26  
 Izvirni znanstveni članek 
TEHNIKA –  
upravljanje proizvodnih 
sistemov   
Datum prejema:  
5.december 2016 
ANALI PAZU 
7/ 2017/ 1-2: 26-34  
www.anali-pazu.si 
 
Upravljanje proizvodnega sistema z 
zakasnitvami v proizvodnji s pomočjo 
Lambertovih funkcij 
Control of production system with production 
delays by means of Lambert functions     
Rudolf Pušenjak
1,*
, Maks Oblak 
1 
Fakulteta za industrijski inženiring Novo mesto/Šegova ulica 12, SI-8000 Novo mesto 
   
*
Avtor za korespondenco: rudolf.pusenjak@fini-unm.si 
 
Povzetek: Članek  obravnava upravljanje proizvodnega procesa z zakasnitvami v 
proizvodnji. Namen upravljanja proizvodnega sistema je optimiranje količine proizvodnje tako, da 
zmanjšamo proizvodne stroške v izbranem časovnem obdobju na minimum. Upravljanje je 
prikazano v enostavnem proizvodnem sistemu z zakasnitvami, v katerem poteka neprekinjena 
proizvodnja posameznega izdelka. Za doseganje optimalne proizvodnje  so v prispevku 
uporabljene Lambertove funkcije, s katerimi omogočimo tvorbo analitičnih rešitev linearne 
diferencialne enačbe z zakasnitvami, ki opisuje proizvodni proces. V članku je raziskana 
stabilnost upravljanja proizvodnega sistema z določitvijo stabilnostne meje v analitični obliki. Pri 
tem je ugotovljeno, da zakasnitve proizvodnje povzročajo nihajoči potek dejanskih zalog  v 
odvisnosti od časa, pri čemer z upravljanjem proizvodnje ta nihanja uspešno zadušimo, v kolikor 
se časovna zakasnitev in stopnja načrtovane proizvodnje na osnovi informacije o pogrešku 
regulacije nahajata v stabilnem področju. Dobljeni analitični rezultati so primerjani z numerično 
rešitvijo po metodi Runge-Kutta v programskem okolju Mathematica, pri čemer je ugotovljeno 
skoraj popolno ujemanje. 
Ključne besede: Lambertove funkcije; proizvodni sistem z zakasnitvijo; zmanjševanje 
proizvodnih stroškov; diferencialna enačba proizvodnega sistema z zakasnitvijo; stabilnostna 
meja. 
Abstract: The article presents the control of production system with production delay. The 
objective of the control of the production system  is the optimization of the quantity of production  
by minimizing production costs in the selected time period. The production control is presented in 
a simple production system with delay, where the production of a single product is continuously 
performed. For achieving the optimal production, the Lambert functions are used in the article, 
which enable construction of analytical solutions of delayed differential equation governing the 
production process. In the article, the stability of the control of production system is investigated,  
where the stability bound is derived in the analytical form. It is found that production delay causes 
an oscillatory stock response, which can be successfully quenched by controlling production, 
when the time delay and the rate of the planned production, which is connected to the information 
about the control error, are in the stable area.  The obtained analytical results are compared with 
numerical solutions, obtained by Runge-Kutta method in the programming environment 
Mathematica, where a perfect  matching is found. 
Keywords: Lambert functions; production system with delay; minimization of production costs; 
differential equation of production system with delay; stability bound. 

