i
i
“Zalar-kvadrat” — 2010/5/28 — 10:08 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 14 (1986/1987)
Številka 3
Strani 175–178
Borut Zalar:
MAGIČNI KVADRAT 4n× 4n
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/831-Zalar.pdf
c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MAGiČNI KVADRAT 4 n x 4 n
Magični kvadrat velikosti m x m tvorijo števila od 1 do m 2 , ki so razporejena
v kvadratno mrežo tako, da je vsota v vseh stolpcih , vrsticah in obeh diagona-
lah enaka. Najmanjši magični kvadrat je velikosti 3 x 3, vsota v njem pa je 15 .
magični kvadrat
3x3
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Ta članek želi odgovor iti na vprašanje, kako sestav iti poljuben magični kvadrat
velikosti 4n x 4n.
Nekaj definicij:
N vsota, ki je potrebna vsak i vrstici, stolpcu in diagonali,
S i vsota v i -tern stolpcu,
Vi vsota v i -ti vrstici,
Dl vsota v diagonali, ki vsebuje zgornje levo polje,
D 2 vsota v diagonali, ki vsebuje zgornje desno polje,
i-ta in j·ta vrst ica (stolpec) sta diametraIna natanko tedaj, ko velja i + j = 4n + 1.
Sestavljanje magičnega kvadrata začnem s tem, da razporedim števila od 1
do 16n 2 po vrsti v mrežo .
primer za n = 1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Oznakam, ki sem jih uvedel na začetku, bom zdaj priredil še vrednosti:
175
N = (1 + 2 + .0' + 16n 2 )14n = 2n (16n 2 + 1)
Si = i + (4n + i) + (8n + i) + '0. + (16n 2 - 4n + i) = 4ni + 8n 2 (4n - 1)
Vi = 4n(i-1) + (4n(i-1)+1) + oo, + 4ni = 16n 2i - 8n 2 + 2n
DI = 1+(4n+2)+(8n+3)+o.o+16n2 = 4n(1+2+..o+4n-1) + (1+2+o ..+4n) = N
D 2 = 4n+(8n-1)+oo.+(16n
2-4n+1) = 4n(1+2+ ...+4n) - (1+2+ ...+4n-1) = N
Bralcu prepuščarno, da se pri vsaki vrstici prepriča o pravilnosti zadnje ena-
kosti.
Naj bo i .;;;; Zn, Pri danem i naj bo j = 4n - i + 1, tako da sta i-ti in j-ti
stolpec diarnetralna. Vsota vseh elementov v teh dveh stolpcih je
Si +Sj = 4ni+ 8n2 (4n -1) + 4n (4n - i+ 1) + 8n 2 (4n -1) = 2N
Kaj se zgodi, če v teh stolpcih medsebojno zamenjam 2n števil tako, da medse-
bojno zamenjam števili, ki sta v isti vrstici? Razlika med števili v dveh izbranih
diametralnih stolpcih je konstantna (mišljeni sta števili v isti vrstici). Ta
konstanta znaša d = 4n - 2i + 1, če je i manjši od obeh indeksov, ki pripadata
stolpcema . Novi vsoti v i -tem in j-tem stolpcu sta
Si = prvotni Si + 2nd = 4ni + 8n 2 (4n - 1) + 2n (4n - 2i + 1) = N
Sj = 2N - Si =N
Tu se pojavi vprašanje, katerih 2n števil zamenjati. Upoštevali bomo naslednji
dve pravili.
(A) če v i-tem in j-tem stolpcu zarneniarn k-ti element, potem zamenjam
tudi (4n - k + l l-ti element.
(B) začnem s prvim elementom in naprej s korakom po ena. Element na
diagonali izpustim.
Ta postopek uporabim za i =1,2, oo., Zn.
V nobeni vrstici se vsota ne razlikuje od začetne vsote, saj nobeno število
ni zamenjalo vrstice. Zaradi upoštevanja pravila (B) sta tudi diagonali ostali
nedotaknjeni. Stanje je sedaj naslednje:
SI = S2 = oo. = S4n = DI = D2 = N
Vi = 16n 2 i - 8n 2 + 2n; za i = 1, 2, ..., 4n
Pravilo (A) se izkaže za zelo pomembno, saj še vedno velja, da je razlika isto-
176
I
ležnih elementov v diametralnih vrsticah i in 4n + 1 - i konstantna in znaša
e = 4n (4n - 1) - 4n (i - 1) = 4n (4n - 2 i + 1).
Zdaj zamenjamo še po 2n števil v vsakem paru d iametralnih vrstic po
pravilih (A) in (Bl. kjer seveda zamenjamo pojma vrstica in stolpec.
Diagonale se ne pokvarijo zaradi pravila (B), vsote stolpcev pa se tudi ne
spremenijo in novo stanje je:
Magični kvadrat je sestavljen.
Naj za konec dodam primer za n = 1.
a)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
b)
1 2 3 4
8 6 7 5
12 10 11 9
13 14 15 16
začet no stanje 1. in 4. sto lpec
c)
1 3 2 4
8 6 7 5
12 10 11 9
13 5 14 16
d)
1 15 14 4
8 6 7 5
12 10 11 9
13 2 16
2. in 3. sto lpec 1. in 4 vrstica
177