FIZIKA
Fotografski objektivi in Scheimpflugovo nacelo
-i' •i' Peter Legiša
-> V srednji šoli pri fiziki zveste nekaj o lastnostih tanke leče z dvema sferičnima površinama. Taka leča je neobčutljiva za vrtenje okrog svoje osi, ki je zveznica središč ustreznih sfer. Zbiralna leča žarke, vzporedne z osjo leče, zbere v gorišču.
Taka leca ima dve gorišči: F1 in F2 (slika 1). Optično središče O leče leži na osi in ima lastnost, da žarki, ki gredo skozi O, ne spremenijo smeri. Go-riščna razdalja f je razdalja med goriščem in optičnim središčem. Ravnina skozi O, pravokotna na os leče, je ravnina leče. Na sliki 1 je A1 pravokotna pro-jekčija točke A na os leče. Točko A leča upodobi v točko B, katere pravokotna projekčija na os je B1. Naj bosta a = | OA11 in b = | OB11 razdalji točk A, B od ravnine leče. Enačba leče pravi, da je
1 1 _ 1
a b f'
Imejmo (ne preveliko) krožno ploščo K s središčem v točki A1, pravokotno na os leče. Leča jo upodobi na krožno ploščo L s središčem v B1, pravokotno na os leče.
Enostavna leča v praksi navadno ne daje zadovoljivih rezultatov. Snov, iz katere je leča, lomi svetlobo različnih valovnih dolžin bolj ali manj različno in je zato goriščna razdalja odvisna od valovne dolžine - temu pravimo razklon ali disperzija bele svetlobe. Ker leča ni idealno tanka, ima še druge napake. Tako je iluzorno pričakovati, da se bo snop bele svetlobe, vzporeden z osjo leče, res zbral v eni točki. Zato so že pred tremi stoletji začeli uporabljati sestave leč iz stekel z različnimi lastnostmi. Na ta način so bistveno izboljšali upodobitvene lastnosti. Že z zlepljenjem dveh primernih enostavnih leč je mogoče doseči, da ima sestav enako goriščno razdaljo za modro in za rdečo svetlobo. Takemu sestavu re-
ravnina lece
lece
SLIKA 1.
cemo akromat. Ce išcete predleco za slikanje iz bližine, vzemite akromat, ki daje neprimerno boljše rezultate od enostavne lece. V konstrukcijo večlečnih objektivov že stoletja vlagajo ogromno truda, matematičnega znanja in racunanja. Veliko sredstev gre tudi v razvoj posebnih stekel, ki, denimo, manj raz-klonijo svetlobo (gre za t. i. UD - ultra-low dispersion stekla). V zadnjem casu pa nove tehnologije omogo-cajo tudi izdelavo asferičnih lec, katerih površina se posebno na robu precej razlikuje od površine krogle. Napredek v kakovosti in zmogljivosti je velik, še posebno pri zoom objektivih s spremenljivo gorišcno razdaljo. Nove konstrukcije objektivov so potrebne tudi zato, ker je zaželeno, da svetloba na robne dele tipala ne pada prevec poševno. Zahteve so torej nekoliko drugacne kot pri slikanju na film.
Risanje poti žarkov skozi sistem lec s sfericnimi površinami, ki niso nujno tanke, je bilo pred obdobjem racunalnikov naporno. Ce pa se omejimo na t. i. priosne žarke, se pravi žarke, ki potekajo blizu osi sistema in so skoraj vzporedni osi, pa obstaja zelo lepa teorija, t. i. Gaussova ali paraksialna optika. Z uporabo 2 x 2 matrik bi jo danes lahko hitro razložili študentom drugega letnika na naravoslovnih ali tehnicnih fakultetah (vtipkajte v iskalnik Matrix me-

