PRESEK LETNIK >m 014) ŠTEVILKA 4 MATEMATIKA V GENETIKI VRZIMO KAMEN V VODO O ŠTEFANOVEM AKUSTIČNEM POSKUSU KAKO IN ZAKAJ NAJ SE UČITELJ FIZIKE UKVARJA TUDI Z ASTRONOMIJO LZW ALGORITEM - STISNI ME KREPKO ISSN 0351-6652 770 3 51 665142 9770351665142 MATEMATIČNI TRENUTKI N ačrtovanje pristanka na Marsu S H t 2 -> Tokrat se je dobro izteklo že v prvem poskusu. Vesoljskemu plovilu Curiosity je popolnoma brez težav v sedmih minutah uspelo zmanjšati hitrost z 21 000 km/h na ničlo in tako varno pristati na Marsu. Čeprav je bil to edini pravi pristanek plovila, so ga inženirji pred tem navidezno izvedli že več milijon-krat. Matematični modeli, ki so jih uporabljali pri simulacijah, sestojijo iz vektorske analize in rešitve sistemov diferencialnih enačb. Uspešnost navideznih pristankov in privzetek, da so v modelih upoštevali vse pomembne vplive, sta projektni skupini zagotavljala več kot 95 % verjetnost, da bo plovilo varno pristalo. Tveganje so predstavljali le nepričakovani in neznani dejavniki, ki pa so navdih vsakega raziskovanja. Glavni namen odprave je bil zbrati informacije in jih poslati nazaj na Zemljo. Vsakdo, ki je imel kdaj težave s kakovostjo običajne telefonske povezave, lahko razume, kakšne motnje lahko nastopijo pri izmenjavi podatkov med planetoma. Strokovnjaki za komunikačije so zato uporabili algoritme za odpravo napak, ki zagotavljajo pravilnost prejetih informačij. Algoritmi pa žal ne morejo premagati ogromne razdalje, zaradi katere nastane 14 minutni zamik med poslanim in sprejetim signalom. Tako imenovanim sedmim minutam groze se zato ne da izogniti. Kdor želi o načrtovanju pristanka na Marsu izvedeti več, si lahko prebere članek 7 Minutes of Terror, ki ga je napisal Erič Hand in je bil objavljen v reviji Nature 2. avgusta 2012 na straneh 16-17. x x x PRESEK 41 (2013/2014)4 KOLOFON Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 41, šolsko leto 2013/2014, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Venčelj, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2013/2014 je za posamezne naročnike 18,00 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 15,75 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56031001000018787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2014 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1929 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIKA Matematika v genetiki (Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar) Ful drgačen test iz mate (Jurij Kovic) 12-14 18-20 21-24 FIZIKA Vrzimo kamen v vodo (Andrej Likar) O Štefanovem akustičnem poskusu (Janez Strnad) Razmisli in poskusi - Trenje pri smučanju (Mitja Rosina) Poizkuševalnica ob sončnem dnevu -Kakšne oblike so zajčki? - Odgovor naloge (Mojca Cepič) ASTRONOMIJA Kako in zakaj naj se učitelj fizike ukvarja tudi z astronomijo (Andrej Rutar) Slika na naslovnici: Fotografija valovanja vodne gladine, ko v vodo vržemo kamen. Matematika v genetiki Tadeja Kraner Šumenjak, Vilma Šuštar -> Vsaka dedna lastnost je določena s prisotnostjo dveh neodvisnih enot, po ena od vsakega starša; imenujemo ju alelni par. Alelni par lahko vsebuje dve enaki neodvisni enoti (AA ali aa) ali pa različni (Aa). Če potomec deduje alelni par z enakima neodvisnima enotama, ga imenujemo homozigot, v nasprotnem primeru pa heterozigot. Denimo, da alel A nosi informacijo o rdeči, alel a pa o beli barvi. (Ze potomec nosi kombinacijo aa, je bele barve. (e nosi kombinacijo AA, pa rdece. V primeru, da je potomec heterozigot s kombinacijo Aa, se bo izrazila le ena barva. Naj bo to v našem primeru rdeca. Alel, ki jo nosi, imenujemo domina-nanten. Bela barva ostane v tem primeru prikrita in pripadajoci alel imenujemo recesiven. Dominantne alele bomo zapisovali z velikimi tiskanimi Čcr-kami recesivne alele pa z malimi tiskani crkami. Z enakimi crkami bomo oznacevali tudi lastnost, ki se kaže navzven. Dedovanje ene lastnosti Najprej bomo opazovali križanje rastlin, kjer se bo dedovala le ena lastnost. Križajmo enako število rastlin, ki imajo alelni par AA, z enakim številom rastlin, ki imajo alelni par aa. Predpostavimo, da so vse kombinacije enako uspešne pri preživetju. Vse možne kombinacije pri križanju teh dveh rastlin lahko zapišemo s produktom ali s produktom ■ (a + a) (A + A) = aA + aA + aA + aA = 4aA. Produkta sta enaka, saj sta alelna para Aa in aA genetsko enaka (vseeno je, kateri od staršev prispeva doloCen alel). Velja dogovor, da dominantni alel vedno zapisujemo pred recesivnim. Ta produkt lahko pregledneje prikažemo tudi s tabelo 1. gamete staršev A A a Aa Aa a Aa Aa TABELA1. Razmerje genotipov pri dedovanju ene lastnosti. V prvi generaciji imajo torej vse rastline genotip Aa. Oglejmo si sedaj drugo generacijo. Naj bo A dogodek, da izberemo alel z dominantno lastnostjo iz alelnega para staršev Aa, in a dogodek, da izberemo alel z recesivno lastnostjo iz alelnega para staršev Aa. Verjetnost P(A) = P(a) = Ker sta dogodka med seboj neodvisna, je verjetnost, da dobimo potomca z alelnim parom AA, enaka - P(AA) = P(A)P(A) = 1 ■ 1 = 4. Verjetnost, da dobimo potomca z alelnim parom aa, je prav tako ■ P(aa) = P(a)P(a) = 1 ■ 1 = 4. Verjetnost, da dobimo potomca z alelnim parom Aa, pa je ■ P(Aa) + P(aA) = 2P(Aa) = 2 ■ 2 ■ 1 = 2, pri tem smo upoštevali, da sta z vidika genetika alel-na para Aa in aA enaka. Torej so v drugi generaciji genotipi v razmerju 111 ■ AA:Aa:aa= — : — : — 4 2 4 ali (A + A) (a + a) = Aa + Aa + Aa + Aa = 4Aa AA : Aa : aa 1 : 2 : 1. Vse možne kombinacije pri križanju rastlin z alel-nima paroma Aa dobimo s produktom ■ (A + a) (A + a) = = AA + Aa + aA + aa = AA + 2Aa + aa, kjer nam koeficienti pri posameznih faktorjih dajo zgornje razmerje. Razmerje med potomci, ki kažejo dominantno lastnost, in tistimi, ki kažejo recesivno lastnost, je 3 : 1 v korist dominantne, kar bomo v nadaljevanju zapisovali z izrazom 3A + a. Za vidno lastnost osebka pa bomo uporabljali strokovni izraz fenotip. Primer. Križajmo med seboj rastline, ki imajo »ciste« bele in »ciste« rdece cvetove. Ker je rdeca barva dominantna nad belo, so to rastline, ki imajo alelna para aa in AA. Potomci so rdece barve, ce imajo genotip AA ali Aa, in so bele barve, ce imajo genotip aa. V prvi generaciji imajo vsi potomci alelni par Aa, torej so vsi rdece barve. V drugi generaciji je verjetnost, da je potomec rdece barve, enaka 4, verjetnost daje bele, pa V tretji generaciji dobimo vse možne kombinacije alelnih parov potomcev, ce izracunamo produkt ■ ((A + A) + (a + A) + (A + a) + (a + a))2 = = (4A + 4a)2 = 16(AA + 2Aa + aa). Razmerje genotipov v tretji generaciji je torej 16 : 32 : 16, kar je enako razmerju 1:2:1. Od tod sledi, da so verjetnosti, da dobimo potomca z alelnim parom AA, aa ali Aa enake kot v drugi generaciji. S podobnim razmislekom bi opazili, da se to razmerje ohrani v vseh nadaljnjih generacijah. O tem govori Hardy - Weinbergov zakon iz leta 1908, ki pravi, da se v velikih populacijah pri nakljucnem razmnoževanju osebkov enakih sposobnosti razmerja genotipov ohranjajo. Dedovanje dveh lastnosti Sedaj pa proucujemo potomce glede na dvoje lastnosti. Prva se navzven kaže kot A oz. a, druga pa kot B oz. b. Ce križamo rastline, ki imajo genotipa AABB in aabb, imajo vse rastline v prvi generaciji genotip AaBb, kar dobimo s produktom ■ (A + A)(a + a)(B + B)(b + b) = 4Aa4Bb = 16AaBb. Ker je genetska zasnova enega roditelja enaka ■ (A + a) ■ (B + b) = AB + Ab + aB + ab, dobimo vse možne genotipe v drugi generaciji s produktom ■ ((A + a)(B + b))2 = = (AA + 2Aa + aa) ■ (BB + 2Bb + bb) = AABB + 2AABb + AAbb + 2AaBB + + 4AaBb + 2Aabb + aaBB + 2aaBb + + aabb. Ta produkt lahko nazorneje prikažemo s tabelo 2. gamete staršev AB Ab Ab aB ab AB AABB AABb AaBB AaBb Ab AABb AAbb AaBb Aabb aB AaBB AaBb aaBB aaBb ab AaBb Aabb aaBb aabb TABELA 2. Razmerje genotipov pri dedovanju dveh lastnosti. Opazimo, da so genotipi v razmerju 1 : 2 : 1 : 2 : 4:2:1:2:1. Razmerje fenotipov 9:3:3:1 pa dobimo s produktom fenotipov za posamezno lastnost: ■ (3A + a) ■ (3B + b) = 9AB + 3aB + 3Ab + ab. Vse možne genotipe v tretji generaciji dobimo s produktom ■ ((A + A) ■ (B + B) + (A + A) ■ (B + b) + + (A + a) ■ (B + B) + (A + a) ■ (B + b) + + (A + A) ■ (B + b) + (A + A) ■ (b + b) + + (A + a) ■ (B + b) + (A + a) ■ (b + b) + + (A + a) ■ (B + B) + (A + a) ■ (B + b) + + (a + a) ■ (B + B) + (a + a) ■ (B + b) + + (A + a) ■ (B + b) + (A + a) ■ (b + b) + + (a + a) ■ (B + b) + (a + a) ■ (b + b))2 = = 256AABB + 512 AABb + 256AAbb + + 512 AaBB + 1024AaBb + 512Aabb + + 256aaBB + 512aaBb + 256aabb. Ce pogledamo koeficiente pred posameznimi členi, dobimo enako razmerje genotipov kot v drugi generaciji: ■ 1:2:1:2:4:2:1:2:1. Dedovanje n lastnosti Zaradi preglednosti uredimo razmerja genotipov tako, da bomo najprej zapisali genotipe brez hetero-zigotnih alelnih parov, nato genotipe z enim hete-rozigotnim parom, nazadnje genotipe, ki imajo le heterozigotne alelne pare. Tako je: razmerje pri dedovanju ene lastnosti AA : aa : Aa = 1:1:2, ■ razmerje pri dedovanju dveh lastnosti AABB : AAbb : aaBB : aabb : AABb : AaBB : Aabb:aaBb:AaBb= 1:1:1:1:2:2:2:2:4. Oglejmo si, kakšno je razmerje genotipov, če opazujemo n lastnosti. Ustrezna razmerja bi dobili iz koeficientov izračunanega produkta: ■ ((A1 + a1) ■ (A2 + a2) ■ (A3 + a3)... (An + an))2. Koeficienti pred vsemi genotipi, ki imajo k hetero-zigotnih (k = 0,..., n) in n - k homozigotnih alelnih parov, so enaki, in sicer 2k, ker lahko vsakega od teh k parov zapišemo na dva naana Aiai ali aiAi. Za doloatev razmerja pa potrebujemo še število takšnih genotipov. Najprej izmed n mest (vsako mesto pripada eni lastnosti) izberemo k mest za heterozigotne alelne pare. To lahko naredimo na (n) naa-nov. Za vsako od k mest imamo le eno možnost, saj sta razporeditvi Aiai in aiAi genetsko enaki. Za preostalih n - k mest, dolocenih za homozigotne pare, pa imamo po dve možnosti AiAi ali aiai, zato je iskano število enako n nk Primer. Poglejmo si dedovanje treh lastnosti (n = 3). Število genotipov brez heterozigotnih alelnih parov s koeficienti 20 = 1 je enako 23-0 = 8. Število genotipov z enim heterozigotnim alelnim parom s koeficienti 21 = 2 je enako 23-1 = 12. Število genotipov z dvema heterozigotnima alelnima paroma s koeficienti 22 = 4 je enako 23-2 = 6. Število genotipov brez homozigotnih parov s koeficienti 20 = 1 je enako 23-3 = 1. Število vseh razlimih genotipov je enako 3n, saj imamo za vsako od n mest (vsako mesto pripada posamezni lastnosti) tri razlime možnosti: ■ AiAi, Aiai ali aiai. Razmerje fenotipov pa dobimo, ce izracunamo produkt: Dobimo razmerje ■ 1:1:1:1:1:1:1:1:2:2:2:2:2: :2:2:2:2:2:2:2:4:4:4:4:4:4:8. Število razlicnih genotipov je enako 3n = 33 = 27. Koncajmo z mislijo, ki jo je pred vec kot tristo leti zapisal Galileo Galilei: Zakoni narave so zapisani v jeziku matematike. Literatura [1] B. Brajkovic, Genetika, Ljubljana, DZS, 2006. [2] G. Valentic, Matematika u prirodi, PlayMath, Vol. V, No. 14, Studeni 2007. _ XXX www.presek.si www.dmfa.si (3A1 + a1) ■ (3A2 + a2) (3An + an). www.dmfa-zaloznistvo.si k Ful drgacen test iz mate Ф •i' Np Jurij Kovic Včeraj me je na tržnici ustavil klošar Cufi, bivši direktor propadle banke, mi pomolil pod nos list papirja in rekel: »Ej, stari, maš pet minut cajta? Pol pa prever svoje znanje mate s tem testom! Poišč, kva štima, kva pa ne! Pa dej mi mau drobiža za hrano, lačn sm!« Zavzdihnil sem, mu dal nekaj malega kovancev in spravil papir v žep. Šele doma sem ga pogledal in kmalu presenečen ugotovil, da bi ta test lahko bil zanimiv tudi za bralce Preseka. Kdor se torej ne boji soočiti se s svojim neznanjem, naj test poskusi rešiti. Navodilo za reševanje: pri vsakem vprašanju obkroži pravilno trditev (lahko jih je tudi več ali pa ni pravilna nobena). Za vsak pravilni odgovor dobiš eno točko. 1. Aritmetika a) 0/0 = 0, ker je 0 ■ 0 = 0. b) 3 - 6 = 3, ker je 3 + 3 = 6. c) V-T = -1, ker je v—a = -Ja. d) 1/3 + 1/5 = 1/8, ker je 3 + 5 = 8. e) 5/5 > 3/3, ker je 5 > 3. f) 1/3 = 0,3333..., kjer se trojke ponavljajo v neskončnost. g) 5 ■ 3 + 2 = 25, ker ima seštevanje prednost pred množenjem. 2. Geometrija a) Trikotnik je lik, v katerem velja Pitagorov izrek. b) Dva trikotnika sta si podobna, če imata enake kote in enaki ploščini. c) Nobena dva trikotnika si nista povsem podobna. d) Vsi trikotniki so si podobni - če si videl enega, si videl vse. 3. Števila Kolikšna je natančna vrednost števila n ? a) n = 7/22 b) n = 22/7 č) n = 3,14 d) Ne vem, ampak naša učiteljiča ve. e) Tega nihče ne ve. 4. Algebra a) (a + b)2 = a2 + b2. b) Če je a2 = b2, potem je a = b. č) a : b = b : a, ker velja a ■ b = b ■ a. d) Če je a ф b, potem je 1/a - 1/b = 1/(a - b). 5. Kombinatorika Na koliko načinov se lahko oblečem, če imam eno kapo, dva šala, tri puloverje, štiri hlače in pet parov čevljev? a) Na en sam način. b) Na 5! = 5 ■ 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 = 120 načinov. č) Na 37 načinov. 6. Teorija množic Kaj je prazna množiča? a) Množiča, ki vsebuje kot svoj edini element število 0. b) Množiča, ki nima nobene podmnožiče. č) Množiča, ki ni vsebovana v nobeni množiči. 7. Logika Iz gradu brez nadstropij, v katerem straši, lahko pridem tako, da se ves čas držim: a) leve strani hodnikov, b) desne strani hodnikov, č) tiste strani hodnikov, na kateri je okno na zunanje dvorišče, d) tiste strani hodnikov, na kateri je okno na notranje dvorišče. —^ 8. Obrestni racun Če se izdelek podraži za 20 odstotkov in cez mesec dni spet poceni za 20 odstotkov, potem stane po pocenitvi: a) enako kot pred podražitvijo, b) vec kot pred podražitvijo, c) manj kot pred podražitvijo. Ce je Cufi znal matematiko tako slabo, da je verjel v pravilnost vecine gornjih trditev, potem res ni cudno, da je banka, ki jo je vodil, propadla! _ XXX Križne vsote 9. Verjetnostni račun Pri metu dveh kock je verjetnost, da skupaj poka-žeta šest pik, enaka: a) 1/6, b) 1/3, c) 2/3, d) 5/36. 10. Razvedrilna matematika Šahovnici z 8x8 polji odrežemo eno vogalno polje. Ali je mogoce preostala polja šahovnice prekriti s plošcicami iz treh polj v obliki crke L (glej sliko)? -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. 10 16 9 4 20 9 7 11 11 3 a) Da b) Ne. 11. Zgodovina matematike Kaj je izracunal Jurij Vega? a) Tabelo logaritmov. b) Število n na vec kot 120 pravilnih decimalk. 