i
i
“1478-Legisa-Risanje” — 2010/8/25 — 8:13 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 29 (2001/2002)
Številka 3
Strani 134–139
Peter Legiša:
RISANJE KOCK IN KVADROV
Ključne besede: matematika, geometrija, kvader, projekcija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/29/1478-Legisa.pdf
c© 2001 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
RISANJE KOCK IN KVADROV
Z vektorskim računom se lahko loti mo naslednje pome mbne naloge teh-
ničnega risanj a :
Narišimo pravokotna projekcijo kocke tako, da bodo dol žine projekcij
robov v razmerju 1 : 1 : ~.
A1B l = (al, a2, O)
A1D l = (- al , a2, O) .
in od tod a3 = ±b3. P rivza-
memo lahko, da je a3 = b3 > O
(slika 1) . Torej je
Od tod sledi AB = (al ,a2,a3)
in AD = (- al ,a2,b3). Ker je
lAB I = lAD I = 1, je seveda
y
x
x
A~
Slika 2.
z
(1)
AB = (al ,a2,a3) ,
AD = (-al , a2, a3) .
ai + a~ + a~ =
= (- ad 2 + a~ + b~ = 1
Rešitev.
Kocko ABCD A'B'C'D' z ro-
bo m dolžine 1 bomo projicir ali
na ravnino x y . Kocko lahko
t ogo prem aknem o tako, da bo
oglišče A v izhodišču , pravo-
kotni projekciji A1B l ter A1Dl
robov AB in AD pa bosta ležali
simetrično glede na os y (sliki 1
in 2) .
Po predpost avki priv zame-
mo lAl Bl i = lAl Dl i. Zato
lahko zapišemo
IMat ematika
Vektorja AB in AD st a pr avokotna , zato je
Iz (1) in (2) sledi
2ai = 1 ,
in po sliki 2 je al > O, za to
Vektor AA' = (C I,C2, C3 ) je pravokoten na AB in AD. Torej velja
in
~ ~ 1
AA' . AD = - J2 CI + a 2c 2 + a 3c 3 = O.
Odštejmo obe enačbi , pa dobimo Cl = O in
torej
a2 c2
C3 = ---.
a3
Od tod sledi
Ker je IAA'I = 1, je
2 2 1c2 + c3= .
Projekcija vektorj a AA' na ravnino xy je
AA' = (O, C2 , O) .
(2)
(4)
(5)
Mat ematika I
Po (3), (4) in (5) je
Tako je c~ = 2a~ . Po sliki 1 je C2 < Oin a3 > O, zato
Začetna predpost avka o razmerjih dolžin projekcij pravi , da je
ali
torej po (1)
4c~ = ai + a~ = 1 - a~ .
Toda po (6) je 4c~ = 8a~ in od tod
8a~ = 1 - a~ .
Vidimo, da je a3 = ~ , saj je a3 > O. Iz (3) dobimo
211 7a - - - -- -
2 - 2 9 - 18 .
Ker je a 2 > O, je
lil
v2
C2 = - V2a3=-- 3 .
Od to d sledi
(6)
I Mat ematika
m
Izračunamo
9 = lAl B l i = 2I A~ AII = 2f ~ 0,943 .
Točki B J in Dl ležit a simetrično glede na os y (slika 2), zato je
Od tod sledi
in
t er
<p ~ 48,59° .
Izračunamo kot <J:A~ B~C~ = 180° - 2<p ~ 82,82 ° = 90° - 7°18'. Obrnimo
zdaj sliko t ako, da bo daljica A~D~ navpična . Dobimo sliko 3, na kater i
je črtkana črta vodoravna.
D']
C']
I
l A]
/~ - ­
/
/
/
/
/
/
A~
---- - ----- - -- - - -~ - - - - - - - --
Slika 3.
B']
(3
Matematika I
Tu kot et znaša približno 7,18° , kot f3 pa je 90° - ip ~ 41,41° . Na ta
način pro j iciramo t ud i kvadre. Razložili smo enega standardnih načinov
upod ablj anj a togih te les.
Kot sem pr ebral v nemškem priročniku elementarne matematike [1],
so si tehnični risarji včasih (po dogovoru) privoščil i malce ohlapnosti.
Vzeli so lA l B l i = lAB I in I A1 A~1 = ~ IAA' I . To je pomenilo kakih 6%
napake v mer ilu . Za kot et so vzeli 7° , za f3 pa 42° . (Mimogrede, v te m
priročniku piše, da je et = 7°10' , čeprav je prava vr ed nost bliže 7°11'. )
Danes, v dobi računalniške grafike, take poenost avit ve niso več pot rebne.
Te ohlapnosti so t ud i sicer odveč - vsaj za matem atike. Oglišča kocke
bom o označil i standardno . Narišemo kvadrat s stranico 1 in vzame mo ~
njegove diagonale (slika 4) . To razdalj o 9 narišemo navpično kot projekcijo
stranice B B' .
Slika 4.
1
2"
\
\
\
\
\
Slika 5.
9
Nato nansemo romb AlB 1B~ A ~ s stranico 9 in z diagonalo ~9 = "fi
(slika 5) . Zvežem o A l in Bi t er od Al odme rimo ~g (slika 6), da dobimo
D l ' Preostanek konstrukcije je jasen.
A'1 B', - .::1
9
Slika 6.
A
D'
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
:D
",;:.. .. - --- - -- --
~ ~
B
Slika 7.
C '
C
Bolj d ~ ~ s  h x h  upd&Ijamo z vzp& projekcijo. Projicg 
r m o  na rmnino f: k w b t a  DCCFD' Cslh 7), in dmr vdo1Z pTemice, 
ki Ili niti vzporedna eiti prawkotm na C. Pri timi aa tudi kvadrat 
ABBfAt upodobi kt &laden M a t ,  pmast.de s tmdce p l d m  pa Imt 
pmaldo8;rami. Tako projekcijo bi v vddmjem %ivQeqju ldh videli h t  
mnm. To 8e w d i  bolj redko. %to je pravdtotna projwa boij mmvna 
-zplh-wvaEdela 
Lhtsratrrra 
1. EL K i d ,  Kv K u h ,  H. Perrter, R S-. Ldqwg der Elermen- 
tarmerthmaatik, 20. Adage, VEB l?achbuchyer& Leipzig, 
1988.