i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 65 — #1 i
i
i
i
i
i
O SVETLOBNEM TLAKU1
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 03.30.+p
Sevalni tlak je vezan na gibalno količino svetlobe. Povezavo gibalne količine z energijo
svetlobe v srednji šoli lahko uporabimo kot izhodǐsče za vstop v kvantno mehaniko. V
članku teče razprava o ozadju klasične enačbe. Pri nekaterih pojavih je odločilen sevalni
tlak. Enačbo za sevalni tlak je mogoče preprosto izpeljati. Izpeljavi enačbe so nekateri
ugovarjali. Pripombe o tem utegnejo koristiti učiteljem.
ON LIGHT PRESSURE
The radiation pressure is bound to the momentum of light. The connection of mo-
mentum with the energy of light may be used in high school as a point of departure for the
approach to quantum mechanics. In the article the background of the classical equation
is discussed. Phenomena are described for which the radiation pressure is decisive. The
equation for the radiation pressure is derived in a simple way. Objections against the
derivation of the equation are mentioned. Remarks are added which may be useful for
teachers.
Pojav
Svetloba izvaja silo na oviro, v kateri se absorbira ali na kateri se odbije.
Dokler so svetlobo opisovali s hitrimi delci, so zamisel opirali na silo curka te-
kočine, ki spolzi ob oviri ali se na njej odbije. Okoli leta 1872 je James Clerk
Maxwell z napetostnim tenzorjem ugotovil, da je sevalni tlak vzporednega
curka elektromagnetnega valovanja pri pravokotnem vpadu na ploščico, ki
ga absorbira, enak povprečni gostoti energije v valovanju: p = w.
Sevalni tlak svetlobe je prvi izmeril Pjotr Nikolajevič Lebedev leta 1900
v Peterburgu [1]. Leto zatem sta merjenje v Združenih državah ponovila
Ernest Fox Nichols in Gordon Ferrie Hull. John H. Poynting je v nago-
voru kot predsednik britanskega fizikalnega društva leta 1905 izjavil:
”
Zelo
kratka izkušnja z merjenjem teh svetlobnih sil zadostuje, da se prepričamo
o skrajni majhnosti, majhnosti, ki jih postavi onstran razprave o zemelj-
skih zadevah.“ Razmere so se spremenile z odkritjem laserjev leta 1960. Z
laserskim curkom, usmerjenim navpično navzgor, je bilo mogoče izravnati
težo drobne kroglice in doseči, da lebdi v curku [2]. Pozneje so s posebnimi
prijemi zagotovili, da atomi v plinu absorbirajo svetlobo z določeno valovno
1Po prispevku na strokovnem srečanju DMFA 2011
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 65
i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 66 — #2 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
dolžino iz laserskega curka. Sevajo na vse strani in zaradi odriva izgubljajo
hitrost v smeri curka. Trije pari med seboj pravokotnih laserskih curkov
lahko zadržujejo atome v pasti. Lasersko hlajenje in optično-magnetne pa-
sti so močno izpopolnili.
Svetlobni tlak v osončju
Johannes Kepler je na začetku 17. stoletja v okviru delčne predstave do-
mneval, da so repi kometov obrnjeni od Sonca zaradi sevalnega tlaka. Danes
vemo, da imajo kometi dva repa. Modrikasti rep I sestavljajo ioni, večinoma
CO−, rjavkasti rep II pa plini in prašni delci. Sončna svetloba ionizira mole-
kule plina in rep ionov zaradi sončnega vetra, to je toka naelektrenih delcev
s Sonca, in sončnega magnetega polja kaže naravnost od Sonca. Rep II na-
stane, ker plini odparevajo z zmrznjenega jedra in potegnejo za seboj prašne
delce. Ta rep zaradi sevalnega tlaka, gravitacije kometa in sončnega vetra
leži med repom I in tirnico kometa.
