93 Modeliranje plimovanja trdne Zemlje za geodetsko določ anje 3D-položaja toč k kombinirane geodetske mreže Polona Pavlovč ič Prešeren * , Miran Kuhar * Povzetek Prispevek opisuje plimovanje trdne zemeljske skorje, ki je posledica sprememb gravitacijskega potenciala trdne Zemlje zaradi delovanja privlač nih sil nebesnih teles. Pojav je potrebno upoštevati pri prehodih med različ nimi geodetskimi referenč nimi osnovami. Glede na velikostni red pojava, ki tekom enega dneva lahko znaša tudi do več kot 30 cm, ga moramo upoštevati pri gravimetrič nih meritvah, pri GNSS-določ anju absolutnega položaja in pri relativnem določ anju, č e obdelujemo daljše vektorje. Pri vzpostavitvi povezave med horizontalnim terestrič nim koordinatnim sistemom in višinskim sistemom je potrebno plimovanju trdne Zemlje posvetiti več jo pozornost, saj je v definiciji terestrič nih koordinatnih sistemov vpliv v celoti odstranjen, medtem ko je v višinskih sistemih pojav odstranjen le deloma. KLJUČ NE BESEDE: plimovanje trdne Zemlje, gravitacijski potencial, nebesna telesa, horizontalni terestrič ni koordinatni sistem, višinski sistem Uvod Znanstveno razpravo o plimovanju sreč amo že v Galilejevem Dialogu o dveh svetovnih sistemih, kjer je predpostavil, da je eden od vzrokov za plimovanje rotacija Zemlje. Danes Galilejevo domnevo lahko spremenimo v trditev, ki je nekoliko pomanjkljiva, saj ne vključ uje upoštevanja delovanja privlač nih sil nebesnih teles. Nasprotno kot Galileo je Johannes Kepler zagovarjal, da na plimovanje vpliva privlač nost Lune in pojav ni v zvezi z Zemljino rotacijo. Galileo je plimovanje povezoval z rotacijo Zemlje in ne s privlač nimi silami nebesnih teles zato, ker je predpostavljal, da gravitacijska sila Lune najbolj deluje na predele Zemlje, ki so nebesnemu telesu najbližji, in najmanj na tiste, ki so od nebesnega telesa najbolj oddaljeni. Posledič no je sklepal, da bi ob upoštevanju privlač nih sil nebesnih teles plimovanje moralo imeti dvakrat daljšo periodo, kot jo ima sicer. Nesoglasje med Galilejevim in Keplerjevim razmišljanjem je razrešil Isaac Newton, ki je z modeliranjem gravitacijskih sil vzdolž zveznice med nebesnim telesom in Zemljo potrdil Keplerjevo domnevo. Pokazal je, da se zaradi zunanjih privlač nih sil teles celotna Zemlja deformira v elipsoid in zato plima nastane tudi na nasprotni strani Zemlje, č eprav je tam privlač nost Lune manjša. Ta vpliva na manjšo »gravitacijsko napetost« v vodnih masah, kar povzroč i, da je amplituda plimovanja nekoliko manjša kot na predelih Zemlje, ki so bliže nebesnemu telesu. Od takrat vemo, zakaj plima nastane dvakrat dnevno, vendar zaradi lunarnega dneva vsak dan 50 minut kasneje kot prejšnji dan. Danes s pojmom »plimovanje Zemlje« (angl. Earth tides) opisujemo pojav odzivanja oceanov in trdne zemeljske skorje na privlač ne sile nebesnih teles. Pojav uč inkuje na spremembe v gravitacijskem polju Zemlje in deformira Zemljo. Vpliv Lune je dvakrat več ji od Sonca, medtem ko je vpliv ostalih nebesnih teles tako majhen, da ga v izrač unih * UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana 94 zanemarimo. V modeliranju več krat zanemarimo tudi dejstvo kroženja Lune okoli Zemlje, saj je obhodni č as Lune daljši od rotacije Zemlje. Podrobnejše prouč evanje pojava nam omogoč a modelirati pojav in procese