12. Poliedri Za katero od naslednjih teles z V oglišci, E robovi in F lici ne velja zveza: V - E + F = 2? a) Tetraeder, b) kocka, c) oktaeder, d) dodekaeder, e) ikozaeder. RES ITEV KRIŽ NE VSOTE Z L 3 6 Z 11 9 L < 6 E 6 8 4 L Z \0L XXX Vrzimo kamen v vodo Andrej Likar -> Na sprehodu v naravi pogosto naletimo na mirno gladino veCje luže ali jezerca. Ne moremo si kaj, da gladine ne bi vzvalovali z metom kamna v vodo, Ce le ni v bližini kakega ribiCa. Od pljuska se širijo koncentriCni valovi daleC stran. Valovi so v svetlobi, ki se odbija od gladine, lepo vidni (glej sliko na naslovnici in sliko 1, kjer smo valovanje izraCunali). Oglejmo si to širjenje podrobneje! SLIKA 1. SLIKA 2. Izračunano valovanje v idealiziranem primeru, ko z udarcem Valovanje okrog pljuska, ki bi se širilo s hitrostjo c in bi veljalo vzbudimo gladino. Av = c. —^ Na omenjeni sliki opazimo, da valovi nimajo enake valovne dolžine. Valovi dlje od pljuska so daljši, tisti blizu pa krajši. Tudi sicer ni težko opaziti, da so daljši valovi precej hitrejši od krajših, zato v danem Času tudi pridejo dlje od pljuska. Vendar dolgi valovi hitro zamirajo in jih je daleč stran vedno teže slediti. Ko obravnavamo valovanje, ne moremo mimo osnovne enačbe, ki povezuje valovno dolžino Л, frekvenco v in hitrost širjenja valovanja: ■ Лv = c. Če bi za valovanje na vodni gladini veljala ta enačba, bi se vsi valovi z različnimi valovnimi dolžinami širili z enako hitrostjo c. Valovanje okrog pljuska bi izgledalo nekako tako, kot prikazujejo slike 2a-d. Jasno bi videli valovno čelo, to je mejo, onkraj katere valovanja ne opazimo. Kot kažejo slike, je valovanje na vodni gladini prečej drugačno. Hitrost valovanja сЛ z dano valovno dolžino Л je odvisna od valovne dolžine, torej moramo zapisati zgornjo enačbo takole: ■ Лv = сл. V vodi, ki je v primeri z valovno dolžino Л globoka, je hitrost valov сЛ podana kot СЛ = (1) Tu je g pospešek prostega pada, ki je, kot vemo, približno 10 ms-2. Daljši valovi so, kot pove zgornji izraz, hitrejši od krajših. Pravimo, da kaže valovanje na vodni gladini izrazito disperzijo. Valovanje z disperzijo se širi na prav poseben način. Ker posamezni valovi z danimi valovnimi dolžinami medsebojno interferirajo, se amplituda izbranega vrha, ki mu sledimo z očmi, zelo hitro manjša, prečej hitreje kot bi to pričakovali pri krožnem valu brez disperzije (glej sliko 2). To nazorno vidimo na sliki 3, kjer sledimo vrhu, označenim z modro piko. Priznati moramo, da se energija valovanja giblje počasneje kot sam vrh vala. Razmere so nekoliko jasnejše, ko interferirajo le valovi z valovnimi dolžinami, ki so si blizu skupaj. Na sliki 4 smo izračunali tak primer, kjer se nazorno vidi, da se valovna gruča giblje s polovično hitrostjo izbranega vrha. To je značilno za zvezo (1). A лУ t i \ \/ v л v/ A V Л У \ / • • • 0 5 10 15 20 SLIKA 3. Valovanje na gladini globoke vode v dani smeri. Vrh, označen z modro piko, se hitro izgublja. SLIKA 4. Valovna gruča, sestavljena iz valov z ne zelo različno valovno dolžino. Lepo vidimo, da se izbrani vrh (ali dolina) giblje dvakrat hitreje kot gruča sama. SLIKA 5. Izračunani kapilarni valovi, ki jih vzbudi kapljica, ki pade na vodno gladino. Tu so drobni valovi hitrejši od daljših. Drobni valovi, ki jih vzbudijo na gladino padajoče kapljice, se širijo drugače kot smo privzeli zgoraj. Te žene površinska napetost gladine in skoraj niC teža. Hitrost valov c\ je tu takole povezana z valovno dolžino: Z у smo oznaCili površinsko napetost vode, ki je pri sobni temperaturi 73 mN/m2, z g pa njeno gostoto. Za valove z valovno dolžino okrog milimetra je hitrost 0,7 ms-1. Iz izraza razberemo, da tu drobnejši valovi prehitijo daljše. To se lepo vidi na sliki 5, kjer smo valovno polje izraCunali. Slika 6 pa je fotografija valovanja kapljice, ki je zadela mirno vodno gladino. Tudi tu so drobni kapilarni valovi dlje od središCa kot daljši. Pozornemu opazovalcu, ki sam vzbudi tako valovanje na gladini, ne bo ušlo, da valovna gruCa v tem primeru prehiteva valove, ki jo tvorijo. SLIKA 6. Fotografija valovanja kapljice, ki pade na mirno vodno gladino. (Foto Marko in Nada Razpet) _ XXX O Štefanovem akustičnem poskusu ффф Janez Strnad -> Jožef Stefan je pred matematično-naravoslov-nim razredom cesarske akademije znanosti na Dunaju 11. maja 1886 predaval O nekem akustičnem poskusu. Tedaj enaintridesetletni Stefan je tri leta pred tem postal redni profesor na dunajski univerzi ter leto pred tem direktor fizikalnega inštituta in redni član akademije. Razprava o akustičnem poskusu v Poročilih dunajske akademije znanosti ima v seznamu 83-ih Štefanovih del številko 28. V razpravi je Stefan brez uvoda opisal vrsto poskusov z zvokom. Kvadratno kovinsko ploščo je z vozelni črti violinskim lokom spravil v nihanje, tako da sta vozelni črti ležali na njenih diagonalah. Vozelni črti, v katerih so deli plošče mirovali, je bilo mogoče opaziti po tem, da se je na njiju nabrala mivka, ki jo je potresel po plošči. Deli plošče tostran in onstran vo-zelne črte so se gibali pravokotno na ravnino plošče v nasprotnih smereh. Območje plošče s simetralo levo-desno zaznamujmo z L, območje plošče s simetralo od sebe - k sebi pa z N. Ko so se deli L gibali navzgor in stiskali zrak nad ploščo, so se deli N gibali navzdol in redčili zrak nad ploščo. Po poloviči nihaja so se deli L gibali navzdol in deli N navzgor. Od plošče so potovale razredčine in zgoščine, ki jih je bilo slišati kot zvok. Valovi, ki so izhajali iz območja L, so bili za pol nihaja zakasnjeni za valovi iz območja N ali so zaostajali za njimi za pol valovne dolžine. \ / \ / v + \ \ / - os^ L - N + \ / \ K" \ ч L / \XV / v\ Iz. / / \ \ (a) (b) (č) SLIKA 1. Plošča z vozelnima crtama (a), izseka v legi, v kateri slišimo zunaj osi močnejši zvok (b), in v legi, v kateri slišimo šibkejši zvok (c). Valovi so se sestavili, interferirali. V navpiCni osi nad sredino plošCe so se popolnoma oslabili. Po osi ni bilo slišati zvoka. Stefan je iz lepenke izrezal izseka s središCnim kotom 90°. Zunaj osi je bilo slišati ojaCeni zvok, Ce je izseka podržal nad plošCo, tako da sta se robova pokrivala z vozelnima Crtama. Zvok pa je bil oslabljen, Ce sta bila robova izsekov vzporedna z robovi plošCe. Zvok je bil izmenoma moCan in šibek, je utripal, ko je izseka vrtel nad plošCo. Utripanje je bilo poCa-snejše, Ce je izseka vrtel poCasneje, in hitrejše, Ce ju je vrtel hitreje. Pri dovolj hitrem vrtenju prvotnega zvoka ni bilo veC slišati, pojavila pa sta se dva zvoka, višji in nižji ton. Po frekvenCi sta se tem bolj razlikovala, Cim hitrejše je bilo vrtenje. Podoben pojav je opazil, Ce sta izseka mirovala, a je okoli osi vrtel zveneCo plošCo. Pojav je opazil tudi brez izsekov, Ce je samo vrtel zveneCo plošCo. Pripomnil je, da so poroCali o poskusih te vrste z vrteCimi se glasbenimi viliCami. Kar je opazil pri poskusih, je Stefan podprl z raCunom. Zvok s frekvenCo v = l/T, Ce je T nihajni Cas, v doloCeni toCki opišemo z nihanjem delov zraka asin2nvt. Jakost zvoka je sorazmerna s kvadratom a. Naj se jakost zvoka peri-odiCno spreminja s frekvenCo v'. Potem gibanje delov zraka opiše izraz: asin2nv't sin2nvt. Z izrekoma za kosinus vsote in razlike izraz preuredimo: a sin2nv't sin2nvt = = l a cos 2n(v - v ')t - 2 a cos 2n(v + v ' )t. Zares pri dovolj hitrem utripanju tona s frekvenco v slišimo tona s frekvencama v + v' in v - v'. Frekvenci tonov se tem bolj razlikujeta, Cim veCja je frekvenca utripanja v'. poskusu. Pred tem je pregledal literaturo. Zapisal je: »Ob Casu objave navedenega sestavka nisem vedel, da so opisanee poskuse naredili drugi že pred menoj. Odtlej sta prišli tudi dve zahtevi za prvenstvo. Poleg tega sem našel v literaturi starejša poroCila o tovrstnih poskusih.« Nato je naštel, kdo je pred njim naredil podobne poskuse. Nekatere izvedbe poskusa so opisali v uCbenikih in veCkrat so o njih poroCali v revijah. Nekaj poskusov je naredil Ernst Mach in te je Stefan izCrpneje opisal in dodal nekaj svojih ugotovitev. Ponovil je tudi nekaj poskusov s sireno. Pod glasbenimi viliCami je vrtel plošCo z odprtinami na krožniCi v enakih razmikih. Poskuse te vrste je naredil Hermann von Helmholtz, ko je raziskoval, kako zaznavamo zvok. Na koncu sestavka je Stefan zapisal: »Upam, da sem s tem dodatkom dosegel postavljeni namen, namreC to, da sem zavaroval pravice vsakega fizika, ki je bil udeležen pri teh poskusih, kolikor mi dovoljuje sedanje poznavanje virov.