* l MOCNiK-WENGHART GEOMETRISCHE FORMENLEHRE FÜR MÄDCHEN-BÜRGERSCHULEN b f TI •i» * Ar Mt $ * \ •ft V iü J MOCNIKS GEOMETRISCHE FORMENLEHRE FÜR BEARBEITET VON E. F. WENG HART, BÜRGER SCHULDIREKTOR i. R. MIT 161 FIGUREN, 118 GEOMETRISCHEN ORNAMENTEN UND 1 TAFEL MIT BUCHSTABEN. VIERTE, NACH DEM LEHRPLAN VOM 15. JULI 1907, Z. 2368, UM GEARBEITETE AUFLAGE. Mit Ministerialerlaß vom 27. Januar 1908, Z. 1629, allgemein zulässig erklärt. WIEN. VERLAG VON F. TEMPSKY, 1908. 7 St ?. 1 Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechtes, Vorbehalten Zoi M j Druck von Rudolf M. Rolirer in Brünn. I. Abschnitt. Betrachtung der ebenen geometrischen Gebilde. Fig. 1. 1. Grund Vorstellungen der Raumgebilde. (Der Würfel wird auf dem Tische oder einem Stative so aufgestellt, daß zwei Flächen eine horizontale Lage haben und eine Fläche den Schülern zugewendet ist.) Wir können durch unsere Sinne eine große Menge von Gegen¬ ständen wahrnehmen, so beispielsweise im Schulzimmer den vorstehenden Würfel, die Schultafel, den Kasten, die Bänke u. s. w. — Alle diese Gegenstände nehmen einen Raum ein, welcher von ihnen nach allen Richtungen ausgefüllt wird; sie sind nach allen Richtungen hin begrenzt. Ein von allen Seiten begrenzter Raum heißt Körper. Der Würfel ist ein Körper. Obwohl die Körper nach allen Rich¬ tungen ausgedehnt sind, unterscheidet man doch 3 Hauptrichtungen der Ausdehnung (Di¬ mensionen): die Länge, die Breite und die oder Höhe). Zeige am Würfel und an anderen Gegenständen des Schulzimmers diese 3 Hauptrichtungen! Der Würfel wird von 6 Flächen eingeschlossen. Diese sind: die obere und die untere, die vordere und die rückwärtige, die rechte und die linke Fläche. Wie viele Flächen zeigen sich am Kasten, an einer zylindrischen Feder¬ schachtel, an einem Zuckerhute, an einer Kugel? Die Körper sind von Flächen begrenzt. Jede Fläche des Würfels ist nach 2 Hauptrichtungen ausgedehnt; so die untere Fläche von links nach rechts und von vorne nach rückwärts. Auch an der Tafelfläche, an den einzelnen Flächen des Kastens u. s. w. lassen sich zwei Hauptausdehnungen nachweisen. Die Flächen haben 2 Hauptausdehnungen, nämlich eine Länge und eine Breite. Dicke (Tiefe 1 * 4 Jede Würfelfläche wird von 4 Linien (Kanten) eingeschlossen. Von wie vielen Linien wird ein Dreieck, ein Sechseck, die Kreisfläche begrenzt? Die Flächen werden von Linien eingeschlossen. Bestimme mit Hilfe eines Maßstabes die Länge einer Würfelkante! — Linien lassen sich nur nach einer Richtung ausmessen, sie besitzen daher nur eine Dimension. Die Linien haben nur ei ne Ausdehnung, nämlich eine Länge. Die beiden Grenzen einer Linie (Kante) heißt man Punkte (Ecken). Die Linien werden von Punkten begrenzt. Die Punkte nehmen keinen Raum ein, sie lassen sich daher auch nicht abmessen. Die Körper, Flächen und Linien nennt man Raumgrößen, weil sie sich im Raume ausdehnen. Die Punkte sind keine Raum großen. Die Lehre von den Raumgrößen heißt Geometrie. Im gewöhnlichen Leben betrachtet man häufig ein Blatt Papier als eine Fläche und feinen Draht, dünne Fäden u. s. w. als Linien, obwohl alle diese Dinge eine gewisse Länge, Breite und Dicke besitzen und daher Körper sind. Wenn der Nil aus seinen Ufern tritt, so pflegt er nicht selten die Grenzen der einzelnen Grundstücke zu zerstören und unkenntlich zu machen. Deshalb sah man sich schon im Altertum (unter Sesostris) genötigt, um unnützem Streit unter den einzelnen Grundbesitzern vorzubeugen, das vom Nilschlamme befruchtete Land alljährlich zu vermessen und zu verteilen. Dieses von der Priesterkaste vorgenommene Geschäft führte zum Studium der einzelnen Figuren und deren Eigenschaften und gab so die Veranlassung zum Entstehen einer neuen Wissenschaft, der Lehre von der Erdmessung oder Geometrie. Die Ägypter selbst imd später die Perser, Griechen, Araber und andere Völker haben diese Wissenschaft, die im Altertume als eine hochansehnliche galt, immer mehr ausgebildet und entwickelt. Aber auch in unseren Tagen bestehen Ämter (Grundbuchsämter der Gerichte und Steuerbemessungsbehörden), wo in eigenen Büchern (Grundtücher und Grundsteuerkataster) die Grundstücke und Gebäude sorgfältig verzeichnet und deren Lage, Gestalt und Größe durch geometrisch genaue Zeichnungen (Grund¬ buchsmappe und Katastralmappe) ausgewiesen sind. 2. Die Punkte. Die Punkte können, da sie weder eine Länge noch Breite oder Dicke besitzen, nur gedacht werden. Um nun die Stelle, wo man sich einen Punkt hinzudenken hat, sichtbar zu machen, bringt man an dem betreffenden Orte der Zeichenfläche mit dem Bleistifte, mit der Feder oder der Kreide einen Tupfen an. Solche Tupfen sind jedoch nicht wirkliche Punkte; sie sind bloß Zeichen derselben. Manch* mal benutzt man auch als Zeichen für die Punkte Ringelchen, kleine Kreuze oder mitunter auch Sternchen. 5 % Die Punkte werden dadurch an¬ gegeben, daß man zu den dieselben versinnlichenden Zeichen Buchstaben des lateinischen Alphabetes oder auch Ziffern setzt. Zuweilen werden auch mehrere Punkte mit demselben Buch¬ staben bezeichnet; nur muß man dann diese Buchstaben zur Unterscheidung rechts oben mit kleinen Strichen versehen oder denselben rechts unten kleine Ziffern (Indices) anfügen. Man sagt: der Punkt a, b, c, Ä, D, 7, 4, 77, 777, m ‘, m " r v r 2 , r 3 , u. s. w. Verwendungsbeispiele (Gruppe I). 1 und 3 ägyptische Wandmalerei. 2 Weißstickerei. 4 Tupfmuster für Häkelarbeit, Kreuzstich oder zum Stopfen des Netzes. 5 ein Tischtuch. 6 ein Sacktuch. 7 Kreuz¬ stich, in Farben ausführbar. 8 von einem Teppich (Filet Gobelin). Es ist Bedürfnis eines jeden Menschen, alles, was ihn umgibt, oder was er an sich trägt, zu verschönern, zu verzieren. Schon bei den ältesten Völkern finden wir Tupf, Kreuz oder Stern, mit welchem der Mann seine Waffe kennzeichnete oder seinen Rang darstellte. Bald nahmen diese Tupfen Reihenfolge oder wiederholende (rhythmische) Ordnung an und wurden zur Zierde, zum Ornament. 3. Die Linien. (Betrachtung des Würfels und des geraden Kreiszjdinders.) Alle Kanten des Würfels sind gerade Linien. Solche Linien ent¬ stehen, wenn sich ein Punkt (Spitze des Bleistiftes, Kreidenspitze u. s. w.) 6 immer nach einer und derselben gerade Linie in mehrere gleiche Fip. 3. Fig. 4. Richtung .bewegt Teilt man eine Teile und beobachtet die Richtung derselben, so sieht man, daß diese bei allen Teilen unverändert und gleich¬ bleibend ist (Fig. 4). Gerade Linien sind solche Linien, welche in allen ihren Teilen eine gleiche Richtung haben. Betrachtet man dagegen die am Zylinder (Fig. 3) oben und unten vor¬ kommenden Linien und denkt sich auch diese wieder in mehrere gleiche Teile zerlegt, so sieht man, daß jeder Teil eine andere Richtung besitzt; man nennt derartige Linien krumme Linien (Fig. 4). — Wie entsteht eine krumme Linie? Krumme Linien sind solche Linien, von denen jeder Teil eine andere Richtung hat. Nenne Gegenstände, an denen sich gerade Linien vorfinden, und zeige die letzteren! — An welchen Gegenständen bemerken wir krumme Linien ? Zeige sie! Zeichne eine gerade und eine krumme Linie an die Tafel! # Linien, welche sich aus lauter geraden Linien von verschie- Fig. 5. Fig. 6. Fig. 7. A a y (m) ( 2 ) B x z p c dener Richtung zusammensetzen, heißen geradgebrochene Linien (Fig. 5). Linien, welche sich aus lauter krummen Linien zusammen¬ setzen, nennt man krummgebrochene Linien. Linien, welche teils aus geraden, teils aus krummen Linien bestehen, heißen gemischte Linien. Man unterscheidet gerade, krumme, geradgebrochene, krummgebrochene und gemischte Linien. Die Linien benennt man mit 2 Buchstaben oder Ziffern oder auch mit einem Buchstaben oder einer Ziffer; im letzteren Falle werden diese Buch¬ staben oder Ziffern in die Mitte der Linien gesetzt und zumeist eingeklammert (Fig. 6). Man sagt: die Linie AB oder 4, 5 oder m oder 2. Eine beiderseits begrenzte Gerade heißt Strecke. Z. B. ab (Fig. 7). Linien, welche wohl einen Anfang, aber kein Ende haben, nennt man Strahlen. Das Fortlaufen einer Linie pflegt man durch einen Pfeil anzudeuten. Z. B. cx. Linien, welche weder einen Anfang noch ein Ende besitzen, werden unendliche Linien genannt. Z. B. yz. Die Naht, welche die Frau zum Zusammenfügen der Teile der Kleidung ver¬ wendete, führte zum Linienomament, denn bald verstand sie aus der Not eine lugend, aus der Naht eine Zierde zu machen. Verwendungsbeispiele (Gruppe II). 1 gerade und krumme Linie. 2 die Naht als gebrochene Linie. 3 deren Verwendung zur Verlängerung eines Kinderrockes. 4 Vorlage für Häkel- und Stickmuster. Eine Gerade, welche die Richtung des Bleilotes oder Senkels hat, heißt lotrecht oder vertikal. Z. B. die Linie a (Fig. 8). Ein freifallender Körper bewegt sich in ver¬ tikaler Richtung nach abwärts. Eine Gerade, welche die Richtung eines auf dem ruhigen Wasserspiegel schwimmen¬ den Stäbchens oder eines auf beiden Seiten gleichbelasteten Wagebalkens hat, heißt wasserrecht, wagrecht oder horizontal. Z. B. die Linie b. Eine Gerade, welche weder lotrecht noch wagrecht ist, heißt schief oder schräge. Z. B.c. Die gerade Linie kann lotrecht, wagrecht oder schief sein. Zum Zeichnen gerader Linien bedient man sich des Lineales. Die Linien werden entweder in einem Zuge ohne Unterbrechung (b) 8 Fig. 9- ausgezogen und heißen dann volle Linien, oder sie werden punktiert oder gestrichelt oder endlich gestrichelt-punktiert (Fig. 9). Strenge genommen sind die aus lauter ..... Bleistift- oder Kreideteilchen sich zusammen¬ setzenden Striche keine Linien; man bedient sich jedoch gewöhnlich derselben als Zeichen (Symbole) der letzteren. Aufgaben: 1. Zeichnet eine gerade, eine krumme, eine geradgebrochene, eine krummge¬ brochene und eine gemischte Linie! Bezeichnet jede dieser Linien mit 2 Buchstaben. 2. Ziehet mit Hilfe des Lineales eine Strecke, einen Strahl und eine unendliche Linie! Jede dieser 3 Linien ist mit 2 Ziffern zu bezeichnen. 3. Ziehet eine lotrechte, eine wagrechte und eine schräge Gerade! Benennt diese 3 Linien mit je einem Buchstaben! 4; Zeichnet eine volle, eine punktierte, eine gestrichelte und eine strichpunk¬ tierte Linie! Die einzelnen Linien sind mit je einer Ziffer zu bezeichnen. Verwendungsbeispiele (Gruppe HIV 1 gerade Linien von verschiedener Rich¬ tung. 2 wie man Lin icn auf Tupfpapier über¬ trägt. 3 Vereinigung lotrechter und wag¬ rechter Linien zu einer Band verzier uns mit Eckbildung, verwendbar für Decken und Deckchen mit auf genähter Schnur. 4 und 6 Tupfvorlagen für Häkelarbeit, Kreuzstich, gezählten Flachstich, zum Ausnähen des Netzes und für Perlarbeit. 5 schiefe Linien. Ornament, verwendbar wie 3 auch für Stiel- und Schnurstich. 7 Ornament, verwendbar zur Bändchenbenähung für Kinder¬ kleider u. dgl. 9 4. Das Messen der Strecken. Die Länge einer Strecke bestimmen, heißt diese messen. Hierzu nimmt man eine Strecke von bekannter Länge als Einheit an und untersucht, wie oft diese als Einheit angenommene Strecke in der zu messenden enthalten ist. Die Zahl, welche dies angibt, heißt die Maß zahl der Strecke. Als Einheit des Längenmaßes gilt das Meter (m), das in 10 Dezimeter (dm) eingeteilt wird. 1 Dezimeter hat 10 Zentimeter (cm), und jedes Zenti¬ meter ist gleich 10 Millimeter (mm). 1000 Meter geben 1 Kilometer (km), und 10 Kilometer machen 1 Myriameter (um) aus. In Zeichen: 1 [Am 1 km 1 m 1 dm 1 cm 10 km 1000 m 10 dm ) 10 cm I 10 mm 1 m = 100 cm Das Meter ist der 40,000.000. Teil eines Erdmeridianes. Zum Ausmessen der Längen bedient man sich gewöhnlich eines Stabes von Holz oder Metall, worauf eines der Längenmaße nebst den entsprechen¬ den Untereinteilungen aufgetragen ist (Maßstab). Eig. 10 stellt die Länge eines Dezimeters mit dessen Einteilung in Zentimeter und Millimeter dar. Fig. 10. Schätze dem Augenmaße nach die Länge des lotrechten und des wag¬ rechten Tafelrandes und bestimme sodann mit Hilfe eines Maßstabes, um wieviel du gefehlt hast! Versuche dies ebenso mit anderen Linien! 5. Die Kreislinie. Von allen krummen Linien ist die Kreislinie (kurzweg: der Kreis) die wichtigste. An welchem Körper haben wir Kreise gesehen? Zur Darstellung des Kreises bedient man sich des Zirkels. Während die eine Spitze in einem bestimmten Punkte (dem Mittelpunkte) eingesetzt wird, beschreibt die zweite Spitze einein selbst zurückkehrende krumme Linie. Da hierbei die beiden Zirkelspitzen immer dieselbe Entfernung von¬ einander beibehalten, so haben alle Punkte der Kreislinie von dem Mittel¬ punkte die gleiche Entfernung. Daher kann man sagen: Eine Kreislinie ist eine in sich selbst zurückkehrende krumme Linie von der Beschaffenheit, daß alle ihre Punkte von einem gegebenen Punkte die gleiche Entfernung haben. Der in der Mitte der Kreislinie (Fig. 11) gelegene Punkt O heißt Mittel- punkt oder Zentrum. 10 Fig. 12. Jede gerade Linie, welche den Mittelpunkt des Kreises mit irgend¬ einem Punkte der Kreislinie verbindet, heißt Halb¬ messer oder Radius. Z. B. AO. Alle geraden Linien, welche zwei entgegen¬ gesetzte Punkte der Kreislinie verbinden, nennt man Durchmesser oder Diameter. Z. B. BC. In welchem Punkte treffen alle Halbmesser eines und desselben Kreises zusammen? In welchem Punkte schneiden sich sämtliche Durchmesser? Alle Halbmesser eines und desselben Kreises sind unter¬ einander gleich. Warum? Alle Durchmesser desselben Kreises haben gleiche Größe. Weshalb? Jeder Durchmesser ist doppelt so groß als ein Halbmesser desselben Kreises. Warum? Ein Teil der Kreislinie heißt Kreis¬ bogen oder kurz Bogen. Z. B. Fig. 12, DEF. Jede Strecke, welche zwei beliebige Punkte des Kreisumfanges verbindet, wird Sehne ge¬ nannt. Z. B. DF. DieLängederKreislinienennt man auchUmfang oderPeripherie. Die ganze Kreislinie pflegt man in 360 gleiche Bogen einzuteilen; jedes Stück heißt ein Bogengrad. Wie viele Bogengrade enthält a) der Halbkreis? b) ein Viertel kreis oder Quadrant? c) ein Achtelkreis oder Oktant? Verwendungsbeispiele (Gruppe IV). 7 _ /' s . o_ 1 und 3 Kreisreihen, wie wir sie an Perlenschnuren sehen; kleine Metallplättchen werden oft in dieser Weise an Handarbeiten gereiht. 2 übereinander gereihte Kreise. 5 gereihte Halbkreise; sie finden Verwendung bei Perlenketten; aus ihnen bildet sich 6 der gotische Bogen, der so wie 4 und 7 als Ausschlagemuster für nicht fransende Stoffe wie Tuch, Flanell u. s. w. Verwendung findet. 8 Reihung von Viertelbogen zur Wellenlinie, welche in mehr¬ facher Übereinanderlegung die geometrische Grundlage der Flechtbänder bildet. 9 das Wellenband, wie es als Abschluß von Wäschestücken häufig verwendet wird. 11 Bei feineren Messungen wird jeder Grad überdies in 60 Bogenminuten und jede Bogenminute in 60 Bogensekunden eingeteilt. Die Grade, Minuten und Sekunden werden mit °, ' und " bezeichnet. Man schreibt: Der Kreisumfang enthält 360°, 1° — 60' und V = 60". Wie viele Grade enthält ein Sechstel (Sextant) des Kreises? Wie viele Grade kommen auf die Hälfte eines Sechstelkreises? Wie viele Grade enthält ein Kreisbogen, der sich aus einem Sechstelkreise und aus der Hälfte eines zweiten Sechstelkreises zusammensetzt? Wie könnte man ein solches Bogenstück nach dem früher Gesagten bezeichnen? Wie viele Grade ent¬ halten 2 Sechstelkreise? Fig. 13. A C E G F H B D 8. Lage zweier in derselben Ebene liegenden geraden Linien. Die obere und die untere Kante der Schultafel haben überall die gleiche Entfernung voneinander; dasselbe gilt auch bezüglich der linken und rechten Kante. Gerade Linien, welche überall eine gleiche Entfernung vonein¬ ander haben, heißen gleichlaufend oder parallel. Zeichen hierfür: || . Parallele Linien schneiden sich nie, wenn sie auch noch so weit verlängert werden; parallele Linien sind Linien von gleicher Richtung (Fig. 13). Suchet parallele Linien im Schul¬ zimmer auf! Betrachtet man an der Schultafel die obere und die linke Seite der vorderen Fläche, so findet man, daß sie sich in einem Punkte (der Tafel- ecke) schneiden. Gerade Linien, welche sich in einem Punkte treffen, heißen sich schneidende Gerade. Nach jener Richtung, wo sie zusammenlaufen, heißen sie konvergierend und dort, wo sie aus¬ einandergehen, divergierend (Fig. 14). Zeige im Schulzimmer Linien, welche sich schneiden! Wo ist ihr Schnittpunkt? Zwei gerade in einer und derselben Ebene liegenden Linien sind entweder zu¬ einander parallel oder sie schneiden sich. Zeichne an die Tafel eine lotrechte Linie und % ziehe zu ihr nach dem Augenmaße eine Parallele! Dasselbe soll auch zu einer wagrechten und zu einer schiefen Geraden geschehen! Fig. 14. O i\ i \ konvergierend AI \C Br. • 7 ]) divergierend 12 Zwei parallele Linien zeigen uns den Saum als Schmuck nicht nur der Kleidungs¬ und Wäschestücke, sondern auch der einfach getünchten Wand, der Flächen unserer Möbel, der Seiten eines Buches u. s. w. Als Schraffierung begrenzter Flächen erscheinen parallele Linien schon seit ältester Zeit. Verwendungsbeispiele (Gruppe V). I 2 k 1 aus ägyptischen Gräbern. 