PREPROST MODEL PREOBLIKOVANJA UDORNIC (Z 3 SLIKAMI IN 2 PRILOGAMA) A SIMPLE MODEL OF TRE COLLAPSE DOLINES TRANSFORMATION (WITH 3 FIGURES AND 2 ANNEXES) FRANCE ŠUŠTERšIC SPREJETO NA SEJI RAZREDA ZA NARAVOSLOVNE VEDE SLOVENSKE AKADEMIJE ZN AN OSTI IN UMETNOSTI DNE 5. JUNIJA 1984 Vsebina Izvleček - Abstract . . . . . UVOD PROSTORSKA PREDSTAVITEV UDORNIC DEFINICIJA UDORNICE .. . ENAČBA PLASčNICE ... . PRAKTIČNA UPORABA ENAČBE PLAšCNICE. SKLEP ................ . LITERATURA ............. . A SIMPLE MODEL OF THE COLLAPSE DOLINES TRANSFORMATION (Summary) ........................ . Naslov - Address FRANCE SUSTERSIC, dipl. ing. geol., asistent Inštitut za raziskovanje krasa ZRC SAZU Titov trg 2 66230 Postojna Jugoslavija 109 ( 3) 109 ( 3) 112 ( 6) 118 (12) 121 (15) 125 (19) 128 (22) 129 (23) 131 (25) Acta carsologica XII (1983), 107-138, Ljubljana, 1984 Izvleček UDK 551.44:513.768 Šušteršič France: Preprost model preoblikovanja udornic. Avtor predstavlja matematični model preoblikovanja udornic, kjer je edini pro- ces regresija pobočij . .- Najprej razvija merske parametre, ki nam podajo velikost in starostno stopnjo udornic. Ugotavlja, da jih potrebujemo pet. V nadaljnjem ute- melji podrobnejšo formalno klasifikacijo udornic, nato pa izpelje enačbo ;plašča, to je živoskalnih pobočij, pokopanih pod melišči. Ugotavlja, da je oblika plašča edini kazalec zgodovine udornic. V zadnjem delu uporablja prej razvite enačbe za prak- tične izračune, ki jih zahteva vsakodnevno speleološko delo. Abstract UDC 551.44:513.768 Sušteršič France: A simple model of the collapse dolines transformation. The author exposes a mathematical model of the collapse dolines transfor- mation, if slope regression is the only active process. Firstly he develops; the mea- suring parametres, needed to determine the dolines size, age and shape. He states that five parametres are crucial. As well he uses them to construct' a more precised formal collapse dolines classification. The central point of the paper' is the envelop (solid rock slopes buried under the scree) equation development. He states that the envelop is the only doline history estimator. In the last part the equations de- veloped are used to some practical calculations, needed in every day speleology. UVOD Pričujoča razprava v marsičem temelji na mojih dosedanjih proučevanjih udornih pojavov v krasu (F. šušte r š i č, 1968, 1973, 1974), vendar ni nji- hovo neposredno inadaljevanje. Na tem mestu skušam predvsem ugotoviti, kakšna je idealna oblika plašča, to je živoskalne ploskve, v katere se ostenja nadaljujejo pod melišči. Plašč je pri proučevanju centričnih kraških !globeli posebnega pomena. Na njem je dobesedno zapisana zgodovina, medtem ko so melišča in ostenja kazalec, kje v svoji zgodovini se trenutno nahaja udornica, ki jo opazujemo. Ker gre za pionirsko delo, se p03lužujem čim enostavnejšega geometrij- skega modela, prirejenega doslej zbranemu znanju o udornicah - pač v želji, da ostane tudi rezultat čim preglednejši. To pomeni, da bodo nadaljnja pro- učevanja privedla do zapletenejših modelov. Ti bodo bolj prilagojeni podrobno- stim, ki jih bodo razkrile nadaljnje terenske meritve, le osnovno načelo bo osfa- lo nedotaknjeno. Zato moramo praktične postopke, razvite v zadnjem poglavju, razumeti kot izračunavanje teoretskih približkov, ki se stanju v naravi prila- gajajo pač toliko, kolikor se z njim sklada uporabljeni model. Vsebina razprave je dovolj enovita, da bralcu prej navedenih člankov ni potrebno poznati. Pač pa zahtevata sama narava problema in izbrana pot pro- učevanja (matematično modeliranje), da vsaj približno pozna načela višje ma- tematike, kot se predava na naših tehniških fakultetah (I. Vida v, 1975, 1976/a, 1976/b). Delo je tako predvsem teoretično. Izpeljal sem enačbo plašč.fl oz. njegovega preseka z navpično ravnino, to je plaščnice. Odtod sem izpeljal več praktično uporabnih obrazcev, npr. enačbo sprememb prostornine po polmeru in enačbo največjega možnega polmera. Prav tako sem razčistil nekatere podrobnosti pri 109 Acta carsologica XII, 1983 (1984) preslikovanju realnih udornic, tako da je izenačevanje merjenih in modelnih parametrov kolikor se da utemeljeno. Matematično modeliranje zahteva tudi geomorfološko čista in jasna izho- dišča. Med zaprtimi kraškimi globelmi srednjih velikosti daleč prevladujejo vrtače in udornice, ki se od globeli večjih izmer razlikujejo predvsem po svoji centričnosti. To pomeni, da skuša razvoj njihovih pobočij uravnotežiti točkovno motnjo v površju, ki je nastala s točkovno ojačanim odhajanjem mase v glo- bino. V čistem krasu (F. šušte r š i č, 1982) sploh vsa masa odhaja navpično,. centrične kraške globeli pa nastajajo na mestih, kjer je ta proces glede na okolico sorazmerno močnejši. Procesa pospešenega odnašanja mase naj bi bila po dosedanjem znanju (H. C rame r, 1941, C. d' Ambro si, 1961) v primerih vrtač in udornic različna in to je tudi izhodišče za njihovo vsebinsko razliko- vanje. Zlasti je to nazorno v zahodnoevropskih terminologijah. Anglosasi npr. ločujejo »solution dolines« (=· vrtače) od »collapse dolines« (= udornice). Dokler traja kraško odstranjevanje mase, o centričnih kraških globelih tež- ko govorimo kot o površinskih pojavih. Dosti bolje zadenemo, če jih imamo za površinske projekcije podzemskega zakrasevanja. V času pa, ko se ta proces ustavi in se skušajo uravnotežiti dotlej le pogojno stabilna pobočja, ne da bi odhajalo v globino kaj več mase, gre nedvomno za povsem površinske procese, ki pa niso kraški. V nadaljnjem se posvečam tisti razvojni fazi, ko oblikujejo kraško globel le še površinski procesi in se mase premeščajo, ne da bi odhajale v globino; torej tedaj, ko je globel v celoti površinski pojav. Zato se da večino ugotovitev uporabiti tako pri proučevanju udornic, kot pri proučevanju vrtač. Vendar pa tako izključujemo poprejšnje dogajanje. Uporaba izključno termina »udornica« v nadaljnjem besedilu torej ni povsem utemeljena. Novega, ustreznejšega izra- zoslovja nisem uvajal predvsem zato, da bi ne rušil enotnosti s predhodnimi deli, pa tudi zato, ker so proučevani procesi pri udornicah dosti bolj opazni, kot pri vrtačah. Brez pomena tudi ni dejstvo, da prihaja v terminologiji do drugačnih