Sila sevalnega tlaka sončne svetlobe je pri kroglastih telesih sorazmerna
s kvadratom, gravitacijska sila pa s kubom premera. Zato je sila sevalnega
tlaka tem pomembneǰsa, čim manǰsi je delec. Vseeno je v posebnih okolǐsči-
nah pomemben tlak sončne svetlobe na manǰse asteroide. Okoli leta 1900
je ruski inženir Ivan Osipovič Jarkovski obdelal nov pojav. Na njegov zapis
je desetletje pozneje naletel estonski astronom Ernst J. Öpik. O pojavu je
poročal leta 1951 in ga rešil pozabe. Manǰsi asteroid, ki kroži okoli Sonca,
naj se vrti tako, da sta lastna in obhodna vrtilna količina pravokotni na
ravnino gibanja in kažeta v isto smer. K Soncu obrnjena stran asteroida
se bolj segreje in po četrt vrtljaja močneje seva v smeri nazaj. Od Sonca
obrnjena stran se bolj ohladi in po četrt vrtljaja manj seva v smeri na-
prej. Odriv sevanja pospešuje asteroid v smeri gibanja, tako da se počasi
oddaljuje od Sonca. Sila je nasprotno usmerjena, če ima lastna vrtilna ko-
ličina nasprotno smer kot obhodna. Za določeno telo je učinek zelo težko
zanesljivo napovedati. Sila je zelo majhna, a po dolgem času ima lahko
opazen učinek. Asteroid 6489 Golevka so skrbno opazovali in ugotovili, da
se je zaradi pojava Jarkovskega v 12 letih za 15 km oddaljil od kraja, kjer
bi ga pričakovali. Pospešek je meril a = 2s/t2 = 2 · 10−13 m/s2. Pojav bi
bilo mogoče izkoristiti ob nevarnosti, da se asteroid preveč približa Zemlji.
S primernim absorberjem ali odbojnikom na asteroidu bi ga bilo mogoče v
dovolj dolgem času preusmeriti.
Litovski inženir Friedrich Zander je leta 1929 v tedanji Sovjetski zvezi
predlagal, da bi tlak sončne svetlobe s sončnim jadrom izkoristili za poto-
vanje po osončju. Ta tlak pojema obratno sorazmerno s kvadratom razdalje
od Sonca. Na mestu Zemlje meri ob absorpciji 4,3 · 10−6 N/m2 in deluje
66 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 67 — #3 i
i
i
i
i
i
O svetlobnem tlaku
neprekinjeno, ne da bi bilo treba vlagati energijo.
Svetlobni tlak v sredici zvezd pri zelo visoki temperaturi daje glavni
prispevek k tlaku plina, ki uravnovesi tlak zaradi gravitacijskega privlaka
med deli zvezde.
Enačba
Linearno polarizirano ravno elektromagnetno valovanje v smeri osi z naj
pada pravokotno na kovinsko ploščico v obliki pravokotnika s stranico b v
smeri osi x in drugo stranico v smeri osi y (slika 1). Ploščica absorbira vse
vpadno valovanje. Jakost električnega polja ima amplitudo E0 v smeri osi
x in gostota magnetnega polja amplitudo B0 = E0/c v smeri osi y, če je
c hitrost svetlobe v praznem prostoru. Amplituda napetosti U0 = bE0 v
smeri osi x požene po Ohmovem zakonu izmenični tok z amplitudo I0. Nanj
deluje izmenično magnetno polje, ki niha v fazi, z največjo silo F0 = bI0B0 =
bI0E0/c = I0U0/c. Največja moč izmeničnega toka je P0 = U0I0, tako da je
največja sila F0 = P0/c in največji tlak p0 = F0/S = W0/(ctS) = W0/V .
Svetloba v času t zajame prostornino V = ctS. Na levi in desni strani enačbe
vzamemo povprečni vrednosti in dobimo s povprečno gostoto energije v
valovanju w = W/V Maxwellovo zvezo:
p = w . (1)
Amplitudi toka in napetosti nadomestimo s
√
2-krat manǰsima efektiv-
nima vrednostma in največjo moč s povprečno močjo P = 12P0.
Slika 1. K izvajanju enačbe (1).
65–71 67
i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 68 — #4 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Vzeli smo, da sta amplitudi jakosti električnega polja in gostote magne-
tnega polja v ploščici konstantni. V resnici z globino eksponentno pojemata:
E0(z) = E0(z = 0)e
−|z|/δ. Eksponentno pojemajočo amplitudo smo nado-
mestili s konstantno amplitudo do globine δ =
√
2ζ/µ0ω. Pri tem je ζ
specifični upor in je na primer za rumenozeleno svetlobo za srebro δ = 30
nm in za jeklo 390 nm. Po uvedbi Poyntingovega vektorja je mogoče sevalni
tlak izračunati z njim. Podrobna obravnava odboja in loma svetlobe na ko-
vini pri poševnem vpadu in splošni polarizaciji pa je zapletena [3]. Iz izreka
o gibalni količini |0−G| = Ft = pSt = wctS/c sledi:
G = W/c . (2)
Ploščica prevzame od elektromagnetnega valovanja gibalno količino G, ko
absorbira energijo W .