UPRAVLJANJE PROIZVODNEGA SISTEMA Z ZAKASNITVAMI V PROIZVODNJI S POMOČJO LAMBERTOVIH FUNKCIJ 
 27 
1. Uvod 
V pričujočem članku obravnavamo proizvodni 
proces, v katerem je časovna zakasnitev proizvodnje 
inherentna lastnost. Časovno zakasnitev proizvodnje 
bomo označili s T, s čemer je mišljen čas, ki ga zahteva 
proizvodnja posameznega izdelka. Zakasnitve se 
pojavljajo tudi v mnogih fizikalnih in tehniških 
sistemih, na primer pri kemijskih reakcijah, pri 
upravljanju nuklearnih reaktorjev, kot transportne 
zakasnitve v procesih zgorevanja, pri upravljanju 
robotov in manipulatorjev, itd. Zakasnitve v 
proizvodnem procesu so vzrok številnih pojavov, ki jih 
v procesih brez zakasnitev ne pričakujemo. Zaradi tega 
moramo zakasnitve v proizvodnji nujno upoštevati, kar 
v splošnem vodi na reševanje sistemov diferencialnih 
enačb z zakasnitvami (DEZ). Sistemi DEZ so lahko 
linearni (LDEZ) ali nelinearni (NDEZ). V primeru 
nelinearnih sistemov predstavlja veliko prednost, če 
lahko te sisteme lineariziramo in uporabimo metode, 
podobne reševanju LDEZ. Nelinearne sisteme DEZ 
lahko rešujemo numerično, na primer z metodo Runge-
Kutta, vendar se moramo v tem primeru odpovedati 
izvajanju splošno veljavnih sklepov. Numerično 
reševanje z metodo Runge-Kutta bomo uporabili tudi v 
tem članku z namenom preverjanja analitično dobljenih 
rešitev. Ker numerične rešitve veljajo le pri dani izbiri 
numeričnih vrednosti sistemskih parametrov, ni 
presenetljivo, da se iz vidika splošnosti v zadnjih dveh 
desetletjih intenzivno razvijajo analitične metode 
reševanja LDEZ, ki omogočajo sistematično raziskavo 
lastnosti sistemov z zakasnitvami. 
Med analitičnimi metodami reševanja LDEZ se je 
uveljavila metoda, v kateri rešitev sistema LDEZ 
poiščemo v obliki linearne kombinacije Lambertovih 
načinov nihanja [1], izraženimi s pomočjo Lambertovih 
funkcij [2],[3]. Metodo bomo uporabili v tem članku pri 
upravljanju proizvodnega procesa z zakasnitvami v 
proizvodnji.  Med analitičnimi metodami je poleg 
uporabe Lambertovih funkcij znana tudi koračna 
metoda (angl. method of steps) [4], ki je omejeno 
uporabna, ker postajajo analitične rešitve z 
naraščajočim številom korakov težko izračunljive in 
čedalje bolj nepregledne ter klasična metoda 
Laplaceove transformacije [4]. Za reševanje LDEZ 
lahko alternativno uporabljamo tudi razne kombinacije 
analitično-numeričnih metod, za katere je značilno, da 
originalni problem zreducirajo na numerično reševanje 
(običajno) lažjega algebrajskega problema. Med te 
metode štejemo metodo najmanših kvadratov [4], 
uporabo Padejeve aproksimacije [5], homotopsko 
perturbacijsko metodo [6], Adomianovo 
dekompozicijsko metodo[7], prevedbo na nelinearni 
(transcendentni)  lastnovrednostni problem [8] ter 
prevedbe na ekvivalentne integralske enačbe z 
zakasnitvami [9].  
Namen članka je pokazati, da moramo zakasnitve 
upoštevati, saj lahko v nasprotnem primeru obravnavo 
posameznega sistema pretirano poenostavimo in 
dobimo rešitve, v katerih so pomembni, če ne celo 
najvažnejši pojavi spregledani. Razen tega, da lahko 
zaradi zakasnitev dobimo nihajoče zaloge z neugodnim 
vplivom na obseg variabilnih stroškov, bomo v članku 
analitično določili tudi mejo stabilnosti in s tem dobili 
kriterij, ki odloča o izvedljivosti optimalnega 
upravljanja proizvodnje v stabilnem področju. 
2. Matematični model upravljanja 
proizvodnega procesa z zakasnitvijo 
proizvodnje 
Kot smo omenili že v uvodu, je med analitičnimi 
metodami reševanja LDEZ posebej razvita metoda 
uporabe Lambertovih funkcij [1], ki jo bomo v tem 
članku uporabili pri upravljanju enostavnega 
proizvodnega sistema z zakasnitvami v proizvodnji. 
Predpostavimo, da v proizvodnem sistemu poteka 
proizvodnja enega samega izdelka, ki jo želimo 
upravljati tako, da optimiziramo količino proizvodnje 
izdelka. Izdelek se v proizvodni organizaciji proizvaja v 
skladu s standardnimi predpisi in nato skladišči, dokler 
se ne odpošlje kupcem na osnovi njihovih naročil. 
Izdelek se neprekinjeno proizvaja, upravljanje količine 
proizvodnje tega izdelka pa se izvaja tako, da se 
izdajajo nalogi za dnevno proizvodnjo (oziroma nalogi 
za proizvodnjo v neki drugi primerni časovni enoti). 
Namen upravljanja proizvodnega sistema je 
zmanjšanje proizvodnih stroškov v izbranem časovnem 
obdobju na minimum. Stroški proizvodnje, oziroma 
njihov variabilni del so odvisni od sprememb (variacij) 
količine proizvodnje in od zaloge dokončanih izdelkov. 
Proizvodni stroški za določeno število enot izdelka se 
povečajo, če se količina proizvodnje neprestano 
spreminja v primerjavi s stroški konstantne količine 
proizvodnje. Po drugi strani se povečujejo prevozni 
stroški, če se povečuje zaloga dokončanih izdelkov, 
zmanjšanje zalog dokončanih izdelkov pod določeno 
mejo pa povzroča zakasnitve pri izpolnjevanju naročil. 
Kot kriterij ocenjevanja upravljanja sistema si zato 
izberemo neko funkcijo sprememb količine proizvodnje 
in velikosti zalog dokončanih izdelkov. 
Blokovna shema upravljanja sistema, ki izhaja iz 
splošnega sistemskega pristopa, je  prikazana na  sliki 1. 
 
 

ANALI PAZU, 7/ 2017/1-2, str. 26-34                                                                                                Rudolf PUŠENJAK, Maks OBLAK 
 28 
Slika 1. Sistemski pristop k upravljanju proizvodnega 
procesa z zakasnitvijo proizvodnje. 
Kot vhodno veličino v sistem upravljanja na sliki 1 
si izberemo želeno količino zalog, ki jo smatramo za 
optimalno in jo označimo z θ
i
(t). Dejanska količina 
zalog dokončanih izdelkov predstavlja izhodno veličino 
sistema upravljanja in jo označimo z θ
o
(t). Dogovorimo 
se, da je dejanska zaloga dokončanih izdelkov lahko 
pozitivna ali negativna. Pri tem predstavlja negativna 
zaloga dokončanih izdelkov v resnici neizpolnjena 
oziroma zadržana naročila kupcev. Pojem "zaloga" torej 
pri upravljanju proizvodnega sistema interpretiramo kot 
"zalogo dokončanih izdelkov ali kot neizpolnjena 
(zadržana) naročila". Upravljanje količine proizvodnje 
temelji na primerjavi optimalne količine zalog θ
i
(t) z 
dejanskimi zalogami θ
o
(t), kar izrazimo s pomočjo 
(pozitivnega ali negativnega) odstopanja zalog ali 
pogreška ε(t): 
                             
