunove teorije nelinearnih sistemov. Zaradi zelo nelinearne narave elektrohidravlične- ga servosistema običajne strategije vodenja večinoma ne morejo doseči želenih ciljev. Postopki nelinear- nega vodenja so zato predmet številnih raziskav doma in po svetu. Sodobne strategije vodenja se morajo ustrezno odzvati na nelinearnosti v sistemu ter s tem izboljšati odziv celotnega sistema. Prikazani postopek načrtovanja poteka v dveh delih. Najprej se s pomočjo povratnozančne linearizacije nelinearni matematični opis dinamike pretvori v linearno obliko. Sledi postopek vzvratnega prestopa inte- gratorjev, ki spremeni celoten regulacijski krog v serijo regulacijskih podsistemov, t. i. virtualnih regulacij- skih krogov. Dokazano je, da lahko oba postopka v tehniki uspešno uporabimo za stabilizacijo katere koli izbrane de- lovne točke sistema. Vsi izpeljani rezultati so potrjeni z računalniško simulacijo nelinearnega matematič- nega modela sistema. Nelinearni matematični model sistema vsebuje veliko nelinearnih členov, ki vplivajo tudi na dinamične napake sistema. Raziskave, predstavljene v prispevku, kažejo na velik potencial postopkov nelinearnega vodenja, ki teme- ljijo na teoriji Ljapunova. Ključne besede: elektrohidavlični servopogon, nelinearna regulacija, Ljapunova teorija, integrator korak nazaj (backste- pping), računalniška simulacija Uvod Elektrohidravlične servosisteme najdemo v številnih sodobnih industrijskih aplikacijah zaradi sposobno- sti obvladovanja velikih vztrajnostnih in navornih obremenitev ter hkrati doseganja hitrih odzivov in visoke stopnje natančnosti in zmogljivosti. Tipične aplikacije vključujejo predelavo plastike, industrij- ske robote, letala, simulatorje letenja, vozila za ma- lico, simulatorje letenja, plavajoče žerjave [1], testne sisteme in številne vojaške aplikacije. Odvisno od zahtev lahko elektrohidravlične servopogone raz- vrstimo v pozicionirne, hitrostne in momentne (na- vorne). Članek predstavlja način projektiranja elektrohi- dravličnega rotacijskega servopogona z regulaci- jo vrtilne hitrosti. Pristop je prikazan tako, da ga Doc. dr. Mitja Kastrevc, univ. dipl. inž., doc. dr. Edvard Detiček, univ. dipl. inž., oba Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo je možno aplicirati na kakršnem koli elektrohidra- vličnem pogonu. Temeljni pristop je v tem, da s pomočjo računalniške simulacije določimo kom- ponente sistema ter preverimo njihovo dinamič- no obnašanje. Da so simulacije čim bolj verodo- stojne, uporabimo nelinearne modele, ki čim bolj podobno posnemajo realno dinamiko ciljnega sistema. Pristop k snovanju nelinearnega modela je bil opisan za linearni podajalni sistem [2], zato je v tem prispevku pokazana razlika z rotacijskim pogonom. Pri snovanju regulatorjev lahko uporabimo line- arno teorijo, ki služi kot osnova in je podana v literaturi [3]. Kot osnovno obliko uporabimo naj- pogostejšo obliko strukture regulatorja PID, ki jo najpogosteje srečujemo tudi v praksi. Za načrtova- nje je pomembno tudi to, da v sklopu računalniških simulacijskih paketov, ki so namenjeni za tovrstne simulacije, obstajajo tudi dodatki za optimiranje. Ti načrtovalcu omogočajo pravilno nastavitev pa- rametrov, ki delujejo optimalno v izbrani okolici delovne točke. Takšna optimizacija je v tujini po- znana kot »tunning«. 