odzivanja Zemlje na privlač ne sile. Modele potrebujemo pri redukciji geodetskih opazovanj, predvsem pri gravimetrič nih meritvah in pri določ anju položaja z globalnimi navigacijskimi satelitskimi sistemi (GNSS). Plimovanje zemeljske skorje je ključ no tudi pri obravnavanju različ nih vrst koordinatnih sistemov in povezovanju horizontalnih terestrič nih z višinskimi sistemi. Modeliranje plimovanja trdne Zemlje je glede na oceanografsko bolj enostavno, saj trdna Zemlja ni podvržena tolikšnim prostorsko-č asovnim spremembam. Hkrati je pojav veliko lažje predstaviti matematič no in fizikalno. Plimovanje morij in oceanov je odvisno od razč lenjenosti obal, medtem ko plimovanje trdne Zemlje obravnavamo globalno. Nebesna telesa vplivajo na spremembo celotne oblike Zemlje, vendar ne v vseh smereh enako. Gre za preoblikovanje/deformacijo Zemlje v elipsoid, kjer deformacija poteka v smeri povezave med Zemljo in zunanjim telesom (Luno, Soncem) (Wang, 1997), vendar je na najbolj oddaljeni toč ki nekoliko manjši kot na območ jih bliže nebesnemu telesu. Deformacijo oblike Zemlje zaradi plimovanja prikazujemo na sliki 1. Slika 1: Shematič ni prikaz vpliva Lune na globalno spremembo oblike površja Zemlje. Plimovanje vpliva na spremembo oblike Zemlje in na spremembe težnega pospeška. Spremembe pospeška zaradi vpliva zunanjih teles lahko znašajo tudi do 300 m Gal, tj. 3 m ms -2 (Ducarme, 2002). To pomeni, da moramo v primeru gravimetrič nih meritev plimovanje ustrezno modelirati in v izrač unih upoštevati. Na sliki 2 prikazujemo dnevno spremembo težnega pospeška za 28. januar 2016 za območ je Ljubljane (Spiridonov in sod., 2015). Največ ja razlika težnih pospeškov znaša 140 m Gal. Spremembe v gravitacijskem polju posledič no vplivajo na fizikalno določ itev višin. Zato podoben vendar zrcalen izris dobimo, č e prikažemo dnevne spremembe v višinah (slika 3). 95 Slika 2: Spremembe težnega pospeška za Ljubljano za obdobje 24 ur (28. 1. 2016). Ker je površje Zemlje na eni za 12.740 km bliže Luni kot na drugi strani, je tam velikost privlač ne sile glede na diametralno stran za 7 % več ja. To pomeni, da je vpliv plimovanja v danem primeru več ji na območ ju bliže Luni. Na sliki 3 prikazujemo spremembe v višinski komponenti položaja za 28. 1. 2016 za toč ko v Ljubljani na Jamovi cesti 2 s položajem v globalnem koordinatnem sistemu: f = 46° 02′ 44,72″ S, l = 14° 29′ 41,80″ V. Ekstremni vrednosti vrhov, ko smo najbližje oziroma najbolj oddaljeni od Lune, se razlikujeta za več kot 9 cm. Amplituda plimovanja za obravnavani datum in izbrano območ je znaša nekaj manj kot 22 cm. Plimovanje vpliva tudi na spremembo položaja, vendar so spremembe manjše. Slika 3: Spremembe v višini za Ljubljano za obdobje 24 ur (28. 1. 2016). Na sliki 4 prikazujemo spremembo horizontalnega položaja, ki tekom enega dneva znaša do 6 cm v posamezni horizontalni komponenti položaja. Sprememba 3D-položaja zaradi plimovanja ni vsak dan enaka, ampak je odvisna od oddaljenosti Lune od Zemlje. Do največ jih vrednosti v položaju zaradi privlač ne sile Lune pride v trenutku, ko je Luna v 96 perigeju, to je najbližje Zemlji. Po preteku 15 luninih ciklusov, kar znaša približno 14 mesecev, Luna zopet pride v toč ko perigeja. Slika 4: Spremembe v položaju za Ljubljano za obdobje 24 ur. V letu 2016 bo Luna