MATEMATIKA
Pitagorov izrek
Aljoša Peperko in Janez Šter
-> Pitagorov izrek je eden najslavnejših rezultatov antične matematike in se glasi:
Izrek. Naj bo dan pravokotni trikotnik ABC in naj bo c dolžina njegove hipotenuze, a in b pa dolžini njegovih katet. Potem je ploščina kvadrata s stranico dolžine c enaka vsoti ploščine kvadrata s stranico dolžine a in ploščine kvadrata s stranico dolžine b. V matematičnih oznakah:
■ c2 = a2 + b2.
SLIKA 1.
Pitagorov izrek
Znanih je mnogo različnih dokazov Pitagorovega izreka, več kot sto izmed njih je zbranih na spletni strani [2]. Namen tega prispevka je predstaviti tri dokaze geometrijske narave. Ti dokazi sledijo iz aksiomov elementarne geometrije in za njih poznavanje algebrskih operačij, kot so seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje, ni potrebno. V vseh treh dokazih bomo brez škode za splošnost privzeli, da je b večje ali enako a (kot na sliki 1).
Dokaz 1. Kot kaže slika 2, v kvadrat s straničo dolžine c vrišemo štiri pravokotne trikotnike, skladne trikotniku ABC. Ker je vsota manjših dveh notranjih kotov trikotnika ABC pravi kot, se vrisani štirje trikotniki stikajo brez prekrivanja, kot nakazuje slika 2, oglišča vrisanih trikotnikov pa tvorijo nov manjši
5
SLIKA 3.
4
PRESEK 43 (2015/2016) 6	11
MATEMATIKA
Potrebno je torej premisliti, daje vsota ploščin vrisanih štirih skladnih trikotnikov in kvadrata DEFG enaka vsoti ploščin kvadratov, narisanih nad kate-tama z dolžinama a in b. Slednje lahko zaključimo z naslednjim korakom, kot prikazuje slika 3.
V kvadrat nad kateto AC z dolžino b vrišemo dva pravokotna trikotnika PRS in RPQ, skladna prvotnemu trikotniku ABC. Ker sta dolžini stranic AP in DA enaki in sta dolžini QP in GA enaki, sta tudi dolžini QA in GD enaki. Torej lahko v pravokotnik ACRQ vrišemo kvadrat ATUQ, ki je skladen kvadratu DEFG.
Zadošča torej le še premisliti, daje dvakratnik ploščine trikotnika ABC (ki je enak ploščini pravoko-tnika AGBC) enak vsoti ploščine pravokotnika TCRU in ploščine kvadrata nad straničo BC. Dolžina daljiče TC je enaka a. Torej lahko pravokotnik AGBC razdelimo na kvadrat FBCT z dolžino stra-niče a in na pravokotnik AGFT. Pravokotnika AGFT in TCRU pa sta skladna, saj imata straniči enakih dolžin. S tem je dokaz zaključen.	■
Opomba. Zaključni korak zgornjega geometrijskega dokaza je možno nadomestiti z naslednjim računskim zaključkom. Iz slike 2 sledi, da je ploščina kvadrata s straničo dolžine c enaka vsoti ploščin štirih trikotnikov, skladnih prvotnemu trikotniku ABC, in ploščine kvadrata z dolžino straniče |DE| = b - a. Torej je
c2 = 4 ■ a2b + (b - a)2 = ,2
2ab + b2 - 2ab + a2 = a2 + b2.
Ta alternativni računski zaključek dokaza je objavljen kot dokaz 3 v [2] in ga je prvemu avtorju tega članka v času študija predstavil dr. Damjan Kobal, za kar se mu avtor iskreno zahvaljuje. Geometrijska verzija zaključka dokaza je plod dela avtorjev tega članka.
Naslednji dokaz je morda eden najbolj znanih geometrijskih dokazov Pitagorovega izreka in je na spletu opisan v [1] in kot dokaz 9 v [2].
Dokaz 2. Kvadrat s straničo dolžine a + b razdelimo na dva načina. Najprej v tak kvadrat vrišemo štiri pravokotne trikotnike, skladne prvotnemu trikotniku ABC, kot je to predstavljeno na sliki 4.
Ker so ti trikotniki pravokotni in skladni, je štiri-kotnik KLMN kvadrat s straničo dolžine c. Kvadrat s straničo dolžine a + b pa lahko razdelimo tudi na naslednji način, kot to prikazuje slika 5.
