“348-Likar-Opazovalni” — 2010/3/24 — 8:36 — page 1 — #1 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 6 (1978/1979) Številka 1 Strani 17–23 Andrej Likar: OPAZOVALNI SISTEMI Ključne besede: fizika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/348-Likar.pdf c© 1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. OPAZOVALNI SISTEMI Ko govorimo o legi , hi tros ti a l i po sp e ških kakega telesa, mora- mo povedati , na kaj se te količine nanašajo. Najlaže to opra- vimo tako, da si zgradimo nepremi čni prav o k o tn i koordi natni sistem in glede nanj opredelimo omenjene količine . Pravokotni koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne usmerjene premice, ki se v neki skupni točki sekajo. Sečišču pravimo koordin atno iz h o dišč e , premicam pa o s i. Lego telesa podamo tako, da povemo pravokotne razdalje telesa od ravnin, ki jih tvorijo koordinatne osi. Postavimo pravokotni koordina- tni si stem v sobi! Koordinatno izhodišče si izberemo venem od spodnjih oglov, robovi sobe pa ponazarjajo koordinatne osi. Lego telesa v sobi lahko potem povemo tako, da sporočimo nje - govo oddaljenost od tal in od dveh sten , ki se stikata v iz- branem oglu. Poleg koordinatnega sistema moramo imeti še u ro za merjenje časa . Tako opremljeni pravimo , da smo o pa zovalci v opa zovalnem s is t emu. Opazovalnih sistemov je poljubno mnogo, saj se razli- čni opazovalci v svojih opazovalnih sistemih lahko med seboj gibljejo na poljubno mnogo različnih načinov . Dva opazovalca, ki se gibljeta drug proti drugemu, vidita isti fizikalni pojav v svojih opazo valnih sistemih različno. Potnik v enakomerno drvečem vlaku vidi, da se hiše premikajo glede na njegov koordinatni sistem, ki je pripet na vagon . Avto, ki vo- zi vzporedno z enako hitrostjo kot vlak, pa zanj miruje. Dru- gače opazuje te pojave prometnik , ki stoji ob progi. Zanj se vlak in avto premikata v isto smer z enako hitrostjo, hiše pa s o pri miru. Opazovani sistem prometnika je pri ljudeh splošno v rabi. Saj je r a z ~ m l j i v o , pravimo, da hiše mirujejo, vlak pa se giblje, ne pa obratno . Toda ta "razumljivost" je posledica globoke na- vade, ki se je ne zavedamo več. Tudi ko smo rekli: "enakomerno drveči vlak" in "avto, ki vozi vzporedno s tirom ... ", smo se 17 po s ta v i li v opa zova lni si st em, kje r površj e Zem lje miru je . Pove zav a med i s ti mi k oli čin am i v ra zli čnih opazo va l ni h s i s te - mi h je od vis na od med seboj nega gi ba nj a opaz ov al cev. Spet vz e - mim o za pr imer opaz ova l na s is t ema potn ik a v vl a ku i n prometni- ka , ki opazuje ta hit r ost avtomob i l a . Vzemimo, da vo zi vla k s hi t r os t j o 100 km/ h glede na pro me t ni ka. Medsebojna hitrost ob e h opazov a lcev j e torej 100 km/h . Pro metnik i zm er i hit rost av tomob i la , ki voz i vzpo re d no z v l a kom in dob i re z ulta t 120 km /h. Za nj je avt o za 20 km/h hi t r ejš i od vla ka , s e pr avi , v e ni ur i bi pr iš e l avt o 20 km d l j e ko t vlak, če meri mo čas od t renu tka , ko s ta oba na i s tem mes t u . Ko l ikšno hit r os t av t a i z - me r i tedaj pot nik v vlak u? Le-ta vi d i , da se je po eni ur i vož nj e avto odda lj i l od njega za 20 km, tor ej i ma hi trost 20 km/ h . Hitros t av ta v opaz ova nem s is temu potn ika je to r e j e na ka ra z l i ki med hit r ostma av t a in v l a ka , kot ju i zmeri pr o- metnik . Bolj s pl oš no ugo tovim o, da je hitr ost v prve m opazo - va l nem s is t emu enak a r azl i ki med hit r ost j o v dru gem opa zova l - nem s i s temu i n med sebojno hi tro stjo s i s t emov. Do pod obnih za - ključkov pr ide mo t udi za druge ko lič i n e , ki jih mer i mo v raz - li č nih s is t em i h . Pri opi s ovanj u gi ba nja si vedno i z be r emo t a k opa zoval ni s i s te~ v ka t er em j e opis na j pr e pr os t e j ši . I z bor si st em a je to rej od ~ vi s e n od pojava, ki ga opa zu j emo in od nači na opazov an j a . Oglejmo s i opa zo va l na s