najbližje Zemlji 14. novembra. Takrat bo oddaljenost med Zemljo in Luno znašala 356.511 km in posledič no bodo tudi amplitude plimovanja trdne Zemlje največ je. V č asu tako imenovane »superlune« bo amplituda plimovanja znašala več kot 40 cm, torej 18 cm več kot na dan konference SZGG 2016 (slika 5). Slika 5: Slika prikazuje spremembe v višinski komponenti določ itve položaja zaradi plimovanja v č asu pojava »superlune« 2016. Modeliranje potenciala plimovanja trdne Zemlje Plimovanje trdne Zemlje v definicijah višinskih sistemov najprej obravnavamo kot direktni vpliv zunanjih nebesnih teles na spremembo potenciala Zemlje. Pojav postane kompleksen v trenutku, ko se Zemlja na direktni vpliv odzove. Govorimo o indirektnem uč inku ali odzivu Zemlje na privlač ne sile nebesnih teles. Zemljin odziv na plimovanje je 97 mogoč e dobro globalno opisati z elastič nimi parametri, ki za seizmološke študije niso dovolj. Seizmološko obravnavanje je veliko bolj kompleksno, saj so lokalna dogajanja na površju Zemlje opisana z več jim številom parametrov. Globalno plimovanje trdne zemeljske skorje v seizmoloških študijah je pomembno v študijah določ itve č asovne in prostorske korelacije pojava potresov z elastič nim, tj. indirektnim odzivom trdne Zemljine skorje (MØtivier in sod., 2009; Tanaka in sod., 2002; Chen in sod., 2012). Z geodetskega vidika, kjer Zemljo obravnavamo kot osnovo za določ anje položaja, pa je ustrezno globalno obravnavanje direktnega plimovanja in indirektnega uč inka bolj pomembno. Različ ne referenč ne osnove v obliki koordinatnih sistemov plimovanje trdne Zemlje ne obravnavajo na enak nač in, zato je pri združevanju različ nih vrst podatkov (npr. GNSS in fizikalno določ enih višin) problematiko plimovanja potrebno poznati in jo na ustrezen nač in upoštevati. Plimovanje lahko opišemo z modeli, pri č emer poznamo ravnotežni potencial plimovanja (angl. equilibrium tidal potential), ki nastane zaradi delovanja zunanjih sil na Zemljo. Rač unamo ga s pomoč jo gravitacijske in astronomske teorije. Nadalje modeli opisujejo odziv oceanov in trdne Zemlje na delovanje zunanjih sil. Model plimovanja trdne Zemlje podaja informacije o odzivu brezoceanskih območ ij na delovanje zunanjih sil (angl. body tides). Model plimovanja oceanov vključ uje odziv oceanov in elastič nost zemeljske skorje (angl. load tides). Gre za spremembe trdne Zemlje (pravzaprav kopnega) zaradi sprememb položajev vodnih mas, ki nastanejo zaradi plimovanja. Oba odziva skupaj vplivata na spremembo trdnega dela zemeljske skorje. Nazadnje govorimo o modelu, ki opisuje spremembe v položajih toč k (angl. site distortions). Matematič no lahko proces opišemo z enač bo (Agnew, 2007): = − d+ kjer sta sila plimovanja in pripadajoč i šum. S funkcijo opišemo odziv lokalnega območ ja na plimovanje. Modeli plimovanja trdne Zemlje V konvencijah službe IERS (angl. International Earth Rotation Service) podajajo dva modela plimovanja trdne Zemlje. Prvega so predstavili v letu 1992 (McCarthy, 1992) in ga v letu 2003 nadgradili (McCarthy in Petit, 2004). Razlog za to je bila zaznana napaka v izrač unih daljših vektorjev s programom Bernese 4.2 in 5.0 (Hugentobler, 2004). Šlo je za napako modeliranja, ki je vodila do centimetrske napake izrač unov v višinah in do 4 mm napake v modeliranju troposferske