V posebni teoriji relativnosti veljata zvezi:
G = vW/c2 in W 2 = (cG)2 + (mc2)
2
.
Iz prve enačbe z v = c sledi (2). Druga enačba pove, da je v tem primeru la-
stna masa enaka 0. Posebna teorija relativnosti na enaki podlagi obravnava
delce s končno lastno maso in z lastno maso 0.
Max Planck je spekter sevanja črnega telesa pojasnil s privzetkom, da
stena votline s sevanjem izmenjava energijo v obrokih – fotonih. Za energijo
fotona v valovanju s frekvenco ν je dobil W1 = hν, če je h za kvantno fiziko
značilna Planckova konstanta. V enačbo (2) vstavimo energijo fotona, pa
dobimo izraz za gibalno količino fotona G1 = hν/c = h/λ. Enačba poveže
gibalno količino, značilno za delce, z valovno dolžino λ, značilno za valovanje.
Enačbo, ki smo jo dobili za fotone z lastno maso 0, razširimo na počasne
delce z maso m1:
λB = h/(m1v) . (3)
Enačba gibalno količino počasnega delca m1v poveže z de Broglievo valovno
doľzino v valovanju, ki ga priredimo curku delcev. Z enačbo (3) pojasnimo
interferenčne poskuse z elektroni in drugimi delci ter ločljivost elektronskega
mikroskopa. Z njo lahko okvirno uvedemo tudi kvantna stanja delca v po-
tencialni jami in jih primerjamo z lastnimi nihanji strune. Po podobnosti
z
”
valovno funkcijo“ v klasični mehaniki lahko vpeljemo valovno funkcijo v
kvantni mehaniki.
Ozadje
Članek [4] je ugovarjal izpeljavi enačbe (2) v dveh amerǐskih uvodnih uni-
verzitetnih učbenikih, enem dokaj znanem [5]. Ali bi utegnila biti navedena
izpeljava zgrešena? Ali se ne učimo na napakah, posebno na lastnih?
68 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 69 — #5 i
i
i
i
i
i
O svetlobnem tlaku
Raziskovalcem v fiziki, ki se spuščajo na neraziskano območje, gre pravica
do napake. Fizikalne napake ne vplivajo veliko na ugled fizike. Zdi se, da
ne vplivajo dosti tudi na ugled raziskovalcev. O fizikalnih napakah Alberta
Einsteina razpravljajo v člankih in knjigi, ne da bi to prizadelo njegov ugled.
Z napakami pri poučevanju je nekoliko drugače. Širijo se v manj pouče-
nem okolju, zato je pravica učiteljev do napake omejena. Zahteva ni preti-
rana, ker ostajajo na raziskanem območju. Poleg tega tudi nekateri študenti
njihovo morebitno napako prepoznajo in popravijo ter tako pridobijo drago-
ceno izkušnjo. Napake v poučevanju pa imajo lahko tudi motivacijsko vlogo.
Precej razširjeno je mnenje, da poučevanju koristi, če tu in tam vpletemo
kakšno napako in jo ob razpravi razkrijejo in popravijo študenti.
Max Planck se je pritožil nad predavanji Hermanna von Helmholtza in
dodal, da je bilo
”
Kirchhoffovo predavanje skrbno izdelano in je vsak stavek
dobro premǐsljeno stal na pravem mestu, nobena beseda ni bila premalo in
nobena preveč, toda vse skupaj je delovalo kot na pamet naučeno, pusto
in enolično. Občudovali smo predavatelja, ne pa tega, kar je predaval.“
[6] Tudi nekdanji urednik American Journal of Physics Robert Romer je v
spominih na predavanja, ki jih je poslušal, zapisal,
”
da si ne more kaj, da ne
bi razmǐsljal o tem, ali je jasnost zares tako zaželena.“ [7] John Archibald
Wheeler se je na predavanjih včasih delal nepripravljenega, da je zbudil
pozornost študentov. Ali to pomeni, da naj učitelji ne poskušajo biti jasni
za vsako ceno? Pisci učbenikov imajo še bolj omejeno pravico do napak
od učiteljev. Medtem ko predavanja hitro minejo, so učbeniki dolgo časa
dostopni javni kritiki. Kritike pa včasih niso utemeljene.
