SOLA_
O METU KROGLE IN METU KLADIVA
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 01.80+b
Gibanje izstrelka je priljubljen zgled v učbenikih fizike. Pogosto se z njim ukvarjajo fizikalne poučevalske revije. Clanek opiSe račune pri metu krogle in metu kladiva. Slednji je zanimiv zaradi uspeha Primoza Kozmusa. Izračuna delo zračnega upora in oceni zmanjsanje dometa zaradi njega. Nazadnje sledi poskusom, da bi pospesevalni del meta povezali s prostim delom in naredi nekaj očen.
ON SHOT PUT AND HAMMER THROW
Proječtile motion is a popular example in physičs textbooks. It is often disčussed in physičal edučational journals. In the artičle some čalčulations are presented for shot put and hammer throw, the latter being partičularly interesting due to the suččess of Primoz Kozmus. The work of the air drag is čalčulated and its influenče on the range is estimated. Finally, the trials are followed to čonnečt the aččeleration phase with the free motion phase giving some estimates.
Že v starih časih so tekmovali v metanju teZkih predmetov. Iliada omenja, da so oblegovalči Troje tekmovali v metanju skale. Vojaki so v času, ko so bili topovski izstrelki kamnite krogle, metali topovske krogle. Iz tega se je postopno razvil met krogle (anglesko shot put, suvanje izstrelka - topovske krogle). Za moske je bil met krogle olimpijska disciplina od prve olimpiade leta 1896. Za zenske je postal olimpijska disciplina leta 1948. Žkoti, ki jim je angleski kralj med boji za osamosvojitev na koncu 13. stoletja prepovedal uporabo orozja, so si pomagali s kroglo na drogu. Tako orodje so uporabljali tudi na tekmovanjih na Žkotskem visavju. Iz tega se je postopno razvil met kladiva. Prvič so ga za moske vključili na drugo olimpiado leta 1900. Za zenske so ga uvedli na olimpiadi leta 2000.
Pri obeh metih moski uporabljajo kroglo z maso 7,26 kg iz zeleza ali medenine s premerom od 11 do 13 čm, zenske pa kroglo z maso 4 kg s premerom od 9,5 do 11 čm. Pri kladivu je na kroglo pritrjena za moske do 1,215 m in za zenske do 1,195 m dolga jeklena ziča. Na drugem krajisču ziče je ročaj. Kladivo metaleč meče z dvema rokama in lahko uporablja rokaviče. Pri metu krogle mora uporabiti eno roko. Pri obeh metih metaleč meče iz kroga s premerom 2,135 m, ki ga obdaja 10 čm visok lesen obroč. Metaleč se ga lahko dotakne na notranji strani, ne sme se ga dotakniti na zgornji strani
ali ga prestopiti, preden krogla pade na tla. Let krogle pri metu kladiva je mogoče primerjati z letom krogle pri metu krogle. Pri drugih dveh metih v lahki atletiki, metu diska in metu kopja, sta orodji precej drugacni. Drugace od metalca krogle, ki uporablja le roko, metalec kladiva uporabi obe roki in Zičo kot nekakSno napravo za dodatno pospeSitev krogle. Najprej sta obe disciplini veljali za preizkus moci, potem so razvili nacine, ki vkljucujejo hitrost in spretnost ter zahtevajo dobro casovno usklajenost.
Svetovni rekordi			
krogla			
moski	Randy Barnes (ZDA)	23,12 m	1990
zenske	Natalija Lisovskaja (Rusija)	22,63 m	1987
kladivo			
moski	Jurij Sedih (Rusija)	86,74 m	1986
zenske	Betty Heidler (Nemcija)	79,42 m	2011
Primoz Kozmus je na olimpiadi v Pekingu leta 2008 z metom 82,05 m dosegel zlato kolajno.
