i
i
“Strnad-nogomet” — 2010/5/12 — 10:30 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 1
Strani 9–15
Janez Strnad:
ALI JE NOGOMET IGRA NA SREČO
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/747-Strnad.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ALI JE NOGOMET IGRA NA SREČO
Pri tej najpomembnejši postranski zadevi bi se fiziki lahko zanimali za hi-
trost žoge ali za silo igralčeve noge na žogo. Vendar si to pot postavimo raje
bolj nenavadno vprašanje, ki je zapisano v naslovu. Odgovor nanj uganemo vna-
prej. Nogomet je v veliki meri igra na srečo. Če ne bi bilo tako, ne bi bilo špor-
tne napovedi . Sestavek poskuša utemeljiti to trditev po nekoliko ovinkasti, a
poučni poti.
Najprej poiščimo seznam rezultatov vseh tekem v kakem tekmovanju, de -
nimo v naši prvi ligi. Podatke za sezono 1976/77 najdemo na primer v Almana-
hu 1978 ČGP Delo.
V ligi z 18 moštvi ima vsako moštvo 17 nasprotnikov, s katerimi igra doma
in v gosteh. Tako vsako moštvo v sezoni odigra 2 .17 = 34 tekem. Vseh tekem
skupaj veni sezoni pa je (1 /2) .18 .34 = 306. Z dve smo morali deliti, ker bi si-
cer vsako tekmo šteli dvakrat, pri prvem in še pri drugem moštvu.
Najprej si izberi mo eno izmed moštev in se zanimajmo za število golov, ki
jih je dalo na tekmah ene sezone. Vzemimo beog rajsko Crveno zvezdo, ki je
bila v sezoni 1976/77 prva . Naredimo si pregled tekem po številu golov, ki jih
je dalo na tekmo to moštvo . Ugotovimo , da Crvena zvezda na 5 tekmah ni da -
la nobenega gola, na 9 tekmah po 1 g o l, na 11 tekmah po dva gola, na 3 tek-
mah po 3 gole, na 4 tekmah po 4 gole, na 1 tekmi 5 golov in na 1 tekmi 6
golov. Delimo število tekem s številom vseh tekem, to je s 34, pa dobimo rela-
tivno pogostost, s katero nastopajo tekme z danim številom go lov. Tako pri-
demo do porazdelitve tekem , pravzaprav njihove relativne pogostosti p(n), po
številu n danih golov na tekmo. Porazdelitev prikažemo s tabelo:
n Np(n) p(n)
O 5 0,15
1 9 0,26
2 11 0 ,32
3 3 0 ,09
4 4 0,12
5 1 0,03
6 1 0 ,03
34 1,00
9
V prvem stolpcu je število danih golov na tekmo, v drugem stolpcu ustrezno
število tekem in v tretjem relativna pogostost. Vsota drugega sto lpca da polno
število tekem 34, vsota relativnih pogostosti v tretjem pa 1. Zadnjo trditev za-
pišemo z enačbo
oc
~ p(n) = 1
n=O
Neskon čnost oo ima tu le simboličen pomen, ker nastopa v vsoti v resnici
samo malo členov, v našem primeru samo 7.
Porazdelitev prikažemo še z diagramom. Na vodoravno os nanesemo šte-
vilo n danih golov na tekmo, na navpično os pa relativno pogostost p: pr i da -
nem številu golov n narišemo navpično daljico z višino p(n), ki ustreza relativ-
ni pogostosti pri tem številu golov (sl. Ial.Take porazdelitve za sezono 1976/77
izračunamo in jih pr ikažemo z diagramom še za ljubljansko Olimpijo, ki je bila
12. (sl. lb), in sarajevski Željezničar, ki je bil 18. (sl. le) .