Premislek pokaže, da velja to za ugovore [4] proti izpeljavi v učbeniku
[5]. Nakažimo izpeljavo. Vzemimo, da prost elektron, ki spočetka miruje,
zadene ravno linearno polarizirano elektromagnetno valovanje. Na elektron
z nabojem e = −e0 deluje z Lorentzevo silo ~F = −e0 ~E − e0~v × ~B, ki ima
v smeri jakosti električnega polja, to je v smeri osi x, komponento −e0E +
e0vzE/c in v smeri potovanja valovanja, to je v smeri osi z, komponento
−e0vxE/c. Povprečje prve komponente po enem nihaju je enako 0, ker prvi
člen sinusno niha, v drugem pa je hitrost vz zelo majhna. Po Newtonovem
zakonu je ~F = d~G/dt, v povprečju Fz = dGz/dt = −e0vxE/c. Moč je
~v · ~F = dW/dt = −e0vxE. Tako je dW/dt = cdGz/dt in W = cGz na
začetku pospeševanja. Elektron absorbirane energije ne obdrži. V telesu, ki
absorbira vso vpadno energijo, jo zaradi upora v celoti odda okolni snovi,
prost pa jo izseva. Piscu [5] je mogoče očitati le, da je opombo dal v oklepaj.
Pisca članka [4] sta priznala, da nista vedela za vpliv upora. Iz njunega
članka pa vseeno izhaja koristen sklep. Opazujmo prost elektron z maso
m v ravnini z = 0 v valovanju z jakostjo električnega polja E = E0 cosωt
v smeri osi x in gostoto magnetnega polja B = B0 cosωt v smeri osi y.
65–71 69
i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 70 — #6 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Newtonov zakon za gibanje elektrona v smeri osi x se glasi mdv/dt =
eE = −e0E0 cosωt. Hitrost je potem v = −(−e0E0/mω) sinωt in odmik
x = (−e0E0/mω2) cosωt. Na nihajoči elektron deluje magnetno polje s
silo: F = evB = −e0(−e0E0/mω) sinωt ·B0 cosωt = (e20E20/2mcω2) sin 2ωt.
Povprečna vrednost je enaka 0. Na prost elektron elektromagnetno valo-
vanje s konstantno amplitudo ne izvaja sile v smeri potovanja. Svetlobni
tok s konstantno amplitudo ne odrine oblaka plazme. Odrine ga valovanje
s spremenljivo amplitudo, denimo udarni val.
Svetlobnega tlaka ne moremo pojasniti, če elektrone v kovini obravna-
vamo kot idealni plin. Pojasnimo ga, če v enačbo gibanja vključimo upor:
F = eE − konst · v [8]. Pisca sta temu koraku ugovarjala, češ da je pri
svetlobi s krožno frekvenco ω = 1015 s−1 in amplitudo jakosti električnega
polja E0 = 10
4 V/m amplituda odmika elektronov e0E0/(mω
2) = 10−15
m veliko manǰsa od razmika med atomi v kristalu [9]. Ugovor ni umesten.
Naboj elektronov v kovini lahko obravnavamo kot zvezen. O tem priča tudi
Ohmov upor kovinskega vodnika. Amplituda odmika elektronov v srebru pri
gostoti toka 1 A/mm2 s frekvenco nad 50 MHz postane manǰsa od desetine
nanometra, ne da bi se zaradi tega zmanǰsal Ohmov upor.
Poznamo še druge primere, pri katerih je mikroskopski opis tako za-
pleten, da za poučevanje ni pripraven. Viskoznosti plina ali kapljevine ali
površinske napetosti kapljevine ne moremo preprosto pojasniti z gibanjem
molekul. Deli zraka v zvoku, ki ga komaj zaznamo z ušesi, nihajo z ampli-
tudo 10−11 m, kar je manj od premera molekul. Predstava, da se v plinu ali
tekočini gibljejo molekule ali po kovini elektroni, ne koristi vselej.
Pri svoji izpeljavi enačbe (2) sta si pisca morala pomagati s sipanjem
valovanja in s kvantno mehaniko. Pot utegne biti zgrešena, zagotovo pa
ni dosledna, saj v izpeljavo klasične enačbe (2) ne gre vpletati kvantnih
sestavin.