2 Verwendung paralleler Linien in der Strickerei. 3 von einem Mumienkasten. 4 Federn, Gräten u. s. w. 5 Schraffierung. Fig. 15. c 7. Die Winkel Dreht sich der Strahl AO (Fig. 15) um den festen Punkt 0 so, daß er nach und nach in die Lagen OB, OG, OB und OE kommt und zuletzt wieder in die ursprüngliche Lage zurückkehrt, so weicht er bei dieser Drehung von seiner ursprünglichen Lage AO immer mehr ab; die Größe der jeweiligen Dre¬ hung wird Winkel genaunt. Die ebene, nach einer Seite hin offene Fläche, welche zwischen den beiden Strahlen liegt, heißt Winkelfläche. Zeichen für Winkel: <£ oder Die beiden Strahlen, welche den Winkel bilden, heißen Schenkel; ihr Durchschnittspunkt wird Scheitel oder Spitze des Winkels genannt (Fig. 16). Man bezeichnet einen Winkel (Fig. 17) entweder durch einen Buch¬ staben am Scheitel (z. B. / d) oder durch zwei Buchstaben in der Mitte der Schenkel (z. B. Winkel rs) oder durch drei Buchstaben, von denen zuerst der Buchstabe an dem Ende des einen Schenkels, dann der Buchstabe am Scheitel und zuletzt der Buchstabe am Ende des andern Schenkels ausge¬ sprochen wird (z. B. / ABC oder CBÄ). 13 Zeichne einen beliebigen Winkel an die Tafel! Verlängere jeden Schenkel desselben und gib an, ob sich hierbei die Größe des Winkels geändert hat! Wie müßten die Schenkel gezeichnet werden, damit der Winkel größer würde? Fig. 16. Fig. 17. Ein Winkel wird desto größer, je mehr seine Schenkel von¬ einander abweichen; die Länge der Schenkel hat aber keinen Einfluß auf die Größe eines Winkels. Zwei Winkel sind gleich, wenn sie so aufeinander gelegt werden können, daß sowohl die Scheitel als auch die Schenkel sich beziehungsweise decken. Macht der Strahl weniger als ein Viertel einer vollen Umdrehung, so entsteht ein spitzer Winkel (Z_ a)- Beträgt diese Drehung 18 - gerade ein Viertel einer vollen Umdrehung, so heißt der Winkel ein rechter (/_ b). Zeichen für den rechten Winkel: R. Macht die Drehung mehr als ein Viertel einer vollen Um¬ drehung aus, erreicht sie jedoch noch nicht eine halbe Umdre¬ hung, so nennt man den Winkel einen stumpfen (/_ c). Be¬ trägt die Drehung bereits eine halbe Umdrehung, bilden also beide Schenkel eine gerade Linie, so heißt der Winkel ein gerader oder gestreckter (/__ d). Winkel von mehr als einer halben Umdrehung nennt man erhabene Winkel (/__ e). Hat der Strahl eine ganze Umdrehung gemacht, so ent¬ steht ein voller Winkel (/_ /). 14 Fig. 19. Der spitze und der stumpfe Winkel heißen auch schiefe Winkel. Der spitze, der rechte und der stumpfe Winkel werden häufig auch hohle Winkel genannt. Strenge genommen bilden die beiden sich schneidenden Strahlen immer z wei Wi n kel. So hat man es bei den 2 sich schneidenden geraden Linien AB und BC (Fig. 19) mit den Winkeln m und n zu tun; gewöhnlich bezeichnet man den kleineren (/_ m) als inneren und den größeren als äußeren Winkel. Beide Winkel ergänzen sich zu einem vollen Winkel; darum wird jeder von ihnen der Ergänzungswinkel des andern genannt. Jenen von den 2 Winkeln, welchen man meint, - C hebt man in der Zeichnung gewöhnlich dadurch hervor, daß man zwischen seinen Schenkeln einen kleinen Kreisbogen zieht, wie dies in Fig. 18 zu ersehen ist. Zeichne einen stumpfen Winkel an die Schultafel und halbiere ihn! Es soll ein spitzer Winkel an die Tafel gezeichnet und hierauf in 4 gleiche Teile geteilt werden! (Immer nach dem Augenmaße). Was für einen Winkel beschreibt der Minutenzeiger einer Uhr in 10, 15, 25, 30, 40 Minuten? Welchen Winkel macht derselbe in 1 Stunde? Was für einen Winkel bilden die beiden Zeiger einer Uhr a) um 3, 6, 9 Uhr? b) um 2, 5, 10 Uhr? Durch Reihung von Winkeln dürfte das unter dem Namen Zickzack bekannte Ornament entstanden sein, das bei den Assyrern Treppenform annahm und wohl auch die Grundlage des Zahnschnittornamentes bildet. Verwendungsbeispiele (Gruppe VI). 1 Zickzackband. 2 Fischgrätenstich, häufig verwendet auf Wäschegegenständen oder als Zierstich auf Kleidern. 3 Zackenlitze als Einsatz zwischen zwei gesäumten Stoff¬ teilen. 4 Ausschlagemuster für Tuch, Flanell u.s.w. 5 Treppenform der Assyrer. 15 '8. Das Messen der Winkel. Wie früher bemerkt wurde, hängt die Größe eines Winkels nur von der Größe der Umdrehung ab. Man nimmt nun den rechten Winkel wegen seiner unveränderlichen Größe als Ausgangspunkt des Winkelmaßes an und teilt ihn in 90 gleiche Winkel, !welche man, Winkelgrade nennt. Ein Winkelgrad entsteht, wenn der den Winkel erzeugende Strahl bei seiner Drehung nur den 360. Teil einer vollen Umdre¬ hung beschreibt. Bei feineren Messungen wird jeder Winkel¬ gradin 60gleicheT eile zerlegt, welche man Winkelminuten nennt, desgleichen teilt man jede Winkelminute in 60 Winkelsekunden ein. Die Winkelgrade, Minuten und Sekunden bezeichnet man (wie beim Kreise) durch °, ', Die Größe eines Winkels ist vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viele Grade und Gradteile er enthält. Aus diesen Erklärungen folgt: Ein spitzer Winkel enthält weniger als 90°, ein rechter Winkel 90°; ein stumpfer Winkel hat mehr als 90°, aber weniger als 180°; ein gestreckter Winkel enthält 180°, ein erhabener Winkel mehr als 180°; der volle Winkel hat 360°. Teilt man die Peripherie eines Kreises in 360 Bogengrade und zieht vom Mittelpunkte zu jedem Teilungspunkte einen Halbmesser, so entstehen um den Mittelpunkt 360 Winkel, welche alle untereinander gleich sind (Winkel¬ grade). Jedem einzelnen Winkelgrad entspricht je ein Bogengrad. Demnach enthält ein Winkel eben so viele Winkelgrade, als der zugehörige Bogen Bogengrade hat. Daher kann jeder Winkel durch den Kreisbogen, welchen man aus dem Schei¬ tel zwischen den Schenkeln beschreibt, gemessen werden. Darauf beruht der Gebrauch des Winkelmessers oder Trans¬ porteurs; derselbe dient teils zum Messen eines gegebenen, teils zur Konstruktion eines verlangten Winkels. Fig. 20 zeigt, wie ein ge¬ gebener Winkel DCE abzumessen ist; derselbe enthält 55°. Häufig kommt die Aufgabe vor, einen gegebenen Winkel ABC (Fig. 21) abzuzeichnen oder zu kopieren. Gesetzt, es wäre dieser Winkel an die Gerade A'B' zu übertragen. Man ziehe von B aus den Bogen mn und von B' aus mit gleichem Halbmesser den Bogen m'x. Nun messe man mit Fig. 20. 16 c Fig. 21. Hilfe des Zirkels die Länge des ersten Bogens mn und übertrage sie auf den zweiten Kreisbogen (m'n'). Zieht man noch B'C\ so erhält man den Winkel A'B'G welcher ebenso groß ist als ABC, weil beide Winkel gleich Um¬ drehungsbogen besitzen. Zeichne an die Schultafel mehrere spitze, stumpfe und er- Gradzahl zuerst mit freiem Auge ab und bestimme sodann die letztere mit Hilfe des Transporteurs! Aufgaben: 1. Zeichnet an die Schultafel einen spitzen Winkel und übertraget denselben an eine andere Stelle! Dasselbe soll mit einem stumpfen Winkel geschehen! 2. Zeichnet nach dem Augenmaße Winkel von 60°, 30°, 15°, 120°, 90°, 45°! (Nachmessen mit dem Transporteur.) 3. Zeichnet mit Hilfe des Transporteurs Winkel von 36°, 72°, 135°! 9. Nebenwinkel und Scheitelwinkel. Wird ein Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus verlängert, so entstehen zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinschaft¬ lichen Schenkel haben, und deren beide anderen Schenkel auf entgegen¬ gesetzten Seiten des Scheitels in einer geraden Linie liegen. Solche Winkel AOB (Fig. 22) ist ein Neben¬ winkel von BOC; ebenso sind AOD und COD Nebenwinkel. Da je zwei Nebenwinkel zu¬ sammen genommen einen gestreck¬ ten Winkel geben, so folgt: Die Summe zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Rechten. ^ Was für Winkel sind Neben¬ winkel, wenn sie gleich sind, und was für Winkel sind sie, wenn sie ungleich sind? Wie groß ist der Nebenwinkel von 20°, 35°, 64°, 100°, 148°, 55° 40', 115° 16' 45"? Büdet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei gleiche Nebenwinkel, so sagt man: sie steht auf ihr senkrecht oder normal. Bildet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei ungleiche Nebenwinkel, so steht sie auf ihr schief. heißen Nebenwinkel. Fig. 22. B 17 Eine Senkrechte bildet also mit der Geraden, auf welcher sie senkrecht steht, zwei rechte Winkel; eine Schiefe bildet mit der andern Geraden einen spitzen und einen stumpfen Winkel. In Fig. 22 ist BO senkrecht auf AC, was man so bezeichnet: BO J_AC; dagegen steht BO auf AC schief (Zeichen: /'). Wenn sich eine horizontale und eine vertikale Linie treffen, so bilden sie stets einen rechten Winkel, stehen also immer senkrecht aufeinander. Aber nicht von je zwei senkrechten Linien kann man sagen, daß die eine horizontal und die andere vertikal ist. Bei der Wage steht immer das Zünglein senkrecht auf dem Wagebalken. Doch ist das Zünglein nur dann vertikal und der Wagebalken horizontal, wenn die beiden Schalen leer oder gleich belastet sind; in jedem anderen Falle sind sie schräge. Verwendungsbeispiele (Gruppe VII). Durch Übereinanderlegen zweier gerader Linien gewinnen wir das Kreuz, u. zw. 1 und 2 das liegende oder griechische Kreuz, das in unseren Handarbeiten als Kreuzstich viel¬ fach Verwendung findet; das stehende oder Andreaskreuz wird in unseren Kreuzstich¬ arbeiten über das liegende gelegt, wenn mit demselben große Muster erzeugt werden sollen. 6 das sogenannte Swastikakreuz, aus welchem die Griechen jenes herrliche Orna¬ ment bildeten, das unter dem Namen gebrochener Stab, auch Mäander bei allen Kultur¬ völkern heute noch vielfache Verwendung findet; so in 7, 10, 11 und 12 als Randborte mit Eck- und Mittelbildung, in 8, 9 und 14 als Flächenfüllung. 13 gibt das Hakenkreuz, 3 und 5 durch Reihung des liegenden Kreuzes den Rautenstab. 4 Reihung des liegenden Kreuzes zur Bandverschlingung. Mocn ik-Wenghart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgerschulen. 2 18 Zieh eine Gerade, nimm darin fünf Punkte an und errichte in jedem derselben auf die Gerade eine Senkrechte! Welche Lage gegeneinander haben diese Senkrechten? Fig. 23. Zeichne zwei parallele Gerade, nimm in der einen fünf Punkte an und fälle aus jedem auf die andere Gerade eine Senkrechte! Wie verhalten sich diese Senkrechten in bezug auf ihre Länge? Verlängert man beide Schenkel eines Winkels A OB (Fig. 23) über den Scheitel 0 hinaus, so heißt der von diesen Verlängerungen gebildete Winkel COD der Scheitelwinkel des gegebenen Winkels AOB. Scheitelwinkel werden also von denselben zwei geraden Linien auf ent¬ gegengesetzten Seiten ihres Durchschnitts¬ punktes gebildet. Da zwei sich schneidende Gerade auf beiden Seiten des Durchschnittspunktes ihre Richtungen beibehalten, so ist auch die Abweichung dieser Richtungen auf beiden Seiten dieselbe; d. h.: Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. 10. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel. Werden zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten, so entstehen um die beiden Durchschnittspunkte acht Winkel. Die vier Winkel, welche zwischen den beiden geschnittenen Geraden liegen, heißen innere, die anderen vier äußere Winkel. In Fig. 24 sind AB und CD die beiden geschnittenen Geraden, EF ist die schneidende Gerade; c, d , m und n sind innere, a, b, o und p sind äußere Winkel. Ein äußerer und ein innerer Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heißen Gegenwinkel, Zwei äußere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf verschiedenen Seiten der Schneidenden liegen, werden Wechsel¬ winkel genannt. Zwei äußere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heißen A n- winkel. Gegenwinkel: a und m b „ n o „ o d „ V Wechsel winkel: a und p b „ o c „ n d „ m Anwinkel: a und o 6 „ V c „ m d „ n Schreitet die Gerade AB (Fig. 24) längs der EF mit sich selbst parallel fort, bis sie in der Lage CD kommt, so wird sie, da sich dabei ihre Lage gegen die EF nicht ändert, mit dieser stets dieselben vier Winkel bilden; es werden t 19 also, wenn AB nach CD gelangt, je zwei Gegenwinkel aufeinander fallen, also einander gleich sein; je zwei Wechselwinkel werden in zwei Scheitel¬ winkel übergehen, also auch einander gleich sein; je zwei Anwinkel endlich werden zu Nebenwinkeln, also zusammen 180° betragen. Es ist also 1. a = m 2. a = p 3. a~\- o = 180° b = n b = o 6-f-p=z=l80° c — o c = n c —j— m= 180° d = p d = m d -f -n = 180°;d.h. : Werden zwei parallele Gerade von einer dritten geschnitten, so sind 1. je zwei Gegenwinkel einander gleich, 2. je zwei Wechselwinkel einander gleich, 3. je zwei Anwinkel zusammen gleich 180° Umgekehrt folgt: Werden zwei Gerade von einer dritten so ge¬ schnitten, daß entweder zwei Gegenwinkel oder zwei Wechsel¬ winkel gleich sind oder zwei Anwinkel zusammen 180° betragen, so müssen die geschnittenen Geraden parallel sein. E Es sei (Fig. 25) AB || DE und AC || DF. Fig. 25. In I sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m gleichgerichtet und ist, da < a = x und m = x als Gegenwinkel, auch a=^m. In II sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m entgegengesetzt gerichtet; da a dem Winkel x als Gegenwinkel und m dem Winkel x als Wechselwinkel gleich ist, so ist auch in diesem Falle a = m. In III haben die Winkel a und n auch paarweise parallele Schenkel; es ist jedoch nur ein Paar paralleler Schenkel nach derselben Seite, das andere Paar aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet. Da a -f- y = 2R und n = y ist, so ist auch a -)- n == 2 R. 20 Fig 26. Zeichne die drei gegebenen Figuren so, daß a immer ein stumpfer Winkel ist! Es zeigt sich wieder, daß in I und II die beiden Winkel gleich sind, während sich in III die Winkel a und n zu 180° er¬ gänzen. Daraus folgt: Schiefe Winkel, deren Schenkel pa¬ rallel laufen, sind einander gleich, wenn beide spitz oder beide stumpf sind; sie be¬ tragen 180°, wenn der 'eine spitz und der andere stumpf ist. Häufig bedient man sich zum Ziehen paralleler Linien des Lineals und des Dreieckes. Wäre zur Geraden AB (Fig. 26) eine Parallele zu ziehen, so lege man das Dreieck mit einer Seite (am besten mit einem Schenkel des rechten Winkels) bei A an und längs der zweiten Seite (des andern Schenkels des rechten Winkels) gebe man das Lineal. Nun gleite man mit dem Dreiecke an dem festgehaltenen Lineal so weit herab, bis man an jene Stelle kommt, wo die und zeichne die Linie CD. Die Geraden weil sie mit der Geraden AC gleiche Gegenwinkel (R) bilden. Parallele gezogen werden soll, A B und CD sind parallel, F; g- 27 - In Fig. 27, I und II, sind zwei spitze Winkel beziehungsweise ein spitzer und ein stumpfer Winkel ersichtlich, deren Schen¬ kel aufeinander senkrecht stehen. Es läßt sich leicht zeigen, daß < & = m ist, beziehungsweise die < a und n zusammen¬ genommen 2 R betragen. Man braucht nur die Winkel m und n, ohne ihre Größe zu ändern, um einen Viertelkreis zu drehen und in die punktierte Lage zu bringen; die Winkel a und m, beziehungsweise a und n, sind dann Winkel mit parallelen Schenkeln und es gelten dann die oben angegebenen zwei Sätze. Hieraus folgt: Winkel, deren Schenkel senkrecht aufeinander stehen, sind entweder einander gleich oder sie ergänzen sich zu 180°. 21 Verwendungsbeispiele (Gruppe VIII). 1 und 2 Linienverzierungen zur Ausführung für stumpfe Ecken. 3 und 5 Linienmäander. 4 Bandverschlingung. 11. Die Figuren. (Betrachtung des 3-, 4- und mehrseitigen Prismas.) Auf jeder Würfelfläche lassen sich nach allen Richtungen gerade Linien so ziehen, daß sie in ihren Teilen mit der Würfelfläche zusammenfallen; man nennt solche Flächen ebene Flächen. Ebene Flächen (auch Ebenen genannt) sind solche Flächen, in welchen man nach allen Richtungen gerade Linien ziehen kann. Die vorstehenden, oben und unten gleich weiten Körper heißen Pris¬ men. Ihre Begrenzungsflächen sind lauter Ebenen; jede dieser Ebenen wird von geraden Linien nach allen Seiten hin begrenzt. Eine nach allen Seiten begrenzte ebene Fläche heißt Figur. Am Prisma bemerken wir nur solche Figuren, welche von 28 * geraden Linien eingeschlossen werden. Die Kreisfläche dagegen wird von einer krummen Linie be¬ grenzt. Ein Halbkreis wird von einer geraden und von einer krummen Linie eingeschlossen. Es gibt geradlinige, krummlinige und gemischtlinige Fi¬ guren (Fig. 28). Geradlinige Figuren sind solche Figuren, welche nur von geraden Linien begrenzt werden. 