vse- binskih premikov. Kraške terminologije (npr. I. Gam s et al., 1973, 29) se pri opisih gesel pravzaprav strinjajo, da našemu izrazu »udornica« ustreza anglo- saški izraz »collapse doline«. (Vsebinsko enako tudi M. M. S w e e ti n g, 1972, 64-65). Boljši poznavalci vsakdanjega angleškega jezika so pač opazili, da naši »udornici<< bolj pritiče angleški pogovorni izraz »shake hole«, vendar ga stro- kovne terminologije večinoma odsvetujejo. še manj so zadeve čiste v sami literaturi. že od P. La v a 11 o vi h (1967, 1968) del, preko del H. M c. Con- ne 11 a in J. M. Horna (1972) lahko zaznamo težnjo, da bi izrazu »collapse doline« priredili pomen naših »aluvialnih vrtač« ali »grezov««. V najnovejših delih (P h. K e mm er 1 y, S. K. To w e, 1978, P h. R. K e mm er 1 y, 1980) pa je to zapisano že eksplicitno. Očitno je definicija prešla z dogajanja v ma- tični kamnini na dogajanje v krovnini - ali pa je to veljalo že od nekdaj in smo se ves čas napak razumeli. Uvajanje nadaljnjih terminoloških sprememb v takem trenutku, bi po mojem mnenju predvsem povečalo zmedo, četudi bi bilo morda teoretično upravičeno. Zato so tudi vprašanja identifikacije kolikor mogoče, potisnjena na stranski tir. Ugotovitve ustrezajo pač pojavom, za katere veljajo postavljena 110 France Sušteršič, Preprost model preobililrovanja udolrn:ic OBOO - PERIMETER ~-------L _____ .---- STENE -WALLS .. t.E-....;;....,-----PLASC·ENVELOP Sl. l. Uporabljena terminologija o podrobnostih v udornicah Fig. l. The terminology about the collapse dolines details used FŠ izhodišča. Ukvarjamo se torej s centričnimi · globelmi, katerih stene se kruši- jo, nikakor pa ne plazijo ali podirajo v večjih blokih. Ob enem pa se moramo zavedati, da nas zanima oblikovanje živoskalnega plašča v času, ko odvajanja mase skozi žrelo ni več. Vprašanju terminologije in identifikacije je blizu vprašanje, kakšne koli- čine uporabljam pri nadaljnjem razmišljanju. Logično jih lahko razdelimo v tri skupine. V prvo spadajo vse tiste, ki jih merimo na udornicah v naravi, oz. jih izpeljemo neposredno iz merskih podatkov. V nadaljnjem jih oprede- ljujem s pridevnikoma »merski« ali »izmerjen«. Skladne so jim količine, s katerimi opisujemo matematični model udornice. Ker je ta model geometrijsko pravilen, izhaja iz te pravilnosti še nekaj dodat- nih parametrov, ki jih lahko definiramo samo na modelu. Vse te količine za- znamujem v nadaljnjem besedilu s pridevnikom »modelni«. Pri preračunava­ nju resničnih udornic izenačimo ustrezne izmerjene in modelne količine. Pri čisto teoretskih razglabljanjih uporabljam brezdimenzionalne parame- tre, ki se v tehniški praksi zaradi svoje enostavnosti uporabljajo v vse večjem obsegu. Ker jih dobimo z normiranjem modelnih količin, jih imenujem »nor-- mirane«, včasih tudi »brezdimenzionalne«. 111 6 Acta carsolog:ica XII, 1983 (1984) Razprava je razdeljena v štiri poglavja. V prvem uvajam nekoliko pri- kladnejši način zapisa neposrednih merskih podatkov o udornici, oz. njeni prostorski predstavitvi. Podani so tudi količinski odnosi med merskimi podatki in uporabljenim modelom. V naslednjem poglavju uporabljam nekatere prej uvedene prijeme, da bi tako podrobneje definiral globeli, povezane z udiranjem in podiranjem kraških votlin. Tretje poglavje je posvečeno podrobni geome- trijski obdelavi najenostavnejšega modela udornice, oz. izpeljavi enačbe plašča. Zadnje poglavje je posvečeno praktični uporabi izpeljanih obrazcev. Da bi bila ta čim učinkovitejša, je večina preračunavanj skrčena na uporabo štirih osnov- nih operacij, za reševanje zapletenejših enačb pa so rešitve izračunane na dia- gramih. Tako uporabniku niti ni potrebno posebno matematično predznanje. Dovolj je, da sledi navodilom, ki jih ilustrirajo primeri z našega krasa. Podrobna terminologija, ki jo uporabljam pri opisovanju udornic, temelji na oni, ki sem jo razvil že prej (F. š u š ter š i č, 1974). Da pa ne bo potrebno listati po stari literaturi, je na sliki l. povzeto vse, kar je potrebno vedeti za razumevanje naslednjega besedila. PROSTORSKA PREDSTAVITEV UDORNIC Prostorsko oblikovitost geomorfnih pojavov, torej njihovo geometrijo, za- beležimo tako, da izmerimo linearne koordinate točk, ki smo jih spoznali za informativno pomembne. Običajno uporabljamo Gauss-Kriigerjev koordinatni sistem. Tako dobimo tabelo številk, iz katere moramo šele izluščiti tiste para- metre, ki kot spremenljivke vstopajo v različne enačbe. Pri izboru teh parametrov, moramo upoštevati dve temeljni zahtevi. Biti morajo enolično določljivi in biti morajo stabilni. Prva zahteva ne potrebuje posebnih pojasnil. Po danem predpisu, ki naj bo po možnosti čim enostavnejši, moramo pri zaporednih merjenjih iste udornice vedno dobiti enak rezultat. To je pri kontroliranih, laboratorijskih razmerah samoumevno, v naravi pa nam včasih zadaja precej preglavic. Druga zahteva, stabilnost, pa pomeni, da mora biti izbrani parameter so- razmerno neobčutljiv za slučajne motnje. Prav tu geomorfologi največkrat gre- šijo, saj se vse preradi naslanjajo na t. i. ekstremne vrednosti (I. S. E v a n s, 1972, 20), ki so lahko določljive, a žal najbolj nestabilne. Končno se moramo spomniti še na trivialno zahtevo, da parametrov, ki z morfologijo udornic niso povezani, pač ne bomo uporabljali. To vsekakor ne zahteva nadaljnjih pojasnil. V nadaljnji razpravi se opiram na pet osnovnih parametrov. Koeficient razrahljivosti in stabilnostni kot melišč pojasnjujeta že sama termina. Njuni vrednosti moramo ugotoviti eksperimentalno. Težišče prostora med mejnimi ploskvami (pobočji) je s svojimi koordinatami nosilec položaja udornice v pro- storu. Iz prostornine izvajam tudi velikostni modul, s katerim množimo brez- dimenzionalne enačbe, da dobimo praktično uporabne količine. Delež sten, ki nam že intuitivno služi kot merilo starosti udornic, pa uporabljam, da dobim osnovna razmerja tudi na modelu. Ta parameter, pri katerem gre za razmerje med površino sten in melišč, je tudi izhodišče za izpeljavo enačbe plašča, za katerega smo že zapisali, da je pravzaprav zapis zgodovine udornice. Pri površinskih razmerjih se takoj srečamo z vprašanjem, kako jih čim bolje izmeriti. To vsekakor ni težko, kadar imamo opraviti s teoretičnimi mo- 112 France Šušteršič, Preprost model preoblikovanja udornic ' deli, katerih ploskve so po definiciji zvezne in gladke. S primernim številom merskih točk lahko vedno izračunamo dovolj natančen približek površine. Plo- skve v naravi pa so že na pogled vegaste; s podrobnejšimi meritvami pa brž ugotovimo, da so fraktali (v smislu B. B. Man de 1 b r o ta,. 