« Zanimanje za poskuse z zveneCimi plošCami in raziskovanje vozelnih Crt je razširil Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827). Vozelne Crte poznamo Stefan je poskus še izpopolnil. Pred vrteCo se plo-šCo je pravokotno na ravnino plošCe, premaknjeno od osi, postavil cevko, ki je ojaCila le višji ton, ali krajšo cevko, ki je ojaCila le nižjega. Tako je zaznaval posebej ton s frekvenco v + v' ali ton s frekvenco v - v'. 2. novembra 1866 je Stefan pred akademijo nastopil z Dodatkom k razpravi O nekem akustičnem SLIKA 2. Chladnijeva slika na sredini vpete kvadratne nihajoče plošče z diagonalnima vozelnima črtama. -> kot Chladnijeve figure. Že leta 1680 jih je opazoval Robert Hooke, kije spravil v nihanje stekleno plošco, posuto z moko. Chladni, slovaškega porekla, je na oCetovo željo študiral pravo na nemških univerzah in študij konCal leta 1782. Potem je lahko dal duška svojemu zanimanju za fiziko. Izmeril je hitrost zvoka v razliCnih plinih in leta 1787 objavil Odkritja o teoriji zvoka. To mu je prineslo naslov »oCe akustike«. Leta 1794 so ga pritegnile govorice o kamnih, ki padajo izpod neba. Tedaj se je zdelo to nemo-goCe in Chladni si je s svojim zanimanjem nakopal posmeh uCenih ustanov. Na pravniški naCin je po knjižniCah iskal podatke in ugotovil skupne poteze razliCnih poroCil o kamnih izpod neba. Po njih je sklepal, da izpod neba zares padejo kamni, Ceprav poredko. Zato je znan tudi kot »oCe meteoritov«. Knjigo O ognjenih meteorjih in o masah, ki so padle z njimi je izdal šele leta 1819, ker so ga medtem zaposlili poskusi z zvokom. Pohvalil se je, da je kot fizik leta 1794 »naCel vprašanje izpod neba padlih meteorskih mas in njihovega vesoljskega izvora«. Za koneC omenimo, da so poskusi opisane vrste z zvokom pomembni še danes. Leta 2007 je sedem raziskovalCev s šviCarskih in ameriških ustanov v imenitni reviji PhysiCal Review Letters objavilo Cla-nek Chladnijeve figure ponovno v nanomehaniki. Hooke, Chladni, Stefan in drugi so opazovali vozelne Crte na plošCah, ki so nihale v zraku. DelCi moke ali mivke so se gibali proti vozelnim Crtam in ob njih ob-mirovali. Sodobni raziskovalCi so opazovali gibanje zelo drobnih delCev nad plošCiCami v tekoCini. Ugotovili so, da delCi s premerom nekaj nanometrov (mi-lijardin metra ali milijonin milimetra) silijo proti vozelnim Crtam, delCi s premerom nekaj mikrometrov (milijonin metra ali tisoCin milimetra) pa proti delom plošCiC, ki najmoCneje nihajo. Pojav so preiskali in tudi pojasnili s tokovi v tekoCini. Ugotovitev je pomembna, ker odpira možnost za razvršCanje zelo drobnih delCev po velikosti. _XXX SLIKA 3. Diagrama odmika delov plošče, ko odmik doseže največjo vrednost (a) in pol nihaja pozneje (b) ter skupni diagram (c). Odmiki so narisani močno pretirano. www.presek.si www.dmfa.si www.dmfa-zaloznistvo.si Razmisli in poskusi -i' Ф Ф Mitja Rosina 55. Trenje pri smučanju Kako hitro bi drveli po strmini, ce ne bi bilo trenja in zračnega upora! Vendar je bolje, da ju imamo. Kako bi se sicer ustavili, kadar zdrsnemo ali kadar želimo zaključiti! Pri majhnih hitrostih prevladuje trenje, pri velikih pa zračni upor. Omejimo se na silo trenja, ki je približno sorazmerna s silo na podlago: ■ Ftr = ktr mg cos 9. Pri tem je m masa smučarja, g je pospešek prostega pada (jakost gravitacijskega polja), 9 je naklonski kot smucišca, sorazmernostni faktor ktr pa imenujemo koeficient trenja. Pri vecini trdnih snovi je koeficient trenja med 0,5 in 1, pri snegu pa je veliko manjši, zlasti ce so smuci gladke in namazane z voskom. Zato nam tako lepo drsi! Mehanizem tako majhnega trenja je precej zapleten in zelo odvisen od kakovosti snega ter temperature. Še dandanes ga podrobneje raziskujejo. Glavni razlog je tanka plast vode (manj kot mikrometer), ki nastane vsaj deloma zaradi segrevanja s trenjem, zlasti pri temperaturah blizu 0 °C. Tako smucke »plavajo na vodi« in imamo opravka z mokrim trenjem - voda služi kot mazivo. Pomaga tudi krhkost snežnih kristalov oz. kosmov, tako da se tudi prilepljeni deli smuck, ki zavzemajo manj od 5 %, hitro osvobodijo. www.dmfa.si www.dmfa-zaloznistvo.si Naloga. Oceni koeficient trenja med smucko in snegom pri tipicnih pogojih (vrstah snega in temperaturah), ki te na smucanju doletijo. Predlagamo, da poišceš smucišce z vodoravnim iztekom in izmeriš dolžino L vodoravnega dela. Nato vzameš zalet s primerne višine, prijatelj pa meri cas na vodoravnem izteku, dokler se ne ustaviš. Izmerita tudi dolžino tega vodoravnega odseka. Potem velja zveza ■ L = ktrg t2/2. Izpelji jo tudi sam. Najbrž si opazil, da se pri pospešku (»pojemku«) a = -Ftr/m masa pokrajša, saj je sila trenja sorazmerna s težo smucarja. Druga možnost je meritev koncne hitrosti na enakomerno strmem pobocju z dolžino L. Tu moraš upoštevati naklonski kot pobocja (kako ga izmeriš?). Pobocje mora biti položno, da prevlada trenje, sicer boš moral upoštevati še zracni upor. Koeficient trenja dobiš iz zveze ■ (g sin 9 - ktr g cos 9) L = vkoncna/2. Tudi to izpelji še sam (kineticna energija smucarja služi za delo proti trenju). Masa se pokrajša. Ce je pobocje prepoložno, seveda ne drsiš in formula nima smisla. Ce poizkusiš razlicne dolžine smuka, boš opazil, da koeficient trenja ni cisto neodvisen od hitrosti. S hitrostjo narašca in je zato koncna hitrost pri dani strmini pobocja omejena. _XXX PRESEK 41 (2013/2014) 4 15 razvedrilo Nagradna križanka razvedrilo BALETNA PLESALKA VRHOVEC NEIMENOVANA REC ALI OSEBA, ONEGA IDRIJSKI RUDNIŠKI ZDRAVNIK V18. STOL. (GIOVANNI) H NEMIRNA AFRIŠKA DRŽAVA VELIKO ŽIVČNO VOZLIŠČE V MOŽGANIH FRANC. PISATELJICA, BARONICA, KI SE JE ZAVZEMALA ZA EMANCIPACIJO ŽENSK (GERMAINE DE) ANG. RAZISKOVALEC ANTARKTIKE (ROBERT) GRADBENI POKLIC INDIISKI ŠAHIST ZVEZDA OZVEZDJA DVOJČKA ČEBELI PODOBNA ŽUŽELKA NEPRE-MOCUIVO GOVEJE USNJE PREGREŠNI GR. KRALJ, KIJE TRPEL HUDE MOKE 13 NERODEN, OKOREN ČLOVEK NEKDANJI REKTOR LJUBU. UNIVERZE KRAU RAČUNSKI ZNAK VRTJIA ROZA SOVJETSKO KAZENSKO TABORIŠČE FILIPINSKI VULKAN 10 AVTOR MARTINA KRPAMA (FRAN) NAREČNI IZRAZ ZA HLOD PREDSTOJNIK SAMOSTANA IZGUBA NATURA ČRKA V SEČNICA SMUČAR, KI GOJI NAJHITREJŠO SINTETIČNA TKANINA OTOK V FRANC. GEOGRAF. IMENIH POTOVANJE V SVETI KRAJ STAROGR. UČENJAK 12 POLJEDELSKI VLAČILEC ALFRED NOBEL NERAZDELJEN OSTANEK KART iШШ ŠE NEODGNAN BRST OGLJIKOV. NORVEŠKI SMUČARSKI TEKAČ VIGEN HATTEST«] LJUBITELJ VSEGA ITALUAN-SKEGA LASULJA, PERIKA MESTO NA CIPRU 3. OSEBA EDNINE 15 ШШ SRBSKI PISATELJ KAPOR BIVALNA USTANOVA 11 POKOJNI VODJA BIG BAffpA RTV (JOŽE) STVAR, KI KAJ DAIE ZA MOČ AMERIŠKA UPRAVA ZA VESOLJSKE POLETE 0mfa ALBERT EINSTEIN HRIBOVJE NA INDIJ. POLOTOKU PERU GRAFIČNO NEMŠKA OBUKO-IGRALKA VANJE: 50MMER MATEVŽ BOKALIČ IAS PESNIK, UREDNIK PISAHIC (FELIKS) PLESNI UČITELJ JENKO SOSEDI ČRKE S NAŠ BIATLONEC (JAKOV) NAGRADNI RAZPIS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marca 2014, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ XXX Kakšne oblike so zajčki? Odgovor naloge Mojca Čepic Igranje s svetlobnimi zajčki je zagotovo vedno zanimivo. Pri tem lahko ugotovimo osnovne naravne zakonitosti (npr. svetloba se odbija od zrcala pod enakim kotom, kot nanj pada). Ugotovimo pa lahko tudi, da svetloba spremeni smer širjenja, ne pa tudi drugih lastnosti, ki jih lahko zaznamo z