Zbornik gozdarstva in lesarstva, Ljubljana, 37, 1991, s.117-123 
GDK561--015. 5 
Math.Subj.Qass. (1991) 41A15, 90C25 
APROKSIMACIJA RASTNIH FUNKCIJ S KUBIČNIMI ZLEPKI 
Anton CEDIT.NIK* 
Izvleček 
V članku so izpeljane formule za določanje kubičnega zlepka prvega reda z minimalnim drugim 
odvodom, ki naj ima vozle v danih točkah in mora biti naraščajoč. Zahteva po monotonosti 
privede do nelinearnega konveksnega programa, ki ga rešimo numerično. 
Ključne besede: rastna funkcija, aproksimacija, kubični zlepek, monoton zlepek, nelinearen 
program 
APPROXIMATION OF GROWfH FUNCTIONS WITH CUBIC SPUNES 
Anton CEDILNIK.* 
Abstract 
In the article we deduce the formulae for determination of the cubic spline of the first order, with 
minimal second derivative. The knots are in given points and the spline bas to increase. This 
demand leads us to a nonlinear convex program, which is solved numerically. 
Key words: growth function, approximation, cubic spline, increasing spline, nonlinear programming 
* dr., docent, Gozdarski oddelek BiotehnIBke fakultete, 61<XX> Ljubljana, Večna pot 83 
118 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 37 
Začetni in osnovni problem, s katerim se srečamo potem, ko premerimo drevesne 
letnice, je, kako dobljene podatke aproksimirati s funkcijo, na kateri se da uporabiti 
analitične metode. V navadi je, da aproksimacijo izvedemo s kako analitično (večinoma 
elementarno) funkcijo, ki seveda podatke le približno uboga, pogoste so pa tudi hude 
anomalije v prilagajanju. Tale zapis naj bi bil konstruktivna kritika tega posla. 
V (Cedilnik 1986) je izpeljana metoda, kako iz podatkov dobimo najboljšo točkovno 
aproksimacijo. Prepričani smo, da bolj grobe aproksimacije niso smiselne iz dveh 
razlogov: 
(1) obstajajo numerične metode, ki nam z določeno natančnostjo poiščejo vse zahtevane 
zaključke; 
(2) če že želimo imeti povsod definirano aproksimacijo, moremo uporabiti interpolacijo 
z zlepki. 
Tu se bomo ukvarjali z zlepki, saj numerične metode, ki jih omenjamo, nimajo prav za 
rastne funkcije nekih specifičnih mehanizmov. 
Zlepek, ki ga bomo uporabili, mora imeti po potrebi prevoje, obenem pa naj bo čim 
nižje stopnje. S tem je že odločeno, da gre za kubični zlepek. 
Nadalje bomo zahtevali, da je zvezno odvedljiv. Ta zahteva je morda pretirana, saj 
prirastna funkcija ni vselej zvezna ( občasne hude motnje v priraščanju doživi praktično 
vsako drevo), je pa skoraj povsod zvezna. Nasprotno bi zlepek brez zahteve po zvezni 
odvedljivosti ne imel skoraj v nobenem vozlu zveznega odvoda. 
Naslednja zahteva !e "pohlevnost" zlepka. To zahtevo izpolnimo z minimalnostjo 
drugega odvoda v L -normi, kar razumemo tako, da rastni pospešek ne more biti zelo 
velik, če pa je že, je le malo časa. 
Zlepek, kakršnega smo zahtevali, bi bil torej povsem običajen kubični zlepek prvega 
reda, če ne bi bilo sicer samoumevne, matematično pa zelo neprijetne zahteve, da naj bo 
monoton, torej naraščajoč. 
X Xo X, ... Xn 
y Yo Y1 .. ,yn 
Dana je tabela 1. Zanjo naj velja: 
n :::1, 
Xo < X 1 < ... < Xn , 
Yo sy1 s ... sy"' 
Tabela 1 
lščemo kubični zlepek S = { y= AI + B ;r + C;x + D; 1 i= 1,. ... ,n }, ki 
(Pl) bo šel skozi vozle (x;, y; ) (i = 1,. .. ,n), 
(P2) bo zvezno odvedljiv, 
119 
CedilnikA.: Aproksimacija rastnih funkcij s l<Llbičnimi zlepki 
(P3) bo monotona funkcija in 
(P4) bo pri izplnjenih prejšnjih pogojih imel drugi odvod minimalen v L 2 [xo, Xn]- normi. 
Najprej bomo pokazali, da obstaja kubični zlepek, ki ustreza pogojem (Pl) - (P3). 
Vnaprej naj izraz kubični polinom pomeni polinom stopnje s 3. 
LEMA 1. Za točki (xo ,Yo) in (x1, Y1) (xo < X1, Yo s Y1) obstaja kubični polinom, za 
katerega sta to stacionarni točki, na intervalu med točkama pa narašča. 
Dokaz. Naj bo y = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Za ta polinom torej velja: 
x&,1 +xfi8 +xoC +D Yo 
x1'4 +xyB +x1C +D Y1 
3x5A +2xoB +C =O 
3xi,4 +2x1B +C =O 
Izračunajmo glavno determinanto sistema: 
Xij Xfi Xo l 
3 2 
Xt X1 X1 1 4 = (x1 -xo) ~ O. 
