-
TRI 
IZ 
T 
.... 
Sandi Berk, Miran Janežič 
FGG-Oddelek za geodezijo, Ljubljana 
P1ispelo za objavo: 1995-09-14 
Pripravljeno za objavo: 1995-11-23 
Izvleček 
1 Z 
V članku je predstavljen računalniški program TRIM, ki je 
·namenjen izravnavi triangulacijskih mrež z redukcijo 
opazovanj na Besselov elipsoid ter prehodu v 
Gauss-Kruege,jevo projekcijsko ravnino. Omogoča tudi 
iskanje grobih napak v mreži z uporabo statistične analize. 
Rezultat je poročilo o izravnavi ter skica mreže z elipsami 
napak na novih točkah. 
Ključne besede: groba napaka, izravnava, opazovanje, 
računalniški program TRIM, statistična analiza, 
triangulacijska mreža 
Abstract 
In the article the TRIM computer program is presented, 
which is intended far adjustment of triangulation networks 
with reduction of observations to the Bessel ellipsoid and 
transition to the Gauss-Krneger projection plane. It is also 
enabled to find gross errors in networks using statistical 
analysis. The result is a report of adjustment and a sketch of 
a network with ellipses of errors far new points. 
Keywords: adjustment, gross error, observation, statistical 
analysis, triangulation network, TRIM computer program 
IZRAVNAVA TRIANGULACIJSKIH MREŽ 
• UDK (UDC) 528.33:528.14:681.3.06 
z 
v 
MREZ 
bliko Zemlje najbolje opiše telo, ki ga imenujemo geoid. Ker je ničelna nivojska 
ploskev, ki ga omejuje, zelo kompleksna, jo moramo aproksimirati z neko 
matematično obvladljivo ploskvijo. V Sloveniji kot referenčno ploskev uporabljamo 
dvoosni (rotacijski) Besselov elipsoid s parametroma: 
a == 6377397,15500 m (velika polos) in 
b = 6356078,96325 m (mala polos). 
Elementa a in b določata obliko in velikost rotacijskega elipsoida. Izvedeni elementi, 
ki jih bomo rabili v nadaljevanju, so: 
e ....... prva ekscentričnost meridianske elipse 
e' ...... druga ekscentričnost meridianske elipse 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
, 
M(IJ.•··· radij ukrivljenosti meridiana na dani geografski širini 
N(jl .... radij ukrivljenosti prvega vertikala na dani geografski širini 
...... radij ukrivljenosti elipsoida na dani geografski širini in v danem azimutu 
R(jl .... srednji radij ukrivljenosti vseh normalnih presekoy na dani geografski širini 
<p ....... geodetska ( elipsoidna) širina točke in 
"A .•.•.•• geodetska (elipsoidna) dolžina točke. 
Enačbe za te količine so v najnatančnejši obliki vzete iz literature (Barčic, 1976). 
Idealno postavljeni instrument na neki točki realizira tako imenovani horizontski 
(lokalni astronomski) koordinatni sistem. Vsa opazovanja se torej nanašajo na geoid. 
Ker so za redukcijo opazovanj z geoida na elipsoid potrebna astronomska ali 
gravimetrična opazovanja, to redukcijo v našem primeru zanemarimo. 
ormala na stojišču in vizirana točka tvorita ravnino normalnega preseka. Prva 
stvar, ki jo moramo storiti, je redukcija smeri zaradi višine cilja (azimutalna 
redukcija), saj projekcija vizirane točke na elipsoid ne leži na ravnini normalnega 
preseka, pri dolžinskih opazovanjih pa iz poševno merjene dolžine izračunamo 
dolžino normalnega preseka. 
Azimutalna redukcija (Čubranic, 1972) 
E = 
H · e'2 · cos2 <p1 · sin (2 · A) 
2 · M(jll 
Reducirana smer je a' = A + E, kjer je A orientirana smer, <p1 je geografska širina 
stojišča, H pa elipsoidna višina vizirane točke. 