258 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 2 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Za uspešno izvedbo zaprtozančne regulacije hi- trosti je pomemben izbor naprave, ki bo sposobna dosegati želene cilje, čeprav je dinamika elektro- hidravličnega servosistema zelo nelinearna. Prav nelinearnost pogosto povzroča težave pri uporabi klasičnih regulatorjev, temelječih na klasični line- arni teoriji, zato je potrebno uporabiti nelinearne postopke načrtovanja. Takšni pristopi uporablja- jo princip povratne linearizacije z uporabo koraka nazaj (ang. Backstepping), ki v bistvu kompenzira določene nelinearnosti in s tem izboljšuje dinamič- no obnašanje sistema. Z uporabo simulacije neline- arnega matematičnega modela sistema se potrdi dobro delovanje tovrstnega regulatorja. T emeljni koncept metode korak nazaj je prikazal av- tor Krstic s soavtorji v svoji knjigi [4]. Pristop, ki se osredotoča na problem stabilizacije v stohastičnih nelinearnih sistemih, je razvit v dodatku te knjige. Metoda koraka nazaj je predstavljena tudi v [5], [6], [7], [8] in [9], kjer je ta tehnika podrobno razložena za primer regulacije in sledenja. Linearizacija s povratno zvezo uporablja spremem- bo koordinat in povratno kontrolo za pretvorbo da- nega nelinearnega sistema v ekvivalentni linearni sistem. Velika prednost tovrstnega pristopa line- arizacije je povezana s kompenzacijo (krajšanjem posameznih nelinearnosti), ki se uvedejo v procesu načrtovanja. Nekatere vrste nelinearnosti namreč lahko pozitivno vplivajo na stabilnost sistema. Nji- hova kompenzacija lahko povzroči nestabilnost samega sistema. Po drugi strani korak nazaj pred- stavlja rekurzivno metodo načrtovanja, ki se lahko uporablja za sisteme v obliki stroge povratne zveze z nelinearnostmi, ki niso omejene z linearnimi me- jami. Ob vsakem koraku se določi nova Lyapunova funkcija (ang. Control Lyapunov function – CLF) z razširitvijo CLF iz prejšnjega koraka s členom, ki upošteva napako med »virtualno regulacijo« in nje- govo želeno vrednostjo, tako imenovano stabiliza- cijsko funkcijo. Velika prednost je določitev funkcije Ljapunova, katere odvod lahko postane negativen. Metoda je prav tako manj restriktivna kot lineari- zacijska metoda zlasti pri kompenzaciji nekaterih nelinearnosti (koristne nelinearnosti). Matematični model Rotacijski servopogon je sestavljen iz hidravličnega napajalnika, npr. hidravlična črpalka s konstantno iztisnino z razbremenilnim ventilom in akumulator- jem, servoventilom za regulacijo pretoka (SV), hi- dravličnim motorjem, senzorjem vrtilne hitrosti in elektronsko krmilno enoto (slika 1). Za načrtovanje zaprtozančnega regulatorja je po- trebno postaviti matematični model celotnega sis- tema. Najprej zapišemo enačbo momenta na gredi hidravličnega motorja, ki nastane zaradi delovanja tlaka na njegove notranje elemente. Pri tem bomo, Slika 1 : Shema elektrohidravličnega rotacijskega ser- vopogona, kjer je 1 – hidravlični napajalni agregat, 2 – elektrohidravlični servoventil, 3 – hidravlični motor, 4 – breme in 5 – senzor vrtilne hitrosti. podobno kot pri hidravličnem valju, obravnavali motor, kot da ima le levo in desno prostorninsko komoro. Moment na gredi motorja je tako produkt tlačne razlike in volumetričnega zasuka motorja in ga prikažemo z enačbo (1): T Dpp = m ( − 2 ) m 1 (1) Pri tem so D m iztisnina motorja, p 1 , p 2 tlak leve ozi- roma desne komore motorja in T m moment motorja. Sedaj zapišemo