3.xfi 2xo 1 O 
3xt 2x1 1 O 
Parametri A,B, C,D so torej enolično določeni. Iz sistema se tudi vidi, da je y ali konstanta 
ali pa polinom natančno tretje stopnje, iz česar pa potem sledi tudi monotonost na 
[xo,x1). QED 
TRDITEV 2. Vedno obstaja za tabelo 1 kubični zlepek, ki ustreza pogojem (Pl)-(P3). 
Dokaz. Trditev sledi iz leme 1, če na vsakem intervalu [xi.t,Xi] (i = lr .. ,n) naredimo v lemi 
opisano kubično interpolacijo. QED 
Najprej rešimo nalogo za primer n = 1 . 
Axg + Bx5 + Cxo + D = Yo 
Axi + BxT + Cx 1 + D = Y1 
\J X E [xo , X 1 ] : 3Ax2 + 2Bx + C ~ 0 
X1 
Pri teh pogojih naj bo s = f ( 6Ax + 2B) 2 dx minimalen. 
Xo 
Reševanje je preprosto, saj že vnaprej vemo, da je rešitev linearna: 
~ = B = 0 , C Y1 - Yo , D = Xl}'o - XQY11 L X 1 - Xo X 1 - Xo . 
120 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 37 
Odslej naj bon > 1. Natančno formulirajmo nalogo! 
Iščemo zle k 
X -Xi-1 
S = { ait3 + b/· + cit + di I t = --- E [ 0,1 ] ; i = 1, ... ,n } 
ei 
kjer smo označili 
b = Xi - Xi-t > O (i = l, ... ,n)J 
da bodo veljali pogoji (Pl ): 
~i = Yi-1 (i = 1, ... ,n) 1 
ai + bi + c; + di = Yi (i = 1, ... ,n ), 
pogoj (P2): 
1 c· 
,_ (3ai + 2b; + Ci) = _!_:!:_!_ (i = 0, ... ,n - 1: 
tei ei+I 
in pogoj (P3): 
V t E [0,1]: 3a;t2 + 2b;t + Cž ~ O (i = l, ... ,n), 
da bo izpolnjen še pogoj (P4), torej da bo minimalen izraz 
n X; 
s= I J e;-4 (6a;t + 2h;)2dx . 
i=l X;-1 
Uvedimo še eno oznako: 
t = Yi - Yi-t ~ O (i = 1, ... ,n~ 
Z enačbami (1) so eliminirane neznanke d;, z enačbami (2) pa še neznanke b;: 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
~i = .fi - a; - c; (i = 1, ... ,n) 1 (5) 
Uvedimo posebne oznake za odvode zlepka S v točkah tabele l. 
Odvod v točki (x; Yi) naj bo Zj (j = 0, ... ,n). Potem je mogoče pogoje (P2) oziroma enačbe 
(3) zapisati še drugače: 
C1 
-=zo. 
e1 
1 Ci+l . 
- (3a; + 2b; + c;) = - = z; (z = l, ... ,n - 1), 
e; e;+1 
1 
- (3an + 'lbn + Cn) = Zn . 
en 
Iz ( 6) in (7) sledi: 
fi = ežZi-1 (i = 1, ... ,n)I 
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
121 
CedilnikA.: Aproksimacija rastnih funkcij s ~bičnimi zlepki 
Iz ( 5), (7), (8) in (9) pa potem še dobimo: 
~i = e; (z;+ z;_1) - 2/; (i = 1, ... ,n] (10) 
Ostale so nam samo še neznanke z; . Poskusimo z njimi izraziti pogoje ( 4 ). če v ( 4) 
vstavimo t = O ali t = 1, dobimo: 
fo ~ o (i = o, ... ,n)I (11) 
Nato naj bo O < t < 1 in obravnavajmo i-ti pogoj iz ( 4). Vanj vstavimo (5), (9) in (10) in 
ga takole preoblikujmo: 
e;z; e;z;-1 
3e; (z; + z;_1 ) - 6/; s -1
- + -- (12) 
- t t 
Ocena (12) velja za vsak t E (0,1), torej predvsem za tisti to, za katerega je izraz na 
desni strani ocene minimalen: 
VZi-1 
to= - ' VZf + VZi-1 
pri čemer smo predpostavili, da sta z; in z;.1 različna od O. Toda prav v vseh primerih 
potem velja: 
3e; (z; + z;-1) - 6[; s e; ( vzi + vz;_1 ) 2 , 
oziroma, če uvedemo še eno oznako: 
g; = 3/;le; (i = 1, ... ,n) ,1 
velja v končni obliki: 
h + Zi-1 - vz;z;-1 .s g; (i = 1, ... ,n) ., 
Dodelajmo še izraz za s ! 
n 1 
s = 4 L e;-3 J (3a;t + b; )2 dt = 
i=l O 
= 4 L ej""3 (3af + 3a;b; + bt ) = 
= 4s• +;Lile;, 
kjer je 
• ~ 1 2 2 
s- = LJ - (z; + z;z;-1 + Zi-1 - g;z; - g;z;-1 ). 
i=l e; 
Seveda je s minimalen natanko tedaj, ko je minimalen s*. 