refrakcije. Plimovanje trdne Zemlje na uporabnike tehnologije GNSS ni povzroč alo več jih težav vse do pojava tehnike absolutnega določ anja položaja s faznimi opazovanji PPP (angl. Precise Point Positioning), saj se je bilo vplivu v obdelavi krajših vektorjev moč izogniti na osnovi modeliranja faznih razlik opazovanj GNSS. V splošnem plimovanje trdne Zemlje razdelimo na direktni vpliv in indirektni odziv Zemlje. Direktni vpliv na količ ine, kot so gravitacijski potencial in oblika ekvipotencialnih ploskev, lahko modeliramo na osnovi znanih informacij o masah teles (Zemlja, Luna, Sonce in druga) in njihovih položajih v nebesnem koordinatnem sistemu. Direktni vpliv plimovanja spremeni elastič nost Zemlje in povzroč a tako imenovani indirektni odziv Zemlje na vpliv zunanjih sil. Izrač un indirektnega uč inka zahteva poznavanje konstant Love in Shida, ki numerič no opisujejo elastič nost Zemlje. Plimovanje trdne Zemlje kot 98 č asovno odvisen pojav razdelimo v modeliranje pojava na stalno (č asovno neodvisno) in periodič no (č asovno odvisno) komponento. Podobno kot spremembe potenciala modeliramo tudi deformacijo Zemlje zaradi stalnega in periodič nega vpliva delovanja nebesnih teles. Problem plimovanja trdne Zemlje (potenciala in zemeljske skorje) v definicijah obravnavamo tako, da (Ekman, 1996): • plimovanje iz modeliranja potenciala kot tudi deformacij površja Zemlje odstranimo v celoti (angl. tide free geopotential/crust), • pri modeliranju odstranimo periodič en vpliv, medtem ko stalen vpliv zunanjih sil na potencial in deformacije zemeljskega površja ostane (angl. mean tide potential/crust), • podobno kot v prvem primeru (tide free) odstranimo periodič en in stalen vpliv nebesnih teles, vendar v danem primeru ostane indirekten stalen odziv Zemlje na delovanje zunanjih sil (angl. zero tide crust). Odstranitev plimovanja v celoti (»tide free«) Matematič no lahko stalno deformacijo oblike Zemlje in njen odziv, ki nastane zaradi delovanja privlač nih sil Lune in Sonca, v celoti odstranimo. To pomeni, da iz vseh količ in, ki jih dobimo z opazovanji v fizič nem prostoru Zemlje in so vezane na potencialno polje Zemlje, odstranimo tako direktni vpliv zunanjih teles (periodič en in stalen) kot indirektni odziv Zemlje na ta vpliv. Rač unsko to pomeni, da nebesna telesa, ki vplivajo na spremembo potencialnega polja Zemlje, postavimo v neskonč nost in kot taka ne vplivajo niti na spremembe v potencialu niti na deformacijo Zemlje. Ker plimovanje odstranimo v celoti, se v teh sistemih oblika Zemlje precej razlikuje od dejanske oblike. Stalen vpliv plimovanja trdne Zemlje za opis č asovno odvisnega plimovanja trdne Zemlje obravnavamo s h- in k- koeficienti Love in koeficientom l- Shida. V danem primeru govorimo o s plimovanjem neobremenjenih koordinatnih sistemih (angl. non-tidal ali tide free systems). Med te uvršč amo vse različ ice mednarodnega terestrič nega referenč nega sistema ITRSyy (angl. International Terrestrial Reference System) in iz njega izpeljane regionalne koordinatne sisteme, kot je tudi ETRS89 (angl. European Terrestrial Reference System 1989). Odstranitev periodič nega dela plimovanja – srednje plimovanje (»mean tide«) V tem sistemu odstranimo le periodič ni del delovanja zunanjih sil na Zemljo. Sistem bi lahko opisali kot fizikalno skladen, saj rač