gibalno enačbo (2) za rotacijsko gibanje gredi motorja, tako da zanemarimo Cou- lombovo trenje in trenje lepljenja na podlago. Upo- rabimo drugi Newtonov zakon: m 1 2 L ( − ) =J +B T + (2) Dp p Pri tem je J vztrajnostni moment rotirajočih mas motorja,  kotna hitrost gredi, B koefcient visko- znega trenja in T L moment zunanjega bremena mo- torja. Sedaj zapišemo še kontinuitetni enačbi (3) za levo in desno polovico hidravličnega motorja: p = kpp Q 1 m L 1 2 1 V 1  − −D ( − ) +  1 (3) V 2 − ) − L 1 2 2 2 ( m pD  +  = kpp Q  2 𝑉𝑉 kjer je V skupni volumen in velja 𝑉𝑉 1 = 𝑉𝑉 2 = 2 in 𝛽𝛽 1 = 𝛽𝛽 2 = 𝛽𝛽 ter k L koefcient lekaže (puščanja). 259 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Če upoštevamo še, da je napajalni tlak p in s =p 1 +p 2 tlak v rezervoarju 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ≅ 0 ter da velja še, da sta 1 delovni pretok 𝑄𝑄 𝐿𝐿 = 2 ( 𝑄𝑄 1 + 𝑄𝑄 2 ) in delovni tlak p L =p 1 -p 2 . Če enačbi (3) odštejemo in vpeljemo izra- za za Q L in p L , dobimo enačbo (4): V =Q (4) 1 m pD kp + +  L L L 4  Če zapišemo Bernoulijevo enačbo toka skozi dušil- ne odprtine druge stopnje servoventila (ob pred- postavki zanemarljivega puščanja), dobimo enačbo (5) v naslednji obliki: p p sign A − ( ) (5) s L sv Q =CA L d sv  kjer je C d pretočni koefcient, ρ gostota medija in A sv presek odprtja SV. Končno je potrebno zapisati še vpliv SV, ki električ- ni signal pretvarja (odprtje drsnika v drugi stopnji – A sv ) v delovni pretok Q L . Za izbor oblike srečamo v literaturi več možnosti, kot je bilo to izvedeno v [2]. Za izbor modela je od- ločilno razmerje med lastno frekvenco SV in lastno frekvenco hidravličnega motorja z bremenom. Za hidravlični motor z bremenom s podatki: D m = 0.72 10 -6 [m 3 /rad], V t = 2.7121 10 -5 [m 3 ] in J t = 3.4 10 -3 [kgm 2 ] določimo lastno frekvenco hi- dravličnega dela po enačbi (6): 4  D m 2 rad   = = 88,68 → 14,11  Hz  (6)   H JV s  t t   Lastno vrednost frekvence SV lahko dobimo iz ka- rakterističnih podatkov, ki jih poda proizvajalec [10], ali pa jo določimo z eksperimentalnim merjenjem. V primeru opisanega sistema je torej potrebna viš- ja lastna frekvenca SV (več kot 150 Hz). Ker SV, ki so na voljo na trgu, presegajo to mejo, uporabimo model sistema prvega reda ali celo proporcionalni model. V tem prispevku bo poudarek na izbranem modelu sistema prvega reda v obliki enačbe (7):  A +A =Ku  (7) sv sv sv sv kjer je Ku ojačanje servoventila in   časovna kon- sv sv stanta. Sedaj zapišemo enačbe (8), ki predstavljajo dina- miko celotnega hidravličnega sistema v obliki: J +B +T =Dp t L mL 2   CA d  sv P − p sign A ( ) −  S L sv L L dp p = = dt V 0    L C − L p   (8)  D m     Ku  sv A A + = sv sv sv Enačbo (8) preoblikujemo v enačbo (9): (9) m L L D p T B  =  −  − J J J t t t   L p =   2   C d  2  P − p  A − D 2 L Cp  −   L S L sv m V V V   0  0 0 K sv A + u 1 A = − sv sv   sv sv Če vstavimo za x 1 =  , x = p , in x = A , kot 2 L 3 SV spremenljivke dobimo nelinearni zapis tretjega reda v obliki enačb (10): 1 11 x ax = −+ ax −a (10a) 2 2 3 2 41 x = −ax −ax +a ( P − p ) (10b) 5 2 6 S L 3 73 x ax = −+ au 8 (10c) kjer so konstante v enačbi (7): B D T 2  a = , a = m , a = L , a = D , 1 2 3 4 m J J J V t t t 0 2  2  C d 1 K sv a 5 = C L , a 6 = , a 7 = in a 8 = V 0 V 0    sv sv 3 Snovanje nelinearnega regulatorja Problem zasnove regulatorja je, da želimo zago- tavljanje