UTRIPANJE ŽARNICE ALEŠ MOHORIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 44.40.+a, 02.60.Lj Žarnica sveti zato, ker v njej električni tok drobno kovinsko žico segreje do zelo visoke temperature. Svetilnost žarnice, priključene na izmenično napetost, niha z dvojno frekvenco toka in zaostaja v fazi za trenutno električno močjo zaradi omejenega toplotnega toka in toplotne kapacitete žareče žice. BEATING OF A LIGHT BULB An incandescent bulb radiates light because electric current heats up its filament to a very high temperature. The luminosity of an incandescent lamp driven by AC oscillates at the double frequency of the current and is out of phase with the electric power supplied because of the finite heat capacity of the filament and the limited rate at which it radiates heat. Žarnica je svetilo, ki sveti z razžarjeno žico, in je izpodrinila svetila, v katerih žarijo saje v plamenu gorečega fosilnega goriva. Dolgo je bila najpogosteǰsi vir razsvetljave v našem domu. Zdaj jo izpodrivajo druga, bolj učinkovita svetila, kot so sveteče diode ali fluorescenčne sijalke. Vir svetlobe je kovin- ska žica, segreta do visoke temperature. Žica se segreje zaradi električnega toka, ki teče skoznjo, in je običajno narejena iz volframa, ki je primeren zato, ker ima visoko talǐsče pri 3695 K. V navadni žarnici se žica segreje do približno 2800 K, kaj dosti čez pa žarnici močno skraǰsa življenjsko dobo. Vendar žice ne obvaruje niti to, da je njena temperatura precej nižja od talǐsča. Sčasoma iz žice izpari dovolj volframa, da se žica pretrga in žarnica postane neuporabna. Ko se ta proces začne, potem teče vedno hitreje, saj je žica na tanǰsem delu bolj vroča in volfram tam še hitreje izpareva. Če pride vroča žica v stik z zrakom, ki vsebuje dovolj kisika, takoj zagori (oksidira). Zato je žica nepredušno zaprta v stekleno bučo, v kateri je inerten plin, običajno dušik ali argon. Tipična žarnica je prikazana na sliki 1. Pri žarnici ločimo naslednje dele: stekleno bučo, žico, oporne žice ter kovinski navoj. Na sliki je z okvirjem označen del, ki je na naslovnici prikazan povečano. V povečavi (slika na naslovnici) opazimo, da je žica zvita v dvojno vijačnico. Tako je izkoristek žarnice nekoliko bolǰsi in življenjska doba dalǰsa, saj se del izsevane toplote in izparelega volframa lažje absorbira. Poleg navadnih žarnic uporabljamo tudi halogenske žarnice. Te žarnice so podobne nava- dnim, le da je v njih žica segreta do 3200 K ali več, odvisno od namena in 134 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 Utripanje žarnice Slika 1. Žarnica z volframovo žico, opornimi in dovodnimi žicami, stekleno bučo ter kovinskim navojem. Na sliki označeni izsek je na naslovnici prikazan povečano. V povečavi opazimo dvojno vijačnico, v katero je navita žica. stroškov, ki smo jih pripravljeni vložiti v proizvodnjo in nakup. Halogenka zadovoljivo deluje pri vǐsji temperaturi zato, ker je v stekleni buči para ha- logenega elementa, običajno broma, ki se ob buči, kjer je temperatura nižja, kemijsko veže z izparelim volframom. Ob žici, kjer je temperatura vǐsja, spojina razpade in volfram se naloži nazaj na žico. Tako se izparevanje volframa občutno zmanǰsa in življenjska doba žarnice podalǰsa. Halogenske žarnice so običajno manǰse ali celo narejene iz notranje in zunanje buče, saj je tako obnova žarilne žice bolj učinkovita in je vroča notranja buča ločena od okolice zaradi požarne varnosti. Halogene svetilke so namreč precej bolj vroče od navadnih žarnic – temperatura buče lahko preseže 1000 ◦C, pri navadnih žarnicah pa je buča segreta na 200 do 400 ◦C. 134–141 135 Aleš