Elektrotehniški vestnik 83(1-2): 6-12, 2016 Izvirni znanstveni članek Določitev parametrov enofaznega transformatorja s pomočjo diferenčne evolucije 1 v 2 Ervin Slokan , Gorazd Stumberger 1 Elektro Maribor, d. d., Vetrinjska ulica 2, 2000 Maribor, Slovenija E-pošta: ervin. slokan @elektro-maribor. si 2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija E-pošta: gorazd.stumberger@um.si Povzetek. Prispevek predstavlja pristop in način določitve parametrov enofaznega transformatorja s pomočjo diferenčne evolucije (DE). Parametre enofaznega transformatorja po navadi določimo z meritvijo ohmskih upornosti navitij, preizkusom prostega teka in preizkusom kratkega stika. Do iskanih parametrov pa lahko pridemo tudi po drugi poti, in sicer s pomočjo DE. V tem primeru zapišemo matematični dinamični model transformatorja, s katerim skušamo opisati fizikalne pojave, bistvene za dinamično obnašanje transformatorja. V naslednjem koraku na podlagi časovnih potekov primarnih in sekundarnih napetosti in tokov, posnetih med vklopnim pojavom, prostim tekom in obratovanjem pod obremenitvijo, s pomočjo DE poiščemo tiste vrednosti parametrov dinamičnega modela transformatorja, pri katerih je ujemanje med posnetimi in izračunanimi časovnimi odzivi izbranih spremenljivk najboljše. Ključne besede: enofazni transformator, določitev parametrov, diferenčna evolucija Single-phase transformer parameters determination through optimization The paper presents an approach and method of determining the parameters of the single-phase transformer using a differential evolution (DE). Usually, the parameters of the single-phase transformer are determined by measuring the ohmic resistance of its windings, open-circuit test and short-circuit test. The parameters can also be determined by using DE. When choosing this approach, we first write the dynamic mathematical model of the transformer to describe the physical phenomena essential for the dynamic behavior of the transformer. In the next step, based on the time course of the primary and secondary voltages and currents recorded during the inrush phenomena, no-load and on-load operation, by using DE we search for the parameter values of the dynamic model of the transformer with the best agreement between the recorded and calculated time response of the selected variables. Keywords: single-phase transformer, parameter determination, differential evolution 1 Uvod V [1] je bila s pomočjo diferenčne evolucije (DE) [2] določena nelinearna magnetna karakteristika enofaznega transformatorja, ki je bila v matematičnem modelu podana z vsoto eksponentnih funkcij. Na predstavljen način lahko določimo parametre enofaznega transformatorja v celoti. Realnemu enofaznemu transformatorju poiščemo ustrezen matematični dinamični model. V naslednjem koraku, ob posnetih odzivih primarnih in sekundarnih napetosti in tokov pri vklopnem pojavu, prostem teku in obremenitvi, s pomočjo DE poiščemo tiste vrednosti parametrov dinamičnega modela, pri katerih dosežemo čim boljše ujemanje izmerjenih in izračunanih vrednosti. V tem primeru lahko trdimo, da smo s tako določenimi parametri pri danem dinamičnem modelu transformatorja poiskali najboljšo aproksimacijo realnega transformatorja. Aproksimacija osnovne magnetilne krivulje z vsoto eksponentnih funkcij se pri hkratni določitvi vseh parametrov