 (1) 
Naročila kupcev na časovno enoto obravnavamo kot 
obremenitev proizvodnega procesa in jo označimo z θ
L
(t). Z θ
o
(0) je na sliki 6 sliki 1 označena začetna količina 
zalog dokončanih izdelkov v trenutku pričetka 
proizvodnje,  ki je praviloma enaka nič. 
Proizvodni sistem lahko povsem opišemo s pomočjo 
dveh dodatnih spremenljivk x(t) in y(t), kjer x(t) 
predstavlja stopnjo načrtovane nove proizvodnje izdelka 
v časovni enoti, y(t) pa dejansko stopnjo proizvodnje v 
časovni enoti. V ta namen predpostavimo, da 
proizvodna organizacija izdaja dnevne naloge o stopnji 
proizvodnje izdelka, pri čemer zaradi narave zveznega 
modela smatramo, da izdajanje nalogov o stopnji 
proizvodnje izdelka zvezno poteka. Če je pogrešek ε(t) 
pozitiven, mora vodstvo podjetja izdati dnevni nalog, da 
se načrtovana stopnja proizvodnje sorazmerno poveča 
za delež K
1
ε(t) in mu prišteti še delež K
2
θ
L
(t), s katerim 
upošteva nova naročila kupcev. Stopnjo načrtovane 
nove proizvodnje potemtakem  opišemo z odvisnostjo: 
                 
  (2) 
Ko je nalog o dnevni stopnji načrtovane proizvodnje 
izdan, preteče nekaj časa, preden se zahtevana količina 
izdelkov proizvede. Ta čas predstavlja zakasnitev T 
med izdajo naloga o dnevni stopnji načrtovane 
proizvodnje in njegovo realizacijo. Zakasnitev T se v 
splošnem lahko spreminja, vendar bomo zaradi 
enostavnosti vzeli, da je ves čas proizvodnega procesa 
konstantna. Dejanska stopnja proizvodnje v časovni 
enoti upošteva to zakasnitev in se s stopnjo načrtovane 
proizvodnje izraža v obliki: 
                                     
   (3) 
Stanje dejanskih zalog na skladišču θ
o
(t) predstavlja 
akumulirana dejanska proizvodnja izdelkov, zmanjšana 
za akumulirano količino naročil kupcev, kar izrazimo v 
matematični obliki z naslednjim  integralom:      
  
 (4) 
v katerem upoštevamo začetno stanje zalog  θ
o
(0) na 
skladišču v trenutku t=0. Na osnovi enačb (1)-(4) lahko 
sestavimo celotno blokovno shemo upravljanja 
proizvodnega procesa z zakasnitvijo proizvodnje, kjer 
vhodno-izhodne povezave med posameznimi vmesnimi 
spremenljivkami predstavimo s pomočjo prenosnih 
funkcij kot jih uporabljamo v regulacijski tehniki. 
Prenosni funkciji K
1
 in K
2
 pri tem ustrezata dvema 
proporcionalnima členoma, prenosna funkcija e
-Ts
 
pomeni Laplaceovo transformacijo zakasnilnega člena z 
zakasnitvijo T, prenosna funkcija 1/s Laplaceovo 
transformacijo integralnega člena, ki ustreza vhodno-
izhodni povezavi (4), s s pa je označena kompleksna 
spremenljivka v slikovni domeni Laplaceove 
transformacije. Blokovna shema upravljanja 
proizvodnega procesa z zakasnitvijo, ki je podan  z 
vhodno-izhodnimi povezavami (1)-(4), je prikazana na 
sliki 2. 
 
Slika 2. Blokovna shema zaprtozančnega upravljanja 
proizvodnega procesa z zakasnitvijo s prenosnimi funkcijami. 
Akumulacija zalog na skladišču v obliki integrala 
(4) je z vidika proizvodnega procesa nazorna, vendar 
predstavlja precejšnje težave v matematični obravnavi 
procesa, zato enačbo odvajamo na čas t: 
                           
+
-
 
i
K
1
y
e
-Ts
1
s
K
2

O

L
+
-
+
+
x

O
(0)
+
Tvorba zalog z 
upoštevanjem
zadržanih naročil
Dejanske
zaloge  O
+
-
Pogrešek
zalog

Optimalna 
količina 
zalog
 i
Odločitveno pravilo o
načrtovani proizvodnji 
na osnovi pogreška 
zalog
Načrtovana
proizvodnja
x
Dejanska
proizvodnja
y
Naročila
kupcev  L
+
-
+
+
Odločitveno pravilo o
načrtovani proizvodnji 
na osnovi novih naročil
Zakasnitev
proizvodnje
+
Začetne 
zaloge  O (0)
-
     
io
t t t    
     
12 L
x t K t K t  
    y t x t T 
       
0
0d
t
o o L
ty           



UPRAVLJANJE PROIZVODNEGA SISTEMA Z ZAKASNITVAMI V PROIZVODNJI S POMOČJO LAMBERTOVIH FUNKCIJ 
 29 
  
    (5) 
Z eliminacijo vmesnih spremenljivk ε(t), x(t) in y(t) 
iz sistema enačb (1), (2), (3) in (5) izpeljemo enačbo 
upravljanja proizvodnega procesa z zakasnitvami v 
obliki nehomogene linearne diferencialne enačbe z 
zakasnitvijo T (LDEZ): 
                                                                          
(6) 
kjer K
1
 pomeni stopnjo načrtovane proizvodnje na 
osnovi informacije o pogrešku ε(t), K
2
 pa stopnjo 
načrtovane proizvodnje na osnovi informacije o 
naročilih kupcev. V reševanju LDEZ (6) lahko brez 
škode za splošnost privzamemo, da je optimalna 
količina zalog θ
i
(t-T) na predhodnem časovnem 
intervalu [-T,0] enaka nič,  θ
i
(t-T)=0, saj v enačbi (6) 
nastopa aditivno.  S to poenostavitvijo dobimo LDEZ: 
                               