istema, ki s ta v r ab i pri op isova nju jedr skih r e a k c i j. Pr vi sist em je lab o r a t orij s k i opazoval ni s i - s t em. Ko ord inatni kr iž je pr i trje n v pr ostoru, kj er de l amo po- s kus e , s e pr a vi nekje v labor atori ju. S cu r kom posp ešen ih de l- cev obstre lj uj em o tar č o, ki v t em si stemu mi ruje . Reak cijske produ kt e, d el ce, ki na st a ne j o ob tem obstrelj ev a nju, zaz na va mo z de tektor j i, ki j ih namestimo okrog t a rče . Eks pe r i me ntal c i t ore j naj bol j pr e pr osto pokažejo r e zul tat e svoj i h merjen j v l a bor at orij s kem opa zova l nem si stemu . Dru go s ta l išč e imajo t is t i fi z i ki, ki sku š a jo te or eti čn o poja - s ni t i eks pe r i me nt a l ne re zu lt at e . Ti i ma j o raje t e ži ščni opaz o- va lni s is t em. V t em s is te mu mir uje teži šč e projek t i l a in t ar č- 1 8 ne ga j edra. Zato se gibljeta v tem sistemu projektil in tarčno jedro drugo proti drugemu. Zaka j je t ežiščni s i s tem bol j pri kladen od laboratorijskega, če kaj r a čuna mo ? Tud i v mi kr os vetu atom s kih jeder i n osnovnih delcev velja zakon o ohrani tv i giba ~n e k o ~ ičin e . To pomeni , da tudi te žišče delcev, ki nastan ejo pri trku, sovpada s težiščem pro j e kt i l a i n tar če. Namest o podat kov o legi vsakega delca (labo rato r ijs ki s istem ) s ha jamo t ukaj le s podat ki o medseboj- ni h le gah del ce v . Za primer s i oglejmo tr k enakih trdih pro žnih krogel. Računi, ki jih bomo naredili , bodo zelo preprosti. Kljub temu bomo vi- deli, da bo opi s tr ka v težiš čnem opazoval nem sistemu prepro- s tej ši kot v l a bor a t or i j sk em. Najpre j s i oglejmo, ka ko opišemo središčni trk dveh takih kro- gel v laboratorijskem opazoval nem sistemu. Sprva tarčna krogla miruj e, pro je ktil pa drvi pr oti njej s hitrostjo Vo (S1. 1). Po tr ku ima pro jektil hitrost Vj , tarča pa hitrost V 2 . Ker med t rk om na krogli ne delujejo zunanje sile, ost ane konstantna s kupna gi balna količina krogel .* To zapišemo z enačbo ( 1) Iz ena čbe i z r a č un a mo hitros t v2 in uvidimo, da sta spremembi hi trosti krogel pri tr ku nasprotno enaki: tarča se pospeši, projektil pa zav re: ** (2 ) Ker je tr k krogel idealno prožen, ostane nespremenjena skup na k inet i čna energ i ja kro gel: mvt/2 + mV~/ 2 = mVb/ 2 (3 ) Od tod dobimo za hitrost krogel po trku še en o enačbo vt + v~ ( 4 ) * Gibal no kol ičino imenujemo produkt iz mase in hi tros t i telesa: G = mv. ** Sprememba h i tros t i ta rče je V 2 - O = V 2. sprememba hit rost i proj ekt ila pa je V j - Vo 19 Iz enačbe (2) izračunamo v I ' izraz kvadriramo: vi = vti - 2VOV2 + V ~ in vstavimo v enačbo (4), pa dobimo: V ~ = vOv2 (5 ) To preprosto kvadratno enačbo lahko na obeh straneh krajšamo z v2 ' saj vemo, da hitrost tarčne krogle po trku ni enaka nič. Dobimo torej: V2 = Vo (6 ) Hitrost tarče po trku je enaka začetni hitrosti projektila; hitrost projektila po trku mora biti torej nič . O tem se lahko preprlcaš tudi, če v enačbo (2) ali ( 3 ) vstaviš za v 2 rezultat iz enačbe (5). Hitrosti tarče in projektila se torej zamenjata. Kako opišemo trk v težiščnem sistemu? Na Sl. 1 vidimo razmere v la borator ijskem sistemu. Težišče krogel se gib lje v i s t o smer kot projektil vendar s polov ično hitrostjo. Težišče je namreč v poljubnem trenutku v razpolovišču daljice, ki veže središči krogel. Težiščni opazovalec se vozi na težišč u . Ker je medsebojna hitrost težiščnega in laboratorijskega opazoval- ca v o/ 2 , je hitrost projektila v težiščnem sistemu po prejš- njem enaka V o - v o/ 2 = v o/ 2 , hitrost tarče pa O - v o/ 2 = - v o/Z Kr ogl i se gibljeta s hitrostjo vo / 2 v nasprotnih smereh. Skup- na gibalna količina je torej O. Tudi po trku morata imeti krogli po velikosti enaki hitrosti, saj ostane gibalna količi­ na nespremenjena. Ker se ne spremeni ki neti čna energija, mora- ta biti hitrosti po t r ku enaki hitrostrna pred trkom (zapiši enačbo za kinetično energijo