enofaznega transformatorja lahko izkaže za problematično, saj poveča računsko togost simulacijskega modela, ki pride še posebej do izraza zaradi poljubnih vrednosti poskusnih parametrov DE in pogosto povzroči divergenco integracijske metode in posledično prekinitev optimizacije z DE. V takih primerih se kot bolj primerna izkaže aproksimacija osnovne magnetilne krivulje z vsoto sigmoidne funkcije (npr. hiperbolični tangens ali normirani arkus tangens) in inverznega hiperboličnega sinusa, ki smo jo uporabili tudi v prispevku. V prispevku so prikazani rezultati določitve parametrov enofaznega transformatorja s pomočjo DE z različnimi aproksimacijami osnovne magnetilne krivulje. Prejet 28. september, 2015 Odobren 27. november, 2015 DOLOČITEV PARAMETROV ENOFAZNEGA TRANSFORMATORJA S POMOČJO DIFERENČNE EVOLUCIJE 7 2 Dinamični model enofaznega TRANSFORMATORJA Enofazni transformator je shematsko predstavljen na sliki 1. 0 = ~iFeRFe ~ 8S di, + N2 ——1 + 1 80 dt 51 _ n 2 d± ^ 12 80 dt 1 80 dt (6) Slika 1: Model enofaznega transformatorja z železnim jedrom Dinamični model enofaznega transformatorja je podan z (1) in (2), ki opisujeta napetostni ravnotežji v primarnem in sekundarnem navitju: . „ T di, Ar dS U = hR + LCTl — + N — dt dt . „ T di~ Ar dS u = uR + L_0 —2 + N -L- dt dt (1) (2), kjer so u1, u2 in i1, i2 primarna in sekundarna napetost in toki, R1 in R2 sta primarna in sekundarna upornost navitja, Lc1 in Lc2 sta primarna in sekundarna stresana induktivnost navitja, N1 in N2 sta števili ovojev primarnega in sekundarnega navitja, medtem ko je S magnetni pretok v železnem jedru. Magnetna napetost v železnem jedru je podana kot 0 = N1 i1 + N2 i2. Histerezne in vrtinčne izgube v železnem jedru lahko predstavimo poenostavljeno z ohmsko upornostjo RFe. Napetostno ravnotežje v železnem jedru je v tem primeru podano s (3): Osnovna magnetilna krivulja je sigmoidne oblike, zato so za njeno aproksimacijo primerne tudi sigmoidne funkcije [3]. Sigmoidne funkcije so semilinearne funkcije, kar pomeni, da so monotono naraščajoče ali padajoče, zvezno odvedljive ter navzgor in navzdol omejene. Za aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje v območju krepitve magnetnega polja sta primerni sigmoidni funkciji hiperbolični tangens in arkus tangens. Katera funkcija se izbere, je odvisno od oblike magnetilne krivulje magnetnega materiala. Hiperbolični tangens je primeren za aproksimacijo magnetilnih krivulj z izrazitejšim kolenom, arkus tangens pa je primernejši za magnetne materiale z mehkejšim prehodom v nasičenje. Aproksimaciji osnovne magnetilne krivulje s sigmoidnimi funkcijami in inverznim hiperboličnim sinusom, ki ju bomo uporabili, sta naslednji: 1. Aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje s sigmoidno funkcijo hiperbolični tangens (MK-1) zapišemo s (7) in njen parcialni odvod po magnetni napetosti z (8). S ~ k tanh(k20) + k3arsinh(k40) + k5 80 ~ k-k __l_ k k 2ch2 (k2 0) + k3k4 a/1 + (k40)2 (7) (8) 2. Aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje s sigmoidno funkcijo arkus tangens (MK-2) zapišemo z (9) in njen parcialni odvod po magnetni napetosti z (10). 