Redukcija poševno merjene dolžine· na elipsoid (Jenko, 1994) 
✓ D2 - (H2 - H1)2 
r = 2 · Ra. · arcsin 
4 
. - D 
(Ra. + H1) · (Ra. + H2) 
Reducirana razdalja-je S'= D + r, kjer je D poševno merjena dolžina. 
elipsoidni višini krajišč stranice. 
in H2 sta 
ezultati obeh redukcij se torej nanašajo na normalne preseke. Normalni presek 
je krivulja, ki jo dobimo s presekom elipsoida in ravnine, ki vsebuje normalo na 
opazovališču ter vizirano točko. Ker normalni preseki trikotnika ne zapirajo enolično, 
le-ti niso ustrezni za računanje na elipsoidu. Merjene kote reduciramo tako, da je 
vsota kotov v trikotniku enaka teoretični vrednosti 180° + i::, kjer je E elipsoidni 
eksces. Stranica trikotnika, ki ustreza temu pogoju, je hkrati najkrajša spojnica dveh 
točk na elipsoidu in se imenuje geodetska linija. Opravka imamo torej z odklonom 
geodetske linije od normalnega preseka pri kotnih meritvah in z razliko dolžine 
geodetske linije in normalnega preseka pri dolžinskih meritvah. 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
I 
1 
1 • 1 
1 
i 
1 
i 
! 
1 
i 
i 
1 
1 
! 
1 
1 
1 
! 
1 
! 
f 
Redukcija smeri z normalnega preseka na geodetsko linijo (Čubranič, 1972) 
S2 • e'2 • cos2 <pm · sin (2 · a') 
8a = --------z------
12 · N"fJm 
Azimut geodetske linije je a = a' + 8a, kjer je a' azimut normalnega 
preseka, <pm je srednja geografska širina, S pa dolžina geodetske linije dane 
stranice. Redukcija smeri na geodetsko linijo je v večini primerov 
zanemarljiva tudi v mrežah prvega reda. 
Redukcija dolžine z normalnega preseka na geodetsko linijo (Čubranic, 1972) 
S'5 . e'4 • cos4 <pm · sin2 (2 · a') 
8s = z 
. 360 · N"fJm 
Dolžina geodetske linije je S = S' - 8s, kjer je S' dolžina normalnega 
preseka. a je azimut geodetske linije dane stranice. Ta redukcija je 
zanemarljiva v vseh klasičnih triangulacijskih mrežah. S konformno preslikavo 
(Gauss-Kruegerjeva projekcija) geodetske linije z elipsoida na ravnino se ta 
preslika kot krivulja. Vsota kotov trikotnika v projekciji je zaradi 
konformnosti enaka kot na elipsoidu. Če hočemo izravnavo mreže izvršiti v 
projekciji (na ravnini), moramo preiti iz azimuta geodetske linije a na 
ravninski smerni kot v in iz dolžine geodetske linije S na dolžino tetive 
geodetske linije v projekciji d. Določiti moramo torej smerno in dolžinsko 
redukcijo. 
Smerna redukcija (Borčič, 1976) 
11 x · c y1 + 2 · y "' ) e'2 · sin (2 · <.fJm) · ( )'1 ( /1 x 2 + /1 y · .Y1 ) + 2 /1 y · y ! ) +---------------------~ (O = 
6 · R3 
~m 
Geodetski smerni kot je 0 = v + w, kjer je v ravninski smerni kot. Vrednost smerne 
redukcije narašča z oddaljevanjem od srednjega meridiana cone. 