(13) 
(14) 
Iskanje minimuma funkcije s* v (14) ob pogojih (11) in (13) je nelinearen program. Za 
vsak i je območje, določeno z oceno (13), zaprta konveksna množica. Množica možnih 
122 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 37 
rešitev je tedaj zaprta konveksna množica, omejena zaradi tega, ker je z; S4g; /3 za i= 
1,.-,n (za dokaz vstavimo v (13): z;= 4g;/3 + w, w > O) in z; s4g;+1 /3 za i =0 , ... ,n-1 
(za dokaz vstavimo v (13): z; = 4g;+ 113 + w, w > O), ter neprazna, ker jezo= ... = Zn = O 
tudi možna rešitev. Skratka, množica možnih rešitev je neprazna konveksna kompaktna 
množica v Rn+l. Povrhu vsega pajes* zvezna in celo konveksna funkcija. Zato problem 
ni zahteven teoretično, pač pa le računsko. če neznanke z; nadomestimo z novimi: z; = 
u? ( da se v (13) znebimo korenov, ki niso povsod odvedljive funkcije), lahko napišemo 
Kuhn-Tuckerjev sistem, ki pa, kot kaže, nima preproste eksaktne rešitve. Zato poiščimo 
rešitev numerično, z iteriranjem. 
Za začetne vrednosti neznank izberimo: z0 - =zn =O, potem pa zaporedoma 
popravljajmo neznanke od O do n, pa spet od O do n ... tako, da so pogoji (13) še veljavni, 
da pa se s* čim bolj zmanjša. Izpeljava ustreznih formul ni težka, ima pa zelo veliko 
parcialnega sklepanja, zato napišimo le rezultate. Simbol z; naj pomeni prvotni približek, 
simbol z; ' pa novi pnbližek. 
Računanje zo': 
Z1 S Kl => zo' = (g1 - Z1 )/2 
z1 ~ K1 => zo' = ~ [ 2g1 - z1 - v'z1( 4g1 - 3z1 )] 
Računanje z;' (O < i < n ): 
ei+1 (g; - z;-1) + e; (gi+1 - Z;+1) 
p = ------------
2(ei+1 + e;) 
q = ! [ max { v'z;-1 - v'4g; - 3z;_1 , v'zi+l - v'4g;+1 - 3z;+1 , O}] 2 
r = ~ min{ 2g;-z;-1 + v'z;-1 ( 4g; -3z;_1) , 2g;+1 -z;+1 +v'z;+1 ( 4g;+1 -3z;+1 ) , '2p} 
p s q =>z;'= q 
p ~ q =>z/= r 
Računanje z,i': 
Zn-1 :5 gn => Zn' = (gn - Zn-1 )/2 
Zn-1 ~ Kn => Zn' = ~ [ 2gn - Zn-1 - VZn-1 (4gn - 3Zn-1 Y] 
SUMMARY 
123 
CedilnikA.: Aproksimacija rastnih funkcij s kubičnimi zlepki 
APPROXIMATION OF GROWfH FUNCTIONS WITH CUBIC SPLINES 
We have the following problem: through the given knots (whose coordinates are both 
increasing) we want to send a cubic spline, which is continuously differentiable, is 
everywhere increasing and bas L 2- minimal second derivative. We firstly show that such 
a spline exists and we express its coefficients with the values of the first derivative in the 
knots. For these values we get (because of the demand for incresing) a nonlinear convex 
program, for which we deduce an iterative numerical method of solving. 
Such a spline could be used far the interpolation of data of a growth function, if the 
errors of measurings are small. We claim that this interpolation provides a better result 
than an approximation with a questionable analitic function. 
REFERENCE 
ANSELONE,P.M., LAURENT,P.J. 1968. A general method for construction of 
interpolating or smoothing spline-functions. Numer. Math. 12 (1 ). 
BEREZIN,I.S., ŽITKOV, N.P. 1963. Numerična analiza. Naučna knjiga, Beograd. 
CANNON,M.D., CULLUM,C.D., POIAK, E. 1970. Theoiy of optimal control and 
mathematical programming. McGraw-Hill, Inc. , New York. 
CEDILNIK,A. 1986. Optimalna aproksimacija rastnih funkcij. Zb. gozd. les. Lj. 28, 5-16. 
ISAACSON,E., KELLER,N.B. 1966. Analysis of numerical methods. John Willey & 
Sons, London. 
KRčEVINAC,S., ČUPic,M., PETRic,J., NIKOLic,I., 1983. Algoritmi i programi iz 
operacionih istraživanja. Naučna knjiga, Beograd. 
PETRic,J.J. 1979. Operaciona istraživanja I. Savremena administracija, Beograd. 
PIERRE,D.A., LOWE,M.J. 1975. Mathematical Programming Via Augmented 
Lagrangians. An Introduction with Computer programs. Addison-Wesley Pubi.C., 
Inc., Reading MA.