0 = _iPeRPe + N- dS dt (3), kjer je iFe tok, ki teče skozi železno jedro, medtem ko je magnetna napetost v železnem jedru 0 = Ni (i1 - iFe) + N2 i2. Po posrednem odvajanju magnetnega pretoka po magnetni napetosti zapišemo dinamični model enofaznega transformatorja z upoštevanjem histereznih in vrtinčnih izgub s (4), (5) in (6). ■ ™ t dt Ar2 8S di U = hR + L , -1 + N2 ——1 + 1 11 CT1 dt 1 80 dt d£ _ n 2 di^ 12 80 dt 1 80 dt ■ r, r di~ A j- 8S di, u2 = i + La2 + NN — + dt 80 dt 81 _ 81 2 80 dt 12 80 dt (4) (5) S « k — arctan(k20) + k3arsinh(k40) + k5 (9) J S k 1 k_L 80 1 j 2 1 + (k20) 2 + k3k4 a/1 + (k40)2 (10) Za primerjavo bomo uporabili aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje z vsoto eksponentnih funkcij iz [1]: 3. Aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje z vsoto eksponentnih funkcij (MK-3) zapišemo z (11) in njen parcialni odvod po magnetni napetosti z (12). S* kle{k0)+ k3 e(k40)+ k S k1k2e(k0)+ k3k4e(k40) 80 (11) (12) Dinamični model enofaznega transformatorja smo sestavili v modulu Simulink programskega paketa u 1 1 8 SLOKAN, ŠTUMBERGER Matlab, in sicer za primera prostega teka in obremenitve. med vklopnim pojavom neobremenjenega transformatorja, zapišemo s (13): 3 Določitev parametrov enofaznega TRANSFORMATORJA S POMOČJO DE Blokovna shema določitve parametrov enofaznega transformatorja s pomočjo DE je predstavljena na sliki 2. 1 '2 1 '2 r-rf^ t-TKT ' 2 'l t1 ' 2 'l t1 e, (t lar )dr (13), T— f ilm (r)dT —— f ML (r)dT '2 'l ^ ' 2 'l ' a kjer je ei1 = i1m(t) - ii(t) razlika med izmerjenim in izračunanim primarnim tokom in eu1 = u2m(t) - u2(t) razlika med izmerjeno in izračunano sekundarno napetostjo. Pri vklopnem pojavu obremenjenega transformatorja uporabimo kriterijsko funkcijo qob (14) l 1 l '} qob = j^felTdr -J-f < T ' 2 'l t__' 2 'l k e, (rldr )dr ■ + Slika 2: Blokovna shema Za določitev parametrov v skladu z blokovno shemo na sliki 2 je treba posneti časovne poteke napetosti in tokov med vklopnim pojavom, prostim tekom in pri obremenitvi enofaznega transformatorja. Posnetek vklopnega pojava prostega teka nam omogoča določitev vrednosti ohmske upornosti primarnega navitja R1, stresane induktivnosti primarnega navitja L1, števila ovojev primarnega in sekundarnega navitja N1 in N2, parametrov k1, k2, k3 in k4 aproksimacijske funkcije osnovne magnetne krivulje in ohmske upornosti železnega jedra RFe. Posnetek vklopnega pojava obratovanja pod obremenitvijo pa nam omogoča določitev vrednosti ohmske upornosti sekundarnega navitja R2, stresane induktivnosti sekundarnega navitja L2, ohmske upornosti bremena Rb in preostalega magnetnega pretoka - remanence Merjene vrednosti so primarna in sekundarna napetost ter primarni in sekundarni tok. Kot merilo ujemanja med vrednostmi primarnega toka, sekundarne napetosti in sekundarnega toka, izračunanimi z dinamičnim modelom transformatorja, ter njihovimi izmerjenimi vrednostmi na realnem transformatorju, je srednji kvadratni pogrešek v danem časovnem intervalu t e [t1,t2]. Minimiziramo ga s pomočjo DE, ki poišče takšne vrednosti parametrov matematičnega modela enofaznega transformatorja, ki zagotavljajo najmanjše odstopanje izmerjenih in izračunanih vrednosti. Po svojih velikostih srednji kvadratni pogreški primarnega toka, sekundarne napetosti in sekundarnega toka medsebojno niso primerljivi. Da bi bili, jih je treba ustrezno utežiti. Temu se lahko izognemo tako, da jih raje normiramo, in sicer prvega s srednjim kvadratom izmerjenega primarnega toka i1m2(t), drugega s srednjim kvadratom izmerjene sekundarne