4 22 Fig. 29. c Krummlinige Figuren sind solche Figuren, welche nur von krummen Linien eingeschlossen werden. Gemischtlinige Figuren sind solche Figuren, welche teils von geraden teils von krummen Linien eingeschlossen werden. Zeige im Schulzimmer geradlinige, krummlinige und gemischtlinige Figuren! Betrachtet man die Deckflächen der vorstehenden Prismen, so sieht man, daß die geradlinigen Figuren von 3, 4 oder von mehr als 4 Strecken (auch Seiten genannt) eingeschlossen werden können. Die von mehr als 4 Strecken eingeschlossenen geradlinigen Figuren heißen Vielecke (Po¬ lygone). Die geradlinigen Figuren werden eingeteilt in Dreiecke, Vierecke und Vielecke oder Polygone. Ein Dreieck ist eine geradlinige Figur, welche von 3 Strecken eingeschlossen wird (Fig. 29,1). Zeichen für Dreieck: A. Ein Viereck K ist eine geradlinige Figur, welche von 4 Strecken einge¬ schlossen wird (Fig. 29, II). Ein Vieleck oder Polygon ist eine geradlinige Figur, welche von mehr als 4 Strecken eingeschlossen wird (Fig. 29, III). Zeige im Schulzimmer Dreiecke, Vierecke und Vielecke! Die Figuren werden benannt, indem man die einzelnen an die Ecken gesetzten Buchstaben der Reihenfolge nach ausspricht; so heißt das in Fig. 29 abgebildete Dreieck: ABC. Benenne in gleicher Weise das Viereck und das Polygon! Aufgaben: 1. Zeichnet mit Hilfe des Dreieckes und des Zirkels eine geradlinige, eine krumm¬ linige und eine gemischtlinige Figur (z. B. ein Viereck, einen Kreis und einen Viertel¬ kreis) ! 2. Zeichnet ein Dreieck, ein Viereck und ein Vieleck! n £ H J 12. Das Dreieck. (Betrachtung des Tetraeders, einer geraden und einer schiefen Pyramide.) Die vorgeführten, in eine Spitze auslaufenden Körper heißen Pyra¬ miden. Was für geradlinige Figuren sind die Seitenflächen der vorstehenden Pyramiden? Eine von drei Strecken begrenzte Figur heißt ein Dreieck. Die drei Strecken heißen Seiten des Dreieckes. Jedes Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Jede Seite hat zwei anliegende und einen gegenüberliegen¬ den Winkel. Jeder Winkel wird von zwei Seiten eingeschlossen; die dritte Seite liegt ihm gegenüber. Nenne in dem Dreiecke ABC (Fig. 30) alle drei Seiten und alle drei Winkel! Nenne zu jeder Seite die anliegenden Winkel und den gegenüberliegenden Winkel! Nenne zu jedem Winkel die Seiten, von denen er eingeschlossen wird, und die Seite, welche ihm gegenüberliegt! In jedem Dreiecke ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte. Denn der Umweg über AC und CB , um von A nach B zu ge¬ langen, ist länger als der gerade Weg über AB. Diejenige Seite, über welche man sich das Dreieck errichtet denkt, heißt die Grundlinie. Da man sich über jeder Seite das Dreieck errichtet Fig. 30. V Fig. 31. Fig. 32. denken kann, so kann im allgemeinen auch jede Seite die Grundlinie sein. Der Scheitel des Winkels, welcher der Grundlinie gegenüberliegt, wird die Spitze oder der Scheitel, und die Senkrechte, die von der Spitze auf die Grundlinie gefällt wird, die Höhe des Dreieckes genannt. Nimmt man im Dreiecke ABC (Fig. 31) AB als Grundlinie an, so ist C der Scheitel und CD die Höhe. Wird in dem Dreiecke ABC (Fig. 32) die Seite AB verlängert und durch B die BE || AC gezogen, so entstehen die zwei Winkel m und n, von denen m dem Winkel a als Gegenwinkel, n dem Winkel c als Wechselwinkel gleich ist. Die Summe der drei Winkel a, c , b ist daher so groß wie die Summe der Winkel m, n, b. Die letztere Summe aber beträgt einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte; also muß auch die Summe von a, c und b zwei Rechte betragen. Die Summe der drei Winkel eines Dreieckes ist gleich zwei Rechten oder 180°. 24 Aus diesem Satze folgt: 1. Zwei Dreieckswinkel betragen zusammen weniger als 180°. Können in einem Dreiecke zwei rechte Winkel oder zwei stumpfe Winkel oder ein rechter und ein stumpfer Winkel Vorkommen? — Jedes Dreieck hat daher wenigstens zwei spitze Winkel. 2. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt sind, so findet man den dritten, indem man die beiden gegebenen Winkel addiert und ihre Summe von 180° subtrahiert. Zwei Winkel eines Dreieckes sind: a) 65° und 87°; b) 43° 10' und 102° 27'; c) 25° 46' 21" und 74° 48' 49"; d) 57° 38' 34" und 61° 10' 16"; wie groß ist der dritte Winkel? 3. Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zwei Winkeln eines andern Dreieckes, so müssen auch die dritten Winkel in beiden Dreiecken gleich sein. Betrachtet man die einzelnen Dreiecke der vorstehenden Pyramiden genauer, so findet man, daß diese rücksichtlich ihrer Seiten auffallende Unterschiede zeigen. Während die erste Pyramide (auch Tetraeder oder Vierflächner genannt) solche Dreiecke enthält, deren sämtliche Seiten gleich sind, finden sich bei der zweiten Pyramide Dreiecke vor, in denen je zwei Seiten (Schenkel) dieselbe Länge haben; die schiefe Pyramide ent¬ hält Dreiecke, in welchen alle drei Seiten ungleich sind. In Beziehung auf die Länge der Seiten unterscheidet man gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Ein Dreieck, in welchem alle drei Seiten gleich lang sind, heißt gleich¬ seitiges Dreieck (Fig. 33, I). Um ein gleichsei¬ tiges Dreieck zu er¬ halten, zeichne man eine Gerade AB , fasse diese in den Zirkel und ziehe von d und B aus zwei sich in C schneidende Bogen. Wird nun C mit A und B durch Gerade verbunden, so erhält man das gleichseitige Dreieck ABC. Ein Dreieck, in welchem nur zwei Seiten einander gleich sind, heißt gleichschenkliges Dreieck (Fig. 33, II). Die zwei gleichen Seiten nennt man auch Schenkel, die dritte Seite Grundlinie oder Basis und die ihr gegenüberliegende Ecke den Scheitel. Soll über der Geraden DE ein gleichschenkliges Dreieck gezeichnet werden, so beschreibe man mit einer beliebigen Zirkelweite (aber mehr als die Hälfte von DE) von D und E aus zwei sich in F schneidende Bogen und verbinde dann den Schnittpunkt F geradlinig mit D und E . 25 Ein Dreieck, in welchem alle drei Seiten eine verschiedene Länge haben, heißt ungleichseitig (Fig. 33, III). Das gleichseitige Dreieck enthält drei spitze Winkel. Verfertige ein gleichseitiges Dreieck aus Papier und falte es in seiner Mitte zusammen! Man bekommt nun zwei Dreiecke, wovon jedes einen rechten und zwei spitze Winkel enthält. An der schiefen Pyramide finden sich ferner auch solche Dreiecke vor, die einen stumpfen Winkel enthalten. Nach dem Gesagten zeigen die Dreiecke auch bezüglich ihrer Winkel auf¬ fallende Unterschiede. Mit Rücksicht auf die Winkel gibt es spitzwinklige, recht¬ winklige und stumpfwinklige Dreiecke. Ein Dreieck, welches drei spitze Winkel enthält, heißt spitzwinkliges Dreieck (Fig. 34, I). Ein Dreieck, in welchem ein rechter und zwei spitze Winkel Vorkommen, heißt rechtwinkliges Dreieck (Fig. 34, II). Jene zwei Seiten( EF und FG ), w eiche den rechten Win¬ kel bilden, werden Ka¬ theten genannt; die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite (EG) heißt Hypo¬ tenuse. Ein Dreieck, in welchem ein stump¬ Fig. 34. fer und zwei spitze Winkel Vorkommen, heißt stumpfwinkliges Dreieck (Fig. 34, III). Einer der beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreieckes ent¬ hält 44° 51' 16"; wie groß ist der andere? Stellt in jedem der in Fig. 34 abgebildeten Dreiecke immer die untere Seite die Grundlinie oder Basis vor, so sieht man, daß im spitzwinkligen Dreiecke die Höhe innerhalb der Dreiecksfläche fällt; im rechtwinkligen Dreiecke trifft sie mit einer Kathete zusammen; im stumpfwinkligen Drei¬ ecke fällt sie außerhalb der Dreiecksfläche, weshalb die Grundlinie ent¬ sprechend verlängert werden muß. Konstruiere ein gleichseitiges und ein gleichschenkliges Dreieck, zieh überall die Höhe und vergleiche nun die einzelnen Dreiecke, in welche das gleichseitige und das gleichschenklige Dreieck zerfällt! Aufgaben: 1. Zeichne mit Hilfe des Zirkels und des Dreieckes ein gleichseitiges, ein gleich¬ schenkliges und ein ungleichseitiges Dreieck! 2. Zeichne a) einen spitzen, b) einen rechten und c) einen stumpfen Winkel und verbinde bei jedem dieser Winkel die freien Enden! Was für Dreiecke erhält man dadurch ? 26 Verwendungsbeispiele (Gruppe IX). 1 Netzunterlage für viele Dreiecks¬ muster. 2 byzantinische Fußbodenmosaik. 3 für Auflegearbeit oder Plattstich verwendbar, sowohl für drei¬ eckige Decken oder fortgesetzt als Flächenfüllung. 4 und 6 eignen sich besonders als Füll¬ stichmuster mit schwarzer Seide auf hellem Atlas für Kleider einsätze oder als Borte von belie¬ biger Breite. 5 pompeanische Fuß- bodenmosaik. In Plattstich ausge¬ führt, als Rand Verzierung mit Eck¬ bildung verwendbar. 7 und 9 in Stielstich ausführbar für kleine Untertassen. 8 Häkelmuster. 10 das vielfach verwendete dreieckige Tuch, das wir in Leinen aus¬ führen oder stricken, häufig aber häkeln. 13. Kongruenz der Dreiecke. Zieht man in einem gleichschenkligen Dreiecke die Mittellinie, so er¬ hält man zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Ausgeschnitten und gehörig 27 übereinander gelegt, decken sich diese vollständig (d. h. in allen Seiten und Winkeln). Die beiden Dreiecke sind nicht nur gleich groß, sie stimmen auch in ihrer Gestalt überein (beide enthalten beispielsweise je einen rechten und zwei beziehungsweise gleiche spitze Winkel); man sagt: die zwei Drei¬ ecke sind kongruent. Kongruente Figuren sind solche Figuren, welche dieselbe Gestalt und dieselbe Größe haben. Werden kongmente Figuren übereinander gelegt, so decken sie sich. Zeichen für kongment: Obwohl jedes Dreieck sechs Bestimmungsstücke (nämlich drei Seiten und drei Winkel) enthält, so sind doch im allgemeinen nur drei Stücke notwendig, um bereits auf die Kongruenz zweier Dreiecke schließen zu können, weil durch diese drei Stücke die Größe der anderen bestimmt wird. Wir wollen im folgenden zeigen, welche Bestandteile in zwei Drei¬ ecken paarweise gleich sein müssen, um auf deren Kongruenz schließen zu können. 1. Fall. Gesetzt, es wäre das Dreieck ABC (Fig. 35) gegeben. Man mache zuerst die Strecke A' B' = AB. Nun fasse man die zweite Seite AC in den Zirkel und beschreibe damit von A' Fig. 35. c aus einen Bogen. Hierauf messe man auf gleiche Weise BC ab und beschreibe von B' aus einen zweiten Bogen, welcher den vorigen in C' schneidet. Man hat nur noch den Punkt C' mit A' und B' geradlinig zu verbinden. Beide Dreiecke haben der Konstruktion nach die drei Seiten beziehungsweise gleich. Ausgeschnitten und gehörig aufein¬ ander gelegt, decken sie sich vollständig; sie sind also kongruent. Fig. 36. 1. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben alle drei Seiten paarweise gleich sind. 2. Fall. Wäre es nur gestattet, die beiden Seiten AB und AC und den von 28 ihnen eingeschlossenen Winkel abzumessen, so läßt sich auch aus diesen drei Bestimmungsstücken ein zweites Dreieck hersteilen, welches mit dem gegebenen Dreiecke kongruent ist. Man mache vorerst A'B' =AB und über¬ trage sodann den Winkel m nach m'. Hierauf mache man A'C' = AC und verbinde C' mit B' (Fig. 36). Beide Dreiecke ausgeschnitten und aufeinander gelegt, decken sich. II. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel paarweise gleich sind. 3. Fall. Auf gleiche Weise ist es auch möglich, ein zweites, zu einem gegebenen Dreiecke kongruentes zu zeichnen, wenn es nur erlaubt wäre, vom ersten Dreiecke zwei Seiten, Fig. 37. C § AB und AG, abzu¬ messen und den der größeren Seite (AC) gegenüberliegenden Winkel m (Fig. 37). Man mache zuerst A'B' = AB , über¬ trage sodann den Winkel m nach m', ziehe B'C' vorerst über C' hinaus, fasse sodann AG in den Zirkel und beschreibe von A' aus einen Bogen, welcher die Gerade B'C' in G' durchschneidet. Hierauf ver¬ binde man A' und G' durch die Gerade A'C'. Beide Dreiecke, ausgeschnitten und gehörig aufeinander gelegt, decken sich und sind mithin kongruent. III. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel paarweise gleich sind. (Man versuche aus zwei Seiten eines Dreieckes und dem der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel das zugehörige kongruente Dreieck zu zeichnen. Ist letzteres hierdurch vollständig bestimmt?) C Fig. 38. 4. Fall. Auch aus einer Seite AB und den beiden anliegenden Winkeln m 29 und n (Fig. 38) läßt sich ein zweites Dreieck konstruieren, welches mit dem ersten Dreiecke kongruent ist. Man mache zuerst A'B' = AB und übertrage sodann die beiden Winkel m und n nach m' und n'. Der gemeinsame Durchschnittspunkt C' gibt die dritte Ecke des verlangten Dreieckes. Auch hier kann man sich durch Ausschneiden und Aufeinanderlegen überzeugen, daß beide Dreiecke kongruent sind. IV. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben eine Seite und die ihr anliegenden Winkel paarweise gleich sind. Anmerkung. Zur Veranschaulichung der hier angegebenen Kon¬ gruenzsätze beim Unterricht empfiehlt es sich, hierzu geeignete Draht¬ modelle zu verwenden. Indem man denselben jedesmal die betreffenden Bestimmungstücke entnimmt, läßt sich rasch das zweite kongruente Dreieck herstellen und durch tatsächliche Deckung leicht die Erprobung beider Dreiecke auf ihre Kongruenz durchführen. Aus dem Gesagten ergibt sich auch, daß ein Dreieck vollkommen bestimmt ist und sich hiernach auch konstruieren läßt, wenn entweder alle drei Seiten desselben oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel oder zwei Seiten gegeben sind und derjenige Winkel, welcher der größeren Seite ge¬ genüberliegt, oder eine Seite mit den beiden anliegenden Winkeln gegeben ist. Zu einem gegebenen Dreiecke (Muster) ein kongruentes zeichnen, heißt man dasselbe kopieren. Das erhaltene Dreieck wird auch Kopie genannt. Meistens bedient man sich zum Kopieren des I. Kongruenzsatzes. Aufgaben: 1. Zeichne ein beliebiges Dreieck und kopiere es mit Hilfe des 1. Kongruenzsatzes! 2. Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck und benutze zum Kopieren desselben den 2. und 3. Kongruenzsatz! 3. Ein stumpfwinkliges Dreieck ist mit Hilfe des 4. Kongruenzsatzes zu kopieren. 14. Anwendung der Kongruenzsätze. Es sei das Dreieck ABC (Fig. 39) gleichschenklig, und zwar AC =BC. Man halbiere die Seite AB im Punkte D, ziehe CD und vergleiche die beiden Dreiecke A CD und BCD; es ist in denselben die Seite CD gemeinschaftlich, ferner AC = BC nach der Voraussetzung und AD = BD ver¬ möge der Konstruktion. In den beiden Drei¬ ecken sind also alle drei Seiten paarweise gleich, folglich sind die Dreiecke ACD und BCD kongruent. Aus der Deckung dieser Dreiecke folgt <^A = B; ferner < m = w, d. h. CD J_ AB. Es ergeben sich daher folgende Sätze: 1. In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der A. Grundlinie gleich. Fig. 39. 30 In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel gleich. 2. Die Strecke, welche in einem gleichschenkligen Drei¬ ecke die Mitte der Grundlinie mit dem Scheitel verbindet, steht auf der Grundlinie senkrecht. 3. Umgekehrt: Die Senkrechte, welche man in der Mitte der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes auf diese er* richtet, geht durch den Scheitel. 4. Zieht man in einem gleichschenkeligen Dreiecke vom Scheitel eine Senkrechte auf die Grundlinie, so wird diese da¬ durch halbiert. 5. Sind mehrere gleichschenklige Dreiecke miteinander kongruent, sohabenauchdie gleichliegenden Höhen dieser Drei¬ ecke dieselbe Größe. Wie groß ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? Wie groß ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Drei¬ eckes, wenn ein Winkel an der Grundlinie a ) 52°, b) 37° 12' 50" ist? Wie groß ist ein Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn der Winkel am Schenkel a) 71°, b) 26° 46', c) 59° 19' 42" beträgt ? Wie groß ist jeder spitze Winkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieckes ? Zeichnet man über der Grundlinie AB (Fig. 40) zwei gleichschenklige Dreiecke ABC und ABD und zieht durch die Scheitel C und D die Strecke CD, so sind die Dreiecke ACD und BCD kongruent (warum?). Aus der Deckung dieser Dreiecke folgt Winkel a — b und c = d; ferner AE = BE. Endlich ist Winkel AEC — BEC, d. h. CE I AB. Hieraus A ergibt sich der Satz: Zeichnet man über derselben Grund¬ linie zwei gleichschenklige Dreiecke und zieht durch die Scheitel eine Gerade, so halbiert diese 1. die Winkel an den Scheiteln, sie halbiert 2. die gemeinschaft¬ liche Grundlinie und steht 3. auf der Grundlinie senkrecht. Konstruktionsaufgaben: 1. Eine gegebene Strecke AB (Fig. 41) zu halbieren. Die Auflösung beruht auf dem eben mitgeteilten Satze. Man braucht nur über AB zwei gleichschenklige Dreiecke zu kon¬ struieren und ihre Scheitel C und D durch eine Gerade zu verbinden. Dabei sind jedoch die Schenkel der gleichschenkligen Dreiecke für die Lösung der Aufgabe entbehrlich. 