Zanimivo je obdelati mehanicne osnove metov [7, 9]. Opazujmo gibanje krogle, ko jo metalec spusti. Tedaj ima krogla začetno hitrost V pod začetnim kotom ß proti vodoravnici in začetno višino yo nad tlemi. Krogla nato pada s pospeskom prostega padanja g navpicno navzdol. Najprej ne upostevamo zracnega upora. Vodoravna komponenta hitrosti se ne spreminja = V cos ß, navpicna pa se zmanjsuje = V sin ß - gt, ce cas t zacnemo meriti v trenutku, ko krogla zapusti metalcevo roko. Tirnico krogle dobimo, ko iz enacbe x = Vt cos ß izracunamo cas in ga vstavimo v enacbo y = yo + Vt sin ß - 1 gt2:
V enacbo je pripravno v gy/V2 ter no = gyo/V2:
y = yo + x tanß - gx2/(2V2 cos2 ß).
brezenotski koordinati {
(1)
gx/V2 in n =
n = no + C tan ß - 1 C2/cos2 ß.
Z enacbo izracunamo metno razdaljo, to je razdaljo xo = V2Co/g, v kateri krogla zadene tla pri y = n = 0:
C2 - Co sin2ß - 2no cos2 ß = 0.
Metna razdalja:
Co = 2 sin 2ß ^ J1 sin2 2ß + 2no cos2 ß
(2)
(3)
je odvisna od začetnega kota ß. V splošnem krogla doseže tla po dveh tirnicah pri vecjem in manjsem kotu ß. Le pri dometu xom, ki mu ustreza Corn, to je največji metni razdalji, je kot en sam: ßo. Nadomestimo 1/cos2 ß z 1 + tan2 ß in v (1) prepoznamo kvadratno enačbo za tan ß0 [2, 5]:
tan2 ßo - 2 tan ßo/Co - 2no/C0 + 1 = 0.
Pri dometu je diskriminanta enaka nič: (2/{om)2 = 4 ■ 1 ■ (1 — 2no/{2m), tako daje:
tan ßo = 1/eom, tan2 ßo = 1/(1 + 2no), Co2™ = 1 + 2no. (4)
Enak izid bi dobili, če bi izračunali odvod dC/dß, ga izenačili z 0 in resili enačbo. Po enačbah (4) se zaradi začetne visine no domet poveča.
Slika 1. Odvisnost koeficienta upora za gladko kroglo od Reynoldsovega števila [11]. Merili na obeh oseh sta logaritemski. ZaCetni premi del cu = 24/fie ustreza linearnemu zakonu upora.
Domet pa se zmanjsa zaradi zračnega upora. Upor izračunamo s kvadratnim zakonom Fu = 1 CupSv2. Pri tem je cu koeficient upora, p gostota zraka, S čelni presek telesa in v2 kvadrat velikosti hitrosti. Upor je odvisen od oblike telesa [10]. Za kroglo s polmerom r meri čelni presek S = nr2. Delo zračnega upora med letom je Au ^ J Fu ■ ds = ^ / Fuds. Pri tem je ds = vdt kratek odsek tirniče in ima upor nasprotno smer hitrosti. Kvadrat velikosti hitrosti se med metom le malo spremeni. Zanj vstavimo v2 = v^+v2
in za odsek tirniče ds =
v2 +
It. Dobljena izraza sestavimo v:
Au = ^ Fu ds = 2 CupS J (vX + v2)^v2 + vldt = 2 CupS J (v2, + v2)3/2dt.
Izračunamo kvadrat velikosti hitrosti:
+ = (V čos ß)2 + (V sin ß - gt)2 = V2 - 2Vgt sin ß + g2t2 =
V2(1 - tanß + e2/ cos2 ß).
Nazadnje smo t nadomestili z x in tega s To naredimo tudi z dt dx/(Vcos ß) = (V/g)d{/ cosß in dobimo:
Au = -2gcoV-4 /(1 - 2etanß+e2/cos2ß)3/2de = -2gcoVß4/(no).