SLIKA 4.
Prva delitev.
a
a
a
b
a
SLIKA 5.
Druga delitev kvadrata s stranico dolžine a + b.
V nasprotni oglišči tega kvadrata vrišemo kvadrat z dolžino straniče b in kvadrat z dolžino straniče a. Znotraj prvotnega kvadrata ostaneta še dva pravoko-tnika s straničama dolžin a in b, ki ju lahko razdelimo na štiri trikotnike, skladne trikotniku ABC. Iz primerjave slik 4 in 5 sledi, da je ploščina kvadrata z dolžino straniče c enaka vsoti ploščine kvadrata z dolžino straniče a in ploščine kvadrata z dolžino straniče b, kar zaključuje dokaz.	■
Tretji dokaz, ki ga bomo predstavili, je plod dela drugega avtorja pričujočega članka. Uporabljene ideje so podobne tistim v dokazu 2 iz [2].
Dokaz 3. Prvotnemu pravokotnem trikotniku ABC obrišemo kvadrat ABDE z dolžino straniče c. V ta kvadrat narišemo še en pravokotni trikotnik, skla-

b
b
b
PRESEK 43 (2015/2016) 6
11
MATEMATIKA
—^ den trikotniku ABC, kot prikazuje slika 6. Nato do-rišemo še dva pravokotna trikotnika, skladna trikotniku ABC, kot prikazuje slika 7.
E
A
	C
b	a
D
B
SLIKA 6.
H
E
A
B
SLIKA 7.
Nemogoč problem
Skupna ploščina dveh trikotnikov, narisanih znotraj kvadrata ABDE, je enaka skupni ploščini dveh trikotnikov, narisanih zunaj kvadrata ABDE. Zato je ploščina kvadrata ABDE s stranico dolžine c enaka vsoti ploščin kvadratov EFGH in BIGC. Ker je dolžina stranice kvadrata EFGH enaka b in je dolžina stranice kvadrata BIGC enaka a, to dokazuje želeno.	■
Literatura
[1]	E-um, 8. razred, Geometrija v ravnini, Pitagorov izrek - dokaz, http://www.e-um.si/, ogled 29. 1. 2016.
[2]	Pythagorean Theorem, http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/, ogled
29. 1. 2016.
_ XXX
Ivan Vioav
-> Peter je izbral dve naravni števili, vecji od 1. Svojemu znancu Janezu je povedal, kolikšna je vsota teh števil, Mirku pa, kolikšen je produkt.
Mirko si ogleda produkt in telefonira Janezu: »Vem, kolikšna je tvoja vsota.«
Kmalu nato pa še Janez sporoči Mirku: »Tudi jaz vem, kolikšen je produkt.«
Ugani, kateri števili je izbral Peter, če izdamo, da je vsota večja od 21 in manjša od 31. Vnaprej seveda ne vemo, ali je Peter izbral različni ali enaki števili. Podobna toda precej težja pa je naslednja naloga:
Peter je izbral dve naravni števili, večji od 1. Svojemu znancu Janezu je povedal, kolikšna je vsota teh števil, Mirku pa, kolikšen je produkt.
Janez si ogleda vsoto in telefonira Mirku: »Ne vidim nobene možnosti, kako bi ti lahko določil vsoto.«
Toda glej, čez eno uro mu Mirko odgovori: »Vem, kolikšna je vsota.«
Kmalu nato pa še Janez sporoči Mirku: »Tudi jaz vem, kolikšen je produkt.«
Kateri števili je izbral Peter? Da bo naloga lažja, naj povemo, da vsota ni večja od 40. Vnaprej seveda ne vemo, ali je Peter izbral različni ali enaki števili.
Ta zanimiva naloga kroži zadnja leta na raznih srečanjih matematikov. Martin Gardner, ki jo je objavil v dečembrski številki časopisa Sčientifič Američan, jo imenuje »nemogoč problem«, ker na videz v njem ni nobene informačije, ki bi omogočala reševanje. Omejitev, da vsota izbranih števil ni večja od 40, ni bistvena. Enako rešitev dobimo tudi v primeru, če vsota ni večja od 60, samo več dela je pri reševanju.
Braleč naj skuša rešiti najprej prvo, lažjo nalogo, nato pa naj se loti še druge.
_ XXX
c
c
c
I
c
6
PRESEK 43 (2015/2016) 6	11