Dele obravnavane snovi je mogoče vključiti v fiziko v srednji šoli. Učite-
lji naj o tem razmislijo in se glede na sprejemljivost srednješolcev odločijo,
v kolikšni meri je to mogoče. Če se jim zdi del snovi pretežaven ali predol-
govezen, ga je mogoče obravnavati v krožku. V ozadju je odločitev, koliko
kvantne mehanike sodi v srednjo šolo.
Planckova izpeljava
Dodajmo v poenostavljeni obliki račun, ki se ne ozira na elektrone in ki ga je
Planck predložil leta 1912 [4]. Ravno elektromagnetno valovanje pravokotno
pada na ravno kovinsko ploščico in se na njej v celoti odbije. Sestavimo
vpadno in odbito valovanje. Jakost električnega polja v smeri osi x je E =
E0 cos (kz − ωt)−E0 cos (kz + ωt) = 2E0 sin kz sinωt. Pri tem je k = 2π/λ
70 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“Strnad” — 2012/5/10 — 14:20 — page 71 — #7 i
i
i
i
i
i
O svetlobnem tlaku
velikost valovnega vektorja. Električno polje se odbije z nasprotno fazo,
tako da je v meji vozelna ploskev. Magnetno polje se odbije z enako fazo, da
smeri električnega in magnetnega polja ter potovanja v odbitem valovanju
sestavljajo desni trirob:
B = B0 cos (kz − ωt) +B0 cos (kz + ωt) = 2(E0/c) cos kz cosωt .
Iz Ampèrovega zakona rot ~B = µ0~j sledi µ0j = −∂B/∂z, če se omejimo
na komponente v smeri osi x in člen z ε0µ0∂E/∂t = c
−2∂E/∂t zanema-
rimo. Na tok v smeri osi x deluje magnetno polje v smeri osi y z gostoto
sile jB v smeri osi z. Tlak se spreminja z globino in velja dp = jBdz =
−(B/µ0)(∂B/∂z)dz = −BdB/µ0. Gostota magnetnega polja v kovini po-
jema od B(z = 0) = 2B0 cosωt do 0 v dovolj veliki globini z. Za tlak dobimo
p = −
∫∞
0 BdB/µ0 = B
2(z = 0)/(2µ0) = 2B
2
0 cos
2 ωt/µ0 in za njegovo pov-
prečno vrednost B20/µ0. S povprečno gostoto energije w = B
2
0/(2µ0) sledi
nazadnje p = 2w. Vpadnemu valovanju ustreza polovica tega, to je w. Tudi
sila vodoravnega vodnega curka, ki se odbije na navpični oviri, je dvakrat
večja od sile curka, ki spolzi ob oviri navzdol. Planckov račun odpravi mo-
rebitne pomisleke o preprostem računu. David J. Griffths je v članku [10]
navedel obsežen seznam literature o gibalni količini elektromagnetnega polja
in obdelal odprta vprašanja.
LITERATURA
[1] J. Strnad, Svetlobni tlak in P. N. Lebedev, Obzornik mat. fiz. 48 (2001), 148–153.
[2] A. Ashkin, The pressure of laser light, Scientific American 226 (1972), 63–71 (2).
[3] K. T. McDonald, Radiation pressure of a monochromatic plane wave on a flat mirror,
(2009), 1–19, na spletu s tem naslovom.
[4] T. Rothman in S. Boughn, The Lorentz force and the radiation pressure of light,
Am. J. Phys. 77 (2009), 122–127.
[5] F. Crawford, Waves. Berkeley Physics Course, Vol. 3, McGraw-Hill, New York 1965,
str. 362.
[6] M. Planck, Scientific Autobiography and Other Papers, Philosophical Library, New
York, 1949.
[7] R. H. Romer, Is clear teaching good teaching. A tale of two teachers, Am. J. Phys. 58
(1990), 1129–30.
[8] C. E. Mungan, Repairing an elementary explanation of radiation pressure,
Am. J. Phys. 77 (2009), 965.
[9] T. Rothman in S. Boughn, On
”
Repairing an elementary explanation of radiation
pressure“, Am. J. Phys. 77 (2009), 966.
[10] D. J. Griffiths, Resource letter EM-1: Electromagnetic momentum, Am. J. Phys. 80
(2012), 7–18.
65–71 71