1977) - da sicer objemajo končno prostornino, a imajo neskončno površino. Tem nevšečnostim se izognemo, če ploskve udornice projiciramo na zvezno in gladko ploskev, npr. polkroglo, in jim merimo površino v projekciji. Spoj- nice posameznih točk postanejo glavni krogelni krogi, površine med temi ogra- jami pa izračunamo po običajnih postopkih sferične trigonometrije. Projekcijo na polkroglo brez težav obvladamo tudi grafično. Ce jo preslikamo dalje v ravnino s pomočjo Lambertove projekcije (F. šušte r š i č, 1973), se ploščin­ ska razmerja ohranijo. Stranice posameznih ploskvev tedaj enostavno zrišemo s pomočjo Schmidtove mreže (M. D. Dimitrij e vic, R. S. Petro vic, 1965, 8). Neposredno projeciranje na polkroglo je enostavno, a vnaša v račun ne- koliko nenatančnosti, kadar udornica ni povsem okrogla. Ce je tloris nekoliko izraziteje spotegnjen, projekcijski žarki skozi točke, ki so bliže krajiščem naj- daljše osi, ne prebadajo ploskev več pravokotno, temveč poševno, kar sliko v projekciji pači. Zato je koristno, da tloris udornice najprej preslikamo tako, da je v projekciji čim bolj izometričen, šele nato pa projiciramo dalje na polkroglo. Da to dosežemo, uporabimo lastnosti lastnih vektorjev variančno-kovari­ ančne matrike (J. C. Davi s, 1973, 152-168; 478-500). Preko tlorisa udornice položimo primerno gost, enakomeren točkovni raster (sl. 2, 1/a). Vsaka t::Jčka je določena s koordinatnim parom X;, y;. Izračunamo jim poprečne vrednosti (težišče tlorisa) (x, Y), varianci (Sxx, Syy) in t kovarianco (S:,:y): N S __ ,_I "," xx N L.. (x;-x)2 i = 1 N N y=: L Yt i = 1 N Syy o= ~ L (Y; - y)2 i = 1 S =, _I ' (x;-x) (Y;-y-) xY N L i= 1 (1, 2) (3, 4) (5) nato pa sestavimo variančno-kovariančno matriko (C) (F. P. A g t e r b e r g, 1974, 126): Lastni vrednosti A.1 in ).2 izračunamo iz enačbe: [C-UJ = O 113 (6) (7) a y 2 a n S lO l2 lB 3 a s ---1~ l,G qs to 1,5 2.0 5 z a 1 i--------- i i i i i ro g !J. X SL 2. - Fig. 2. 114 b 4 b Acta carsologica XII, 1983 (1984} 1 i 1 1 A B C C ·---------4--------------"'--,~-~ 1 i i ~1---- 1 1 ------ -- -;--- ---_-,,__--'----"-rtgot./1. b 60: z 1 1 dx 1 -!---------- i 1 h ro ho no X IZRK ZRC SAZU 1984 France Šušteršič, Preprost model preoblikovanja uoornic Iz znanih lastnih vrednosti izračunamo še lastna vektorja X1, X2: [C-).J] X= O 9 (8) Absolutni vrednosti obeh lastnih vektorjev sta daljša in krajša os elipse, ki se najbolj prilega množici točk, ki jih v tlorisu zaobjema ubod udornice, lastni vrednosti pa smerna koeficienta obeh osi. Postavimo koordinatni sistem tako, da se nova abscisa krije z daljšo osjo elipse, kordinatno izhodišče pa premaknimo v težišče tlorisa! Kot med absciso v Gauss-Krilgerjevem koordi- natnem sistemu in daljšo osjo elipse (q>) je podan v prvo lastno vrednostjo matrike C in velja: q> = arctg A.1 (9) 1Jfl Odtod lahko takoj dobimo obrazca za transformiranje koordinat (A g ter- b erg, o. c., 113 / 4.42): [ x' l = [ c~s q> y' -sinq> sin ep J . [ x - = ] COS(j) y-y (10) S x' in y' smo označili transformirani koordinatni vrednosti, x in y pa poznamo iz enačb (1) in (2) in sta koordinati težišča tlorisa. Označimo z L1 in L2 absolutni vrednosti obeh lastnih vektorjev! Tedaj po- meni njuno razmerje L1 : L2 = h faktor, za katerega je udornica spotegnjena vzdolž daljše osi, torej abscise v novem koordinatnem sistemu. Ce naj bo udor- nica v tlorisu kar najbliže krožnici, moramo transformirane ordinatne vred- Sl. 2. 1/a Prilagajanje tlorisa udornice elipsi 1/b Smerni koti projekcijskega žarka 1/c Označevanje sferičnega trikotnika 2/a Projiciranje udornice na polkroglo 2/b Parametra S in n kot funkciji normiranega polmera 3/a Izvajanja odnosov med parametroma S in n 3/b Razmerje med površino modela (Sm) in površino projekcije (Sp), oboje kot funkcija normiranega polmera 4 Osnovne mere moc'!ela udornice 5/a Izvajanje enačbe plaščnice v linearnih koordinatah 5/b Izvajanje enačbe plaščnice v normaliziranih koordinatah 6 Izvajanje diferencialov prostornine kot izhodišče za enačbo plaščnice Fig. 2. 1/a The collapse doline ground plane adjustement to an elipse 1/b The directional angles of the projective ray 1/c The spherical triangle labelling 2/a The collapse doline projection to a hemisphere 2/b The parametres S and n as the normalized radium functions 3/a The relations between the parametres S and n derivation 3/b The relations between the model area (Sm) and projection area (Sp), as related to the normalized radius 4 The basic collapse doline dimensions 5/a The envelop equation derivation in linear coordinates 5/b The envelop equation derivation in normalized coordinates 6 The volume differentials derivation, as the startpoint to the envelop equation construction 115 10 Acta carsologica XII, 1983 (1984) nosti pomnožiti še s h. Označimo s x" in y" drugič transformirane koordinate. Torej: o ] [ cos q> h · -sin q> • - (11) sin cp ] [ x - x l COS(j) y-y Naj bo z nadmorska višina poljubne točke na ploskvah udornice, Zm pa nadmorska višina najvišje točke oboda. Tedaj definirajmo z": z" ='Z-Zm (12) Za proJ1c1ranje na polkroglo potrebujemo koordinate posameznih točk v polarni obliki. Smerni (a) in naklonski (w) kot radijavektorja {Sl. 2, 1/b) vsake točke dobimo iz preprostega računa: y" a = arctg - (13) x" z" w =t arctg ,====== V (x")2 + (y")2 (14) Da izračunamo ploščine posameznih projiciranih ploskev, položimo iz te- žišča tlorisa (torej novega koordinatnega izhodišča) skozi točke (T1) s kordina- tami x ", Yi", z" šop premic, ki nam prebada projekcijsko polkroglo v točkah Pi, kar so projekcije točk v ploskev udornice. Crte na teh ploskvah postanejo v projekciji loki glavnih krogelnih krogov med posameznimi pari točk. Plosk- ve, katerih projicirane površine želimo izračunati, razdelimo na sferične tri- kotnike, z oglišči npr. P1, P 2 in P3. Označimo kote sferičnega trikotnika takole (J. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev, 1963, 219 (Slika 2, 1/c): notranji kot -'9'.'. P3P1P2 =' A notranji kot -'9'.'. P1P2P3 = B notranji kot -'9'.'. P 2P3P1 =' C središčni kot (stranica) -'9'.'. P20P3 = a središčni kot (stranica) -'9'.'. P30P1 = b središčni kot (stranica) -'9'.'. P1 OP2 = c Izberimo polmer projekcijske polkrogle (R) tako, da je daljši od najdalj- šega radijavektorja (T m), oz. R > V Vstavimo namesto µ desno stran enačbe (40) in izpostavimo T0 ! =' T 3 { 7t [i}3 tg r:J.(-2_ _ 1 ) + i}2-21< [~ + n )]} (57) 0 3 2k + 1) 2k + 1 ° Imenujemo izraz v zavitem oklepaju, skladno z že uvedenimi normiranimi parametri, normirana prostornina (V,.). Tedaj lahko zapišemo: (58) Normirana prostornina (V,.) je v smislu enačbe (57) funkcija normiranega polmera (i}), tega pa izračunamo s pomočjo'enačbe (47) iz merjene vrednosti S. Velikostni modul To, s katerim množimo normirane linearne parametre, da do- bimo njihove modelne vrednosti, lahko izračunamo iz nekoliko preurejene enačbe (58): 3 3 To= V::= V:: (59) V nadaljnjem bomo potrebovali vrednosti normirane prostornine kot funk- cije normiranega polmera (i}), kar je grafično prikazano na prilogi 2. Izraču­ nane so z zaporedno uporabo enačb (47) in (57), kar je enostavneje, kot zdru- ževanje obeh enačb v en sam izraz. Tako smo pripravili teoretično osnovo praktičnim izračunom. Primer 1: Izračunati želimo dimenzije globoščaka, v katerega bo prerastla udornica Dolec (tik severnega kraka Najdene jame, v odtočnem zaledju Planinskega po- lja). Razpolagamo z naslednjimi podatki: S =0,592 V1 =71000m3 Zt = 1 533,1 m kjer smo z Zt označili nadmorsko višino težišča, izračunano iz neposrednih mer- skih podatkov. Iz priloge 2/a odčitamo, da pripada izmerjeni vrednosti S=' 0,592 normirani polmer i}. = 1,284 in normirana prostornina V.,.=• 6,576. Velikostni modul dobimo iz enačbe: (59): a a Vv m, V'r-7-1 -OO_O_m--:3:-To= -i=1 -- ---=·22,lm V„ 6,576 Mimogrede smo tako ugotovili, da je znašal modelni polmer udornega brezna na prehodu v udornico 44,2 m. Iz enačbe (42) vemo, da znaša vrednost nor- miranega polmera, ko stene izginejo, i}m = 1,953. Modelni polmer globoščaka, v katerega bo prerasel Dolec, ko stene izginejo, znaša tedaj: Tm = i}mTo = 1 1,953 X 22,1 m = 43 m 126 France Šušteršič, Preprost model preoblikovanja udornic 21 Ker znaša normirani polmer v sedanjem trenutku, kot smo ugotovili malo prej, it., dobimo modelno vrednost polmera za trenutek opazovanja: T8 = i},T0 = 1,284 X 22,1 m = 28 m To sta slabi dve tretjini končnega polmera, kar pomeni, da se bo polmer Dolca dotlej približno poldrugikrat povečal. Zanima nas še, kako globok bo globoščak, ko bo ostal brez sten. Ce ne upoštevamo prepereline ki se bo dotlej nedvomno nabrala na meliščih, velja: 9m =' Tmtg a = 42 m X tg 37° 30' = 33 m če smo z 9m označili končno globino. Nastali globoščak se bo, če ne že po obli- ki, vsaj pod imenzijah bistveno loči od korozijskih vrtač v okolici. Primer 2: Izračunati želimo približno prostornino jamske dvorane, iz katere je nastal Dolec, ob upoštevanju podatkov s prejšnjega primera. Samega procesa preraščanja podzemske dvorane v udornico dejansko še ne poznamo, zato bo tudi izračun prostornine približen. Zamišljamo si, da je najprej nastalo podorno brezno z dnom na višini jamske etaže, potem pa to brezno prerastlo v udornico, kot jo opazujemo. Ker pomeni vsako premeščanje materiala zaradi razrahljivosti tudi izgubo prostornine, pomeni, da bi bila ob vsakem bolj zapletenem procesu tudi prvotna prostornina večja. To moramo upoštevati ob vrednotenju končnega rezultata. Za kakršnokoli preračunavanje prostornin potrebujemo najprej modelno višino zemeljskega površja (zm), To dobimo ob upoštevanju enačbe (54) oz. priloge 2/a po naslednjem preudarku: Zm = Zt + 'tTo = = 533,1 m + 0,657 X 22,1 m = 533,1 m + 14,5 m =' 547,6 m pri čemer smo vrednost 't' določili s pomočjo normiranega polmera (i}), ki smo ga izračunali že v prvem primeru. Sedaj lahko izračunamo modelno globino udornega brezna, iz katerega je nastala udornica, saj poznamo nadmorsko višino jamskega dna tik podora. Ta znaša po R. Go spod ari č u in F. šušte r š i č u (1980) ZJ = 396,7 m. Modelna globina ( gb) je tedaj: g0 = Zm-Z; = 547,6 m- 396,7m=1 150,9 m Zanima nas še, kakšna je normirana globina (yb), oz. kakšni odnosi vežejo modelno globino z normiranim pomerom in dalje z ostalimi količinami, ki jih potrebujemo. Iz slike 2, 4 sledi: gb = h + T tg (J., = (no-µ) To+ i} To tga = = To (no-µ+ i}tg a) = ToYb (60) Odtod je: (61} 127 :22 Acta carsologica XII, 1983 (1984) Iz zgornje enačbe lahko izračunamo ob upoštevanju enačbe (40), da je zna- šala hipotetična normirana globina udornega brezna yb = 6,828, medtem ko velja za Dolec normirana globina yd = 1,928. Sedaj razpolagamo z vsemi podatki, da sestavimo enačbe (61), (57) in (40) v enoten obrazec, ki povezuje normirano globino z normirano prostornino. Ta- ko nastala enačba je žal implicitna funkcija normirane prostornine in normi- rane globine in jo moramo reševati numerično. Za praktično uporabo je funk- dja Vn (y) že izračunana in grafično prikazana na prilogi 2/b. S slike odčitamo, da odgovarja normirani globini yb = 6,828 normirana prostornina V n = 8,87. To pomnožimo z velikostnim modulom Dolca in dobimo iskano prostornino prvotnega udornega brezna: V m = Tnro3 =' 8,87 X 22,13m3 =i 95 742 m3 To pa je že več, kot znaša prostornina največje znane dvorane v ,sosednji Najdeni jami, Putikove dvorane, ki je (F. šušte r š i č, 1973, 74) le nekoliko večja od sedanje prostornine Dolca. Zavedati pa se moramo tudi, da smo izra- čunali šele spodnjo mejo prostornine prvotne jamske dvorane, ki bi bila lahko tudi še precej večja. Obstaja pa seveda tudi še druga možnost, namreč, da uporabljeni model ni pravilen in da je ponornica odstranjevala material tuai še potem, ko je nastalo udorno brezno. S pomočjo enačbe plaščnice oz. grafov na prilogi 2 lahko izvršimo tudi še druga podobna preračunavanja merskih parametrov udornic, če le razpolaga- mo z zadovoljivimi terenskimi podatki. SKLEP Matematično je formuliran najpreprostejši model preoblikovanja udornic, ob izhodiščnih predpostavkah, da je globel geometrijsko pravilna, da se stene le krušijo in ne plazijo ter da okrušeni material ne izginja v žrelo. Tak