(7) 
ki jo bomo reševali v nadaljevanju, pri čemer je θ
L
(t) 
obremenitev sistema, ki je znana tako na časovnem 
intervalu [0,t), na katerem časovni potek dejanskih 
zalog izdelkov θ
o
(t) iščemo, kot tudi na predhodnem 
intervalu [-T,0] v obliki predpisane časovne funkcije θ
L
(t-T). 
3. Reševanje enačbe upravljanja proizvodnega 
procesa s pomočjo Lambertovih funkcij 
Ko rešujemo LDEZ (7), moramo podobno kot pri 
navadnih linearnih diferencialnih enačbah najprej rešiti 
pripadajočo homogeno diferencialno enačbo. V primeru 
upravljanja proizvodnega procesa, opisanem v 
predhodnem poglavju se homogena diferencialna 
enačba z zakasnitvijo prvega reda glasi: 
        
 (8) 
pri čemer je časovni potek dejanskih zalog θ
o
(t) na 
predhodnem intervalu [-T,0] predpisan kot znana 
funkcija θ
o
(t) = ɸ (t),  t ε [-T,0]. Iz obnašanja navadnih 
diferencialnih enačb prvega reda vemo, da lahko rešitev 
enačbe (8), kadar je zakasnitev T enaka nič, T=0, 
eksponencialno narašča ali pada. Seveda pa običajno ne 
pričakujemo, da more imeti  rešitev enačbe (8) pri 
zakasnitvah, ki so večje od nič, T>0, tudi oscilatorni 
značaj ali je celo nestabilna. Narava posamezne rešitve 
je močno odvisna od relacije med vrednostima 
parametrov K
1
 in T, prav tako pa tudi od predhodne 
funkcije ɸ (t). 
Kot nastavek za rešitev enačbe (8) privzamemo 
rešitev v obliki θ
o
(t) =Ce
st
. Z vstavljanjem v enačbo (8) 
dobimo nelinearno transcendentno karakteristično 
enačbo: 
                       (9) 
Težava pri reševanju LDEZ obstoji v tem, da 
potrebujemo analitično metodo, s katero je mogoče 
rešiti transcendentalno karakteristično enačbo. 
Z namenom, da rešimo enačbo (9), v nadaljevanju 
predstavljamo nov pristop, ki temelji na razredu 
posebnih funkcij W(s), imenovanih Lambertove 
funkcije. Po definiciji, ki jo je v [2] prvi predstavil sam 
Lambert leta 1758, kasneje pa tudi Euler v [3], se 
Lambertova funkcija imenuje vsaka funkcija, ki zadošča 
enačbi 
                                     (10) 
To definicijo lahko uporabimo za reševanje enačbe 
(9),  ki jo najprej prepišemo na obliko: 
                                      (11) 
in nato uporabimo definicijo Lambertove funkcije (10)  
nad argumentom  –K
1
T, s čemer dobimo: 
                (12) 
Enačbo (11) lahko sedaj zapišemo v obliki: 
         (13) 
ki velja le tedaj, če velja: 
                                         (14) 
Iz enačbe (14) sledi določilna enačba za izračun 
korenov karakteristične enačbe (9): 
                                        (15) 
kjer se posamezni koreni transcendentne karakteristične 
enačbe izražajo z Lambertovimi funkcijami. 
V najbolj splošni obliki je Lambertova funkcija 
kompleksna funkcija, ki ima neskončno mnogo vej, pri 
       
1 1 2
d
d
o
o i L L
K t T K t T K t T t
t

          
 
   
d
d
o
L
t
y t t
t

 
     
12
d
d
o
o L L
K t T K t T t
t

       
 
 
1
d
0, >0
d
o
o
t
K t T T
t

   
 
1
0
sT
F s se K   
 
  Ws
W s e s 
1
sT
sTe K T 
 
 
1
11
W KT
W K T e K T

  
 
 
1
1
W KT sT
sTe W K T e


 
1
sT W K T 
 
1
1
s W K T
T


ANALI PAZU, 7/ 2017/1-2, str. 26-34                                                                                                Rudolf PUŠENJAK, Maks OBLAK 
 30 
čemer posamezne veje Lambertove funkcije označimo z 
W
k
(s), kjer indeks k zavzame vrednosti k= -∞,…,-2,-
1,0,1,2,…,+∞. Na intervalu [-1/e,+∞) je definirana 
takoimenovana osnovna veja Lambertove funkcije z 
indeksom k=0, ki jo v skladu z dogovorom označimo z 
W
0
(s), na katerem zavzame le realne vrednosti. Osnovno 
vejo Lambertove funkcije izračunamo s pomočjo vrste: 
                             
 (16) 
(Caratheodory [10]). Izven intervala [-1/e,+∞) je 
Lambertova funkcija W
0
(s) kompleksna. Realne 
vrednosti na intervalu [-1/e,0) zavzame tudi veja W
-1
(s) 
z indeksom k=-1, zunaj tega intervala pa je tudi ta veja 
kompleksna. Vse ostale veje Lambertove funkcije W
k
(s), kjer indeks k zavzame vrednosti k=-∞,…,-2 oziroma 
k=1,2,…,+∞ so kompleksne na celotnem območju 
argumenta s in jih lahko izračunamo s pomočjo formule 
[10]: 
                                                                       (17) 
kjer ln
k
(s)=ln(s)+2πik označuje k-to logaritemsko vejo,  
in koeficienti C
lm
 pomenijo Stirlingova ciklična 
števila: 
   