31 Auflösung: Man beschreibe aus den Endpunkten der Strecke mit demselben Halbmesser nach oben und unten Kreisbogen, welche sich in zwei X JB Fig. 43. Punkten schneiden, und ziehe durch beide Punkte eine Gerade; diese Gerade halbiert die gegebene Strecke. Wird nun weiter jede Hälfte (AE und EB, Fig. 42) auf die eben an¬ gegebene W'eise neuerdings halbiert, so hat man die Gerade AB in vier gleiche Teile zerlegt. Zeichne verschiedene Strecken und halbiere jede derselben l Zeichne eine Strecke und teile sie in vier, acht gleiche Teile! 2. Einen gegebenen Winkel AOB q (Fig. 43) zu halbieren. Um einen Winkel zu halbieren, be¬ schreibe man aus dem Scheitel einen Bogen, welcher die beiden Schenkel schneidet; aus den Durchschnittspunkten beschreibe man wieder mit demselben Halbmesser zwei Bogen, welche sich in einem Punkte schneiden, und ziehe dann durch diesen Punkt und den Scheitel des Winkels eine Gerade; letztere halbiert den gegebenen Winkel. Zeichne verschiedene Winkel und halbiere sie! Zeichne einen Winkel und teile ihn in vier gleiche Teile. 3. Geometrische Konstruktion einzelner Winkel. A. Einen Winkel von a) 60°, b) 30°, c ) 120°, d) 90° geometrisch zu konstruieren. (Fig. 44.) 32 a) Durch Konstruk¬ tion eines gleichseitigen Dreieckes. b) Durch Halbierung des Winkels von 60°. c ) und d) Durch Kon¬ struktion zweier Winkel von je 60°, bezüglich von 60° und 30°. B. Einen Winkel von a) 45°. b) 22 1 / 2 °, c) 135° geometrisch zu kon¬ struieren. Durch Halbierung des Winkels von 90°, bezüglich 45° und durch Konstruktion des Neben¬ winkels von 45°. 15. Das Viereck. (Betrachtung von vierseitigen Prismen, deren Grundflächen Parallelo¬ gramme, Trapeze und Trapezoide sind.) Eine von vier Strecken begrenzte Figur heißt Viereck. Jedes Viereck hat vier Seiten und vier Winkel. Die Strecke, welche zwei gegenüber¬ stehende Eckpunkte verbindet, heißt Dia¬ gonale. Wie viele Diagonalen können in einem Vierecke gezogen werden? Nenne in dem Vierecke AB CD (Fig. 45) alle vier Seiten und alle vier Winkel! Nenne die Diagonale! D Fig. 45. Zieht man in einem Viereck eine Diago¬ nale, so betragen alle Winkel des Viereckes ebensoviel als die Winkel der beiden Dreiecke, in welche das Viereck zerlegt wird; die Winkel in jedem der zwei Dreiecke betragen nun zwei Rechte, daher die Winkel des Vier¬ eckes vier Rechte. In einem Vierecke beträgt die Summe aller Winkel vier Rechte oder 360°. In einem Vierecke sind alle Winkel gleich; wie groß ist jeder? Die einzelnen Vierecke der vorstehenden Prismen zeigen wesentliche Verschiedenheiten. Während bei einigen derselben je zwei Gegenseiten parallel sind, gibt es auch Vierecke, wo nur zwei Seiten diese Eigenschaft haben, oder wo gar keine Seiten zueinander parallel sind. Ein Viereck, in welchem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm (Fig. 46, /). 33 I JT Ein Viereck, in welchem bloß zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Trapez (Fig. 46, II). Ein Vier- eck, in welchem lg ‘ keine paralle¬ len Seiten Vor¬ kommen, heißt Trapezoid (Fig. 46, III). Wir können daher sagen: Die Vierecke werden ei ngeteilt in Parallelogramme, Trapeze und Trapezoide. Ein Trapez, in welchem die nichtparallelen Seiten einander gleich sind, heißt gleichschenklig. In einem Parallelogramme kann man was immer für eine Seite als Grundlinie annehmen; die Senkrechte, die darauf von der gegenüber¬ liegenden Seite gefällt wird, ist dann die Höhe. In einem Trapeze versteht man unter der Höhe eine Senkrechte, welche von einem Punkte der einen parallelen Seite auf die andere parallele Seite gefällt wird. Betrachtet man nun die verschiedenen Arten der Parallelogramme (Fig. 47) nach den Seiten, so ergibt sich, daß entweder alle vier Seiten derselben einander gleich sind, oder daß dieses nur bezüglich von je zwei Seiten gilt. Rücksichtlich der Winkel wei- sen dieselben entweder bloß g ’ rechte Winkel auf, oder sie enthalten neben spitzen auch stumpfe (also schiefe) Winkel. Daraus ergibt sich: Die Parallelogram¬ me werden eingeteilt nach den Seiten und nach den Winkeln. Den Seiten nach unterscheidet man gleichseitige (I und II) und ungleichseitige Parallelogramme (III und IV). Den Winkeln nach gibt es rechtwinklige (I und III) und schiefwinklige Parallelogramme (II und IV). Jedes der 4 in Fig. 47 abgebildeten Parallelogramme führt einen eigenen Namen. I stellt das Quadrat vor, II den Rhombus oder die Raute, III das Rechteck und IV das Rhomboid. Das Quadrat ist ein gleichseitiges und rechtwinkliges Parallelogramm. Der Rhombus oder die Raute ist ein gleichseitiges und schiefwinkliges Parallelogramm. Das Rechteck ist ein ungleichseitiges und rechtwinkliges Parallelogramm. M ocnik-Wenghart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgerschulen. 3 ff 34 Fig. 48. A Fig. 49. x'ö\ Das Rhomboid ist ein ungleichseitiges und schiefwink¬ liges Parallelogramm. Nach welchem Kongruenzsatze sind in dem Parallelogramme AB CB (Fig. 48) die beiden A C A BD und BD C kongruent ? — Suche nachfolgende Sätze zu begründen: 1. Jedes Parallelogramm wird durch die Diagonale in zwei kongruente Drei¬ ecke geteilt. 2. In jedem Parallelogramme sind die gegenüberliegenden Winkel gleich. 3. In jedem Parallelogramme sind die gegenüberliegenden Seiten gleich; oder: Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich. Es sei ABCD (Fig. 49) ein Parallelogramm, also AB || CD, AB || BC. Zieht man die Diagonalen AC und BB, so ist wegen AB — CB , a — c und b = d das Dreieck ABO ^ CDO, folglich AO — CO, BO — DO) d. i. die Diagonalen eines jeden Parallelogrammes halbieren einander. Von den Diagonalen der Parallelo¬ gramme gelten noch folgende Sätze: 1. Die Diagonalen eines Rechteckes sind einander gleich. 2. Die Diagonalen eines Rhombus stehen senkrecht auf¬ einander. 3. Die Diagonalen eines Quadrates sind einander gleich und stehen senkrecht aufeinander. Von den Trapezoiden ist das in Fig. 50 darge¬ stellte Deltoid besonders wichtig. In was für Dreiecke zerfällt es durch die Diago¬ nale AC\ Zieh die Diagonale BB\ Die beiden Dreiecke A BB und BCB sind kongruent. (Warum?) Eine Figur, welche sich durch eine Mittel¬ linie in zwei kongruente Hälften zerlegen läßt, heißt symmetrisch. Wir sagen: Das Deltoid ist ein symmetrisches Trapezoid. (Ausschneiden aus Papier und Zusammenfalten längs BD zur Unter¬ stützung der Anschauung.) Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 51) die Seite AC in mehrere, z. B. in vier gleiche Teile geteilt, also CD == BE = EF = FA. Man ziehe BG, t EH ÄS- - 35 Fig. 51. und FJ sämtlich parallel mit der Seite AB. Nun läßt sich zeigen, daß dadurch auch CB in vier gleiche Teile geteilt wird. — Man ziehe die Linien GK, HL und JM parallel mit AC. Weil Parallele zwischen Parallelen gleich sind, so ist GK — DE, HL = EF und JM = FA. Nach der Voraussetzung sind die Strecken CD, DE, EF und FA gleich, daher müssen auch die Strecken CD, GK, IIL und JM gleich sein; in den Dreiecken CDG, GKH, IILJ und JMB sind überdies die Winkel a, b, c und d als Gegenwinkel gleich, ferner sind die Winkel e, f, g und h gleich, weil ihre Schenkel parallel sind. Die genannten vier Dreiecke haben also eine Seite mit den ^ beiden anliegenden Winkeln gleich und sind folglich kongruent; mithin ist CG = GH = IIJ = JB. Die dritte Seite CB ist somit wirklich in vier gleiche,^ Teile geteilt worden. Wenn in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Teile geteilt ist und man zieht durch jeden Teilungspunkt eine Paral¬ lele mit einer zwei- ten Seite, so wird Fig ' 52 ‘ Fig ‘ ö3 ‘ dadurch auch die dritte Seite in eben- soviele untereinan¬ der gleiche Teile ge¬ teilt. Hierauf beruht die Aufgabe, eine gege¬ bene Strecke in be¬ liebig viele gleiche Teile zu teilen. Es sei die Strecke AB (Pig. 52) z. B. in drei gleiche Teile zu teilen. Man ziehe durch A den Strahl AX und trage darauf von A aus drei beliebige gleiche Teile auf. Verbindet 71 ‘ lg ' man den End¬ punkt 3 des dritten Teiles mit B durch 3 B und zieht durch 2 und 1 Parallele mit 3 B, so teilen diese auch die AB in drei gleiche Teile. In Fig. 53 erscheint die Gerade AB in sieben gleiche Teile eingeteilt. 3* 36 Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie sich durch eine Diagonale in zw T ei kongruente Dreiecke zerlegen lassen. Um zu einem gegebenen Vierecke ABCD (Fig. 54) ein zweites hierzu kongruentes zu zeichnen (d. h. um es zu kopieren), zerlege man es in zwei Dreiecke, kopiere zuerst das Dreieck I und hierauf (passend an¬ geschlossen) das Dreieck II. Aufgaben: 1. Zeichne ein Parallelogramm, ein Trapez und ein Trapezoid! 2. Zeichne die vier Arten der Parallelogramme! 3. Konstruiere ein Deltoid, indem du von den beiden aufeinander senkrecht stehenden Diagonalen ausgehst! 4. Teile eine Strecke geometrisch genau in neun gleiche Teile! 5. Zeichne ein beliebiges Trapezoid und kopiere dasselbe! (Weiche Vereinfachungen sind beim Kopieren von Parallelogrammen und von Deltoiden möglich?) Verwendungsbeispiele (Gruppe X). 1 4 8 1 und 2 zeigen das quadratische Netz, das den vorhergegangenen Ornamenten vielfach zugrunde gelegt wurde, in seiner Verwendung für weibliche Handarbeiten, sowohl gerade, als auch über Eck gestellt, und zwar ersteres für Filet Guipure (genetzte Spitze), letzteres als Tupf für Häkelarbeit, aber auch für Kreuzstich oder zum Stopfen des Netzes. 3 zeigt obiges Muster in Häkelarbeit. 4 von einem chinesischen Zeug. Zierstich als Flächenfüllung für Kleidereinsätze oder als Füllmuster für den Grund ornamental verzierter Handarbeiten. 37 5 Randleiste in Plattstich. 6 Quadratverschlingung, in Plattstich oder auch als Häkel¬ arbeit leicht ausführbar und als Einsatz oder Spitze zu verwenden. 7 arabischer Mosaikfußboden; gibt mit Hinweglassung der Dreiecke und eingeschriebenen Vier¬ ecke einen beliebten gehäkelten Polsterzwischensatz. 8 und 12 Verschlingung von schwarzen Samtbändchen auf lichtem Stoff für Kleiderputz oder als Bezug für Luxuspolster. 10 Geflecht von Tuchresten für Teppiche aller Art. 9 und 11 Linienver¬ zierung mit Eckbildung, ausführbar in Stiel- oder Schnurstich. 13 Bändchenlegen als Zierde für Decken oder Kinderkleider. 14 und 15 Zierstiche. 18 und 19 Bandverschlin¬ gungen. 16 Netzarbeit über zweierlei Walzen. 17 Zierstreifen in Plattstich oder Auflegearbeit. 16. Das Vieleck (Polygon). (Betrachtung von mehrseitigen Prismen.) Die einzelnen Grundflächen der vorstehenden Prismen enthalten mehr als vier Seiten; sie sind Vielecke oder Polygone. 38 Fig. 55. Eine von mehr als vier Strecken begrenzte geradlinige Figur heißt Vieleck oder Polygon. Auch die Vielecke zeigen rücksichtlich der Seiten und Winkel eine große Verschiedenheit. * Nach der Zahl der Seiten gibt es Fünfecke, Sechsecke, Siebenecke u. s. w. Eine Strecke, welche zwei nicht unmittelbar aufeinander folgende Eckpunkte des Vieleckes verbindet, heißt Diagonale. Nimmt man innerhalb des Vieleckes ABCDEF (Fig. 55) einen be¬ liebigen Punkt 0 an und zieht von diesem zu allen End¬ punkten gerade Linien, so erhält man so viele Drei¬ ecke, als das Vieleck Seiten hat; die Winkel eines solchen Dreieckes betragen zw T ei Rechte, daher die Winkel aller Dreiecke so vielmal zwei Rechte, als das Vieleck Seiten hat. Unter den Winkeln der Dreiecke kommen nun alle Vieleckswinkel vor, aber überdies auch noch die Winkel um den Punkt 0 herum, die nicht Vieleckswinkel sind und zusammen vier Rechte betragen. Um daher bloß die Summe der Vieleckswinkel zu er¬ halten, muß man von der Winkelsumme aller Dreiecke noch vier Rechte subtrahieren. Man kann daher sagen: In jedem Vieleck ist die Summe aller Winkel gleich so viel¬ mal zwei Rechten, als dasVieleck Seiten hat, weniger vier Rechten. Wie groß ist die Summe aller Winkel eines Fünfeckes? eines Sechs-, Sieben-, Acht-, Neun-, Zehneckes? Wieviel Diagonalen können von einem Eckpunkte in einem Vier-, Fünf-, Sechs-, Sieben-, Acht-, Neun-, Zehnecke gezogen werden? In wie viele Drei¬ ecke wird dadurch jedes der genannten Vielecke zerlegt? Fig. 56. Fig. 57. Fig. 58. Der Form nach unterscheidet man regelmäßige, symme¬ trische und unregelmäßige Vielecke. Ein Vieleck ist regelmäßig, wenn alle Seiten desselben gleich lang sind und alle Winkel dieselbe Größe haben (Fig. 56). 39 Ein Vieleck ist symmetrisch, wenn sich dasselbe durch eine Mittellinie in zwei kongruente Teile zerlegen läßt (Fig. 57). Die Mittellinie FG heißt die Symmetrieachse oder auch Sym- metrale. Die Verbindungslinien je zweier gleichgelegenen Punkte stehen auf der Symmetralen senkrecht. So sind die Geraden AA\ BB', CG\ DD' und EE' senkrecht oder normal gegen die Symmetrale FG gerichtet. Je zwei gleich¬ gelegene Punkte (wie A und A') haben von der Symmetrieachse einen gleichen Abstand. Ein Vieleck ist unregelmäßig, wenn nicht alle Seiten des¬ selben die gleiche Länge und nicht alle Winkel dieselbe Größe besitzen (Fig. 58). Da in einem regelmäßigen Vielecke alle Winkel gleich sind, so findet man die Größe eines derselben, wenn man zuerst die Summe aller Winkel bestimmt und dann dieselbe durch die Anzahl der Winkel dividiert. So beträgt Suche auf gleiche Weise den Winkel für das regelmäßige Achteck, Neuneck und Zehneck! Es sei das Vieleck ABC DE (Fig. 59) regelmäßig, also AB = BC = CD = DE = EA, und > JV 1YL x0 den früheren Bogen in 5'. Hierauf ziehe f 7 ll man die Gerade Oy, wodurch sich der Winkel a ergibt. Der Konstruktion zu¬ folge verhält sich 05 zu 5 5' wie 5 zu 3. Nun trage man von 0 aus die Geraden A B, CD und EF auf Ox auf und zeichne die entsprechenden Kreisbogen MM', NN' und PP'. Die Sehnen dieser Kreisbogen, welche in der vorstehenden Zeichnung durch volle Linien angedeutet sind, geben, wie leicht einzusehen ist, die zu AB, CD und EF gesuchten, im Verhältnisse wie 5 zu 3 ver¬ kleinerten Strecken an. Mit Hilfe eines solchen Winkels a lassen sich also mehrere gegebene Strecken auf eine sehr einfache Weise proportional verkleinern; deshalb nennt man diesen Winkel auch Proportionalwinkel. Der Proportionalwinkel kann auch für Vergrößerungen ange¬ wendet werden, aber nur dann, wenn die Strecken nicht über das zwei¬ fache vergrößert werden sollen. Warum? Wäre die Aufgabe gestellt, die Strecken AB, CD, EF und GH (Fig. 97) im Verhältnisse wie 3 : 4 zu vergrößern, so trage man auf der Geraden Ox von O aus drei gleiche Teile auf und ziehe den Bogen 3z; nun fasse man vier solche Teile in den Zirkel und durchschneide den früheren Bogen von dem Punkte Si fc*J ^ 62 U Fig. 97. 3 aus in 3'. Die Strecke 03 verhält sich nun zu 3 3' wie 3: 4. Werden nun die zu vergrößernden Strecken AB, CD, EF und GH von 0 aus auf Ox aufgetragen, so geben die Sehnen MM', NN', PP', und QQ' die gesuchten vergrößerten Strecken an. Aufgaben: 1. Zeichne vier beliebige Strecken und verkleinere diese mit Hilfe des Propor¬ tionalwinkels wie 7:3! 2. Zeichne vier beliebige Strecken und vergrößere diese mit Hilfe des Propor¬ tionalwinkels im Verhältnisse wie 2:3! 