MATEM ATI KA
Holditchev izrek
•is •i' ■i'
Marko Razpet
-> Krožnici X s polmerom R in središčem S včr-tamo tetivo AB izbrane dolžine t = AB \. Tetiva krožnice je vsaka daljica, ki povezuje dve točki te krožnice. Najdaljša tetiva krožnice je premer te krožnice. Točka D naj tetivo AB razdeli na dva dela z dolžinama a = \AD\ in b = \BD\, točka C pa naj bo središče tetive AB. Pri tem je seveda 0 < t < 2R in a + b = t. Če točki A in B enkrat zakrožita po X in pri tem ves čas tetiva AB ohranja svojo dolžino, točka D pri tem na tej tetivi ne spreminja svoje lege. To pomeni, da se razdalji \AD\ in \BD ne spreminjata. Očitno se tudi razdalje | S C |, | CD | ter | S D | ne spreminjajo, zato D opiše krožnico X'D s polmerom r = | S D | in središčem v S. Ne da bi karkoli izgubili na splošnosti, lahko privzamemo, da je a > b.
Pri vsem tem je najbolj zanimivo to, da je ploščina P kolobarja med obema krožnicama X in X'D odvisna samo od a in b, in sicer je P = nab. Tega ni težko dokazati. V pravokotnem trikotniku SBC (slika 1) stakateti |SC| = v, |CB| = (a + b)/2, hipote-nuza pa R. V pravokotnem trikotniku SDC pa sta ka-teti v in |CD| = a-(a+b)/2 = (a-b)/2. PoPitagoro-vem izreku veljata relaciji R2 = v2 + (a + b)2/4, r2 = v 2 + (a - b)2/4, iz katerih sledi R2 - r2 = (a + b)2/4 -(a- b)2/4 = ab. Za ploščino kolobarja takoj dobimo P = n(R2 - r2) = nab. S tem smo trditev, izrečeno na začetku odstavka, potrdili. Lahko pa uporabimo tudi izrek, ki pove, da za odseke sekajočih se tetiv AB in FG (slika 1) velja enakost |AD| ■ |DB| = |GD| ■ |DF| oziroma ab = (R + r)(R - r) = R2 - r2. Iz te zveze ravno tako sledi P = nab.
Obravnavo smo začeli s krožničo. Kaj pa dobimo, če namesto nje vzamemo kakšno drugo sklenjeno krivuljo? Poglejmo, kakšno krivuljo X'D dobimo v primeru, ko je dana krivulja X obod kvadrata. Tako
SLIKA 1.
Tocka D na tetivi AB krožnice X zariše rdece obarvano krožnico X'D.
kot pri krožniči lahko tudi sedaj govorimo o tetivah. Za razliko od krožniče, katere tetive vedno ležijo v krogu, ki ga omejuje, pa tetive oboda kvadrata lahko ležijo na tem obodu ali pa v kvadratu. Dolžina tetive AB tedaj ne more biti daljša od diagonale kvadrata. Ce je dolžina tetive daljša od straniče kvadrata, novo krivuljo sičer dobimo, toda le-ta sama sebe seka. Takrat lik med obodom kvadrata in novo krivuljo ni dobro opredeljen. Zato moramo privzeti, da dolžina tetive ne presega straniče kvadrata. Ko je eno kraji-šče tetive na eni straniči kvadrata, drugo pa na sosedni, točka D opiše četrtino eliptičnega loka. Ustrezna elipsa ima za polosi ravno a in b. Kako to vidimo? Vzemimo (slika 2) spodnjo straničo kvadrata za os levo navpično pa za os y pravokotnega koordinatnega sistema. Naj bo y kot, ki ga tetiva, ki ima krajišči na teh oseh, oklepa z osjo Potem je absčisa točke S enaka % = ačos ordinata pa y = b sin Koordinati točke D zadoščata enačbi (x/a)2 + (y/b)2 = 1, kar je enačba elipse s polo-
4
PRESEK 44 (2016/2017) 2
MATEM ATI KA
	\___
\ a	
	/
	/
y\ \ b	
\ <P\	^ 1
K,
B
SLIKA 2.
Tocka D na tetivi AB oboda kvadrata zariše rdece obarvano krivuljo.
sema a in b in središčem v spodnjem levem oglišču kvadrata. Ker je0 < y < n/2, upoštevamo samo eliptični lok v prvem kvadrantu. Za preostala tri ogli-šča pridemo do podobnega sklepa.
Krivulja K'D je sestavljena iz štirih skladnih eliptičnih lokov, ki ustrezajo elipsi s polosema a in b, in sičer tistih lokov, ki povezujejo sosedni temeni te elipse. Ce je dolžina tetive manjša od stranice kvadrata, sestavljajo krivuljo K'D še štiri na obodu kvadrata ležeče daljice, ki te eliptične loke povezujejo. Ker je ploščina četrtine take elipse enaka nab/4, je ploščina lika med obodom kvadrata in krivuljo K'D spet enaka P = nab. Poskusimo lahko še s kakšno drugo sklenjeno krivuljo. V veliko pomoč nam je pri tem lahko GeoGebra.
Kar smo ugotovili, ni nič posebnega, če ne bi veljal splošnejši izrek, ki gaje leta 1858 formuliral britanski matematik Hamnet Holditčh (1800-1867). Še prej pa smo dolžni nekaj pojasnil. Krožniča in obod kvadrata sta sklenjeni krivulji. Omejujeta konveksna lika, v tem primeru krog oziroma kvadrat. Konveksni lik je tak lik, ki vsebuje vse daljiče, katerih krajišča so v tem liku. Krivulja, ki omejuje konveksni lik, je sklenjena konveksna krivulja. Tetiva AB take krivulje je poljubna daljiča s krajiščema na tej krivulji. Tetiva
AB leži v čeloti v liku, ki ga sklenjena konveksna krivulja omejuje. V splošnem krivulja lahko seka sama sebe v kakšni točki. Taki točki rečemo samoprese-čišče krivulje. Sedaj smo pripravljeni, da navedemo napovedani izrek.
Holditčhev izrek. Naj bo K sklenjena konveksna krivulja. Tocka D naj deli njeno tetivo AB na odseka dolžin a in b. Pri tem mora biti vsota a + b taka, da vse tetive s to dolžino ležijo znotraj krivulje K. Ce krajišči A in B tetive enkrat obkrožita krivuljo K in tetiva pri tem ves čas ohranja svojo dolžino, tocka D pa na njej ne spreminja svoje lege, potem tocka D opiše krivuljo K'D. Ce le-ta nima samopresečišč, je ploščina lika med krivuljama K in K'D neodvisna od oblike krivulje K, odvisna je le od dolžine tetive AB ter lege točke D na njej in je enaka P = nab.
Izreka ni tako lahko dokazati kot v primeru kro-žniče ali oboda kvadrata in se mu bomo odpovedali. Dokaz lahko poiščemo v primerni matematični literaturi.
_ XXX
Križne vsote
-i' -i' ^
-> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolp-čih enaka številu, ki je zapisano v obarvanem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne.
	12	10			
16			11		
9				7	
		10			13
			11		
			7		
XXX
5	PRESEK 44 (2016/2017) 2