i i “1605-Bajc-Elipsa” — 2010/8/31 — 12:46 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 32 (2004/2005) Številka 6 Strani 5–6 Drago Bajc: ELIPSA V TRIKOTNIKU Ključne besede: matematika, ravninska geometrija, trikotnik, včrtana elipsa. Elektronska verzija: http://www.presek.si/32/1605-Bajc.pdf c© 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez po- prejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. 5 1. MATEMATIKA Elipsa v trikotniku Ali trikotniku lahko včrtamo elipso? Prav gotovo. Vsakokrat, ko včrtamo trikotni- Za zelo poseben trikotnik, enakostranični trikot- nik, rešitev obstaja, saj se posebna elipsa – krog, včrtan enakostraničnemu trikotniku, dotika stra- nic prav v njihovih razpoloviščih. Kako lepo bi bilo, če bi mogli to sliko preoblikovati, transformirati tako, da bi iz enakostraničnega trikotnika nastal drug trikotnik, in to poljubno vnaprej izbran, pri čemer bi razpolovišča stranic postala razpoloviš- ča novih stranic in bi dotikajoči se krog postal do- tikajoča se elipsa. Nekaj preslikav (transformacij) v ravnini pozna- mo. Na sliki 1 sta prikazana premik (translacija) x '=x+3 y '=y+4 in zrcaljenje x '= –x y '=y, na sliki 2 pa zasuk ali rotacija x '=0.6 .x– 0.8 .y y '=0.8 .x+0.6 .y. In končno nam slika 3 ponazarja razteg x '=3x y '=3y. Vse te preslikave so zanimive, naše naloge pa ne morejo rešiti, saj se koti pri vseh ohranjajo (pri prvih treh preslikavah se ohranjajo tudi razdalje), ku krog (in to je vedno mogoče), včrtamo že tudi elipso, saj je krog ven- dar poseben primer elipse. Zato moramo vprašanje zasukati drugače. Recimo takole: koliko elips lahko včrtamo danemu trikotniku? Glede na to, da ima elipsa dve poljubno dolgi osi, krog pa samo en polmer, slutimo, da je rešitev neskončno. S tem se ne bomo obremenjevali, pač pa bomo od elipse včrtane trikotniku, zahtevali, da izpolni še en pogoj, in sicer tega, da se dotika treh trikotnikovih stranic v njihovih razpo- loviščih. Naloga je s tem postala dovolj težka, da je tudi zanimiva. Pa je za poljuben trikotnik rešljiva? In je rešitev, če obstaja, ena sama? Slika 1. Slika 2. A x y x y Presek 6-revija-7.indd 5 17.5.2005 11:15:55 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 3395 CVC PANTONE 312 CVC PANTONE 346 CVC 6 mi pa moramo na splošno kot spreme- niti. Namig iz naštetih preslikav pa le dobimo. Vse so namreč linearne trans- formacije (vse črke spremenljivk so prve stopnje), skratka oblike: x '=ax+by+c y '=dx+ey+f. (1) Tako je za premik a=1, b=0, c=3, d=0, e=1, f=4. Kar pa je s tem v zvezi najvažnejše, prej naštete trans- Po deljenju nam to da x '/y '=konst., kar je seveda enačba premice. Bra- lec je naprošen, da dokaže, da se tudi splošnejša premica y=mx+n preslika v premico. In prav tako premica x=k, ki ni zajeta v tej zadnji enačbi. Razpolovišče (2,0) se tudi preslika v razpolovišče (2,0) in isto velja za osta- li dve razpolovišči (1,√–3) in (3,√–3), ki se preslikata v razpolovišči (1.5, 1.5) in (3.5, 1.5). Oboje naj bralec preveri sam. V kaj se preslika krog, katerega enač- ba je (x–2)2+(y – )2= 43 ? (3) Dovolj je izraziti x in y z x' in y' ter vstaviti v (3), pa dobimo iskano enač- bo. Ta je (x '– 13 y '–2) 2+( y '– )2=43 . Enačba je, čeprav je nismo niti preure- dili, očitno druge stopnje, zato je stož- nica. Ta ne more biti krog, ker sta ko- eficienta pri x '2 in y '2 različna. Pa tudi hiperbola ali parabola ne, ker iz konč- nih točk (x,y) lahko iz enačb (2) do- bimo le končne točke (x ',y '), hiperbola in parabola pa imata tudi točke, ki so poljubno, neskončno daleč. Preostaja le elipsa, tista elipsa, ki smo jo iskali (slika 5). Ker smo tako pri računanju koeficientov kot povsod drugje dobili eno samo rešitev, je tudi dobljena elip- sa edina z zahtevanimi lastnostmi. Na- loga je torej popolnoma rešena. Pripis. V enačbah (1) so koeficienti a,...,f poljubna realna števila z edino izjemo: ae – bd ne sme biti enako 0. Če se to zgodi, enačbi (1) preslikata celo ravnino v premico. Govorimo o izrojeni linearni transformaciji. Drago Bajc MATEMATIKA Slika 3. Slika 4. formacije ne izčrpajo vseh možnosti, ki jih posplošitev enačbe (1) nudi (že primer x '=x in y '=3y je nekaj, česar omenjene štiri transformacije ne krije- jo: ni premik ne zrcaljenje ne zasuk ne razteg). Ostalo nam je torej še nekaj manevrskega prostora. Bo ta dovolj ve- lik za to, kar želimo doseči? Kaj bi bilo sedaj treba storiti? Vzeti bi morali tri oglišča trikotnika v poljubni legi, podana v koordinatnem sistemu s tremi pari števil, dalje tri oglišča ena- kostraničnega trikotnika, nato doka- zati, da se stranice enakostraničnega trikotnika preslikajo v stranice prvega trikotnika, da se enako zgodi z razpo- lovišči stranic, ki naj se tudi znajdejo v razpoloviščih stranic in da pri tem krog postane elipsa. Vse to za primerne ko- eficiente a,...,f iz enačbe (1). Pravimo »bi«, saj bomo za oglišča vzeli konkret- ne številske vrednosti. Bralcu bo tako lažje, vseeno pa naj bi – tako upamo – uvideli, kako bi potekal postopek tudi v splošnem primeru. Naj bo torej dan trikotnik z oglišči v točkah (0,0), (4,0) in (3,3). Ob njem narišimo (slika 4) še enakostranični trikotnik z oglišči v točkah (0,0), (4,0) in (2,2√–3) z včrtanim krogom. Ker ho- čemo s preslikavo doseči (0,0) –›(0,0), (4,0) –›(4,0) in (2,2√–3)–›(3,3), nam vstavljanje v enačbo (1) podari vseh šest koeficientov a,...,f, pri čemer transformacija (1) postane x '=x+√–3/6 y y '=√–3/2 y, (2) Bralec naj to izpelje ali vsaj naredi pre- izkus! Dokažimo, da transformacija (2) preslika premice v premice. V kaj se na primer preslika premica y=mx (m=konst.)? Vstavimo v (2) in dobimo x '=(1+√–3/6 m)x y '=√–3/2 mx. Slika 5. x y x y x y Presek 6-revija-7.indd 6 17.5.2005 11:15:56 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 3395 CVC PANTONE 312 CVC PANTONE 346 CVC