očesom. Intenziteta in barva svetlobe npr. ostaneta enaki, če zrcalo ni pobarvano ali ni zelo umazano. Ker se te lastnosti svetlobe ohranjajo, smer odbite svetlobe pa je predvidljiva, v zrcalu vidimo predmete. Tokrat smo poskušali odgovoriti na naslednja vprašanja. Kaj se zgodi, ce je zrcalce majhno? Kakšna bo svetlobna lisa na zaslonu, ce del zrcala prekrijemo in pustimo, da se svetloba odbija le na majhnem delu zrcala? Poskuse na slikah smo izvedli z zrcalom, ki smo ga pokrili s papirjem, v katerega sta bila izrezana romba enake oblike, a razlicnih velikosti. Ob sonc nem dnevu smo z nepokritim delom naredili zajcka, svetlobni lisi oz. zajcka pa smo prestregli na zaslon. Nato se je oseba z zaslonom pocasi oddaljevala od zrcala, oseba z zrcalom pa je poskušala sukati zrcalo tako, da zajcek ni pobegnil z zaslona. Opazovali smo obliko zaj cka. Na sliki vidite, da je bil prvi posnetek narejen iz precejšnje bližine. SLIKA 1. Postavitev poskusa, pri katerem smo videli svetlobne lise (zgoraj desno). Oseba na levi drži v rokah zrcalo in usmerja odbito svetlobo na zaslon osebi na desni (zgoraj levo). Enaka postavitev poskusa, le s precej večjo razdaljo med zrcalom in zaslonom (spodaj levo) ter svetlobni lisi na zaslonu (spodaj desno). A vendar lahko že opazimo nekaj podrobnosti. Manjša svetlobna lisa, ki je nastala zaradi odboja svetlobe na manjšem nepokritem delu zrcala, ima obliko kroga. Večja svetlobna lisa ima obliko odprtine - romba, a hkrati ima že nekoliko difuzne robove in zaobljene vogale. Podrobnejše opazovanje izvedite sami. Romb se počasi spreminja v obliko na naslednji sliki (posneta na precej večji razdalji). Vidimo, da imata obe svetlobni lisi enako obliko, tudi enako velikost, a se razlikujeta po svetlosti. Ta pojav smo že srečali in se tudi z njim že ukvarjali, le da smo tedaj opazovali oblike svetlobnih lis, ki nastanejo, ko svetloba »lije« skozi odprtine različnih oblik [1]. V vsakdanji rabi so tudi različni predmeti, ki si-čer niso zrčala, a vendar odbijajo svetlobo, na enih mestih bolj, na drugih manj. Vsi predmeti, ki imajo zelo gladke plastične površine, delujejo tudi kot dobri odbojniki. Če se v njih lahko vidite, potem jih lahko uporabite tudi za številne poskuse z odbojem svetlobe. Na sliki 2 lahko vidite odboj svetlobe od zadnje strani IPhona. Telefon ima srebrn vstavek v obliki jabolka, ki deluje kot majhno, a zelo dobro zr-čalo. Kot nekoliko slabše zrčalo z relativno veliko absorpčijo pa deluje tudi čelotna plastična površina. Oglejmo si še rezultat zadnjega predlaganega poskusa. Z dvema nepokritima zrčaloma smo naredili zajčka na oddaljeni steni. Kakšne oblike sta bila? Okrogle kot Sonče! Ko govorimo o tem, da je zaslon daleč, pomeni to zgolj to, da ga primerjamo z dimenzijami zrčala, ki »meče« zajčka. Tudi veliko zrčalo se za zajčke na oddaljenih zaslonih obnaša kot majhno. Sedaj nam ostane še razlaga, zakaj tako. Skiče in podrobnejšo razlago si lahko preberete v poizku-ševalničah [1, 2]. Na tem mestu povejmo samo to, s čimer smo pravzaprav začeli. Zrčalo samo spremeni smer svetlobi po odbojnem zakonu, vse ostale lastnosti svetlobe pa ostanejo nespremenjene; vsaj tiste, ki jih zaznamo s prostim očesom. Dogajanje je enako kot brez zrčala, le smer svetlobe je spremenjena. Torej, svetloba s Sonča je na zrčalu spremenila smer. Če si predstavljamo, da bi se svetloba odbila na zelo velikem zrčalu, bi osvetlila zelo veliko steno. Če pa smo del zrčala omejili, vpliva ta košček zrčala na odbito svetlobo enako kot luknja nepravilne oblike med npr. listi drevesa. Pod drevesom na tleh nastane svetlobna lisa kamor pada svetloba direktno; če je svetloba vmes padla na zrčalo, pa pade nekam drugam - zajček je pri velikih razdaljah okrogel. SLIKA 2. Odboj svetlobe s telefona. Dokler je telefon blizu zaslona, se jasno ločijo svetlobne lise, ki nastanejo na delih telefona, kjer se svetloba odbija kot od zrcala. V svetlobni lisi so tudi dobro ločljive oblike »senc« nalepk, na katerih se svetloba odbija difuzno (levo). Tako svetlobne lise kot sence nalepk se pri večji razdalji preoblikujejo v bolj in bolj okroglo obliko - v obliko svetila Sonca (desno). Barvni sudoku V 8 X 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 X 4) nastopalo vseh 8 števil. SLIKA 3. Na oddaljeni steni vidimo dva zajčka, ki sta nastala z dveh nepokritih zrcal. Koje zaslon dalec, tudi veliko zrcalo mece okroglega zajčka, ce je dovolj ravno (zgoraj). Na sliki so svetlobne lise, ki so nastale zaradi odboja soncne svetlobe na stavbi, ki je v celoti oblecena v steklo. Take steklene površine niso popolnoma ravne [3], zato imajo tudi zajcki lahko cudne oblike (spodaj). Literatura [1] M. Čepič, Kakšno obliko ima svetlobna lisa? Odgovor naloge, Presek 35 (2007/08), 3, 18-19. [2] M. Čepič, Oblika sence majhnih predmetov v sončni svetlobi, Odgovor naloge, Presek 34 (2006/07), 4, 18-19. [3] A. Likar, Skrivljena zrcala, Presek 26 (1998/99), 2, 66-70. _ XXX o v O □ O (Л > a < co > ш * £ a 1 2 7 8 6 5 7 .............. 2 8 5 2 5 6 1 3 7 3 4 6 L L 6 E 17 8 S Z Z 4 S 8 L 9 3 7 8 Z 3 1 S 17 L 6 L 9 17 5 8 L 2 E 5 8 L L 2 E 9 17 17 E Z 9 7 5 8 L 6 L 8 Z E 7 17 S E S L 17 9 2 1 8 XXX Kako in zakaj naj se učitelj fizike ukvarja tudi z astronomijo Andrej Rutar V prispevku bomo predstavili svojo izkušnjo pri popularizaciji astronomije v Vipavski dolini. Osredotočili se bomo na razvoj dogajanja v zadnjih petih letih in predstavili, kaj je mogoče narediti ter kaj je za to potrebno. Predstavili bomo opremo, s katero smo začeli, in to, kar imamo danes. Predlagali bomo način dela z mladimi, ki se je pri nas obnesel in pripeljal do lepih rezultatov. Čeprav so pred nami še veliki izzivi, so pri vsej zgodbi najpomembnejši majhni koraki, jasen cilj in veselje do raziskovanja vesolja. Za to pa niso potrebni niti vrhunski rezultati niti ne potrebujemo ogromno finančnih sredstev. Kako smo zaceli Leto 2009 je bilo razglašeno za mednarodno leto astronomije. V naši dolini sta se že v preteklosti z astronomijo ukvarjala Jože Rutar (uatelj fizike na OŠ Draga Bajca v Vipavi) in Miro Perhavec (ljubiteljski astronom). Dejavnosti so bile omejene predvsem na delo z ucenci OŠ Draga Bajca in na kakšno javno opazovanje v bližnjih vaseh. V Ajdovšcini in Vipavi pa smo se tudi mlajši profesorji fizike že nekoliko ukvarjali z astronomijo (diplomske naloge, pomoc pri opazovanjih). Ker se je bilo mogoce v šolah dodatno opremiti z astronomskimi pripomocki in ker smo se odlocili, da mednarodno leto astronomije simbolno izkoristimo tudi za ustanovitev Astronomskega društva Nanos, poti nazaj ni bilo več Z delom smo prepricali ravnatelje, da je vredno z dodatnim finanmim vložkom opremo še nadgrajevati. Oprema Pred letom 2009 je OŠ Draga Bajca v Vipavi že razpolagala z 20 cm teleskopom MEADE LX 200, OŠ Danila Lokarja pa z 20 cm Celestronovim Schmidt-Cassa-grain teleskopom. Sledile so nadgradnje in v naslednjih letih so šole že imele: Coronado, Solarscope, Skywatcher 127, Sky Watcher 200 na CGEM montaži (2x), Sky Watcher 200 na EQ5 montaži, Sky Watcher 250 na EQ6 montaži, 30 cm MEADE LX 200, APM refraktor 106 mm na CGEM montaži, filterska kolesa, filtri (LRGB, Ha, OIII, SII), CCD kamere za astrofotografijo in CCD kamere za dodatno vodenje teleskopa, fotoaparate, SQM. Astronomsko društvo pa je kupilo: binokularje, skyscout-a, Dobson Sky Watcher 200 mm, stojala za fotoaparate. Nabor opreme je zelo velik, vendar je potrebno vedeti, da je tu našteta oprema treh osnovnih in ene srednje šole ter društva. Prav