27. Das Verkleinern und Vergrößern gegebener Figuren. Diese Aufgabe stützt sich auf die Konstruktion ähnlicher Figuren und kann auf verschiedene Weise bewerkstelligt werden. Einige Beispiele mögen dies veranschaulichen. Das Dreieck ABC (Fig. 98) soll nach dem Seitenverhältnisse 3:2 verkleinert werden. Fig. 98. cl struiere solchen Dreieck Zwecke Fig. 99. C Man teile zunächst jede der Dreieckseiten in drei gleiche Teile und kon- nun mit je zwei Teilen ein neues abc. Zu diesem mache man zu¬ nächst ab = 2 / 3 AB. Hier¬ auf fasse man zwei Teile von HO in den Zirkel und be¬ schreibe von a aus den Bogen mn, dann nehme man zwei Teile von BC ab und ziehe von b aus den Kreisbogen pq. Der Durch¬ schnittspunkt beider Kreisbogen c gibt, mit a und b geradlinig ver¬ bunden, das verlangte ähnliche Dreieck. Es sei zu einem gege¬ benen Vielecke abcde (Fig. 99) 68 ein ähnliches Vieleck so zu konstruieren, daß die Seiten der zwei Vielecke ein gegebenes Verhältnis, z. B. 3:5, haben. Man zerlege das gegebene Vieleck von einem Punkte a aus durch Dia¬ gonalen in Dreiecke und teile jede Seite sowohl als auch die einzelnen Dia¬ gonalen in drei gleiche Teile ein. Nun konstruiere man mit je fünf solchen Teilen zunächst das Dreieck /, hierauf anschließend das Dreieck II und endlich noch das Dreieck III. — Die Zerlegung in Dreiecke könnte auch von einem Punkte im Innern des gegebenen Vieleckes aus geschehen. Zum Vergrößern oder zum Verkleinern der Seiten bedient man sich auch sehr vorteilhaft des Proportionalwinkels. Gesetzt, es soll das Trapezoid ABCD (Fig. 100) nach dem Seitenverhältnisse 4 : 3 verkleinert werden. Man zeichne zunächst den zu diesem Verhältnisse gehörigen Proportionalwinkel a. Nun verkleinere Fig. 100. Fig. 101 c a—ttTc man mit Hilfe desselben sowohl die einzelnen Seiten als auch die Diagonale AC und konstruiere aus diesen Stücken zuerst das Dreieck abc und an¬ schließend hieran das Dreieck acd. Das Vergrößern und Verkleinern von Figuren kann aber auch, ähnlich wie das Kopieren mittels Abszissen undOrdinaten durchgeführt werden. Man soll das in Fig. 101 dargestellte Muster für Litzenauf- nähen im Verhältnisse wie 5 : 7 vergrößern. Wie leicht einzusehen ist, muß man zunächst sowohl alle einzelnen Ab¬ szissenabstände (ad, df u.s. w.) als auch die Ordinaten (ab, cd, ef u.s. w.) nach 61 * dem verlangten Verhältnisse vergrößern. Es unterliegt sodann keiner Schwie¬ rigkeit, aus diesen Stücken das verlangte vergrößerte Muster zu konstruieren. Aufgaben: 1. Das in Fig. 100 dargestellte Vieleck soll nach dem Seitenverhältnisse 2 : 3 ver¬ größert werden. 2. Das in Fig. 101 gegebene Muster ist nach dem Verhältnisse 4 : 3 zu verkleinern. 28. Das Verkleinern und Vergrößern von Schnittmustern. Auch hierbei muß man in erster Linie die Längenausdehnungen des Originals nach dem gegebenen Verhältnisse verkleinern oder ver- Fig. 102. 12 7 großem, worauf mit diesen geänderten Strecken die neue Zeichnung aus¬ geführt werden kann. Sehr zweckmäßig ist es, wenn man das gegebene Schnittmuster in ein Rechteck einschließt, welches den geraden Linien des Schnittes möglichst angepaßt erscheint, wie dies Fig. 102 (Frauen¬ hemd ohne Sattel) darstellt. Wir wollen annehmen, es sei das vorliegende Schnittmuster im Verhältnisse 4: 3 zu verkleinern. Man messe zunächst die Länge und Breite dieses Rechteckes mit Hilfe eines Maßstabes möglichst genau (bis auf Millimeter) ab; für unseren im verkleinerten Maßstabe gezeich- 65 neten Schnitt ergeben sich 9 cm und 4 cm. Die einzelnen Maßzahlen multipli¬ ziert man nun mit der dem gegebenen Verhältnisse entsprechenden Re¬ duktionszahl ^ hier — J, um die Länge und Breite des neuen Rechteckes zu erhalten. 9 cm X t 4 90 mm X 7 4 270 mm 67-5 mm = 6 cm 7 1 / 2 mm 120 mm 30 mm = 3 cm Kg. 103. (Länge des neuen Rechteckes). 3 3 4 cm X 7 = 40 mm X 7 = 4 4 4 (Breite des neuen Rechteckes). Nun konstruiere man aus der so gefundenen Länge- und Breiteangabe das neue Rechteck, in welches der zu verkleinernde Schnitt eingezeichnet werden soll. Hierauf werden am Originale die einzelnen Strecken möglichst genau abgemessen und ihre Längen wieder, wie dies oben gezeigt wurde, ge¬ hörig reduziert. Man hat nun nur die eben gefundenen Längen in das neue Rechteck einzutragen, worauf mit freier Hand die noch notwendigen Verbindungs¬ linien zu ziehen sind. Da die Umrechnung der Maßzahlen des Originals, besonders bei verwickelteren Reduktionszahlen, eine umständliche und zeitraubende Arbeit mit sich bringt, er¬ scheint es empfehlenswert, sich hierfür einen eigenen, der jeweiligen Ver¬ kleinerung oder Vergrößerung an¬ gepaßten Maßstab zu konstruieren. In Fig. 102 stellt M den gewöhnlichen und M' den sogenannten verjüngten Maßstab vor; in letzterem beträgt jede Längeneinheit 3 / 4 des ursprünglichen Maßes. Beim praktischen Gebrauche der¬ artiger Maßstäbe bestimmt man von jeder am Originale abgenommenen Strecke zuerst auf dem ursprünglichen Maßstabe die Maßzahl ihrer wahren Länge. Dann sucht man auf dem zweiten Maßstabe die dieser Maßzahl entsprechende reduzierte Länge auf und setzt nun aus den so geänderten Strecken die neue Figur zusammen. Häufig bedient man sich auch zum Vergrößern und Verkleinern der einzelnen Strecken des früher erwähnten Proportionalwinkels. Ist das Original in ein Quadratnetz eingezeichnet, so hat man die Quadratseiten nur dem verlangten Verhältnisse gemäß zu verkleinern oder zu Moönik-Wen gliart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgerschulen. 5 66 vergrößern, worauf die Eintragung der Figur in das neue Netz erfolgt. Auf ähnliche Weise muß man verfahren, wenn das Original mit einem stig- mographischen Netze versehen ist. Die Netzmethode findet namentlich im geographischen Unter¬ richte bei Herstellung von Kartenskizzen reichliche Anwendung. Aufgaben: 1. Die in Fig. 85 dargestellten Muster sind im Verhältnisse 4 : 5 mit Anwendung der entsprechenden Reduktionszahl zu vergrößern. 2. Vergrößere die Schnittmuster in Fig. 86 nach dem Verhältnisse 3:5! 3. Vergrößere das in Fig. 103 gegebene Monogramm nach dem Verhältnisse 2:3! III. Abschnitt. Umfang und Flächeninhalt der Figuren. 29. Umfang und Flächeninhalt im allgemeinen. Alle Grenzlinien einer Figur zusammengenommen nennt man deren Umfang. Um den Umfang einer geradlinigen Figur zu bestimmen, braucht man nur die Seiten derselben zu messen und die gefun¬ denen Maßzahlen, die sich offenbar auf das Längenmaß bezie¬ hen, zu addieren. Ist die Figur gleichseitig, so ist der Umfang gleich der Länge einer Seite, multipliziert mit der Anzahl der Seiten. Die Bestimmung des Umfanges einer geradlinigen Figur unterliegt daher keiner weiteren Schwierigkeit. Der Flächenraum, welcher von den Grenzlinien einer Figur eingeschlossen wird, heißt Flächeninhalt einer Figur. Zwei Figuren, welche gleichen Flächeninhalt haben, heißen flächen¬ gleich. Sowie eine Linie nur durch eine Linie, ebenso kann eine Fläche nur durch eine Fläche gemessen werden. Um daher den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen, muß man irgendeine bestimmte Fläche als Einheit annehmen und untersuchen, wie oft diese in der gegebenen Fläche enthalten ist. Die Zahl, welche dieses anzeigt, heißt die Maß zahl der Fläche. Als Einheit des Flächenmaßes nimmt man ein Quadrat an, dessen Seite der Einheit des Längenmaßes gleich ist, von welcher dann das Quadrat den Namen erhält. Ein solches Quadrat heißt ein Quadratmeter 67 (m 2 ), ein Quadratdezimeter (dm 2 ) u. s. w., je nachdem die Seite einem Meter, Dezimeter u. s. w. gleich ist. Eine Fläche messen heißt, demnach untersuchen, wie viele Quadrat¬ meter, Quadratdezimeter u. s. w. die Fläche enthält. Die Bestimmung des Flächeninhaltes geschieht übrigens nicht durch unmittelbares Aufträgen der genannten Quadratmaße auf die zu messende Fläche, da dies mühsam und meistens auch unausführbar wäre. Man bestimmt vielmehr den Flächeninhalt mittelbar, indem man die¬ jenigen Strecken, von denen die Größe der Figur abhängt, mit dem Längen¬ maße mißt und aus den Maßzahlen dieser Strecken den Inhalt der Fläche durch Rechnung ermittelt, wie im folgenden gezeigt werden soll. Aus den in den Grundbuchsämtern (siehe I. Abschnitt, Seite 4) geführten Ver¬ zeichnissen und geometrischen Darstellungen der einzelnen Liegenschaften lassen sich jederzeit jene Daten entnehmen, die Aufschlüsse über die Gestalt und Größenverhält¬ nisse eines Grundstückes geben. Nach diesen Angaben ist man aber mit Hilfe der Geo¬ metrie, wie wir später sehen werden, leicht imstande, durch Rechnung den Flächen¬ inhalt einer Liegenschaft mit vollster Genauigkeit zu bestimmen und so den Wert einer allenfalls zu erstehenden Bodenfläche zu ermitteln. In den Grundbuchsämtern werden aber auch alle Änderungen im Besitzstände sorgfältig vermerkt und auch aufgenommene Darlehen auf Liegenschaften grundbücherlich verzeichnet, so daß man durch Einsicht¬ nahme in diese Bücher stets in der Lage ist, zu erkennen, ob die zu erwerbenden Grund¬ stücke und Gebäude schuldenfrei sind oder nicht und welche Darlehen auf denselben lasten, eine Einrichtung, die vorsichtige Käufer oder Geld Verleiher vor Schaden zu be¬ wahren imstande ist.—Ähnlich geben die Grundsteuerkataster undKatastralmappen über die einzelnen Liegenschaften und deren jeweiligen Erträgnisse die notwendigen Aufschlüsse. Fig. 104. D 30. Das Quadrat. Die Seite des Quadrates ABCD (Fig. 104) messe 3 dm. Teilt man jede Seite in 3 gleiche Teile, wovon jeder 1 dm lang ist, und verbindet dann die gegenüberliegenden Teilungspunkte durch gerade Linien, so zerfällt das ge¬ gebene Quadrat in lauter kleinere Quadrate, deren jedes 1 dm 2 vorstellt; und zwar enthält der Streifen längs der Seite AB 3 dm 2 , der darüber befindliche Streifen ebenfalls 3 dm 2 und der dritte Streifen auch 3 dm 2 . Man hat also im ganzen dreimal 3 dm 2 — 9 dm 2 . Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 4 cm ist, und bestimme auf gleiche Weise, wieviel Quadratzentimeter es enthält! Der Flächeninhalt eines Quadrates wird gefunden, indem man die Maßzahl einer Seite mit sich selbst multipliziert, d. i. zur zweiten Potenz erhebt. Daher kommt es, daß man auch im Rechnen die zweite Potenz einer Zahl das Quadrat derselben nennt. Bezeichnet man die Maßzahl der Seite eines Quadrates durch s und den Flächeninhalt desselben durch F, so ist F = s 2 . > Die Benennung des Flächeninhaltes hängt von der Benennung der 5 * £ 68 Seiten ab; ist z. B. die Seite in Metern ausgedrückt, so wird die Zahl, welche man als Flächeninhalt bekommt, Quadratmeter anzeigen; ist die Seite des Quadrates in Dezimetern angegeben, so erhält man auch den Flächeninhalt in Quadratdezimetern. Wenn der Flächeninhalt eines Quadrates bekannt ist und man die Länge einer Seite finden will, so braucht man nur eine Zahl zu suchen, welche, mit sich selbst multipliziert, den gegebenen Flächeninhalt gibt, d. h. man muß aus dem bekannten Flächeninhalte die Quadratwurzel aus- ziehen. Es ist also s =yF. Fig. 105. D C Ein Quadrat (Fig. 105), dessen jede Seite 1 dm = 10 cm beträgt, hat 10 X 10 cm 2 = 100 cm 2 . Ein solches Quadrat ist nun 1 dm 2 . Also ist 1 dm 2 = 100 cm 2 . Auf gleiche Weise kann man zeigen, daß 1 m 2 = 100 dm 2 t 1 cm 2 = 100 mm 2 ist, u. s. f.; man hat daher: 1 am 2 = 100 km 2 lm 2 = 100 dm 2 1 Jcm 2 = 1000000 m 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 — 100 mm 2 . 69 Beim Bodenmaße heißt eine Fläche von 100 m 2 ein Ar, eine Fläche von 100 Ar ein Hektar. Ein Ar ist 10 m lang und 10 m breit. Ein Hektar ist 100 m lang und 100 m breit. Aufgaben: 1. Die Seite eines Quadrates beträgt a) 21 m, b) 5 m 4 dm , c) 3 m 5 dm 9 cm, d) 0-715 m; wie groß ist der Umfang, wie groß der Flächeninhalt? 2. Der Umfang einer Quadrates ist 23 m 2 dm; wie groß ist a) die Seite, b) der Flächeninhalt? 3. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist 15 m 2 52 dm 2 36 cm 2 ; wie groß ist die Seite, wie groß der Umfang? 4. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Flächeninhalt a) 376-36 dm 2 , b) 2 m 2 13 dm 2 16 cm 2 , c) 12-3201 m 2 ist? 5. Wieviel Spitzen sind zur glatten Umrandung einer quadratischen Tischdecke von 1-25 m Seitenlange erforderlich, wenn wegen der Ecken 24 cm hinzugerechnet werden müssen? 6. Wieviel kostet ein quadratischer Bauplatz von 36 m Seitenlänge, wenn man das Quadratmeter mit 11 K bezahlt? 7. Ein quadratischer Acker kostete 1250 K; wieviel Meter beträgt eine Seite desselben, wenn 1 a zu 8 K gerechnet wurde? 8. Die Seite eines Quadrates ist 3 dm, die eines zweiten Quadrates 12 dm; wie verhalten sich a) die Umfänge, b) die Flächeninhalte der beiden Quadrate ? 9. Ein quadratischer Hof von 12 m Seitenlänge soll mit quadratischen Steinplatten von 16 dm Umfang gepflastert werden; wieviel solche Stein¬ platten sind erforderlich? 10. An der Fläche eines Quadrates, dessen Seite 48 cm ist, wird der Rand 3 cm breit vergoldet; wieviel Quadratdezimeter beträgt die Ver¬ goldung ? 11. Man will in einem quadratförmigen Garten, dessen Seite 58 m 5 dm ist, ringsherum einen Weg machen, der eine Breite von 1 m 2 dm haben soll; welchen Flächenraum wird dieser Weg einnehmen? 12. Ein quadratischer Bauplatz mit 37 m Seitenlänge ist pro Quadrat¬ meter auf 45 K geschätzt; auf demselben lastet eine grundbücherliche Schuld von 10.000 K. Welches Darlehen könnte dem Besitzer des Bauplatzes noch gegeben werden, ohne den Schätzungswert zu überschreiten? 13. Ein quadratischer Weingarten mit 116 m Umfang wird pro Qua¬ dratmeter mit 3-5 K geschätzt. Es lastet bereits eine Grundbuchsschuld von 1500 K auf ihm; erscheint es geraten, ein zweites Darlehen in derselben Höhe zu bewilligen. 14. Auf einem Bauplatze, 46 m im Quadrate und pro Quadratmeter auf 22 K geschätzt, haftet eine Schuld von 40.000 K. Kommt der Gläubiger zu seinem Gelde, wenn dieser Bauplatz mit 60% des Schätzungswertes zwangsweise versteigert wird? 70 31. Das Rechteck. A Fig. 106. Es sei in dem Rechtecke AB DG (Fig. 106) die Grundlinie CD = 6 cm und die Höhe AG = 4 cm. Teilt man nun CD in sechs, ferner AG in vier gleiche Teile und zieht durch die Teilpunkte mit den Seiten parallele Linien, so ist ein jedes der dadurch entstehenden Quadrate 1 cm 2 . Man erhält vier Streifen solcher Quadrate von je 6 cm 2 ; der Flächeninhalt des Rechteckes AB DG beträgt daher viermal 6 cm 2 = 24 cm 2 . B C D Durch ähnliche Zeichnungen und Schlüsse findet man, daß ein Rechteck, welches 7 m lang und 3 m breit ist, 3 x 7 m 2 = 21 m a enthält; daß der Flächeninhalt eines Rechteckes, dessen Grundlinie und Höhe 8 dm und 5 dm sind, 5x8 dm 2 = 40 dm 2 beträgt. Der Flächeninhalt eines Rechteckes wird gefunden, indem man die Maßzahl der Grundlinie mit der Maßzahl der Höhe multipliziert. Man pflegt diesen Satz kürzer so auszudrücken: Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Pro¬ dukte aus der Grundlinie und derHöhe, oder derLänge mal der Breite. Ist der Flächeninhalt eines Rechteckes und zugleich die Grundlinie bekannt, so findet man die Höhe, indem man den Flächeninhalt durch die Grundlinie dividiert. Ebenso wird die Grundlinie gefunden, indem man den Flächeninhalt durch die Höhe dividiert. Bezeichnet G die Grundlinie, H die Höhe eines Rechteckes und F den Flächeninhalt desselben, so ist F = G.H, G F Ir H F G' Aufgaben: 1. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt folgender Rechtecke: a ) Länge 9-2 m, Breite 5-8 m; b) „ 12 m 3 dm, „ 9 m 2 dm\ c) „ 3*215 m, „ 1*064 ml 2. Der Umfang eines Rechteckes beträgt 87 m 4 dm, die kürzere Seite 18 m 4: dm; wie groß ist a) die längere Seite, b) der Flächeninhalt? 3. Ein Spiegel mit Rahmen ist 5 dm 8 cm breit und 8 dm 2 cm hoch; wie groß ist der Umfang? 4. Längs der Hecke eines Gartens, welcher 33 m lang und 21 m breit ist, werden ringsum Maulbeerbäume, welche 3 m voneinander abstehen, gepflanzt; wieviel Maulbeerbäume sind dazu erforderlich? 71 5. Miß die Länge, Breite und Höhe des Schulzimmers und berechne wieviel Flächen raum der Boden, die Decke und die vier Wände (Tür und Fenster mitgerechnet) haben! 6. Die Seiten eines Rechteckes sind 9 dm und 6 dm, die Seiten eines zweiten Rechteckes sind doppelt so groß; wie verhalten sich a) die Um¬ fänge, b) die Flächeninhalte der beiden Rechtecke? 7. Berechne die Höhe der Rechtecke von a) 9 m 2 Flächeninhalt und 3*6 m Grundlinie; b) 46-92 dm 2 „ „ 9-2 dm „ ; c) 22 3767 m 2 ,, „ 5 m 29 cm „ ! 8. Berechne die Grundlinie der Rechtecke von a) 24 m 2 Flächeninhalt und 3-2 m Höhe; b) 26 dm 2 55 cm 2 ,, „ 4 dm 5 cm ,, ; c) 5444-16 cm 2 „ „ 63-6 cm „ ! 9. Wie groß ist die Fläche einer Tischplatte, deren Länge 1-2 m und deren Breite 5 / 6 von der Länge beträgt? 10. Eine gehäkelte Bettdecke ist aus Quadraten von je 9 cm Seiten¬ länge zusammengesetzt; wieviel Quadrate sind erforderlich, wenn die Decke 2' 7 m lang und 1-71 m breit ist? 11. Ein Bettvorleger von 75 cm Breite und 1-5 m Länge soll ringsum mit einem 15 cm breiten Plüschstreifen besetzt werden; wieviel cm sind davon erforderlich, wenn der Plüsch 1-5 m Breite hat und wie teuer kommt der Besatz, wenn das Meter dieses Stoffes 13-2 K kostet? 12. Wie viel a hat ein rechteckiger Garten von 38 m Länge und 32 m Breite ? 13. Ein Acker enthält 63-84 a, seine Länge ist 42-56 m; wie groß ist seine Breite? 14. Jemand vertauscht einen Acker, welcher 746 m 2 20 dm 2 Flächen¬ inhalt hat, gegen einen andern von gleichem Inhalte, welcher 18 m 2 dm breit ist; wie lang muß dieser Acker sein? 15. Ein Spiegel mit Rahmen hat 6 dm 3 cm Breite und & dm 5 cm Höhe; wie groß ist der Inhalt der sichtbaren Spiegelfläche, wenn der Rahmen 5 cm breit ist? 16. Jemand kauft einen Bauplatz von der Form eines Rechteckes 34 m 4 dm lang und 19 m 2 dm breit, und bezahlt das Quadratmeter zu 11 K; wieviel kostet der Bauplatz? 