 (18) 
Lambertove funkcije niso standardne funkcije in jih 
tudi s kalkulatorji, namenjenimi za znanstveno uporabo, 
ne moremo izračunati. Vendar so razvijalci programske 
opreme spoznali pomen Lambertovih funkcij na zelo 
različnih področjih, tako da simbolični programski 
sistemi kot so Maple, Matlab in Mathematica 
omogočajo izračun Lambertovih funkcij pri poljubnih 
vrednostih argumenta s. Še več, v vseh teh sistemih 
lahko izvedemo različne simbolične operacije z 
Lambertovimi funkcijami. V programskem sistemu 
Matlab Lambertovo funkcijo izračunamo pod imenom 
LambertW, v Mathematici pa pod imenom ProductLog
[k,s], kjer indeks k označuje vejo Lambertove funkcije, 
simbol s pa označuje njen argument. V Mathematici 
zlahka izračunamo in narišemo potek osnovne veje 
Lambertove funkcije W
0
(s) za realne vrednosti 
argumenta s na intervalu [-1/e,+∞)  kot tudi potek veje 
W
-1
(s) za realne vrednosti argumenta s na intervalu [-1/
e,0) z naslednjim programom: 
 
 
in ju prikažemo v diagramu na sliki 3: 
Slika 3. Potek realnih vej W
0
( s) in W
-1
( s) Lambertove 
funkcije. 
Iz zgornjega diagrama je razvidno, da osnovna veja 
Lambertove funkcije na celotnem intervalu -1/e ≤ s < 
+∞ izpolnjuje neenačbo -1 ≤ W
0
(s), veja W
-1
(s) pa 
neenačbo W
-1
(s) ≤ -1 na intervalu -1/e ≤ s < 0. 
Kot primer si oglejmo izračun prvih 31 korenov 
karakteristične enačbe (9) s podatki K
1
=T=1. Korene 
karakteristične enačbe izračunamo s pomočjo enačbe 
(15), ki se pri podatkih K
1
=T=1 skrči na enačbo 
s
k
=1×W
k
(-1)=W
k
(-1), kjer indeks k teče od -15 do +15.  
Lego prvih 31 karakterističnih korenov v Gaussovi 
ravnini  prikazuje slika 4. 
Slika 4. Lega korenov transcendentne karakteristične 
enačbe v Gaussovi ravnini 
Kot vidimo iz narisanega diagrama, nobeden izmed 
korenov W
k
(-1), k=-15,…,15 ni realen, vsi imajo poleg 
realnih tudi imaginarne dele. To je zaradi tega, ker je 
argument Lambertove funkcije -1 manjši od vrednosti -
1/e=-0.367879, ki označuje spodnjo mejo intervala, na 
katerem so definirane realne vrednosti Lambertovih 
       
     
   
01
ln ln
ln ln ln
ln
m
k
k k k lm
lm
lm
k
s
W s s s C
s



   
 
 
1
0
1
!
n
n
n
n
W s s
n




 
1 i
 
1
1
1 !
l
lm
lm
C
l m







UPRAVLJANJE PROIZVODNEGA SISTEMA Z ZAKASNITVAMI V PROIZVODNJI S POMOČJO LAMBERTOVIH FUNKCIJ 
 31 
funkcij W
0
 in W
-1
. Korena W
-1
(-1) in W
0
(-1) v zgornjem 
diagramu imata med vsemi prikazanimi koreni 
najmanjši imaginarni del in sta konjugirano 
kompleksna: W
-1
(-1) = -0.318132-1.33724i, W
0
(-1)=-
0.318132+1.33724i. Realna dela korenov W
-1
(-1) in W
0
(-1) z vrednostjo -0.318132 ležita v Gaussovi ravnini 
najbližje imaginarni osi. V primeru, da bi imeli 
karakteristična korena W
0
(·) in W
-1
(·) s pozitivnimi 
realnimi deli, bi sistem postal nestabilen. Mejo med 
stabilnim in nestabilnim območjem potemtakem 
določata karakteristična korena W
0
(·) in W
-1
(·), pri 
katerih je realni del enak nič, imaginarni del pa različen 
od nič. Kot je razvidno iz slike 3, prehaja veja W
0
(·) pri 
vrednosti argumenta s=0 skozi koordinatno izhodišče in 
ima vrednost  W
0
(0)=0. Ta vrednost ne prihaja v poštev 
za določevanje meje med stabilnostjo in nestabilnostjo, 
ker ne izpolnjuje pogoja, da mora biti ob realnem delu 
hkrati imaginarni del različen od nič. 
Na podlagi  enačbe (15) lahko v Mathematici s 
pomočjo ukaza FindRoot[Re[ProductLog[0,-KT]],
{ KT,1/E}] (kjer izpustimo indeks 1 v konstanti K
1
 