PRESEK 43 (2015/2016) 4
13
FIZIKA

n2 ni
						
F2		j				
	>	(s	02	0i		Fi
						
						
f
f
n ni
SLIKA 2.
SLIKA 3.
thods in paraxial optics, pa dobite vec zadetkov, recimo [1].) Omejili se bomo na primer, da je naš sestav lec v zraku. Ce bi bila recimo na eni strani voda - kot pri slikanju pod gladino - se stvari nekoliko zapletejo. Teorija (glej tudi [2], str. 41-43) nam pove, da za vsak tak fiksen sestav lec ali za vsak objektiv obstajata dve glavni ravnini n1 in n2, pravokotni na os lece (slika 2). Ti ravnini sekata os lece v glavnih točkah O1,02. Mimogrede, za objektiv v zraku se glavni tocki ujemata s t. i. vozliščema. Žarek skozi 01 izhaja iz objektiva kot žarek iz 02, vzporeden prvotnemu žarku. Sestav ima tudi dve gorišci, F1 in F2. Razdalja f = |F101| = |F202| je goriščna razdalja. Žarek, ki prihaja z desne vzporedno z osjo objektiva, je videti, kot da potuje neovirano skozi objektiv do druge glavne ravnine in se nato lomi tako, da gre skozi gorišce F2. Opozoriti moramo, da je slika 2 shematična: žarki niso priosni in dejanske poti žarkov znotraj objektiva so mnogo bolj zapletene od narisanih. Ce na sliki 2 vzporedno premaknemo desni del slike, tako da 0i preide v 02, dobimo obicajen diagram za tanko leco. Torej na sliki 3 za upodabljanje s sestavom lec velja še zmeraj enacba
i i - 1
a b f'
le da je a razdalja med tocko A in n1, število b pa je razdalja med sliko B tocke A in ravnino n2.
Povejmo, da sta glavni ravnini lahko tudi zunaj objektiva. To je še posebno znacilno za teleobjektive, ki so fizicno krajši od svoje gorišcne razdalje. Pri njih sta glavni ravnini pred objektivom. Pogosto sta glavni tocki blizu skupaj in tako sestav upodablja skoraj tako kot tanka leca.
Ce slikamo zelo zelo oddaljen objekt, je v enacbi
a ogromen, zato je 1 /a praktično 0 in tako b = f. Slika neskončno oddaljene točke tako nastane v go-riščni ravnini, ki vsebuje gorišče in je pravokotna na os. Pri fotoaparatu bo v tem primeru zadnje gorišče objektiva na tipalu. Ce pa slikamo točke, ki so nam bliže, je a manjši, zato je 1 /a večji in torej 1/b manjši, torej je b večji od f. Da bo na tipalu nastala ostra slika, moramo klasični objektiv nekoliko odmakniti od tipala.
Denimo, da slikamo tla v dolgi dvorani, ne moremo pa doseči, da bi bil senzor vzporeden tlom. Izostrimo nekam na sredino. Potem se bodo teoretično povsem ostro upodobile le točke na tej razdalji, praktično pa - saj ostrino slike omejuje velikost pikslov na tipalu - vse točke na nekem pasu okrog te razdalje. Govorimo o globinski ostrini. O tem sem pred leti pisal v Preseku [3]. (Clanek je prosto dostopen na spletu in je še zmeraj aktualen, le da je -če je naš kriterij ostrina pri 100- odstotnem pogledu na zaslonu - za največji dovoljeni premer razmazanega krožča treba vzeti dve dolžini piksla na tipalu.) Pas globinske ostrine lahko razširimo, če zapremo zaslonko. Ce pa preveč zapremo zaslonko, zaradi uklona trpi čelotna ostrina slike. Zato imajo, rečimo, aparati z majhnim tipalom (velikosti nohta) navadno zaslonsko število največ 8, pa že tu je slika prečej degradirana.
Že pred več kot sto leti sta frančoski fotograf Car-pentier in avstrijski častnik Sčheimpflug odkrila, da z nagibanjem objektiva glede na ravnino filma (tipala) lahko včasih dosežemo, da so na sliki - ne glede na zaslonko - ostra čelotna tla dvorane. Take nagibe objektiva s takratno opremo ni bilo težko doseči. Film (ali plošča) je bil v veliki leseni škatli, med objektivom in škatlo pa je bil gibljiv meh. Z nekaj
b
a
14
PRESEK 43 (2015/2016) 4	14
FIZIKA
preproste mehanike je bilo mogoče doseči nagibanje in druge premike objektiva. Tudi sam imam zelo kakovostno sliko iz prvega razreda osnovne šole, ki je bila narejena okrog leta 1957 s tako škatlo, ki pa ni imela možnosti nagibanja objektiva.
Scheimpflugovo načelo za slikanje ravninskega predmeta pravi: če se ravnina predmeta, zadnja glavna ravnina objektiva in ravnina tipala sekajo v isti premici, lahko ravnino predmeta v celoti ostro upodobimo na tipalu.
ravnina tipala
ravnina leče
A
SLIKA 4.
|EO| _ |PA| f a
od koder je
1 = |EO| a f |PA| ■
Podobna sta tudi pravokotna trikotnika PEE1 in PBB1. Zato je
|PE| |PB|
f
Od tod je
b
1 = |PE| b f W
Ker je EN || PA, je
|eo| _ \m
|PA| ^
EB
Zato je
1 _ ___
a = jiPBi■
Od tod je
1
1 1 _
a + b = f |PB|
|EB| + |PE|) =
rk1PB | =1
Dokažimo to. Na sliki 4 imamo narisano situacijo za primer enostavne lece. (Dokaz za sestavljen objektiv je praktično enak.) Omenjene tri ravnine se sekajo v premici, ki se na sliki projicira v tocko P. Privzemimo, da smo izostrili tako, da je zelo zelo (neskoncno) oddaljena tocka N v ravnini predmeta ostro upodobljena na tipalu. Žarek iz N skozi optično središče O je (praktično) vzporeden z ravnino predmeta in seka tipalo v tocki E, ki je slika tocke N. Tocka E je seveda za f oddaljena od ravnine lece. Zato na sliki 4 velja |EE11 = f.
Naj bo A poljubna nadaljnja tocka v ravnini predmeta, za a = AA-i^ | oddaljena od ravnine leče. Žarek iz A skozi O seka tipalo v točki B, ki je za b = |BB11 oddaljena od ravnine leče.
Na sliki 4 imamo dva podobna pravokotna trikotnika s kotom a. Zato je
Torej je točka B res ostra slika točke A na tipalu.
Objektiv lahko nagibajo nekatere profesionalne kamere velikega formata (na film), ki imajo še zmeraj meh med telesom kamere in objektivom. Take kamere so seveda danes že redkost. Za mnoge aparate z izmenljivo optiko obstajajo posebni objektivi, ki omogočajo nagib vse do kakih 6,5-8,5 stopinj. (Angleška beseda za nagib je tilt in to najdemo v njihovih opisih.) Takih objektivov ni veliko in so dragi. Ostrimo lahko le ročno. Večinoma jih uporabljajo na stojalu in za nastavitve si je potrebno vzeti čas. Ko slikajo tla v dvorani ali pogrnjeno mizo, objektiv nagnejo navzdol in tako povečajo območje globinske ostrine. V idealnem primeru, ko je izpolnjeno Sčheimpflugovo načelo, je ostro vse. Ce naredijo nasprotno - objektiv nagnejo navzgor - se bo območje globinske ostrine zmanjšalo in oster bo le ozek pas. To je uporabno v umetniške namene. Vse to seveda velja, če slikajo ravninski objekt. Ce so, rečimo, na pogrnjeni mizi visoki objekti, bo zelo težko ali nemogoče izostriti vse.
18
(T3__
> SH
.cn ro
T3 ul (T3 (T3