sodelovanje pa je bistveno za doseganju rezultatov oz. za lažje delo z astronomskimi vsebinami. Način dela in delo z mladimi (»naš« model) Astronomsko društvo je pomembno zato, da združuje ucitelje fizike, ki se ukvarjajo ali se želijo ukvarjati z astronomijo. V društvu je potrebno ohranjati izobraževanja in skupinska opazovanja, kjer se izmenjujejo prakticne izkušnje med clani. Pomembnejši clani društva so gotovo prav ucitelji in mentorji, ki skrbijo za nadaljnje izobraževanje mladine. Izobraževanje mladine je za nas eden od osnovnih namenov. Člani torej skrbijo za izobraževanja in izpopolnjevanja, šole pa izpopolnjujejo opremo. Predvsem clani društva ne smejo zaspati pri dejavnostih z mladimi. To se ne zgodi, ce so med clani tudi ucitelji. Sodelovanje med šolami. Izposojanje opreme med šolami je lahko nekoliko obcutljiva tema. Kaj pa ce se kaj zgodi? Zato je smiselno povezovanje s skupnimi dejavnostmi, opazovanji. Nekatere opreme med sosednjimi šolami ni potrebno podvajati. Če imajo na eni šoli že en tip teleskopa, naj druga šola kupi drugacnega. Na skupnem opazovanju bodo otroci lahko videli in uporabljali oba. Če je otrok prevec, da bi pripravili skupna opazovanja, pa si ucitelji vzajemno pomagajo (danes pridem jaz k tebi na tvoje opazovanje, naslednji teden ti k meni). Od osnovne šole do fakultete. Naši clani so zaceli s krožki astronomije v nižjih razredih osnovne šole. Namen teh krožkov je širiti osnovna spoznanja s področja astronomije na širši krog mladine. Poleg tega pri tem naanu dela pricakujemo, da se bodo pri izbirnem predmetu astronomija v višjih razredih osnovne šole vsaj nekateri ucenci lahko že bolj poglobljeno ukvarjali tako s teoretirnimi kot tudi prak-ticnimi nalogami. Višjo raven tako lahko pricakujemo tudi v gimnaziji. V gimnaziji v Ajdovšani smo tako v letošnjem letu zagotovili vecjo izbirnost predmetov s podrocja naravoslovja. Tako se bo našlo nekaj vec prostora tudi za astronomijo, ki smo jo do sedaj izvajali le v obliki krožka. Po štirih letih dela v gimnaziji so nekateri dijaki gotovo sposobni izvajati zelo zahtevne astronomske naloge in so tudi dovolj navdušeni, da lahko nadaljujejo s študijem fizike, mogoce prav astronomske smeri. Z bivšimi dijaki je vredno obdržati stik, saj so lahko dragocena pomoc pri delu z mlajšimi dijaki ter osnovnošolci. Astronomski tabori. To so dogodki, ki se mladim najbolj vtisnejo v spomin. Poleg praktirnega dela s teleskopi gre tu za življenje v naravi, spoznavanje in druženje z vrstniki, ucenje, kjer cas ne postavlja vecjih omejitev. Preverjena rešitev je v organizacija tabora, kjer kot mentorji sodelujejo tudi ucitelji bližnjih šol. Ti ne le poskrbijo za strokovno delo in opremo, ampak tudi izberejo tiste udeležence tabora, ki jih astronomija veseli. Redno delo izvajamo: ■ v krožku v 2. triadi osnovne šole (predstavitve vsebin, igre, nekaj opazovanj); ■ pri izbirnem predmetu v osnovni šoli (predavanja, opazovanja, prakticne naloge, tabori); ■ v krožku v srednji šoli (redno tedensko srecanje dva meseca pred tekmovanjem z namenom priprave na tekmovanje, ki se zakljua z opazovanjem, ce je lepo vreme; v drugi polovici leta ob-casna opazovanja in projektne naloge s tistimi, ki so najbolj zainteresirani). SLIKA 1. Opazovanje Sonca na taboru za osnovnošolce. Javna opazovanja, ki jih pripravljamo za obcane v okviru kakšnega obcinskega dogodka ali posebnega astronomskega dogodka, so za prepoznavnost astronomske aktivnosti v kraju zelo pomembna. Prvic zato, da obcanom omogocimo vsaj kakšen pogled v vesolje skozi teleskop, drugic pa zato, da smo pri iskanju potencialnih sponzorjev pri izvajanju morebitnih vecjih projektov uspešnejši. Kje smo danes V zadnjih dveh letih se je organiziranost in sistema-ticnost v našem delovanju in sodelovanju zelo pove-cala. Pomemben dogodek, kije zasvojil tako ucitelje kot dijake, je bil astrofotografski tabor, kjer smo zaceli prvic spoznavati tudi fotografsko dejavnost. Naš nacin dela je pripeljal do zelo vidnih rezultatov: ■ zlata priznanja na državnem tekmovanju iz astronomije (osnovnošolci in srednješolci); ■ 1. nagrada na natecaju Slovenija iz vesolja (ogled nemškega nacionalnega vesoljskega centra); ■ udeležba in priznanje na mednarodni olimpijadi v Grciji; ■ udeležba našega dijaka na izobraževanju o organizaciji mednarodnih izmenjav; ■ organizacija mednarodne izmenjave Mladi pod evropskim nebom (Slovenija, Norveška, Bolgarija), kjer so glavno organizacijsko in mentorsko vlogo nosili prav bivši dijaki gimnazije; ■ udeležba ucitelja Andreja Rutarja na izobraževanju Teacher Training Workshop 2013. SLIKA 2. Srednješolci so že dobri astrofotografi. Meglica Konjska glava (IC 434) v Orionu. Kam želimo Trenutno smo v zagotavljanju opreme za avtomatsko voden teleskop in kupolo. Projekt zahteva tudi povezovanje z lokalno skupnostjo. Želimo doseči, da bo gimnazija skupaj z astronomskim društvom upravljala z lastnim observatorijem, namenjenim astrofotografiji. Lokacija observatorija je predvidena na Gori, upravljali pa bi ga na daljavo. Želimo se ukvarjati z raziskovalnimi nalogami, in če bo priložnost, sodelovati z lastnimi opazovanji tudi v kakšnem od širših evropskih projektov. Želimo navezati stike s kakšno od šol iz tujine in nadaljevati s podobnimi mednarodnimi tabori. Zaključek Pri vsakem delu so pomembni majhni koraki, do skokov nato pride samo po sebi. Pomembno je imeti čim bolj jasen cilj in veselje do raziskovanja ter verjeti, da je stvari mogoče realizirati. Verjeti je treba, da je marsikdaj mogoče opazovati, tudi če vremenske razmere niso idealne. Res je, da imamo danes odlično opremo, vendar smo nagrade in priznanja dosegli še brez nje. Na mednarodnem taboru smo uporabljali predvsem fotoaparate in teleskope nižjega čenovnega razreda. Rezultati so lahko odlična priložnost, da se pristojne prepriča v smiselnost nakupa določene, bolj spečializirane opreme. Pred kratkim sem se v družbi mladih pogovarjal o smislu življenja in minljivosti. Zakaj bi se trudil? Zakaj bi delal pri tabornikih? Enkrat je vsega koneč. Zakaj bi gledal zvezde? Zdi se, da smo še najbolj na varnem pri opazovanju zvezd. Že ko sem bil majhen, so bile tam, sedaj jih gledam in jih še bom. Vedno so tam, kjer morajo biti. Zvezde te ne razočarajo. Če pa se najde kakšna, ki zaključuje življenjsko pot in se poslavlja, ti naredi iz tega čudovito predstavo. Predvsem pa zvezde gledamo, ker je na tem področju dovolj možnosti za razvijanje najrazličnejših interesov mladih (opazovanja, tehnika, računalniške obdelave, raziskovalne naloge, tekmovanja, mednarodne izmenjave); ■ ker mladi radi raziskujejo, vesolje pa jim daje za to velike možnosti; ker je vesolje tako lepo, raznoliko in veliko, da ga je vredno odkrivati. SLIKA 3. Mednarodni astronomski tabor, ki sem ga pripravil skupaj z bivšimi dijaki. Neastro-nomska aktivnost - pohod, ki krepi timski duh. _XXX Astronomska literatura Ob mednarodnem letu astronomije 2009 smo na enem mestu zbrali vse publikačije s področja astronomije, ki so na voljo pri DMFA-založništvu. Preberete si lahko predstavitve posameznih naslovov in revij ter jih naročite s popustom. Nekatere povezave na naši spletni strani, vas vodijo na samostojne spletne strani posameznih revij in periodičnih publikačij, kjer se lahko nanje tudi naročite. Tako jih boste prejemali po pošti takoj po izidu. Pavla Ranzinger: PRESEKOVA ZVEZDNA KARTA 2000,0 format 54 x 58 čm plastifičirana, zložena 4,00 EUR NAŠE NEBO 2014 Dintinjana, Fabjan, Kostič, Mikuž, Zwitter, Žerjal NAŠE