Mohorič 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Λ @nmD 2´ 1027 4´ 1027 6´ 1027 8´ 1027 1´ 1028 dj 2 Π h c2 dΛ @m-5D Slika 2. Spekter sevanja segretega telesa. Polna krivulja ustreza telesu, segretemu na 2800 K (navadna žarnica), črtkana pa telesu, segretemu na 3200 K (halogenska žarnica). S sivo je označeno območje vidne svetlobe. Poǐsčimo najprej temperaturo žice v žarnici, priključeni na enosmerno napetost U . Upor žarnice je R = ζl πr2 , pri čemer je l dolžina, r pa polmer žice. ζ je specifični upor snovi, iz katere je žica. V toplotnem ravnovesju žarnica prejeto električno moč Pe = U2 R odda kot toplotni tok. Večino toplote žarnica odda s sevanjem. Spekter sevanja segretega telesa opǐse Stefan-Planckov zakon: dj dλ = ǫ 2πhc2 λ5 1 ehc/λkT − 1 . Tu so: j gostota energijskega toka, λ valovna dolžina elektromagnetnega valovanja, ǫ izsevnost, h = 6,62 · 10−34 Js Planckova konstanta, c = 3,0 · 108 m/s svetlobna hitrost, k = 1,38 · 10−23 J/K Boltzmannova konstanta in T absolutna temperatura sevajočega telesa. Izsevnost je to, kar odbojnosti ali albedu manjka do 1, pri volframu je približno enaka 0,4. Odvisna je od valovne dolžine, vendar bomo v računih to odvisnost zanemarili. Spektra navadne in halogenske žarnice sta prikazana na sliki 2. Celotni izsevani energijski tok je: Ps = 2πrl ∫ ∞ 0 dj dλ dλ = ǫ2πrlσT 4. 136 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 Utripanje žarnice Izraz poznamo tudi kot Stefanov zakon in σ = 2π 5k4 15h3c2 = 5,67·10−8 W/m2 K4 je Stefanova konstanta. Sevanje izhaja iz plašča valja, s katerim predstavimo žico. Plašč ima ploščino 2πrl. Efektivno je sicer površina žice zaradi njenega navitja manǰsa, saj se del izsevane svetlobe ponovno absorbira. V ravnovesju velja: U2 R = ǫσ2πrl(T 4 − T 4z ). Zadnji člen vsebuje segrevanje žarnice zaradi sevanja iz okolice, ki ima tem- peraturo Tz. Ta člen bomo zanemarili, saj je vsaj tri velikostne rede manǰsi od sorodnega člena, v katerem nastopa temperatura žice. Ravnovesna tem- peratura žice je: T = 4 √ rU2 2ζǫσl2 . Ocenimo dimenzije žice v žarnici, ki je pri napetosti U segreta do želene temperature in sveti z močjo P . Delovna napetost in nazivna moč sta najbolj običajna podatka za žarnico. Iz pogoja za ravnovesje sledita polmer: r = 3 √ P 2ζ 2π2ǫσU2T 4 ter dolžina l = πr2U2 Pζ = 3 √ PU2 4πζǫ2σ2T 8 . Za 20-vatno žarnico z nazivno napetostjo 12 V tako izračunamo premer 88 µm in dolžino 5,2 cm, kar dobro ustreza pravim vrednostim. Žica v enaki halogenski žarnici ima premer 78 µm in dolžino 3,4 cm, v enako močni žar- nici, namenjeni (efektivni) napetosti 220 V, pa je premer 13 µm in dolžina 36 cm. Upoštevali smo, da se specifični upor volframa spreminja s tempe- raturo, in smo vstavili specifični upor 85 µΩcm pri temperaturi 2800 K za žarnico in 100 µΩcm pri temperaturi 3200 K za halogensko žarnico. Tem- peraturna odvisnost specifičnega upora volframa je skoraj linearna in jo prikazuje graf na sliki 3. Odgovorimo še na vprašanje, zakaj imamo poleg navadnih tudi halogen- ske žarnice, ki so manj trpežne in tehnološko zahtevneǰse? Žarnice so bolj enostavne in ceneǰse za izdelavo, halogenke pa jih izpodrivajo zaradi bolj- šega izkoristka. Izkoristek žarnice je razmerje med izsevano energijo vidne svetlobe in vloženo električno energijo. Na sliki 2 vidimo, da žarnica večino energije izseva v infrardečem delu spektra, to je pri valovnih dolžinah nad 134–141 137 Aleš Mohorič Slika 3. Specifični upor volframa kot funkcija temperature. 