ISSN 0351-6652 Letnik 29 (2001/2002) Številka 5 Strani 264-269
Peter Legiša:
KRISTALNE MREŽE - 1. del
Ključne besede: matematika, geometrija, mreže, tlakovanje ravnine, razdelitve prostora, enostavni kubični sklad.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/29/1483-Legisa.pdf
© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KRISTALNE MREŽE - 1. del
V ravnini imamo nekolinearna vektorja a in h. Izberemo ju tako, da je njuno izhodišče tudi izhodišče koordinatnega sistema (slika 1), torej a
= OAi in b = OBj.
Na premici p skozi O in Ai izberemo še točke	A2, A-2, .43,
A-3,... tako, da je za vsako celo število k
OAk = ka.
Prav tako na premici q skozi O in B\ izberemo še točke B,, B_2, B3,... tako, da je za vsako celo število n
O~Bn = nb .
Skozi točke A& konstruiramo vzporednice premici q, skozi točke Bn vzporednice premici p. Te premice razrežejo ravnino na skladne paralelograme (slika 2). Dobili smo tlakovanje ravnine s skladnimi paralelogrami.
Presečišča dobljenih premic sestavljajo neskončno mrežo točk v ravnini. Krajevni vektorji točk v mreži so natančno vektorji
ko, + nb , (k, n £ S) .
(Seveda mreža tu pomeni nekaj drugega kot mreža poliedra, ki je površje poliedra, razgrnjeno v ravnino.)
Slika 3,
Slika 2. Del dvorazsežne mreže. Dobimo jo z zlaganjem skladnih paralelogramov.
Vzemimo še vektor c, ki ne leži v ravnini 11 vektorjev a in b. Naj bo c — OC\. Na premici r skozi O in C] izberemo še točke C_i, Cj, C_2, C3, C-3,... tako, da je za vsako celo število p
OCp = pc.
Skozi vse premici r
točke prej dobljene ravninske mreže konstruiramo vzporednice (slika 3).
Skozi točke Cp pa izberemo ravnine, vzporedne ravnini II. Presečišča teh ravnin in narisanih vzporednic premici r sestavljajo neskončno trinizsežno mrežo točk v prostoru (slika 4).
Krajevni vektorji točk v mreži so natančno vektorji
ka + nb + pc,
kjer so k. n, p cela števila. „.., , ,	.	. .
bilka 4. Del trirazsezne mreže, napete na vektorje Pravimo, da je tajnrežana- - % in - Dobimo jo z z]aganjem skladnih paraleie_
peta na vektorje 5, b in c. pipedov.
	A	A A
	A /	A
	Al	AlA
nI	1 H	n
1/	V 1	Ar
M l	y K	K
Obenem smo dobili razdelitev prostora na skladne paralelepipede. Mreže ste srečali pri pouku kemije in fizike. Točke mreže so npr. središča atomov ali ionov v kristalu.
Če so vektorji a, b, c enako dolgi (a = b — c) in paroma pravokotni, je ustrezna mreža enostavni kubični sklad. Temu ustreza razdelitev prostora na skladne kocke (slika 5).
Slika 5. Del enostavnega kubičnega sklada, ki ga dobimo z zlaganjem skladnih kock z robom a.
Vsaka točka te mreže naj bo središče krogle s premerom 2 R = a. Vsaka krogla, se dotika šestih sosednjih krogel. Tak sestav skladnih krogel prav tako imenujemo enostavni (primitivni) kubični sklad (slika 6).
V!
2R = a
Slika 6. Krogle, zložene v enostavni kubični skiaH.
Do tega sklada lahko pridemo tudi takole: Vsaki krogli očrtamo (namišljeno) škatlo v obliki kocke. Nato te škatle tesno zlagamo, tako tla se sosednji ploskvi povsem prekrivata. Na sliki 6 so škatle narisane črtkano.
Delež prostora, ki ga zavzemajo krogle v tem skladu, je enak količniku med prostornino krogle in prostornino njej očrtane škatle, torej
Ce moramo zlagati pomaranče, verjetno ne bomo uporabili zgoraj opisanega načina. Tudi v naravi je enostavni kubični sklad izredno redek. Radioaktivni element polonij lahko kristalizira v tej obliki.
Spet vzamemo kocko ABC DA'B'G'D' z robom a in s središčem S (slika 7). Parale! ep i ped ABCDUVST ima za osnovno ploskev kvadrat ABCD, stranski rob je SC, Pri tem je
|CS| = ||CM'|=±«>/5
polovica telesne diagonale kocke.
D'	C'
Slika 7.
Naredite iz papirja model paralelepipeda ABCDUVST (slika 8)!
Slika S.
Trirazsežuo mrežo, napeto na vektorje CB, CD in CS, dobimo tudi z zlaganjem skladnih kopij paralelepipeda ABCDUVST.
Takoj vidimo, daje A' točka naše mreže. Z nekaj risanja, računanja ali z zlaganjem modelov ugotovimo, da ta mreža vsebuje tudi točke B', C in D' in da jo lahko dobimo tudi tako, da zlagamo skladne kopije osnovne cclice na sliki 9. V tej osnovni celici je 9 točk mreže: A, B, C, D, A'. B C'. D' ju središče S kocke. Pravimo, da je osnovna celica telesno centrirana kocka.
Vsa.ka točka naše mreže naj bo središče krogle s polmerom
R =
Potem se krogla s središčem v S dotika krogel s središči v preostalih točkah osnovne cclice (slika 10).
Delež prostornine, ki jo zavzemajo krogle v tem skladu, lahko izračunamo kar v osnovni celici. V vsakem ogli ščit je osmina krogle in še ena cela krogla v središču. Skupaj imamo prostornino dveli krogel s polmerom R, to je 2 ■	To moramo deliti z a3 = R3 in dobimo
V tej obliki kristalizirata natrij in kalij.
Peter Legiša