17. Wieviel kostet die Verglasung von acht Fenstern, deren jedes im Lichten 0-9 m breit und 1-5 m hoch ist, wenn man für 1 m 2 Verglasung 5 K 60 h rechnet. 18. Ein Fußboden von 5 m Länge und 4-5 m Breite wurde mit Lack gestrichen; wie teuer kommt 1 m 2 Anstrich, wenn sich die Kosten auf 8 K 10 h beliefen ? 19. Ein Fußboden von 7*5 m Länge und 6-4 m Breite soll mit harten 72 Bretteln belegt werden; wieviel wird der Tischler dafür verlangen, wenn er 1 m 2 Belegung mit 8 K 50 h berechnet? 20. Ein Quadrat ist flächengleich einem Rechtecke von 54 m Länge und 24 m Breite; um wieviel ist der Umfang des Quadrates kleiner als der Umfang des Rechteckes? 21. A hat zwei Gärten von gleicher Größe, einen quadratischen von 56 m Seitenlänge und einen rechteckigen von 49 m Breite; um jeden dieser Gärten will er eine Hecke anpflanzen lassen; um wieviel Meter wird die Hecke um den rechteckigen Garten länger sein als die um den quadratischen ? 22. 6 größere Türen, jede 2-3 m hoch und 1*3 m breit, und 4 kleinere Türen, jede 1-9 m hoch und 1 m breit, sollen von innen und außen mit Öl¬ farbe angestrichen werden; wie teuer kommt der Anstrich, wenn das Quadratmeter 1 K 70 h kostet? 23. Der Umfang eines Rechteckes, dessen Seiten sich wie 5: 7 ver¬ halten, beträgt 47 m 4 cm; wie lang und wie breit ist es? 24. In einem Rechtecke, dessen Flächeninhalt 79 m 2 35 dm 2 beträgt, verhält sich die Länge zur Breite wie 5:3; wie groß ist jede Seite desselben und wie groß dessen Umfang? 25. Die Länge eines Tischteppiches beträgt um 32 cm mehr als die Breite. Zur Einfassung desselben waren 5 m 72 cm Borten notwendig. Welche Länge und welche Breite hat dieser Teppich? 26. Ein Zimmer von der Form eines Rechteckes wurde mit Wachs ein¬ gelassen, wobei das Quadratmeter mit 16 h berechnet erscheint. Die Länge ver¬ hält sich zur Breite wie 7: 5, und zwar mißt die eine Ausdehnung um 2 m 84cm mehr als die andere. Wie hoch kam das Einlassen des Fußbodens zu stehen? 27. Ein Quadrat von 36 cm Seitenlänge hat denselben Inhalt wie ein Rechteck, dessen kürzere Seite 27 cm mißt. Welchen Umfang und Inhalt hat das Rechteck ? 28. Ein Hof, welcher 45 m 72 cm lang und 38 m 4 cm breit ist, soll mit quadratischen Steinen, deren jede Seite 12 cm beträgt, gepflastert werden; wie viele Steine sind notwendig? 29. Ein Acker von 79 m Länge und 23 m Breite ist pro Quadratmeter auf 1-4 K geschätzt. Auf demselben haftet bereits eine im Grundbuche ver¬ merkte Schuld von 1200 K. Welches zweite Darlehen kann dem Besitzer der Ackers noch bewilligt werden, wenn angenommen wird, daß im Falle zwangs¬ weiser Versteigerung des Grundstückes bloß 70°/ 0 des Schätzungswertes erzielt werden ? 30. Ein Bauplatz mit einer Länge von 43 m und mit einem Umfange von 156 m ist bereits mit einer grundbücherlichen Schuld von 6000 K be¬ lastet. Ein zweiter Gläubiger leiht dem Besitzer ohne sich zu erkundigen, ob die Liegenschaft schuldenfrei ist, 5000 K. Nach einiger Zeit wird der Bauplatz zwangsweise mit 9 K pro m 2 verkauft. Wieviel verliert der zweite Gläubiger durch seine Fahrlässigkeit? 73 31. Ein Weingarten in der Form eines Rechteckes ist bei einem Um¬ fange von 238 m 6mal so lang als breit. Auf demselben haftet eine grund- bücherliche Schuld von 600 K und eine weitere von 400 K. Ein dritter Gläubiger bewilligt noch ein Darlehen von 200 K ; kommt derselbe zu seinem Gelde, wenn die Liegenschaft nach einiger Zeit mit 1*5 K pro m 2 zwangs¬ weise versteigert wird? 32. Das schiefwinklige Parallelogramm. Jedes schiefwinklige Parallelogramm (Rhombus und Rhomboid, 1 und II, Fig 107) kann in ein Rechteck von derselben Grundlinie und Höhe verwandelt werden, indem man das rechtwinklige Dreieck BCE von der einen Seite abschneidet und an die Stelle von ADF überträgt. Um den In¬ halt des Recht¬ er C JT eckes zu finden, 107, muß man die Grundlinie mit derHöhe multi- plizierenjdaher der Satz: Der Flächenin¬ halt eines schiefwinkligen Parallelogramms ist gleich dem Produkte aus der Grundlinie und der Höhe. Verbindet man die benachbarten Halbierungspunkte der Seiten eines Rechteckes AB CD (Fig. 108) geradlinig, so ergibt sich ein Rhombus EFGH. Zieht man noch die zwei Halbierungs¬ linien EG und FH, so zerfällt das ganze Recht¬ eck in acht kongruente Dreiecke, von welchen JJ vier auf den Rhombus entfallen. Demnach be¬ trägt die Fläche des Rhombus die Hälfte von der Fläche des Rechteckes. Da nun die Länge AB des Rechteckes der einen Diagonale EG des Rhombus ent¬ spricht, während seine Breite AD der Länge A der zweiten Diagonale FH des Rhombus gleich¬ kommt, so können wir sagen: Der Flächeninhalt eines Rhombus ist gleich dem halben Produkte aus seinen Diagonalen. Aufgaben: 1. In einem Rhombus ist die Grundlinie d) 108 dm, b) 17-7 dm, c ) 8 m 5 dm 1 cm; die Höhe a) 64 dm, b) 9*3 dm, c) 7 m 4 dm 8 cm; wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt? 74 2. In einem Rhomboid betragen zwei anstoßende Seiten 38 m und 23 m\ wie groß ist der Umfang? 3. Wie groß ist die Fläche eines Rhomboides, in welchem die Grund¬ linie 4 m 3 dm 4 cm und die Höhe 2m3 dm 2 cm beträgt? 4. Der Flächeninhalt eines Rhomboides beträgt 18 m 2 75 dm 2 , die Höhe ist 3 m 75 cm ; wie groß ist die Grundlinie ? 5. Bestimme die Höhe eines Rhombus, dessen Flächeninhalt 31-79 m 2 und dessen Grundlinie 7-48 m ist! 6. Ein Acker von der Gestalt eines Rhomboides mißt 42 a 75 m 2 bei 225 m Höhe; wie groß ist die Grundlinie? 7. Der Umfang eines Rhombus beträgt 38 cm; wie groß ist eine Seite ? 8. Ein Tischtuch hat die Form eines Rhombus; zu seiner Einfassung waren 4 m 96 cm Börtchen notwendig. Wie lang ist eine Seite? 9. Die beiden Diagonalen eines Rhombus messen 37 cm und 26 cm; wie groß ist dessen Flächeninhalt? 10. In einem Blumenbeete von der Form eines Rhombus verhalten sich die beiden Diagonalen wie 2 : 3. Wie lang ist jede Diagonale, wenn der Inhalt des Rhombus 9 m 2 72 dm 2 beträgt? 33. Das Dreieck. Jedes Dreieck ABC (Fig. 109) kann als die Hälfte eines Parallelo¬ gramms dargestellt werden, welches mit ihm gleiche Grundlinien und gleiche Höhe hat; man braucht nur durch zwei Eckpunkte B und G mit den gegen¬ überliegenden Seiten Parallele zu ziehen. Um den Flächeninhalt des Parallelogramms zu erhalten, muß man die Grundlinie mit der Höhe multiplizieren; zur Bestimmung der Dreiecksfläche wird man daher auch die Grundlinie mit der Höhe multiplizieren, jedoch von diesem Produkte nur die Hälfte nehmen. Der Flächeninhalt eines Dreieckes wird gefunden, indem man das Produkt aus der Grundlinie und der Höhe durch 2 divi¬ diert.— Zu demselben Ergebnisse kommt man, wenn man die halbe Grundlinie mit der ganzen Höhe oder die halbe Höhe mit der ganzen Grundlinie multipliziert. Wird der doppelte Flächeninhalt eines Dreieckes durch die Grundlinie dividiert, so erhält man die Höhe; wird er durch die Höhe dividiert, so er¬ hält man die Grundlinie. Fig. 109. 7 D Bezeichnet G die Grundlinie, H die Höhe und F den Flächeninhalt eines Dreieckes, so ist F G XH G XH II XG, G 2 F ir h 2 F G' 2 2 2 In einem rechtwinkligen Dreiecke wird gewöhnlich eine Kathete als Grundlinie angenommen; die andere Kathete stellt dann die Höhe vor. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes ist gleich dem halben Produkte der beiden Katheten. Aufgaben: % 1. Wie groß ist der Umfang eines Dreieckes, dessen Seiten 38 m 7 dm, 25 m 4 dm, 31 m 5 dm sind? 2. Die Seite eines gleichseitigen Dreieckes ist a) 2*3 m, b) 1 m 5 dm 2 cm, c) 97 3 / 4 cm; wie groß ist der Umfang? 3. Wie groß ist die Seite eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Umfang 10 m 3 dm 5 cm beträgt? 4. Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke : ä) Grundlinie 3-6 m, Höhe 3-2 m; b) „ 4*25 dm, „ 2-84 dm; c) „ 1 m 4 dm 2 cm, „ 5 dm 9 cm\ 5. Ein Stück Land von der Gestalt eines Dreieckes hat 108 m zur Grundlinie und 72 m zur Höhe; wieviel ist es wert, wenn das Hektar zu . 2030 K gerechnet wird? 6. Berechne die Höhe der Dreiecke von a) 2-75 m 2 Flächeninhalt und 2*5 m Grundlinie; b) 58-96 dm 2 „ „ 13-4 dm „ ; c) 2722-08 cm 2 ,, „ 85-6 cm „ ! 7. Berechne die Grundlinie der Dreiecke von a) 12 m 2 Flächeninhalt und 3-2 m Höhe; b) 33-54 cm 2 „ „ 10-32 cm „ ; c) 847-53 dm 2 „ „ 38-7 dm „ ! 8. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete 29 m 3 dm, die andere 18 m 4 dm; wie groß ist der Inhalt? 9. In einem rechtwinkligen Dreiecke, welches 20 m 2 72 dm 2 enthält, ist eine Kathete 7 m 4 dm; wie groß ist die zweite Kathete ? 10. Die Seite eines Quadrates ist 36 mm. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, welches ebenso groß ist wie jenes Quadrat und dessen eine Kathete 54 mm ist ? 11. Der Umfang eines Dreieckes beträgt 45-6 cm; die Seiten eines ihm ähnlichen Dreieckes sind 4-5 cm, 4-4 cm und 6-3 cm; wie groß sind die Seiten des ersten Dreieckes? 12. Ein Turmdach besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. Wieviel Quadratmeter Blech braucht man zu dessen Deckung, wenn die Grundlinie 76 eines solchen Dreieckes 2 m 2 dm, die Höhe 4 m 5 dm beträgt und für Ver¬ schnitt und Falze 6°/ 0 hinzugerechnet werden? 34. Der pythagoräische Lehrsatz. Zeichne einen rechten Winkel ABC (Fig. 110), trage auf den einen Schenkel drei, auf den andern vier gleiche Teile, z. B. Zentimeter, auf und verbinde die Endpunkte durch eine Strecke AC; die Hypotenuse des dadurch entstandenen Dreieckes wird genau 5 cm enthalten. Das Quadrat von 3 ist 9, das Quadrat von 4 ist 16 und die Summe der Quadrate 25; das Qua¬ drat der Hypotenuse 5 ist auch 25. Es ist also das Quadrat der Hypo¬ tenuse so groß wie die Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Dieses läßt sich auch bildlich dar¬ stellen. Beschreibt man nämlich sowohl über der Hypotenuse als auch über den Katheten Quadrate und zerlegt jedes derselben in Quadratzentimeter, so sieht man, daß in dem Quadrate der Hypotenuse ebenso viele Quadratzentimeter Vorkommen als in den Quadraten der beiden Katheten zusammengenommen. Hierdurch wird man auf den folgenden Satz geleitet: In einem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Ka¬ theten. Dieser für den weiteren geometri¬ schen Unterricht sehr wichtige Lehr¬ satz wurde von Pythagoras (584—504 v. Chr.) aufgefunden und daher der pythagoräische Lehrsatz genannt. Für das gleichschenklige recht¬ winklige Dreieck läßt sich, wie Fig. 111 zeigt, die Wahrheit des pythagoräischen Lehrsatzes gleichfalls anschaulich dar¬ stellen. Um sich jedoch zu überzeugen, daß dieser Satz für jedes rechtwink¬ lige Dreieck, z. B. ABC (Fig. 112), gültig ist, errichte man über der Hypotenuse AC das Quadrat ACDE, verlängere B C und fälle darauf die Senk¬ rechten DF und EG; ebenso fälle man auf EG die Senkrechten AH und DJ. Fig. 111. Fig. 110. 77 Fig. 112. Dann sind die rechtwinkligen Dreiecke ABC , CFD, EJD und AHE , die wir kürzer mit m, n , p und g bezeichnen wollen, kongruent. Die Figur ABFDJH enthält nun die Quadrate der beiden Katheten AB und BC. Man 'erhält aber offenbar denselben Flächenraum, wenn man von dieser Figur die zwei Dreiecke m und n unten wegnimmt und sie oben an die Stelle der Dreiecke p und q anlegt. Die Figur ACDE , die dadurch entsteht, ist nun das Quadrat der Hypotenuse AC, welches daher denselben Flächeninhalt hat wie die Quadrate der beiden Katheten zu¬ sammengenommen. j Mit Hilfe des pythagoräischen Lehr¬ satzes kann man, wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes bekannt sind, ß die dritte Seite durch Rechnung finden. 1. Sind die beiden Katheten bekannt, so erhebt man jede Kathete zum Quadrate und addiert die Quadrate. Diese Summe gibt das Quadrat der Hypotenuse; um die Hypotenuse selbst zu erhalten, braucht man nur aus jener Summe die Quadratwurzel zu ziehen. Es sei z. B. die eine Kathete 36 cm, die andere 160 cm; wie groß ist die Hypotenuse? 36 cm 36 2 = 1296 160 cm 160 2 = 25600 }/26896 = 164; also mißt die tenuse 164 cm. 2. Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, so erhebe man beide zum Quadrate und subtrahiere vom Quadrate der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete; der Rest gibt das Quadrat der andern noch unbekannten Kathete. Will man diese Kathete selbst finden, so braucht man nur aus jenem Reste die Quadratwurzel zu ziehen. Es sei z. B. die Hypotenuse 2 m 8 cm, eine Kathete 8 dm\ wie groß ist die andere Kathete? 208 2 = 43264 80 2 = 6400 ]/36864 = 192. Die zweite Kathete be- 1 m 92 cm. Katheten Hypo- Hypot. 208 cm Kathete 80 cm trägt demnach 192 cm = Aufgaben: 1. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes sind a) 33 m und 56 m, b) 10-5 m und 8*8 m, c) 2 m 73 cm und 1 m 36 cm, d) 10 m 54 cm und 6 m 72 cm; wie groß ist die Hypotenuse, der Umfang und der Flächeninhalt? 78 2. Bei einem rechtwinkligen Dreiecke ist a) die Hypotenuse 51 dm, eine Kathete 24 dm) b) » » 6*5 m , „ „ 5-6 m\ d) „ » 1-94 m, „ „ 1*44 m; d) ,, „ 9*37 m, „ ,, 9-12 m; wie groß ist die andere Kathete, der Umfang und der Flächeninhalt? 3. Wie lang muß eine Leiter sein, damit sie an einer Mauer 5-94 m hoch reiche, wenn sie unten 1-2 m weit von der Mauer aufgestellt werden soll? 4. Berechne die Hypotenuse und den Flächeninhalt eines rechtwinkelig gleichschenkligen Dreieckes, dessen Kathete 1 m 6 dm 4 cm beträgt! 5. In einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke ist die Hypo¬ tenuse 58 mm\ wie groß ist jede Kathete, wie groß ist der Flächeninhalt? 6. In einem gleichseitigen Dreiecke beträgt eine Seite 1 dm) wie groß ist die Höhe desselben? 7. Berechne die Höhe und den Flächeninhalt eines gleichseitigen Drei¬ eckes, dessen Seite a) 2 dm 4 cm, b) 4 m 2 dm 6 cm beträgt! 8. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, das einem gleichseitigen Dreiecke von 4-8 dm Seitenlänge flächengleich ist? 9. In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 2 m 28 cm und die Höhe 3 m 52 cm) wie groß ist ein Schenkel? 10. In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 1 m 36 cm und jede der gleichen Seiten 2 m 93 cm) wie groß ist die Höhe und wie groß der Flächeninhalt? 11. Wie groß ist die Diagonale eines Quadrates, dessen Seite 1 m ist? 12. Die Diagonale eines Quadrates ist 1 m 7 dm) wie groß ist die Seite, wie groß der Flächeninhalt? 13. Eine quadratische Tischplatte hat 0-9409 m 2 ; wie groß ist die Diagonale ? 14. Die anstoßenden Seiten eines Rechteckes sind 8-5 m und 3-36 m; wie groß ist die Diagonale? 15. In einem Rechtecke beträgt die Diagonale 923 mm und eine Seite 355 mm. Wie groß ist die anstoßende zweite Seite? Welchen Umfang und Inhalt besitzt dieses Rechteck? 16. Wie groß ist die Diagonale eines Rechteckes, dessen Länge 5-2 m und dessen Flächeninhalt 20-28 m 2 beträgt? 17. Die Diagonalen eines Rhombus betragen 1-3 m und 1-44 m; wie groß ist a) eine Seite, b) der Umfang und c) der Flächeninhalt? 18. Ein Garten hat die Form eines Rhombus; wieviel Ar enthält er, wenn eine Seite 29 m und eine Diagonale 42 m beträgt? 79 35. Das Trapez. Man ziehe in dem Trapeze ABCD (Fig. 113) die Mittellinie EF und errichte in den Punkten E und F zwei Senkrechte GH und JK auf die Grund¬ linie. Denkt man sich nun die beiden Dreiecke AEG und BFJ unten weg¬ genommen und dafür bei DEH und CFK angesetzt, so erhält man das Rechteck GJKH, welches mit dem Trapeze gleich groß ist. Wie ersichtlich ist, hat das Recht¬ eck dieselbe Höhe LM wie das Trapez, während seine Grundlinie der Mittel¬ linie EF des letzteren entspricht. Die Gerade EF stellt aber eine Linie vor, deren Länge gerade zwischen der kürzeren und längeren Parallelen des Trapezes liegt; sie ist das arithme¬ tische Mittel aus diesen Parallelen und wird gefunden, wenn man letztere summiert und durch 2 teilt. Daraus folgt: Der Flächeninhalt eines Trapezes wird gefunden, indem man das arithmetische Mittel (oder die halbe Summe) der beiden parallelen Seiten mit der Höhe des Trapezes multipliziert. Betragen beispielsweise die parallelen Seiten 21 cm und 33 cm und die Höhe 18 cm, so hat man zunächst für die Mittellinie 21 cm -4- 33 cm 54 cm - 2 -= — = 27 cm als arithmetisches Mittel der zwei Parallelen; der Flächeninhalt ist dann gleich 27 cm 2 X 18 = 486 cm 2 . Heißt die eine der Parallelseiten a, die andere b und die Höhe h, so ist der Flächeninhalt F = Aufgaben; 1. In einem Trapeze betragen die parallelen Seiten 35 m und 27 m, die Höhe ist 18 m; wie groß ist der Flächeninhalt? 2. Berechne den Flächeninhalt folgender Trapeze; a) Parallelseiten 5 m und 7 m, Höhe 4 m; b) „ 3-5 m und 2-7 m, Höhe 1*6 m; c) „ 2 m 54 cm und 5 m 36 cm, Höhe 4 m 28 cm! 3. In einem Trapeze, dessen Parallelseiten 5 1 / 2 und 4 2 / 5 m sind, be¬ trägt der Flächenraum 20*79 m 2 ; wie groß ist der Abstand der beiden parallelen Seiten? 