Iz dobljenih podatkov ni težko i z r ač u nat i povprečnegaštevila golov, ki jih
je dalo v sezoni 1976177 kako moštvo. Število golov n pomnožimo z ustrezno
relat ivno pogostostjo in prispevke seštejemo :
_ oo
n v E np(n)
n=O
Do enakega rezultata pridemo, če število vseh golov delimo s š~vilom vseh te -
kem. Tako dobimo za Crveno zvezdo n = 1,97, za Olimpijo n = 1,06 in za
p (n) p (nj p (nj
0,4 n =7,97 0,4 ~n =1,06 0,4 ..... ~n=0,97
~-\ "\ \- p_ (nj \- p-(nJ " Pii (nJ
/ \ / n
\ n \/
0,2
\
0,2 0,2 \I \ \\ \
\ \ \
" \ \ \I "- \ \"- <,.. ....... "-O O Oo ,
° 2 4 n ° 2 4 n 2 4 n
Slika 1. Po razdel itev števila prvolig ašk ih te kem po številu danih golov na tekmo za Crveno
zvezdo (al , Olimpijo (b] in Željezničarja Ic) v sezoni 1976/77. Zarad i nazornosti ponazo-
rimo Poissonovo porazdelitev s črtkano krivuljo , kot d a bi se n lahko spreminjal zvezn o .
10
I
Željezničarja n = 0,97. Ni nujno, da bi moštvo, ki da v povprečju več golov,
vedno zavzelo višje mesto, čeprav je v našem primeru tako.
Število tekem enega moštva, to je 34, je razmeroma majhno. Zato se v po-
razdelitvah pokažejo nekatere neenakomernosti , na primer pri Crveni zvezdi
več tekem s 4 goli kot s 3.
p{n') ji' =2,53
n'8765
Pii' i n')
43
....
<,
<,
-,
"-,
"""-, ,
"-, -,
'r"'l----o.
2
'"/
/
/
I
/
/
I
I
Io 1
02
Slika 2. Porazdelitev števila vseh prvoligaških tekem po številu golov na tekmo v sezoni
1976/77. Podatki so iz Almanaha 1978 ČGP Dela.
Več podatkov zajamemo, če upoštevamo vseh N' = 306 tekem ene sezone
v prvi ligi. V tem primeru nam gre za število vseh golov na tekmi n', se pravi
tistih , ki jih kako moštvo da, in tistih, ki jih prejme. Poiščimo torej relat ivne
pogostosti tekem p(n') po številu vseh golov na tekmo n', Porazdelitev pr ikaže-
~o z diagramom (sl. 2) in izračunamo povprečno števi lo golov na tekmo
n : = 2,53. Zdaj, ko je tekem precej več, v porazdelitvi ni izraz it ih neenako-
mernosti .
Jacka Dowieja, sodelavca Fakultete za socio logijo Odp rte un iverze v Mil -
ton Keynesu, je zanimalo nekaj drugega. V londonski reviji New Scientist je
objavil članek Slabost nogometa - smrtno neodločeno. Za prvo in drugo angle-
ško ligo s skupaj 44 moštv i je pregledah kako sta se od leta 1920 do leta 1980
~reminjala delež neodločenih tekem p in povprečno število golov na tekmo
n ' , Med --9bojim ~ ugotovil nedvomno zvezo (sl. 3), ki jo je na intervalu med
nekako n' = 1 in n' = 4 pribl ižno opisal s prem ico (črtkano ria sl. 4) :
p<:l = 0,55 - 0, 1 n'
V sezonah 1920/21 in 1980/81 se je, pri povprečnem številu golov na
11
tekmo 2,5, končalo 0,28 ali 28% tekem neodločeno, v sezoni 1930 /31 pri
povprečnem številu golov 3,7 20% in v sezoni 1960/61 pri povprečnem številu
golov 3,6 22%.