P
PRESEK 43 (2015/2016) 4
15
FIZIKA
15
T3 4-> ro ^
Objektivi, ki omogočajo nagib, navadno omogočajo tudi premik (shift) vzporedno senzorju. O tem kdaj drugič. Z običajnimi objektivi nagibov in premikov - vsaj na kamerah polnega formata - večinoma ni mogoče doseči, saj slika, ki jo naredijo, komajda pokrije vogale tipala. Ob nagibu ali premiku bi bil del slike črn. Omenjeni tilt-shift objektivi naredijo sliko, ki je prečej večja od tipala, tako da imajo potrebne rezerve za pomike.
Literatura
[1]	University of New Mexičo, Lečture notes, Chapter 18, Matrix Methods in Paraxial Optics, http://physi cs.unm.edu/Courses/Thomas/ Phys463fa11/Ch18. pdf, ogled 3. 11. 2015.
[2]	S. F. Ray, Applied photographic optics, Sečond ed., Fočal Press, Oxford 1995, 452-454.
[3]	P. Legiša, Fotografija in matematika, 3. del - globinska ostrina, Presek25, 1998, 194-201. http: //www.presek.si/2 5/1340-Legi sa.pdf
_ XXX
Razmisli in poskusi
Mitja Rosina
60. Perkolacija
Zgled za perkolacijo (pronicanje) je povezava med elektrodama preko prevodnih kroglic.
Naloga. V kvadratno škatlo nasuj na dno slučajno mešanico kovinskih in steklenih kroglic. Zloži jih v pravokotno mrežo tako, daje dno ravno napolnjeno. Na nasprotni ploskvi škatle daj kovinski plošci in ju zveži preko baterije in žarnice tako, da bo žarnica svetila, ce množica kroglic prevaja (ce so kovinske kroglice sklenjene v verigo).
Verjetnost za perkolacijo je odvisna od razmerja p med številom prevodnih in neprevodnih kroglic.
SLIKA 1.
Ali sistem perkolira? (Modre kroglice so prevodne)
Poskus ponovi veckrat, tudi z razlicnimi razmerji, vsakic dobro premešaj. Za vsak p zapiši število per-koliranih razporeditev Nper(p) in število vseh razo-reditev Nvsi(p). Nariši diagram
■ w(p) = Nper (p) /Nvsi (p),
kolikokrat pri danem razmerju p sistem perkolira.
Smiselno je vzeti vsaj 10 x 10 = 100 kroglic in škatlo s stranico 10 premerov kroglic. Za neenako razmerje potrebuješ seveda vec kot 50 vsakih kroglic. Za »ogrevanje« smeš seveda vzeti tudi manj kroglic v manjši škatli. Ce si dober v racunalništvu, lahko poskus simuliraš z racunalnikom.
Poskus lahko ponoviš še za gosto (trigonalno) mrežo kroglic, pri kateri ima vsaka kroglica 6 sosedov.
Primerjaj diagrama w(p) za pravokotno in trigo-nalno mrežo. Zanimiva je zlasti kriticna vrednost pc, pri kateri naraste w(p) razmeroma hitro od 0 proti 1.
To je bil dvodimenzionalni model. Trodimenzio-nalni model, pri katerem bi nasuli kroglice v vec plasteh, je mnogo zahtevnejši.
Zanimiv zgled so gozdni požari. Ce so drevesa dovolj na redko, se požar nekje ustavi (ne perkolira), ce so na gosto, pa zajame ves gozd. _ XXX
18
PRESEK 43 (2015/2016) 4	18