i
i
“Hafner-Pascal” — 2010/5/12 — 14:38 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 4
Strani 204–206
Izidor Hafner:
PASCALOV TRIKOTNIK IN TRIKI S KARTAMI
Ključne besede: bolj za šalo kot zares, razvedrilo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/790-Hafner.pdf
c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PASCALOV TRIKOTNIK IN TRIKI S
KARTAMI
V knj igi M. Gardnerja Mathematical Carn ival (Random House , New Yo rk,
1975) je na st rani 194 opisan nas lednji trik s kartami, ki ga boš brez težav pre-
izkusil na sošolcih, ki ne berejo Preseka.
Iz igralnih kart odstrani vse figure in desetke, tako da ostanejo le karte od
asov do devetk . Sošolca prosi, da položi pet kart v vrsto, nato pa zgradi trikot-
nik kart po pravilu, ki ga opisuje naslednji odstavek. Toda še preden začne, ti
že položiš zadnjo karto, z obrazom navzdol (glej sliko). Katero karto boš moral
položiti, ti bo jasno, ko boš prebral sestavek.
Vsak par števil na sosednjih kartah seštejemo , in če vsota preseže 9, odšte-
jemo 9. Nad ta par kart po ložimo karto, katere številka je tako dobljena vsota.
Na primer : zadnji dve karti v spodnji vrstici sta 5 in 8, vsota je 13, ko odšteje-
mo 9, dobimo 4. Ko sošolec tako pride do vrha, odkrije vrhnjo karto in ugoto-
vi, da je ravno prava.
Jasno je , da je zgornje število funkcija spodnjih petih števil. Toda katera?
Spomnimo se opisa Pascalovega trikotnika, ki ga je napisal Franci Forstne-
rič v Preseku 8 (1980/81) 4, str. 200 - 205. To je neskončna trikotna shema
števil. Prvo in zadnje število v vsaki vrstici je 1, za vsako drugo število pa velja,
da je dobljeno kot vsota dveh števil, ki sta zapisani neposredno nad njim. Če
vrstice štejemo od O naprej, lahko pravilo zapišemo
a) P (O, O) = 1
b) P (n + 1, O) = P(n + 1, n + 1) = 1
c) P(n + 1, k) = P(n, k - 1) +P(n,k) (1 <,k <'n) za vsak n = 0,1,2,...
O 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
V n-ti vrst ici je n + 1 števil.
Imejmo pet števil, ki jih seštevamo v obliki piramide
205
a + 4b + 6e + 4č + d
a+3b+3e+č b+3e+3č+d
a
a+b
a + 2b + e
b
b+e
b + 2e + Č
e
e+č
e + 2č + d
č
č+d
d
Vidimo, da je število na vrhu piramide vsota produktov števil e, b, c, čin d
s števili četrte vrstice Pascalovega trikotnika. Srednješolci bi temu rekli skalarni
produkt vrstice (a, b, c, č, d) z vrstico (1,4,6,4, 1).
Ker lahko hitro ugotovimo, da je isto, če od števamo 9 sproti ali na koncu,
je jasno, kako dobimo karto na vrhu piramide. Formula, ki smo jo dobili, na ža-
lost za računanje na pamet ni najbolj primerna. Pogled na Pascalov trikotnik pa
ti pove, da so naslednji triki enostavno izvedljivi.
Trik 1. Vzemi samo karte od 1 do 5 (odštevamo 5), za osnovo piramide pa
šest števil. Peta vrstica, to je vrstica s števili 1,5, lO, 10,5, 1, ti pove, da bo na
vrhu piramide vsota prvega in zadnjega števila iz osnovne vrste ali pa ta vsota,
zmanjšana za pet. Podobno velja za naslednja dva trika.
Trik 2 . Piramido začnemo z osmimi kartami, odštevamo pa 7 . Kakšna je
formula za vrhnjo karto?
Trik 3. Piramido začnemo z desetimi kartami in odštevamo 5 .
Trik 4. Če začnemo s sedmimi kartami in odštevamo 5 ali če začnemo z
devetimi kartami in odštevamo 7, je končno število vsota prvih dveh in zadnjih
dveh števil v vrstici, zmanjšana za primeren mnogokratnik števil 5 oziroma 7.
Katere vrstice so primerne za odštevanje 9 ali 11?
Trik 5 . Desetim sošolcem naročiš, da zapiše]o po deset števil (vsako je med
1 in 9), nato pa zgradijo piramido z odštevanjem 9 . Medtem ko oni računajo,
obiščeš vsakega in izračunaš njihove vsote . Ko vsi končajo, jim poveš rezultate.
Presenečeni so, saj računaš desetkrat hitreje od njih . Formula je : vsota prevega
in zadnjega ter triktratnega četrtega in trikratnega sedmega števila. Pri odšte-
vanju devetice lahko uporabiš še tole:
ab - 9 = 10a + b - 9 = 9a + (a + b)
npr. 13 - 9 = 10 . 1 + 3 - 9 = 9 + (1 + 3)
Trik 6. Vsak učenec v razredu naj si izmisli osem števil, pri tem naj vsi na
prvo mesto zapišejo 1, na osmo mesto pa 8. Nato morajo vsote zmanjševati za
mnogokratnike števila 7. Na koncu bodo vsi dobili 2.
Morda te bo teh nekaj primerov spodbudilo, da si še sam izmisliš kakšen
trik.
--
206 Izidor Hafner