asimptotične stabilnosti v izbrani okolici delovne točke. Ob predpostavki, da so na voljo in- formacije o celotnem stanju, je prednostna tehnika za rešitev tega problema korak nazaj (ang. Back- stepping). Korak nazaj je tehnika za načrtovanje posebnih nelinearnih sistemov. Za stabilno delo- vanje sistema je potrebno kompenzirati nelinear- nosti sistema. Zaradi te rekurzivne strukture lahko načrtovalec začne proces načrtovanja pri znanem stabilnem sistemu in kompenzira nelinearnosti, ki postopoma stabilizirajo vsak naslednji podsistem. Postopek se zaključi, ko je dosežen končni korak vpeljave zunanjega regulacijskega signala. Postopek poteka po korakih, znotraj vsakega kora- ka so še trije notranji koraki. Najprej defniramo vir- tualno regulacijo za prvo enačbo sistema (10a), pri tem si zamislimo, kot da je regulirna veličina spre- menljivka iz naslednje enačbe x 2 , ki nastopa v prvi enačbi v obliki člena a 2 x 2 (Lee&Tsao [6]). Za lažjo  pisavo referenčno vrednost hitrosti r zamenjamo z r. Defniramo negativne pogreške za zapisani sistem enačb (10a,10b, in 10c) in dobimo sistem enačb (11). 260 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 zxr = − 1 1 z =x −  2 2 1 z =x −  3 3 2 Korak 1 → x z= + r 1 1 → x =z +  2 2 1 → x= + z  3 3 2 (11) Defniramo prvi negativni pogrešek in njegov od- vod v obliki enačbe (12): z= − xr → x z= + r 1 1 1 1 1 1 11 2 2 z x r ax − ax r =−= − + (12) Defniramo kandidatko regulacijske Ljapunove funk - cije (CLF) z enačbo (13): 1 2 V = z (13) 1 2 1 V enačbo (13) vstavimo defniran negativni pogrešek z 1 in tvorimo odvod Ljapunove funkcije – enačba (14): ( 1 1 1 V zz = x r = − − a ax +ax − − r (14) ) ( 1 1 3 ) 1 2 2 Za spremenljivko x 2 vstavimo x 2 = + a in dobimo z 2 1 enačbo (15): ) ( ax + ( + a ( 11 1 V zz x r = =−− a z  )−−= r ) 1 11 2 2 1 3 z −ax +az +a −− r a 1 ( 11 22 21 3 ) (15) Sedaj defniramo prvi virtualni regulacijski predpis iz enačbe (15) in dobimo enačbo (16): 1  1 1 1 1 3  krra  (16)  = 1  (a −kx ) + ++ a 2 Sedaj vstavimo zapis α 1 v enačbo (15) in dobimo enačbo (17): 1 212 1 V =azz −kz 2 (17) 1 kjer je k 1 >0 . Korak 2 Tvorimo drugi pogrešek in njegov odvod – enačba (18): z = x −  2 2 1 2 2 1 z x = −  (18) V enačbo odvoda drugega pogreška vstavimo enačbo (10b) in dobimo enačbo (19): (19) ( ) ( ) 2 2 41 6 3 s z=− 1 5 2 2 1 x ax ax a P x x = − − + − −   Tvorimo drugo funkcijo Lyapunova, ki je razširitev prve, in dobimo enačbo (20): 1 2 V V (20) = + z 2 1 2 2 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Odvajamo enačbo (20) in dobimo enačbo (21): 2 1 2 2 1 4 1 5 2 V 2 2 2 1 1 V zz kz = + = − +z  az −ax −ax + 6 s2 3 6 s2 2 − 1   a P −xz +a P −x  (21) Defniramo še zapis drugi virtualni regulacijski predpis – enačba (22): (22) +− 21 41 52 1 22  2 = 1  −az +ax +ax  kz  aP −x 6 s 2 Vstavimo dobljeni izraz v enačbo (21) in dobimo enačbo (23): V = −kz −kz + ( a P −x ) zz (23) 2 11 22 6 s 2 23 2 2 kjer sta k 1 >0 in k 2 > 0. Korak 3 Tvorimo tretji pogrešek in njegov odvod – enačba (24): z = x −  3 3 2 3 3 2 z x = −  (24) V enačbo odvoda tretjega pogreška vstavimo enačbo (10c) in dobimo enačbo (25): 1 2 = + z V V (25) 3 2 3 2 Poiščemo odvod enačbe (25) in dobimo enačbo (26): 3 11 22 6 s 2 23 V − −kz 2 = kz 2 + ( a P −x ) zz + 3  73 8  2  11 22  z  ( −ax +au ) −  = −kz 2 −kz 2 + (26)  3 6 s 2 2 73 8 2  z ( a P −x ) z −ax +au −   Sedaj lahko določimo končni regulacijski predpis v obliki enačbe (27): 1 u = a  − ( a P −x ) z +ax+−  kz  (27) 6 s 2 2 73 2 33   8 Sedaj vstavimo enačbo (27) v enačbo (26) in dobi- mo enačbo (28): V = −k z −k z −k z (28) 3 11 22 33 2 2 2 kjer velja, da so k 1 , k 2 , k 3 >0. 