Dolžinska redukcija (Borčič, 1976) 
d-(yf+Y1·Y2+.Y;) d•(y;+y~·Y2+Y7•y;+y1·.Y;+y1) 
Ud= + 
6 · R 
2 
~m 
Dolžina geodetske linije je S = d + Ud, kjer je d razdalja v projekciji ( dolžina tetive 
geodetske linije v ravnini). Tudi vrednost dolžinske redukcije narašča z 
oddaljevanjem od srednjega meridiana cone. Z izvedbo obeh redukcij lahko torej 
izravnavo prenesemo iz elipsoida na ravnino (v projekcijo) in za koeficiente enačb 
popravkov uporabimo običajne enačbe (Jenko, 1994). 
a izravnavo mreže uporabimo tako imenovani Gauss-Markov model (Caspary, 
1988). Predpostavimo, da so opazovanja porazdeljena normalno 
~ N ( A · x, cr ~ · P-1 ). 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
l 
Matematično upanje za vektor popravkov je E(v)=0. Izračunamo vektor 
neznank (popravkov približnih vrednosti neznank) in vektor popravkov 
opazovanj 
f2 = {AT . p . A)-1 . AT . p . 1, 
/\ 
v=A·x-1. 
Sledi ocena natančnosti izračunanih vrednosti neznank in a posteriori ocena 
natančnosti opazovanj. Ocenimo standardni odklon enote uteži 
- _ fvl . p . v 
So - \/ .:. ' n - u 
kjer je n število opazovanj, u pa število neznank v mreži. Vektorja neznank 
in poP,ravkov sta porazdeljena normalno 
.f ~ N ( X, cr t · (AT · P · A) -l ), 
v ~ N ( O, cr ~ · (P-1 - A · (AT · P · A) -l . AT )). 
Disperzijo normalno porazdeljenega vektorja neznank predstavlja 
variančno-kovariančna matrika le-tega, iz nje pa dobimo elipse napak na 
novih točkah. Za oceno zanesljivosti mreže izvedemo globalni preizkus modela 
(Caspary, 1988). Postavimo ničelno domnevo · 
H0 : E(s~) = cr~. 
Domnevamo, da je model pravilen in popoln; porazdelitvena domneva ustreza 
realnosti. Tvorimo testno statistiko 
VT · p V 
T = -----
cr~ 
ki je ob pogoju, da velja ničelna domneva, porazdeljena po Pearsonovi (x2) 
verjetnostni porazdelitvi z n-u (število nadštevilnih opazovanj) prostostnimi 
stopnjami, torej 
T - x2 (n - u) 1 H 0• 
Porazdelitvena funkcija Pearsonove verjetnostne porazdelitve je (Jamnik, 1980) 
F 2 (x, n) 
X 
X 
~ 2; ~ (~) JO 
ti 
--1 
t2 
l 
-2 
· e · dt. 
Globalni preizkus modela nam da realno oceno zanesljivosti le pri dovolj 
dobri a priori oceni natančnosti opazovanj. Z globalnim preizkusom modela 
tudi ne moremo odkriti, kje so grobe napake, lahko le ugotovimo njihovo 
prisotnost .v mreži. Za samo iskanje grobih napak služi Popeova tau metoda 
(Caspary 1988). Z njo lahko ocenimo zanesljivost vsakega opazovanja posebej. 
Postavimo ničelno domnevo 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
H 0 : E(Vi) = O \f i E (1, 2 ... n]. 
Domnevamo torej, da opazovanje nima grobe napake; matematično upanje 
popravka opazovanja je O. Tvorimo testno statistiko 
Ivi\ 
Ti=--, 
Sv; 
ki jo imenujemo tudi standardizirani popravek i-tega opazovanja. Ob pogoju, 
da velja ničelna domneva, je testna statistika porazdeljena po Popeovi ( 't) 
verjetnostni porazdelitvi z n-u prostostnimi stopnjami 
T ~ 't (n - u) 1 H0• 
Porazdelitveno funkcijo Popeove verjetnostne porazdelitve izrazimo s 
porazdelitveno funkcijo Studentove (t) verjetnostne porazdelitve 
(✓ (f - 1) . x
2 
) F, (x, f) = F, 
2 
, f - 1 ; x E [O, "if), 
f-x 
porazdelitvena funkcija Studentove verjetnostne porazdelitve pa je (Jamnik, 
1980) 
F, (x, n) 
r{n+l) n+l 
:fT Š (1 + c.J- 2 · dt. ~-11) o n 
Preizkus vsebuje n individualnih preizkusov, ki so med seboj statistično 
odvisni. To odvisnost pa eliminiramo s korekcijo dobljenega tveganja (Caspary, 
1988): 
.«0 "" 1 - "✓ 1 - a. 