4. Ein Trapez von 1*05 m Höhe hat 2*6565 m 2 Flächeninhalt; wenn nun die eine Parallelseite 2*75 m beträgt, wie groß ist die andere? 5. Ein Bauplatz hat die Form eines Trapezes, worin die Parallelseiten Fig. 113. Hl1 L CK 80 185 m 5 dm und 140 m 2 dm betragen und 25 m 2 dm voneinander abstehen; welchen Flächenraum hat dieser Platz? 6. In einem trapezförmigen Garten betragen die Parallelseiten 54-4 m und 46-8 m, ihr Abstand ist 34-5 m; wieviel ist der Garten wert, das Ar zu 50 K gerechnet? 7. Eine Dachfläche hat die Form eines Trapezes, in welchem die untere Länge 24 m, die obere Länge (der First) 16-4 m und der Abstand des Firstes von der unteren Seite 7-5 m beträgt; wieviel kostet die Schiefereindeckung dieser Dachfläche, wenn 1 m 2 mit 3-6 K berechnet wird? 8. Ein Fußboden hat die Form eines symmetrischen Trapezes; die parallelen Seiten betragen 6 m und 7*84 m, die Höhe mißt 5 x / 4 m. Wieviel Meter Schutzleisten sind zum Umsäumen dieses Zimmers notwendig und wie teuer kommt diese Arbeit, wenn das laufende Meter mit 18 li berechnet wird? 9. In einem rechtwinkligen Trapeze messen die zwei Parallelen 3 m und 4-19 m, die Höhe beträgt 1*2 cm; wie groß ist dessen Umfang und Inhalt? 10. Eine Wiese hat die Form eines Trapezes; die Parallelseiten betragen 73 m und 111 m, der Abstand mißt 37 m. Wie groß ist das Erträgnis der¬ selben, wenn für 100 m 2 53 hg Heu geliefert wurden und 100 hg Heu mit 4 K bezahlt werden ? 11. Die längere Parallele eines Baugrundes von der Form eines sym¬ metrischen Trapezes verhält sich zur kürzeren Seite wie 5: 3. Wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt desselben, wenn die längere parallele Seite 340 m und jede der beiden nicht parallelen Seiten 293 m mißt? WelchenW ert hat dieser Bauplatz, wenn das Quadratmeter mit 3 K berechr et wird? Könnte darauf ein Darlehen von 100.000 K bewilligt werden, ohne im Verkaufs¬ falle Schaden zu erleiden? Fig. 115. 36. Das Trapezoid. Ein Trapezoid wird seinem Flächeninhalte nach berechnet, indem man es durch eine Diagonale AC (Fig. 114) in zwei Dreiecke zerlegt, jedes Dreieck einzeln berechnet und dann ihre Flächeninhalte summiert. Einfacher gestaltet sich der Vorgang bei einem symme¬ trischen Tra¬ pezoid (Deltoid [Fig. 115]); das¬ selbe besteht aus zwei kongruenten Dreiecken ABD und BCD. Der Flächeninhalt des Dreieckes ABD Fig. 114. A 81 wird aber gefunden, wenn man die eine Diagonale BD mit der halben Höhe42£ multipliziert. Der Flächeninhalt beider Dreiecke ist jedoch doppelt so groß, weshalb die Diagonale BD mit AE zu multiplizieren ist. Die Strecke AE stellt aber die Hälfte der zweiten Diagonale vor. Anstatt die eine Diagonale BD mit der Hälfte der andern Diagonale zu multiplizieren, kann man auch das Produkt beider Diagonalen suchen und dieses durch 2 teilen. Demnach hat man: Der Flächeninhalt eines Deltoides ist gleich dem halben Produkte seiner beiden Diagonalen. Aufgaben: 1. Die vier Seiten eines Fußbodens von der Form eines Trapezoides betragen 54 m, 442 m, 5-16 m und 4-9 m; wieviel Meter Schutzleisten sind zur Umsäumung notwendig? 2. Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezoides in Fig. 114, wenn AC = 6 cm, BE = 4 cm und DF = 3 cm ist? 3. Die Diagonale eines Trapezoides beträgt 39 mm, die von den gegen¬ überliegenden Ecken hierauf gefällten Senkrechten messen 23 mm und 18 mm; welcher Flächeninhalt ergibt sich hieraus? 4. Welchen Wert besitzt ein Wiesengrund von der Form eines Tra¬ pezoides, in welchem eine Diagonale 219 m mißt und die von den gegenüber¬ liegenden Ecken auf sie gefällten Senkrechten 84 m und 96 m betragen, wenn für das Ar 5 K gerechnet werden? 5. Die vier Seiten eines Trapezoides verhalten sich wie 13 : 10: 11 : 14. Wie groß ist jede Seite, wenn der Umfang des Trapezoides 3 m 36 cm beträgt? 6. Berechne den Umfang des Deltoides in Fig. 115, wenn AE = 48 mm, BE = 36 mm und ED — 64 mm ist! Suche auch dessen Flächeninhalt! 7. In einem Deltoide betragen die beiden Diagonalen 7 m 26 cm und 4 m 58 cm; welchen Flächeninhalt besitzt es ? 8. Die beiden Diagonalen eines Deltoides verhalten sich wie 4: 7. Wie lang ist jede Diagonale, wenn der Flächeninhalt dieses Deltoides 23 m 2 66 dm 2 beträgt? 9. Ein Bauplatz hat die Form eines Trapezoides; eine der beiden Diagonalen mißt 28 m, die von den gegenüberliegenden Ecken auf diese Diagonalen gefällten Senkrechten betragen 14 m, beziehungsweise 16 m. Jedes Quadratmeter ist mit 24 K geschätzt. Darf hierauf noch ein Darlehen als zweiter Satz in der Höhe von 4000 K bewilligt werden, wenn die Liegen¬ schaft bereits mit 5600 K grundbücherlich belastet ist ? 37. Das Vieleck. Die Fläche eines regelmäßigen Vieleckes ABCDEF (Fig. 116) findet man am leichtesten, indem man von der Mitte zu allen Eckpunkten Mocnik-Wenghart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgerschulen. ß 82 Fig. 116. E D \ i -^- gerade Linien zieht und die dadurch entstehenden Mittelpunktsdreiecke berechnet. Da aber diese Dreiecke kongruent sind, so braucht man nur eines zu bestimmen und die gefundene Fläche mit der Anzahl der Dreiecke zu multiplizieren. Der Flächeninhalt eines Teildreieckes AOB ist gleich der Grundlinie AB, multipliziert mit der halben Höhe OH; daher die Fläche aller sechs Dreiecke C sechsmal AB, multipliziert mit der halben Höhe OH; sechsmal A B ist aber der Umfang des Vieleckes, OH ist der Abstand des Mittelpunktes von der Seite des Vieleckes; daher gilt der Satz: Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich dem Umfange, multipliziert mit dem halben Abstande des Mittelpunktes von einer Seite. Bezeichnet U den Umfang, a den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite und F den Flächeninhalt, so ist Der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite kann nicht willkürlich angenommen werden, er hängt auf eine ganz bestimmte Weise von der Länge der Seite ab. Um die Maßzahl für den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite zu finden, multipliziere man die gegebene Seite in einem gleichseitigen Dreiecke mit 0-28868, regelmäßigen Fünfecke „ 0-68819, Sechsecke „ 0-86603, Achtecke „ 1-20711, Zehnecke „ 1-53884. Den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes kann man vorzüglich auf zwei Arten bestimmen. 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 Fig. 117. Fig. 118. A. Durch Zerlegung in Dreiecke. Man zerlege die Figur durch Diagonalen in Dreiecke, be¬ rechne jedes derselben und addiere alle Dreiecksflächen. Es sei die Fläche des Vieleckes ABCDEFG (Fig. 117) auszurechnen. 83 Man zerlege das Vieleck in Dreiecke, und es sei BG = 39 BE = 42-5 m, CB = 31-5 m, C?Z£ = 39-5 m, Aa = 11*6 m, Cc = 19-7 m, Z?e = 12* 1 m, £6 = 35-4 m, Ff = 16*4 m. Man hat nun Dreieck 0Z)2£ 226-2 m 2 699-15 „ 418-63 „ 190-58 „ 329-9 „ 1858-46 m 2 B. Mittels Abszissen und Ordinaten. Man ziehe durch zwei Eckpunkte eine Gerade als Abszisse und fälle darauf von allen übrigen Eckpunkten Senkrechte (Ordinaten); dadurch zerfällt die Figur in lauter rechtwinklige Dreiecke und Trapeze, welche einzeln berechnet und addiert werden. Dabei werden die Ordinaten als Grundlinien der Dreiecke oder als parallele Seiten der Trapeze, die Abszissenteile als Höhen betrachtet. Es sei (Fig. 118): Bb = 15 m , Cc = 13 m, Ee = 14 m, Ab = 10 m, fre — 5 m, ec = 15 m und cD = 12 m. Man hat: A ABb 15 X 10 71 %' 75 m 2 . 15 4- 13 Trapez BbcC =--- X 20 m 2 = 280 m 2 , daher Vieleck ABCDE = 727 m 2 . Aufgaben: 1. Wie groß ist der Umfang eines regelmäßigen Sechseckes, dessen Seite 1 m 2 dm 5 cm ist? 2. Wie groß ist der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite a) in einem regelmäßigen Fünfecke mit der Seite 8-2 dm ? b) in einem regelmäßigen Zehnecke mit der Seite 2*5 dm\ 6 * 84 3. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt a) eines regelmäßigen Sechseckes mit der Seite 4*8 m, b) eines regelmäßigen Zehneckes mit der Seite 1*2 m\ 4. Ein Lampenteller in Form eines regelmäßigen Sechseckes hat einen Umfang von 90 cm\ welchen Flächeninhalt besitzt dieses Sechseck? 5. Die Seite eines gleichseitigen Dreieckes ist 4-2 m; berechne a ) den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite, b) den Umfang, c) den Flächen¬ inhalt ! 6. Der Umfang eines regelmäßigen Fünfeckes ist 21-5 dm ; wie groß ist a) die Seite, b) der Flächeninhalt? 7. Es soll ein regelmäßig achteckiges Gartenhaus, dessen Seite 1-3 m lang ist, ausgesteckt werden; wie groß ist der dazu erforderliche Flächenraum ? 38. Umfang und Flächeninhalt ähnlicher geradliniger Figuren. Wenn jede Seite einer geradlinigen Figur 2-, 3-, 4 mal so groß ist als die gleichliegende Seite einer ähnlichen geradlinigen Figur, so wird auch die Summe aller Seiten, d. i. der'Umfang der ersten geradlinigen Figur, 2-, 3-, 4 mal so groß sein als der Umfang der zweiten geradlinigen Figur. Hieraus folgt: Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich wie die gleichliegenden Seiten. Es seien (Fig. 119) ABC und abC zwei ähnliche Dreiecke, deren gleich¬ liegende Seiten sich wie 5 : 3 verhalten. Teilt man AC in fünf gleiche Teile, von denen auf aC drei kommen, und zieht durch die Teilungspunkte der AC Parallele mit AB und BC und dann durch die Teilungspunkte der BC Parallele mit AC, so zer¬ fallen die gegebenen Dreiecke in lauter kongruente und mit mnC gleiche Dreiecke, und zwar A ABC = 25 mnC , A abC = 9 mnC, daher ABC : ab C = 25 : 9. Dasselbe Verhältnis 25 : 9 haben aber auch die Quadrate zweier gleich liegender Seiten. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate ihrer gleichliegenden Seiten. Zerlegt man zwei ähnliche Vierecke oder Vielecke, deren Seiten sich z. B. wie 5 : 3 verhalten, durch gleichliegende Diagonale in Dreiecke, so verhalten: sich je zwei gleichliegende Dreiecke wie 25: 9; demnach müssen sich auch die Summen aller dieser Dreiecke, d. i. die beiden Vierecke oder Vielecke selbst, wie 25: 9 verhalten. Hieraus folgt: Die Flächeninhalte zweier ähnlicher geradliniger Figuren verhalten sich wie die Quadrate zweier gleichliegender Seiten. Fig. 119 C 85 Wird daher eine in der Wirklichkeit aufgenommene Figur im ver¬ jüngten Maße auf das Papier gezeichnet, so daß jede Linie auf dem Papier nur 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 10 ,... der wirklich gemessenen Länge beträgt, so ist der Flächen¬ inhalt der Figur auf dem Papiere 1 / 4 , 1 / 25 , 1 / 100 ? • • • von dem Flächeninhalte der ähnlichen, in der Wirklichkeit auf genommenen Figur. Aufgaben: 1. Zeichne vier Quadrate, deren Seitenlängen 1 cm, 2 cm, 3 cm und 4 cm betragen, und zerlege die drei größeren Quadrate durch Hilfslinien in lauter Quadratzentimeter! Wie verhalten sich die Umfänge der vier Quadrate zuein¬ ander? In welchem Verhältnisse stehen ihre Flächeninhalte? 2. Die Seiten zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 7:9; wie verhalten sich ihre Flächeninhalte? 3. Die Seitenlängen zweier Quadrate betragen 5 cm und 7 cm; wie ver¬ halten sich ihre Umfänge und wie ihre Flächeninhalte ? 4. Die Seiten zweier ähnlicher regelmäßiger Sechsecke betragen 9 cm und 13 cm. Berechne von jedem den Umfang und Inhalt und ermittle sodann die Verhältnisse ihrer Umfänge und ihrer Inhalte! 5. Die Seiten zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 4:5; die Fläche des ersten Dreieckes ist 8 m 2 ; wie groß ist die Fläche des zweiten ? 6. Auf einer Landkarte sind die natürlichen Längen in dem Verhält¬ nisse 1: 250.000, auf einer zweiten in dem Verhältnisse 1 : 50.000 darge¬ stellt; welche Fläche nimmt auf der ersten Karte ein Land ein, das auf der zweiten eine Fläche von 1 cm 2 50 mm 2 hat? Fi g. 120. Ä 39. Umfang des Kreises. Man umspanne mit einem Faden den Umfang einer kreisförmigen Scheibe (Fig. 120) und suche sodann, wie oft der Durchmesser AB in dem Umfang enthalten ist! Es ergibt sich die Zahl 3 x / 7 . Versucht man dasselbe auch bei anderen (größeren und kleineren) Kreisen, so wird man stets finden, daß der Umfang 3V 7 mal so groß ist als der entspre¬ chende Durch¬ messer. Demnach verhält sich der Durchmesser eines Kreises zu dessen Umfange wie 1: S 1 /? oder wie 7: 22 oder 1:3-14... Diese merkwürdige Beziehung zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises wurde von Archimedes (287—212 v. Chr.) aufgefunden, 3f 86 weshalb auch dieses Verhältnis das archimedische Verhältnis ge¬ nannt wird. Später haben genauere Untersuchungen, welche von Ludolf van Ce ulen (1539—1610) angestellt wurden, gezeigt, daß der Durchmessereines Kreises im Umfange derselben 3-14159_mal enthalten ist. Diese Zahl, welche das Verhältnis zwischen dem Umfange eines Kreises und dem Durchmesser angibt, heißt deshalb die Ludolfische Zahl und wird mit dem griechischen Buchstaben tv bezeichnet. Es ist also n = 3-14159... In vielen Fällen ist aber der Näherungsbruch 7t = 3 1 / 1 oder tt == 3-14 ausreichend. Bezeichnet r den Halbmesser, d den Durchmesser und ü den Umfang eines Kreises, so hat man nach dem Vorhergehenden U = d = d^t, oder V = 2r?t 9 daher — und r 71 u 27T ; d. h. 1. Der Umfang eines Kreises ist gleich dem Durchmesser oder dem doppelten Halbmesser, multipliziert mit der Ludolfi- schenZahl. 2. Der Durchmesser eines Kreises ist gleich dem Umfange, dividiert durch die Ludolfische Zahl. 3. Der Halbmesser eines Kreises ist gleich dem Umfange, dividiert durch die doppelte Ludolfische Zahl. Hieraus folgt: Die Umfänge zweier Kreise verhalten sich so wie ihre Durch¬ messer oder Halbmesser. Ein Bogen kann imGradmaße (durch Grade, Minuten und Sekunden) oder im Längenmaße (inMeter, Dezimeter, Zentimeter u. s. w.) angegeben werden. Um einen Kreisbogen, der im Gradmaße gegeben ist, im Längen¬ maß e zu bestimmen, undumgekehrt, um einen Kreisbogen, dessen Länge bekannt ist, im Gradmaße auszudrücken, bedient man sich des leicht ein¬ zusehenden Satzes: Die Länge eines Bogens verhält sich zum Umfange des Kreises wie der entsprechende Mittelpunktswinkel (Zentri¬ winkel) zu 360°. Beispiele: 1. Der Durchmesser eines Kreises beträgt 28 dm; wie groß ist dessen Umfang? 28 dm X 3 x / 7 =88 dm == Umfang oder 28 dm X 3-14 = 87-92 dm = Umfang. 87 2. Wie lang ist ein Bogen von 45° in einem Kreise, dessen Halbmesser 2 dm ist? Umfang = 4 dm X 3-14 = 12*56 dm; x : 12*56 = 45: 360, x = 1-57, Bogen = 1*57 dm. 3. Der Durchmesser eines Kreises mißt 14 m; welcher Zentriwinkel gehört in demselben zu einem Bogen von 2*198 m? Umfang = 14 m X 3*14 = 43*96 m; x : 360 = 2*198 : 43*96, x = 18, Zentriwinkel = 18°. Fig. 121. 40. Flächeninhalt des Kreises. Jeder Kreisausschnitt ABO (Fig. 121) kann als ein Dreieck an¬ gesehen werden, dessen Spitze im Mittelpunkte des Kreises liegt; der Bogen des Kreisausschnittes stellt die Grundlinie und der Radius des Kreises die Höhe vor. Daher hat man: Der Flächeninhalt eines Kreisaus¬ schnittes ist gleich der Länge des dazu¬ gehörigen Bogens, multipliziert mit dem halben Radius. Z. B. Es sei AB = 11 cm und OM = 21 cm. 11 cm 2 X 21 Kreisausschnitt =---=115 1 / 2 cm. z Denkt man sich in einem Kreise (Fig. 121) unzählig viele Halbmesser gezogen, so zerfällt die Kreisfläche in unzählig viele Kreisausschnitte, deren gemeinschaftliche Höhe der Halbmesser ist und deren Grundlinien zusammen den Umfang geben. Um daher die Fläche des Kreises zu erhalten, muß man alle Drei¬ ecksflächen berechnen und addieren. Schneller kommt man zum Ziele, wenn man alle Grundlinien addiert und ihre Summe, d. i. den Kreisumfang, mit der halben gemeinschaftlichen Höhe, d. i. mit dem halben Halbmesser, multipliziert. Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Umfange, multipliziert mit dem halben Halbmesser. Bezeichnet F den Flächeninhalt und V den Umfang eines Kreises, dessen Halbmesser r ist, so ist F Da aber U = 2m ist, so ist auch F = 2m. — oder, da sich 2 gegen 2 z kürzt und r.r = r 2 gibt, F — r 2 rc. Man hat also: 88 Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Quadrate des Halbmessers multipliziert mit der Ludolfischen Zahl. Zur Veranschaulichung des Gesagten zeichne man in einem Kreise das Quadrat über den Halbmesser; die Fläche dieses Quadrates beträgt r 2 . Wie leicht einzusehen, ist das Viertel der Kreisfläche kleiner als dieses Quadrat und somit die ganze Kreisfläche nicht 4 mal r 2 , sondern weniger, genau 3‘14mal soviel. Ferner hat man: Die Flächeninhalte zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. Ist umgekehrt der Flächeninhalt eines Kreises bekannt und die Länge desHalbmesserszu suchen, so braucht man nur den Flächeninhalt durch die Ludolfische Zahl zu dividieren; der Quotient stellt das Quadrat des Halb¬ messers vor. Zieht man daraus die Quadratwurzel, so hat man den Halb¬ messer selbst. Folglich: Wäre der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes zu ermitteln, von welchem der Halbmesser und der Bogen gegeben ist, letzterer aber im Gradmaße, so muß man vorerst den Flächeninhalt des dazugehörigen Kreises berechnen. Sodann stütze man sich auf folgenden, leicht einzusehenden Satz: Der Flächeninhalt des Kreisausschnittes verhält sich zu jenem des ganzen Kreises wie der im Gradmaße angegebene Bogen des Kreisausschnittes zu 360°. Um den Flächeninhalt eines Kreisabschnittes zu finden, be¬ rechne man den Flächeninhalt des dazugehörigen Kreisausschnittes und subtrahiere davon den Inhalt des Dreieckes, um welches der Kreisausschnitt größer ist als der Kreisabschnitt. Den Flächeninhalt eines Kreisringes findet man, indem man die Flächen der beiden Kreise, deren Unterschied der Ring ist, berechnet und voneinander subtrahiert.*) Aufgaben: Der Durchmesser eines Kreises beträgt 35 dm ; wie groß ist der Um¬ fang? (tt = ß 1 ^). 2. Der Halbmesser eines Kreises ist 12 m\ wie groß ist der Flächeninhalt? Radius = 12 m oder: 12 X 12 Durchm. — 24 m 144 X 3-14 = 452-16 Umfang — 75-36 m halb. Radius — 6 m Flächeninhalt = 452-16 m 2 ; 144 X 3-14 = 452-16 m 2 . *) Anstatt das Quadrat eines jeden Halbmessers einzeln mit n zu multiplizieren und dann abzuziehen, ist es einfacher, gleich das Quadrat des kleineren Halbmessers von jenem des größeren Halbmessers zu subtrahieren und den Rest mit n zu multiplizieren, Also: J = (R 2 — r 2 ). n. 89 3. Der Halbmesser eines Kreises ist a) 2 S dm, b) 1-8 m, c) 2-65 m; d) 35 1 / 2 cm; wie groß ist der Umfang, wie groß der Flächeninhalt? ( n = 3-14.) 4. In einem Kreise ist der Durchmesser a ) 13 m, b) 5*8 m, c) 0-135 m, d) 8 ^dm 3 cm 4 mm; berechne den Umfang und den Flächeninhalt! ( n = 3-14.) 5. Wie groß ist d) der Durchmesser, b) der Halbmesser eines Kreises, dessen Umfang 55 m beträgt? (7t = 3 1 / r ) 6. Der Umfang eines Kreises ist d) 25-12 m, 6) 0-2198 m, c) 135-02 dm, d) 54-008 m; wie groß ist der Halbmesser, wie groß der Flächeninhalt? (tt = 3-14.) 7. Der Durchmesser eines Kreises ist 2 dm, ebenso groß ist die Seite eines Quadrates; um wieviel ist der Flächeninhalt des Kreises kleiner als der des Quadrates? (7t == 3-14.) 8. Der Minutenzeiger einer Uhr ist 14 cm lang; welche Länge hat der Weg, den seine Spitze in einer Stunde beschreibt? (7t = 3 1 / 1 .) 9. Jeder Grad des Erdäquators ist 15 geographische Meilen lang; wie groß ist a) der Umfang, b) der Halbmesser des Äquators? (7t = 3-14159.) 10. Ein Wagenrad, dessen Durchmesser 1-4 m beträgt, hat auf einer zurückgelegten Strecke 240 Umläufe gemacht; wie lang war die Strecke? (* = 3 Vr) 11. An einem Wagen hat jedes Vorderrad 1 m, jedes Hinterrad 1-4 m Durchmesser; wieviel Umläufe hat jedes Rad gemacht, wenn der Wagen eine Strecke von 1 km zurückgelegt hat? (tt =; 3*14.) 12. Welchen Durchmesser hat ein Lokomotivrad, das sich auf einem Schienenwege von 1039-5 m 315mal umdreht? (rt =^3 1 / 1 .) 13. Man will einen kreisrunden Tisch für neun Personen machen; wie groß wird man den Durchmesser dazu nehmen, wenn man auf eine Person 7 1 / 3 dm des Umfanges rechnet? (7t =;3 x / 7 .) 14. Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt 16 m 2 6106 cm 2 beträgt? 16 m 2 6106 cm 2 =, 166106 cm 2 166106 : 3-14 =? 52900 ]/52900 => 230; 230 cm =; 2 m 3 dm Halbmesser. 15. Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt a) 28-26 dm 2 , b) 153-86 cm 2 , c) 10 dm 2 17 cm 2 36 mm 2 beträgt? ( 7 t =?3-14.) 16. Die Durchmesser zweier Kreise sind 2-4 dm und 3-6 dm\ wie ver¬ halten sich d) ihre Umfänge, b) ihre Flächeninhalte? ** 17. Wie verhalten sich die Flächeninhalte zweier Kreise zu einander, wenn sich ihre Umfänge wie 3 : 5 verhalten? 18. Ein kreisrunder Saal hat 8 m 5 dm im Durchmesser; wie groß ist der Flächeninhalt? (7t ==» 3-14.) 19. Der Umfangeines Baumstammes ist 2 3 / 4 m; wie groß ist der Durch¬ messer, wie groß der Flächeninhalt eines Querschnittes? (7t ==;3 1 / 7 .) 20. Wieviel Menschen haben in einem kreisrunden Saale Platz, dessen Durchmesser 14 m ist, wenn ein Mensch 19 1 / 4 dm 2 einnimmt? (?t 3 1 / 7 .) 90 21. Auf einem Anger ist eine Kuh mit einem 2-5 m langen Stricke angebunden; wieviel Quadratmeter Weide sind ihr zugemessen? ( ft =3 3*14.) 22. Bestimme den Halbmesser eines Kreises, der an Inhalt gleich ist einem Quadrate mit der Seite 2 m 2 dm ! (ft 23. Ein* Kreis hat mit einem Quadrate gleichen Umfang, nämlich 25-12 dm ; wie groß ist der Unterschied zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Quadrates? (ft =3 3-14.) 24. Für einen kreisrunden Tisch, dessen Platte 50-24 dm? groß ist, soll eine Decke gestrickt werden, die überall um 15 cm herabhängt; welchen Durchmesser wird diese haben und wdeviel Meter Fransen benötigt man zur Umrandung derselben? (ft =^3-14.) 25. Wie groß ist die Fläche eines Kreisringes, wenn die zwei konzentri¬ schen Kreise 3 m 6 dm und 4 m 4 dm zu Durchmessern haben? 26. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreisringes, wenn die ihn ein¬ schließenden Kreisumfänge 37-68 m und 28-26 m betragen! (ft =»3*14.) 27. Ein kreisrunder Grasplatz von 18 m Durchmesser ist mit einem 2 m breiten Wege umzogen; wieviel Flächenraum nimmt dieser Weg ein? 28. Ein Garten ist 68 m 2 dm lang, 41 m 3 dm breit; in der Mitte des¬ selben befindet sich ein kreisrunder Teich, welcher samt der ihn einschließen¬ den Mauer 12 m 4 dm im Durchmesser hat; wie groß ist die Landfläche des Gartens? 29. Wie lang ist ein Bogen von 72° bei einem Kreise, dessen Halbmesser 2 dm ist? (ft = 3-14.) 30. Bestimme die Bogenlänge für d) 36°, b ) 120°, c) 144°, d) 180° in einem Kreise, dessen Halbmesser 28cm beträgt! (ft =» 3 1 / 7 .) 31. Der Durchmesser eines Kreises ist a ) 4 m, b) 21 m, c) 3 m 17 cm; welche Länge hat in jedem Kreise ein Bogen von 60°? (ft 3*14.) 32. Ein Bogen von 48° mißt 18-84 cm; wie groß ist der Halbmesser dieses Kreises? (ft =3-14.) 33. Welchen Durchmesser hat ein Kreis, in welchem ein Bogen von 15° a) 9-42 m, b) 47*1 cm lang ist? (ft =^3-14.) 34. Wieviel Grade hat ein Bogen von 30 1 / 4 cm Länge, wenn der Kreis¬ durchmesser 77 cm beträgt? (ft ^o 1 / 7 .) 35. Wie groß ist der Inhalt eines Kreisausschnittes, dessen Halbmesser 5-8 m und dessen Bogenlänge 8-2 m ist? 36. Ein Kreisausschnitt von 4-5 dm Halbmesser hat einen Bogen von d) 18°, b) 54°, c) 144°, d) 135°; wie groß ist die Länge des Bogens, wie groß der Inhalt des Ausschnittes? (ft =3 3-14.) 37. Wieviel Grade umfaßt der Bogen eines Kreisausschnittes, dessen Fläche 235-5 cm 2 und dessen Halbmesser 3 dm beträgt? (ft =>3-14.) 38. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kreises, wenn der zu 24° gehörende Ausschnitt 188-4 cm 2 beträgt, und welche Länge hat der Bogen des Kreisausschnittes? (ft =>3-14.) 91 39. Wie groß ist der Inhalt eines Kreisabschnittes, dessen Sehne von 12 cm Länge dem Halbmesser des Kreises gleich ist? (it = 3*14.) 40. Der Halbmesser eines Kreises, welchem ein Quadrat eingezeichnet ist,mißt 16 cm; wie groß ist jeder der vier gleichen Kreisabschnitte? [it =»3-14.) 4L Einem Kreise, dessen Halbmesser 2 m 4 dm beträgt, wird ein regel¬ mäßiges Sechseck eingeschrieben; um wieviel ist die Fläche des Sechseckes kleiner als die Fläche des Kreises? 42. Einem Quadrate von 12 cm Seitenlänge wird ein Kreis einge¬ schrieben; um wieviel ist der Flächeninhalt des Kreises kleiner als jener des Quadrates? 43. Raffaels berühmtes Bild, die Madonna della sedia, ist auf einer kreisrunden Fläche, deren Durchmesser 0-675 m beträgt, gemalt. Wieviel Quadratmeter enthält eine Schutzdecke für dieses Bild, wenn letztere 25 cm darüber hinausgehen soll? (rt =j 3*14.) 44. Ein Fenster ist D/ 4 m breit und 2 m hoch; oben besitzt es einen halbkreisförmigen Abschluß. Wie teuer kommt ein Laden für dasselbe, wenn das Quadratmeter mit 6 K berechnet wird? (jt =>3-14.) 45. Eine Tischfläche besitzt die Form eines Halbkreises und wurde mit einer Schutzdecke versehen, zu deren Einsäumung 3 m 8-4 cm Börtchen notwendig waren. Wieviel Quadratmeter enthält die Tischfläche? (jt = 3-14.) 41. Flächeninhalt der Ellipse. Der Umfang einer Ellipse ABCD (Fig. 122) läßt sich nicht genau, sondern nur annäherungsweise bestimmen. — Man berechnet den Umfang einer Ellipse annäherungsweise, wenn man das arithmetische Mittel der beiden Achsen (AO und BD) mit tv multipliziert. Z. B. Es sei AC =>11 cm und BD = 7 cm; 11 cm -f- 7 cm -- x 3-14 — 28-26 cm = Fig. 122. B c = Umfang der Ellipse. Ferner hat man gefunden, daß eine Ellipse ebensoviel Flächenraum einschließt wie ein Kreis, bei welchem das Quadrat des Halbmessers gleich ist dem Produkte aus den beiden Halbachsen der Ellipse. Da nun der Flächeninhalt eines Kreises gleich ist dem Quadrate des Halbmessers, multipliziert mit der Ludolfischen Zahl, so folgt: Der Flächeninhalt einer Ellipse wird gefunden, indem man das Produkt der beiden halben Achsen mit der Ludolfischen Zahl multipliziert. Zur Yeranschauligung des Gesagten zeichne man sich in der Ellipse (Fig. 122) über AO ein Rechteck mit den Seiten AO und OB; der Flächen- 92 inlialt desselben beträgt AO mal AB oder das Produkt der beiden Halb¬ achsen. Wie leicht einzusehen, ist ein Viertel der Ellipsenfläche kleiner als dieses Rechteck und somit die ganze Ellipsenfläche nicht 4 mal das Produkt der beiden Halbachsen, sondern weniger, genau 3-14 mal soviel. Z. B. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, deren Achsen 11 cm und 7 cm sind? Produkt der Halbachsen => n / 2 X 7 / 2 == lö 1 /^ 19 1 / 4 X 3 x / 7 =3 ßO 1 /^ Flächeninhalt = ßO 1 ^ cm 2 . Aufgaben: 1. Die kleine Achse der Ellipse sei 80 cm , die Exzentrizität 42 cm; wie groß ist die halbe große Achse? Welchen Umfang und Flächeninhalt hat diese Ellipse? {rc ■ = 3-14.) 2. Die Exzentrizität einer Ellipse ist 4*8 m, die große Achse 16 m; wie groß ist die kleine Achse, der Umfang und Inhalt dieser Ellipse ? (rc =» 3*14.) 3. Ein Gärtner hat eine Ellipse zu konstruieren, deren Achsen 522 cm und 378 cm betragen; wie weit muß er die Brennpunkte voneinander nehmen? Welcher Umfang und welcher Inhalt entspricht dieser Ellipse? (rc =3*14.) 4. Ein Blumenbeet hat die Form einer Ellipse von 4 1 / 2 m Länge und 3 3 / 4 m Breite; wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt? (rc =3*14.) 5. Eine Untertasse in Form einer Ellipse, deren Achsen 27 cm und 18 cm betragen, soll gehäkelt werden; wieviel kurze Maschen wird man ausführen müssen, wenn 1 cm 2 36 kurze Maschen erfordert? 6. Wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt einer Ellipse, deren kleine Achse 7• 2 dm ist und deren Brennpunkte 3 dm voneinander abstehen ? (rc = 3• 14.) 7. Wie teuer ist die Einfassung eines elliptischen Teppiches, der 2 1 / 2 m lang und l 2 / 5 m breit ist, wenn das Meter Börtchen mit 12 h bezahlt wird? (rc = 3 2 / 7 .) 8. Zur Einfassung eines elliptischen Teiches, dessen große Achse 18 m beträgt, waren 157 Steine notwendig, jeder an seiner äußeren Seite 30 cm lang. Wie groß ist die kleine Achse dieses Teiches? (rc =3*14.) X 42. Lage zweier geraden Linien i II Raume. Wir haben schon früher (Seite 11) gesehen, daß zwei in einer und derselben Ebene liegende gerade Linien entweder zueinander parallel sind oder sich schneiden. Betrachtet man nun an einem Würfel die obere Kante des vorderen Quadrates und die rechts liegende Seite des rückwärtigen Quadrates, so sieht man, daß sie aneinander vorübergehen, ohne zueinander parallel zu sein, noch sich zu schneiden. 93 Von Linien, welche nicht zueinander parallel sind und auch so aneinander vorübergehen, daß sie sich nicht in einem Punkte treffen, sagt man: sie kreuzen sich. Zwei gerade Linien im Raume sind entweder zueinander parallel oder sie schneiden sich oder sie kreuzen sich. Zeige am Schulkasten a) zwei parallele Gerade, b) zwei sich schneidende Gerade, c) zwei sich kreuzende Gerade! 43. Arten der Flächen. Außer den bisher betrachteten ebenen Flächen oder Ebenen (Seite 21) gibt es noch weiterhin Flächen anderer Art. Betrachtet man die den Zylinder umhüllende gekrümmte Fläche, so sieht man, daß man auf letzterer nur nach einer Richtung (u. zw. von der oberen zu der unteren Grundfläche) gerade Linien ziehen kann; alle nach einer andern Richtung auf dieser Fläche gezogenen Linien sind krumme Linien. Eine ähnliche Fläche bemerkt man auch bei einem Zuckerhute. Flächen, auf welchen sich nur nach einer Seite gerade Linien ziehen lassen, heißen einseitig gekrümmte Flächen. An der Oberfläche der Kugel ist es nicht möglich, gerade Linien zu ziehen. Solche Flächen, auf welchen man nach gar keiner Richtung gerade Linien ziehen kann, heißen allseitig gekrümmte Flächen. Nenne Gegenstände, die von allseitig gekrümmten Flächen einge¬ schlossen werden! Hieraus folgt: Es gibt ebene, einseitig gekrümmte und allseitig gekrümmte Flächen. Die ebenen Flächen sind entweder lotrecht, wagrecht oder schief. Zeige die vier lotrechten Wände des Schulzimmers! Was für gerade Linien lassen sich hier ziehen? Lotrechte Ebenen sind solche Ebenen, auf welchen sich lotrechte, wagrechte und schiefe Linien ziehen lassen. Halte dein Heft wagrecht! Was für Linien kann man hier zeichnen? Eine wagrechte Ebene ist eine solche Ebene, auf welcher bloß wagrechte Linien gezeichnet werden können. Neige das Heft so, daß es eine schiefe oder schräge Lage einnimmt, Fig. 123. und bestimme sodann, was für Linien sich nunmehr auf demselben ziehen lassen! Schiefe Ebenen sind solche Ebenen, auf welche sich teils wagrechte, teils schiefe Linien ziehen lassen. Man benennt die Ebenen gewöhnlich mit zwei Buchstaben, welche man an zwei gegenüberliegenden Ecken schreibt. Z. B. (Fig. 123) die Ebene MN. _ - - L 94 44. Die Gerade und die Ebene. Halte den Bleistift so, daß er von der Bankfläche überall gleich weit entfernt ist! Eine gerade Linie, welche von einer Ebene an allen Stellen denselben Abstand hat, ist zu ihr parallel. Z. B. AB || MN (Fig. 124). Welche Kanten des Schulzimmers sind zum Fußboden parallel? Welche zur vordem Zimmerfläche? Fig. 124. Halte den Stift geneigt, und zwar so, daß er die Bankfläche in einem Punkte trifft! Dieser Punkt heißt Fußpunkt. Die einzelnen Punkte der Geraden sind nicht mehr gleich weit von der Ebene (Bankfläche) ent¬ fernt. Die gerade Linie bildet mit den einzelnen durch ihren Fußpunkt gehenden und in der Ebene gezogenen geraden Linien bald größere, bald kleinere Winkel. Der kleinste unter diesen Winkeln heißt Neigungswinkel; er ist ein spitzer Winkel. Eine gerade Linie, welche eine Ebene unter einem spitzen Winkel trifft, ist zu ihr geneigt. Z. B. CD _/ PQ (Fig. 125). Halte den Stift zur Bankfläche so, daß er mit allen durch seinen Fu߬ punkt gezogenen Geraden immer nur rechte Winkel bildet! Man sagt: er steht zur Bankfläche senkrecht. Eine gerade Linie steht auf einer Ebene senkrecht, wenn sie von derselben nach allen Seiten unter einem rechten Winkel ab¬ steht. Z. B. EF J_ RS. Welche Kanten des Schulzimmers stehen auf dem Fußboden senkrecht? Welche Kanten sind senkrecht zur vorderen Zimmerfläche gerichtet? Nach dem Gesagten unterscheiden wir also eine dreifache Lage der Geraden zur Ebene: Eine gerade Linie ist entweder zu einer Ebene parallel oder zu ihr geneigt, oder sie steht auf ihr senkrecht. 95 45. Lage zweier Ebenen. Der Fußboden und die Zimmerdecke haben überall denselben Abstand. Zwei Ebenen, welche an allen Stellen voneinander gleich weit entfernt sind, heißen parallel. Z. B .MN || PQ ( Fig. 126). Welche Wände des Zimmers sind zuein¬ ander parallel? Zeige andere parallele Ebenen! öffne das Buch nur teilweise, aber so, daß jedes einzelne Blatt desselben von dem andern getrennt ist! Je zwei Blätter treffen oder schneiden sich in einer geraden Linie (Rücken des Buches). Ebenen können sich nur in einer geraden Linie treffen. Zwei Ebenen, welche sich in einer geraden Linie schneiden, heißen geneigt. Z. B. MN _MP (Fig. 127). Die gemeinschaftliche Durchschnittslinie heißt auch Spur oder Trasse. Der von beiden Ebenen gebildete Winkel wir d durch den Neigungs- JB Fig- 127. winkel gemessen. Um ihn zu bestimmen, wähle man in der Trasse einen beliebigen Punkt B und ziehe auf dieselbe in jeder Ebene eine Senkrechte. '•!* -Ti •*.? v-' ■'* X- ' I / ■v / *•' X fil *' v« EBK'r . - - /'v . .^T «v*