model omogoča, da v obsegu izhodiščnih predpostavk iz sedanje oblike izračunamo tudi vse prejšnje oziroma bodoče. Po drugi strani pa je ta model podlaga za izpeljavo zapletenejših, a zato prirodnemu dogajanju bližjih mo- delov. Podana je pot, kako terensko izmerjene podatke prirediti matematičnemu modelu in ga tako uporabiti v raziskovalni ali tehniški praksi. Izpeljani matematični model je popolnoma določen, če poznamo pet para- metrov: prostornino globeli, koordinate težišča globeli, delež sten udornice, stabilnostni kot melišč in koeficient razrahljivosti melišč. Ključna enačba v modelu je enačba plaščnice (40), ki opisuje oblikovnost meje med melišči in nedotaknjeno matično kamnino. Izračunani so diagrami, ki omogočajo hitro preračunavanje praktično za- nimivih količin brez poglabljanja v matematične izpeljave. Podani so tudi primeri neakterih takšnih izračunov. Matematični model je popolnoma splošen. Zato ga je mogoče uporabiti pri proučevanju kakršnihkoli centričnih globeli, le da veljajo izhodiščne predpo- stavke. Tako je podana pot za eksaktnejše primerjanje raznorodnih, a geome- trijsko bližnjih kraških globeli. 128 France Šušteršič, Preprost model preoblliko.vanja udoirnic 23 LITERATURA A g ter b erg, F. P., 1974: Geomathematics, Mathematical background and geo- science applications. Elsevier, 1-596, Amsterdam, London, New York. A m r o si, C. d' 1961: Sull'origine delle doline carsiche nel quardo genetico del carsism~ in generale. Le grotte d'Italia, Ser. 38 , Vol. 3, 5-24. Bron štej n, J. N., Semen d j a je v, K. A., 1963: Matematični priročnik. Založba Življenje in tehnika, 1-699, Ljubljana. C a r s o n, M. A., 1977: Angles of repose, angles of shearing ressistance and angle of talus slopes. Earth surface processes, 2, 363-380. C ho r 1 e y, R. J., 1972: Spatial analysis in geomorphology_ Methuen & Co Ltd., 1-394, London. C rame r, H. E., 1944: Die Systematik der Karstdolinen. Neues Jahrbuch fiir Mine- ralogie, Geologie, und Palaontologie, Beilage Band, Abt. B, 85, 293-382. Davi s, J. C., 1973: Statistics and data analysis in geology. Wiley & Sons, 1-550, London, New York, Sydney, Toronto. Dimitrij e vic, M. D., Petro vic, R. S., 1965: Upotreba projekcije lopte u geologiji. Geološki zavod Ljubljana, 1-14~ Ljubljana. E v a n s, l. E., 1972: General geomorpholetry, derivations of altitude and descrip- tive statistic. V: R. J. Chorley, 1972 (ur.): Spatial analysis in geomorphology, Methuen & Co Ltd., 17-90, London. Gam s, l., et al., 1973: Slovenska kraška terminologija. Zveza geografskih institucij Jugoslavije, 1-77, Ljubljana. Habič, P., 1963: Udorne vrtače koliševke in podzemni tokovi. Treci jugoslaven- ski speleološki kongres, 125-129, Sarajevo. Jak o p in, P., 1981: On measuring caves by volume. Proc. Eight int. congr. of spel., 1, 270-271, Americus. J e n n i g s, J. N ., 197 5: Doline morphometry as a morphogenetic tool: New Zealand example. New Zealand geographer, 31 (1), 6-28. K e mm e r 1 y, Ph. R., Towe, S. K., 1978: Kars1 depressions in tirne context. Earth surface processes, 3, 355-361. K e mm er 1 y, Ph. R., 1980: A tirne distribution study of doline collapse: frame- work for prediction. Environmental geology, 3, 123-130. La v a 11 e, P., 1967: Some aspects for linear karst depression development in South- central Kentucky. Annals of the Association of American geographers, 57, 49-71. La v a 11 e, P., 1968: Karst depression morphology in Southcentral Kentucky, Geo- grafiska Annaler, 50 A, 94-108. M c Cone 11, H., Horn, J. M., 1972: Probabilities of surface karst. V: R. J. Chor- ley, 1972 (ur.): Spatial analysis in geomorphology, Methuen & Co Ltd., 111-133, London. Mic h 1 er, I., 1954: Vrtače in doline. Proteus 16, 204-209. M a n de 1 b r o t, B. B., 1977: Fractals: form, chance, and dimension. Freeman & Co, 1-361, San Francisco. P e jo vic, T., 1949: Diferencijalne jednačine, l. Naučna knjiga, 1-152, Beograd. Raškovic, D., 1950: Mehanika, 1, Statika. Naučna knjiga, 1-425, Beograd. S c h e ~de g g er, A., 1961: Theoretical geomorpholoy. Springer, 1-333, Berlin, Got- tingen, Heidelberg. S w e e ti n g, M. M., 1972: Karst landforms. Macmillan, 1-362, London. šušte r š i č, F., 1968: Nekaj o nastanku kraških udornih dolin. Naše jame, 9, 58-65. šušte r š i č, F., 1973: K problematiki udornic in sorodnih oblik visoke Notranjske. Geografski vestnik, 45, 71-86. 129 24 Acta carsologica XII, 1983 (1984) Suš ter š i č, F., 19'74: Nekateri metrični problemi udornic. Geografski vestnik, 46, 27-46. Suš ter š i č, F., 1980: Dimenzioniranje kraških votlin. Naše jame, 21 (1979), 61-73. Suš ter š i č, F., 1982: Nekaj misli o oblikovanosti kraškega površja. Geografski vestnik, 54, 19-28. Vi da v, I., 1975: Višja matematika II. Državna založba Slovenije, 1-576, Ljub- ljana. Vida v, I., 1976/a: Višja matematika I. Državna založba Slovenije, 1-477, Ljub- ljana. Vida v, I., 1976/b: Višja matematika III. Državna založba Slovenije, 1-557, Ljub- ljana. 130 France Šušteršič, Prepnos,t model preojjlilrovanja udlOirnic A SIMPLE MODEL OF THE COLLAPSE DOLINES TRANSFORMATION Summary 25 The paper is in severa! ways expansion of my previous work about the same topic (F. Šušteršič, 1968, 1973, 1974), though it is not its direct continuation. In the present paper I try to develop the doline-envelop equation, where the surface of the undamaged rock under the screes is denominated envelop. As it is shown in my previous work, cited above, the envelop is the only ,record of the doline hi,story. On the other hand the share of the scree slopes is the doline age estimator. The term collapse doline is used here in the sense, prescribed by I. Gams et al. (1973, 29), so that it depicts centrical depressions, formed by collapsing bedrock only. It seems to be the same as M. M. Sweeting's (1972, 64-65) explanation of Cvijic's definition (cit. o. c.). According to my opinion the English expression »shake hole« fits better to the object than the Anglosaxonian »co11apse doline«, especially the la- ter being used in a very different meaning as well (see Ph. Kemmerly, 1980). Of course some statements established can be generalized to all the centrical depres- sions and so the used term becomes more plausible. The paper is