4 Rezultati simulacije Za preverjanje delovanja nelinearnega regulatorja in primerjave z linearnim PID-regulatorjem je upo- 261 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Slika 2 : Simulacijska shema v okolju Matlab-Simulink Slika 3 : Simulacijska shema bloka za izračun nelinearnega regulatorja rabljen računalniški programski paket Matlab-Simu- link. Slika 2 prikazuje simulacijski sistem, ki ga sesta- vljajo bloki in programski bloki z zapisi nelinearnega sistema in nelinearnih regulatorjev. Zaradi specifč- nega vrednotenja sta uporabljena dva linearna PID- -regulatorja (vsak s svojim nelinearnim blokom z zapisom dinamike hidravličnega sistema) in dva ne- linearna korak nazaj regulatorja (slika 3). Prvi upora- blja zapis modela 3. reda, kot je prikazano v poglavju 2 (enačba 10), drugi pa upošteva poenostavitev ma- tematičnega modela SV (uporabljen proporcionalni člen), zato je stopnja znižana na 2. red (tabela 1). 262 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Tabela 1 : Glavni parametri sistema EHS Par. Vrednost Par. Vrednost Par. Vrednost J p 3,4 10 -3 [kg m 2 ] V 0 2,7127 10 -5 [m 3 ] B 1,1 10 -6 [Nms/rad] Κ SV 5,527 10 -7 [m 2 /V] D m 0,72 10 -6 [m 3 /rad] C L 9,25 10 -12 [m 5 /Ns] τ SV 0,0023 [s] β 0,35 10 9 Pa C d 0.63 V prispevku je prikazan razvoj nelinearnega regu- latorja vrtilne hitrosti. Za preverjanje dinamičnega obnašanja sta uporabljena dva načina preizkusov. Prvi vodilni način predstavlja vodenje sledenja že- lene veličine (ang. Reference tracking), kjer opazu- jemo zmožnost sistema sledenju želene vrednosti. Drugi način je motilni način (ang. Disturbance), kjer želeni vrtilni hitrosti povzročimo zunanje povečanje bremena (navora) ter opazujemo sposobnost siste- ma za prilagoditev temu dogodku. PID-regulatorja sta optimirana za primer vodilnega (PID-vodilno) in motilnega obnašanja (PID-motilno). Optimizaci- ja je bila izvedena s pomočjo optimizacijskega al- goritma, ki je del programskega paketa MATLAB. Slika 4 : Primerjava izračunanega obnašanja vodilne regulacije Slika 5 : Povečan izrez izračunane vodilne regulacije 263 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Slika 6 : Izračunan odziv sistema pri motilnem obnašanju Slika 7 : Detajl izračunanega odziva pri izklopu motnje Parametra nelinearnih regulatorjev sta nastavljena ročno (ang. Manual tunning) in imata naslednje pa- rametre: sistem tretjega reda (BS-3.red. K 1 = 135, K 2 = 100 in K 3 = 1000) in drugega reda (BS-2.red. K 1 = 135, K 2 = 100). Na sliki 4 je prikazan odziv sistema na vodilno ob- našanje, kjer sta obravnavani dve različni obliki že- lene vrednosti, in sicer linearno naraščajoča in skoč- na oblika. Slika 5 prikazuje povečan del, kjer je moč razločno videti razliko obeh tipov regulatorjev. Sliki 6 in 7 prikazujeta odziv obravnavanih primerov z motnjo. Slika 6 prikazuje primer konstantne refe- renčne vrednosti vrtilne hitrosti s skočnim vklopom in izklopom dodatnega bremena (T L = 0,7 Nm) ter z njegovim izklopom. Motnja je prilagojena sistemu in predstavlja 45 % maksimalne vrednosti bremena, ki ga motor lahko prenese. Slika 7 prikazuje povečan del, kjer je prikazan odziv sistema pri razbremenitvi. Slika 8 prikazuje celoten potek regulacije, ki vklju- čuje tako vodilno obnašanje kot motilno obnašanje. Potek napake prikazanega poteka na sliki 8 prika- zuje slika 9. 