P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 26 (1998/1999) Številka 4 Strani 230-231
Milan Ambrožic:
PADANJE DVEH POVEZANIH KROGEL
Ključne besede: fizika, mahanika, prosti pad, zracni upor. Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1376-Ambrozic.pdf
© 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
PADANJE DVEH POVEZANIH KROGEL
V Preseku je bilo že govora o gibanju teles z zračnim uporom. Prebrali smo lahko tudi dokaz o protislovnosti trditve, da. težja telesa vedno padajo hitreje kot lažja. Ce bi to res veljalo, bi lahko prišli do protislovja takole: Ce spustimo posebej lažjo in težjo kroglo, težja pada hitreje. Potem ju zvežemo z dolgo vrvico in spustimo, tako da je lažja krogla višje. Zvezani krogli imata skupaj večjo maso kot vsaka posebej in bi morali padati še hitreje kot prej težja krogla. V resnici pa lažja krogla pri padanju zavira težjo in padata počasneje kot prosta težja krogla.
Ce spustimo samo eno kroglo, ta pada najprej pospešeno, potem pa se njena hitrost približa mejni vrednosti. Ta je določena z ravnovesjem dveh sil, in sicer teže ter zračnega upora. Upor Fu narašča s kvadratom hitrosti v krogle: Fu = \CuSpv2. Pri tem je Cu koeficient, upora, ki je odvisen od oblike telesa. Za kroglo je približno 0,4. Največji čelni presek krogle S glede na smer gibanja je enak ploščini glavnega kroga S — tvr2. Gostota zraka je p k 1,2 kg/m3. Mejno hitrost izračunamo iz enačbe Fg = Fu, Telo meti padanjem spremeni zračni tlak in gostoto v svoji bližini (npr. neposredno nad kroglo se tlak zmanjša). Naloga	Ftt
Imejmo dve enako veliki krogli, narejeni iz snovi z različnima gostotama. Ce ju spustimo posebej, pada lažja krogla, s hitrostjo fi, težja pa s hitrostjo v2 (potem, ko praktično dosežeta mejno hitrost). Lahko pa ju spnemo skupaj s tanko vrvico in ju spustimo. Kako izračunamo hitrost njunega padanja, če poznamo le hitrosti ijj in v2 ? Vrvica mora biti dovolj dolga, da med padanjem ena krogla ne spremeni zračnega tlaka in gostote okrog druge. Rešitev
Najprej izrazimo ravnovesni hitrosti za obe krogli, ko padata vsaka posebej:
mg = -CuSpv2 = Kv2 .
Koeficient K = ^CuSp je za obe krogli enak, saj sta enako veliki in enake oblike. Ce ima lažja krogla maso mi, težja pa maso 777.3, sta hitrosti v t =	in 1)% —
' "ms
Sedaj si oglejmo primer, ko sta. krogli speti z vrvico
(slika 1). Zgornjo (lažjo) kroglo označimo s £1, spodnjo gei.
m-2 g
Slika 1. Sile pri padanju spetih kro-
pa s /C2- Na vsako od njiju delujejo 3 sile: teža mg, zračni upor Fu in sila vrvice Fv. Upor je za obe krogli enak, prav tako sila vrvice. Napišimo enačbi za ravnovesje sil na obe krogli:
mig - Fu- Fv m2g = Fu + Fv.
Enačbi seštejmo: (mi + m2)p = 2Fu = 2Kv2, od koder Kvi2 + Kv22 = — 2Kv2. Iz tega sledi za hitrost
IV12 +V22
Hitrost pri skupnem padanju krogel je med vrednostma vi in V2.
Milan Ambrozič