zaradi programskih zahtev!) najdemo vrednost K
1
T 
=π/2. Enačba K
1
T =π/2 je enačba hiperbole, ki določa 
mejo med stabilnim in nestabilnim območjem, če se 
parametra K
1
 in T spreminjata. Ta meja je določena na 
podlagi stabilnosti osnovnega korena karakteristične 
enačbe (15). Podobno lahko iščemo tudi pri veji W
-1
(·) 
takšno vrednost K
1
T, pri kateri je realni del Lambertove 
funkcije W
-1
(·) enak nič, imaginarni del pa različen od 
nič, če se nahajamo izven intervala [-1/e,0). V ta namen 
uporabimo ukaza FindRoot[Re[ProductLog[-1, - KT]],
{ KT, 1/E}], FindRoot[Re[ProductLog[-1, - KT]],{ KT, 
tol}], kjer je tol neko majhno pozitivno število. Oba 
ukaza vrneta isto vrednost K
1
T =π/2, ki smo jo dobili že 
pri veji W
0
(·). Vrednosti K
1
T pri drugih korenih enačbe 
(15), ki imajo realni del enak nič, imaginarni del pa od 
nič različen,  pa se vendarle razlikujejo od vrednosti π/2. 
Tako dobimo pri vejah W
-2
(·) in W
1
(·) vrednost K
1
T 
=7.85398, pri vejah W
-3
(·) in W
2 
(·) pa vrednost K
1
T 
=14.1372. Hiperbolične poteke pri prvih treh korenih 
enačbe (15) z vrednostmi indeksov k=0,1 in 2, na 
katerih imajo posamezni koreni realni del enak nič, 
imaginarni del pa različen od nič, prikazuje slika 5. 
Hiperbola, ki pripada veji W
0
(-K
1
T), predstavlja mejo 
stabilnosti sistema, ki je ostale hiperbole ne spreminjajo. 
Pod hiperbolo veje W
0
(-K
1
T), ki ima realni del enak nič, 
imaginarni del pa različen od nič, je stabilno območje, 
nad hiperbolo pa nestabilno območje. Iz diagrama na 
sliki 5 izhaja, da lahko pri fiksni vrednosti časovne 
zakasnitve T preidemo iz stabilnega območja v 
nestabilno območje le s povečevanjem parametra K
1
, 
podobno pa lahko pri fiksni vrednosti parametra K
1
 iz 
stabilnega v nestabilno območje preidemo le s 
povečevanjem zakasnitve T. Teh ugotovitev ne smemo 
kar tako posplošiti na dinamične sisteme višjega reda, 
kjer je določevanje stabilnostnih mej v splošnem bolj 
zapleteno. 
Slika 5. Stabilnostne meje posameznih vej Lambertove 
funkcije pri upravljanju proizvodnega procesa z 
zakasnitvijo. 
Splošno rešitev homogene enačbe (8) z izračunanimi 
koreni enačbe (15) lahko sedaj zapišemo v obliki: 
 
                            
(19) 
kjer so C
k
 keficienti, ki jih določimo s pomočjo 
predpisane predhodne funkcije na predhodnem intervalu 
[-T,0]. Funkcije 
                                          
 (20) 
imenujemo Lambertove načine nihanja, koeficiente C
k
 
pa Lambertovi koeficienti. V praksi v splošni rešitvi 
upoštevamo dovolj veliko število dominantnih 
Lambertovih načinov nihanja in zgornjo neskončno 
vsoto aproksimiramo z okrnjeno vsoto: 
                             
 (21) 
kjer limitira N v teoretičnem smislu proti neskončnosti, 
N→∞, indeks l pa moramo vzeti enak l = −(N+1) pri 
asimetričnem oštevilčenju vej Lambertove funkcije in l 
= −N pri simetričnem oštevilčenju, ker lahko le tako 
zagotovimo realno rešitev. Asimetrično oštevilčenje vej 
Lambertove funkcije moramo upoštevati v primeru, ko 
je argument Lambertove funkcije negativen, to je takrat, 
 
 
 
1
1 k
T
W KT t
o k k k
kk
t C e C t 

 

     
 
 
 
1
1 k
T
W KT t
k
te 
 


   
N
o k k
kl
t C t 

 

ANALI PAZU, 7/ 2017/1-2, str. 26-34                                                                                                Rudolf PUŠENJAK, Maks OBLAK 
 32 
ko je –K
1
T
 
< 0. Iz slike 3 je razvidno, da moramo pri 
negativnem argumentu razen osnovne veje W
0
(−K
1
T) v 
vsoti (21) upoštevati tudi vejo W
-1
(−K
1
T), pri 
pozitivnem argumentu − K
1
T > 0 pa samo vejo W
0
(−K
1
T). S tem je razlika v izbiri števca l pri 
asimetričnem oziroma simetričnem oštevilčenju 
pojasnjena. 
3.1 Določevanje koeficientov C
k
 v splošni rešitvi 
homogene enačbe 
V splošnem lahko v obliki enačbe (21) izrazimo 
kakršnokoli dano zvezno funkcijo. To pomeni, da lahko 
z izbiro Lambertovih koeficientov C
k
 in Lambertovimi 
načini nihanja ξ
k
(t) izrazimo tudi predhodno funkcijo, 
podano na predhodnem intervalu: 
 (22) 
Iz praktičnih razlogov smo tudi v tem primeru prisiljeni 
neskončno vsoto okrniti in jo zamenjati z vsoto: 
      
 (23) 
Podobno kot pri navadnih diferencialnih enačbah 
enačbo (23) uporabimo v obratnem smislu tako, da s 
pomočjo znanih vrednosti funkcije ɸ (t) določamo 
neznane Lambertove koeficiente C
k
. Teh koeficientov je 
2N+1 pri simetričnem in 2N+2 pri asimetričnem 
oštevilčenju vej Lambertove funkcije. V skladu s tem 
razdelimo celotni interval [−T,0] na M=2N enakih 
podintervalov pri simetričnem oziroma na M=2N+1 
enakih podintervalov pri asimetričnem oštevilčenju. S to 
delitvijo predhodno funkcijo ɸ (t) in Lambertove načine 
nihanja ξ
k
(t) " odtipamo" v časovnih trenutkih  
, pri čemer vsakemu 
"odtipku" ustreza enačba oblike: 
           
(24) 
Število enačb (24), ki jih na ta način tvorimo, je 
M+1, kar ustreza pri simetričnem oštevilčenju 2N+1 
koeficientom, pri asimetričnem oštevilčenju pa 2N+2 
koeficientom. Sistem enačb (24) je ugodno zapisati v 
matrični obliki: 
                                                   
 (25) 
Ob predpostavki, da obstaja inverzna matrika 
Lambertovih načinov nihanja Ξ
-1
, lahko izračunamo 
neznani vektor Lambertovih koeficientov z enačbo C= 
Ξ
-1
· Φ. Posamezni Lambertov koeficient C
k
 dobimo s 
skalarnim množenjem k-te vrstice matrike Ξ
-1
 z 
vektorjem Φ: 
         