700 nm. Delež energije vidne svetlobe dobimo z integralom jvidna j = ∫ λ2 λ1 dj dλf(λ)dλ ǫσT 4 . Integriramo v mejah vidnega spektra, to je od 400 do 700 nm. Pri izračunu izkoristka upoštevamo še občutljivost očesa, ki ni enaka pri vseh valovnih dolžinah. Dobro jo opǐse Gaussova funkcija z vrhom pri λ0 = 555 nm in širino δ = 60 nm: f(λ) = e−(λ−λ0) 2/δ2 . Integral numerično rešimo brez težav in slika 4 kaže izkoristek kot funkcijo temperature. Na grafu vidimo, kako dobro so naše oči usklajene s primarnim virom zemeljske svetlobe – Soncem.1 Tudi doma bi radi imeli svetilko, ki bi čim bolj posnemala Sonce in bi imela obenem tudi najbolǰsi izkoristek. Izkoristek je najvǐsji pri zelo vi- soki temperaturi (vǐsji od temperature Sončevega površja 6000 K), žal pa nimamo na voljo snovi, ki bi pri tej temperaturi še ostala trdna. Naj- vǐsje talǐsče2 med elementi ima ogljik, ki pri normalnem tlaku sublimira pri temperaturi 4000 K. Ogljik prevaja električni tok, če je v alotropski obliki grafita, ki so ga uporabljali v prvih žarnicah, vendar pa ima slabe mehanske 1Nekaj o tem si lahko preberete tudi v [1], str. 271–272. 2Talǐsče je temperatura, pri kateri snov preide iz trdne v kapljevinasto fazo. Pri grafitu bi morali govoriti o temperaturi sublimacije. 138 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 Utripanje žarnice 2000 4000 6000 8000 10000 T @KD 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 PsPe 2600 2800 3000 3200 3400 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Slika 4. Izkoristek termičnega sevanja telesa kot funkcija temperature. Največji izkori- stek za človeško oko je pri temperaturi nad 6000 K. Izkoristek pri nižjih temperaturah je precej nižji in je prikazan na povečanem izseku. lastnosti. Zato je za uporabo v žarnici bolj primeren volfram, ki je ele- ment z drugim najvǐsjim talǐsčem pri 3695 K. Spojina z najvǐsjim3 talǐsčem je tantal-hafnijev karbid Ta4HfC5. Kakorkoli, pravilo, ki sledi iz grafa, je: vǐsja temperatura žice pomeni bolǰsi izkoristek žarnice. Izkoristek navadne žarnice je 2 %, halogenske pa 4 %. S halogenko torej dobimo enak vidni učinek pri pol manǰsi električni moči. Če želimo enostavno, trpežno svetilo, bo navadna žarnica v redu, dokler jo zakon ne prepove. Za primerjavo po- vejmo, da doseže zeleni laser z valovno dolžino 555 nm izkoristek 100 %, natrijeve plinske svetilke do 30 %, sveteče diode do 22 %, fluorescentne si- jalke pa do 16 %. Spektri svetlobe teh svetil ne ustrezajo spektru sevanja segretega črnega telesa in ne vzbudijo v očesu vtisa bele svetlobe, temveč obarvane. Ta vtis pogosto opǐsemo s temperaturo, ki bi jo imelo segreto telo enake barve. Tako modrikasto barvo fluorescentnih sijalk opǐse vǐsja tem- peratura, in sicer 5500 K, kot rumenkasto barvo navadnih žarnic, ki žarijo pri temperaturi 2800 K, čeprav so fluorescentne sijalke na dotik hladneǰse. V gospodinjstvih so žarnice običajno priključene na izmenično omrežno napetost. Seveda ne vse, nekatere so na omrežje priključene prek adapterja, ki usmeri in zniža napetost. Temperatura žarnice, priključene na izmenično 3avtorju znanim 134–141 139 Aleš Mohorič napetost, niha in s tem niha tudi njena svetlost. Amplituda nihanja sve- tlosti je tako majhna in frekvenca dovolj velika, da preslepi človeško oko, ki svetlobo dojema kot nespremenljivo. Električni tok v hǐsni napeljavi niha s frekvenco ν = 50 Hz, kar pomeni nihajni čas 20 ms. Če zanemarimo kapaci- teto in induktivnost žarnice, je električna moč žarnice Pe = U2 0 R cos 2 ωt. U0 je amplituda napetosti (v Evropi je to 325 V) in ω = 2πν. Energijski zakon za žico pove, kako se v kratkem časovnem intervalu dt spremeni temperatura žarnice dT : mcdT = U20 R cos2 ωtdt− ǫσS2T 4dt. Pri tem je m masa žice, c pa njena specifična