NEBO 2014 Astronomske efemeride 84 strani format 16 x 23 čm mehka vezava 10,00 EUR Frad Watson: ZAKAJ JE URAN PREKUCNJEN Kar bi radi vedeli o astronomiji, pa niste nikoli vprašali 250 strani format 14 x 20 čm mehka vezava 22,39 EUR Govert Sčhilling in Lars Lindberg Christensen OČI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 : 24 čm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR Uradna knjiga mednarodnega leta astronomije 2009, Oči, zazrte v nebo, 400 let odkritij s teleskopi, je čudovito ilustrirana zgodovina odkritij s teleskopi in pokriva vse, od prvih teleskopov, vesoljskega teleskopa Hubble do instrumentov prihodnje generačije. Prikazuje tudi, kako so spreminjali in še naprej spreminjajo naš pogled na vesolje, naše mesto v njem in kako se je vse skupaj začelo. Poleg omenjenih ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/astro/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. PRESEK 41 (2013/2014) 4 25 LZW algoritem -stisni me krepko ффф Martin Duh -» Ste si kdaj zaželeli, da bi vaše besedilo zasedlo manj pomnilnega prostora, ne da bi pri tem kak podatek izgubili? Ste želeli kdaj stisniti sliko formata GIF ali TIFF, ne da bi slika izgubila svojo kakovost? Obstaja rešitev, ki vse to in še več naredi ob preprosti implementaciji. Rešitev je Lempel-Ziv-Welchov algoritem. Lempel-Ziv-Welchov algoritem Skorajda vsi algoritmi za stiskanje besedila so bili izpeljani iz dveh zelo znanih algoritmov za kodiranje, LZ77 in LZ78. Leta 1977 sta avtorja Abraham Lempel in Jakob Ziv ustvarila algoritem LZ77, leto kasneje pa LZ78. Priljubljeno razlicico algoritma LZ78 je leta 1984 predstavil Terry Welch in ga poimenoval Lempel-Ziv-Welch (LZW). Algoritem stiska besedila na podlagi vnaprej do-locenega slovarja, ki ga sproti posodablja. Slovar si lahko predstavljamo kot seznam razlicnih znakov oz. nizov, s pomocjo katerih lahko zapišemo celotno besedilo. Algoritem za implementacijo ni zahteven in je zaradi te svoje preprostosti eden izmed najbolj priljubljenih algoritmov za stiskanje besedil. Če za primerjavo vzamemo Huffmanovo kodiranje [6] je najprej potrebno vse znake v besedilu urediti po verjetnosti (t. j. kako pogosto se v besedilu nahajajo) in na podlagi teh verjetnosti zgraditi ustrezno drevo. Šele ko je drevo zgrajeno, lahko besedilo zakodiramo. Postopek stiskanja oz. kodiranja ter postopek razširjanja oz. dekodiranja LZW algoritma bomo predstavili v nadaljevanju. Kodiranje Pri kodiranju bomo dano besedilo zakodirali na takšen nacin, da bo rezultat krajši ali enak zacetnemu besedilu, pri tem pa ne bomo izgubili nobenih informacij. Za kodiranje danega besedila je potrebno najprej razložiti pojem slovarja. Slovar predstavlja seznam izrazov, kjer ima vsak izraz svoj enolicno dolocen indeks. Slovar se sproti posodablja, kar pomeni, da se vsak izraz v besedilu, ki ni v seznamu, doda na ustrezno mestu in se mu priredi ustrezen indeks. Implementacija slovarja med programerji ni enotna oz. enolicno dolocena, saj si lahko vsak programer sam izbere, na kakšen nacin bo implementiral svoj slovar in koliko vnosov bo na zacetku le-ta imel. V vecini primerov ima slovar 256 vnosov, ki predstavljajo razširjeno ASCII tabelo.1 Ni pa nujno, da slovar predstavlja razširejno ASCII tabelo, saj ima lahko tudi manj vnosov (poljubna druga abeceda, ki vsebuje vse znake iz besedila). LZW algoritem deluje v naslednjih treh korakih: ■ Pridobivanje izraza LZW pretvori dano besedilo v manjša besedila, ki jim pravimo izrazi. Da se poišce naslednji izraz v besedilu, LZW jemlje na vsakem koraku po en znak oz. po eno crko (kar predstavlja osem bitov) ter ga doda k izrazu. Ta proces traja tako dolgo, dokler tako dobljeni izraz v slovarju vec ne obstaja. Izraz brez zadnjega dodanega znaka zako- 1American Standard Code for Information Interchange (ASCII) tabela je nabor razlicnih znakov. Uporablja se zato, ker racunalniki razumejo le števila, v ASCII tabeli pa imajo vsi znaki zapisano svojo enolicno doloceno število, kar omogoca racunal-niku, da jih razume. Vsak znak v razširjeni ASCII tabeli je velikosti osmih bitov. diramo, saj je v slovarju še definirani, nedefiniran izraz pa se doda v slovar (postane definiran). Iskanje naslednjega izraza poteka od vključno zadnjega dodanega znaka naprej. ■ Posodabljanje slovarja Kakor hitro naletimo na izraz, ki še v našem slovarju ni definiran, je potrebno le-tega zapisati v slovar. Običajno dodajamo izraze na konec slovarja. V praksi je slovar implementiran kot uravnoteženo drevo, saj nam tako v logaritemskem, in ne v linearnem, številu korakov poišče potrebni izraz, če za osnovni korak štejemo eno primerjavo dveh nizov. Pri stiskanju daljšega besedila velikost slovarja zelo hitro narašča in zaradi tega je potrebno velikost slovarja omejiti, saj na tak način preprečimo preveliko zasedenost pomnilnika. Na velikost slovarja vpliva velikost binarnega (dvo-jiškega) zapisa2 posameznega izraza. Primer: če se odločimo, da bomo vse izraze zakodirali v 12-bitnem zapisu, se velikost slovarja omeji na 4096, saj je 212 = 4096. ■ Kodiranje izraza Vsakemu izrazu v slovarju pripada število (indeks) oz. koda tega izraza. To pomeni, da namesto izraza zapišemo le-temu pripadajočo kodo. Algorithm 1 LZW kodiranje beseda —"" while EOF = false do x — preberi_naslednjo_crko() if beseda + x je v slovarju then beseda - beseda + x else izpisi indeks iz slovarja za beseda dodaj beseda + x v slovar beseda - x end if end while izpisi indeks iz slovarja za beseda Algoritem 1 predstavlja psevdokodo za kodiranje.3 2Binarni (dvojiški) zapis je predstavitev kombinačije stanj v digitalnih računalnikih z vrednostmi 0 in 1. Vsak izraz je zapisan kot zaporedje števk 0 in 1 in vsako tako zaporedje enolično določa posamezni izraz. Količino informačije, ki jo lahko predstavimo z eno binarno števko, imenujemo bit. Preprost primer uporabe Naj bo naša naloga zakodirati oz. stisniti naslednje besedilo: AAABBBABBA. Za slovar uporabimo razširjeno ASCII tabelo, ne da bi karkoli preindeksirali (začetni indeks je 0). Za zgornje besedilo sta za nas pomembni le prvi dve veliki črki angleške abečede, ki se v razširjeni ASCII tabeli nahajata na 65. in 66. mestu. V tabeli 1 predstavljamo delovanje algoritma, kjer je prvi stolpeč zaporedni korak delovanja algoritma, v drugem stolpču je preostalo besedilo, ki ga še moramo zakodirati. V tretjem stolpču je prva črka oz. znak preostalega besedila, v četrtem stolpču je lepljenje črke s trenutnim izrazom (spremenljivka beseda). V petem stolpču preverjamo, ali je izraz, ki mu dodamo prvo črko preostalega besedila (izraz v tretjem stolpču), v slovarju. V naslednjem stolpču je izpis kod. Celotni stolpeč bo predstavljal zako-dirano besedilo (bran od zgoraj navzdol). V naslednjem stolpču so izrazi, ki so na novo dodani v slovar, saj so pred tem bili nedefinirani, zadnji stolpeč pa predstavlja trenutni izraz. Tako je končni izpis (zakodirano besedilo) danega besedila: 65 256 66 258 65 259 in novi vnosi v slovar so: AA(256) AAB(257) BB(258) BBA(259) AB(260). Za zapis originalnega besedila je potrebno 80 bitov (10 ■ 8 = 80 - število 10 predstavlja velikost besedila, za vsak znak pa je potrebnih osem bitov). Pri zakodiranem besedilu pa je za zapis izrazov potrebnih 3 ■ 8 + 3 ■ 9 = 51 bitov. Osem bitov je uporabljenih za osnovni slovar, vse nove izraze zapišemo z devetimi biti. V primeru, da vse izraze (tudi osnovni slovar) zapišemo z devetimi biti, potem dobimo 6 ■ 9 = 54 bitov, kar predstavlja 67,5 % originalnega besedila. Dekodiranje Ker iz zakodiranega besedila ne moremo razbrati njegovega pomena, je potrebo za tovrstne namene zakodirano besedilo dekodirati. Zelo pomembno je, da za dekodiranje uporabimo enako implementačijo osnovnega slovarja kot pri kodiranju, kajti le tako bomo dobili pravo originalno besedilo in ustrezni pomen. 