2g cos ß J0	2g cos ß
(5)
Koeficient pred integralom in z njim absolutna vrednost dela zracnega upora izrazito narascata z zacetno hitrostjo. Integral I(n0) in odvod dl/dn0 iz-racunamo s programskim paketom za simbolicno racunanje Mathematico numericno, ne da bi uporabili kak priblizek. Pri zacetni visini 0 dobimo I(n0 = 0) = 0, 5544 in (dI/dn0)no=0 = 0, 3859. Z integralom si pomagamo, ko racunamo delo zracnega upora pri zacetni visini 0, odvod pa pove, kako se to delo spreminja z zacetno visino.
Najprej si ustvarimo pregled v prvem priblizku, v katerem ne uposte-vamo zacetne visine krogle n0 = 0 in zracnega upora in je e0m = 1 in ß0 = 45°. V tem priblizku je zacetna hitrost V= y/gx0. Za navedene svetovne rekorde dobimo z g = 9, 81 m/s2 za Vpri moskih za kroglo 15,06 m/s in za kladivo 29,17 m/s ter pri zenskah za kroglo 14,90 m/s in za kladivo 27,91 m/s. Rekordi so imenitni in jih pogosto navajajo, vendar so nastali v izjemno ugodnih okoliscinah. Veckrat je bolje uporabiti podatke, ki so jih dala podrobna merjenja, ali povprecja. Že na prvi pogled vidimo, koliko je pospesitev pri metu kladiva uspesnejsa kot pri metu krogle. Razmerje zacetnih kineticnih energij, to je kvadratov zacetnih hitrosti, pri metu kladiva in metu krogle pri moskih doseze 3,75 in pri zenskah 3,51. Po tem in po rekordih tudi uvidimo, da so razmerje med masama krogel za moŽske in zenske izbrali premisljeno.
Zacetna visina metno razdaljo poveca in metni kot zmanjsa, priblizno:
e0m ^ a/1 + 2n0 ~ 1 + V0 in tan ß0 = 1 + 2^0 ~ 1 - V0
in ß0 ^ 4n - 2^0.	(6)
Prvo zvezo za e0m preprosto pojasnimo. V prvem priblizku krogla zapusti metalcevo roko pod kotom 4n in pod priblizno tem kotom pade na tla. Tako si na mestu padca krogle lahko zamislimo pravokotni trikotnik, katerega navpicna kateta y0 je enaka vodoravni kateti, za katero se podaljsa metna razdalja x0.
Pomnozimo enacbo x0 = V2/g + y0 z mg. Zveza:
mgx0 = mV2 + mgy0 = 2Wh + Wp	(7)
kaže, daje v prvem približku v tem pogledu za metalca dvakrat ugodneje, da delo vloži v kinetiCno energijo kot v potencialno. Pogosto za yo upoštevajo podatek 2,15 m. ZaCetni kot se zaradi tega zmanjša pri moških pri metu krogle za 2,7° in metu kladiva za 0,71° ter pri zenskah pri metu krogle za 3,1° in pri metu kladiva za 0,78°.