napetosti u2m2(t) in tretjega s srednjim kvadratom izmerjenega sekundarnega toka i2m2(t). Kriterijsko funkcijo qpt, uporabljeno ^ '2 1 '2 T— f 4 (r)dT T— f U22m (r)dT ' 2 'l ' ' 2 'l ' 1 '2 -M e,2 T)dT '2-'l j h (14), 1 '2 T—- f !22m (r)dT t2 tl tl kjer je ei2 = i2m(t) - i2(t) razlika med izmerjenim in izračunanim sekundarnim tokom. Kriterijskima funkcijama (13) in (14) bi lahko dodali še npr. pogrešek maksimalne vrednosti primarnega toka, ki bi ga seveda morali ustrezno utežiti, vendar se izkaže, da slednji ne pripomore k manjšemu odstopanju odzivov, lahko pa z njim izboljšamo ujemanje v določenem območju odziva. Pri tem moramo biti pazljivi, saj nam izboljšanje ujemanja v določenem območju odziva povzroči večje odstopanje v drugem območju odziva. Fizikalno neustrezni poskusni parametri DE zaradi računske togosti simulacijskega modela nemalokrat povzročijo prekinitev DE. Da se takšnim situacijam izognemo, jih izločimo tako, da v omenjenih primerih upoštevamo vrednost kriterijske funkcije kot neskončno. Fizikalno neustrezni poskusni parametri so: R1 < 0, Lol < 0, N < 0, N2 < 0, RFe < 0, R2 < 0, Lo2 < 0, Rb < 0 in N1 > N2. Izločimo pa lahko tudi kombinacije poskusnih parametrov k1, k2, k3 in k4 aproksimacijske funkcije osnovne magnetne krivulje, ki nam največkrat povzročajo divergenco integracijske metode. Neustrezne kombinacije poskusnih parametrov za MK-1 in MK-2 so: k1 > 0, k2 > 0, k3 < 0, k4 < 0 (kombinacije poskusnih parametrov je mogoče omejiti tudi nasprotno) ter za MK-3: k1 > 0, k2 > 0, k3 > 0, k4 > 0. 3.1 Testni enofazni transformator Parametri testnega enofaznega transformatorja Elra Škofja Loka, tip: TEN52, 50 Hz, 20 VA, primar 100 V, sekundar 380 V, Cl: 3, s.n.: 16502, so bili določeni v [4] DOLOČITEV PARAMETROV ENOFAZNEGA TRANSFORMATORJA S POMOČJO DIFERENČNE EVOLUCIJE Tabela 1: Parametri enofaznega transformatorja Tabela 3: Krmilni parametri DE 9 Parameter Izračunana Opis vrednost R1 [H] 11,1858 Upornost primarnega navitja R2 [H] 138,3 Upornost sekundarnega navitja N1 [ovojev] 452 Število primarnih ovojev N2 [ovojev] 1722 Število sekundarnih ovojev RFe [H] 6895,2 Upornost železnega jedra L* [mH] 199 Primarna stresana induktivnost Lq2 [mH] 13,7 Sekundarna stresana induktivnost z uporabo izračuna efektivnih vrednosti, harmonsko analizo in numerično integracijo posnetih tokov in napetosti. Vrednosti parametrov testnega enofaznega transformatorja so navedene v tabeli 1. Magnetilna nelinearna karakteristika železnega jedra je bila podana tabelarično in je tu ne navajamo. Upornost bremena pri posnetku vklopnega pojava obratovanja je bila Rb = 7100,50 3.2 Krmilni parametri Za prvi poskus reševanja večine simulacijskih problemov v Simulinku je primerna integracijska metoda ode45, ki temelji na eksplicitni formuli Runge-Kutta (4,5), Dormand-Prince paru. Ko nam ta odpove, ali je zelo neučinkovita in ko sumimo, da je problem računsko tog, ali ko rešujemo diferencialno-algebrajske probleme, takrat lahko poskusimo z integracijsko metodo ode15s, ki temelji na numeričnih diferencialnih formulah (NDF) [5]. Računska togost simulacijskega modela pride še posebej do izraza zaradi poljubnih poskusnih parametrov DE, zato si dodatno pomagamo s stavkom try, catch, s katerim izločimo kombinacije poskusnih parametrov, ki nam povzročajo prekinitev DE [6]. Krmilni parametri simulacijskega