OPIS PROGRAMSKEGA PAKETA TRIM 
Programski paket TRIM tvorita dva ločena dela. Prvi del je napisan v objektno orientiranem programskem jeziku C++ in predstavlja računski del - torej 
izravnavo mreže, drugi - grafični del pa omogoča izris skice mreže z elipsami napak 
na novih točkah in je zasnovan kot aplikacija znotraj programskega paketa 
AutoCAD. Vhodni podatki za izravnavo (ki jih vnesemo v vhodne datoteke) so: 
• Gauss-Kruegerjeve koordinate ter nadmorske višine danih točk; rabimo 
modulirane koordinate (Baumgartnerjeva oblika) točk, ki so služile kot 
stojišča ali pa so bile le vizirane, 
• Gauss-Kruegerjeve koordinate (približne) ter nadmorske višine novih točk; 
rabimo modulirane koordinate točk, ki jih lahko približno (na km natančno) 
odčitamo s primerne karte, 
• opazovane smeri z a priori oceno natančnosti (standardni odklon opazovane 
smeri) in sicer sredine girusov po skupinah opazovanj, 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
1 
'1 
i 
i[ 
'i 
1 
o opazovane dolžine za priori oceno natančnosti (standardni odklon 
opazovane dolžine), in sicer poševno merjene dolžine, ki so popravljene za 
atmosferske vplive in vplive inštrumenta, 
o deformacija merila mreže, če ima mreža, v katero vklapljamo nove točke, 
deformirano merilo; gre za predvideno vrednost, ki je za dano območje 
določena z ekspertizami. 
Obdelava podatkov, prebranih z vhodnih datotek, se zači;ie z demodulacijo koordinat točk ter izvedbo opisanih redukcij opazovanj. Sledi del programa, ki 
predstavlja izravnavo opazovanj po metodi najmanjših kvadratov ter izračun 
definitivnih vrednosti neznank (Gauss0Markov model). Postopek je iterativen, ker 
funkcijske zveze med opazovanimi količinami in neznankami v triangulacijskih 
mrežah niso linearne; ei;iačbe popravkov opazovanj lineariziramo. Definitivne 
koordinate novih točk iz prve iteracije služijo kot približne koordinate za drugo 
iteracijo, ves ostali postopek (redukcije opazovanj, izračun koeficientov enačb 
popravkov ... ) pa se ponovi v vsaki iteraciji. Iterativni postopek je končan, ko so vsi 
popravki približnih vrednosti koordinatnih neznank manjši od 1 mm ali pa po deseti 
iteraciji (divergenca). Ko se iterativni del programa konča, razpolagamo z 
definitivnimi koordinatami novih točk ter definitivnimi vrednostmi orientacijskih 
kotov. Program izračuna še popravke opazovanj, vsoto kvadratov popravkov 
opazovanj, pomnoženih z ustreznimi utežmi (testna statistika za globalni preizkus 
modela; rezultat preizkusa je zanesljivost mreže iz a priori in a posteriori ocene 
natančnosti opazovanj), standardni odklon utežne enote ter variančno-kovariančno 
matriko neznank. S pomočjo slednje določi še varianci obeh koordinat ter njuno 
kovarianco za vse novo določene točke. Iz teh elementov določi obe polosi ter smerni 
kot velike polosi elipse napak. Na koncu izračuna še variančno-kovariančno matriko 
popravkov opazovanj ter standardizirane popravke opazovanj (testna statistika 
Popeove tau metode za iskanje grobih napak v mreži; rezultat preizkusa je 
zanesljivost posameznega opazovanja). 