Pri uporu smo integral I (no) izraCunali, ne da bi se zatekli k priblizku. Pojavijo pa se druge negotovosti. Navadno vzamemo, da je koeficient upora konstanten in za kroglo meri nekaj veC kot 0,4 [10]. Odvisnost koeficienta upora od Reynoldsovega stevila Re = 2rpv/ß z viskoznostjo zraka ß pokaze, da je tako pri Reynoldsovih stevilih med 2 ■ 103 in 2 ■ 105 [3]. Pri nekoliko vecjem Reynoldsovem stevilu kot 2,3 ■ 105 pa koeficient precej strmo pade na 0,1 (slika 1). Koeficient upora je odvisen se od hrapavosti, a pri metih lahko vzamemo kroglo za gladko. Reynoldsovo stevilo je pri rekordih za moske pri metu krogle 1, 20 ■ 105 in pri metu kladiva 2, 33 ■ 105, pri zenskah pri metu krogle 1,20 ■ 105 in pri metu kladiva 2,23 ■ 105. Racunali smo za temperaturo 20 °C z viskoznostjo zraka 1, 802 ■ 10-5 kg/(ms) in gostoto 1,205 kg/m3 - najdemo tudi druge podatke - s premerom krogle 12 cm in s hitrostjo VPredpisi dopuscajo premer krogle od 11 cm do 13 cm, zaradi cesar je premer negotov na 18 % in presek na skoraj 40 %. Razmerje med absolutno vrednostjo dela upora in zacetno kineticno energijo |Au|/Wk meri za moske pri metu krogle 0,0136 in pri metu kladiva 0,0511 ter za zenske pri metu krogle 0,0244 in metu kladiva 0,0848. Zaradi izrazite odvisnosti upora od hitrosti sta prispevka upora pri metu kladiva precej vecja kot pri metu krogle. V prvem priblizku je domet sorazmeren s kineticno energijo:
1 mV= 2mgx0. Po tej zvezi se zaradi zracnega upora domet zmanjsa za moske pri metu krogle za 0,31 m in pri metu kladiva za 4,48 m ter za zenske pri metu krogle za 0,55 m in pri metu kladiva za 7,15 m. Medtem ko se zaradi zacetne visine domet poveca, se zaradi zracnega upora zmanjsa. Pri metu krogle ucinek zacetne visine prevlada nad ucinkom zracnega upora, pri metu kladiva pa ucinek zracnega upora nad ucinkom zacetne visine.
Prvi priblizek za odvisnost metne razdalje od zacetne visine in zracnega upora bi lahko izboljsali z iteracijo. (Bolje je govoriti o metni razdalji kot o dometu, saj ni gotovo, da je pri dani velikosti zacetne hitrosti izbrani za-cetni kot najugodnejsi). Zacetno hitrost bi pri metu krogle za malenkost zmanjsali in pri metu kladiva zvecali in ponovili racun ter se s ponavljanjem racuna poskusali priblizati dosezenim metnim razdaljam. Toda podatki, ki so jih dobili s podrobnejsim merjenjem na nekaterih pomembnih tekmovanjih, namigujejo, da bi pri metu krogle imelo tako racunanje malo smisla. Za zacetni kot pri metu krogle so dobili v povprecju 33,5° z velikim odstopanjem na obe strani [11]. Toliksnega zmanjsanja zacetnega kota na opisani nacin ne bi mogli pojasniti. Pri metu kladiva so za povprecni zacetni kot dobili 41,5° in je odstopanje manjse.
Doslej smo obravnavali prosti del meta, ko se je krogla gibala le pod
Slika 2. Tirnice po enačbi (1) z ßo = 4n, xo = 21,1 m in V = 13, 7 m/s (1), po (10a) z ßo = 38, 8°, x0 = 19, 7 m in V = 13, 2 m/s (a) ter po (10b) pri ß0 = 37, 5°, x0 = 18, 7 m in V = 12, 9 m/s (b).
vplivom teže in zračnega upora. Nismo se ozirali na pospeševalni del meta, v katerem je na kroglo deloval Se metalec. Pri tem smo privzeli, da so začetna hitrost, zacetni kot in zacetna visina neodvisni. To velja za prosti del meta, ne pa za pospesevalnega. V pospesevalnem delu je začetna visina povezana z začetnim kotom [6]:
yo = yr + b sin ß,
(8)
če je yr visina metalčevih ramen in b dolzina roke.