unsko nebesnih teles ne prestavljamo v neskonč nost. Pri matematič ni predstavitvi moramo razrešiti robni problem, saj so mase, ki določ ajo spremembo potenciala, tudi izven Zemlje. To pomeni, da spremembe v gravitacijskem potencialu Zemlje nastanejo tako zaradi delovanja mas v notranjosti Zemlje kot tudi zaradi mas izven nje. Težava se pojavi v matematič nem obravnavanju Stokesove enač be. Zunanja telesa namreč povzroč ijo dodatno spremembo potenciala, ki ga matematič no ne moremo več obravnavati v harmonič ni obliki. Prva sta teoretič no rešitev problema podala Grafarend in Sansò (1984), ki sta predstavila razširjen model potenciala z upoštevanjem zemeljskih in mas nebesnih teles. Kasneje so Zeman (1993) in Poutanen in 99 sod. (1996) izpostavili problematiko obravnavanja centrifugalnega potenciala, ki ga izven Zemlje ni. Pokazali so, da je v danem primeru pojav potrebno modelirati posebej za območ ja na in izven Zemlje. Spremembo potenciala zaradi delovanja nebesnih teles (zunanjih sil) sestavljata č asovno neodvisna (permanentni/stalni del) in č asovno odvisna komponenta (periodič ni del). Odstranitev periodič nega dela vodi do ti. obravnavanja srednjega plimovanja s č asovno neodvisno komponento. Potencialno polje srednjega plimovanja (angl. mean-tide potential field) določ a sistem, ki globalno opisuje, kako voda in ure dejansko teč ejo, kar je v neposredni zvezi s splošno relativnostno teorijo. Odstranitev direktnega vpliva v celoti, medtem ko indirektni vpliv ostane (»zero tide«) V dani situaciji odstranimo direktni vpliv potenciala zunanjih privlač nih sil Lune in Sonca v obeh komponentah (periodič ni in permanentni del), medtem ko indirektni uč inek oziroma elastič ni odziv Zemlje na delovanje privlač nih sil ostane. V tej različ ici je gravitacijsko polje določ eno le na osnovi Zemljinih mas in centrifugalne sile. Podobno kot v sistemih tide free tudi tu pri obravnavanju direktnega vpliva, postavimo nebesna telesa v neskonč nost. Nasprotno pa pri indirektnem odzivu tega ne moremo več storiti, saj se Zemlja na privlač ne sile nebesnih teles v neskonč nosti ne bi odzvala. Primer je EVRF 2007 (angl. European Vertical Reference Frame 2007). Problematika povezave terestrič nega koordinatnega in višinskega sistema Obravnavanje plimovanja trdne Zemlje se v terestrič nih (ITRSyy in ETRSyy) koordinatnih sistemih razlikuje od obravnavanj vpliva v višinskih sistemih. Medtem ko so vse realizacije ITRSxx in ETRS89 določ ene v sistemu brez plimovanja trdne Zemlje (angl. tide free), pa resolucija IAG iz leta 1983 zahteva izhodišč ni sistem (angl. zero system) za gravitacijsko polje in enak sistem (angl. zero = mean system) za določ itev 3D-položajev na Zemlji. Trenutno velja: • zero tide za gravitacijsko polje, to je upoštevanje le indirektnega vpliva plimovanja trdne Zemlje, • tide free za terestrič no določ anje položaja (ITRFyy, ETRS89) – vpliv zunanjih sil je v celoti odstranjen in • neusklajeno in različ no obravnavanje vpliva v razlikah geopotencialnih kot, določ enih z geometrič nim nivelmanom in gravimetrič nimi meritvami. Zemljini geopotencialni modeli, npr. EGM (angl. Earth Gravitational Model), se delijo glede na nač in obravnavanja plimovanja trdne Zemlje, in sicer je lahko vpliv plimovanja odstranjen (angl. tide free) ali pa je upoštevan le