3Znak za seštevanje + v algoritmu pomeni lepljenje nizov, npr. beseda + x pomeni, da se besedi beseda doda na koneč še beseda x. naslednja je v nov vnos korak preostalo besedilo Crka % beseda + % slovarju? izpis v slovar bese 1 2 AAABBBABBA A A Da A 3 AABBBABBA A AA Ne 65 AA (256) A 4 ABBBABBA A AA Da AA 5 BBBABBA B AAB Ne 256 AAB (257) B 6 BBABBA B BB Ne 66 BB (258) B 7 BABBA B BB Da BB 8 ABBA A BBA Ne 258 BBA (259) A 9 BBA B AB Ne 65 AB (260) B 10 BA B BB Da BB 11 A A BBA Da BBA 12 EOF 259 TABELA 1. Primer kodiranja. Algoritem za dekodiranje deluje v obratnih korakih kot pa algoritem za kodiranje. Algorithm 2 LZW dekodiranje preberi kodo % iz zakodiranega besedila poisci v slovarju element na mestu % izpisi element beseda — element while EOF = false do preberi % poisci v slovarju element na mestu % if indeks % v slovarju ne obstaja then element — beseda + prvaCrkaOdBeseda end if izpisi element dodaj beseda+prvaCrkaOdElement v slovar beseda - element end while Algoritem 2 predstavlja psevdokodo za dekodiranje. Preprost primer uporabe S pomoCjo dekodiranja dekodirajmo prejšnje zako-dirano besedilo: 65 256 66 258 65 259. PriCakujemo, da nam bo algoritem zakodirano besedilo dekodiral v besedilo AAABBBABBA. Uporabimo enak slovar kot pri kodiranju, kar pomeni, da uporabljamo razširjeno ASCII tabelo, ne da bi karkoli preindeksirali. Slovar šteje 256 znakov, koda 65 predstavlja veliko Crko A, koda 66 pa veliko Crko B. Ostale kode so izrazi, ki so v slovar bili dodani v fazi kodiranja. V tabeli 2 je prikazano delovanje algoritma za dekodiranje, kjer predstavljajo prvi trije stolpci podobno kot v tabeli 1, Cetrti stolpec pa podobno kot peti stolpec v tabeli 1. Peti stolpec v tabeli 2 predstavlja element v slovarju, ki ima za indeks število iz drugega stolpca. Ce je indeks iz drugega stolpca v slovarju definiran, potem je element izraz s tem indeksom. Ce pa indeks iz drugega stolpca ni definiran, potem postane element prejšnji izraz, ki mu še prilepimo prvo Crko tega izraza. Ta dobljen izraz dodamo v slovar na ustrezno zaporedno mesto (kar predstavlja sedmi stolpec). Na vsakem koraku izpišemo dobljeni izraz, kar predstavlja šesti stolpec. Zadnji stolpec pa predstavlja trenutni izraz. Dekodirano besedilo je AAABBBABBA, kar je enako kot originalno besedilo. Novi vnosi v slovar so: 256 (AA), 257 (AAB), 258 (BB), 259 (BBA) in 260 (AB). Vprašanja in odgovori ■ Ali je potrebno za dekodiranje dodati celotni slovar v kodirano besedilo? Ne, ker se tudi pri dekodiranju slovar gradi sproti. Potrebno je le, da sta osnovna slovarja pri kodiranju in dekodiranju enaka. naslednja je že v nov vnos korak preostalo besedilo koda slovarju? element izpiši v slovar beseda 1 65 256 66 258 65 259 65 Da A A / A 2 256 66 258 65 259 256 Ne beseda + x = AA AA 256 (AA) AA 3 66 258 65 259 66 Da B B 257 (AAB) B 4 258 65 259 258 Ne beseda + x = BB BB 258 (BB) BB 5 65 259 65 Da A A 259 (BBA) A 6 259 259 Da BBA BBA 260 (AB) BBA 7 / EOF / / / / / TABELA 2. Primer dekodiranja. Oznaka x v petem stolpcu je krajši zapis spremenljivke prvaCrkaOdBeseda. ■ Ali lahko velikost slovarja omejimo? Omejitev velikosti slovarja je priporočljiva, saj tako omejimo število bitov, ki so potrebni za zapis izrazov. Re-čimo, če želimo porabiti za zapis izrazov 12 bitov, potem omejimo velikost slovarja na 4096 izrazov, saj je 212 = 4096. ■ Kaj se zgodi, ko omejeni slovar zapolnimo? Kakor hitro slovar zapolnimo, bodisi pri kodiranju bodisi pri dekodiranju, izbrišemo vse nove vnose, tako da ostane le osnovni slovar. Nato ga začnemo ponovno graditi. Tega nam ni potrebno nikjer označiti, saj se bo slovar pri kodiranju in dekodiranju izbrisal na istem mestu oz. koraku. Če v slovarju izbrišemo vse nove vnose, se nam zgodi, da bodo novi vnosi v slovar imeli enake kode kot prejšnji (zdaj že izbrisani) vnosi. To ne vpliva na končni rezultat, saj noben prejšnji vnos več ne bo obstajal. To pomeni, da bo še vedno vsak izraz imel svojo enolično določeno kodo. ■ Kako shraniti zakodirano besedilo? Datoteko, kamor shranjujemo zakodirano besedilo, je potrebno odpreti kot binarno datoteko, kajti le tako bo zakodirano besedilo zasedlo manj prostora. _XXX www.presek.si www.presek.si www.dmfa.si www.obzornik.si www.dmfa-zaloznistvo.si www.knjiznica-sigma.si Literatura [1] Ida M. Pu, Fundamental Data Compression, Butterworth-Heinemann publičations, Burlington, 2006. [2] G. Lakhani, Introduction to LZW, Reducing coding redundancy in LZW, 2005, 1418-1420. [3] T. A. Welčh, LZW compression algorithm, A Technique for High-Performance Data Compression, 1984,8-12. [4] http://en.wiki pedi a.org/wi ki/ Lempel -Ziv-Wel ch, (ritirano 20. 08. 2013). [5] J. Nieminen, An efficient LZW implementation, http ://warp.povusers.org/Effi ci entLZW, (ritirano 10. 08. 2013). [6] T. Kos, Huffmanovo kodiranje, Presek 39 (2011/12), 3, 26-29. RAZVEDRILO RESITEV NAGRADNE KRIŽ ANKE presek 41/3 Pravilna rešitev nagradne križanke iz tretje številke 41. letnika Preseka je Rad bi te videl. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Jani Čede iz Petrovc, Bogomil Brvar iz Moravc in Jaka Šikonja iz Metlike, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX RAZVEDRILO Ivje Aleš Mohorič Tokratna naravoslovna fotografija (slika 1) kaže ivje. Fotografija je nastala na hladen zimski dan, ko je bila vremenska napoved taka: Danes in jutri bo precej jasno, po nižinah v notranjosti Slovenije pa bo dopoldne megleno, ponekod lahko tudi večino dneva. Zjutraj bodo najnižje temperature od -9 do -1, čez dan bodo najvišje temperature od 1 do 7. Ivje nastane v dovolj hladnem, meglenem vremenu. Drobne kapljiče vode v megli so ohlajene pod lediščem, vendar je voda v njih še vedno v tekočem stanju - je podhlajena. Ko kapljiče pridejo v stik s hladnejšo površino, v hipu zmrznejo in drobne kapljiče se začnejo na rastlinah nabirati v igliče. Igliče so videti kot množiče drobnih kapljič, če jih pogledamo bolj od blizu (slika 2). Z elektronskim mikroskopom lahko opazimo, da drobni kristalčki ledu na podoben način nastajajo čelo na snežinkah (slika 3). O vrstah padavin smo v Preseku že pisali [1]. Literatura [1] A. Mohorič, Jutranje padavine, Presek 39 (2011/12), 5, 30-31. SLIKA 2. Bližnji pogled razkrije, da so iglice sestavljene iz drobnih kri-stalckov. Ti nastanejo, ko meglena kapljica doseže iglico in v hipu zamrzne. (Foto: Peter Legiša) SLIKA 3. Slika snežinke narejena z elektronskim mikroskopom. Na stranskih ploskvah je vidna slana. Slana nastaja z resublima-cijo vodne pare. (Foto: Erbe, Pooley: USDA, ARS, EMU) _ XXX Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematici kenguru z vec kot 6 milijoni tekmovalcev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematici izziv. EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU 2002-2004 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšle že 4 knjige Matematicnega kenguruja. • Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo), • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematima, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http ://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naromiki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.