Izkusnje pri dviganju utezi v lezečem polozaju (anglesko: benčh pressing) so pokazale, da je zaradi zgradbe človeskega telesa sila roke odvisna od kota proti osi telesa. Največja je, ko roka deluje pravokotno na os telesa. To upostevamo pri metu krogle in privzamemo, da roka kroglo pospesuje z večjo silo v vodoravni smeri in z manjso v navpični smeri. V pomanjkanju boljsih podatkov si pomagamo s priročnim zasilnim modelom:
F = Fof (ß) s f (ß ) = 3 (2 + čos ß).	(9)
F0 bi bila sila v vodoravni smeri. Najprej privzamemo, da je kinetična energija, ki jo krogla pridobi na račun dela te sile, sorazmerna s silo, in nadomestimo:
V2 ^ V2f (ß).	(10o)
Ali je morda bolje upostevati, da se na račun dela roke poveča potenčialna energija krogle in se za pospesevanje porabi manj dela, ter nadomestiti:
V2 ^ V2f (ß) - 2gbsinß?	(10b)
Pospeševalni del meta se nadaljuje v prostem delu in določa začetno hitrost V in začetni kot ß.
Pospesevalni del se pri metu kladiva mocno razlikuje od pospesevalnega dela pri metu krogle. Najprej obravnavamo le met krogle. Pri njem v enačbi za metno razdaljo (3) upostevamo za yo (8) ter V2 nadomestimo z (10a) ali z (10b). Nova enačba za metno razdaljo je dokaj zapletena:
Xo = (V2/g)[(čos ß + 2)/3 - 5 ■ 2(gb/V2) sin ßj-
. (11)
1	L „	2(SJp^ + jg^ sinß, cos2 ß
2sin2ß W 4 sin2 2ß + ^ - {inß
Za primer (10a) vstavimo 5 = 0, za primer (10b) pa 5 = 1. Enačbe se lotimo z Mathematico s podatki V = 13, 7 m/s, yr = 1,66 m in b = 0, 8 m [6j. Izračunamo odvod (11) po začetnem kotu ß in grafično (z risanjem krivulje na vse ozjih intervalih okoli ničle) poisčemo kot ß0, pri katerem je odvod enak 0. Za primer (10a) dobimo ßo = 0,6779 = 38,8°, xo = 19, 7 m in V(2) = 13, 2 m/s ter za primer (10b) ßo = 0, 6543 = 37, 49°, Xo = 18, 7 m in V(2) = 12, 9 m/s (slika 2). Za večjo metno razdaljo mora pri tem načinu metanja metaleč doseči večjo začetno hitrost. Izida kazeta v pravo smer in se dobro ujemata z izidi iz [6j. Vendar nastavkoma (10) ne kaze preveč zaupati. Boljse rezultate si je mogoče obetati po podrobnejsih merjenjih. Na drugi strani veliki odmiki od povprečij pričajo, da vsak metaleč meče po svoje in se tudi pri istem metalču pojavijo razlike od meta do meta. Zazeleno bi bilo, da bi z računi podrobneje opisali posamične mete in metalču pomagali, da izboljsa svoj met.
Pospesevalni del pri metu kladiva bi zahteval posebno obravnavo. Metaleč kroglo pospesuje s kroznim gibanjem. Primerjava z delovanjem po-spesevalnika pa se ne zdi posrečena [1j. Pri enakomernem krozenju deluje na telo čentripetalna sila proti sredisču krozniče. Metaleč pospesi kroglo s tangentno komponento sile. Najprej metaleč kladivo zaniha in s tem da krogli majhno hitrost. Potem jo zavihti najprej v vodoravni ravnini in med tremi do stirimi vrtljaji poveča nagib ravnine proti vodoravniči. Krogla odleti, ko metaleč spusti drzaj, v smeri tangente v navpični ravnini. Pri začetnem kotu ß 41,5° je v tistem trenutku toliksen tudi kot med zičo in navpičničo. To pomeni, da je začetna visina yo pri metu kladiva manjsa kot pri metu krogle. Tik preden metaleč orodje spusti, deluje na kroglo z radialno komponento sile, ki jo očenimo z mV2/R. Pri tem je R skupna dolzina roke in ziče, ki jo očenimo na 2 m. Radialna komponenta doseze skoraj 3000 N, kar priblizno ustreza tezi 300 kg. Po mnenju nekaterih ta sila omejuje hitrost in z njo metno razdaljo. Del začetne kinetične energije krogle, ki je odvisna od začetne hitrosti, se porabi za delo proti zračnemu
uporu. Preden bi se zdelo smiselno podrobneje racunati, pa bi kazalo razci-stiti negotovost o koeficientu upora. Lahko, da v idealnih razmerah metalci kladiva dosezejo toliksno zacetno hitrost, da se koeficient upora zmanjsa od 0,4 na 0,1 (slika 1). V tem primeru je upor stirikrat manjsi in ga skoraj ni treba upostevati.