divided in four parts. The first one deals with the informational representation of real collapse dolines, introducing some parametres, needed for the further discussion. In the second part the notions introduced use to express a more strict definition of the studied object. The third part contains the expansion of the equations, depicting the morphology of the collapse dolines, while the last one is intended to the practical use of the equations, developed before. The considerations are based on the simplemost models, so that the present study is more a guideldne, rather than a collection of ,practical instructions to a collapse dolines researcher. The terminology used is summarized in Fig. l. The parametres used can be broadly divided into three groups. The ones that can be defined and measured in nature are named the measured parametres. The parametres that can be reasonably defined on the model only, are called the model parametres. However, the later may be normalized to simplify the mathematical expressions. In such occasion they are named normalized or nondimensional para- metres. The measured parametres to describe the actual dolines can be chosen in dif- ferent ways. To obtain the best information possible, I tried to satisfy the criteria of easy availability and informational stability. So I use the volume of the doline space as its dimension estimator, the share of walls in the doline sides as its age estimator and the grid coordinates of its space gravity center as its space position estimator. Two additional parametres, scree slopes stability angle and the scree loosening coefficient control the doline geometry. For the practdcal calculations, de- veloped in the last part only these five parametres musrt be known. SPATIAL PRESENTATION OF COLLAPSE DOLINES In my previous work I have shown that the orthogonal projection presentation of the collapse dolines, induces a lot of bias to the information about the spatial performance of the dolines. So I have proposed to project them firstly to a hemis- phere circumscribed and then to represent the projection in the terms of Lambert's equivalent projection. This is needed especially for the reason that the proportiions between the rocky walls and talus had been tacitely accepted as a measure of the dolines age. Owing to their fractal properties (see B. B. Mandelbrot, 1977), the sur- faces of the mentioned media are measurable in the projection only. The way of projecting exposed is direct, but encompasses some unnecessary bias, the dolines being often elongated. So one needs first to transform their original shape to the highest degree of isometry possible, and later on to perform the projecting propo- sed. To achieve this goal, one can use the properties of the variance-covariance ma- trix (C) eigenvectors (J. C. Davis, 1973, F. P. Agterberg, 1974). The groundplane of the doUne is superimposed by an uniform, equispaced point system (Fig. 2, 1/a), any point being characterized by its coordinate pair, for instance in national grids. 131 26 Acta carsologica XII, 1983 (1984) Compute the averages (.f, y), the variances (Sxx, Syy) and the covariance (Sxy): N .f = N _I ~x- NL...,' :v=~ LYI i=l N i=l N N l ~ Sxx= L.., (X;-i) 2 N l ~ Syy= L (y;-y)2 i=l i=l N Sxy= N L (X;-.f) (y;-y) i=l Consctruct the vardance-covariance matrix: l Sxx C= S:ry The eigenvalues )..1 and )..2 can be obtained from the equation: [C-A.I] = O The eigenvectors (X1, X 2) are given by: [C-A-I]X=O (1), (2) (3), (4) (5) (6) (7) (8) The absolute values of the both eigenvectors are the major and the minor axis of the ellipse, fitting the best to the array of poits, encompassed by the doline perimeter (in plane). The eigenvalues are the directional coefficients of the both axis, respectively. Set a new coordinate system, its origin defined by the mean values of the coordiinates, and the abscissa being directed paralelly to the major axis of the ellipse ! The angle between the old and the new abscissa is then: (9) and the coordinate transformation operator is: x' y' l r cos q> = l -sinq> (10) x' and y' beJng the transformed coordinate values. Let L1 and L2 be the absolute values of the eigenvectors, respectively. The proportions L 1 : L 2 = h is so the elon- gation ratio of the major axis, compared to the minor one. To obtain the plane of the doline as isometric as possible, multiply the ordinate values by h: [ x" ] = l l y" o o l r h J l cos q> -sin ep sin ep ] [ x - ~ l cos q> y-y .l {11) Let z be the absolute elevation of a point on the doline surfaces and Zm the greatest value of the whole. Then: z"=Z-Zm (12) 132 France Sušteršič, Breprost model preobailrovanja udornic 27 To draw the doline in the Lambert's projection, one needs the directional angle (a) and the inclination angle (w) of the; radiusvectors to any single point: y" a = arctg - and x" z" w = arctg V (x")2 + (y")2 (13) (14) To compute the areas of the projected surfaces, they must be divided into spherical triangles. Setting the radius (R) of the projective hemisphere equal to one, the area of any triangle becomes numerically equal to its spherical excess: i} = (A + B + C) - 1t (15) A, B, C, being the angles of the spherical triangles, expressed in radiants. They can not be obta:ined directly, but it can be done to the angles, a, b, and c (sides of the spherical triangle) (Fig. 2, 1/c). Normalize the radiusvectors to the points consi- dered, so that: 1 Pt = -;::========== . T; v (X;")2 + (y;") 2 + (z;'')2 the T; being the radiusvector to equally signed point. Then: P2. P3 = cos a P3 • P1 = cos b The angles wanted are defined by the spherical cosine rule: cos a - cos b cos c A= sin b sin c cos b - cos c cos a B= and sin c sina cos c-cos a cos b C= sina sin b (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) In the further lines we will deal mostly with f4 geometrically regular model, i. e. circular cone plus cylinder. In these circumstances the projection to the hemi- sphere would not be needed, but we use it for the consistency with the real dolines measurements, anyway. To facilitate the further discussion, some parametres, defined on the model, must be introduced. The share of wills (S value) is: Ps S=- p,,, (23) where