indirektni vpliv (angl. zero tide). Razlika med različ icama je v upoštevanju sfernega koeficienta C 20 . Modeli EGM so določ eni na osnovi koordinat v koordinatnem sestavu ITRFyy in se nanašajo na upoštevanje le indirektnega uč inka plimovanja (angl. zero tide). Č e v izrač unih preciznega nivelmana ne upoštevamo popravkov zaradi vpliva Lune in Sonca (velikokrat jim reč emo luni-solarni popravki), govorimo o srednji različ ici obravnavanja plimovanja, kjer obravnavamo direktni vpliv, indirektnega pa ne (angl. mean tide). Upoštevanje luni-solarnega popravka vodi do konvencionalnega koordinatnega 100 sistema z ostranjenim vplivom plimovanja v celoti (angl. tide free system). Sistemi, kjer upoštevamo le indirektni vpliv plimovanja (angl. zero tide), so redki in jih na območ ju Evrope uporabljajo skandinavske dežele (primer Norveške, Švedske, Finske), ki že v osnovi višine zaradi post-ledenodobnega dvigovanja površja obravnavajo na njim specifič en nač in. Po definiciji pri EVRF 2007 upoštevamo le indirektni vpliv. Predhodne realizacije do vključ no EVRF 2000 so po definiciji upoštevale vpliv Lune in Sonca (mean tide). Danes več ina nacionalnih višinskih sistemov še vedno temelji na tej definiciji, medtem ko z GNSS-višinomerstvom določ imo višine v sistemu brez plimovanja (angl. tide free). Mäkinen (2008) je pokazal, da bi v primeru prehoda višinskega sistema iz mean tide v zero tide ob enotnem višinskem izhodišč u (npr. normalni reper v Amsterdamu – NAP) bile spremembe v višinah do nekaj cm. S slike 6 lahko razberemo, da bi spremembe v višinah za območ je Slovenije znašale okoli 3 cm. Slika 6: Odstopanja višin pri različ nih nač inih obravnave plimovanja trdne Zemlje (Mäkinen, 2008). Zaključ ek Vse aktivnosti na področ ju osnovnega geodetskega referenč nega sistema gredo v smer, ko bo potrebno vzpostaviti povezavo višinskega in terestrič nega koordinatnega sistema. Glede na različ ne postopke pridobivanja podatkov v enem in drugem referenč nem sistemu se bo potrebno problema lotiti z razmislekom o optimalni povezavi med sistemoma, ki problematiko plimovanja zemeljske skorje obravnavata povsem drugač e. Hkrati se je potrebno zavedati, da v primeru horizontalnega terestrič nega koordinatnega sistema, kjer je vpliv plimovanja v celoti odstranjen, lahko pridobimo koordinate v č asovni vrstah. Nasprotno pa dnevne ali tedenske č asovne vrste pridobitve višinskih podatkov niso izvedljive. Fizikalne višine so vezane na strogo določ en trenutek vzpostavitve višinskega sistema, saj meritve za določ itev fizikalnih višin potekajo skozi daljše č asovno obdobje. Poleg tega, da bomo v prihodnje morali uskladiti fizikalne višine s terestrič nim 101 koordinatnim sistemom, bomo morali upoštevati še mednarodne smernice za določ itev višinskega sistema v smislu obravnavanja problematike plimovanja trdne Zemlje. Danes več ina držav, ki na novo določ a višinsko komponento prostorskega referenč nega sistema, sledi resoluciji IAG št. 16, ki narekuje strategijo uskladitve nacionalnih višinskih sistemov in modelov geoida v skladu s sistemom zero tide, kjer direktni vpliv plimovanja odstranimo, medtem ko indirektni uč inek oziroma elastič ni odziv Zemlje na delovanje privlač nih sil ostane. Zahvala Prispevek je nastal v okviru projekta Geodetske uprave Republike Slovenije z