(26) 
Rešitev (21) homogene LDEZ lahko s tem zapišemo 
v obliki: 
                                                                         (27)  
3.2 Tvorba popolne rešitve nehomogene LDEZ 
Povrnimo se sedaj k tvorbi popolne rešitve 
nehomogene diferencialne enačbe prvega reda z 
zakasnitvijo (7). Splošno rešitev nehomogene enačbe 
dobimo tako, da k rešitvi homogene diferencialne 
enačbe z zakasnitvijo, ki smo jo dobili v obliki enačbe 
(21), za računanje v praksi pa v obliki enačbe (27), 
prištejemo neko partikularno rešitev. Partikularno 
rešitev enačbe (7) iščemo v obliki integralske enačbe:
 
                                                                         (28) 
kjer je ψ(t, ζ) jedro integralske enačbe, bu( ζ) je v 
kompaktni obliki zapisana desna stran enačbe (7),  
pa so neznani koeficienti partikularne rešitve.  
Popolno rešitev nehomogene enačbe (7) z upoštevanjem 
dominantnih Lambertovih načinov nihanja potemtakem  
lahko z okrnjenima vsotama zapišemo v obliki: 
                                                                         (29) 
v kateri neznane koeficiente partikularne rešitve  
določimo s pomočjo Laplaceove transformacije in 
teorije ostankov v obliki: 
                             
 (30) 
 
 
   
, 0,1, ,
N
iT iT
kk
MM
kl
T C T i M 

      
 
 
 
 
 
1
1 11
lim lim Ξ Φ Ξ Φ
k
T
NN
W KT t
ok
kk NN
k l k l
t t e 
 


 

    
     
   
 
1
1
00
, d , 0
k
T
tt
W KT t
PP
ok
kl
t t bu d C e bu t

      
  


    
      , ,0
kk
k
t C t t T 

 
   
      , ,0
N
kk
kl
t C t t T 

   
2
, , , , ,0
T T T
M M M
T T T     
 Φ Ξ C
 
 
1
lim , , 1, ,
k
k N
C k l l N


    ΞΦ
P
k
C
 
     
 
11
11
0
d
kk
TT
t NN
W KT t W KT t
P
o k k
k l k l
t C e C e bu

  
      
   

  
 
1
1
1
1
W K T
k
P
k
KTe
C



P
k
C

UPRAVLJANJE PROIZVODNEGA SISTEMA Z ZAKASNITVAMI V PROIZVODNJI S POMOČJO LAMBERTOVIH FUNKCIJ 
 33 
4. Rezultati in diskusija 
Oglejmo si sedaj rešitev upravljanja proizvodnega 
sistema, v katerem upoštevamo zadržana naročila, to se 
pravi, da opišemo evolucijo dejanskih zalog θ
o
(t) z 
enačbo (7). Zaradi enostavnosti pri tem predpostavimo 
vrednosti K
1
=1 in K
2
=1 ter čas zakasnitve T=1, časovni 
potek naročil kupcev pa vzemimo v obliki stopničaste 
funkcije, kar pomeni, da so naročila za vse čase t>0 
konstantna. Naloga za programsko okolje Mathematica 
ne predstavlja nobenih težav, le funkcijo obremenitve 
sistema  b*u(t)=b*UnitStep[t] je potrebno v enačbi (29) 
zamenjati s funkcijo b
1
*u(t)+ b
2
*u(t−T)=b
1
*UnitStep[t] 
+b
2
*UnitStep[t-T], kjer je b
1
=−K
1
=−1 in b
2
=K
2
=1. Na 
sliki 6 je prikazana rešitev z upoštevanjem 2 vej 
Lambertove funkcije, na kateri pa kljub tako grobi 
aproksimaciji opazimo kar dobro ujemanje z numerično 
rešitvijo po metodi Runge-Kutta na celotnem intervalu 
[−T,10]. Odziv θ
o
(t), ki ustreza dejanskim zalogam kaže 
oscilatorni karakter z negativnimi in pozitivnimi 
polperiodami na intervalu [0,10], pri čemer negativne 
vrednosti pomenijo neizpolnjena naročila, pozitivne 
vrednosti pa v resnici ustrezajo stanju dejanskih zalog. 
Amplitude nihajev dejanskih zalog se na celotnem 
intervalu [0,10] postopoma zmanjšujejo in se na koncu 
ustalijo pri vrednosti nič, kar pomeni, da po daljšem 
obdobju proizvodnje odpravimo neizpolnjena naročila, 
hkrati pa se tudi stanje dejanskih zalog zmanjša na 
vrednost nič. Stacionarno vrednost dejanskih zalog 
lahko analitično izračunamo tako, da v enačbi (7) 
upoštevamo  in uporabljamo oznake 
. Enačba 
(7) preide s tem na obliko: 
                  
 (31) 
iz katere izračunamo stacionarno vrednost 
                   
 (32) 
in z njo potrdimo pričakovanja, ki izhajajo iz slike 6 ko 
limitira čas t→∞. 
 
 
 
Slika 6. Primerjava analitične rešitve upravljanja 
proizvodnega sistema θ
o
( t) z zadržanimi naročili z 
numerično rešitvijo po metodi Runge-Kutta za T=1, 
b
1
=−K
1
=−1, b
2
= K
2
=1  in N=0. 
Na sliki 7 je prikazana rešitev z 8 vejami 
Lambertove funkcije, oziroma z N=3. Iz slike lahko 
razberemo, da se rešitev, izračunana z uporabo 
Lambertove funkcije na celotnem intervalu [−T,10] 
skoraj popolnoma ujema z numerično rešitvijo po 
metodi Runge-Kutta. 
 