Ps is the area of walls in projection, and P,,, the total projection area of the doline, encompassed by the perimeter (= lip, acc. to J. N. Jennings, 1975). If the doline lies in a perfectly flat region, P,,, is, of course, equal to the hemisphere area. Let S be the intermediate measure of the doline age, neglecting the asimmetry of the real dolines. The S value can be computed to any collapse doline. The later can be aproxi- mated by a geometrically regular body, which may be considered as an equivalent 133 28 Acta carsologica XII, 1983 (1984) model of the doline. Equalizing the S values and the volumes of the real doline and model, respectively, one can always calculate the dimensions of the equivalent model (see part four). For this purpose some other auxiliary parametres must be defined: (24) where 1' is normalized radius, To is the (equivalent) radius, the doline being in transient stage between collapse pothole and collapse doline (see the Table below), and T is the (equivalent) radius of the doline when observed. Let h be arbitrary height of the walls (the term equivalent is ommited further on), while ho is the height, corresponding to To, and the T the radius, corresponding to T. So: ho h no= and n= (25), (26) To T S value is a parameter equally useful for natura! dolines and for models treat- ment, while n can be reasonably defined for simple models only. Their mutual re- lations are: (27) S= Ps 21t Rh h n ~-=---= V n2+1 Pu. 21t R 2 v h2 + T2 or s n= (28) 1-S2 derived from Fig. 2, 3/a. The value M is defined as the share of talus: M=l-S=l- n V n 2 + 1 (29) DEFINITION OF A COLLAPSE DOLINE The most widespread definition of collapse dolines is based on H. E. Cramer's (1941) work, if having ommitted the conceptual differences, recently induced by the American researchers. So, a collapse doline should be a direct result of cave roof collapse, appearing on the karst surface. An additive condition is very usual, viz. »the diameter exceeds the depth« (l. Gams et al., 1973, F. Šušteršič, 1979). This being forgotten, a forma! delimitation between dolines and potholes is impossible. This notion includes some hidden illogicalites (which are discussed in Slovene text, and) which can be avoided, when having accepted the S value to be the crucial parameter. It can be shown that S value for an equisided cylinder {depth equals diameter) is S = 0,90. On the other hand, the collapse dolines, having the S value lower than 0,05 can not always be distinguished from the solution ones. So, the interval 0,90 > S :? 0,05 can be received as the definiton interval. Using Eq. (28) one can readily obtain the equivalent n values as well. This is shown on the table 1: Table 1 Model: n:? 2,065 2,065 > n :? 0,050 0,050 > n:? O Real depression: S 2 0,90 0,90 > S 2 0,05 0,05 > S 2 0,00 134 Origin collapse: collapse pothole collapse doline doline sensu lato France Šušteršič, Plrep;r,ost model preobllirovanja uoolt"Ilic 29 The stress upon the superficial properties is apparent. It corresponds to our intentions to determine the underground conditions on the basis of the superficial observations. Nevertheless, one must always be aware that not all collapse pheno- mena in the karst underground can appear on the surface (F. Sušteršič, 1974, 30, Fig. 1/b). THE ENVELOP EQUATION The walls of the collapse dolines are not in stable equilibrium and due to the weathering they decay to the talus in the middle. If the screes are not removed from the doline by means of the underground erosion, the talus is in fact the trans- pose of the wall material only. Consider a perpendicular cylinder of heighth and radius T. In the middle is the talus cone (turned up side down), inclined for the stability angle. The total depth is then: g = h + T tga,, the surrounding being flat. In the case that the fallen off material disappeared simultaneously to the cave below, the envelop of the doline (see Fig. 1) would tend to become conical, incli- ned for the angle a. If not, the thickness of the talus increases paralelly to the slope regression and so the basis of the walls is protected. The inclination of the envelop increases for the rate of protected wall basis. As the material in the talus is more loose, than in solid rock, its primary volume must be multiplied by the scree loosening coeficient (k), which brings about the increasing of the envelop inclination as well. Of course: , dz dh f (x) = - = tg a, + - dx dx and considering Fig. 2, 5/a: k 21t (To+ X) (ho - z) dx = 1t (To+ x) 2 dh After rearrangement one obtains: dh 2 k -=--(ho-Z) dx To+ x Inserting this to Eq. (30), it yields after rearrangement: ----- :tga+ho ~ +z 2k ( dx To+ X 2 k )-o To+x This is linear differential equation which general solution is: Z= ___ l __ [ tg a, (To+ x)2k 2k + 1 (To+ X) 2k+! + ho (To+ X) 2k + C ] Additive constant can be calculated from the boundary condition z=0, x=0. So: C= - [_!f!...!!:._ To2k+I + hoTifk] 2k+l Inserting this to Eq. (36) it follows: Z = ~ [ (To+ X) - To2k+l ] + ho [ 1 - 2k + 1 (To+ x)2k_ To2k ] (To+ x)2k (30) (33) (34) (35) (36) (37) (38) The mutual relations among To, ho, x, and z appear from their functional inter- dependency, but they rely upon the measuring units as well. Define: z µ= To 135 (39) 30 Acta carsologica XII, 1983 (1984) As To+ x = T, Eq. (38) can be written in the nondimensional form: µ= -- t't-- +no l--tg rJ.. [ 1 ] [ 1 j 2k + 1 i}2k j)2k (40) The shape of the curve obtained is shown on Annex l. The extreme perimeter of the collapse doline as defined by equality µ = no, as the walls disappear com- pletely. Set no to the Eq. (40) instead of µ and solve to i}: [ 2k+ 1 t'tm= no---+l tg (J.. 1 ]2k+i (42) where t'tm is the maximum radius. Setting k= 1,25 and rJ.. = 37° 30' (F. Šušteršič, 1974) it becomes: itm = 1,953 Inserting ho instead of z to Eq. (35), one obtains the inclination of the envelop, when t't = t'tm. Naturally: dz ---- = tg (J.. dx dµ (itm) = tg (J.. dit or (43) (44) The normalized radius is a model parameter and it can not be used directly when researched the natural phenomena. A bridge between model and measured parametres can be done by use of the value S, as it can be defined in both occa- sions. Having combined