modela v Simulinku so navedeni v tabeli 2. Tabela 2: Krmilni parametri simulacijskega modela Krmilni Vrednost Opis parameter Tz [s] 0 Začetni čas simulacije Tk [s] 1 Končni čas simulacije Ts [s] 110"4 Korak vzorčenja Solver ode15s Integracijska metoda simulacije Step size auto Velikost koraka integracijske metode Tolerance auto Največja dopustna napaka integracijske metode Vrednosti krmilnih parametrov DE smo izbrali na podlagi izhodišč v [2] in [7]. Ker poznamo vrednosti iskanih parametrov, smo jih normirali, saj se izkaže, da DE deluje najbolje, če so iskani parametri v območju [0,1]. Krmilni parametri DE so navedeni v tabeli 3. Krmilni Vrednost Opis parameter VTR 110-3 Vrednost, ki jo želimo doseči D 9 Število iskanih parametrov za vklopni pojav prostega teka 4 Število iskanih parametrov za vklopni pojav obratovanja XVmin 0 Spodnja meja začetne populacije XVmax 1 Zgornja meja začetne populacije NP 10D Velikost populacije itermax 200 Maksimalno število neodvisnih tekov F 0,5 Skalirni faktor CR 0,9 Faktor križanja strategy 6 Strategija DE/best/1/bin Izračune smo izvajali na delovni postaji Lenovo s procesorjem Intel(R) Xeon(R) CPU E5-1620 0 @ 3.60 GHz, 3601 MHz, št. jeder: 4, št. logičnih procesorjev: 8, fizičnim pomnilnikom (RAM) 16,00 GB in nameščenim operacijskim sistemom Microsoft Windows 7 Enterprise (64-bit). 4 Rezultati Odstopanje izračunanih vrednosti parametrov xi s pomočjo DE v primerjavi z eksperimentalno določenimi vrednostmi parametrov testnega enofaznega transformatorja x [4] smo ovrednotili s pomočjo relativnega procentualnega pogreška (15). S = Ax-100% (15) x Pri tem zapišemo razliko med izračunano vrednostjo parametra s pomočjo DE in eksperimentalno določeno vrednostjo parametra testnega enofaznega transformatorja s (16). Axt = x - x (16) Odstopanje med izmerjenimi in izračunanimi odzivi smo ovrednotili z normiranimi srednjimi kvadratnimi pogreški, iz katerih sta bili sestavljeni kriterijski funkciji (13) in (14). Kvadratni pogrešek daje informacijo tudi o oblikovnem ujemanju, medtem ko absolutni pogrešek ne, saj kvadriranje daje znatno večjo utež večjim odstopanjem kot manjšim. Izračunane vrednosti parametrov, ki smo jih dobili s pomočjo posnetka vklopnega pojava neobremenjenega transformatorja, so navedene v tabeli 4. Izračunane vrednosti parametrov, ki smo jih dobili s pomočjo posnetka vklopnega pojava obremenjenega transformatorja, pa so navedene v tabeli 5. 10 SLOKAN, ŠTUMBERGER Tabela 4: Izračunane vrednosti parametrov pri vklopnem pojavu neobremenjenega transformatorja Tabela 9: Odstopanja odzivov pri vklopnem pojavu obremenjenega transformatorja Parameter MK-1 MK-2 MK-3 Delna MK-1 MK-2 MK-3 Ri [H] 12,98 12,41 12,86 kriterijska L„i [H] 29,07-10"6 126,67-10"6 127,4040"6 funkcija N1 [ovojev] N2 [ovojev] 394 1444 592 2154 578 2109 % 1,78-10-3 1,77^10"3 1,9010-3 RFe [H] 7,12-103 7,19-103 6,93403 215,4440"6 93,1610-6 149,3740"6 ki fe -524,60-10"6 -157,92-10"3 513,42-10"6 57,05-10"3 -590,95-10"6 -122,65 10-3 322,93-10"6 21,73-10"3 -482,67-10"6 -130,0940"3 -1,0440"6 -8,4340"3 276,1640"6 287,1840"6 259,4M0"6 k3 k4 Vab 2,27^10"3 2,1510-3 2,31-10"3 Tabela 5: Izračunane vrednosti parametrov pri vklopnem pojavu obremenjenega transformatorja Parameter MK-1 MK-2 MK-3 R2 [H] 64,76 90,29 169,51 L„2 [H] 611,3510-6 7,36^10"3 14,05-10"3 Rb [H] 7,14403 7,06403 7,02403