5 Zaključek Snovanje sodobnih naprav načrtovalcem ne dopu- šča daljših časov v postopku razvoja naprave. Prav zato so sodobni pristopi, ki vključujejo uporabo ra- 264 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Slika 8 : Celoten izračunan preizkus Slika 9 : Potek izračunane napake čunalniških simulacij, izrednega pomena. Predpo- goj za optimiranje sistemov in iskanje novih oblik vodenja so dobri matematični modeli, ki morajo vključevati nelinearnosti osnovnih sistemov. Pristopi k snovanju ustreznih postopkov vodenja in regulacije predstavljajo velik izziv za načrtovalce, saj uporaba klasičnih pristopov v današnjem času ne zadovoljuje več potreb, ki jih predstavljajo nove na- prave. Sistemi nelinearnega vodenja so zato ključne- ga pomena in njihovo načrtovanje in vpeljevanje v realne sisteme predstavljajo izziv tako načrtovalcem kot uporabnikom. Sodobni koncepti razvoja izdelkov zahtevajo katek čas namenjen razvoju izdelka, zato so vsa orodja in postopki, ki so bila razvita in preizku- šena v praksi temeljijo pretežno na linearnih teorijah. V prikazanih simulacijskih rezultatih lahko vidimo, da z njimi dosežemo zadovoljive rezultate za določene oblike, univerzalnosti za različne primere pa ne, saj so projektirani za okolico izbranega delovnega po- dročja. Rezultati simulacij z uporabo nelinearnih re- gulatorjev prikazujejo razliko napram linearnim v tem, da določene nelinearnosti kompenziramo, tiste, ki pa pripomorejo k boljšemu dinamičnem obnašanju pa ohranimo. Obstoječe tehnike, predvsem pa nagel razvoj račnalniških naprav, kažejo velik potencial pri vpeljavi tovrstnih konceptov v praktično uporabo. Rz- lika v primerjavi z klasičnimi regulatorji je v tem, da je za projektiranje potrebno izpeljati matematični mo- del regulatorja, ki zahteva dodatne zunanje informa- cije o delovanju sistema (povečana senzorika). Kar je možno nadomestiti z vpeljavo znani metod opazoval- nikov, ki so pogosto uporabljeni zlasti tam, kjer dolo- čenih veličin iz različnih primerov ni možno realizirati. 265 Ventil 4 / 2022 • Letnik 28 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGON Pri preizkušanju s pomočjo računalniških simulacij [4] Kristic, M., Kanellakopouls, I., Kokotovic, P. V. je možno v kratkem času preveriti delovanje sis- (1995). Nonlinear and Adaptive Control De- tema in vpliv regulacijskega algoritma v različnih sign, John Wiley and Sons Hoboken. obratovalnih režimih. Hkrati je v tem delu možno [5] H. Khalil: Non-Linear Systems, 3rd ed. Upper hitro odpraviti pomanjkljivosti in ugotoviti kritične Saddle River, Prentice-Hall, 2002. obratovalne režime. [6] Lee, S. J., Tsao, T. C. (2002). Nonlinear Back- stepping Control of an Electrohydraulic Ma- Za primer elektrohidravličnega rotacijskega servo- terial Testing System. // Proceedings of the sistema je lepo razvidno, da uporaba klasičnih regu- American Control Conference, vol 6. p. p. lacijskih metod za zvišanje kvalitete obratovanja ni 4852-4830, DOI:10.1109/ACC.2002.1025422. zadostna, saj so napake v primerjavi z nelinearnima [7] Kaddissi, J. P. Kenne, M. Saad, (2007). Identi- regulatorjema dosti večje. V prikazu nelinearnega fcation and Real-Time Control of an