toplota. Zanemarili smo segre- vanje iz okolice in privzeli, da je temperatura po preseku žice povsod enaka, prav tako ne bomo upoštevali spreminjanja upora s temperaturo. Rešitev te enačbe je obravnavana v [1]. Nas bo zanimala samo kvazistacionarna rešitev, ko prehodni pojavi pri vklopu žarnice izginejo in privzamemo, da temperatura niha harmonično z enako frekvenco kot električna moč, in sicer okoli povprečne temperature T0 = 4 √ rU20 4ζǫσl2 . Z brezdimenzijskima časom τ = ωt in temperaturo θ = TT0 lahko preuredimo enačbo v θ̇ = a(1 + cos 2τ)− aθ4. Pika pomeni odvod po času τ . Vpeljali smo konstanto a = 12ωmc 4 √ 2U6 0 ǫσS2 R3 . Rešitev diferencialne enačbe poǐsčemo z nastavkom θ = 1+ θ0 sin(2τ + δ), s katerim v prvem približku izrazimo θ4 . = 1+4θ0 sin(2τ+δ), saj pričakujemo, da je θ0 majhen. Enostavno pokažemo (kot bi rekel Kuščer), da θ niha z amplitudo θ0 = a 2 √ 1 + 4a2 in zaostaja v fazi za električno močjo tan δ = 2a. Kvocient amplitude nihanja svetilnosti in povprečne svetilnosti je v prvem približku enak 4θ0. Od tu lahko določimo a = 2θ0√ 1−16θ2 0 , v katerem se skri- vata toplotna kapaciteta ter efektivna površina žice. To je pričakovano in 140 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 Utripanje žarnice bi uganili tudi na pamet. Toplotne prevodnosti, ki bi jo pričakovali pri raz- sežneǰsih telesih, v izrazu ni, ker smo naredili približek, da je temperatura žice po vsem preseku enaka. Poskus, s katerim izmerimo nihanje svetilnosti žarnice, naredimo tako, da žarnico priključimo na izmenično napetost ter izmerimo časovni potek napetosti, toka in gostote svetlobnega toka. Rezultati so prikazani na sliki 5. Iz meritve sledi, da je θ0 = 0,015. Od tu lahko ocenimo maso žice na 18 mg, če upoštevamo specifično toploto volframa 130 J/kgK. Pri poskusu smo uporabili 25-vatno žarnico, namenjeno napetosti 5 V, z žico premera 180 µm, dolžino 3,1 cm in maso 16 mg, ki jo izračunamo iz m = ρV , kjer uporabimo gostoto volframa 19 kg/dm3. 0 10 20 30 0,0 0,5 1,0 0,0 0,5 1,0 = t I/ I P /P ( x:31,681 y:0,989) Auto Fit for: Latest | P/P CC 2 = A*sin(B*x+C)+D A: 0,5014 +/- 0,002379 B: 1,999 +/- 0,0005244 C: 2,327 +/- 0,009417 D: 0,4250 +/- 0,001684 RMSE: 0,02660 Auto Fit for: Latest | I/I CC 2 = A*sin(B*x+C)+D A: 0,05803 +/- 0,0001883 B: 1,999 +/- 0,0003588 C: 1,428 +/- 0,006525 D: 0,9999 +/- 0,0001335 RMSE: 0,002104 Slika 5. Trenutna električna moč in svetilnost žarnice, priključene na izmenično napetost. Svetilnost niha z amplitudo 0,06 povprečne svetilnosti in v fazi zaostaja za močjo. Tako smo natresli nekaj podatkov za žarnice. Jih bomo prihodnjič opa- zovali v drugačni luči? LITERATURA [1] I. Kuščer in A. Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, DMFA, 112–114 (1994). [2] A. Mohorič, Utripanje luči, Presek 38 (2011), 20–21. [3] P. Gluck in J. King, Physics of Incandescent Lamp Burnout, Phys. Teach. 46 (2008), 29–29. [4] B. Ray, Don’t Zap that Light Bulb!, Phys. Teach. 44 (2006), 374–374. [5] B. Denardo, Temperature of a lightbulb filament, Phys. Teach. 40 (2002), 101–101. [6] W. S. Wagner, Temperature and color of incandescent lamps, Phys. Teach. 29 (1991), 176–176. [7] D. MacIsaac, G. Kanner in G. Anderson, Basic physics of the incandescent lamp (lightbulb), Phys. Teach. 37 (1999), 520–520. [8] J. King, Incandescent Lamps, Am. J. Phys. 31 (1963), xiv. [9] V. Zanetti, Sun and lamps, Am. J. Phys. 52 (1984), 1127–1127. [10] D. C. Agrawal, H. S. Leff in V. J. Menon, Efficiency and efficacy of incandescent lamps, Am. J. Phys. 64 (1996), 649–649. [11] V. Zanetti, Temperature of incandescent lamps, Am. J. Phys. 53 (1985), 546–546. 134–141 141