Eqs. (26), (28), and (45) the relation can be found: tg rJ.. [ i} - _]_] + no [ 1 - _l ] = no - V S i} 2k + 1 i}2k i}2k 1 - s2 (46) Supposing the model and measured S values to be equal, one can compute the normalized radius for any measured doline and perform further calculations, based on the formulas developped before. ,.. [ no (2k + 1) + tg rJ.. ]_:__ u (S)= 2k+1 s v,--- (2k + 1) + tg rJ.. 1-S2 To determine the spatial position of a collapse doline, the national grid coordi- nates of the doline space gravity center can be used. In the case of natural dolines, the gravity center coordinates are obta~ned by different ways of numerical integra- tion. For the model the vertical distance between the surface and the gravity cen- ter can be expressed (see the expansion in SI ovene text) in norrnalized form: 1 t>2 tg2 rJ.. + 4 (no - µ) tg rJ.. + 6 (no - µ) 2 ~=---------------- 4 t't tg rJ.. + 3 (no - µ) (54) The graph of the function is shown on the Annex 2/b. PRACTICAL USE OF TRE ENVELOP EQUATION The previously developed equations can be useful tool when computing quan- tities, met in everyday speleological practice. But the first step is to find the rela- tion between the measured and model dimensions. As defined before, the module 136 France Sušteršič, Brepr>ost model preobatlrovanja uooniic 31 is the To that multiplies the nondimensional quantities. It can be obtained when equalizing the measured (Vt) and the model (Vm) doline volume. The former is obtained from the measurement data, while the later can be expressed: 1 Vm = 1tT2h + 1tT2-T tg a. (55) 3 having used the Fig. 2, 4. After rearrangemnt and having used Eq. (40) one ob- tains: Vm=To37t{ i>2{ no-[ 2 ;g;l ( ·J>- ; 2k) +no( 1- l)~k)]}+fl>3tga}= = To3 { 7t [l)3 tg a. (-1 - - 1-) + l)2-2k (_!S!_!!:_+ no )]} ('57) 3 2k + 1 2k + 1 Define the expression in the braces to be normalized volume (Vn). Then: Vm=VnTo3 And so: 3 3 To= V::= v:: (58) (59) The values of normalized volume are plotted against the normalized radius on Annex 2/a. Example 1: Compute the final dimensions of the collapse doline Dolec (near Planinsko po- lje). The field data are: S= 0,592 Vt = 71 000 m 3 Zt = 553,1 m where zt is the absolute leve! of the doline space gravity center. On the Annex 2/a one can read that the values l>s = 1,284 and Vn = 6,576 belong to the value S = 0,592. Compute the size module by use of the Eq. (59) ! 3 S To= VYm = vn 000 m3 = 22,1 m Vn 6,576 The radius of the doline will achieve it maximum extent when the walls disap- pear, (Eq. (42)): Tm = i>mTo = 1,953 X 22,1 m = 43 m The normalized radius at the observation tirne is: Ts = i>sTo = 1,284 X 22,1 = 28 m Mark the final depth of the doline gm ! So: gm = Trn tg a. = 43 m X tg 37° 30' = 33 m At its end stage the doline will differ a lot from the neighbouring solution by its dimensions, though their geometry will be similar. Example 2: Compute the mm1mum volume of the cave room, precedent to the doline, described by the previous data. The level of the cave bottom is estimated ZJ = =369,7m. 137 32 Acta carsolog:ica XII, 1983 (1984) The model earth surface is obtained when considering Eq. (54) and Annex 2/a: Zm = Zt + 'tTo = = 533,1 m + 0,657 X 22,1 m = 533,1 m + 14,5 m = 547,6 m Suppose that the actual collapse doline grew from a collapse pothole: that re- sulted from the cave roof falling down. Its volume can be considered to be the minimum possible vol ume of the past cave room. The model depth is: gb = Zm - Zj = 547,6 m - 396,7 m = 150,9 m According to the Fig. 4a the corresponding normalized depth is: And so: gb = h + T tg rJ. = (no - µ) To+ i) Totg rJ. = = To (no - µ + i) tg rJ.) = To 'Yb Yb =no - µ + i) tg rJ. (60) (61) Considering Eq. (40) one can compute the hypothetical normalized depth of the collapse pothole to be "(b = 6,828 m. One would like to compose Eqs. (61), (57), and (40) to a general formula, expressing the normalized depth by the normalized volume. So far, the relations are implicate and the numerical solution is the only possible. The resulting function gra;ph is shown on Annex 2 b. One can read right a way that the normalized volume, dependent on given normalized depth value (Yb = 6,828) is Vn = 8,87. Multiply by the size module: Vm = VnTo3 = 8,87 X 22,13 m3 = 95 742 m3 The past cave room, preceeding the actual doline had so encompassed about 96 000 m3• By the use of the equations developed above and the graphs in the annexes several similar calculations, needed in everyday speleological practice can be done as well. Anyway, one must be aware, that the model may differ quite a lot from the reality in some cases and that the result must always be regarded as an appro- ximation. CONCLUSIONS The simplemost model of the collapse dolines transformation is formulated ma- thematically, based on the fundamental suppositions: the doline is geometrically regular, the wall material falls off only and does not slide down, and the scree ma- terial does not sink into the gap. Such a model permits us / to compute all the following or the past forms from the recent ones, provided that the basic suppositions hold true approximatively. On the other band, the model is a; basis to more sophisticated models deduction. A way to adjust the field measured data to the model calculations is presen- ted. So the . model may be used in everyday research or engineering practice. The model is determined by five parametres: the doline space gravity centre grid coordinates, the doline volume, the share of walls among the doline slopes, the talus stability angle, and the scree loosening coefficient. The key equation is Eq. 40 that describes the shape of the border plane between the talus and the intact solid rock. Diagrams to provide easy calculation of everyday used quantities are compu- ted, so that no deep insight in the mathematical developement of the model is needed. Two examples of such calculations are expanded, based on a real doline measurements. The mathematical model derived is general. So it can be used when studying any type of centrical depressions, provided that the fundamental suppositions may be received. In such a way one can compare geometrically similar closed depressions of different origin. 138