a koncu program poišče najslabše opazovanje v mreži ter določi njegovo 
zanesljivost. Če je po izravnavi zanesljivost najslabšega opazovanja manjša od 
50%, ga izločimo (iz vhodne datoteke) in ponovno zaženemo program. Tako lahko 
postopoma izločamo slaba opazovanja (grobe napake). Po našem kriteriju je torej 
slabo opazovanje tisto, katerega verjetnost, da ima grobo napako, je večja od 50%. 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
Datoteka rezultatov izravnave (izsek): 
IZRAVNAVA KOMBINIRANE TRIANGULACIJSKE MREŽE 
TRIM verzija 2.0, (C) 1995 Sandi Berk 
Število kotnih opazovanj: 
K= 18 
Število dolžinskih opazovanj: 
D = 3 
Skupno število opazovanj: 
N =K+ D = 21 
Število koordinatnih neznank: 
C=6 
Število orientacijskih neznank: 
O= 5 
Skupno število neznank: 
U=C+O=ll 
Število nadštevilnih opazovanj: 
R=N-U=lO 
Definitivne vrednosti kotnih opazovanj: 
STO VIZ AZM_R R_SME POPR G_AZM SME_R 
374 747 -0.000000 131.393300 -0.000014 91.563258 -0.000008 
374 '736 -0.000002 149.385798 0.000020 109.555791 -0.000053 
374 735c 0.000000 230.525501 -0.000010 191.095464 -0.000098 
374 101 -0.000004 359.595896 0.000003 320.165872 0.000103 
D_O_K = 320.165973 
375 374 0.000002 0.000302 0.000018 13.450926 0.000243 
375 735c 0.000000 1.194401 -0.000027 15.044979 0.000155 
375 737 0.000000 28.131001 0.000027 41.581633 0.000129 
375 396 -0.000003 305.053097 -0.000018 318.503684 0.000086 
D_O_K= 13.450605 
734c 736 -0.000002 23.373798 -0.000007 334.361507 0.000173 
734c 747 0.000000 57.223801 0.000007 8.211524 0.000249 
D_O_K = 310.583716 
736 734c -0.000000 -0.000000 0.000011 154.361167 -0.000167 
736 737 0.000000 60.101301 0.000013 214.462470 -0.000139 
736 735c 0.000001 95.314801 -0.000024 250.075934 -0.000068 
D_O_K = 154.361156 
737 734c -0.000000 -0.000000 -0.000003 94.101236 -0.000012 
737 375 0.000006 127.480106 0.000008 221.581353 -0.000151 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
S_KOT s p 
91.563267 0.79 
109.555844 1.69 
191.095561 0.55 
320.165768 0.19 
13.450683 1.02 
15.044824 1.52 
41.581504 1.69 
318.503598 1.01 
334.361334 0.71 
8.211275 0.71 
154.361334 0.99 
214.462609 0.88 
250.080002 1.80 
94.101248 0.28 
221.581504 0.79 
737 735c -0.000002 207.345198 -0.000015 301.450422 0.000053 301.450369 
737 374 -0.000004 244.292996 0.000013 338.394248 0.000168 338.394081 
737 736 0.000003 300.361503 -0.000003 34.462739 0.000130 34.462609 
D_O_K = 94.101239 
Definitivne vrednosti dolžinskih opazovanj: 
STO VIZ NIC_R R_DOL POPR G_RAZ DOL_R N_RAZ 
734c 736 -8.441 14366.260 0.001 14366.106 -0.472 14366.578 
734c 737 -0.364 14479.799 0.008 14479.651 -0.405 14480.056 
736 737 -7.647 14517.868 0.002 14517.713 -0.354 14518.067 
D_M_M = -0.00_00108 
Definitivne koordinate novih točk: 
TOC y X G_DOL G_SIR 
-----------------------------------
734c 5554742.656 5084265.614 15.42201139 45.54025051 
736 5548581.781 5097242.552 15.37390020 46.01045382 
737 5540302.380 5085318.4 7 4 15.31104217 45.54402032 
Ocena natančnosti koordinat novih točk: 
TOC SY sx SK A B TH 
----------.----------------------------------------
734c 
736 
737 
0.0170 
0.0154 
0.0124 
0.0208 
0.0159 
- 0.0122 
Standardni odklon enote uteži: 
MO = 0.3316 
0.0190 
0.0156 
0.0123 
Zanesljivost mreže iz a priori in a posteriori ocene 
natančnosti opazovanj (globalni preizkus modela): 
Z= 99.97% 
Najslabše opazovanje je smer 736-735c. 