Slika 7. Primerjava analitične rešitve upravljanja 
proizvodnega sistema θ
o
( t) z zadržanimi naročili z 
numerično rešitvijo po metodi Runge-Kutta za T=1, 
b
1
=−K
1
=−1, b
2
= K
2
=1  in N=3. 
Iz diagrama na sliki 5 nedvomno izhaja, da se 
proizvodni sistem s časovno zakasnitvijo T=1 in stopnjo 
načrtovane proizvodnje na osnovi pogreška regulacije 
K
1
=1 nahaja v stabilnem področju, to je pod hiperbolo, 
ki označuje mejo stabilnosti veje W
0
(-K
1
T). Stabilno 
upravljanje proizvodnega procesa ima za posledico 
stacionarno vrednost pogreška regulacije, ki je v tem 
primeru enaka nič, .  
Toda če vrednost konstante K
1
 pri nespremenjeni 
vrednosti časovne zakasnitve T=1 povečamo na K
1
=2, 
se po diagramu na sliki 5 že nahajamo v nestabilnem 
d
lim 0
d
o
t t



    lim , lim 1
SS
o o L L
tt
t t T    
   
   
12
0
S S S
o L L
KK       
 
  2
1
1
1 1 1
1
0
L
S
S
K
o
K





  
   
lim lim 0
SS
io
tt
t   
 
  

ANALI PAZU, 7/ 2017/1-2, str. 26-34                                                                                                Rudolf PUŠENJAK, Maks OBLAK 
 34 
področju, kar praktično pomeni, da upravljanje 
proizvodnega procesa ne deluje več, oziroma se 
amplitude nihanja dejanskih zalog s časom neomejeno 
povečujejo. O tem se lahko prepričamo tudi z rešitvijo 
enačbe (7), ki jo prikazuje slika 8. Tudi v tem primeru 
kaže primerjava z numerično rešitvijo po metodi Runge-
Kutta skoraj popolno ujemanje. Rezultat je presenetljiv, 
saj nedvomno dokazuje, da so zakasnitve proizvodnje 
vzrok nestabilnosti sistema kljub temu, da naročila po 
predpostavki ne nihajo, temveč so ves čas konstantna! 
Slika 8. Primerjava nestabilne analitične rešitve 
upravljanja proizvodnega sistema θ
o
(t) z zadržanimi 
naročili z numerično rešitvijo po metodi Runge-Kutta za 
T=1, b
1
=−K
1
=−2, b
2
=K
2
=2  in N=3. 
5. Zaključki  
V članku je prikazana analitična metoda reševanja 
problema upravljanja proizvodnega sistema z 
zakasnitvami v proizvodnji. Pri tem je ugotovljeno, da 
zakasnitve proizvodnje povzročajo nihajoči potek 
dejanskih zalog  v odvisnosti od časa, pri čemer z 
upravljanjem proizvodnje ta nihanja uspešno zadušimo, 
v kolikor se časovna zakasnitev in stopnja načrtovane 
proizvodnje na osnovi informacije o pogrešku regulacije 
nahajata v stabilnem področju. V kolikor se ta dva 
parametra nahajata v nestabilnem področju, upravljanje 
proizvodnje ni stabilno, kar se odraža v neomejenem 
povečevanju amplitud nihanja dejanskih zalog  ne glede 
na predpostavljeno konstantno obremenitev sistema 
(konstanten nivo naročil). Meja stabilnosti je v članku 
analitično določena. 
Prikazana metoda je širše uporabna v tehniki, 
predvsem v sistemih avtomatske regulacije in v 
mehatronskih sistemih. Blokovna shema obravnavanega 
proizvodnega sistema ima številne analogije v tehničnih 
sistemih. Oba konstantna člena blokovne sheme na 
primer lahko ustrezata proporcionalnemu regulatorju, 
zakasnilni člen lahko ponazarja zakasnitve zaradi 
obdelave merskih podatkov, časa procesiranja v 
procesni enoti ali celo transportnih zakasnitev, 
integralni člen je v mehatronskih sistemih lahko 
hidravlični ali pnevmatski izvršni člen (aktuator), itd. Za 
dejansko uporabo v tehničnih sistemih pa je potrebna 
razširitev prikazane metode iz skalarnega na  vektorsko-
matrični primer. 
Literatura 
1. Asl, F.M., Ulsoy, A. G. Analysis of a System of 
Linear Delay Differential Equations. Journal of 
Dynamic Systems, Measurement, and Control. 
Transactions of the ASME, 2003, 125, 215-223.  
2. Lambert, J.H. Observationes  Vanes in Mathesin 
Puram. Acta Helvetica. Physico-mathematico-
anatomico-botanico-medica, 1758, 3, 128-168. 
3. Euler, L. Deformulis exponentialibus replicatis. 
Leonardo Euleri Opera Omnia, 1777, 1(15), 268-
297. 
4. Heffernan, J.M., Corless, R.M. Solving some delay 
differential equations with computer algebra. 
Mathematical Scientist, 2006,  31, 21-34. 
5. Vajta, M. On Pade approximations of dead-time. 
Internal Report, Dept. Of Mathematical Sciences, 
University of Twente, 2000. 
6. He, J.-H. Periodic solutions and bifurcations of 
delay-differential equations. Physics Letters A, 
2005, 347, 228-230. 
7. Evans, D.J., Raslan, K.R. The Adomian 
Decomposition Method for Solving Delay 
Differential Equation. Intern. J.  of Comp. Math., 
2005, 82(1), 49-54. 
8. Singh, K. V., Ram,Y.M. Transcendental eigenvalue 
problem and its applications. AIAA Journal, 2002, 
40, 1402-1407. 
9. Brunner H. Iterated Collocation Methods for 
Volterra Integral Equations with Delay Arguments. 
Mathematics of Computation, 1996, 62(206), 581-
599. 
10. Caratheodory, C. Theory of Functions of a 
Complex Variable; Chelsea, New Y ork, 1954.