n'
40
p*
0,35
35
30
131
0.30
0,25
I
70
171
60
161
46 50
147151
I
, \1
~ r •, \ ,.. , I
V ",: :
, I
I
I
I
I
38
139
,
II
• I \
I I I
" I
30 I 'J
25
Slika 3. Tako sta se v prvi in drugi angleški ligi spreminjala med leti 1920 in 1980 povpre-
čno število golov na tekmo n' (sklenjeno , leva skala) in delež neodločenih tekem p <: (čr­
tkano, desna skala), Povezave obeh ni mogoče spregledati. Slika je vzeta iz članka J . Do-
wieja Football's failing . the deadly draw, New Scientist, 27. 8. 1981 . Med vojno 1939·-
1945 ni bilo ligaških tekmovanj.
Dowie misli, da bi privabili na nogometne tekme zopet več gledalcev, če bi
dosegli večje število golov na tekmo in bi s tem zmanjšali delež neodločenih te-
kem. V tej zvezi razmišlja o zmanjšanju števila igralcev, povečanju golov, omi -
ljenju ali odpravi pravila offside~ in še o čem.Skrajno možnost vidi v tem, da
bi sploh odpravili neodločen izid: pri izenačenem številu golov naj bi štelo na
primer razmerje kotov ali tega, kolikokrat sta se dotaknila žoge vratarja .
Poglejmo še, kako je s tem v našem nogometu. V prvi ligi je v sezoni 1974 /
75 ob povprečnem številu golov 2,4 bilo 33% neodločenih tekem, v sezoni
1975 /76 ob povprečnem številu golov 2,3 35% in v sezoni 1976177 ob pov-
prečnem številu golov 2,5 prav tako 35%.
<: "Vsak igralec, ki je v trenutku oddaje žoge bliže nasprotnikavi prečni črti , kot je žoga,
je v položaju offside, razen če je na svoji polovici igrišča, če sta med njim in nasprotnikovo
prečno črto najmanj dva nasprotna igralca, če se je žoge zadnji dotaknil nasprotnik, če
sprejme žogo neposredno po udarcu iz kota, udarcu od vrat , sodniškem metu ali metu žoge
iz outa. Offside kaznuje sodnik s posrednim prostim strelom .:" Pravilo 11, E. in W. Nord-
heim, Leksikon športnih panog, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
Dowie razlaga zmanjšanje deleža neodločenih tekem v dvajsetih letih s spremembo tega
pravila. Prej je pravilo zahtevalo najmanj tri nasprotne igralce.
12
Mimogrede se vsili misel , da bi učinkovitost kakega tekmovanja lahko izra-
zili s kvocientom
povprečnoštevilo golov na tekmo : delež neodločenih tekem.
Nekaj podatkov je zbranih v pregledn ici.
Sezona kvocient
1920/21
1930/31
1960/61
1980/81
8,9
18,5
16,4
8,9
1974/75
1975/76
1976/77
7,2
6,6
7,0
7,0
0,8
0,2
0,4
PO tem kvocientu pa ne smemo prenagljeno sklepati na mednarodni nogometni
ugled kake države.
Dowiejeva razprava je zbudila pozornost Romana Sexla, profesorja teorij-
ske fizike na dunajski univerzi . Skupaj s sodelavcema Alfredom Wehrlom in
Alfredom Pflugom se je bil lotil načrta Fizika v športu, ki je povezan z izobra-
p" Slika 4. Delež neodločenih tekem v odvisno-
sti od povprečnega števila golov na tekmo.
