i
i
“3-4-Petek-naslov” — 2009/3/26 — 15:46 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 3 (1975/1976)
Številka 4
Strani 163–165
Peter Petek:
KAKO SPRAVIMO ULOMEK V ŠKATLO
Ključne besede: matematika, aritmetika, teorija števil, verižni ulomki,
Evklidov algoritem, približki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/3/3-4-Petek.pdf
c© 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
__II
KAKO SPRAVIMO ULOMEK VšKATLO
- enico - v škatlo. Ostanek obrnemopridelek
14-!.
3
v škatlo in obrnemo ostanek
43
3
14
l = 3
1
l... -T
43
Pospravimo
.!. -T
3
Dvojko skrbno odnesemo v prvi
predalček škatle. Ostanek pre -
kucnemo, da dobimo obratno '
(recipročno) vrednost
il -T ~ = Il...
46 43 43
Spet odnesemo
Ulomek v škatlo ? Zakaj pa ne! Oglejmo si, kako to napravimo
z ulomkom 135
46
Najprej ga zapišemo kot mešano
števil o
135 = 2il
46 46
še trojko damo v škatlo, ostanka ni več, ulomek je ves v škatli,
štiri predalčke smo napolnili.
Naloga: Spravi v škatlo ulomke g
23
1600
563
427
312
1 7
550
Oglejmo si zgornji postopek. V prvi predalček smo dali celi del
števila, to je največje celo število, ki je še manjše od našega
ulomka. Prav lahko bi se zgodilo, da bi bilo to celo število
nič . Pač pa v naslednjih predalčkih ne more biti ničle, ker vsa-
kič obrnemo ostanek, ki je manjši od 1 in je zato recipročna
vrednost večja od 1. števci in imenoyalci se zmanjšujejo, ko do-
bimo vimenovalcu 1, je igre konec, ker ni več ostanka, s kate-
163
rim bi jo nada l j eva l i. Pozorni bralec bo v igri ci spoznal Evkl i-
dov algoritem.
Pred seboj imamo sedaj namesto ulomka š katlo, kamor smo spra-
vili ulome k. Ali bi mogli spet sestaviti ulomek? O, seveda gre,
le za č e t i moramo pri zadnjem p redal čku in vso pot preiti v ob ra-
tn i sme ri . Koment a r najb r ž ni potreben.
3 -+ 1
3
14.!.
3
1-l..
43
2~
46
43
3
46
43
135
46
3
-+ -
43
43
-+ -
46
135
46
Torej vsaki škatli z naravnimi š t evi li - nič je dovoljena le v
prvem predalčku - priredimo ulomek, racionalno š t evi l o. Zapisu s
pomo čjo "škatle" rečemo v er i i ni u Zomek
1 +
13 5 = 2 +
46 1
14 + .!.
3
Ime je re s upr avlc en o, opazimo pa t udi , da utegne biti takl e za-
pis pr ecej dolg in ne r oden , saj imamo že v našem s kromnem pr i me-
r u t rojni ul omek. Zato navadno upora bljamo za pi s v eni sami vr-
st i :..!li = [2, 1, 14,3]
46
Na l oga : Izračunaj vrednost i ve rižnih ulomkov [O, 1, 4, 3],
[5, 67, 8 , 8, 3], [a, », a] , Ca, b , c , d ] (a, b , e , d so naravna
š t e vi l a )!
Rec i mo , da smo st resl i in izgubil i ne kaj zadnji h pr eda l č ko v
šk a t l e . Res nerodno , a nesreča le ni prehuda . Seveda prvotnega
ulomka ne moremo ve č sestaviti, dobimo pa še vedno pribli žek .
Vzemimo kar naš primer ! če izgubimo celo š ka t l o , je seveda stvar
brezupna. Zato si najprej m ~slimo, da smo izgubili vse razen pr-
vega predalčka. Ustrezni ulomek je potem kar 2 , to je približek,
164
ki je za il premajhen.
46
Prav, kaj pa, če sta nam ostala prvi in drugi predalček
[2, 1] = 2 + 1 = 3
1
Ta pribl ižek je za 3 prevel i k , napaka je manjša kot prej. če
46
dobimo približek:predalčkov,
2.!i 44
15 15
[2, 1, 14] = 2 +
poznamo vsebino prvih treh
+...1-
14
Razl i ka _135 _ 44 _101 J"e i t i t· t i bl i ž k tpOZl lvna, za o Je a prl lze spe
46 15690
premajhen, je pa boljši od prejšnjega. Brez dokaza povejmo, da
je vedno tako, kot smo opazili na našem primeru. Lihi približki
(prvi, tretji, peti, ... ) so premajhni, sodi (drugi, četrti, .. )
preveliki. In napaka, ki jo naredimo, je tem manjša, čim kasnej-
ši približek vzamemo.
Razen ulomkov obstajajo še druga števila, t . im. iracionalna
števila. Med njimi sta na primer Il in TI. Taka števila zahtevajo
neskončno škatlo . Zaradi zanimivosti si oglejmo, kaj je v teh
škatlah za zgoraj omenjeni iracionalni števili!
,/Z = [1,2 ,2 ,2, . ..
Enici v prvem predalčku sledi neskončno dvojk .
O tem se moremo brž prepričati! Koren iz dva leži med 1 in 2,
zato sodi v prvi predalček enica. Razliko Il - 1 ob rnemo in ra-
cional i ziramo
_1__ = Il +
Il - 1
To število leži med 2 in 3, zato je v drugem predalčku dvojka,
ostanek/Z + 1 - 2 =IZ - 1 je isti kot prej in zato dobimo dvojko
v vseh nadaljnjih predalčkih.
TI = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1, ... ]
Tu pa ne opazimo nobenega reda, po katerem bi se pojavljala šte-
vila v predalčkih. In na žalost pravila res ni .
Naloga: Iz zgornjih dveh verižnih ulomkov poišči po pet pri-
bl i žkov za vsako od števi 1 IZ in TI!
Peter Pete k
165