Njena zanesljivost 
Z= 76.72% 
Legenda: 
STO ................... oznaka stojišča 
VIZ ................... oznaka vizirane točke 
POPR ................ popravek opazovanja 
S_P .................... standardizirani popravek opazovanja 
0.0214 
0.0180 
0.0124 
0.0163 
0.0129 
0.0121 
AZM_R ............ azimutalna redukcija (ter redukcija na geodetsko linijo) 
21.3708 
-42.2510 
10.1255 
NIC_R .............. redukcija dolžine na ničelni nivo elipsoida (ter redukcija na geodetsko linijo) 
R_SME ............. opazovana smer reducirana na geodetsko linijo 
R_DOL ............. opazovana dolžina reducirana na geodetsko linijo 
G_AZM ............ geodetski azimut (smerni kot geodetske linije) 
G_RAZ ............. geodetska razdalja (dolžina geodetske linije) 
SME_R ............. smerna redukcija 
1.30 
0.83 
0.24 
S_P 
0.13 
0.71 
0.16 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
------
1 
1 
1 
DOL_R ............. dolžinska redukcija 
S_KOT .............. smerni kot (v projekciji) 
N _ RAZ ............. nemodulirana razdalja (v projekciji) 
D _O_ K ............. definitivni orientacijski kot 
D_M_M ............ deformacija merila mreže 
TOC .................. oznaka točke 
Y ........................ modulirana y-koordinata točke 
X ........................ modulirana X-koordinata točke 
H ........................ nadmorska višina točke 
G_DOL ............. geodetslca (elipsoidna) geografska dolžina točke 
G_SIR ............... geodetska (elipsoidna) geografska širina ločke 
SY ...................... standardni odklon y-koordinate točke 
SX ...................... standardni odklon X-koordinate točke 
SK ...................... standardni koordinatni odklon točke 
A ........................ velika polos elipse napak 
B ........................ mala polos elipse napak in 
TH ..................... smerni kot velike polosi elipse napak. 
Literatura: 
3% 
Zglo.vnico. (1) 
101 
Tolsti vrh (2) 
Skica mreže z elipsami napak: 
Barčic, B., Gauss-Kmegerova projekcija meridijanskih zona. Zagreb, Geodetski fakultet, 1976 
Caspary, W F., Concepts of Network and DefonnationAnalysis. Kensington, The University of 
New South Wales, 1988 
Čubranic, N., Viša geodezifa II dio. Zagreb, Tehnička knjiga, 1972 
Ferlan, M, Posredna izravnava geodetskih mrež. Študij ob nalogi. Ljubljana, FAGG, 1987 
Jamnik, R., Matematična statistika. Ljubljana, Državna založba Slovenije, 1980 
Jenko, M., Predavanja pri predmetu Temeljne mreže na FAGG, Ljubljana, 1994 
Recenzija: Tomaž Ambrožič 
dr. Bojan Stopar 
Geodetski vestnik 39 (1995) 4 
•