Omenimo, da poznamo v sportih se drugacno metanje, „preko podlakti", na primer pri baseballu, ko je hitrost priblizno pravokotna na podlaket [4]. Kroglo mecejo z iztegnjeno roko, suvajo. „Met" krogle smo uporabljali namesto „suvanja" krogle zaradi podobnosti z „metom" kladiva. Raziskali so tudi nekatere druge podrobnosti, na primer to, kako na metno razdaljo vpliva vrtenje Zemlje [8].
Kot zanimivost navedimo se IgNobelovo nagrado za fiziko za leto 2011. Od leta 1991 podeljujejo na univerzi Harvard IgNobelovo nagrado za deset najbolj nesmiselnih raziskovanj. Besedna igra kaze, da gre za salo na racun Nobelove nagrade. Leta 2011 so IgNobelovo nagrado za fiziko dobili Nizozemci Philippe Perrin in sodelavci za clanek Vrtoglavost pri metalcih diska zaradi vrtenja je povezana z morsko boleznijo [12]. V njem so opisali, zakaj metalci diska ob metu pogosto postanejo vrtoglavi, metalci kladiva pa ne. Metalci kladiva z nogami ostanejo na tleh, metalci diska pa poskocijo. Vrtenje lahko povzroci izgubo orientacije v prostoru in vrtoglavost, ce zgubimo stik s tlemi.
LITERATURA
[1]	R. Allain, How the hammer throw is like a particle accelerator, www.wired.com/playbook/2012/08/olympics-physics-hammer-throw/.
[2]	S. K. Bose, Maximizing the range of the shot put without calculus, Am. J. Phys. 51 (1983) 458-459; J. S. Thomsen, Maxima and minima without calculus, Am. J. Phys. 52 (1984) 881-883; M. Bace, S. Ilijic, Z. Narancic, Maximizing the range of a projectile, Eur. J. Phys. 23 (2002) 409-411.
[3]	J. M. Cimbala, Drag on spheres, www.mne.psu.edu/cimbala.
[4]	R. Cross, Physics of overarm throwing, Am. J. Phys. 72 (2004) 305-312.
[5]	R. De Luca, Shot-put kinematics, Eur. J. Phys. 26 (2005) 1031-1036.
[6]	A. Lenz in F. Rappl, The optimum angle of release in shot put, http://arxiv.org/ pdf/1007.3689.pdf.
[7]	D. L. Lichtenberg in J. G. Wills, Maximizing the range of the shot put, Am. J. Phys. 46 (1978) 546-549; C. S. Inouye, E. W. T. Chong, Maximum range of a projectile, Phys. Teach. 30 (1992) 168-169; R. A. Brown, Maximizing the range of a projectile, Phys. Teach. 30 (1992) 344-347.
[8]	F. Mizera in G. Horvath, Influence of environmerntal factors on shot put and hammer throw range, J. Biomechanics 35 (2002) 785-796.
[9]	J. Strnad, Meti, Presek 13 (1985/86) 86-91.
[10]	Drag coefficient, http://en.wikipedia.org/wiki/Drag\_coefficient.
[11]	Shot Putt, www.brianmac.co.uk/shot/; Hammer Throw. Techniques and Training, brianmac.co.uk/hammer/.
[12]	www. improbable. com/2011/09/29/ anouncin^th^201Li^_nobeLpriz^winners/.