Sklenjena krivulja kaže rezultat e .n',0(;11,
črtkana prernica pa Dowiejev empirični pri -
bližek. Krožci ustrezajo podatkom za prvo
in drugo angleško ligo, križci pa za našo
prvo ligo. Po teh podatkih ni mogoče odlo-
čati med Dowiejevim empiričnim pribli-
žkom in računskim rezultatom. - Pričako­
vali bi, da bi lahko kak rokometni rezultat
pomagal pri tej odločitvi. Vendar je poda-
tek za našo rokometno ligo s 14 moštvi v se-
zon i 1976/77, ko je bilo ob povprečnem
številu golov na tekmo 47 16% neodlo če­
nih tekem, precej daleč od obeh. Glede šte-
vila golov je rokomet vsekakor zanimivejši
od nogometa.
ni
° 2345678 13
ževanjem odraslih ali po naše s študijem ob delu. (Od njega smo prevzeli
osnovno misel, da je mogoče povečati zanimanje za fiziko, če z njo obravna-
vamo športne zadeve.) Sexi je s sodelavcema ob nekaterih predpostavkah izra-
čunal drugačno zvezo med deležem neodločenih tekem in povprečnim števi-
lom golov na tekmo (sklenjena krivulja na sl. 4). Po tej odvisnosti bi se pov-
prečno število golov !TIoralo močno povečati, da bi se le malo zmanjšal delež
neodločenih tekem. Ce temu rezultatu verjamemo, ni vredno spreminjati pra-
vil, kakor predlaga Dowie.
Ali ne bi mogli pogledati malo v ozadje porazdelitev, ki smo jih spoznali? Poskusimo .
Ta začetek obeta, da bo odstavek nekoliko zahtevnejši . Za tolažbo si zato izmislimo prav-
ljico. Na poroki kralji čne iz devete dežele s svinjsk im pastirjem je bilo skupaj 1000 pova-
bljenih. Ravno so gostje sedli za mizo, ko je začelo deževati. Gostje so se začeli že nekoli-
ko nejevoljno ozirati na dobro vilo, ki je skrbela za gostijo, a so kmalu uvideli, da sodi dež
k stvari. Vsaka kaplja se je na krožniku spremenila v cekin. Na 1000 krožnikih se je znašlo
skupaj 1970 zlatnikov. (Marsikateri gost , ki je prej godrnjal, je zdaj obžaloval , da ni dlje
deževalo.] Vsak gost je dobil tedaj v povprečju po 1,97 cekina (kot pri porazdelitvi na sli-
ki 1al. Nekatere je zanimalo relativno število gostov, ki niso dobili nobenega ceki na , in
gostov, ki so dobili po 1, 2, 3, oo. cekinov. Vila je pojasnila, da podaja relativne pogostosti
tako imenovana Poissonova porazdelitev (in to tem bolje, čim več je gl)stov) , ki jo zapiše-
mo kot
n je število cekinov na krožniku (število golov na tekmo), n povprečno število cekinov na
krožniku (povprečno število golov na tekmo) in Pfj relativna pogostost. e = 2,718... je
osnova naravnih logaritmov, n! (n fakulteta ali n faktorielal pa ni = 1.2...(n - t).». Na
sliki 1 in 2 so nakazane ustrezne Poissonove porazdelitve s črtkanimi krivuljami, kot da
bi se n lahko zvezno spreminjal.
Predpostavimo, da dajo vsa moštva nekega tekmovanja v povprečju enako število
golov n na tekmo. To že ni čisto res: kar primerjajmo Crveno zvezdo, Olimpijo in Želje-
zničarja. Vendar moramo to predpostaviti, če naj ne bo računanje preveč zapleteno. Če
pa je tako, lahko hitro izračunamo delež neodločenih tekem. Na neodločeni tekmi dasta
prvo in drugo moštvo enako število golov. Delež tekem z izidom O : O je Pij(O). Pii(Ol.
delež tekem z izidom 1 : 1 Pij(l),pij(1) itd. Delež vseh neodločenih tekem dobimo , ko
seštejemo prispevke te vrste:
oo
Postavili smo n' = n + fi = 2n. Vsote ~ (n ' /2)2n / (n l )2 sploh ni treba posebej računati,
n=O
ker najdemo funkcijo 'o(n') že i z raču nano v tabelah . Funkcijo e-n'/a(n') kaže sklenjena
krivulja na slik i 4 .
14