in se o tem prepričaj). Krogli pri trku le zamenjata hitrosti (Sl. 2b). To je isti zaključek, kot pri opazovanju v laboratorijskem sistemu, do njega pa smo prišli bolj preprosto . Za konec si oglejmo e nako mer no s e vrte či opazovalni sistem. V tem sistemu ne bomo opazovali jedrskih reakcij a li trkov - slut imo, da bi si brez potrebe nakopali težave . Sistem pa je ze lo pripraven za opazovanje krožnega gibanja. Oglejmo si ena - komerno kroženje kamna, privezanega na vrvici. Opazova lec naj 20 projektil tarča 51 i ka ) : Enaki prožni krogl i pred t r kom , kot j u vidi opazovalec v labora- t orijskem opa zova lnem sistemu . Težišče krogel je označeno s T. Na t ežišču sedt teži ščni opazovalec . 51 i ka 2a: Krogl i pred trkom, ki ju v idi opazovalec v teži- ščnem sistemu. Laborato- rijski opazovalec se pe- lje na tarčn i krogl i . Slika 2b: Krogli v težiščnem si- stemu po trku . sedi na osi vrtenja in se vrti tako, da zanj kamen ves čas mi- ruje . V tem primeru je opazovalec v vrtečem se opazoval nem si- stemu. Ta sistem pa je bistveno drugačen od opazovalnih sistemov, ki smo jih omenili prej . V prejšnjih opazovalnih sistemih se je telo gibalo enakomerno in premo ali pa je mirovala, če je bila vsota sil drugih teles na to telo enaka nič. V vrtečem se opa- zovalnem sistemu pa izmer i opa zova l ec s ilo, s ka t e r o je napeta vrvica, ko vleče kamen . Kamen miruje kljub temu, da ni drugih sil . V prej opisanih sistemih bi se začel gibati enakomerno pospešeno v smeri pritezajoče vrvice. če bi vrvica popustila, bi se začel kamen v vrtečem se opazoval nem sistemu zamotano pospešeno gibati, kljub temu, da je prepuščen sam sebi in nanj ne deluje nobeno telo. 21 k a men vrvica os 51 ika 3a : Kamen v vrtečem se op - zova l nem s ist emu miru e . Nanj de lujeta dve s i l kate ri h vso ta je ena ka nič: sila vrvfce F in cent r i f uga l na sist~ms ka si l a F .c Slika 3b: Kame n s sl i ke 3a , k i ga v id i ine r cialn i opazova- lec . Kamen krožt okrog os i s h i t ros tj o v • za kroženje pa pos krg i sila vrvice F . Na os i j e na - risan op~zovalec v vrte- čem se opazoval nem siste - mu . Opazova lne s i s t eme , kjer se te l es a g ib ljejo pospešeno kl j ub temu , da nan je ne del uj e j o d r uga tel esa, imenu jemo posp ešen e a l i neine rcia Zne s isteme . Vajen i ne pos pe š e nih ( i ne r c i a l ni h) sistemov, i mamo v pospešenem s i s t emu o b č ute k, da de l uj ej o na nas i n na dr uga tele sa si l e , ne najdemo pa povzr o čit el ja. Ta ki m silam pr a v i mo sist ems ke si - Ze . Sistemsk i s i l i v v rt e č e m se opa zoval nem s i s t emu pravimo cent r i fug aZn a sila (g l ej s liko 3a ) . Zelo znan prim er posp eš ene ga op a zova l ne ga s is te ma j e tudi s i - s t em potnika v zav irajočem vozilu . Lahko re čemo , da s o va rno- s tni pa s ovi zato , da klju bujej o s is t emsk i s il i , ki na s s kuš a posp ešiti v sprednji del voz ila . St ro go vze to opazoval ni s is tem pot nika v enakomerno vozečem vl a ku ni iner cialen, ker va gon ves č a s pr eme t a va za radi neide - 22 alne prose. Tudi sistea, opazovalca ob progi n i r t r oga fnercia- len - pr fpe t 9e na povrgje teml je , kf se v r t l okrog svoge os i . Sistemske s51e v t eh opazevalnih s is temih pa so taka maghne, &a j i h reEinoma lahko zanemrr$mo. Se posebej velja t o a& s f l @ tarad t v r t en j a Zeml j e . Poglejmo Se. kako razlaga krotenje opazovalec v nepospegenam oparavalnem sfsteau, v kateren s e tamen g i b l j a pa krofnfci . Na kamen noaa ves Ees delovatf zunanja s i l a . Ee b i t a s i l a popu- s t i l a , b i se zaEel kamen g i b a t i preao. S i l o oskrbi vrvjca, n8 b a t e r o j e prtvezan kamen. Bpazovalet v insrcialnern ststemu to- r e j n i E ne ve o c en t r i fuga ln j s t14 - zan9 t e s i t e n i (gfeJ slf ka 3 b ) . R a k ~ pa v f d i aparovalec v nepospeSenem opetovalnes s i s t enu ra- v f ~ a j o t e ~ o z i l b i n s tv&r4 v njem? SkaSaj sam n a j t i adgovorl