naslovom Implementacija kombinirane geodetske mreže in višinske komponente ESRS v državni geodetski referenč ni sistem in raziskovalnega programa Geoinformacijska instrastruktura in trajnostni prostorski razvoj Slovenije (P2-0227) Javne agencije za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije – ARRS. Literatura Agnew, D. C. (2007). Earth tides. Treatise on Geophysics. Volume 3: Geodesy. Elsevier, New York, 163–195. http://dx.doi.org/10.1016/B978-044452748-6.00056-0. Chen, Y., Liu, L., Wan, W., Ren Z. (2012). Equinoctial asymmetry in solar activity variations of NmF2 and TEC. Annales Geophysicae 30 (3), 613–622. http://dx.doi.org/10.5194/angeo-30- 613-2012. Ducarme, B. (2002). Introduction to the theory of tides. Proceedings of the joint BGI/ICET 2002 Summer School on Terrestrial Gravity Data Acquisition Techniques, Louvain-la-Neuve, Belgija, 4.–11. september 2002. Ekman, M. (1996). The permnanent problem of the permanent tide: What to do with it in geodetic reference systems? Bulletin d'Informations Marees Terrestres, No. 125, 9508-9513. http://www.eas.slu.edu/GGP/BIM_Past_Issues/1996_bim125_septembre.pdf Grafarend, E., Sansò, F. (1984). The multibody space-time geodetic boundary value problem and the Honkasalo term. Geophysical Journal of the Royal Astronomical society, 78 (1), 255–275. http://dx.doi.org/10.1111/j.1365-246X.1984.tb06483.x. Hugentobler, U. (2004). Bernese GPS Software: Error in Computation of Tides. BSW Electronic Mail. http://www.aiub.unibe.ch/download/bswmail/bswmail.0190. Mäkinen, J. (2008). The treatment of permanent tide in EUREF products. Symposium of the IAG Sub-commission for Europe (EUREF), Bruselj, Belgija, 18.–21. junij 2008. McCarthy, D. D. (1992). IERS standards. IERS Technical Note 13. Central Bureau of IERS, Pariz, Francija, 151 str. McCarthy, D. D., Petit, G. (2004). IERS Conventions (2003). IERS Technical Note 32, Verlag des Bundesamtes für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt na Majni, Nemč ija, 127 str. MØtivier, L., de Viron, O., Conrad, C. P., Renault, S., Diament, M., Patau, G. (2009). Evidence of earthquake triggering by the solid earth tides. Earth and Planetary Science Letters 278 (3–4), 370–375. http://dx.doi.org/10.1016/j.epsl.2008.12.024. Poutanen, M., Vermeer, M., Mäkinen, J. (1996). The permanent tide in GPS positioning. Journal of Geodesy, 70 (8), 499–504. http://dx.doi.org/10.1007/BF00863622. Spiridonov, E., Vinogradova, O., Boyarskiy, E., Afanasyeva, L. (2015). ATLANTIDA3.1_2014 for Windows: A Software for Tidal Prediction. Bulletin D'Informations Marees Terrestres, No. 149, 12062-12081. http://www.eas.slu.edu/GGP/BIM_Recent_Issues/bim149-2015/ Tanaka, S., Ohtake, M., Sato, H. (2002). Evidence for tidal triggering of earthquakes as revealed from statistical analysis of global data. Journal of Geophysical Research 107 (B10), 2211. http://dx.doi.org/10.1029/2001JB001577. 102 Zeman, A. (1993). Influence of permanent tides on the shape and gravity field of the Earth: Comparison of different approaches. MarØes Terrestres, Bulletin d’Informations, 115, 8429– 8434. Wang, R. (1997). Tidal response of the solid Earth. V: Wilhelm, H., Zürn, W., Wenzel, H.-G. (ur.), Tidal Phenomena. Lecture Notes in Earth Sciences 66. Springer-Verlag, Berlin, 27–57. http://dx.doi.org/10.1007/BFb0011456.