Electro- hydraulic Servo System Based on Nonlinear regulatorja je vidna tudi razlika med uporabljenim Backstepping. // IEEE/ASME Trasactions on modelom drugega in tretjega reda pri snovanju ne- Mechatronics, Vol. 12, February DOI:10.1109/ linearnega regulatorja. Oba modela sta se izkazala TMECH.2006.886190. za boljša glede na klasična PID-regulatorja. Odloči- [8] Detiček, E., Kastrevc, M. (2016). Design of tev o uporabi modela je odvisna predvsem od zah- Lyapunov Based Nonlinear Position Control tevnosti sistema in želenih učinkov. of Electrohydraulic Servo Systems. / / Journal of Mechanical Engineering.62, 3, p. p. 163–170. [9] Detiček, E., Gubeljak, N., Kastrevc, M, (2017). Literatura Design of Lyapunov based nonlinear veloci- [1] [2] Sun, Y., Li, W., Dong, D., Mei, X., Qiang, H., (2015). Dynamics analysis and active con- trol of a foating crane //Technical Ga- zette 22,6, p.p. 1383–1391. DOI:10.17559/ TV-20151026154842Merritt, H. E., Hydraulic Control Systems. Wiley, NewYork (1967). Kastrevc, M. (2022). Nelinearni model ele- ty control of electrohydraulic velocity servo systems = Dizajniranje nelinearne regulaci- je brzine elektrohidrauličkog servo sustava metodom Lyapunova. Tehnički vjesnik: znan- stveno-stručni časopis tehničkih fakulteta Sveučilišta u Osijeku, ISSN 1330-3651, vol. 24, no. 3, str. 745–751, DOI: 10.17559/TV- 20160930073953. ktrohidravličnega podajalnega servopog- [10] MOOG. Servovalves with Integrated Electron- ona,Ventil: revija za fuidno tehniko in avtom- ics D769 Series. Rapport technique, MOOG Inc. atizacijo, ISSN 1318–7279. [Tiskana izd.], Feb. [11] Jelali, M., Kroll, A. (2003). Hydraulic Ser- 2022, letn. 28, št. 1, str. 32–39. vo-systems: modelling, identifcation and [3] Ogata, K., (2010). Modern Control Enhineer- control, Springer Verlag, London, Berlin, Hei- ing – Fifth Edition, Prentice Hall. delberg. Nonlinear velocity control of electrohydraulic rotational servo system Abstract: This paper studies the closed-loop control of an electrohydraulic velocity servo system with the use of the Lyapunov theory of nonlinear systems using integrator backstepping. Two diferent nonlinear design procedures are employed feedback linearization and backstepping. It is shown that both these techniques can be successfully used to stabilize any chosen operating point of the system. All derived results are validated by computer simulation of the nonlinear mathematical model of the system. Because of the highly nonlinear nature of the electrohydraulic servo system, the conventional control strategies mostly cannot reach desired control objectives. The nonlinear mathematical model of the system contains many nonlinear terms, which infuence also the dynamic errors of the control system. Modern strategies should be able to cope with these nonlinearities. The research studies represented in the paper show the big potential of Lyapunov-based nonlinear con- troller design procedures, to obtain desired control objectives. Keywords: electrohydraulic servo system, nonlinear control, Lyapunov theory, integrator backstepping, computer simulation Zahvala Predstavljeni rezultati so del raziskave načrtovanja nelinearnih načinov vodenja v sklopu razisko- valnega projekta J2-7631 Optimalno projektiranje oblike linijskih konstrukcij z nelinearnim odzivom. Avtorja se zahvaljujeta za vso nudeno pomoč pri izvedbi raziskave. 266